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Cálculo III Campos Escalares Julio C. Carrillo E.*

Índice 1. Definición de campo escalar

1

2. Dominio, imagen, gráfica

1

3. Conjuntos de nivel; gráficas

9

4. Operaciones algebraicas

*

Profesor Escuela de Matemáticas, UIS.

15

Cálculo III

1.

Definición de campo escalar

Hasta ahora, se ha tratado con el Cálculo de funciones de una variable, o de variable real, sean ellas de valor real (i.e., funciones escalares) o de valor vectorial (i..e, funciones vectoriales). Sin embargo, en el mundo real, las cantidades físicas (escalares o vectoriales) a menudo dependen de dos o más variables; es decir, son funciones de variable vectorial. En este caso en particular se consideran cantidades escalares que dependen de más de una variable. En esta primera parte del curso, se definen los campos escalares o funciones de varias variables y además se extienden las ideas básicas del Cálculo diferencial de funciones de una variable a tales funciones. Definición 1. Un campo escalar o función de n variables es una función f : D ⊆ Rn → R la cual asigna a cada x = (x1 , . . . , xn ) ∈ D un único escalar o número real f (x) = f (x1 , . . . , xn ); es decir, un campo escalar es una función de variable vectorial y de valor real. Los campos escalares, al igual que las funciones de una variable, se pueden definir de forma verbal (una descripción mediante palabras), numérica (una tabla de valores), algebraica (una fórmula explícita) o visual (una gráfica o curvas de nivel). Ejemplo 2. La temperatura T en un punto de la superficie de la tierra en un tiempo dado depende la longitud x y de la latitud y de tal punto. Podemos considerar a T como una función de las dos variables x y y, o como una función del par ordenado (x, y). Esta dependencia funcional se puede indicar escribiendo T = f (x, y) o T = T (x, y).  Ejemplo 3. El volumen V de un cilindro circular depende de su radio r y de su altura h. En efecto, se sabe que V = πr2 h, por lo cual podemos decir que V es una función de r y h, lo cual se escribe de la forma V (r, h) = πr2 h. 

2.

Dominio, imagen, gráfica

Definición 4. Si f : D ⊆ Rn → R campo escalar entonces D es el dominio de f y se encuentra en el espacio Rn . De manera más general, el dominio de un campo escalar f es el conjunto que consta de todos los puntos x = (x1 , . . . , xn ) en Rn para los cuales f (x) = f (x1 , . . . , xn ) es un número real. En símbolos, D = {x ∈ Rn : f (x) existe} = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : f (x1 , . . . , xn ) existe}. c

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Cálculo III Para encontrar el dominio de f se deben tomar en consideración tanto las restricciones que se le impongan a sus variables como sus valores. Una forma de visualizar un campo escalar en R2 es por medio de un diagrama, donde el dominio D es representado como un subconjunto del plano xy.

Ejemplo 5. La expresión de la función f (x, y) = √ x+y+1 tiene sentido si su denominador es diferente x−1 de cero y la cantidad bajo el signo de la raíz cuadrada es no negativa. Por tal razón, el dominio de f es D = {(x, y) ∈ R2 : x + y + 1 ≥ 0, x 6= 1}. La desigualdad x + y + 1 ≥ 0, o y ≥ −x − 1, describe el conjunto de los puntos del plano xy que se encuentran arriba o sobre la recta y = −x − 1. Por otro lado, x 6= 1 nos indica que los puntos del plano xy en la recta vertical x = 1 deben ser excluidos del dominio de f .

c

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Cálculo III No todas las funciones son dadas mediante formulas explícitas. Ejemplo 6. La siguiente tabla estima los valores numéricos en regiones con inviernos muy severos, el índice de enfriamiento del viento es a menudo utilizado para describir la aparente severidad del frío. El índice W es una temperatura subjetiva que depende de la temperatura actual T y de la velocidad del viento v. Así que W es función de T y de v y puede escribirse que W = f (T, v). La siguiente tabla reúne los valores de W obtenidos por la NOAA, the National Weather Service of the US and the Meteorological Service of Canada.

Esta tabla demuestra, por ejemplo, que si la temperatura es de −5◦ C y la velocidad del viento es de 50 km/h, sería lo mismo que sentir un frío a una temperatura de −15◦ C sin viento. Por lo tanto, f (−5, 50) = −15.  c

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Cálculo III Cuidado con el dominio de una función partida, el cual está determinado por sus variables y sus valores. En el siguiente ejemplo, erróneamente se suele decir que por sus variables, el dominio de la función es todo R2 . Esto no es así por los valores que toma la función. Ejemplo 7. Para encontrar el dominio de la función  x3 y   p f (x, y) = (x2 + (y − 1)2 ) x2 + y 2  0

si (x, y) 6= (0, 0), si (x, y) = (0, 0)

tenemos que por sus variables, la función está definida para todo (x, y) ∈ R2 . Por sus valores, la función f (x, y) = x3 y p tiene sentido si su denominador es diferente de cero y la cantidad bajo el signo de la raíz (x2 + (y − 1)2 ) x2 + y 2 cuadrada es no negativo. Por tal razón, el dominio de f es p D = R2 ∩ {(x, y) ∈ R2 : (x2 + (y − 1)2 ) x2 + y 2 6= 0, x2 + y 2 ≥ 0}. p 2 2 La condición (x + (y − 1) ) x2 + y 2 6= 0 con (x, y) 6= (0, 0) nos indica que el punto (0, 1) del plano xy deben ser excluidos del dominio de f y además para tales puntos x2 + y 2 siempre será un valor positivo. Finalmente tenemos entonces que el dominio de f es D = R2 \ {(0, 1)}.  Definición 8. Si f : D ⊆ Rn → R campo escalar entonces la imagen de f , denotada If , es el conjunto de todos los valores que toma la función f , esto es, If = {f (x) : x ∈ D} = {f (x1 , . . . , xn ) : (x1 , . . . , xn ) ∈ D}. Por su parte, la gráfica de f se encuentra en el espacio Rn+1 y es el conjunto que consta de todos los puntos que son solución de la ecuación xn+1 = f (x1 , . . . , xn ), (x1 , . . . , xn ) ∈ D, c

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Cálculo III o bien, como el conjunto de puntos de la forma (x1 , . . . , xn , f (x1 , . . . , xn )), donde (x1 , . . . , xn ) es un punto de D, el dominio de f . En símbolos, Gf = {(x1 , . . . , xn , xn+1 ) ∈ Rn+1 : xn+1 = f (x1 , . . . , xn ), (x1 , . . . , xn ) ∈ D} = {(x, f (x)) ∈ Rn+1 : x ∈ D} = {(x1 , . . . , xn , f (x1 , . . . , xn )) ∈ Rn+1 : (x1 , . . . , xn ) ∈ D}. De esta manera, los puntos de la gráfica de una campo escalar está determinado por sus variables y por su valor en cada punto del dominio de la función. Si f : D ⊆ R2 → R entonces la gráfica de f es la superficie en el espacio que consta de todos los puntos (x, y, z) en R3 donde (x, y) ∈ D y z = f (x, y). En este caso, la gráfica de f es una superficie S en el espacio que se encuentra directamente arriba o abajo de su dominio D en el plano xy.

c

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Cálculo III p p Ejemplo 9. La función g(x, y) = 9 − x2 − y 2 tiene ecuación z = 9 − x2 − y 2 . Así que al tomar el cuadrado en ambos lados de esta ecuación tenemos que z 2 = 9 − x2 − y 2 o bien, x2 + y 2 + z 2 = 9, la cual es una esfera de centro en el origen y de radio 3. No obstante, como z ≥ 0 entonces la gráfica de g es solamente la mitad de esta esfera o hemisferio superior de tal esfera. Además, como z ≤ 3 se tiene que la imagen de g es el intervalo cerrado [0, 3]. En este caso, Df = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 9}, If = [0, 3], Gf = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ 9, z =

p 9 − x2 − y 2 }.

La representación geométrica de la gráfica de g es la siguiente.

Observe que en este caso el dominio de g está dado por todos los puntos (x, y) que se encuentran en el disco de centro en el origen y de radio 3. 

c

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Cálculo III Como en general no es fácil elaborar la gráfica de una función, se debe recurrir a programas de computadora para hacerlo.

c

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Cálculo III La manera usual de realizar la gráfica de un campo escalar en dos variables mediante trazas. Sea z = f (x, y) una campo escalar o función en dos variables. Las trazas de f son: 1. Trazas en x: Se consideran que son la intersección del plano x = c1 (paralelo al plano yz) y la superficie z = f (x, y) que es gráfica de f . La intersección de tales superficies es una curva, la cual se denota como Cx , es decir, Cx : x = c1 , z = f (x, y) : x = c1 , z = f (c1 , y) : x = c1 , y = t, z = f (c1 , t),

t ∈ Iy (intervalo en el eje y).

2. Trazas en y: Se consideran que son la intersección del plano y = c2 (paralelo al plano zx) y la superficie z = f (x, y) que es gráfica de f . La intersección de tales superficies es una curva, la cual se denota como C2 , es decir, Cy : y = c2 , z = f (x, y) : y = c2 , z = f (x, c2 ) : x = t, y = c2 , z = f (t, c2 ),

t ∈ Ix (intervalo en el eje x).

3. Trazas en y: Se consideran que son la intersección del plano z = c3 (paralelo al plano xy) y la superficie z = f (x, y) que es gráfica de f . La intersección de tales superficies es una curva, la cual se denota como Cz , es decir, Cz : z = c3 , z = f (x, y) : z = c3 , c3 = f (x, y) : x = x(t), y = y(t), f (x(t), y(t)) = c3 ,

t ∈ I.

Por ejemplo, para la función z = f (x, y) = sen x + sen y sus trazas son las siguientes: c

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Cálculo III 1. Trazas en x: Cx : x = c1 , z = sen x + sen y : x = c1 , z = sen c1 + sen y : x = c1 , y = t, z = sen c1 + sen t : r1 (t) = (c1 , t, sen c1 + sen t), t ∈ R. 2. Trazas en y: Cy : y = c2 , z = sen x + sen y : y = c2 , z = sen x + sen c2 : x = t, y = c2 , z = sen t + sen c2 : r2 (t) = (t, c2 , sen t + sen c2 ), t ∈ R. 3. Trazas en z: Cz : z = c3 , z = sen x + sen y : z = c3 , c3 = sen x + sen y : x = t, c3 = sen t + sen y, z = c3 : x = t, y = sen−1 (c3 − sen t), z = c3 : r(t) = (t, arcsin(c3 − sen t), c3 ), t ∈ R.

3.

Conjuntos de nivel; gráficas

Un conjunto de nivel de un campo escalar f : D ⊆ Rn → R se encuentra en el espacio Rn y se obtiene al elegir una constante c y formar el conjunto de todos los puntos (x1 , . . . , xn ) en D tales que f (x1 , . . . , xn ) = c; tal conjunto se denota como Lc (f ). En símbolos, Lc (f ) = {(x1 , . . . , xn ) ∈ D : f (x1 , . . . , xn ) = c} ⊂ Rn . c

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Cálculo III Para n = 2 se habla de curvas de nivel y para n = 3 de superficies de nivel. Observe que el conjunto de nivel de un campo escalar está siempre por definición en el dominio de tal función.

Curvas de nivel

c

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Superficies de nivel

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Cálculo III Un ejemplo muy común de curvas de nivel ocurre en mapas topográficos de regiones montañosas, como el siguiente.

Las isotermas son curvas a lo largo de las cuales la temperatura permanece constante. En la figura, las isotermas son las curvas separadas con bandas de colores. Por otro lado, las isobaras en mapas de presión atmosférica son otro ejemplo de curvas de nivel.

En este caso, las curvas de nivel son curvas de elevación constante del terreno sobre el nivel del mar. Esto quiere decir que si uno camina a largo de unas de estas líneas de contorno, uno nunca va a ascender o descender. Otro ejemplo de curvas de nivel son las mapas del clima del mundo, como el siguiente que muestra las temperaturas promedio durante el mes de enero. c

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Cálculo III Ejemplo 10. Según el mapa de contorno de la función f que se muestra a continuación, se puede estimar el valor de f (1, 3) de la siguiente manera. Como el punto (1, 3) se encuentre entre las curvas de nivel con valores de z = 70 y z = 80, se puede estimar que f (1, 3) = 73. De manera similar se puede estimar que f (4, 5) = 56.

Las trazas de la gráfica de un campo escalar f : D ⊆ Rn → R se obtienen al interceptar la gráfica de f con un plano. En particular, los conjuntos de nivel y las trazas son herramientas útiles para construir el bosquejo de la gráfica de campos escalares en el plano. En efecto, sea z = f (x, y) la ecuación del campo escalar f . Entonces, 1. Las curvas de nivel f (x, y) = c son las trazas de la gráfica de f en el plano horizontal z = c proyectadas sobre el plano xy; por lo cual se llaman trazas horizontales. 2. La curva de nivel f (c, y) = z con las trazas de la gráfica de f en el plano vertical x = c proyectadas sobre el plano yz, por lo cual se llaman trazas verticales. 3. La curva de nivel f (x, c) = z con las trazas de la gráfica de f en el plano vertical y = c proyectadas sobre el plano xz, por lo cual se llaman trazas verticales. c

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Cálculo III En el caso de muchos programas de computadora, las trazas de f en los planos verticales x = c y y = c son dibujadas para valores igualmente espaciados de c y además partes de la gráfica son ocultadas, como muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo 11. Encuentre el dominio y el rango de la función f (x, y) = 4x2 + y 2 y bosqueje su gráfica. Solución. Observe que la función f está definida para todos los posibles pares ordenados de números reales (x, y). Así que el dominio de f es R2 , todo el plano xy. Por otro lado, como x2 ≥ 0 y y 2 ≥ 0 para todo x y y entonces f (x, y) ≥ 0 para todo par ordenado de números reales (x, y). Por lo tanto, la imagen de f es el conjunto [0, ∞). En cuanto a la gráfica de f , ella tiene la ecuación z = 4x2 + y 2 , el cual representa un paraboloide elíptico cuyas trazas horizontales son elipses: 4x2 + y 2 = c, c > 0, y sus trazas verticales son parábolas: z = 4x2 + c2 , z = 4c2 + y 2 ,

c

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c 6= 0, c 6= 0.

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Cálculo III x2 Ejemplo 12. Consideremos la función f (x, y, z) = 2 , cuyo dominio está dado por todas las ternas x + y2 + z2 ordenadas de números reales (x, y, z) tales que y 6= 0 y z 6= 0. Para c > 0 se considera las superficies de nivel de x2 = c, lo cual implica que x 6= 0. De f , las cuales están dadas por la ecuación f (x, y, z) = c; o bien, 2 x + y2 + z2   1 1 esto se sigue que − 1 x2 = y 2 + z 2 y como x, y, z son cantidades no nulas entonces > 1, es decir, c < 1. Por c c esto, para cada 0 < c < 1 la gráfica de la ecuación obtenida representa la superficie de un cono circular recto con eje x, como lo muestra la siguiente figura. 

x2 Figura. Superficies de nivel de f (x, y, z) = 2 . x + y2 + z2 c

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Cálculo III

4.

Operaciones algebraicas

Como las funciones de varias variables, o campos escalares, son funciones de valor real, las operaciones algebraicas de los números reales se pueden aplicar a estas funciones para definir sus operaciones algebraicas. Definición 13. Sean f, g : D ⊆ Rn → R funciones de n variables que poseen el mismo dominio D. Entonces las funciones f ± g, cf (c un constante cualquiera), f g, f /g están bien definidas y además son las funciones de varias variables con dominio D y definidas de la siguiente manera:   f (x) f 1. (f ± g)(x) = f (x) ± g(x). 4. (x) = para todo x en D tal que g g(x) 2. (cf )(x) = cf (x). g(x) 6= 0. 3. (f g)(x) = f (x) g(x). En general, cuando las funciones no tienen el mismo dominio, se hace que D sea la intersección de todos sus dominios y además que D sea un conjunto no vacío. √

√

Ejemplo 14. Si f (x, y) = e x+y y g(x, y) = ln(xy − 1) entonces la función (f g)(x, y) = e x+y ln(xy − 1) está definida para todos los pares ordenados de números reales (x, y) tales que xy − 1 > 0 y x + y ≥ 0.

c

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Cálculo III Igualmente, por las operaciones algebraicas de las variables y los valores de las funciones de la Física-Matemática es posible definir la composición de las siguientes funciones, por ejemplo. No siempre las operaciones de campos escalares están definidas. p √ Ejemplo 15. Sea f (x, y) = xy y g(x, y) = 1 − (x − 2)2 − (y + 2)2 . Entonces el dominio de f , Df , está localizado en el primer y tercer cuadrante, mientras que el dominio de g, Dg , está localizado en el cuarto cuadrante. El tal caso D = Df ∩ Dg = ∅ y por tanto, por ejemplo, la función h(x, y) = f (x, y)g(x, y) = √ p xy 1 − (x − 2)2 − (y + 2)2 no está definida.

D = Df ∩ Dg = ∅. Definición 16 (composición de funciones). Las composiciones de funciones que a continuación se definen, se suponen que están bien definidas. 1. Sean f : A ⊆ Rn → R una función de n variables y h : B ⊆ R → R una función real tales que f (A) ⊆ B de tal manera que la función compuesta h ◦ f esta definida en A. Entonces h ◦ f es una función de n variables, la cual está definida como (h ◦ f )(x) = h(f (x)) para todo x en A. c

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Cálculo III 2. Sean R : I ⊆ R → Rn una función vectorial y f : A ⊆ Rn → R una función de n variables tales R(I) ⊆ A de tal manera que la función compuesta f ◦ R esta definida en el intervalo I. Entonces f ◦ R es una función escalar la cual está definida como (f ◦ R)(t) = f (R(t)) para todo t en I. 3. Sean Φ : A ⊆ R2 → R3 una función de superficie y f : D ⊆ R3 → R una función de 3 variables tales que Φ(A) ⊆ D de tal manera que la función compuesta f ◦ Φ esta definida para todo (u, v) en D. Entonces f ◦ Φ es una función de 2 variables la cual está definida como (f ◦ Φ)(u, v) = f (Φ(u, v)) para todo (u, v) en A. 4. Sean F : A ⊆ Rn → Rn una función de variable y valor vectorial y f : D ⊆ Rn → R una función de n variables tales que F (A) ⊆ D de tal manera que la función compuesta f ◦ F esta definida para todo x en A. Entonces f ◦ F es una función de n variables la cual está definida como (f ◦ F )(x) = f (F (x)) para todo x en A. 5. Sean Φ : A ⊆ R2 → R3 una función de superficie y F : D ⊆ R3 → R3 un campo vectorial en R3 tales que Φ(A) ⊆ D de tal manera que la función compuesta F ◦ Φ esta definida para todo (u, v) en D. Entonces F ◦ Φ es una función de superficie la cual está definida como (F ◦ Φ)(u, v) = F(Φ(u, v)) para todo (u, v) en A. Ejemplo 17. Suponga que la temperatura en cualquier punto del espacio es dada mediante la función T (x, y, z) = kx2 yz donde k es una constante positiva. Si un mosquito se encuentra en el tiempo t en la posición x = t, y = t2 sen t, z = cos t, encontrar la función que determina la temperatura del mosquito en cualquier tiempo t. ˆ la función que determina la posición del mosquito en un tiempo t. Solución. Sea R(t) = tˆı + t2 sen tˆ + cos tk Entonces la función que nos da la temperatura del mosquito en cualquier tiempo t resulta ser g(t) = (T ◦ R)(t) = T (R(t)) = T (t, t2 sen t, cos t) = kt4 sen t cos t. Se debe considerar a t ≥ 0. Ejemplo 18. Suponga nuevamente que la temperatura en cualquier punto del espacio es dada mediante la función T (x, y, z) = kx2 yz donde k es una constante positiva. Determine la temperatura en cada uno de los puntos de la superficie S de ecuación z = 1 − x2 − y 2 . Solución. Los puntos (x, y, z) de la superficie S se pueden parametrizar mediante la función de superficie Φ(x, y) = (x, y, 1 − x2 − y 2 ). Por lo tanto, la función que determina la temperatura en cada punto de S es la función de dos variables (T ◦ Φ)(x, y) = T (Φ(x, y)) = T (x, y, 1 − x2 − y 2 ) = kx2 y(1 − x2 − y 2 ). c

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Cálculo III Ejemplo 19. Suponga que la temperatura en cualquier punto del espacio es dada mediante la función T (x, y) = kx2 y donde k es una constante positiva. Determine la temperatura dentro de cualquier punto del disco D de centro en el origen y de radio 1, el cual está determinado por todos los puntos del plano xy tales x2 + y 2 ≤ 1. Solución. Para poder determinar la temperatura en los puntos (x, y) del disco D se necesita una función. Para ellos se considera la representación de D mediante las ecuaciones paramétricas x = r cos θ, y = r sen θ

0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π,

la cual define la transformación de coordenadas rθ a coordenadas xy, F (r, θ) = (r cos θ, r sen θ),

(r, θ) ∈ [0, 1] × [0, 2π].

Entonces la función que nos da la temperatura en cualquier punto del disco D la podemos dar en coordenadas polares resulta ser g(r, θ) = (T ◦ F )(r, θ) = T (R(r, θ)) = T (r cos θ, r sen θ) = kr3 cos2 θ sen θ. Ejemplo 20. Sea V(x, y, z) = (x + y − z, xyz, x2 + yz) el campo vectorial de velocidades del flujo de un fluido en el espacio. (a) Determinar la acción de V en cada punto del plano E de ecuación 2x − 3y + z = 6, (b) Determine la componente de V en la dirección normal de cada punto del plano E. Solución. La parametrización del plano E está dada mediante la función de superficie Φ(x, y) = (x, y, 6 − 2x + 3y). Así que la acción del campo de velocidades V del flujo del fluido en cada punto del plano E está dada mediante el campo escalar (V ◦ Φ)(x, y) = V(Φ(x, y)) = V(x, y, 6 − 2x + 3y) ˆ = (x + y − (6 − 2x + 3y))ˆı + xy(6 − 2x + 3y)ˆ + (x2 + y(6 − 2x + 3y))k ˆ = (3x − 2y − 6)ˆı + xy(6 − 2x + 3y)ˆ + (x2 − 2xy + 3y 2 + 6y)k.

c

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Cálculo III

Acción del campo vectorial de velocidades sobre el plano.

Vectores normales al plano. c

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Cálculo III El vector n = (2, −3, 1) es normal en cada punto (x, y, z) del plano E. Por tanto, la componente de V en la dirección normal de cada punto (x, y, z) de E está dada mediante el campo escalar   2 2 ˆ ˆ (V ◦ Φ)(x, y) · n = (3x − 2y − 6)ˆı + xy(6 − 2x + 3y)ˆ + (x − 2xy + 3y + 6y)k · (2ˆı − 3ˆ + k) = 2(3x − 2y − 6) − 3xy(6 − 2x + 3y) + (x2 − 2xy + 3y 2 + 6y) = x2 + 3y 2 − 20xy + 6x2 y − 9xy 2 + 6x + 2y − 12.

Gráfica del campo escalar V · n sobre la superficie del plano 2x − 3y + z = 6.

c

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