• Author / Uploaded
• Darwin Andres Beleño Guillen

Citation preview

Ejercicio. Parte 1 La espiral logarítmica, llamada la spira mirabilis o eadem mutata resugno es una curva paramétrica de la forma

c ( t ) =( a e bt cos ( t ) , a e bt sin ( t ) ) Donde a y b son números reales positivos.

Se quiere estudiar una propiedad geométrica de la espiral logarítmica que involucra el ángulo entre su línea radial y su línea tangencial. A continuación, realice los siguientes cálculos para comprobar la propiedad: 1. Muestre que la magnitud de la curva, ||c ( t )||es||c ( t )||=a e La magnitud de un de la curva es: 2

2

||c ( t )||= √( x ( t ) ) + ( y ( t ) ) + ( z ( t ) )

2

Entonces: 2

2

||c ( t )||= √( a ebt cos ( t ) ) + ( a ebt sin ( t ) ) + ( 0 )2 ||c ( t )||= √a 2 e 2 bt cos2 (t )+ a2 e2 bt sin2 (t) Sacando factor común a 2 e 2 bt

||c ( t )||= √a 2 e 2 bt (cos 2 ( t ) +sin2 ( t ) ) Aplicando la siguiente identidad trigonométrica:

cos 2 (t)+sin2 ( t ) =1

bt

||c ( t )||= √a 2 e 2 bt (1) ||c ( t )||= √a 2 e 2 bt ||c ( t )||= √a 2 e 2 bt ||c ( t )||=a e bt 2. Muestre que el vector tangente a la curva es:

c ' ( t )=( a e bt ( bcos ( t )−sin ( t ) ) ) i+ ( a e bt ( bsin ( t )+ cos ( t ) ) ) j Tenemos la curva:

c ( t ) =¿ c ' ( t ) =¿ Organizando:

c ' ( t ) =¿ Sacando factor común a e bt

c ' ( t ) =¿ 3. Muestre que la rapidez de la curva está dada por la expresión s ( t ) =a e bt √b 2+ 1 Sabemos que la derivada de c(t) es decir, c’(t) es la velocidad en forma de vector, por lo tanto, la magnitud de ||c’(t)|| es s(t).

c ' ( t ) =¿ ¿|c ' (t )|∨¿

√( a e

bt

2

( b cos ( t ) −sin ( t ) ) ) + ¿¿ ¿ 2

√

s ( t ) = ( a e bt ( b cos ( t )−sin ( t ) ) ) +¿ ¿ ¿ 2

2

s ( t ) = a2 e2 bt ( b cos (t )−sin ( t ) ) +a2 e 2 bt ( b sin (t ) +cos ( t ) )

√

Sacando factor común a 2 e 2 bt 2

√

2

s ( t ) = a2 e2 bt (( b cos ( t )−sin ( t )) + ( b sin ( t ) +cos ( t ) ) s ( t ) =a e bt

2

2

√( ( b cos ( t )−sin ( t ) ) +( b sin ( t )+ cos ( t ) ) )

)

Desarrollando:

s ( t ) =a e bt √ b 2 cos 2 (t)−2 bcos (t)sin ( t ) +sin 2 ( t )+ b2 sin2 ( t ) +2 bsin( t)cos ( t ) +cos 2 (t) s ( t ) =a e bt √ b 2 cos 2 (t)+sin2 ( t )+ b2 sin 2 ( t )+ cos2 (t ) Agrupamos:

s ( t ) =a e bt √ ¿ ¿ ¿ s ( t ) =a e bt √ b 2 ¿ ¿

Aplicando la identidad trigonométrica:

cos 2 (t)+sin2 ( t ) =1

s ( t ) =a e bt √ b 2 (1)+(1) s ( t ) =a e bt √ b 2+ 1 4. Teniendo en cuenta los resultados obtenidos hasta el momento, muestre que el ángulo entre la curva y su vector tangente depende de la expresión.

α =cos−1

(||

c ( t )∗c ' ( t ) '

Tenemos:

c ( t ) =( a e bt cos ( t ) ) i+ ( a ebt sin ( t ) ) j c ' (t )=( a ebt ( b cos ( t ) −sin ( t ) ) ) i+¿

||c ( t )||=a e bt ¿|c ' (t )|∨¿ a ebt √ b2 +1 Reemplazando:

α =cos−1 ¿ ¿

b

) (√ )

c ( t )||||c ( t )||

=cos−1

b 2+1

c ( t )∗c ' ( t )=( a ebt cos ( t ) )∗( a e bt ( b cos ( t )−sin ( t ) ) ) + ( a e bt sin ( t ) )∗¿ La componente en i 2

( a ebt cos ( t ) )∗( a e bt ( b cos ( t )−sin ( t ) ) ) =( a e bt ) ¿ La componente j

( a ebt sin ( t ) )∗¿ α =cos−1 ¿ ¿ Sacando factor común ( a ebt )

2

α =cos−1 ¿ ¿ α =cos−1 ¿ ¿ α =cos−1

−1

α =cos

−1

α =cos

(

b sin2 ( t ) +sin ( t ) cos ⁡(t )+ b cos2 ( t ) −sin ( t ) cos ⁡(t)

(

b sin2 ( t ) +sin ( t ) cos ⁡(t )+ b cos2 ( t ) −sin ( t ) cos ⁡(t)

(

b sin2 (t)+b cos2 ( t )

√b 2+1 √b 2+1 √b 2+1

Sacando factor común b:

α =cos−1 ¿ ¿ Aplicando:

cos 2 (t)+sin2 ( t ) =1 b (1)

α =cos−1

(√ )

−1

(√ )

α =cos

b2 +1 b

b2 +1

)

) )