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Universidad Andina “Néstor Cáceres Velásquez”

Tipo de Sistema DEXTROGIRO

Z

Z  Cotas 

0,0,r  P   x, y, z 

r  II 

 III 

O  OrigenI 

 IV 

Y  Ordenadas 

O

0, r,0

 r,0,0

X  Abscisas 

VI 

Esfera : x 2  y 2  z 2  r 2

V 

VIII 

X

Tipo de Sistema LEVOGIRO

Centro : C   0, 0, 0  Radio : r  0

CÁLCULO 3 UNIDAD 1 RECTAS, PLANOS Y SUPERFICIES CUADRÁTICAS DOCENTE: Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA ESTUDIANTE:……………………………………………….. CÓDIGO:……………………

Ciclo y sección: IV –

SEMESTRE: 2019 –II JULIACA 2019

Y

“Pero existe otra razón para la gran reputación de la Matemática: la de que la Matemática ofrece a las ciencias naturales exactas un cierto grado de seguridad que sin ella no podrían alcanzar”.

Universidad Andina “Néstor Cáceres Velásquez” INGENIERÍA CIVIL -JULIACA

UNIDAD 1 RECTAS, PLANOS Y SUPERFICIES CUADRÁTICAS 1. LA RECTA El Primer y Segundo Postulado de Euclides dicen: “Dos puntos cualesquiera determinan un segmento de recta” y “Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta”, estas ideas permitieron en esos tiempos tener claridad con que objetos estaban trabajando, ahora con más herramientas se construirá la recta, tomando como base los vectores.

Sean P0   x0 , y0 , z0  y P1   x1 , y1 , z1  dos

Z

puntos arbitrarios del sistema de coordenadas tridimensional Puntos

de

3

los cuales llamaremos

paso,

con

los

P

a

cuales

construyamos con ellos un vector P0 P1  a , el

P0

P1

L

O

cual denominaremos el Vector direccional,

Y

luego consideremos otro punto arbitrario

P   x, y, z  de tal forma que P0 ; P1 y P

X

sean colineales.

Del gráfico se tiene que el vector P0 P es paralelo al vector direccional a , es decir:

P0 P / / a



P0 P  ta

; t

De donde:

P  P0  ta



P  P0  ta

Luego, si el parámetro " t " es un número real que toma infinitos valores entonces se generan una infinidad de puntos los cuales formaran la recta, es decir; todos los puntos que cumpla la condición P  P0  ta forman la recta. Finalmente podemos decir que: “La recta denotado por L , es el conjunto de puntos colineales que pasan por los puntos P0 con vector direccional a ”.



L : P 

1

3

/ P  P0  ta ; t 



Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA

Universidad Andina “Néstor Cáceres Velásquez” INGENIERÍA CIVIL -JULIACA

1.1.

ECUACIONES DE LA RECTA Sean P0   x0 , y0 , z0  el punto de paso, a   a1 , a2 , a3  el vector P   x, y, z  un punto arbitrario de la recta



L : P 

3

L

direccional

y

.

/ P  P0  ta ; t 



(A) ECUACIÓN VECTORIAL :

L : P  P0  ta ; t 

P   x0 , y0 , z0   t  a1 , a2 , a3 

L : P   x0  ta1 , y0  ta2 , z0  ta3  NOTA (1) Esta ecuación describe a la recta como conjunto de puntos, que dependen del parámetro " t " , que al hacer variar su valor se pueden determinar todos los puntos de la recta. (B) ECUACIONES PARAMETRICAS: De la ecuación vectorial se tiene:

P   x0  ta1 , y0  ta2 , z0  ta3 

 x, y, z    x0  ta1

, y0  ta2 , z0  ta3 

Luego:

 x  x0  ta1  L :  y  y0  ta2 ; t   z  z  ta  0 3

 t Parametro 

(C) ECUACIÓN SIMETRICA : Si las componentes del vector direccional a1 , a2 y a3 son diferentes de cero, entonces es posible despejar el parámetro " t " , de la ecuación paramétrica de la recta L

obteniéndose la ecuación simétrica de la recta, es

decir:

2

Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA

Universidad Andina “Néstor Cáceres Velásquez” INGENIERÍA CIVIL -JULIACA

 x  x0  ta1    L :  y  y0  ta2      z  z0  ta3

t

x  x0 a1

t

y  y0 a2

t

z  z0 a3



t

x  x0 y  y0 z  z0   a1 a2 a3

Luego: L :

Donde : P0   x0 , y0 , z0  a   a1 , a2 , a3 

x  x0 y  y0 z  z0   a1 a2 a3

 Punto de paso  Vector direccional 

NOTA (4) Esta ecuación es utilizada con frecuencia para representar a las rectas en

3

,

por esta razón es necesario recordarla y saber identificar las componentes del punto de paso y del vector direccional. NOTA (5) La ecuación simétrica de la recta cambia de presentación cuando alguna delas coordenadas del vector direccional es cero. Caso 1 L :

Caso  2  L :

Caso  3 L :

3

y  y0 z  z0  a2 a3

x  x0 z  z0  a1 a3

x  x0 y  y0  a1 a2







x  x0  0

y  y0  0

z  z0  0



P0   x0 , y0 , z0 

 Punto de



a   0, a2 , a3 

Vector



P0   x0 , y0 , z0 



a   a1 , 0, a3 



P0   x0 , y0 , z0 



a   a1 , a2 , 0 

direccional 

 Punto de Vector

paso 

direccional 

 Punto de Vector

paso 

paso 

direccional 

Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA

Universidad Andina “Néstor Cáceres Velásquez” INGENIERÍA CIVIL -JULIACA EJEMPLOS (ECUACIÓN DE LA RECTA) (1) Halle las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos P   2, 3, 3  y Q   2,5,7  . (2) Dadas las ecuaciones simétricas de las siguientes rectas identifique el punto de paso y los vectores direccionales de cada una.

4

L1:

x 1 y 1 z  3   3 2 2

 P0   ,

,



; a , ,



L2:

x y 1 z  2   5 4 2

 P0   ,

,



; a , ,



L3:

x  2 3 y z   4 2 5

L4:

3 x y 2  z 7 4

 P0   ,

,



; a , ,



L5:

x3 z  6 y  4 3

 P0   ,

,



; a , ,



L6:

y 1 z  4 3

 x20

 P0   ,

,



; a , ,



L7:

x 1 3  z   y 3 0 4 3

 P0   ,

L8:

1 x y  2   1 z  0 8 5

 P0   ,

L9:

4 z y2   x3 0 5 2

L 10 :

 P0   ,



,

; a , ,





; a ,

,



; a ,

,



 P0   ,

,



; a ,

,



2 x  z  y3 0 4

 P0   ,

,



; a ,

,



L 11 :

x 1 1 z  y 9 4

 P0   ,

,



; a , ,

L 12 :

3 x y 2  7 4

,



L 13 :

y z 1  7 2

 

z  1 x3 0

,

 P0   ,  P0   ,

,



,



; a , ,



; a , ,

 

Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA

Universidad Andina “Néstor Cáceres Velásquez” INGENIERÍA CIVIL -JULIACA 1.2.

POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS



L 1  P

Sean

3

/ P  P0  ta ; t 

yL

2



 Q

3

/ Q  Q0  rb ; r 



dos

rectas arbitrarias, para las cuales se pueden presentar las siguientes posiciones entre las mismas: (A) RECTAS PARALELAS: Se dice que L 1 / / L 2 , si sus vectores direccionales son paralelos a / / b .

L 1 : P  P0  t a

a

L 2 : Q  Q0  s b

P0 Q0

b

L 1 / / L 2  a / / b  P0Q0

a

(B) RECTAS COINCIDENTES: Se dice que L 1 / / L 2 , son coincidentes (Equivalentes) si una de ellas esta superpuesta (encima) de la otra.

L2 Q0 b

a

P0

L1

 a / / b L1  L 2    P0Q0 / / a  P0Q0 / / b

(C) RECTAS COPLANARES: Se dice que L 1 / / L 2 , son coplanares si comparten un



plano y tienen un punto de intersección L 1

L1

b

a P0

Q0

R0

5

L 2  R0  .

L2  L 1 L 2  R0  L 1 y L 2 son coplanares    a b P0Q0   0   

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Universidad Andina “Néstor Cáceres Velásquez” INGENIERÍA CIVIL -JULIACA (D) RECTAS ALABEADAS: Se dice que L 1 / / L 2 , son alabeadas si no se cortan (Intersecan) en el espacio. L 1 : P  P0  t a

a P0 L 1 y L 2 son alabeadas   a b P0Q0   0

b Q0

L 2 : Q  Q0  s b

(E) RECTAS ORTOGONALES: Se dice que L 1 / / L 2 , son ortogonales si sus vectores direccionales son ortogonales a  b .

L 1 : P  P0  t a

a P0 L1 '

L1 L 2

 a b  ab  0

b

Q0

L 2 : Q  Q0  s b

NOTA (1) La condición de ortogonalidad de dos rectas en el espacio no necesariamente implica que se intersecten, es decir; pueden ser coplanares o alabeadas. (F) ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS El ángulo formado por las rectas L

1

y L 2 es igual

al ángulo formado por los vectores direccionales de ambas rectas, no importando si son coplanares o alabeadas, es decir:

L1

a P0

m L1 '

L

cos   

a

1

,L 2   m

ab a b

a , b  

   arccos

  ab

a b



Q0

6

b

L

2

Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA

Universidad Andina “Néstor Cáceres Velásquez” INGENIERÍA CIVIL -JULIACA 1.3.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Sea

Q un

punto arbitrario del sistema de coordenadas tridimensional que no está en la recta

L

Q  L 



donde L : P  P0  ta ; t 

 entonces

la distancia del punto se halla

utilizando la siguiente relación: Q

d L , Q 

L : P  P0  t a

a M d L , Q  

a

Proya P0Q

P0

1.4.

a  P0Q

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS ALABEADAS Sean L

1

: P  P0  ta y L

2

: Q  Q0  rb dos rectas alabeadas, entonces existe una única

recta ortogonal L a ambas rectas L 1 y L 2 , cuya ecuación es; L

1

:R  R0  s a  b , como se

ve en la figura: L2 L

Q0

b

Q

L2' b

ab

R0 P

a

P0

L1

Del gráfico, se deduce que:

d L 1 , L

2



PQ  R0Q0  Compab P0Q0 

d L 1 , L

7



P0Q0 a  b



a b

 P0Q0 a b 

 2 

a b

Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA

Universidad Andina “Néstor Cáceres Velásquez” INGENIERÍA CIVIL -JULIACA OBSERVACIÓN (1) Se debe tener en cuenta que para comprobar que dos rectas son alabeadas o no,





es necesario verificar que  P0Q0 a  b   0 .   OBSERVACIÓN (1) Las posiciones relativas entre rectas, están directamente relacionadas con sus vectores direccionales de cada recta, es decir: Dadas las ecuaciones de las rectas: L 1 : P  P0  t a

y

L 2 : Q  Q0  t a

Se tiene:

 i  Parelelismo : L 1 / / L 2  ii  L 1

yL

 iii  L 1

yL

2

2

 a / /b

son coplanares   a b P0Q0   0 son alabeadas   a b P0Q0   0

 iv  Ortogonalidad : L 1  L 2

8

a   b ;     a b  0

 a b

L

1

L 2  

 ab  0

Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA

Universidad Andina “Néstor Cáceres Velásquez” INGENIERÍA CIVIL -JULIACA EJEMPLOS (POSICIONES RELATIVAS A LA RECTA) (1)

Dadas las ecuaciones correspondientes a rectas:

L 1:

2 x z 2  ; y  1 4 2



L 2:

2 y z 2  ; x20 2 5

a) Determine si son alabeadas. b) Determine el ángulo que forman dichas rectas. c) Halle la distancia del punto A   4,6, 7  a las rectas.

9

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Universidad Andina “Néstor Cáceres Velásquez” INGENIERÍA CIVIL -JULIACA (2)

Determine si las siguientes rectas son coplanares, caso afirmativo halle el punto de intersección:

L1 :

10

x2 z 3  y7  2 3



L2 :

x6 z 3  y 5  3 4

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Universidad Andina “Néstor Cáceres Velásquez” INGENIERÍA CIVIL -JULIACA (3)

Halle las coordenadas del punto recta L :

11

Q

que es simétrico al punto P   2, 2, 4  con respecto a la

y 1 2  z   3 x  0. 3 4

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Universidad Andina “Néstor Cáceres Velásquez” INGENIERÍA CIVIL -JULIACA

TAREA GRUPAL N° 01 (1)

Halle las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos P  1, 1, 2  y

Q   3,3,0 

(2)

Dadas las ecuaciones simétricas de las siguientes rectas identifique el punto de paso y los vectores direccionales de cada una.

(3)

L1:

4 x y2  z 2 7

 P0   ,

,



; a , ,



L2:

1 z y  2   x 8  0 5 4

 P0   ,

,



; a ,

,



L3:

5 x  z  y3 0 3

 P0   ,

,



; a ,

,



L4 :

7x y4  4 5



 P0   ,

z2

,



; a , ,



Dadas las ecuaciones correspondientes a rectas:

L 1:

2 y x2  ; z  1 3 2



L 2:

y 3 z  ; x20 2 5

a) Determine si son alabeadas. b) Determine el ángulo que forman dichas rectas. c) Halle la distancia del punto A   4,6, 7  a las rectas. (4)

Halle las coordenadas del punto

Q

recta que pasa por los puntos L : (5)

que es simétrico al punto P   3,5, 4  con respecto a la

x  2 1 z  ; y2  0 . 3 2

Dado el punto R   3, 0, 1 y la recta L :

x  2 y 1 3  z , determinar las ecuaciones   2 4 3

de las rectas que pasan por R y cortan a L formando un ángulo de 30 .

12

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