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• Cristian Albino Fretel

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Cálculo

III

(0253)

Semestre 3-2009

TEMA 3 INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES Y SUS APLICACIONES

Semestre 3-2009

José Luis Quintero Octubre 2009

Integrales Dobles y Triples

U.C.V.

F.I.U.C.V.

CÁLCULO III (0253) - TEMA 3

Prof. José Luis Quintero

Las notas presentadas a continuación tienen como único fin, el de prestar apoyo al estudiante y facilitar su entendimiento en el tema de integrales dobles y triples y sus aplicaciones.

La guía contempla un pequeño resumen de la teoría correspondiente que sirve de repaso a los contenidos teóricos que componen el tema. Se presentan ejercicios resueltos y propuestos, algunos son originales, otros se han tomado de guías redactadas por profesores, también hay ejercicios tomados de exámenes y de algunos textos. Se ha tratado de ser lo más didáctico posible y se espera prestar un apoyo a la enseñanza del Cálculo III en Ingeniería.

Agradezco las observaciones y sugerencias que me puedan hacer llegar en la mejora del presente material, las mismas pueden ser enviadas a la siguiente dirección de correo: [email protected].

INDICE GENERAL U.C.V.

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CÁLCULO III (0253) - TEMA 3

Integrales Dobles y Triples Prof. José Luis Quintero

3.1.

La integral doble

246

3.2.

Propiedades de la integral doble

248

3.3.

Cálculo de la integral doble

249

3.4.

Cambio de variables en la integral doble

251

3.5.

Momentos y centro de masa

255

3.6.

Momento de inercia

257

3.7.

Ejercicios resueltos

258

3.8.

La integral triple

273

3.9.

Cambio de variables en la integral triple

275

3.10.

Coordenadas cilíndricas

275

3.11.

Coordenadaas esféricas

277

3.12.

Aplicaciones de las integrales triples

279

3.13.

Ejercicios resueltos

282

3.14.

Ejercicios propuestos

296

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LA INTEGRAL DOBLE

Integrales Dobles y Triples Pág.: 246 de 305

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3.1. LA INTEGRAL DOBLE Sea F una región de área A del plano “xy”, F incluye su frontera (Región Cerrada). Subdividimos al plano “xy” en rectángulos mediante rectas paralelas a los ejes de coordenadas (figura 1). Partiendo de algún lugar conveniente (tal como el extremo superior izquierdo de F), numeramos sistemáticamente todos los rectángulos que están dentro de F. Supongamos que hay “n” de tales rectángulos y los designamos con r1, r2,...,rn.

Figura 1. Intuición geométrica del área para la integral doble

Se utilizan los símbolos A(r1), A(r2),...., A(rn) para las áreas de estos rectángulos. El conjunto de los n rectángulos {r1, r2,...., rn} se llama una subdivisión ∆ de F. La norma de la subdivisión que generalmente se indica con ∆, es la longitud de la diagonal del mayor rectángulo de la subdivisión ∆. Suponga que z = f(x, y) es una función definida para todo (x,y) de la región F. La definición para la integral doble de f sobre la región F es análoga a la definición de integrales para funciones de una variable. Se elige un punto arbitrario en cada uno de los rectángulos de la subdivisión ∆, designando las coordenadas del punto en el rectángulo ri con (ξi,,ηi). Ahora formamos la suma: f(ξ1,η1). A(r1) + f(ξ2,η2). A(r2) + ...... + f(ξn,ηn) A(rn).

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LA INTEGRAL DOBLE

Integrales Dobles y Triples Pág.: 247 de 305

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En forma compacta n

∑

f(ξi , ηi )A(ri ) .

(1)

i =1

Esta suma es una aproximación a la integral doble que se definirá; y se denomina suma integral. Las sumas tales como (1) pueden formarse para subdivisiones con cualquier norma positiva y con el iésimo punto (ξi,ηi) elegido en forma arbitraria en el rectángulo ri. Definición 1. n

lím

n → +∞

∑

f(ξi , ηi )A(ri ) = L

i =1

si dado un ξ > 0; ∃ δ > 0/

∑

n i =1

f(ξi , ηi ).A(ri ) − L < ε

para toda subdivisión ∆ con ∆ < δ y para todas las elecciones posibles de los puntos (ξi,ηi) en los rectángulos ri. Puede demostrarse que si el número L existe entonces debe ser único. Definición 2. Si f está definida en una región F y el número L, definido anteriormente, existe,

se dice que f es integrable sobre F, y se escribe:

∫∫

f(x, y)dA .

F

A está expresión se le llamará también integral doble de f sobre F. La integral doble tiene una interpretación geométrica como volumen de un sólido. Cada término de la sumatoria (1) representa el volumen de un cuerpo elemental de base (ri) y altura h = f(ξi , ηi ) . Siendo z = f(x, y) una función continua en el dominio cerrado representado por la región F, la sumatoria (1) tiene un límite si n tiende a infinito. Siendo este límite siempre el mismo, cualquiera sea el modo de la división del dominio de los elementos ∆ri, y la selección del punto de coordenadas (ξi, ηi) en los dominios parciales ∆ri. Este límite se llama integral doble de la función f(x,y) sobre F y si f(x,y) ≥ 0, la integral doble es igual al volumen del cuerpo limitado por la superficie z = f(x, y) , el plano z = 0 y la superficie cuyas generatrices son paralelas al eje 0z a través de la frontera de F. (figura 2)

V(s) =

∫∫

f(x, y)dA ,

F

siendo V(s) el volumen del sólido definido por (x,y) ∈ F^ 0 ≤ z ≤ f(x,y).

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LA INTEGRAL DOBLE

Integrales Dobles y Triples Pág.: 248 de 305

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Figura 2. Intuición geométrica del volumen para la integral doble

3.2. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLE Se enunciarán varias propiedades de las integrales dobles en analogía con las propiedades de la integral definida de funciones de una variable. a. Si c es un número y f es integrable sobre una región cerrada F, entonces c.f es integrable y

∫∫

c.f(x, y)dA = c

F

∫∫

f(x, y)dA .

F

b. Si f y g son integrables sobre una región cerrada F, entonces

∫∫

f(x, y) + g(x, y) dA =

F

c.

∫∫

f(x, y)dA +

F

∫∫

g(x, y)dA .

F

Suponga que f es integrable sobre una región cerrada F y m ≤ f(x,y) ≤ M entonces si A(F) designa el área de la región F, tenemos

m.A(F) ≤

∫∫

F

f(x, y)dA ≤ M.A(F) .

∀(x,y) ∈ F

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLE U.C.V.

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Integrales Dobles y Triples Pág.: 249 de 305 Prof. José Luis Quintero

d. Si f y g son integrables sobre F y f(x,y) ≤ g(x,y) ∀(x,y) ∈ F, entonces

∫∫

f(x, y)dA ≤

F

∫∫

g(x, y)dA

F

e. Si se hace una partición de la región cerrada F en las regiones F1 y F2 ; es decir F1 ∩ F2 = ∅ y F1 ∪ F2 = F y si f(x,y) es continua en F se tiene

∫∫

F

f(x, y)dA =

∫∫

F1

f(x, y)dA +

∫∫

f(x, y)dA

F2

3.3. CÁLCULO DE LA INTEGRAL DOBLE La definición de integral doble no es muy útil para la evaluación en cualquier caso particular. Naturalmente, puede suceder que la función f(x,y) y la región F sean simples, de manera que el límite de la suma (1) pueda calcularse directamente. Sin embargo, en general no se pueden determinar tales límites. Como en el caso de las integrales simples, conviene desarrollar métodos simples y de rutina para determinar el valor de una integral doble dada. Sea F en rectángulo cuyos lados son x = a, x = b, y = c, y = d (ver figura 3).

Figura 3. Intuición geométrica de la definición de integral doble

Se supone que z = f(x,y) es continua en cada (x,y) ∈ F. Se forma la integral simple con respecto a x

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∫

Integrales Dobles y Triples Pág.: 250 de 305 Prof. José Luis Quintero

b

f(x, y)dx a

donde se mantiene fijo y al realizar la integración. Naturalmente, el valor de la integral anterior dependerá del valor utilizado para y o sea que se puede escribir:

A(y) =

∫

b

f(x, y)dx . a

La función A(y) está definida para c ≤ y ≤ d y se puede demostrar que si f(x,y) es continua en F entonces A(y) es continua en [c,d]. Se puede calcular la integral de A(y) y se escribe mediante la forma dada por la integral

A(y) =

∫

d

d

A(y)dy = c

∫ ∫ c

  

b

a

 f(x, y)dx  dy .  

(2)

Se podría haber fijado primero x, luego formar la integral

B(x) =

∫

d

f(x, y)dy c

entonces

∫

b

b

B(x)dx = a

   

∫ ∫ a

d

c

 f(x, y)dy  dx .  

(3)

Observe que las integrales se calculan sucesivamente por lo que reciben el nombre de integrales iteradas. En (2) se integra primero con respecto a x (considerando y constante) y luego con respecto a y; en (3) se integra utilizando un orden inverso. Se pueden definir las integrales iteradas sobre regiones F limitadas por curvas. Ejemplo 1. Dada la función f(x, y) = xy la región triangular F limitada por las rectas de ecuaciones y = 0, y = 2x, x = 2 , halle los valores de ambas integrales iteradas. Solución. Integrando respecto a y primero se tiene:

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2

∫∫ 0

2x

∫

xydydx = 0

2

0

2x

 xy2    dx =  2 0

∫

2

0

Integrales Dobles y Triples Pág.: 251 de 305 Prof. José Luis Quintero

4x3 dx = 8 . 2

Integrando en x se tiene: 4

∫ ∫ 0

2

xydxdy = y /2

∫

4

0

2

 yx2  dy =    2  y /2

∫

4

0

 y3  2y −  dy = 8 . 8  

Ejemplo 2. 3

a.

∫∫ ∫∫ 0

2

1

2

b.

3

x2 ydydx =

1

∫ ∫ ∫ ∫ 0

3

2

x ydxdy = 2

0

   

1

   

2

1 3

 x2 ydy  dx =    x ydx  dy =   2

0

∫ ∫

3

0 2

1

2

∫ ∫

3

 x2 y2    dx =  2 1

0

3

2

 yx3    dy =  3  0

 2 x2  27 . 2x −  dx = 2 2  

9ydy =

1

27 . 2

Ejemplo 3. Halle el volumen del sólido S que está limitado por x2 + 2y2 + z = 16, los planos x = 2, y = 2 y los tres planos coordenados.

Solución. 2

V=

∫∫ 0

2

(16 − x2 − 2y2 )dxdy = 48. 0

Ejemplo 4. Evalúe

∫∫

(x + 2y)dA,

D

donde D es la región limitada por las parábolas y = 2x2 , y = 1 + x2 .

Solución. 1

∫ ∫ −1

1 + x2

(x + 2y)dydx = 2x2

32 . 15

3.4. CAMBIO DE VARIABLES EN LA INTEGRAL DOBLE Sean S y T dos regiones de R 2 . Sea F : T → S una aplicación biyectiva definida por F(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) , esto es, por el par de funciones

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x = x(u, v) .  y = y(u, v) La transformación inversa F −1 : S → T está dada por el par de funciones u = u(x, y) .  v = v(x, y) Bajo ciertas hipótesis (de continuidad y diferenciabilidad) se verifica la siguiente fórmula de transformación para integrales dobles

∫∫

f(x, y)dA =

S

∫∫

f[x(u, v), y(u, v)]

∂(x, y) dA , ∂(u, v)

T

donde

∂(x, y) ∂(u, v) indica el jacobiano de la transformación F, es decir el determinante:

∂x ∂(x, y) ∂u J(u, v) = = ∂(u, v) ∂y ∂u

∂x ∂v . ∂y ∂v

Las hipótesis de continuidad y derivabilidad que se exigen son: a. Las funciones x(u,v), y(u,v) son continuas y tienen derivadas parciales continuas en T. b. J(u, v) ≠ 0 en todo punto (u, v) ∈ T. c.

f(x,y) es continua sobre S.

Cambios de variables frecuentes: a. Coordenadas polares:

x = r cos(θ) , J=r   y = rsen(θ) b. Transformaciones lineales:

x = au + bv , J = ad − bc.  y = cu + dv Se supone ad − bc ≠ 0.

Integrales Dobles y Triples Pág.: 253 de 305

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Ejemplo 5. Calcule

∫∫

2 dA , x

R

donde R es la región del primer cuadrante limitada por las curvas de ecuaciones y = ln(x) , y = 1 + ln(x) , y = 2 − ln(x) , y = 1 − ln(x) . Solución. Cambio de variables:

u = y − ln(x) , v = y + ln(x) . Por lo tanto, (v − u)

x=e

J(u, v) =

∂x ∂u

∂x ∂v

∂y ∂u

∂y ∂v

=

− 12 e

v −u 2

1 2

1 2

e

v −u 2

1 2

2

=−

, y= 1 2

v −u e 2

u+v . 2 . J(x, y) =

∂u ∂x

∂u ∂y

∂v ∂x

∂v ∂y

=

− 1x 1 1 x

1

=−

2 . x

Nuevas ecuaciones: u = 0 , u = 1 , v = 2 , v = 1. 1

∫∫ 0

2

dvdu = 1 . 1

Ejemplo 6. Calcule

∫∫

x2 + y2 dxdy,

S

donde S es el dominio del plano definido por las condiciones

x2 + y2 ≥ 9 , x2 + y2 ≤ 16 . Solución.

Cambio a coordenadas polares:

∫∫ S

donde

x2 + y2 dxdy =

∫∫

r2drdθ =

74π , 3

T

T = {(r, θ) / 3 ≤ r ≤ 4, 0 ≤ θ ≤ 2π} .

Ejemplo 7. Usando integrales dobles, encuentre la región encerrada por la curva de ecuación polar r = 1 + cos(θ) que es exterior a la curva de ecuación polar r = 1 . Solución.

Gráfico (ver figura 4).

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Figura 4. Representación gráfica de la región del ejemplo 7 π

∫ ∫ ∫

ÁREA = 2

2

0

π

=

0

2

1 + cos(θ)

rdrdθ = 1

∫

π

2

(1 + cos(θ))2 − 1 dθ =  

0

∫

π

2

2 cos(θ) + cos2 (θ) dθ  

0

2 cos(θ) + cos2 (θ) dθ = 2 + π .   4

Ejemplo 8. Plantee la integral

I=

∫∫

x3 y3 dA

R

eliminando las barras de valor absoluto, donde R es la región triangular de vértices (−1, −1) , (2,2) y (0,2). Solución.

 x3 y3 x3y3 =  3 3 −x y

si (x ≥ 0 ∧ y ≥ 0) ∨

(x ≤ 0 ∧ y ≤ 0)

si (x ≥ 0 ∧ y ≤ 0) ∨

(x ≤ 0 ∧ y ≥ 0)

(ver figura 5) 0

I=

∫ ∫ −1

y

2

x y dxdy − 3 3

(y − 2)

3

∫∫ 0

0

2

x y dxdy + 3 3

(y − 2)

3

∫∫ 0

y

x3y3dxdy 0

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Integrales Dobles y Triples Pág.: 255 de 305 Prof. José Luis Quintero

Figura 5. Representación gráfica de la región del ejemplo 8

3.5. MOMENTOS Y CENTRO DE MASA Suponga que una lámina ocupa una región R del plano xy y que su densidad viene dada por la función continua ρ(x, y) para todo (x,y) en R. Se define la masa de la lámina mediante la integral doble

m=

∫∫

ρ(x, y)dA.

R

Los momentos de la lámina respecto del eje x y el eje y respectivamente, se definen mediante las integrales dadas por

Mx =

∫∫ R

yρ(x, y)dA , My =

∫∫

xρ(x, y)dA.

R

Las coordenadas (x, y) del centro de masa de la lámina vienen dadas por  My Mx  (x, y) =  , .  m m

MOMENTOS Y CENTRO DE MASA U.C.V.

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Ejemplo 9. Halle el centro de masa de una lámina triangular con vértices (0,0), (1,0) y (0,2) si la función de densidad es ρ(x, y) = 1 + 3x + y. Solución. 2 − 2x

1

m=

∫∫

(1 + 3x + y)dydx =

0

1

My =

∫∫ 0

0

2 − 2x

1

x(1 + 3x + y)dydx = 1 , Mx = 0

∫∫ 0

8 , 3

2 − 2x

y(1 + 3x + y)dydx = 0

11 . 6

 3 11  (x, y) =  , .  8 16 

Ejemplo 10. Una lámina tiene la forma de la región del plano xy limitada por las curvas

y2 = 2x, y2 = 8x, xy = 3, xy = 9 . Calcule la masa de la lámina si la densidad en cada punto (x,y) de ella está dada por ρ(x, y) = xy .

Solución. Cambios de variable:

u = y2 / x , v = xy J(x, y) =

∂(u, v) = ∂(x, y)

∂u ∂x

∂u ∂y

∂v ∂x

∂v ∂y

=

−

y2 x2

y

2y x

=−

y2 x

−

2y2 x

=−

3y2 x

= −3u ⇒ J(u, v) = −

x

Región actual (ver figura 6)

Figura 6. Región actual del ejemplo 10

Región nueva (ver figura 7)

1 . 3u

MOMENTOS Y CENTRO DE MASA U.C.V.

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Figura 7. Región nueva del ejemplo 10

1 m= 3

9

∫∫ 3

8

2

v dudv = 24 ln(2). u

3.6. MOMENTO DE INERCIA El momento de inercia (también llamado segundo momento) de una partícula de masa m alrededor de un eje se define como mr2 , donde r es la distancia de la partícula al eje. El momento de inercia de un cuerpo es considerado como una medida de la resistencia a girar cuando actúa en él una fuerza de rotación. En particular si el eje de giro es el eje X o el eje Y entonces el momento de inercia respecto al eje X o al eje Y es respectivamente

Ix =

∫∫

y2ρ(x, y)dA , Iy =

R

∫∫

x2ρ(x, y)dA .

R

La suma de estos dos momentos se llama “momento polar de inercia” y se denota como I0 . Así se tiene que

I0 = Ix + Iy =

∫∫ R

(x2 + y2 )ρ(x, y)dA ,

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MOMENTO DE INERCIA

Integrales Dobles y Triples Pág.: 258 de 305

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donde I0 también es el momento de inercia respecto del eje z. Ejemplo 11. Una lámina tiene la forma de la región limitada por y = x2 , y = 2 − x2 y su densidad es ρ(x, y) = x2. Halle los momentos Ix , Iy , I0 .

Solución. 2 − x2

1

m=

∫ ∫ ∫ ∫ x2

−1

1

8 x2dydx = , Iy = 15

2 − x2

Ix =

−1

y2 x2dydx = x2

1

∫ ∫ −1

2 − x2

x 4dydx = x2

8 , 35

1574 1790 , I0 = Ix + Iy = . 945 945

3.7. EJERCICIOS RESUELTOS 1. Al plantear una integral doble sobre una región plana R, se obtuvo la suma de integrales iteradas −1

∫ ∫ −3

2x + 6

5

f(x, y)dydx + − 2x + 6

∫ ∫ −1

2x + 6

f(x, y)dydx . x −1

Dibuje la región R y exprese la integral doble cambiando el orden de integración utilizado. Solución. 4

∫ ∫ −2

y +1

f(x, y)dxdy . (y2 − 6)/2

Gráfico (ver figura 8)

Figura 8. Gráfica de la región del ejercicio 1

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EJERCICIOS RESUELTOS

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2. La integral doble sobre una región S del plano xy viene dada por 2

I=

∫∫

2x

xydydx .

x2

0

a. Grafique la región de integración. Solución. Gráfico (ver figura 9)

Figura 9. Gráfica de la región S del ejercicio 2

b. Exprese I en coordenadas polares. Solución. Ecuaciones polares: y = 2x ⇒ rsen(θ) = 2.r cos(θ) ⇒ θ = arctg(2)

r =0  y = x2 ⇒ rsen(θ) = r2 cos2 (θ) ⇒ r r cos2 (θ) − sen(θ) = 0 ⇒    r = tg(θ) sec(θ)

I= c.

∫

arctg(2)

0

∫

tg(θ) sec(θ)

r3 cos(θ)sen(θ)drdθ . 0

Dé una interpretación de lo que calcula I. Solución. Calcula el volumen de un sólido cuya tapa es la superficie z = xy y cuya base es la

región S y con una superficie lateral cilíndrica. 3. Sea 1

I=

∫ ∫ 1

2

x

2

xydydx + 1 − x2

∫ ∫ 1

x

4 − x2

2

xydydx + 0

a. Plantee I en el orden dxdy. Solución. Dibujo de la región de integración (ver figura 10)

∫ ∫ 2

xydydx . 0

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EJERCICIOS RESUELTOS

Integrales Dobles y Triples Pág.: 260 de 305

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1

I=

4 − y2

2

∫ ∫

xydxdy + 1 − y2

0

4 − y2

2

∫ ∫ 1

2

xydxdy y

Figura 10. Gráfica de la región del ejercicio 3

b. Calcule el valor de I. Solución. 1

I1 =

2

∫ ∫

1 − y2

2

4 − y2

0

I2 =

4 − y2

∫ ∫ 1

2

I = I1 + I2 =

xydxdy =

xydxdy = y

∫

∫

1

2

0

 4 − y2 − 1 + y2  3y2 y dy =    2 4  

1

= 0

2

1

2

 4 − y2 − y2   y4  y dy =  y2 −      2 4    2  1

3 8

2

=1− 2

7 9 = 16 16

3 9 15 + = 8 16 16

4. La integral doble sobre una región simétrica R del plano, está dada por   3 /2 3x 3 /2 3x 3 3 /2 9 − x2   2 2 2 2 2 2 2 x y dydx + x y dydx + x y dydx  .  1/2  1 − x2 3 /2 x/ 3 3 /2 x/ 3  

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

a. Dibuje la región de integración completa. Solución. Intersecciones: (ver figura 11)

y = 3x , x2 + y2 = 1 . x2 + 3x2 = 1 ⇒ 4x2 = 1 ⇒ x = ± 12 ⇒ (− 12 , − 3y = x , x2 + y2 = 1 . y2 + 3y2 = 1 ⇒ 4y2 = 1 ⇒ y = ± 12 ⇒ (−

3 2

3 ) 2

; ( 12 ,

3 ). 2

, − 12 ) ; ( 23 , 12 ) .

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EJERCICIOS RESUELTOS

Integrales Dobles y Triples Pág.: 261 de 305

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y = 3x , x2 + y2 = 9 . x2 + 3x2 = 9 ⇒ 4x2 = 9 ⇒ x = ± 32 ⇒ (− 32 , − 323 ) ; ( 32 , 323 ) . 3y = x , x2 + y2 = 9 . y2 + 3y2 = 9 ⇒ 4y2 = 9 ⇒ y = ± 23 ⇒ (− 323 , − 31 ) ; ( 323 , 32 ) . 2

Figura 11. Gráfica de la región del ejercicio 4

b. Exprese la integral cambiando el orden de integración. Solución.  3 /2  2  1/2 

3y

∫ ∫

c.

3 /2

x y dxdy + 2 2

1 − y2

∫ ∫ 3 /2

3y

9 − y2

3 3 /2

x y dxdy + 2 2

y/ 3

∫ ∫ 3 /2

  x y dxdy  .   2 2

y/ 3

Calcule la integral usando coordenadas polares. Solución. Transformaciones:

x2 + y2 = 1 ⇒ r = 1. x2 + y2 = 9 ⇒ r = 3. y = 3x ⇒ tg(θ) = 3 ⇒ θ = π /3

2

∫ ∫ ∫ π /6

728 3

3

r cos (θ)sen (θ)drdθ = 2 5

2

2

1

π /3

cos2 (θ)sen2 (θ)dθ =

π /6 π /3

91  sen(4θ)  θ−  3  4  π /6

728 12

∫

1 π π ⇒θ= . . x = 3y ⇒ tg(θ) = 6 3 3

∫

π /3

∫ ∫

3

cos (θ)sen (θ)dθ 2

2

π /6

π /3

sen2 (2θ)dθ = π /6

182 6

r5dr 1 π /3

(1 − cos(4θ))dθ

π /6

91  π 3  91  2π + 3 3  91(2π + 3 3) =  + =  = 3  6 4  3  12 36 

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EJERCICIOS RESUELTOS

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5. Sea la región D definida como

y ≥ 1 − (x + 1)2

,

y ≥ 1 − (x − 1)2

,

y≤

4 − x2 .

Plantee la(s) integral(es) que permite(n) calcular el área de la región D en coordenadas: a. cartesianas en el orden dxdy. Solución. Gráfico (ver figura 12)

Figura 12. Representación gráfica de las curvas del ejercicio 5

  A = 2  

1

∫∫ 0

1 − 1 − y2

4 − y2

1

dxdy +

0

∫∫ 0

2

dxdy +

1 + 1 − y2

∫∫ 1

0

4 − y2

  dxdy  .  

b. polares. Solución. (x − 1)2 + y2 = 1 ⇒ x2 − 2x + y2 = 0 ⇒ r2 − 2r cos(θ) = 0 ⇒ r(r − 2 cos(θ)) = 0

r =0  ⇒ r = 2 cos(θ)

x2 + y2 = 4 ⇒ r = 2 π /2

A=2

∫ ∫ 0

2

rdrdθ .

2 cos(θ)

6. Calcule el área de la región R determinada por las condiciones dadas por

x2 + y2 − x < 0 , x2 + y2 − y > 0 , y > 0 . Solución. Gráfico de la región R: (ver figura 13)

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Figura 13. Gráfica de la región del ejercicio 6

Ecuaciones polares:

x2 + y2 − x = 0 ⇒ r2 = r cos(θ) ⇒ r = cos(θ) . x2 + y2 − y = 0 ⇒ r2 = rsen(θ) ⇒ r = sen(θ) . Por tanto: π /4

∫ ∫ 0

cos(θ)

rdrdθ = sen(θ)

1 2

∫

π /4

(cos2 (θ) − sen2 (θ))dθ = 0

1 2

∫

π/4

0

7. Sea la integral en coordenadas polares π /4

I=

∫ ∫ 0

sec(θ)

π /2

rdrdθ + 0

∫ ∫ π/4

π

csc(θ)

rdrdθ + 0

π4

cos(2θ)dθ =

∫ ∫ π /2

1 sen(2θ) 2 2 0

=

1 . 4

1

rdrdθ . 0

Dibuje la región de integración, interprete geométricamente el valor de I y determínelo sin calcular ninguna integral. Solución. Gráfico de la región (ver figura 14)

Figura 14. Gráfica de la región del ejercicio 7

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Integrales Dobles y Triples Pág.: 264 de 305

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I calcula el área de la región R. Geométricamente se puede calcular el valor como 1 π I = ÁREA CUADRADO + ÁREA CIRCULO = 1 + . 4 4 8. Sea la integral doble sobre una región R en el plano mediante coordenadas polares π /3

I=2

∫ ∫ 0

4 cos(θ)

r3drdθ .

2

a. Grafique la región R. Solución. Gráfico de la región (ver figura 15)

Figura 15. Gráfica de la región R del ejercicio 8

b. Exprese I en coordenadas cartesianas en el orden dydx. Solución.

  I = 2   c.

2

∫∫ 1

4 − (x − 2)2

4

(x + y )dydx + 2

4 − x2

2

∫∫ 2

0

4 − (x − 2)2

  (x + y )dydx    2

2

Dé dos interpretaciones físicas de lo que calcula I. Solución. Interpretación física 1. Calcula el momento polar de inercia de una lámina homogénea cuya forma corresponde a la región R con función de densidad constante e igual a 1. Interpretación física 2. Calcula la masa de una lámina cuya forma corresponde a la región R con función de densidad igual a ρ(x, y) = x2 + y2 .

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9. Calcule mediante un cambio de variables conveniente la integral

∫∫

(x + y)ex − y dA ,

R

donde la región R viene dada por el cuadrilátero de vértices (4,0); (6,2); (4,4) y (2,2). Solución. Cambio de variable: u = x + y ; v = x − y . Nueva frontera: J(u, v) =

1 2

x−y =0⇒v =0 ; x−y = 4⇒ v =4 ; x+y =4⇒u=4 ; x+y =8⇒u=8 Región actual R: (ver figura 16)

Figura 16. Gráfica de la región actual del ejercicio 9

Nueva región T: (ver figura 17)

Figura 17. Gráfica de la nueva región del ejercicio 9

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1 2

8

∫∫ 4

4

1 ue dvdu = 2 v

0

8

∫ ∫

4

ev dv =

udu

4

0

(64 − 16) .(e4 − 1) = 12(e4 − 1). 4

10. Calcule el área de la región que satisface las desigualdades dadas por x2 + y2 ≥ 4y , x2 + y2 ≤ 4 . Solución. Gráfico de la región de integración llamada R (ver figura 18)

Figura 18. Gráfica de la región del ejercicio 10

Ecuaciones en coordenadas polares:

x2 + y2 = 4 ⇒ r = 2 , x2 + y2 = 4y ⇒ r = 4sen(θ) . Intersecciones de las circunferencias:

2 = 4sen(θ) ⇒ sen(θ) =

2π   π /6 2 2 r   rdrdθ + rdrdθ = 2 dθ + dθ   2 4sen(θ) 0 4sen(θ) 3 π /2 0 3π /2   0 π /6   π /6  2  (2 − 8sen (θ))dθ + π = 2  (2 − 4(1 − cos(2θ)))dθ + π     0   0  π /6   π /6  (2 − 4 + 4 cos(2θ))dθ + π  = 4  (−1 + 2 cos(2θ))dθ  + 2π    0   0   π  2π 3 3  4π π /6 = 4 (−θ + sen(2θ)) 0 + 2π = 4  − + + + 2 3.  + 2π = 4  =  6 2  2  3   6

 A = 2    = 2    = 2  

π /6

∫ ∫ ∫ ∫

2

2π

1 π  π ⇒θ= si θ ∈ 0,  . 2 6  2

∫ ∫

2

∫

∫

∫

∫ ∫

2

0

 rdr   

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Integrales Dobles y Triples Pág.: 267 de 305

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11. Calcule

∫∫

cos(x + y) dA ,

R

donde R = 0, π × 0, π . Solución. Gráfico de la región (ver figura 19)

Figura 19. Gráfica de la región del ejercicio 11 π /2

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 0

π /2

0

π /2

π /2 − x

0

π /2

0

π /2 − x

cos(x + y)dydx + 0 π

cos(x + y)dydx − π /2 − x

cos(x + y)dydx = −

0

Total: 2π .

π /2 − x

π − 1. 2

∫ ∫ ∫ ∫

π

cos(x + y)dydx −

π /2

3π /2 − x

π

3 π /2 − x

π /2

π cos(x + y)dydx = − 1. 2

π

∫ ∫ ∫ ∫

π

π

cos(x + y)dydx

0 π

cos(x + y)dydx =

π /2

3π /2 − x

π

3 π /2 − x

π /2

0

π − 1. 2

cos(x + y)dydx = −

π − 1. 2

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Integrales Dobles y Triples Pág.: 268 de 305

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12. Considere

0 si x ≥ tg(y) . f(x, y) =  1 si x < tg(y) Sea D =  −1, 3  ×  − 2π , 2π  . Plantee la integral  

∫∫

f(x, y)dA

D

en el orden a. dxdy. Solución. Gráfico de la región (ver figura 20)

Figura 20. Representación gráfica de la región del ejercicio 12

∫∫

f(x, y)dA =

D

∫∫

∫∫

1dA +

REGIÓN 1

π /3

0dA =

∫ ∫ −π /4

REGIÓN 2

π /2

tg(y)

dxdy +

−1

∫ ∫ π /3

b. dydx. Solución.

∫∫ D

f(x, y)dA =

∫∫ REGIÓN 1

1dA +

∫∫ REGIÓN 2

3

0dA =

∫ ∫ −1

π /2

arctg(x)

dydx

3

−1

dxdy

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Integrales Dobles y Triples Pág.: 269 de 305

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13. Calcule el área de la región del plano xy en el primer cuadrante, interior a las curvas x2 + y2 = 4 ; x2 + (y − 2)2 = 4 . Solución. Gráfico de la región (ver figura 21)

Figura 21. Representación gráfica de la región del ejercicio 13

x2 + y2 = 4 ⇒ r = 2 ; x2 + (y − 2)2 = 4 ⇒ x2 + y2 − 4y = 0 ⇒ r2 − 4rsen(θ) = 0  r=0 ⇒ r = 4sen(θ) π /6

I=

∫ ∫ ∫ 0

4sen(θ)

π /2

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 0

π /2

8sen (θ)dθ + 2 2

dθ =

π /6

1   = 4  θ − sen(2θ)  2  0

0

π /6

π /6

0

π /6

rdrdθ =

π /6

0

π /6

=

2

rdrdθ +

+π−

0

r2 2

4sen(θ)

dθ + 0

π 8sen (θ)dθ + π − = 3 2

∫ ∫

π /2

π /6

r2 2

2

dθ 0

π /6

4(1 − cos(2θ))dθ + π −

0

π 4π 2π 4π = − 3+ = − 3 3 6 3 3

14. Calcule

∫∫

e1+ xy (x + y) x − y dA ,

R

donde R es la región del plano xy limitada por las curvas xy = 12 , xy = 2 , x + y = 2 , Solución.

Región actual D (ver figura 22)

x + y = 4.

π 3

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Integrales Dobles y Triples Pág.: 270 de 305

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Figura 22. Región actual D de la pregunta 14

Cambios de variable: u = xy , v = x + y . d(J(x, y)) = y − x

xy =

1 2

⇒u=

1 2

xy = 2 ⇒ u = 2

,

,

−1

.

x+y=2⇒v=2

,

Región nueva T (ver figura 23)

Figura 23. Región nueva T de la pregunta 15 4

∫∫ 2

2

1 2

u +1

e

v2 vdudv = 2

4

e1+ u 2

2 1 2

= 6(e3 − e3 /2 ).

x+y=4⇒v=4

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EJERCICIOS RESUELTOS

Integrales Dobles y Triples Pág.: 271 de 305

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15. Una lámina homogénea tiene la forma de la región del primer cuadrante limitada por las curvas xy = 1 , xy = 4 , y = 2x , y = 4x . Halle el momento de inercia polar. Solución. Cambios: u = xy , v = y x

J(x, y) =

∂(u, v) = ∂(x, y)

∂u ∂x

∂u ∂y

∂v ∂x

∂v ∂y

y

=

−

x

y x2

=2

1 x

y 1 . = 2v ⇒ J(u, v) = x 2v

Curvas: u = 1 , u = 4 , v = 2 , v = 4 4

k

∫∫ 2

4

1

k u  1  v + u.v  2v dudv = 2   =

4

∫∫ ∫ 2

4

15k 4

2

4

1

k  u   2 + u  dudv = 2 v  

1 + v2 2

v

dv =

4

∫

2

4

 u2 (1 + v2 )    dv 2v2  1

15k  1 1 135  15 9 − + 4 + − 2 = . k= k  4  4 2 4 4 16 

16. Cálculo de Γ( 12 ) . Solución.

Por definición

Γ( 12 ) =

∫

∞

∫

∞

e− t t −1/2dt = (u = t1/2 ⇒ u2 = t ⇒ 2udu = dt) 0

2

e−u

du = 2

2u u

0

∫

∞

2

e−u du . 0

Entonces

  Γ( 1 ) = 4   2    2

∫

2

∞

e

−u2

0

  du = 4     

∫

∞

e

−u2

0

 du   

∫

∞

e

−u2

0

  du = 4     

∫ ∞

=4

∞

e 0

∫ ∫ 0

−u2

∞

 du   

∞

∫

0

2 + v2 )

e−(u

dudv

0

Si se hace el cambio a polares x = r cos(θ) , y = rsen(θ) se tiene π /2

 Γ( 1 )  2 

2

=4

∫ ∫ 0

Por tanto

1  Γ( 2 )

=

∞

e

π /2

−(r2 )

rdrdθ = −2

0

∫ ∫ 0

π.

17. Cálculo de

∫ Solución.

∞

2

e− t dt . 0

∞

2

e−(r )(−2r)drdθ = π . 0

 2 e− v dv   

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Integrales Dobles y Triples Pág.: 272 de 305

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2

∞

 I2 =   

∫ ∫ ∫

e

−u2

0

∞

=

0

  du =     

∞

∫

∞

e

−u2

0

 du   

∫

∞

e

−u2

0

  du =     

∫

∞

e

−u2

0

 du   

∫

∞

0

 2 e− v dv   

2 + v2 )

e−(u

dudv

0

Si se hace el cambio a polares x = r cos(θ) , y = rsen(θ) se tiene π /2

I2 =

∫ ∫ 0

Por tanto I =

∞

2

e−(r )rdrdθ = 0

π /2

∫ ∫

1 2

0

∞

2

e−(r )(2r)drdθ = 0

π . 4

π . 2

18. Sea f(x) la distribución normal con media µ y desviación estándar σ dada por

f(x) =

2  (x −µ)  − 1 . 2  σ  e

1 σ 2π

−∞ < x < ∞ .

Se quiere calcular el valor de

I=

∫

∞

1 −∞

σ 2π

2  (x −µ)  − 1 . 2  σ  e dx.

Si se hace el cambio y=

x−µ dx ⇒ dy = σ σ

se obtiene

I=

1 2π

∫

∞

e

− 1 y2 2 dy.

−∞

Sea 2

 ∞ − 1 y2   ∞ − 1 u2   ∞ − 1 v2   1  1  1  2 2  I = e dy = e 2 du  e 2 dv  =    2π  2π  2π   −∞   −∞   −∞   Si se hace el cambio a polares x = r cos(θ) , y = rsen(θ) se tiene

∫

 1  I = 2π   2

∞

∫ ∫

Por lo tanto I = 1 .

−∞

∫

∞

−∞

∫

 − 1 (u2 + v2 ) e 2 dudv 

 1  =  2π   

2π

∫ ∫ 0

∞

e 0

∞

∫ ∫ −∞

 − 1 (r2 ) 2 rdrdθ   

=

∞

e

 − 1 (u2 + v2 ) 2 dudv  .

−∞

1 .2π = 1 . 2π

 

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LA INTEGRAL TRIPLE

Integrales Dobles y Triples Pág.: 273 de 305

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3.8. LA INTEGRAL TRIPLE La definición de integral triple es análoga a la de integral doble. En el caso más simple consideremos una caja rectangular R acotada por 6 planos x= a0, x= a1, y = b0, y = b1, z = c0, z = c1; y sea u = f(x,y,z) una función de tres variables definida en todo (x,y,z) de R. Se subdivide el espacio en cajas rectángulares mediante planos paralelos a los planos coordenados. Sean B1, B2,......, Bn aquellas cajas de la subdivisión que contienen puntos de R. (ver figura 24)

Figura 24. Intuición geométrica de la integral triple

Se designa con V(Bi) el volumen de la i-ésima caja Bi. Se elige un punto de coordenadas Pi(ξi, ηi, γi) en Bi, esta elección se puede hacer en forma arbitraria. La suma n

∑

f(ξi, ηi, γi).V(Bi)

i=1 es una aproximación de la integral triple. La norma de subdivisión es la longitud de la mayor diagonal de las cajas B1, B2,....., Bn. Si las sumas anteriores tienden a un límite cuando la norma de la subdivisión tiende a cero y para elecciones arbitrarias de los puntos Pi, a este límite lo llamaremos la integral triple de f sobre R. La expresión

U.C.V.

LA INTEGRAL TRIPLE

Integrales Dobles y Triples Pág.: 274 de 305

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∫∫∫

f(x, y, z).dV

R se utiliza para representar el límite. Así como la integral doble es igual a dos integrales iteradas, también la integral triple es igual a tres integrales iteradas. Para el caso de la caja rectángular R se obtiene a1 b1 c1

∫∫∫

∫ ∫ ∫

f(x, y, z).dV =

a0

R

b0

f(x, y, z).dz.dy.dx .

c0

Observación 1. Las integrales iteradas se efectúan considerando todas las variables

constantes, excepto aquella respecto a la cual se integra. Este concepto se puede extender a n variables. Ejemplo 12. Evalúe la integral triple

∫∫∫

xyz2dV ,

B

donde B es la caja rectangular dada por B = {(x, y, z) / 0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3} . Solución.

∫∫∫

3

xyz dV = 2

2

∫∫ ∫ −1

0

B

1

xyz2dxdydz = 0

27 . 4

Ejemplo 13. Sea 2

4 − x2

−2

− 4 − x2

∫ ∫

∫

2

f(x, y, z)dzdydx . x2 + y2

Plantee en el orden dxdzdy. Solución. 0

2

z2 − y 2

−2

−y

− z2 − y 2

∫∫∫

2

f(x,y,z)dxdzdy +

2

∫∫∫ 0

y

z2 − y 2

f(x, y,z)dxdzdy. − z2 − y 2

CAMBIO DE VARIABLES EN LA INTEGRAL TRIPLE U.C.V.

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Integrales Dobles y Triples Pág.: 275 de 305 Prof. José Luis Quintero

3.9. CAMBIO DE VARIABLES EN LA INTEGRAL TRIPLE Sea T una transformación que delimita una región S en un espacio uvw sobre una región R en el espacio xyz por medio de las ecuaciones x = g(u, v, w) , y = h(u, v, w) , z = k(u, v, w). El jacobiano de T es el siguiente determinante de 3 × 3 : ∂x ∂x ∂x ∂u ∂v ∂w ∂(x, y, z) ∂y ∂y ∂y . = ∂(u, v, w) ∂u ∂v ∂w ∂z ∂z ∂z ∂u ∂v ∂w

Bajo las mismas hipótesis vistas en integrales dobles, se tiene la siguiente fórmula para integrales triples:

∫∫∫

f(x, y, z)dV =

R

∫∫∫

f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))

∂(x, y, z) dudvdw. ∂(u, v, w)

S

3.10. COORDENADAS CILÍNDRICAS En el sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P del espacio tridimensional está representado por la terna ordenada (r, θ, z), donde r y θ son las coordenadas polares de la proyección de P en el plano xy y z es la distancia dirigida del plano xy a P (ver figura 25). Para convertir de coordenadas cilíndricas a rectangulares se usan las ecuaciones dadas por x = r cos(θ) , y = rsen(θ) , z = z , mientras que, para convertir de coordenadas retangulares a cilíndricas se usan

r2 = x2 + y2 , tg(θ) = y / x , z = z. Estas coordenadas son preferidas cuando hay simetría alrededor de un eje. Ejemplo 14. Determine el punto con coordenadas cilíndricas (2, 2π / 3,1) y encuentre sus

coordenadas rectangulares. Solución.

x = 2 cos(2π / 3) = −1 , y = 2sen(2π / 3) = 3 , z = 1 .

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Figura 25. Sistema de coordenadas cilíndricas

Ejemplo 15. Determine las coordenadas cilíndricas del punto con coordenadas rectangulares (3, −3, −7) . Solución. r=

9 + 9 = 3 2 , θ = arctg(−1) =

7π 4

, z = −7 .

Ejemplo 16. Describa las siguientes superficies en coordenadas cilíndricas. a. b.

z = r . Un cono r = c. Un cilindro circular recto

c.

θ = c. Una recta que pasa por el origen

d.

z = c. Un plano horizontal.

Ejemplo 17. Encuentre la ecuación en coordenadas cilíndricas del elipsoide de ecuación

4x2 + 4y2 + z2 = 1. Solución.

4(x2 + y2 ) + z2 = 1 ⇒ 4r2 + z2 = 1 ⇒ z2 = 1 − 4r2 . Si se quiere realizar un cambio de variables en las integrales triples usando las coordenadas cilíndricas se tiene que x = r cos(θ) , y = rsen(θ) , z = z , entonces:

cos(θ) −rsen(θ) 0 ∂(x, y, z) = sen(θ) r cos(θ) 0 = r . ∂(r, θ, z) 0 0 1

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Por tanto

∫∫∫

β

f(x, y, z)dV =

h2 (θ)

∫∫ ∫ α

E

h1 (θ)

u2 (r cos(θ),rsen(θ))

f(r cos(θ),rsen(θ), z).rdzdrdθ. u1(r cos(θ),rsen(θ))

Ejemplo 18. Un sólido E está dentro del cilindro x2 + y2 = 1, debajo del plano z = 4 y arriba del paraboloide z = 1 − x2 − y2 . Calcule su volumen. Solución. 1

V=

∫ ∫ −1

1 − x2 − 1 − x2

∫

2π

4

dzdydx = 1 − x2 − y2

1

∫ ∫∫ 0

0

4

rdzdrdθ = 1 − r2

7 π. 2

3.11. COORDENADAS ESFÉRICAS Las coordenadas esféricas (ρ, θ, φ) de un punto P en el espacio se ilustra en la figura, donde ρ = OP es la distancia del origen a P, θ es el mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas y φ es el ángulo entre el semieje positivo z y el segmento de recta OP. Note que ρ ≥ 0 , 0 ≤ θ ≤ π (ver figura 260).

Figura 26. Sistema de coordenadas esféricas

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Las siguientes equivalencias permiten las transformaciones de coordenadas esféricas a rectangulares: x = ρsen(φ) cos(θ) , y = ρsen(φ)sen(θ) , z = ρ cos(φ) .

Por otro lado se tiene que

x2 + y2 + z2 = ρ2 . Ejemplo 19. El punto (2, 4π , 3π ) está dado en coordenadas esféricas. Halle el punto y encuentre sus coordenadas rectangulares. Solución.

x = 2sen( 3π ) cos( 4π ) =

6 2

, y = 2sen( 3π )sen( 4π ) =

6 2

, z = 2 cos( 3π ) = 1 .

Ejemplo 20. Describa cada una de las siguientes ecuaciones dadas en coordenadas esféricas. a. 5 ρ = c . Esfera b. c.

θ = c . Plano φ = c. Semicono superior

Ejemplo 21. Encuentre la ecuación en coordenadas esféricas, para el hiperboloide de dos hojas x2 − y2 − z2 = 1 .

Solución.

x2 − y2 − z2 = 1 ⇒ ρ2 [sen2 (φ) cos(2θ) − cos2 (φ)] = 1 . Ejemplo 22. Encuentre una ecuación rectangular para la superficie cuya ecuación esférica es ρ = sen(θ)sen(φ). Solución.

ρ2 = ρsen(θ)sen(φ) ⇒ x2 + y2 + z2 = y ⇒ x2 + (y − 12 )2 + z2 = Ejemplo 23. Evalúe

∫∫∫

(x2 + y2 + z2 )dV,

B

donde B es el sólido encerrado por la esfera x2 + y2 + z2 = 1. Solución. 2π

π

∫ ∫∫ 0

0

1

ρ4sen(φ)dρdφdθ = 0

4 π. 5

1 4

Esfera.

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Ejemplo 24. Evalúe

∫∫∫

x2 + y2 + z2 dV,

E

donde E está limitado abajo por el cono φ =

π 6

y arriba por la esfera ρ = 2.

Solución. 2π

π /6

∫ ∫ ∫ 0

0

2

ρ3sen(φ)dρdφdθ = 4π(2 − 3). 0

Ejemplo 25. El punto (0, 2 3, −2) está dado en coordenadas rectangulares. Encuentre sus coordenadas esféricas. Solución.

ρ2 = 0 + 12 + 4 = 16 ⇒ ρ = 4 , φ =

2π 3

, θ=

π 2

. Punto (4, 2π , 23π )

3.12. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES Todas las aplicaciones de integrales dobles se pueden extender de inmediato a integrales triples. Por ejemplo, si la función de densidad de un objeto sólido que ocupa la región E es ρ(x, y, z) , en unidades de masa por unidad de volumen, en cualquier punto (x,y,z) dado, entonces su masa es

m=

∫∫∫

ρ(x, y, z)dV

E

y sus momentos alrededor de los tres planos de coordenadas son

Myz =

∫∫∫

xρ(x, y, z)dV , Mxz =

E

∫∫∫

yρ(x, y, z)dV , Mxy =

E

E

El centro de masa está ubicado en el punto (x, y, z), donde

x=

Myz m

, y=

∫∫∫

Mxz m

, z=

Mxy m

.

zρ(x, y, z)dV .

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES U.C.V.

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Si la densidad es constante, el centro de masa del sólido se denomina centroide de E. Los momentos de inercia alrededor de los tres ejes de coordenadas son

Ix =

∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

(y2 + z2 )ρ(x, y, z)dV ,

E

Iy =

(x2 + z2 )ρ(x, y, z)dV ,

E

Iz =

(x2 + y2 )ρ(x, y, z)dV

E

La carga eléctrica total de un objeto sólido que ocupa una región E y que tiene densidad de carga σ(x, y, z) viene dada como

∫∫∫

σ(x, y, z)dV .

E

Si se tienen tres variables aleatorias continuas X, Y y Z, la función de densidad conjunta de ellas es una función de tres variables tales que la probabilidad de que (X,Y,Z) se encuentre en E es

P((X, Y, Z) ∈ E) =

∫∫∫

f(x, y, z)dV ,

E

en particular, se tiene que b

P(a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d,r ≤ Z ≤ s) =

d

∫ ∫ ∫ a

c

s

f(x, y, z)dzdydx . r

La función de densidad conjunta satisface que f(x, y, z) ≥ 0 y además ∞

∞

∞

−∞

−∞

−∞

∫ ∫ ∫

f(x, y, z)dzdydx = 1 .

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Ejemplo 26. Encuentre el centro de masa de un baul de madera de densidad constante igual a 1 cuya forma está limitada por el cilindro parabólico x = y2 y los planos x = z , z = 0 y x = 1 . Solución.

El sólido E se proyecta sobre el plano xy. Las superficies inferior y superior de E son los planos z = 0 y z = x . La masa viene dada por 1

m=

1

∫ ∫ ∫ y2

−1

x

dzdxdy = 0

4 . 5

Debido a la simetría de E y la función densidad alrededor del plano xz, se puede decir de inmediato que Mxz = 0 y, por lo tanto, y = 0 . Los otros momentos son 1

Myz =

1

∫ ∫ ∫ −1

y2

x

0

4 , Mxy = xdzdxdy = 7

En consecuencia, el centro de masa es  Myz Mxz Mxy , ,  m  m m

1

1

∫ ∫ ∫ −1

y2

x

zdzdxdy = 0

2 . 7

 5 5   =  , 0, . 7 14   

Ejemplo 27. Utilice coordenadas cilíndricas para calcular la masa del sólido ubicado en el

primer octante, que se encuentra dentro del cilindro de ecuación x2 + y2 = 4x y limitado superiormente por la esfera de ecuación x2 + y2 + z2 = 16 . La densidad volumétrica de masa en cada punto es igual al producto de las coordenadas del punto. Solución. Cilíndro: (x − 2)2 + y2 = 4 ⇒ x2 + y2 − 4x = 0 ⇒ r = 4 cos(θ) Esfera: x2 + y2 + z2 = 16 ⇒ z = 16 − x2 − y2 = 16 − r 2 . Jacobiano: r π /2

m=

∫ ∫ ∫ 0

1 = 2 =

π /2

0

4 cos(θ)

0

∫

16 − r2

r3 cos(θ)sen(θ)zdzdrdθ = 0

1 2

π /2

∫ ∫ 0

4 cos(θ)

(16 − r2 )r3 cos(θ)sen(θ)drdθ 0 π /2

 16.4 cos (θ) 4 cos (θ)   1  45 46 sen(θ) cos(θ)  dθ =  − cos6 (θ) + cos8 (θ)  −      4 6 2 6 6.8   0 4

4

6

1  45 46  45  1 1  45 1 128 − . =   =  − = 2  6 6.8  2  6 12  2 12 3

6

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EJERCICIOS RESUELTOS

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3.13. EJERCICIOS RESUELTOS 19. Sea T el sólido definido por

x2 + z2 ≤ y ≤ 2 + x2 + z2 . Plantee las integrales que permitan calcular el volumen del sólido en coordenadas cartesianas con: a. dV = dydxdz . Solución. 4 − z2

2

V=4

∫∫ 0

b.

0

∫

2 + x2 + z2

dydxdz . x2 + z2

dV = dxdydz . Solución.

V=4

y − z2

z +2

2

∫∫ ∫ z2

0

2

dxdydz + 4 0

y − z2

4

∫∫ ∫ z +2

0

dxdydz (y − 2)2 − z2

20. Un sólido, en el primer octante, está limitado por las superficies

x = 1 , y = 1 , z = 0 , z = 6 − x2 − y2 . Exprese las integrales iteradas que calculan el volumen del sólido en coordenadas cilíndricas.

Solución.

I=

π 4

sec(θ)

∫ ∫ ∫ 0

0

6 − r2

rdzdrdθ +

π 2

∫ ∫ ∫ π 4

0

csc(θ)

0

6 − r2

rdzdrdθ 0

21. Calcule el volumen del sólido que está sobre el cono φ =

π 3

ρ = 4 cos(φ) .

Solución. 2π

π /3

∫ ∫ ∫ 0

0

4 cos(φ)

ρ2sen(φ)dρdφdθ = 10π. 0

22. Sea la integral 2π

2

∫ ∫∫ 0

0

r

r 4z cos2 (θ)sen(θ)dzdrdθ 0

y debajo de la esfera

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EJERCICIOS RESUELTOS

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dada en coordenadas cilíndricas. Exprese la integral en coordenadas esféricas. Solución. 4 − x2

2

∫∫ ∫ − 4 − x2

−2

x2 + y2

2π

x yzdzdydx = 2

0

π /2

∫ ∫ ∫ π /4

0

2/sen(φ)

ρ6 sen4 (φ) cos(φ) cos2 (θ)sen(θ)dρdφdθ 0

23. Una integral triple sobre una región Q en el espacio, viene expresada mediante integrales iteradas en coordenadas cilíndricas por 2π

1

∫ ∫∫

I=

0

0

2π

4

r dzdrdθ + 3

0

2

∫ ∫∫ 0

1

5 −r

2π

3

∫ ∫∫

r dzdrdθ + 3

0

0

2

5 −r

r3dzdrdθ . 2

Exprese la integral I en coordenadas esféricas. Solución. Gráfico de la región (ver figura 27)

Figura 27. Gráfica del ejercicio 5

A = arctg( 14 ) ; B = arctg( 22 ) =

π 4

; C = arctg( 23 ) ; r2 = ρ2sen2 (φ)

z = 4 ⇒ ρ cos(φ) = 4 ⇒ ρ = 4 sec(φ) ; z = 5 − r ⇒ ρ cos(φ) = 5 − ρsen(φ) 5 ⇒ρ= cos(φ) + sen(φ) z = 2 ⇒ ρ cos(φ) = 2 ⇒ ρ = 2 sec(φ) ; x2 + y2 = 4 ⇒ ρ2 sen2 (φ) = 4 ⇒ ρsen(φ) = 2 ⇒ ρ = 2 csc(φ) 2π

I=

∫ ∫ 0

2π

arctg( 1 ) 4 0 π 2

∫ ∫ ∫ 0

π 4

∫

4 sec(φ)

2π

ρ sen (φ)dρdφdθ + 4

3

0 2π

ρ sen (φ)dρdφdθ + 4

3

∫ ∫ 0

∫

5 cos(φ) + sen(φ)

arctg( 1 ) 0 4 3 5 arctg( ) 2 cos(φ) + sen(φ)

0

2 csc(φ)

0

∫ ∫

π 4

π 4

∫

2 sec(φ)

ρ4sen3 (φ)dρdφdθ +

ρ4sen3 (φ)dρdφdθ

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EJERCICIOS RESUELTOS

Integrales Dobles y Triples Pág.: 284 de 305

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24. Calcule la integral

∫∫∫

(x2 + y2 + z2 )3

e

dV ,

T

sabiendo que T es el sólido comprendido entre las esferas x2 + y2 + z2 = 1 , x2 + y2 + z2 = 4 en el primer octante, utilizando coordenadas esféricas. Solución. π2

π2

∫ ∫ ∫ 0

0

2

1 3

3

eρ ρ2sen(φ)dρdφdθ = 1

π2

∫ ∫ 0

π2

3

eρ

2

sen(φ)dφdθ =

1

0

e8 − e 3

∫

π2

π2

− cos(φ) 0 dθ 0

(e − e)π = 6 8

25. Dadas las integrales que calculan el volumen de cierto sólido usando las

coordenadas

cilíndricas dadas por 2π

I=

1

∫ ∫∫ 0

0

2π

1

rdzdrdθ + r

4

∫ ∫ ∫ 0

1

4

rdzdrdθ , r

plantee la(s) integrale(s) que calculan su volumen en coordenadas: a. cartesianas proyectando en el plano xz. Solución. Proyección en xz: (usando simetría solo mostrando ¼ del sólido) (ver figura 28)

Figura 28. Región del ejercicio 7

  I = 4  

1

∫∫∫ 0

z2 − x2

1

x

4

dydzdx + 0

∫∫∫ 1

z2 − x2

4

x

1

dydzdx + 0

4

∫∫∫ 0

1

z2 − x2 1 − x2

  dydzdx   

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b. esféricas Solución.  I = 4  

π2

π4

∫ ∫ ∫ 0

0

sec(φ)

π2

ρ sen(φ)dρdφdθ + 2

0

∫ ∫ 0

π4

arctg(1/4)

∫

4 sec(φ)

csc(φ)

 ρ2sen(φ)dρdφdθ   

26. Plantee la integral triple que calcula el volumen del sólido definido por

x2 + y2 , 4 ≤ x2 + y2 ≤ 16 :

0≤z≤ a. Proyectando en el plano xy. Solución.

Gráfico de la región (ver figura 29)

Figura 29. Región del ejercicio 8

  4  

2

∫∫ 0

16 − x2 4 − x2

∫

x2 + y2

16 − x2

4

dzdydx + 0

∫∫ 2

0

∫

x2 + y2

0

  dzdydx   

b. En coordenadas esféricas. Solución.

x2 + y2 = 4 ⇒ ρ2sen2 (φ) cos2 (θ) + ρ2sen2 (φ)sen2 (θ) = ρ2sen2 (φ) = 4 ⇒ ρ = 2 csc(φ) x2 + y2 = 16 ⇒ ρ2sen2 (φ) cos2 (θ) + ρ2sen2 (φ)sen2 (θ) = ρ2sen2 (φ) = 16 ⇒ ρ = 4 csc(φ) π /2

4

π /2

∫ ∫ ∫ 0

π /4

4 csc(φ)

ρ2sen(φ)dρdφdθ 2 csc(φ)

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27. Sea S1 el sólido limitado por las superficies

z=

x2 + y2 , z = 1 + 1 − x2 − y2 .

Sea S2 el sólido definido mediante las desigualdades dadas por z ≥ 0 , z ≤ 3 − x2 + y2 , x2 + y2 ≤ 4 . Sea S el sólido definido como S = S2 − S1 . Plantee, mediante integrales triples, el volumen de S usando coordenadas:

a. Cilíndricas. Solución. Volumen de S1 : 2π

1

∫ ∫∫ 0

0

1 + 1 − r2

rdzdrdθ . r

Volumen de S2 : 2π

2

∫ ∫∫ 0

0

3 −r

rdzdrdθ . 0

Volumen de S: 2π

2

∫ ∫∫ 0

0

3 −r

2π

rdzdrdθ − 0

1

∫ ∫∫ 0

0

1 + 1 −r2

rdzdrdθ . r

b. Esféricas. Solución. Volumen de S1 : 2π

π /4

∫ ∫ ∫ 0

0

2 cos(ϕ)

ρ2sen(ϕ)dρdϕdθ . 0

Volumen de S2 : 2π

∫ ∫ 0

arctg(2)

0

∫

3/(cos(ϕ) + sen(ϕ))

2π

ρ2sen(ϕ)dρdϕdθ + 0

∫ ∫ 0

π /2

arctg(2)

∫

2 /sen(ϕ)

ρ2sen(ϕ)dρdϕdθ . 0

Volumen de S: Volumen de S2 - Volumen de S1 . 28. Sea S el sólido definido por 1 z ≥ (x2 + y2 ) 3

;

x2 + y2 ≤ 9

;

x2 + y2 + (z − 5)2 ≤ 25 .

Plantee las integrales que permitan calcular el volumen del sólido S utilizando coordenadas:

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a. Cartesianas en el orden dydxdz. Solución. Gráfico de la región (ver figura 30)

Figura 30. Proyección del sólido en el plano xz

3

3z − x2

3z

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

V=4

dydxdz + 4

0

0

9

0

0

3

∫∫∫ 3

25 − (z − 5)2

10

4

9

0

9 − x2

dydxdz +

0

25 −(z − 5)2 − x2

dydxdz

0

b. Cilíndricas con proyección en el plano xy. Solución. 2π

V=

3

∫ ∫∫ 0

0

5 + 25 − r2

rdzdrdθ

1 r2 3

29. Sea T el sólido definido por

z ≥ x2 + y2

;

x2 + y2 ≤ 9

;

z ≤ 9 + x2 + y2 .

Plantee las integrales que permitan calcular el volumen del sólido S utilizando coordenadas: a. Esféricas. Solución. Gráfico de la región (ver figura 31)

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Figura 31. Identificación del ángulo respecto al eje z positivo

Ecuaciones esféricas:

ρ=0  z = x2 + y2 ⇒ ρ cos(φ) = ρ2sen2 (φ) ⇒ ρ ρsen2 (φ) − cos(φ) = 0 ⇒    ρ = ctg(φ) csc(φ) x2 + y2 = 9 ⇒ r = 3 ⇒ ρ = 3 csc(φ) z = 9 + x2 + y2 ⇒ ρ cos(φ) = 9 + r ⇒ ρ cos(φ) = 9 + ρsen(φ) ⇒ ρ = π /2

V=4

π /2

∫ ∫ ∫ ∫ 0

arctg(1/3)

π /2

0

π /2

ρ sen(φ)dρdφdθ + 4 2

0

arctg(1/4)

+4

0

∫

ctg(φ) csc(φ)

∫ ∫ 0

∫

arctg(1/3)

arctg(1/4)

∫

9 cos(φ) − sen(φ)

3 csc(φ)

ρ2sen(φ)dρdφdθ

0

9 /(cos(φ) − sen(φ))

ρ2sen(φ)dρdφdθ

0

b. Cartesianas en el orden dzdydx. Solución.   V = 4  

9 − x2

3

∫∫ ∫ 0

0

9 + x2 + y2

x2 + y2

  dzdydx   

30. Sea T el sólido definido por

x2 + y2 ≤ 6x

;

x2 + y2 ≥ z

;

z ≥ 0.

Use coordenadas cilíndricas para calcular su volumen. Solución. Ecuaciones cilíndricas: r =0  x2 + y2 = 6x ⇒ r2 = 6r cos(θ) ⇒ r r − 6 cos(θ) = 0 ⇒  r = 6 cos(θ)  z=

x2 + y2 ⇒ z = r

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EJERCICIOS RESUELTOS

Integrales Dobles y Triples Pág.: 289 de 305

CÁLCULO III (0253) - TEMA 3

Prof. José Luis Quintero

F.I.U.C.V.

π /2

V=

∫ ∫ ∫ ∫ −π /2

=

1 6

6 cos(θ)

0

6 cos(θ)

r3

0

−π /2

= 144

0

rdzdrdθ =

0

π /2

π /2

∫

r

dθ =

216 6

1 2

∫

π /2

∫ ∫ −π /2

6 cos(θ)

1 2

r

r z 0 drdθ =

0

π /2

cos3 (θ)dθ = 144

−π /2

∫

π /2

∫ ∫ −π /2

6 cos(θ)

r2drdθ

0

π /2

cos3 (θ)dθ

0 π /2

 sen3 (θ)  (1 − sen2 (θ)) cos(θ)dθ = 144 sen(θ) −  3   0 π /2

 sen3 (θ)  = 144 sen(θ) −  3  0

1  144.2 288  = 144 1 −  = = = 96 3 3 3 

31. Sea T el sólido definido por

z ≤ 2 + 4 − x2 − y2   x2 + y2 ≤ 4

si 2 ≤ z ≤ 4 si 0 ≤ z ≤ 2

.

a. Plantee la(s) integral(es) que permite(n) calcular el volumen de T en coordenadas: a.1. cartesianas en el orden dxdydz. Solución.

  4  

2

∫∫∫ 0

4 − y2

2

0

4 − (z − 2)2

4

dxdydz + 0

∫ ∫ 2

∫

0

4 − y2 − (z − 2)2

0

  dxdydz   

a.2. esféricas. Solución.  π2 4   0

π2

∫ ∫ ∫ π /4

2 sen(φ)

π2

ρ2sen(φ)dρdφdθ + 0

π4

∫ ∫ ∫ 0

0

a.3. cilíndricas con proyección en xy. Solución. π2

4

2

∫ ∫∫ 0

0

2 + 4 − r2

rdzdrdθ 0

b. Calcule el volumen de T. Solución.

V = 8π +

2 16  40  π.8 =  8 + π = 3 π 3 3  

4 cos(φ)

0

 ρ2 sen(φ)dρdφdθ   

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EJERCICIOS RESUELTOS

Integrales Dobles y Triples Pág.: 290 de 305

CÁLCULO III (0253) - TEMA 3

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32. Utilice coordenadas cilíndricas para calcular la masa del sólido ubicado en el primer octante que se encuentra dentro del cilindro x2 + y2 = 4x y limitado superiormente por la esfera

x2 + y2 + z2 = 16 . La densidad volumétrica de masa en cada punto es igual al producto de las coordenadas del punto. Solución. Cilindro:

r =0  . x2 + y2 = 4x ⇒  r = 4 cos(θ) Semiesfera superior :

x2 + y2 + z2 = 16 ⇒ z = 16 − r2 . Densidad:

ρ(x, y, z) = xyz ⇒ r2 cos(θ)sen(θ)z . π /2

m=

4 cos(θ)

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 0

=

1 2

1 = 2 =

1 2

1 = 2 =

0

π /2

16 − r2

r3 cos(θ)sen(θ)zdzdrdθ

0

4 cos(θ)

r3 cos(θ)sen(θ)(16 − r2 )drdθ

0

0

π /2

4 cos(θ)

0

0

π /2

0

π /2

0

1 cos(θ)sen(θ)(16r − r )drdθ = 2 3

5

∫

π /2

0

dθ

  46 cos(θ)sen(θ)  45.cos4 (θ) − cos6 (θ)  dθ   6  

 5  46 5 cos7 (θ)  sen(θ)dθ =  4 cos (θ) −  6  

∫

1

5

8

4

8

8

8

0

7

33. Sea T el sólido homogéneo definido por

x2 + y2 + z2 ≤ 9

;

x2 + y2 + (z − 3)2 ≤ 9 .

Usando coordenadas esféricas calcule su masa. Solución.

Intersecciones:  x2 + y2 + z2 = 9 9 3 ⇒ x2 + y2 + z2 − 6z = 0 ⇒ 9 − 6z = 0 ⇒ z = =  2 2 2 6 2 x + y + (z − 3) = 9

Curva Inter sec ción : x2 + y2 =

1

 9 5 45 7   29 6 45 8  u  du =  u − u   2 u −   3 3.8     6 0

2 4 2 4 2 2 2 2 256 − 128 128 − = − = − = − = = 6 3.8 3 3.2 3 3.2 3 3 3 3 9

4 cos(θ)

 r6  cos(θ)sen(θ)  4r 4 −   6   0

27 3 ; z= 4 2

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EJERCICIOS RESUELTOS

Integrales Dobles y Triples Pág.: 291 de 305

CÁLCULO III (0253) - TEMA 3

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Ecuaciones esféricas:

x2 + y2 + z2 = 9 ⇒ ρ = 3

;

ρ=0  x2 + y2 + (z − 3)2 = 9 ⇒ ρ2 − 6ρ cos(φ) = 0 ⇒  ρ = 6 cos(φ)

Gráfico de la región (ver figura 32)

Figura 32. Identificación del ángulo respecto al eje z positivo  m = k    = k  

2π

π /3

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 0

0

2π

3 2

0

0

3

sen(φ)dφ

ρ2dρ +

0

3  3 216 π /3  ρ  = k 2π.  − cos(φ)0 .   + 3 3    0 

 = k 9π + 18 

∫

2π

0

π /3

0

π /3

dθ

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

6 cos(φ)

ρ sen(φ)dρdφdθ +

0

2π

π /2

1 3

2π

0

2π

0

π /2

π /3

0

π /2

π /3

 ρ2sen(φ)dρdφdθ   6 cos(φ)

sen(φ) ρ3   0

 dφdθ 

  72 cos3(φ)sen(φ)dφdθ = k 9π + 4  

∫

2π

0

 π /2  − cos4(φ) dθ    π /3 

 1 9π  45πk  dθ = k 9π + = 16 4  4  

34. Sea T el sólido homogéneo definido por

x2 + y2 + z2 ≤ 16

;

x2 + y2 + (z − 2)2 ≥ 4 .

Use coordenadas esféricas para calcular el momento alrededor del plano xy

( Mxy ).

Solución. Intersecciones:  x2 + y2 + z2 = 16 ⇒ x2 + y2 + z2 − 4z = 0 ⇒ 16 − 4z = 0 ⇒ z = 4  2 2 2 x + y + (z − 2) = 4

Curva Inter sec ción : x2 + y2 = 12 ; z = 4

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EJERCICIOS RESUELTOS

Integrales Dobles y Triples Pág.: 292 de 305

CÁLCULO III (0253) - TEMA 3

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Ecuaciones esféricas: x2 + y2 + z2 = 16 ⇒ ρ = 4

x2 + y2 + (z − 2)2 = 4 ⇒ ρ2 − 4ρ cos(φ) = 0

;

ρ=0  ⇒ ρ = 4 cos(φ) 2π

Mxy = k

π /2

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 0

=

=

=

k 4

k 4

π /2

0

0

2π

44 k 4

0

π /2

2π

π /2

0

sen(φ) cos(φ)dφdθ −

44 k 4

2π

0

π

k sen(φ) cos(φ)  44 − 44 cos4 (φ) dφdθ +   4

4

sen(φ) cos(φ) ρ4  dφdθ  0

2π

π

π /2

0

sen(φ) cos(φ) 44  dφdθ  

π /2

sen(φ) cos5 (φ)dφdθ

0

0

π

sen(φ) cos(φ)dφdθ

π /2

2π

0

ρ3sen(φ) cos(φ)dρdφdθ

4 k sen(φ) cos(φ) ρ4  dφdθ +   4 cos(φ) 4

0

2π

4

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 0

π /2

0

44 k = 8 =

0

2π

44 k 4 +

π /2

π

ρ sen(φ) cos(φ)dρdφdθ + k 3

4 cos(φ)

0

2π

0

2π

4

π /2

sen2 (φ)  0

44 k dθ + 24

∫

2π

0

π /2

cos6 (φ)  0

44 k dθ + 8

∫

2π

0

π

sen2 (φ) dθ   π /2

2π.4 k 2π.4 k 2π.4 k 2π.4 k π.4 k π.4 k 64πk − − =− =− =− =− 8 24 8 24 12 3 3 4

4

4

4

4

3

35. Utilice un cambio de variable adecuado para calcular la masa de la región de densidad ρ(x, y, z) = xyz que se encuentra limitada por las superficies

xy = 1 , xy = 9 , xz = 4 , xz = 9 , yz = 9 , yz = 16 . Solución. Cambios de variables: u = xy , v = xz , w = yz . Cálculo del jacobiano J(x,y,z):

J(x, y, z) =

∂u ∂x

∂u ∂y

∂u ∂z

∂v ∂x

∂v ∂y

∂v ∂z

∂w ∂x

∂w ∂y

∂w ∂z

y x 0 = z 0 x = −2xyz . 0 z y

Superficies: u = 1 , u = 9 , v = 4 , v = 9 , w = 9 , w = 16 . 9

m=

1 2

9

∫∫∫ 1

4

16

dwdvdu = 140 . 9

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EJERCICIOS RESUELTOS

Integrales Dobles y Triples Pág.: 293 de 305

CÁLCULO III (0253) - TEMA 3

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36. Sea Q el sólido definido por

z ≤ 16 − x2 − y2 , z ≥ 0 , x2 + y2 ≥ 4 , x2 + y2 ≤ 8 . Considerado el sólido Q homogéneo: a. Exprese su masa en coordenadas cartesianas en el orden dxdydz. Solución. Gráfico de la región (ver figura 33)

Figura 33. Región del ejercicio 18 2 2

V=4

4

8 − y2

2

∫ ∫∫

2 2

dxdydz + 4

0

0

4 − y2

2 3

2

16 − y2 − z2

∫ ∫∫ 2 2

∫ ∫ ∫ 0

dxdydz + 4

dxdydz +

2

∫ ∫ 2 2

0

16 − z2

2 3

4 − y2

0

8 − y2

2 2

2

∫

16 − y2 − z2

dxdydz 0

b. Calcule el momento de inercia respecto al eje z. Solución.

Iz =

∫∫∫

2π

(x + y )ρ(x, y, z)dV = k 2

2

2π

=k

∫ ∫ ∫ ∫ 0

2π

=k

0

∫ ∫ ∫ 0

Q

16 − r2

2 2

2

r3dzdrdθ 0

2 2

r3 16 − r2 drdθ 2 2 2

2 2

r 2

3

 (16 − r2 )5 /2 16(16 − r2 )3 /2  16 − r drdθ = 2πk  −  5 3  2 2

2 2

 85 /2 16(8)3 /2 125 /2 16(12)3 /2  = 2πk  − − +  3 5 3  5 2

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EJERCICIOS RESUELTOS

Integrales Dobles y Triples Pág.: 294 de 305

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37. Sea W un sólido limitado por las superficies

z = − x2 + y2

,

x2 + y2 = 1

,

z = 1 + 1 − x2 − y2 .

a. Plantee la(s) integral(es) que permite(n) calcular el volumen del sólido W en coordenadas: a.1. cartesianas en el orden dxdydz. Solución. Proyección en el plano yz usando simetría (ver figura 34)

Figura 34. Proyección plano yz usando simetría del ejercicio 19 1 − (z −1)2

2

∫∫ ∫ ∫∫∫

1 − y2 − (z −1)2

V=4

4

1

0

0

1

−z

dxdydz + 4

0

1 − y2

dxdydz + 4

−1

1

0

∫∫∫ 0

0

−z

∫∫ ∫ −1

0

1

0

1 − y2

0

1 − y2

dxdydz z2 − y2

dzdydx. Solución. Proyección en el plano xy usando simetría (ver figura 35)

dxdydz +

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EJERCICIOS RESUELTOS

Integrales Dobles y Triples Pág.: 295 de 305

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Figura 35. Proyección plano xy usando simetría del ejercicio 19 1 − x2

1

V=4

∫∫ ∫ 0

1 + 1 − x2 − y2

dzdydx

− x2 + y2

0

a.2. esféricas. Solución. Ecuaciones esféricas:

ρ=0  x2 + y2 + (z − 1)2 = 1 ⇒ ρ(ρ − 2 cos(φ)) = 0 ⇒  ρ = 2 cos(φ)  x2 + y2 = 1 ⇒ ρ = csc(φ)

 V = 4  

π /2

π /4

∫ ∫ ∫ 0

0

2 cos(φ)

π /2

ρ sen(φ)dρdφdθ + 2

0

3 π /4

∫ ∫ ∫ 0

π /4

csc(φ)

0

 ρ2sen(φ)dρdφdθ   

b. Calcule el volumen de W. Solución. Usando geometría elemental: V =

2π π 7π . + 2π − = 3 3 3

38. Pruebe que

∫∫∫

2 + y2 + z2 )3 / 2

e−(x

dV =

4π . 3

R3

Solución.

∫∫∫ R3

e

−(x2 + y2 + z2 )3 /2

dV = lím 2π m → +∞

∫

π

sen(φ)dφ 0

∫

m 3

3 4π 0 4π (e − e−m ) = . m →+∞ 3 3

e−ρ ρ2dρ = lím 0

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EJERCICIOS PROPUESTOS

Integrales Dobles y Triples Pág.: 296 de 305

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3.14. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Dibuje la región de integración y calcule las integrales dobles siguientes: a.

∫∫

xydxdy, donde S es la región limitada por las gráficas de las ecuaciones y = 3x ,

S

x = 1 y el eje x. b.

∫∫

Rta.

9 8

y − xdxdy , donde S es la región limitada por las rectas de ecuaciones x = y

S

x = 2y , y = 1 , y = 2. c.

∫∫ S

xdxdy 1+ x + y 2

Rta. −1 +

2

Rta.

7 6

{

, donde S es la región S = (x, y) / 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤

x2 2

}.

5 ln(5) 4

2. Las integrales iteradas que se dan a continuación, son en cada caso las integrales dobles

de ciertas funciones en regiones del plano xy, para cada una de ellas, dibuje la región de integración y exprese la integral doble mediante integrales iteradas cambiando el orden de integración: a.

b.

2

4 − y2

−2

− 4 − y2

∫ ∫ ∫ ∫

Rta.

f(x, y)dxdy

4

x+4

−1

x2 − 2x

f(x, y)dydx

Rta.

2

4 − x2

−2

− 4 − x2

3

1 + y +1

∫ ∫ ∫ ∫ −1

f(x, y)dydx 8

f(x, y)dxdy + 1 − y +1

∫∫ 3

1 + y +1

f(x, y)dxdy y−4

3. Calcule las siguientes integrales, bien sea directamente, mediante algún cambio de variables conveniente, o invirtiendo el orden de integración: 1

a.

∫∫ ∫∫ ∫∫ 0

2

b.

1

1

c.

0

1

4 y − x3 dxdy

Rta.

11 7

Rta.

5 6

0

y2

dxdy y 1− x

y

e y + x dydx 0

Rta.

1 (e 2

− 1)

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EJERCICIOS PROPUESTOS

Integrales Dobles y Triples Pág.: 297 de 305

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∫∫

d.

exy dxdy , donde S es la región del primer cuadrante limitada por las curvas de

S

ecuaciones xy = 2, xy = 4, x = y, y = 8x. Rta.

∫∫

e.

3 (e4 2

− e2 )ln(2)

dxdy , donde S es la región encerrada por la curva de ecuación igual a

x2 y2 + = 1. 16 4

S

Rta. 8π f.

∫∫

(x − y)2 cos2 (x + y)dxdy , donde S es el paralelogramo de vértices dados por (π, 0) ,

S

(2π, π), (π, 2π), (0, π). Rta. 4−x

4

g.

∫ ∫ ∫∫ ∫∫ 0

e

0

i.

dydx .

Rta. 4(e − 1e )

0

1

h.

y−x y+x

π4 3

2

ey /x dxdy .

Rta. 2 2e

− 4e

2 /2

2 /2

+3

2y

e(y − x)/(y + x)dA , donde S es el interior del triángulo con vértices (0,0), (0,1) y (1,0).

S

Rta.

1 4

(e − 1e )

4. Calcule la integral 1

∫∫ 0

Rta.

1

tg(x2 )dxdy . y

1 ln(sec(1)) 2

5. Utilice coordenadas polares para calcular

∫∫

x2 + y2 − 4 dA ,

S

donde la región S está definida por x + y2 ≤ 9 . 2

6. Usando integrales dobles halle el volumen del sólido acotado por las gráficas de las

siguientes funciones sobre la región del plano xy cuyos linderos se indican: a.

f(x, y) = x2 + y2 , x = 0 , x = 2 , y = 0 , y = 2

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b.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Integrales Dobles y Triples Pág.: 298 de 305

CÁLCULO III (0253) - TEMA 3

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f(x, y) = 1 − x − y , x = 0 , y = 0 , x + y = 1

7. Calcule

∫∫

e

y arctg   x  dxdy

,

S

donde

región en el primer cuadrante limitada por x + y = 1, x + y = 4 y las rectas y = x, y = 3x . 2

S

2

es

la

2

las

circunferencias

2

8. Calcule

∫∫

2

2  y e(x + y)  1 +  dA , x 

S

donde la región S está limitada por las curvas de ecuaciones y = x ; y = 2x ; x + y = 1 ; x + y = 2 . 9. Halle el volumen de la región que está limitada por el plano xy, el plano x + y + z = 2 y el

cilindro parabólico y = x2 .

Rta.

81 20

10. Halle el volumen del sólido S, si S está limitado por el cono z2 = x2 + y2 y el cilindro

x2 + y2 − 2y = 0 .

Rta.

64 9

11. Halle el volumen de S, si S está limitado por el cilindro x2 + y2 = 4 y el hiperboloide

x2 + y2 − z2 = 1 .

Rta. 4 3π

12. Halle el volumen del solido limitado superiormente por la superficie esférica de ecuación

x2 + y2 + z2 = 4 , inferiormente por el plano xy y lateralmente por el cilindro x2 + y2 = 1 . Rta.

2 (8 3

− 3 3)π

13. Encuentre el área de la región en el primer cuadrante del plano xy limitado por las curvas

x2 + 2y2 = 1, x2 + 2y2 = 4, y = 2x, y = 5x .

Rta.

3 2 2

arctg( 72 )

14. Sea R el triángulo acotado por x = 0, y = 0 , x + y = 1 . Haga la sustitución dada por x + y = u, y = uv y demuestre que

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EJERCICIOS PROPUESTOS

Integrales Dobles y Triples Pág.: 299 de 305

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∫∫

e− x − y xa−1yb −1dxdy

R

puede reducirse al producto de integrales sencillas. 15. Evalúe la integral

I=

∫∫

1−

x2 a2

−

y2 b2

dxdy , a > 0 , b > 0 ,

R

donde la región R es la región limitada por la elipse x2 y2 + = 1. a2 b2 Rta. 23 πab 16. Grafique la región S que está acotada por las curvas

x = −y2 , x = 2y − y2 , x = 2 − y2 − 2y y utilice el cambio de variables

x =u−

(u + v)2 u+v , y= 4 2

para calcular

∫∫

(x + y2 )dxdy . Rta.

1 6

.

S

17. Encuentre el área de la región encerrada por la curva de ecuación polar r = 2 cos(2θ) que es exterior a r = 3 .

18. Calcule

∫∫

xy 1 + x2 y2

dA ,

S

donde la región S está limitada por las curvas de ecuaciones 1 5 x= ; y= ; x −1 = 0 ; x = 5. y x

19. En los problemas siguientes halle el centro de masa de las láminas acotadas por las gráficas dadas y densidad que se indica: a. y = ln(x) , x = 1 , x = 2 , ρ(x, y) = 1 / x , y = 0

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b.

y = 2 / x , x = 1 , x = 2 , ρ(x, y) = x2

c.

y = 1 − x2 , y = 0 , y = x , ρ = 1

20. Calcule el momento de inercia de la superficie limitada por la hipérbola xy = 4 y la recta

x + y = 5 con respecto a la recta y = x .

Rta. 16 ln(2) − 9 38

21. Para las láminas limitadas por las curvas que se indican halle el momento polar de inercia I0 . a.

y = 1 − x2 , y = 0 , ρ(x, y) = y

b.

y=

x , y = x2 , ρ(x, y) = x

22. Grafique la región limitada por las curvas

4y − x2 = 8

y + 2x2 = −1

,

,

y = 6 x −9

Plantee las integrales que permiten calcular: a. El área de la región b. El centro de masa c. El momento polar de inercia 23. Calcule las siguientes integrales dobles impropias: a.

∫∫ S

dxdy x2 + y2

x2 + y2 = 4 . b.

∫∫ ∫∫

, donde S es la región limitada por la circunferencia de ecuación

Rta. 4π

dxdy (1 + x2 + y2 )2

. Rta. π

R2

c.

dxdy xy

, donde S = 0, 2 × 0, 2

Rta. 8

S

24. Calcule la integral impropia

∫∫

2 + y2 )

e−(x

dxdy ,

R2

extendida a todo el plano R2 y luego utilice el resultado encontrado para calcular la integral impropia

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∞

∫

2

e−x dx . −∞

(Esta última integral es importante en Estadística y se trata de la distribución normal). Rta. π,

π

25. Sea T el sólido formado por la región interior de x2 + y2 = 9 , exterior a x2 + y2 + z2 = 9 , por abajo de z = 2 x2 + y2 y sobre el plano xy. Halle el volumen de T. 26. Calcule

∫∫∫

1 x + y2 + z2 2

Q

dv ,

donde Q es el sólido limitado por las superficies z = 1, z2 = x2 + y2 , siendo z ≥ 0 . 27. Sea T el sólido formado por la región interior del cilindro x2 + y2 = 9 , bajo el cono z=

x2 + y2 y sobre el paraboloide z =

1 2 (x + y2 ) . Calcule el volumen de T. 6

28. Exprese en coordenadas cilíndricas 3

9 − x2

−3

− 9 − x2

∫ ∫

∫

3 + 9 − x2 − y2

xdzdydx . 3

29. Exprese en coordenadas esféricas 1 − x2

1

∫∫ 0

0

∫

1 − x2 − y2

x2 + y2 + z2 dzdydx . 0

30. Exprese en coordenadas cartesianas π /2

4

π /2

∫ ∫ ∫ 0

31. Exprese el volumen del sólido

π /6

4

ρ2senφdρdφdθ . 0

x2 + y2 ≤ 9 ,

z ≥ x2 + y2 ,

z ≤ 9 + x2 + y2

utilizando

integrales triples en coordenadas cartesianas, cilíndricas, esféricas.

32. Plantee la integral que permite calcular el volumen del sólido limitado por las superficies

4 − z = x2 + y2 , z − 2 = x2 + y2 en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

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33. Sea Q el sólido formado por

x2 + y2 ≤ 1 ; 1 − x2 − y2 ≤ z ≤ 1 + x2 + y2 Plantee las integrales que permiten calcular el volumen del sólido en: a. cartesianas dxdzdy

b. cilíndricas

34. Sea S el sólido formado por

z ≥ x2 + y2 ; x2 + y2 ≤ 2 ; x2 + y2 + z2 ≤ 11 Plantee las integrales que permiten calcular el volumen del sólido en: a. cartesianas dzdydx

b. cartesianas dydxdz

c. cilíndricas

35. Sea Q el sólido homogéneo definido por

x2 + y2 + z2 ≥ 6z − 5 ; z ≤ 5 − x2 + y2 ; z ≥ 0 Plantee las integrales que permiten calcular el volumen del sólido Q: a. Proyectando en el plano xy

b. proyectando en el plano yz

36. Sea Q el sólido definido por

0 ≤ z ≤ 4 − x2 + y2 ; x2 + y2 ≥ 4 Plantee las integrales que permiten calcular el volumen del sólido Q: a. En el orden dxdzdy

b. en coordenadas cilíndricas

37. Sea la integral triple 2

I=

∫∫

2x − x2

− 2x − x2

0

∫

4 − x2 − y2

(x2 + y2 + z2 )dzdydx

0

Plantee la integral I en coordenadas cilíndricas. 38. Plantee la integral que permite calcular el volumen del sólido limitado por las superficies

4 − z = x2 + y2 , z − 2 = x2 + y2 en coordenadas cartesianas y cilíndricas. 39. Usando coordenadas cilíndricas calcule el volumen del cuerpo limitado por la esfera

x2 + y2 + z2 = 4 y la superficie del paraboloide x2 + y2 = 3z . 40. Dadas las siguientes superficies que definen el sólido T z≥

x2 + y2

;

x2 + y2 ≤ 9

;

z≤

9 − x2 − y2 + 6 :

a. Plantee la integral que permite calcular el volumen del sólido en coordenadas cartesianas.

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b. Plantee las integrales para el cálculo del centro de masa del sólido T. 41. Usando coordenadas esféricas halle el volumen del sólido sobre el cono z2 = x2 + y2 e interior a la esfera x2 + y2 + z2 = 2az .

Rta. πa3

42. Calcule

∫∫∫

3 /2

 x2 y2 z2   1 − 2 − 2 − 2  a b c  

dxdydz ,

R

donde R es la región encerrada por el elipsoide x2 y2 z2 + + = 1 . Rta. a2 b2 c2

1 3

π2 abc

43. Un sólido ocupa la región T del espacio definida por

z ≤ 6 − x2 + y2 , z ≥ 3 − 9 − x2 − y2 , x2 + y2 ≥ 1 . a. Exprese utilizando integrales triples el volumen de T. b. Exprese utilizando integrales triples las coordenadas del centro de masa. 44. Halle el centroide de un objeto limitado por los planos coordenados, el plano x + y = 1 y el paraboloide z = 4 − x2 − 4y2 . Rta. ( 33 , 27 , 5 ) 95 95 3 45. Halle el momento de inercia con respecto al eje z del sólido homogéneo dentro del cilindro

x2 + y2 − 2x = 0 , bajo el cono x2 + y2 = z2 y sobre el plano xy. Rta.

512 k 75

46. Calcule las siguientes integrales triples impropias: a.

∫∫∫ T

dV x + y2 + z2 2

x + y2 + z2 = 1 . 2

b.

∫∫∫ T

,

T

es

la

esfera

sólida

limitada

por

la

superficie

Rta. 2π

dV (x + y2 + z2 )3 2

donde

, donde T es la reunión de la frontera y del exterior de la esfera

{

}

sólida del ejercicio a, esto es T = (x, y, z) ∈ R 3 / x2 + y2 + z2 ≥ 1 . Rta.

4π 3

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BIBLIOGRAFÍA

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