calculo 3
FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS TRABAJO COLABORATIVO CÁLCULO III Spira Mirabi
Views 170 Downloads 6 File size 335KB
Recommend stories
Citation preview
FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS TRABAJO COLABORATIVO CÁLCULO III Spira Mirabilis Las espirales son curvas que tiene una presencia importante en la naturaleza. Así podemos encontrarlas en la caparazón de los caracoles, en trompas y las de animales, en serpientes enrrolladas, en plantas y flores (particularmente en girasoles) y más aún encontrarlas en las huellas dactilares, en adornos, dibujos y esculturas. Objetivos de aprendizaje: 1. Interpreta analítica y geométricamente el concepto de espiral. 2. Identifica que mediante expresiones matemáticas es posible analizar el entorno natural. 3. Estudia las propiedades de la spira Mirabilis aplicando conceptos de cálculo III. Indicaciones generales: Antes de iniciar el desarrollo del trabajo, es importante leer y tener en cuenta las siguientes indicaciones: Lea atentamente cada enunciado e identifiqué cuál es la instrucción y su propósito. Al registrar sus aportes no olvide escribir detalladamente todas las explicaciones y procesos realizados para dar respuesta a cada uno de los puntos; recuerde que sus aportes serán leídos por sus compañeros de trabajo y será un insumo para el desarrollo del trabajo grupal. Tenga en cuenta las pautas generales de participación en el foro. Ejercicio La espiral logaritmica, llamada la spira mirabilis o eadem mutata resugno es una curva paramétrica de la forma:
Donde 𝑎 y 𝑏 son números reales positivos.
Se quiere estudiar una propiedad geométrica de la espiral logarítmica que involucra el ángulo entre su línea radial y su línea tangencial. Efectúe los siguientes cálculos para comprobar la propiedad: 1. Muestre que la magnitud de la curva,
2. Muestre que el vector tangente a la curva es
3. Muestre que la rapidez de la curva está dada por la expresión
4. Teniendo en cuenta los resultados obtenidos hasta el momento, muestre que el ángulo entre la curva y su vector tangente depende de la expresión
5. Si 𝑏 ⟶ 0 ¿qué puede concluir acerca del ángulo, la línea radial y tangencial? 6. Si 𝑏 ⟶ ∞ ¿qué puede concluir acerca del ángulo, la línea radial y tangencial? 7. De una breve reseña sobre la spira Mirabilis (10 renglones máximo)
Spira Mirabilis La espiral logaritmica, llamada la spira mirabilis o eadem mutata resugno es una curva paramétrica de la forma:
1. Muestre que la magnitud de la curva,
A continuación, se calculará ‖𝑐(𝑡)‖ elevando al cuadrado cada componente de 𝑐(𝑡) y finalmente obteniendo la raíz cuadrada.
Utilizando la identidad pitagórica 𝑐𝑜𝑠^2(𝑡) + 𝑠𝑖𝑛^2(𝑡) = 1,
2. Muestre que el vector tangente a la curva es
Para hallar el vector tangente a la curva se deriva con respecto al tiempo cada una de las componentes.
Haciendo uso de la regla de la derivada del producto,
Finalmente, factorizando el término común 𝑎𝑒^𝑏𝑡,
3. Muestre que la rapidez de la curva está dada por la expresión:
La rapidez de la curva se calcula obteniendo la magnitud del vector tangente a la curva ‖𝑐′(𝑡)‖
Factorizando el término común 𝑎𝑒^𝑏𝑡,
Simplificando términos semejantes y factorizando,
Utilizando la identidad pitagórica 𝑐𝑜𝑠^2(𝑡) + 𝑠𝑖𝑛^2(𝑡) = 1,
4. Teniendo en cuenta los resultados obtenidos hasta el momento, muestre que el ángulo entre la curva y su vector tangente depende de la expresión
El ángulo entre la curva y el vector tangente se calcula con la siguiente propiedad del producto punto:
Factorizando,
Simplificando,
Realizando el producto punto,
Utilizando la identidad pitagórica 𝑐𝑜𝑠^2(𝑡) + 𝑠𝑖𝑛^2(𝑡) = 1,
La anterior expresión es el valor correcto del ángulo entre la curva y su vector tangente. En el enunciado existe un error con respecto a esta expresión. 5. Si 𝑏 ⟶0 ¿qué puede concluir acerca del ángulo, la línea radial y tangencial?
“a” es el valor de la línea radial.
“a” es el valor de la rapidez.
La espiral logarítmica en este caso es una circunferencia de radio a.
6. Si 𝑏 ⟶∞ ¿qué puede concluir acerca del ángulo, la línea radial y tangencial?
La línea radial tiende a infinito.
La rapidez tiende a infinito.
Como 𝑐𝑜𝑠^−1(𝑥) es continua en todo su dominio,
Dividiendo por b tanto el numerador como el denominador,
Por tanto,
En este caso, la espiral logarítmica es una línea recta trazada desde el origen. 7. De una breve reseña sobre la spira Mirabilis (10 renglones máximo). El término espiral logarítmica se debe a Pierre Varignon. La espiral logarítmica fue estudiada por Descartes y Torricelli, pero la persona que le dedicó un libro fue Jakob Bernoulli, que la llamó Spira mirabilis “la espiral maravillosa”. La espiral de crecimiento es una clase de curva espiral que aparece frecuentemente en la naturaleza Por ejemplo, los brazos de las galaxias espirales son aproximadamente espirales logarítmicas. Los brazos de los ciclones tropicales, como los huracanes, también forman espirales logarítmicas. En biología son frecuentes las estructuras aproximadamente iguales a la espiral logarítmica. Por ejemplo, las telas de araña y las conchas de molusco.