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TRABAJO COLABORATIVO CALCULO III SPIRA MIRABILIS

INTEGRANTES Zuleny Yazmin Vargas Castro Cód. 1511981538 Jeniffer Zoraya Moscoso Barragán Cód. 1621981231 Tatiana Foronda Barreneche Cód. 1711981882 Juan Camilo Londoño Cód. 1611982433

TUTOR Raul Pineros

POLITECNICO GRANCOLOMBIANO INGENIERIA INDUSTRIAL 2018

SPIRA MIRABILIS Ejercicio La espiral logarítmica, llamada la spira mirabilis o eadem mutata resugno es una Curva paramétrica de la forma 𝑐(𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 cos(𝑡) , 𝑎𝑒 𝑏𝑡 sin(𝑡)) Donde 𝑎 y 𝑏 son números reales positivos.

Se quiere estudiar una propiedad geométrica de la espiral logarítmica que involucra el ángulo entre su línea radial y su línea tangencial. Efectúe los siguientes cálculos para comprobar la propiedad: 1. Muestre que la magnitud de la curva ‖𝑐(𝑡)‖ 𝑒𝑠 ‖𝑐(𝑡)‖ = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 Solución: Para demostrar la magnitud de la curva utilizamos la siguiente ecuación: ‖𝑐(𝑡)‖ = √𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 + 𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 𝑠𝑖𝑛2 𝑡 ‖𝑐(𝑡)‖ = √𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 → 𝑈𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 1 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 ‖𝑐(𝑡)‖ = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 2. Muestre que el vector tangente a la curva es 𝑐 ′ (𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 cos(𝑡) − sin(𝑡)) 𝒊 + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 𝑠𝑖𝑛(𝑡) + 𝑐𝑜𝑠(𝑡))) 𝒋 Solución: El vector tangente unitario se expresa como:

𝑐 ′ (𝑡) = 𝑥 ′ (𝑡)𝒊 + 𝑦 ′ (𝑡)𝒋 Siendo 𝑥(𝑡) = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 cos 𝑡 𝑦 𝑦(𝑡) = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 sin 𝑡 por lo tanto, 𝑐 ′ (𝑡) = [𝑏𝑎𝑒 𝑏𝑡 cos 𝑡 + 𝑎𝑒 𝑏𝑡 (−𝑠𝑖𝑛𝑡)]𝒊 + [𝑏𝑎𝑒 𝑏𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑡 + 𝑎𝑒 𝑏𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡]𝒋 𝑐′(𝑡) = [𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑖𝑛𝑡)]𝒊 + [𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏𝑠𝑖𝑛𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑡)]𝒋 3. Muestre que la rapidez de la curva está dada por la expresión 𝑠(𝑡) = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √𝑏 2 + 1 Solución: 𝑠(𝑡) = ‖𝑐′(𝑡)‖ = √[𝑥′(𝑡)]2 + ‖𝑦′(𝑡)‖2 𝑠(𝑡) = [𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 (𝑏 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 − 2𝑏𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑡 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑡) + 𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 𝑥(𝑏 2 𝑠𝑖𝑛2 𝑡 + 2𝑏𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑡 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡]1/2 𝑠(𝑡) = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √𝑏 2 (𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑡) + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑡 𝑠(𝑡) = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √𝑏 2 + 1

4. Teniendo en cuenta los resultados obtenidos hasta el momento, muestre que el Ángulo entre la curva y su vector tangente depende de la expresión 𝑐(𝑡)∙𝑐 ′ (𝑡)

𝑏

𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 −1 (‖𝑐(𝑡)‖‖𝑐 ′ (𝑡)‖) = 𝑐𝑜𝑠 −1 (√𝑏2 ) +1

Solución: El ángulo entre la curva y el vector tangente es: 𝛼 = 𝛼𝑐𝑜𝑠 −1 (

𝛼 = 𝑐𝑜𝑠

−1

𝑐(𝑡) ∙ 𝑐 ′ (𝑡) ) ‖𝑐(𝑡)‖‖𝑐 ′ (𝑡)‖

𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡(𝑏𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑖𝑛𝑡) + 𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑡(𝑏𝑠𝑖𝑛𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑡) ( ) 𝑎𝑒 𝑏𝑡 ∙ 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √𝑏 2 + 1

𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 −1 (

𝑏𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 − 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑏𝑠𝑖𝑛2 𝑡 + 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 √𝑏 2 + 1

)

𝑏 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 −1 ( ) √𝑏 2 + 1 5. Si 𝑏 ⟶0 ¿qué puede concluir acerca del ángulo, la línea radial y tangencial?

Solución: lim𝑐𝑜𝑠 −1(

𝑏→0

𝑏

𝜋 ) = 𝑐𝑜𝑠 −1 0 = 2 √𝑏 2 + 1

La curva y el vector tangente son ortogonales cuando b→ 0 6. Si 𝑏 ⟶∞ ¿qué puede concluir acerca del ángulo, la línea radial y tangencial? Solución:

lim 𝑐𝑜𝑠 −1 (

𝑏→∞

𝑏 √𝑏 2

) = lim 𝑐𝑜𝑠 −1 𝑏→∞ +1

𝑏 𝑏 2 √𝑏 2 + 12 ( 𝑏 𝑏 )

1 = 𝑐𝑜𝑠 −1 ( ) 1 = 𝑐𝑜𝑠 −1 1 = 0 La curva y el vector tangente son paralelos. 7. De una breve reseña sobre la spira Mirabilis (10 renglones máximo). La Espira Mirabilis o " espiral maravillosa" se debe a Pierre Varignon, y fue estudiada por descartes y Torricelli, la espiral logarítmica es una clase de curva espiral que aparece frecuentemente en la naturaleza, la característica fundamental de esta espiral es que la expansión y la rotación tienen un vínculo geométrico o exponencial: mientras el ángulo de giro crece en progresión aritmética, el radio correspondiente crece en progresión geométrica. Jakob Bernoulli, escribió que la espiral logarítmica puede ser utilizada como un símbolo, bien de fortaleza y constancia en la adversidad, o bien como símbolo del cuerpo humano, el cual después de todos los cambios y mutaciones, incluso después de la muerte, será restaurado a su Ser perfecto y exacto.