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• Gloria Santos

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Universidad Industrial de Santander Escuela de Matem´aticas ´ CALCULO III 28 de enero de 2020. Nombre:

Ejercicios Lista 4. Funciones multivariables Prof. Jorge E. G´omez R´ıos

C´ odigo:

Grupo:

Derivadas parciales 1. Si f (x, y) =

Z

y x

(2t − 1) dt, hallar f (1, 2), fx (x, y), fy (x, y), fxy (x, y), fyx (x, y), fx (1, 2).

2. Determine una funci´on f tal que fx (x, y) = y + 1 y fy (x, y) = y 2 + x. 3. Determine los signos de las derivadas parciales de la funci´on f cuya gr´afica se ilustra. Derivada parcial fx (1, 2) fy (1, 2) fxx (1, 2) fyy (1, 2) fxy (1, 2)

signo

4. Encuentre el punto sobre la superficie z = y 2 − x2 donde el plano tangente es perpendicular a la recta x = 2t − 5, y = 2t + 7, z = 1 − t. 5. Muestre que todo plano tangente al cono z 2 = x2 + y 2 pasa por el origen. ¿Qu´e puede decir del plano tangente en el punto (0, 0, 0)?. 6. La temperatura en un punto (x, y) es T (x, y) medida en grados Celsius. Una part´ıcula se desplaza por el √ 1 plano, modo que su posici´on en el instante t (en segundos) est´a dada por x(t) = 1 + t y y(t) = 2 + t 3 (en cent´ımetros). La expresi´on anal´ıtica de la funci´on T no es conocida, pero se sabe que Tx (2, 3) = 4 y Ty (2, 3) = 3. ¿Con qu´e rapidez est´ a subiendo la temperatura en la trayectoria de la part´ıcula en el instante t = 3 s? 7. Sea T (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 la temperatura en cada punto P (x, y, z) de un dep´osito en el que se realiza una experiencia que dura 1 minuto. La experiencia comienza en el instante t = 0s cuando se introduce en el dep´

osito una part´ıcula, que se desplaza dentro del habit´aculo describiendo una curva definida por r(t) = 4 cos(πt), sen(πt), 6t , donde t representa el tiempo medido en segundos. (a) ¿A qu´e temperatura se encuentra la part´ıcula cuando transcurren 20s?

(b) En ese momento, ¿cu´ al es la raz´ on de cambio de la temperatura a la que se encuentra la part´ıcula, respecto al tiempo? (c) Cuando la part´ıcula se encuentra en el punto P ′ (4, 0, 7), ¿cu´al es la raz´on de cambio de T respecto al tiempo? 8. Sea f (x, y) =

(

xy + y2) 0

2 (x2

si (x, y) 6= (0, 0) si (x, y) = (0, 0)

(a) ¿Existen las derivadas parciales en (0, 0)? (b) ¿f es derivable en (0, 0)? (c) ¿Es cierto que si f es una funci´on de dos variables tal que (a, b) ∈ Df y sus derivadas parciales existen en (a, b), entonces f es derivable en (a, b)?