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Las ideas ba´ sicas del ca´ lculo Sebastià Martín Molleví P01/75005/00101 © FUOC • P01/75005/00101 Las ideas b´asicas
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Las ideas ba´ sicas del ca´ lculo Sebastià Martín Molleví P01/75005/00101
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Las ideas b´asicas del c´alculo
I´ndice
´ ....................................................... Introduccion
7
Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1. Las ideas de continuidad y de límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1. Ejemplos de discontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
´ de continuidad de una funcion ´ en un punto . . . . . . . 1.2. La nocion
11
´ de discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Clasificacion
12
1.4. C´alculo de los l´ımites m´as sencillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
´ ..................... 1.5. Estudio de la continuidad de una funcion
14
1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.7. Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
´ de una funcion: ´ 2. La medida de la variacion la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
´ de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Volvemos a la definicion
17
´ geom´etrica de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Interpretacion
18
´ f´ısica de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Interpretacion
19
2.4. Diferentes notaciones para la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.5. Las unidades de la magnitud derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.7. Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3. El cálculo automático de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.1. Las primeras reglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.2. La derivada de las potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.3. La regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
´ de la regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Aplicacion
28
3.5. Derivadas exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.6. Derivadas de funciones trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.8. Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4. Aplicaciones de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.1. La derivada de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
´ impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Derivacion
35
´ lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. La derivada como aproximacion
36
´ de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Aproximacion
37
4.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
4.6. Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
5. La integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
5.1. La integral como a´ rea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
5.2. El signo de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
5.3. M´as sobre la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
5.4. La integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
5.5. Notaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
5.6. Propiedades de la integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
5.7. Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
´ entre la derivada y la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Relacion
53
6.1. La diferencia entre dos primitivas de una misma constante . . .
54
6.2. C´alculo de a´ reas mediante primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
6.3. Aplicaciones de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
6.4. Las unidades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
6.5. Todav´ıa algo m´as sobre notaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
6.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
6.7. Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
´ 7. El calculo de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
´ 7.1. Integrales de funciones polinomicas y potenciales . . . . . . . . . . . .
59
7.2. Integrales definidas e integrales indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
7.3. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
7.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
7.5. Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
´ 8. M´etodos generales de calculo de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
´ por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1. Integracion
64
8.2. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
8.3. Cambio de variables en integrales definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
´ de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Integracion
67
8.5. M´etodo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
8.6. Integrales racionales de uso frecuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
8.7. Integrales racionales en las que el denominador ´ tiene ra´ıces reales simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . solo
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´ tiene 8.8. Integrales racionales en las que el denominador solo ´ ra´ız real multiple ..............................................
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8.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
8.10. Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
9. Los principales teoremas del c´ alculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
9.1. Teoremas de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
9.2. Teoremas sobre la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
9.3. Teoremas sobre la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
9.4. Teorema fundamental del c´alculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
9.5. Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
´ Ejercicios de autoevaluacion ....................................
84
Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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´ Introduccion
´ Dedicamos este modulo al estudio sistem´atico y m´as formal de los conceptos y las t´ecnicas del c´alculo infinitesimal. Algunos de los conceptos que se estudiar´an ya se hab´ıan introducido en el ´ ´ modulo “Las funciones de una variable”, en el que se centraba la atencion en las familias de funciones y sus aplicaciones. No obstante, en el presente ´ modulo presentaremos el concepto de l´ımite, una herramienta necesaria para definir la mayor parte de las nociones fundamentales del an´alisis: continuidad, derivabilidad e integrabilidad. A grandes rasgos, vamos a hacer hincapi´e en tres conceptos b´asicos: el ´ en un punto, la derivada de una funcion ´ en un l´ımite de una funcion ´ en un intervalo. punto y la integral de una funcion
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Objetivos
´ La finalidad del modulo es que adquir´ais las t´ecnicas b´asicas del c´alculo, que se pueden concretar en los siguientes objetivos: 1.
Reconocer las funciones continuas.
2.
Saber calcular l´ımites sencillos.
3.
Identificar los diferentes tipos de discontinuidades que se presenten.
4.
´ Derivar las funciones m´as usuales y aplicar las reglas de derivacion elementales, incluyendo la regla de la cadena.
5.
´ por Calcular integrales sencillas y utilizar las t´ecnicas de integracion ´ partes y por sustitucion.
´ los teoremas Adem´as, ten´eis que conocer y saber aplicar con precision ´ relacionados con estos conceptos, que se presentan al final del modulo.
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1. Las ideas de continuidad y de límite .
´ En este apartado veremos como se caracteriza el hecho elemental de que la ´ se pueda dibujar con un sola l´ınea y analizaremos gr´afica de una funcion qu´e inter´es puede tener esto desde el punto de vista de las aplicaciones. Adem´as clasificaremos las situaciones en que esto no sucede.
1.1. Ejemplos de discontinuidad Ejemplo 1.1. Un vendedor, tambi´en conocido como director comercial de zona, de la empresa Sobresalto, ´ sobre las ventas mensuales segun ´ se muestra en la siguiente tabla: S.A. cobra comision
Ventas
% comisión 7% 10% 12% 15%
hasta 500.000 de 500.000 a 1m de 1 m a 1,5 m más de 1,5 m
´ C(v) que proporciona la comision ´ que se debe cobrar por Podemos expresar la funcion unas ventas de v millones de pesetas de la siguiente manera:
C(v) =
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
0, 07v 0, 10v 0, 12v 0, 15v
si v ≤ 0, 5 si 0, 5 < v ≤ 1 si 1 < v ≤ 1, 5 si v > 1, 5
(1.1)
´ no es continua. ¿Qu´e quiere decir eso? ¿Como ´ La funcion lo sabemos? Vemos que por unas ventas de 500.000 pesetas, el vendedor cobra 35.000 y, en caso de que venda 500.001 ´ en la variable independiente pesetas, ya cobra 50.000. As´ı, una pequeña modificacion provoca un salto en la dependiente. ´ en el programa de gr´aficas, y all´ı encontraremos Podemos ver la gr´afica de la funcion algunos problemas, puesto que el programa de gr´aficas espera que la mayor parte de ´ ´ las funciones con que trabajamos vengan dadas por una unica expresion. En algunas ocasiones, nos encontramos con funciones parecidas a e´ sta:
f(x) =
0, 07x 0, 10x
si si
x ≤ 0, 5 x > 0, 5
En el programa de gr´aficas, esto significa que para calcular f (x) es necesario comprobar si x ≤ 0, 5 y que si esto es cierto, f (x) vale 0,07, y que si no lo es, tiene que valer 0, 10x.
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El resultado puede no ser satisfactorio por completo. Para entendernos, tenemos que saber que lo que hace el programa de gr´aficas para dibujarlas es calcular, dentro del intervalo de las x, 100 puntos igualmente separados unos de otros; despu´es, calcula el valor de la ´ en los 100 puntos y, por ultimo, ´ funcion une con una l´ınea los puntos del plano que se hayan obtenido. Todo esto provocar´a que el salto que sufren las comisiones, cuando las ventas llegan a 0,5 millones, se vea como una pequeña rampa m´as que como un salto. ´ ser´ıa calcular con el programa de gr´aficas no 100, sino (pongamos por caso) Una solucion 1.000 puntos de la gr´afica. Podemos ver que el resultado mejora bastante; ahora, los saltos aparecen como segmentos pr´acticamente verticales. No obstante, podemos mejorar todav´ıa m´as el aspecto de la gr´afica, si le pedimos al programa de gr´aficas que no una los puntos con las l´ıneas, sino que se limite a dibujar los puntitos que ha calculado: Tenemos, por lo tanto,... ... una funcion ´ que est´a definida en todos los x ≥ 0 y que es continua para todos los puntos, a excepcion ´ de x = 0, 5, x = 1, x = 1, 5.
Ejemplo 1.2. Existen algunas funciones discontinuas que se utilizan con frecuencia en modelos mate´ propios. Por ejemplo, la parte entera de un m´aticos y que poseen nombre y notacion ´ numero real positivo x es el entero mayor que no supera x, es decir: [x] = max{z ∈ Z : z ≤ x}. ´ se pueden construir modelos sencillos para situaciones Mediante el uso de esta funcion ´ como la que hemos visto. Por ejemplo, la funcion: f (x) = x [x] se comporta de forma similar a la del ejemplo anterior, la del vendedor. Observad este comportamiento en el programa de gr´aficas.
Ejercicio 1.1. A pesar de que se pueden definir los intereses continuos, en la realidad siempre se aplican ´ los intereses simples. Podemos tener un deposito en el banco con estas condiciones: 1) El capital inicial es de 1.000 u.m., y la tasa de inter´es es del 5%. 2) Si retiramos el dinero antes de acabar el año, nos lo devuelven junto con la parte ´ el tiempo que haya transcurrido. proporcional de los intereses en funcion 3) Al final de cada año, si no hemos tocado el dinero, al capital se le acumulan los intereses. ´ definida a trozos que sea del mismo tipo que (1,1) y con la que se Elaborad una funcion ´ obtenga el dinero que recaudar´ıamos si retir´asemos el deposito en el momento correspondiente a x años, para 0 ≤ x ≤ 3. Es muy probable que os convenga plantear por separado ´ y determinad como ´ cada uno de los años. Dibujad un croquis de la gr´afica de la funcion ´ resultante? ¿Es podr´ıais introducirla en el programa de gr´aficas. ¿Es continua la funcion derivable en todos los puntos? ¿Es continua su derivada?
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En la realidad, a menudo se presentan situaciones donde algunas magnitu´ des cambian su valor de repente. Las tarifas el´ectricas se modifican segun ´ puede exigir medidas de seguridad diferentes en el consumo, la legislacion ´ de la energ´ıa el´ectrica consumida y su coste puede ser, tambi´en, funcion muy diferente. Las discontinuidades no son f´aciles de tratar, as´ı que lo que se suele hacer es estudiar por separado los tramos del modelo donde las variables se comporten de forma continua.
´ de continuidad de una funcion ´ en un punto 1.2. La nocion No entraremos en un an´alisis demasiado formal del concepto de l´ımite, aunque s´ı hablaremos del comportamiento de los valores cuando nos acercamos a un valor de x. Si tenemos un valor x = a que nos interesa, podemos tomar una serie de valores que se vayan aproximando a a y observar qu´e pasa con los valores correspondientes de f (x). En caso de que veamos que se est´an acercando a un valor A, diremos que A es el l´ımite de f (x) cuando x tiende a a. ´ diremos que A es el l´ımite de f (x) cuando x tiende Con mayor precision, a a si, dado un entorno cualquiera V del valor A, existe un entorno U del punto a, tal que ∀x ∈ U se tiene que f (x) ∈ V . En tal caso, escribiremos: lim f (x) = A.
x→a
´ con la gr´afica que ten´eis a continuacion: ´ Ilustremos esta definicion
(dado)
(existe)
En el c´alculo de l´ımites, a medida que nos acercamos al punto a, en muchas ocasiones ser´a de gran utilidad distinguir si lo hacemos por la derecha (es decir, considerando valores de x mayores que a) o por la izquierda (considerando valores de x menores que a). Escribiremos: lim f (x) = A
x→a−
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para designar el l´ımite de f (x) cuando x tiende a a por la izquierda, y: lim f (x) = A
x→a+
para designar el l´ımite de f (x) cuando x tiende a a por la derecha. Cuando los dos l´ımites laterales (el l´ımite por la derecha y el l´ımite por la izquierda) existen y coinciden, entonces su valor es el l´ımite de f (x) cuando x tiende a a. ´ Para finalizar, podemos definir el concepto de continuidad de una funcion en un punto. . ´ f es continua en un punto a si el l´ımite de f (x), cuando Una funcion x tiende a este punto, existe y coincide con f (a).
Por ejemplo, si observamos la gr´afica de las comisiones del vendedor de Sobresalto, S.A., podremos afirmar que: lim C(v) = 0, 035,
v→0,5−
lim C(v) = 0, 05,
v→0,5+
lim C(v) = lim− C(v) = lim C(v) = 0, 3.
v→2+
x→2
v→2
´ Cuando v se acerca a 0,5, decimos que el l´ımite de C(v) no existe, solo existen los l´ımites laterales y son diferentes. En cambio, cuando v tiende a 2, los l´ımites laterales coinciden y, en consecuencia, diremos que el l´ımite ´ no es de C(v), cuando v tiende a 2, existe y es 0,3. As´ı pues, la funcion continua para x = 0, 5, pero s´ı lo es para x = 2. Ejercicio 1.2. Calculad los l´ımites laterales de las siguientes funciones y determinad si son continuas o ´ no en el punto en cuestion. Pod´eis comprobar, dibujando las gr´aficas de las funciones cerca del punto correspondiente, que el resultado obtenido concuerda. a) f (x) =
x |x|
b) f (x) =
x+1 x−1
c) f (x) =
2 x√ −16 4 x−8
cuando x → 0, donde |x| indica el valor absoluto. para x → 1. cuando x → 4.
´ de discontinuidades 1.3. Clasificacion ´ puede dejar de ser continua en un punto de diferentes maneras; Una funcion las repasaremos y aportaremos algunos ejemplos.
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1) Discontinuidad evitable: cuando los l´ımites laterales en un punto ´ o bien no est´a definida en aquel punto o bien coinciden, pero la funcion toma un valor diferente del de los l´ımites laterales. El apartado c del ejerci´ cio anterior es un buen ejemplo de esta situacion. En definitiva, decimos ´ f tiene una discontinuidad evitable en x = a, cuando, tras que la funcion ´ de f (x), cambiar o añadir el valor de f (a) adecuadamente en la definicion ´ ya es continua en a. la funcion 2) Discontinuidad de salto. Cuando los dos l´ımites laterales existen, pero ´ resulta que son dos numeros diferentes, diremos que tenemos una discon´ de las comisiones del vendedor presenta una tinuidad de salto. La funcion ´ del apartado a discontinuidad de salto finito en tres puntos y la funcion del ejercicio 1.2 tambi´en presenta este tipo de discontinuidad. Observad ´ est´e definida o no en el punto conflictivo, que no importa que la funcion ni qu´e valor tenga en e´ ste. 3) Discontinuidades con as´ıntota vertical: puede ser que alguno de los ´ l´ımites laterales sea infinito. Esta es una manera de decir que cuando x se acerca a a, los valores de f (x) se hacen cada vez mayores. Puede ser que ´ en uno de ellos, y os encontr´eis con valores grandes a ambos lados, o solo tambi´en puede ser que los l´ımites laterales sean infinitos del mismo signo o de signo diferente. Como ejemplos sencillos, pensad en las funciones o
1 x2
´ cuando x → 0+ o x → 0− . Un ejemplo curioso es la funcion
[x] x−[x] .
1 x
´ ´ sencillos 1.4. Calculo de los l´ımites mas ´ algebraica f (x) conformada con Para calcular el l´ımite de una expresion las operaciones habituales cuando x → a, lo primero que hay que hacer es ´ no encontramos comprobar si se puede evaluar en a. Si en esta sustitucion ´ problema, podemos decir que cuando x se acerca a a, f (x) tender´a ningun a f (a).
!
´ Uno de los problemas que se pueden presentar al efectuar la sustitucion es que se anule el denominador. En este caso, si el numerador no se ´ cerca de aquel punto toma valores infinitamente anula tambi´en, la funcion grandes, cuyo signo se tendr´a que estudiar por separado cuando x sea mayor o menor que a. Si tanto el numerador como el denominador se anulan al sustituir x por a, ´ tenemos una indeterminacion
0 0
´ que trataremos en el modulo “Profundi-
´ en las t´ecnicas del c´alculo”. zacion
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Haced los ejercicios que encontrar´eis al final de este apartado, en especial si no ten´eis pr´actica con el c´alculo de l´ımites.
´ 1.5. Estudio de la continuidad de una funcion ´ es continua es la que nos La regla m´as usual para saber si una funcion asegura que la suma, la diferencia y el producto de las funciones continuas tambi´en son funciones continuas. El cociente de dos funciones continuas es continuo en todos los puntos donde no se anule el denominador, y ´ de funciones continuas es continua en todos los puntos la composicion donde est´a definida. Esto significa que, por regla general, las expresiones algebraicas que se pueden evaluar sin problemas aritm´eticos tampoco tendr´an problemas de continuidad. Como hemos visto, uno de los problemas que pueden surgir es que se anule un denominador.
1.6. Ejercicios 1.3. Calculad los siguientes l´ımites:
x2 + 1 x2 − 1
a) lim
x→2
b) lim
x→2
c) lim
2x+3
x 3x − 1 − 2 x2 − 4 x − 3x + 2
x→∞
4x2 + x − 2x
´ de cada una de las funciones que tenemos 1.4. Estableced cu´al es el dominio de definicion ´ e indicad en qu´e puntos presentan problemas de continuidad. Explicad qu´e a continuacion tipo de discontinuidad es la que se presenta. a) f (x) = x4 − 3x2 + 1 b) f (x) =
x x−1
c) f (x) =
√1 2−x
d) f (x) =
x x2 +1
e) f (x) =
x8 −3x2 +1 x2 +2x−2
f) f (x) = g) f (x) =
x+1 12 x−1 √ 1 x+ x x2 +2x+2
h) f (x) = |x| + i) f (x) =
√1 x
1 |x| 3
+ x7 (x + 2)− 2
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1.7. Solucionario ´ definida por trozos con discontinuidades en x = 1 1.1. Igual que en (1.1), ser´a una funcion ´ y x = 2. Sea D(x) el l´ıquido que obtenemos si retiramos el deposito en el momento igual a x años. En el primer año, 0 ≤ x < 1, tendremos: D(x) = 1.000 + 0, 05 · 1.000x, ya que x nos da de manera directa la parte de año transcurrida. Tendremos D(1) = 1.000 + + 50 = 1.050. En el segundo año, ser´a: D(x) = 1.050 + 0, 05 · 1.050(x − 1) = 1.050 + 52, 5(x − 1),
1 ≤ x < 2.
Y, dado que D(2) = 1.102, 5, para el tercer año ser´a: D(x) = 1102., 5 + 0, 05 · 1102, 5(x − 2) = 1102, 5 + 55, 125(x − 2),
2 ≤ x < 3.
En resumen:
D(x) =
⎧ ⎨
1000 + 50x 1050 + 52, 5(x − 1) 1102, 5 + 55, 125(x − 2)
⎩
si 0 ≤ x < 1 si 1 ≤ x < 2 si 2 ≤ x < 3
(1.2)
´ es continua en todos los puntos; nos es derivable en x = 1 o x = 2, ya que la La funcion pendiente cambia bruscamente en estos puntos. Si hac´eis la gr´afica, ver´eis que la diferencia entre las pendientes en los tres tramos es casi inapreciable, incluso puede que teng´ais que poner el borde de una hoja de papel sobre la pantalla para notar con claridad la diferencia. 1.2. a) Si hab´eis hecho la gr´afica mediante el programa de gr´aficas, os habr´eis dado cuenta de que x es igual a 1, cuando x toma valores positivos , y a −1, para x negativas. Por lo tanto: |x| lim
x→0+
lim
x→0−
x x = lim = lim 1 = 1 |x| x→0+ x x→0+
x x = lim = lim −1 = −1 |x| x→0− −x x→0−
´ al hecho de que cuando nos acercamos a 1 el denominador disminuye y b) Prestad atencion el numerador permanece cercano a 2. El signo del denominador depende de si nos acercamos por la derecha o por la izquierda. Por lo tanto: lim
x+1 = +∞ x−1
lim
x+1 = −∞ x−1
x→1+
x→1−
√ √ c) Para extraer la ra´ız del denominador partimos de (4 x − 8)(4 x + 8) = 16(x − 4).
lim x→4
x2 − 16 √ 4 x−8
= = =
√ (x − 4)(x + 4)(4 x + 8) = √ √ (4 x − 8)(4 x + 8) x→4 √ (x − 4)(x + 4)(4 x + 8) lim = 16(x − 4) x→4 √ (x + 4)(4 x + 8) lim = 8. 16 x→4 lim
Observad que, en este caso, los l´ımites por la derecha y por la izquierda coinciden. 1.3. ´ es necesario sustituir la x por el valor al que tendemos. a) Solo
lim x→2
x2 + 1 x2 − 1
2x+3 =
7 5 3
.
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´ por x = 2, nos queda un l´ımite indeterminado b) Observad que si efectuamos la sustitucion ´ de la forma 00 . En este caso, lo primero que hay que hacer es averiguar el denominador comun y simplificar los factores que aparecen en el denominador y el numerador. lim x→2
x 3x − 1 − 2 x2 − 4 x − 3x + 2
=
lim x→2
=
lim x→2
x(x − 1)(x − 2) − (3x − 1)(x − 2)(x + 2) = (x2 − 4)(x2 − 3x + 2) x(x − 1) − (3x − 1)(x + 2) = −∞. (x + 2)(x − 1)(x − 2)
´ ∞ − ∞; aplicaremos el m´etodo de multiplicar y dividir c) Aqu´ı aparece la indeterminacion ´ conjugada. por la expresion
lim ( x→+∞
4x2 + x − 2x)
=
lim x→+∞
=
lim x→+∞
=
lim x→+∞
√ √ ( 4x2 + x − 2x)( 4x2 + x + 2x) = √ ( 4x2 + x + 2x) (4x2 + x − 4x2 ) x = lim = √ √ x→+∞ ( 4x2 + x + 2x) ( 4x2 + x + 2x) 1 1 1 = √ = .
1 4 4 + 2 4+ x +2
1.4. a) Al ser un polinomio, el dominio ser´a Dom f = IR y no presentar´a ninguna discontinuidad. b) Recordad que, para un cociente de polinomios, los puntos que anulan el denominador (y no el numerador) no pertenecen al dominio, adem´as de ser puntos con problemas de ´ tiene una discontinuidad con continuidad. As´ı, en este caso, Dom f = IR − {1}, y la funcion as´ıntota vertical en x = 1. c) Aqu´ı encontramos un cociente con un numerador definido para todo IR y una ra´ız de ´ındice par en el denominador. Por tanto, para encontrar el dominio hay que considerar para qu´e puntos el radicando ser´a estrictamente positivo (no puede ser cero porque se encuentra en el denominador). El dominio ser´a, entonces, Dom f = {x ∈ IR : x < 2} y, en consecuencia, no ´ punto con problemas de continuidad. habr´a ningun ´ al hecho de que el denominador no se anula nunca y que, por lo tanto, d) Prestad atencion Dom f = IR y no hallamos puntos problem´aticos por lo que respecta a la continuidad. e) Puesto que no hay ra´ıces comunes entre el denominador y el numerador, el dominio 2 vendr´a dado por todo IR √menos las ra´ıces √ del denominador. As´ı, resolviendo x + 2x − 2 = 0 obtenemos x1 = −1 + 3, x2 = −1 − 3. Por lo tanto, Dom f = IR − {x1 , x2 }. Tendremos dos discontinuidades con as´ıntota vertical en los puntos x1 , x2 .
x+1 ≥ 0 y, adem´as, que el f) Para definir bien la ra´ız, es necesario que el radicando x−1 denominador sea diferente de cero. De este modo, estas condiciones nos definen los dos ´ sistemas de ecuaciones que vemos a continuacion:
x+1≥0 x−1>0
x+1≤0 x−1 1 y x ≤ −1. As´ı, podemos escribir el dominio como Dom f = (−∞, −1] ∪ (1, ∞). En cuanto a la continuidad, no hay puntos problem´aticos. g) Observad que el denominador no tiene ra´ıces reales y, por tanto, no se anula nunca. En ´ x1 no est´a el caso del numerador, por otro lado, la ra´ız impone x ≥ 0 y, por otra, la funcion definida para x = 0. De estas dos condiciones se desprende que Dom f = (0, +∞). ´ se puede presentar como: h) Observad que esta funcion f (x) = |x| +
1 = |x|
x + x1 −x −
1 x
x>0 x 0. La segunda parte no se ha comprobado todav´ıa de una manera general, pero s´ı que la dejaremos anotada. De hecho, ya la hab´eis comprobado un 1
par de veces en casos concretos, x−1 y x 2 , en el ejercicio 2.1.
3.3. La regla de la cadena ´ Esta es la regla m´as importante de todas, la que nos da una mayor capacidad para calcular cualquier derivada que se nos presente. Se denomina regla de la cadena porque el hecho de componer funciones es como encadenarlas. . ´ compuesta f (x) = g1 (g2 (x)), la derivada ser´a: Si tenemos una funcion f (x) = g1 (g2 (x)) · g2 (x). ´ diferencial, si z es funcion ´ de y e y es funcion ´ de x, En notacion tenemos: dz dy dz = · . dx dy dx
´ de la regla es m´as sencilla, peligrosamente sencilla La segunda formulacion incluso, porque hay que saber interpretarla bien para no caer en errores. ´ compuesta es el producto de Podemos decir que la derivada de la funcion
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derivadas, pero volvemos a simplificarlo demasiado y corremos peligro de equivocarnos.
!
Ejemplo 3.3. √ ´ de dos funciones, ln y ra´ız cuadrada. En la Sea f (x) = ln x . f es una composicion √ ´ de la regla anterior, g2 (x) = ln x y g1 (x) = x. Tendremos, en consecuencia notacion 1 g1 (x) = 2√ y g2 (x) = x1 . En definitiva: x 1 1 f (x) = g1 (g2 (x)) · g2 (x) = √ . 2 ln x x ´ en este mismo ejemplo, diremos que y = ln x y que Si utilizamos√la otra notacion √ z = y = = ln x. Por lo tanto: 1 dz 1 1 1 = √ = √ . dx 2 yx 2 ln x x
Ejemplo 3.4. ´ D(p) y que el Supongamos que la demanda de un producto depende de su precio segun ´ p = p(t). De este modo, la variacion ´ de la demanda a lo precio var´ıa en el tiempo segun largo del tiempo ser´a: dD dD dp = . dt dp dt Concret´emoslo un poco: supongamos que en un momento determinado (t0 ) el precio ´ del precio respecto del tiempo es de 2 monedas por es de 10 monedas y la variacion d´ıa, hecho que, por otra parte, ya sabemos interpretar. Y tambi´en imaginemos que la ´ de la demanda cuando el precio es de 10 viene dada por D (10) = 500 toneladas variacion por moneda. Podemos escribir:
dD dt
= D (p(t0 )) · p (t0 ) = 500 · 2. t0
´ de la demanda respecto del tiempo ser´a de Es decir, que la tasa instant´anea de variacion 1.000 toneladas por d´ıa.
´ de la regla de la cadena 3.4. Aplicacion
La regla de la cadena nos permite deducir otras reglas. Por ejemplo, si consideramos que para un exponente c cualquiera: c
xc = eln x = ec ln x ,
podemos deducir que:
xc 1 d c x = ec ln x · c · = c = cxc−1 , dx x x
lo que nos demuestra la regla que ya hab´ıamos adelantado en el apartado 3.2.
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Todav´ıa podemos generalizar un poco m´as esta regla: . Si f (x) = g(x)c , cuando c es una constante cualquiera y g(x) es positiva: f (x) = cg(x)
c−1
En particular:
g (x).
−g (x) d 1 = . dx g(x) g(x)2
Esto nos permite deducir una regla que tambi´en es famosa, la de la derivada de un cociente. Si U y V dependen de x, aplicamos la regla del producto y la anterior: − dV d 1 dU 1 d U = U = + U dx = dx V dx V dx V V2 O de manera equivalente:
dU dx V
− U dV dx . V2
U V − U V . V2
3.5. Derivadas exponenciales ´ que la derivada de la En el apartado 1.7. hemos aceptado como definicion ´ exponencial f (x) = ex es ella misma. Y hemos demostrado en el funcion mismo apartado que
ln x =
d dx
1 x.
´ de la regla de la Una sencilla aplicacion
cadena nos permite calcular ahora: dax dx
d (x ln a) d ln ax = = e e dx dx = e(x ln a) ln a = ax ln a. =
3.6. Derivadas de funciones trigonom´etricas Recordemos la derivada de las funciones seno y coseno: (sin x) = cos x (cos x) = − sin x
!
A partir de estas dos expresiones, podemos deducir las derivadas del resto de las funciones trigonom´etricas, como pueden ser la tangente y la cotangente: tan x =
sin x cos x ,
cot x =
cos x sin x .
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´ Utilizaremos la formula de la derivada de un cociente: U = sin x, (tan x) =
V = cos x, tan x =
sin x cos x .
U V − U V cos x cos x − sin x(− sin x) cos2 x + sin2 x = = . V2 cos2 x cos2 x
´ se puede simplificar de dos formas distintas: Esta expresion
1)
cos2 x + sin2 x cos2 x sin2 x = + = 1 + tan2 x. cos2 x cos2 x cos2 x
2) Recordando que sin2 x + cos2 x = 1, ∀x, y por lo tanto: 1 cos2 x + sin2 x = . 2 cos x cos2 x En resumen:
(tan x) = 1 + tan2 x =
1 cos2 x
Y, de manera an´aloga:
(cot x) = −1 − cot2 x = −
1 sin2 x
Para acabar, explicitaremos la derivada de algunas funciones trigonom´etricas inversas, ya que nos ser´an de utilidad m´as adelante, por ejemplo en el c´alculo de primitivas de funciones.
(arcsin x) =
√ 1 , 1−x2
1 (arccos x) = − √1−x , (arctan x) = 2
3.7. Ejercicios 3.1. Calculad la derivada de las siguientes funciones: a) f (x) = (x2 + x)(2x3 − x2 + 4x + 2). b) f (x) =
√ x √ . x+1
c) f (x) =
1 x
+ ex .
d) f (x) = x ln x2 . e) f (x) = 2x+3 . f) f (x) = x tan x. g) f (x) = ln(sin x).
1 1+x2
Comentario La función arcsin x proporciona el a´ ngulo entre − π2 y π2 que tiene por seno el valor x. Ejemplo: arcsin 1 = π2 .
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´ ´ evoluciona a lo largo del tiempo de la forma 3.2. El numero de individuos de una poblacion ´ que indica la ecuacion: LP0 , P = P0 + (L − P0 )e−Lkt donde P0 es el valor inicial cuando t = 0 y L es una constante positiva. Calculad la tasa de ´ y la tasa relativa de crecimiento, PP . Comprobad que se cumple: crecimiento de la poblacion P = k(L − P ). P ´ 3.3. Los impuestos que una empresa se ve obligada a pagar dependen de los beneficios segun ´ T (B). Los beneficios (B) se expresan como I − C, donde los ingresos (I) y los la funcion ´ de la cantidad producida (c). Lo que ten´eis que hacer es calcular costes (C) est´an en funcion y desarrollar la derivada de T con respecto a c.
´ como el cociente ff . De3.4. Ya definimos la tasa relativa de crecimiento de una funcion ´ f es un producto de dos funciones, f (x) = g1 (x)g2 (x), su mostrad ahora que si la funcion tasa relativa de crecimiento es la suma de las tasas relativas de las dos funciones g1 y g2 .
3.8. Solucionario 3.1. ´ hay que aplicar la regla del producto: a) Solo f (x) = (2x + 1)(2x3 − x2 + 4x + 2) + (x2 + x)(6x2 − 2x + 4). ´ b) Aqu´ı unicamente tendremos que aplicar la regla del cociente: f (x) =
√ 1 √ ( x 2 x
√ 1 + 1) − x 2√ 1 x = √ √ . √ ( x + 1)2 2 x( x + 1)2
c) f (x) = − x12 + ex . d) Es necesario que apliquemos la regla de la cadena y la del producto: f (x) = ln x2 + x
1 1 2x = ln x2 + 2x2 2 = ln x2 + 2. x2 x
´ potencial: e) En este caso derivaremos una funcion f (x) = ln 2 2x+3 . f) Aplicaremos la regla del producto: f (x) = 1. tan x + x
x 1 = tan x + . cos2 x cos2 x
g) Hay que aplicar la regla de la cadena: f (x) = −
1 − cos x (sin x) = = − cot x. sin x sin x
3.2. La tasa de crecimiento no es m´as que la derivada de P con respecto a t, siendo L, P0 , k constantes. Por tanto: dP P = = −LP0 dt
(L − P0 )(−Lk)e−Lkt (P0 + (L − P0 )e−Lkt )2
=
L2 P0 k(L − P0 )e−Lkt . (P0 + (L − P0 )e−Lkt )2
´ la tasa relativa de crecimiento ser´a la expresion ´ anterior Por otro lado, a partir de la definicion, dividida por P . Entonces tendremos: 1 dP =− P dt
L2 P0 k(L−P0 )e−Lkt (P0 +(L−P0 )e−Lkt )2 LP0 P0 +(L−P0 )e−Lkt
y es f´acil comprobar que
Lk(L − P0 )e−Lkt = =k P0 + (L − P0 )e−Lkt
L(L−P0 )e−Lkt P0 +(L−P0 )e−Lkt
= L − P.
L(L − P0 )e−Lkt P0 + (L − P0 )e−Lkt
,
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3.3. Para resolver este problema, tendremos que usar la regla de la cadena. Observad que los ´ de los beneficios (B), que, a su vez, dependen de los ingresos impuestos (T ) son una funcion (I) y los costes (C), los cuales son funciones de la cantidad (c). Por lo tanto, T (B(c)) = = T (I(c) − C(c)). As´ı, la derivada de T respecto de q ser´a: dT dT dB dT = = dq dB dq dB
dI dC − dq dq
.
3.4. Queremos demostrar que cuando f (x) = g1 (x)g2 (x), entonces obtiene de manera directa aplicando la regla del producto: g g2 + g1 g2 g g f = 1 = 1 + 2. f g1 g2 g1 g2
f f
=
g1 g1
+
g2 , g2
que se
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4. Aplicaciones de la derivada .
´ de derivada y las t´ecnicas En este apartado justificaremos por qu´e la nocion ´ que hemos desarrollado para computarlas son realmente utiles cuando se trata de modelizar de manera matem´atica la realidad. Veremos qu´e ocurre ´ y, por ultimo, ´ cuando volvemos a derivar la derivada de una funcion nos miraremos las derivadas como una herramienta que nos permite determi´ ´ alrededor de un punto. nar aproximaciones polinomicas de una funcion
4.1. La derivada de la derivada ´ f es una nueva funcion ´ y, por lo tanto, la La derivada f de una funcion podemos volver a derivar. . La derivada de la derivada f se conoce como derivada segunda ´ diferencial, la derivada: de f y se escribe f . En notacion d2 y d dy se escribe dx dx dx2 y se lee derivada segunda de y respecto de x dos veces.
Ejemplo 4.1. Si f (x) = x2 − x + 3, tendremos f (x) = 2x − 1 y f (x) = 2. ´ de f , la segunda Si interpretamos la derivada primera como una medida de la variacion ´ de f . la interpretaremos como una medida de la variacion ´ es positiva; entonces, la funcion, ´ Por ejemplo, hemos visto que la derivada de la funcion que puede ser tanto positiva como negativa, es creciente. Una derivada segunda positiva significa que la derivada es creciente (sea positiva o negativa); en caso de que la derivada ´ crece y que su crecimiento cada sea creciente y positiva, podemos decir que la funcion vez es mayor. ´ Igual que hicimos en el apartado 3.4 del modulo “Las funciones de una variable”, conside4
3
2
remos el polinomio f (x) = x4 − 4x3 − 7x2 + 10x y su derivada g(x) = f (x) = x3 − 4x2 − −7x + 10. Ahora tambi´en nos interesa la derivada segunda h(x) = f (x) = 3x2 − 8x − 7. ´ Introducimos las tres funciones en el programa de gr´aficas y solicitamos su representacion gr´afica.
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Hemos señalado sobre la gr´afica los puntos para facilitar las explicaciones que se siguen: Comentario •
Desde D hacia la derecha, la derivada segunda es positiva y, en consecuencia, la derivada primera es creciente. Desde D hasta E, la derivada primera es creciente y ´ sea decreciente; pero, cuanto m´as a la derecha, negativa; esto provoca que la funcion ´ ni crece ni decrece. En este menos decreciente es, hasta llegar a E, donde la funcion ´ se mantiene estacionaria (la derivada es cero). De E hacia adelante, punto, la funcion ´ creciendo y es positiva; por lo tanto, la funcion ´ ser´a creciente, la derivada continua ´ o y cada vez crecer´a m´as. As´ı pues, en todo el tramo de D hacia delante, la funcion decrece cada vez menos o, lo que es lo mismo, crece cada vez m´as. En cualquier caso, ´ ser´a concava.
•
Desde B hasta D, la derivada segunda es negativa. En el primer tramo vemos que ´ es creciente; la derivada, al ser positiva y cada vez menor, provoca que la funcion ´ cada vez crezca menos. Llega un momento en que la derivada vale cero, la funcion ´ en este punto, ni crece ni decrece, se encuentra cuando estamos en C. La funcion, ´ es cada vez m´as estacionaria, su derivada vale cero. Desde C en adelante, la funcion decreciente, paulatinamente su bajada es mayor, ya que la derivada es cada vez menor, ´ es convexa. El punto D m´as negativa. En todo este intervalo decimos que la funcion ´ baja m´as, donde la derivada es m´ınima es remarcable: es el punto donde la funcion y un punto donde la derivada segunda vale cero.
•
Desde el inicio de la gr´afica hasta B, la derivada segunda es positiva o, dicho de otro ´ es cada vez modo: la derivada primera es creciente en todo este intervalo. La funcion m´as creciente, o menos decreciente, en todo este intervalo. Diremos, en este caso, ´ es concava. ´ que la funcion
´ y, en particular, del creEl estudio del comportamiento de una funcion cimiento y la concavidad se presentar´a de una forma m´as sistematizada ´ ´ en las t´ecnicas del c´alculo”. Sin embargo, en el modulo “Profundizacion de momento es interesante que entend´ais el ejemplo que acabamos de examinar. La tabla que encontramos aqu´ı os puede ser de gran ayuda:
creciente cóncava decreciente creciente convexa decreciente
Consideremos la gr´afica de una funcion, ´ dos puntos cualesquiera de esta gr´afica y el segmento que los une. Decimos que la funcion ´ es concava ´ cuando el segmento queda por encima de la gr´afica de la funcion ´ y convexa en caso contrario.
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´ impl´ıcita 4.2. Derivacion ´ de una variable en relacion ´ Lo m´as normal es que encontremos la expresion con otra de forma expl´ıcita, y = f (x). Es decir, tenemos la y aislada en un ´ tenemos la variable dependiente. En lado de la igualdad y en el otro solo otras ocasiones, nos podemos encontrar situaciones en las que las variables ´ Por ejemplo, la ecuacion: ´ se combinan en el mismo lado de la ecuacion. x2 y + 2y 3 = 3x + 2y ´ de dependencia entre x e y. Puede ser dif´ıcil, nos define una cierta relacion incluso imposible en algunos casos, conseguir aislar la y y expresarla de ´ de la x. Sin embargo, a pesar de todo, podemos manera expl´ıcita en funcion ´ interesarnos por el estudio de como cambia y cuando x var´ıa, es decir, por computar
dy dx .
.
Comentario
´ impl´ıcita para calcular y (x) consiste en La t´ecnica de la derivacion ´ respecto de x teniendo en cuenta derivar cada lado de la expresion ´ de x. en todo momento que y es funcion
Una forma de no olvidarse es poner y(x) en lugar de y y despu´es igualar las derivadas de ambos lados. As´ı, en el ejemplo: d d 2 (x y(x) + 2y 3 (x)) = (3x + 2y(x)), dx dx 2xy(x) + x2 y (x) + 6y 2 (x)y (x) = 3 + 2y (x). ´ de ambos lados y la posterior simplificacion, ´ Mediante la igualacion se puede llegar a:
3 − 2xy , x2 + 6y 2 − 2 ´ la x, podemos lo cual resulta interesante: sin llegar a aislar la y segun y (x) =
calcular y aislar la derivada de y respecto de x. Ejercicio 4.1. Calculad y aislad la derivada de y respecto de x, teniendo en cuenta que xα y β = xy, donde α y β son constantes positivas.
´ Aplicacion: c´alculo de la recta tangente a una curva determinada de manera impl´ıcita. Si una curva viene dada en forma expl´ıcita, y = f (x), la ´ de la recta tangente en un punto P = (x0 , y0 ) es: ecuacion Y − y0 = f (x0 )(X − x0 ). ´ y Todo lo que tenemos que hacer es calcular la derivada de la funcion evaluarla en la coordenada x del punto.
Observad que al derivar el t´ermino 2y(x)3 hemos tenido que aplicar la regla de la cadena.
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¿Qu´e pasa si la curva viene dada de manera impl´ıcita? Pues que tendr´ıamos que calcular la pendiente de la recta tangente, que continuar´a siendo y (x0 ), ´ que ahora no dispondremos de la expresion ´ y(x) para poderla derivar. solo ´ Veamos en un ejemplo un caso concreto de como obtener esta pendiente. Ejemplo 4.2. ´ y 3 + y 2 − 5y − x2 = −4 y el punto es P = (2, 0). La curva tiene la ecuacion Antes de nada, comprobaremos que el punto pertenece a la curva, haciendo las sus´ tambi´en sustituimos y por y(x) en la ecuacion ´ tituciones x = 2, y = 0 en la ecuacion; ´ y(x)3 +y(x)2 −5y(x)−x2 = −4, y derivamos respecto de x en ambos lados de la ecuacion: 3y 2 (x)y (x) + 2y(x)y (x) − 5y (x) − 2x = 0. Sustituyendo x = 2 e y = 0, obtenemos −5y (2) − 4 = 0, es decir, y (2) = − 45 . ´ de la recta tangente ser´a, entonces, Y − 0 = − 45 (X − 2), o bien 4X + 5Y = 8. La ecuacion
´ lineal 4.3. La derivada como aproximacion ´ derivable en el punto x = a, tiene sentido definir la Si f (x) es una funcion ´ en el punto (a, f (a)) y que su pendiente tangente a la gr´afica de la funcion ´ de la recta tangente ser´a: es f (a). Por lo tanto, la ecuacion y = f (a) + (x − a)f (a). Y, hay que remarcarlo, lo m´as importante aqu´ı es que la tangente resulta ´ si estamos cerca del punto de conpr´acticamente id´entica a la funcion tacto a.
!
.
Notacion ´
´ f es derivable en un punto a, cerca de este punto Si una funcion tenemos: f (x) ≈ f (a) + f (a)(x − a).
El s´ımbolo ≈ significa ‘aproximadamente’.
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´ Cuanto m´as cerca estamos de a, mejor es esta aproximacion. Tal como muestra la figura anterior, si nos alejamos de a, la calidad de la aproxima´ se degrada. cion Esto nos permite simplificar algunos c´alculos complicados. Por ejemplo, ´ logaritmo es dif´ıcil de calcular. Si sabemos que ln 10 = 2, 3025 y la funcion necesitamos calcular ln 10, 5, podemos hacer lo siguiente: ln 10, 5 = ln 10 + ln (10)(10, 5 − 10) = 2, 3025 + 0, 05 = 2, 3526. Si lo comprob´ais con la calculadora, ver´eis que hemos afinado bastante.
´ de segundo orden 4.4. Aproximacion ´ sin tener que hacer demasiados Si queremos aproximar mejor la funcion c´alculos m´as, podemos utilizar, en lugar de una recta tangente, una par´abola tangente. ´ es porque en el Intuitivamente, si la recta tangente se parece a la funcion punto donde se tocan tienen la misma pendiente o derivada primera. Si ´ las derivadas segundas una par´abola se tiene que parecer a una funcion, tambi´en deber´an coincidir. Haremos los c´alculos necesarios para demostrarlo. Queremos una par´abola que se parezca lo m´aximo posible a la gr´afica ´ f en el punto x = a. Ser´a m´as f´acil para hacer los c´alde nuestra funcion ´ hacia el eje vertical a unidades, poniendo culos desplazar nuestra funcion ´ f (x + a), y buscar una par´abola que se parezca a la gr´afica de la funcion ´ g(x) = f (x + a) en el punto x = 0. Sea y = p(x) = c1 x2 + c2 x + c3 la ecuacion de la par´abola. Planteamos las ecuaciones para que el polinomio p y la ´ g tengan el mismo valor y derivadas iguales en x = 0. funcion ⎫ = f (a) ⎪ g(0) = p(0) ⇒ c3 ⎪ ⎬ g (0) = p (0) ⇒ c2 = f (a) ⎪ ⎪ g (0) = p (0) ⇒ 2c = f (a) ⎭ 1
Es decir, nuestro polinomio es: g(x) ≈ p(x) =
f (a) 2 x + f (a)x + f (a), con x cerca de 0. 2
Sin embargo, ahora tenemos que volver a mover los elementos hasta el punto x = a, hacia la derecha; con lo que obtendremos: f (x) ≈ p(x − a) =
f (a) (x − a)2 + f (a)(x − a) + f (a), x cerca de a. 2
Nota Tangente proviene del lat´ın tangere, que quiere decir ‘tocar’. Osculus en lat´ın quiere decir ‘beso’. Es decir, que la par´abola osculadora besa la curva o el grafo.
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. ´ derivable f y un punto a, la mejor aproximacion ´ Para una funcion de segundo orden es la que viene dada por: f (x) ≈ f (a) + f (a)(x − a) +
f (a) (x − a)2 2
para los valores de x que est´en cerca de a.
Ejemplo 4.3. Si volvemos al ejemplo anterior, para calcular de manera aproximada ln 10, 5 ahora har´ıamos: ln 10, 5
= =
ln (10) (10, 5 − 10)2 = 2 2, 3025 + 0, 05 − 0, 00125 = 2, 35375.
ln 10 + ln (10)(10, 5 − 10) +
Ejemplo 4.4. ´ en el programa de gr´aficas: Introducimos la siguiente funcion 2
f (x) = e−x . Sus derivadas (lo tendr´ıais que comprobar) son: 2
2
f (x) = −2xe−x , f (x) = −2(1 − 2x2 )e−x
´ x=a y, por lo tanto, el polinomio de segundo grado que mejor se aproxima a la funcion ser´a el siguiente: 2
2
2
Pa (x) = e−a − 2ae−a (x − a) − (1 − 2a2 )e−a (x − a)2 .
Tras haber introducido los datos en el programa de gr´aficas, podemos darle valores a a y solicitar la gr´afica conjunta de f (x) y de la par´abola. ´ para diferentes valores de a y observad con atencion ´ Repetid esta operacion ´ ´ cerca del punto (a, f (a)). como la par´abola se ajusta a la funcion ´ derivable, se puede calcular un M´as adelante ver´eis que, dada una funcion polinomio de grado n que la aproxima cerca de un punto. . ´ derivable f (x) y un punto x = a de su dominio, el Dada una funcion ´ cerca del punto polinomio de grado n que mejor aproxima la funcion ´ a es el polinomio de Taylor de grado n, que se calcula segun: Pn (x)
=
n f (i) (a) i=0
i!
(x − a)i =
= f (a) + f (a)(x − a) + + ... +
f (n) (a) (x − a)n . n!
f (a) f (a) (x − a)2 + (x − a)3 + 2! 3!
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4.5. Ejercicios ´ y 2 x−x3 = yx2 +2 define una funcion ´ impl´ıcita y(x) en el cuadrante x, y > 0. 4.2. La ecuacion ´ de x? ¿La expresion ´ que se obtiene a) Calculad y para x = 2. ¿Pod´eis expresar y en funcion es f´acil de derivar? b) Derivando de manera impl´ıcita, calculad y (2). ´ impl´ıcita, que las unicas ´ 4.3. Demostrad, utilizando la derivacion funciones derivables y(x) que pueden cumplir y + ln(1 + y) = 1 son funciones constantes. 4.4. ´ de la recta tangente a la curva 3(x2 + y 2 )2 = 100xy en el punto a) Encontrad la ecuacion (3, 1). (Esta curva se conoce como lemniscata; tratad de hacer su gr´afica con el ordenador.) ´ de la recta tangente a la curva x3 + y 3 − 6xy = 0 en el punto ( 43 , 83 ). b) Encontrad la ecuacion (Esta curva se llama folio de Descartes; intentad hacer la gr´afica con el ordenador.) ´ lineal y la de segundo orden de las siguientes funciones en los 4.5. Calculad la aproximacion puntos dados: x+1 a) f (x) = x−1 en el punto x = 3. b) f (x) = xex en el punto x = 0. c) f (x) = 3ln x en el punto x = 1. ´ f (x) = ex + e−x , consideramos el punto de abscisa 1. 4.6. Dada la funcion ´ de la recta tangente a la gr´afica de la funcion ´ en el punto cona) Encontrad la ecuacion ´ y la recta para x entre 0,5 y 1,5. siderado. Dibujad en el programa de gr´aficas la funcion ´ a la funcion ´ cerca del punto? ¿Consider´ais que la recta aporta una buena aproximacion ´ de los valores de la funcion ´ y de la recta en 1,1, 1,2, 0,9, 0,8, etc. Haced una comparacion ´ f (x) y de la recta tangente Pedid al programa de gr´aficas la gr´afica conjunta de la funcion r(x) para x sobre 0,8 y 1,2; despu´es, para x entre 0,9 y 1,1. ´ de segundo orden a f en el punto x = 1. Dibujad en el programa b) Calculad la aproximacion ´ f (x), la recta tangente r(x) y la de gr´aficas las tres funciones para x entre −2 y 2: la funcion par´abola que hab´eis obtenido p(x). Haced el mismo proceso de zoom, como antes: pedid la gr´afica conjunta para x entre 0,5 y 1,5, entre 0,8 y 1,2 y entre 0,9 y 1,1. . .
4.6. Solucionario 4.1. Si derivamos el lado de la izquierda de la igualdad respecto de x, sin olvidar que y es ´ de x: funcion d α β (x y ) = αxα−1 y β + xα · βy β−1 · y , dx mientras que por la derecha obtenemos: d (xy) = 1 · y + xy . dx Igualmente, aislando y obtenemos: dy y − αxα−1 y β y(1 − α) = = . dx βxα y β−1 − x x(β − 1) 4.2. ´ dada y encontramos el valor de y. Es decir, tenemos que a) Sustituimos x = 2 en la ecuacion ´ y 2 − 2y − 5 = 0. Se trata de la unica ´ ´ v´alida, teniendo en cuenta resolver la ecuacion: solucion que x, y > 0, es y = 3, 45. En general, para una x dada, y 2 x − x3 = yx2 + 2 ⇐⇒ y 2 x − yx2 − (2 + x3 ) = 0, que es un ´ en funcion ´ de x ser´a: polinomio de segundo grado para y. As´ı, la solucion y= que no es f´acil de derivar.
x2 ±
√
5x4 + 8x , 2x
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b) Derivando impl´ıcitamente, tenemos que 2yy x + y 2 − 3x2 = y x2 + 2xy, de donde: y =
2xy − y 2 + 3x2 . 2xy − x2
Ahora, sustituyendo por x = 2, obtenemos y = 1, 42. 4.3. Derivando a ambos lados de la igualdad, tenemos: y +
1 1 y = 0 ⇒ y 1 + (1 + y) 1+y
= 0, para y > −1
de donde, dado que y = −2, tenemos que y = 0, lo que implica que y tiene que ser constante. 4.4. a) Sustituimos y por y(x) y derivamos impl´ıcitamente con respecto a x para encontrar la pendiente y (3) de la recta tangente: 3 · 2(x2 + y 2 (x))(2x + 2y(x)y (x)) = 100(y + xy (x)). Evaluamos en x = 3 e y = 1: 60(6 + 2y (3)) = 100(1 + 3y (3)) 13 . 9
y despejamos la pendiente y (3) = (3, 1) es:
´ de la recta tangente a la curva en el punto La ecuacion
Y −1=
13 (X − 3). 9
b) Sustituimos y por y(x) y derivamos impl´ıcitamente respecto de x para encontrar la pendiente y ( 43 ) de la recta tangente: 3x2 + 3y 2 (x)y (x) − 6y(x) − 6xy (x) = 0. Evaluamos en x =
4 3
ey=
8 : 3
16 64 4 48 24 4 + y ( )− − y( )=0 3 3 3 3 3 3 y despejamos la pendiente y ( 43 ) = ( 43 , 83 ) es:
4 . 5
´ de la recta tangente a la curva en el punto La ecuacion
Y −
8 4 4 = (X − ). 3 5 3
4.5. ´ a) De entrada, calcularemos las derivadas primera y segunda de la funcion: f (x)
=
−2 , (x − 1)2
f (x)
=
4 . (x − 1)3
´ lineal en el punto x = 3 ser´a: Por lo tanto, la aproximacion 1 f (x) ≈ f (3) + f (3)(x − 3) = 2 + (− )(x − 3), 2 y la de segundo orden: f (x) ≈ f (3) + f (3)(x − 3) +
1 f (3) 1 (x − 3)2 = 2 + (− )(x − 3) + (x − 3)2 . 2 2 4
´ vienen determinadas por: b) Las derivadas primera y segunda de la funcion f (x)
=
ex + xex ,
f (x)
=
2ex + xex .
´ lineal en el punto x = 0 ser´a: Por lo tanto, la aproximacion f (x) ≈ f (0) + f (0)x = x, y la de segundo orden: f (x) ≈ f (0) + f (0)x +
f (0) 2 x = x + x2 . 2
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´ vienen dadas por: c) Las derivadas primera y segunda de la funcion f (x)
=
3ln x
f (x)
=
3ln x
ln 3 , x
ln 3 x
2
− 3ln x
ln 3 . x2
´ lineal en el punto x = 1 ser´a: Por lo tanto, la aproximacion f (x) ≈ f (1) + f (1)(x − 1) = 1 + ln 3(x − 1), y la de segundo orden: f (x) ≈ f (1) + f (1)(x − 1) +
f (1) (ln 3)2 − ln 3 (x − 1)2 = 1 + ln 3(x − 1) + (x − 1)2 . 2 2
4.6. ´ la recta tangente a la funcion ´ f (x) = ex + e−x en x = 1 vendr´a a) A partir de la definicion, ´ y − f (1) = f (1)(x − 1), que se puede reescribir como: dada por la ecuacion y=
1 2 + (e − )x. e e
´ de la par´abola tangente a f en el punto x = 1, que vendr´a dada b) Calculamos la ecuacion por:
y = f (1) + f (1)(x − 1) + y, por lo tanto: y =e+
1 1 + e− e e
(x − 1) +
f (1) (x − 1)2 2 1 2
e+
1 e
(x − 1)2 .
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5. La integral .
Chema, un estudiante de la diplomatura de Empresariales, hace pr´acticas en la empresa Pujante, S.A., donde ha conseguido un modelo muy bueno ´ de los beneficios mensuales. Ha comprobado, para representar la evolucion ´ cony adem´as ha convencido al director general de ello, que la funcion tinua: B(t) = (t − 12)3 + 1.728 ´ de los beneficios a lo largo de los dos representa muy bien la evolucion ´ ultimos años. Si ponemos el tiempo (t) en meses, se obtiene B(t), los beneficios en miles de pesetas del mes t. Sin embargo, ahora tiene un problema: el director general le dice que calcule el total de los beneficios ´ su modelo y no sabe como ´ de estos dos años segun hacerlo. El director le comenta que lo que tiene que hacer es calcular los beneficios de cada mes y sumarlos. Sin embargo, Chema no lo ve claro, ya que su modelo es continuo, y se encuentra con que el nivel de beneficios var´ıa a lo largo del mes y el c´alculo propuesto por el director general no tiene en cuenta este detalle. Por ejemplo, el primer mes, t = 0, dar´ıa 0, cuando de hecho, al
3.500 3.500
3.500
3.000 3.000
3.000
2.500 2.500
2.500
Beneficios mensuales
Beneficios mensuales
final del primer mes el modelo est´a dando beneficios.
2.000 2.000 1.500 1.500 1.000 1.000 500 500
2.000 1.500 1.000 500
00 0
5
10
Tiempo
15
20
25
0
0
5
10
Tiempo
15
20
25
´ A Chema se le ocurre una solucion: en lugar de sumar los beneficios de todos los meses, calcula los beneficios de cada semana y los suma. En la figura de la izquierda se muestra de forma gr´afica el resultado de haber sumado los beneficios de los meses, donde cada mes queda representado por una columna de altura igual a sus beneficios y de amplitud igual a 1. En la figura de la derecha, cada semana es una pequeña columna de amplitud 14 , y el total de beneficios ser´a la suma de estas columnas.
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Las conclusiones (aunque provisionales) que podemos extraer de esta historia son las siguientes: ´ en un tramo de su 1) Para calcular el total de los valores de una funcion dominio, tenemos que calcular el a´ rea que queda entre la gr´afica y el eje horizontal. 2) Para calcular esta a´ rea, podemos tomar una unidad pequeña y construir rect´angulos; sumando las a´ reas obtenemos aproximadamente lo que buscamos. 3) Cuanto m´as estrechos sean los rect´angulos, m´as preciso ser´a el c´alculo, aunque tambi´en ser´a m´as laborioso.
´ 5.1. La integral como area Nos interesa desarrollar m´etodos para calcular a´ reas que queden bajo las gr´aficas de funciones por varios motivos. Uno de e´ stos ya lo hemos visto en el ejemplo anterior, y m´as adelante veremos otras aplicaciones del c´alculo de a´ reas o, como se suelen denominar, integrales definidas. . ´ continua y positiva f en un segmento [a, b], defiDada la funcion nimos la integral de f en [a, b] como el a´ rea comprendida entre el ´ grafo de f , el eje horizontal y las rectas x = a y x = b. Este numero lo indicaremos por:
b
f a
o bien
b
f (x)dx.
a
´ en un intervalo (o integral de f Observad que la integral de una funcion ´ desde a hasta b, como tambi´en se conoce) es un numero. Actividad 1. Mediante el uso de la hoja de c´ √alculo, calculad el a´ rea de un semic´ırculo de radio 1. Si ´ f (x) = 1 − x2 definida entre 0 y 1, su gr´afica es un cuarto de consideramos la funcion circunferencia centrada en el punto (0, 0) de radio 1. Sabemos, por lo tanto, que el a´ rea tiene 2
que ser πr4 ≈ 0, 7854. La calcularemos siguiendo las ideas que se han presentado antes. ´ para observar que este tipo de c´alculos se puede Sin embargo, aprovecharemos la ocasion realizar de dos formas distintas (como m´ınimo). Si se trata de dividir el cuarto de c´ırculo en cortes verticales y aproximar cada corte mediante un rect´angulo, podemos tomar como altura del rect´angulo el mayor o menor de entre los posibles. En el primer caso (figura de la izquierda), decimos que la suma superior, la suma de todos los rect´angulos, aproxima el a´ rea por encima. En el otro caso (figura de la derecha), la suma inferior aproxima el a´ rea en ´ por debajo. cuestion
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Los c´alculos num´ericos realizados en la hoja de c´alculo se muestran en las siguientes figuras, donde se nos presentan tres porciones de hoja de c´alculo. En el primero, arriba a la izquierda, pod´eis ver los valores de x que subdividen el segmento [0, 1] en diez subintervalos; en la columna B ´ (el cuarto de c´ırculo) en cada uno encontramos los valores de la funcion de los extremos inferiores de los subintervalos. .
Para calcular las sumas inferiores y superiores, necesitamos las alturas m´axima y m´ınima de cada rect´angulo, que hallamos calculadas en las columnas C y D. Esto es f´acil de conseguir si las funciones son crecientes o decrecientes; en este caso se alcanzan en los extremos. ´ de la hoja de c´alculo se puede ver en la tercera porcion. ´ La programacion ´ Por ejemplo, en la casilla C4 tenemos la formula =MIN(B4;B5), y as´ı en el resto. Con esto ya resulta f´acil calcular las a´ reas de los rect´angulos (columnas E, F). Arriba a la derecha se reproduce el tramo inicial y el final del ´ mismo computo, que se ha realizado no con 10 subintervalos, sino con 25. Pod´eis apreciar con claridad que ahora las sumas inferiores y superiores se aproximan mucho mejor al valor que sabemos que es el exacto: 0,7854.
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´ que os puede ayudar a Sin embargo, todav´ıa nos queda una observacion comprender totalmente el ejemplo: en la hoja de c´alculo que os presentamos no se aprecia la diferencia entre los rect´angulos inferiores y superiores, ´ se ven dos decimales y en circunstancia que se debe al hecho de que solo casi todos los casos la diferencia es de orden superior. Tras haber completado el ejemplo, generalizamos y fijamos notaciones, teniendo en cuenta que si colocamos n rect´angulos en el segmento [a, b], cada uno tendr´a una amplitud
b−a n .
. La integral definida Si tomamos valores en a = x0 < x1 < . . . < xn = b que subdividen en partes iguales el intervalo [a, b] en n tramos y denominamos sumas ´ inferiores al numero: b−a min(f (xi−1 ), f (xi )) n i=1 n
SIn (f, a, b) =
´ y sumas superiores al numero: b−a max(f (xi−1 ), f (xi )), n i=1 n
SSn (f, a, b) =
tendremos, en tal caso, para valores grandes de n, que: SIn (f, a, b) ≤
b
f ≤ SSn (f, a, b).
(5.1)
a
´ f es continua, tomando un valor de n suAdem´as, si la funcion ´ ficientemente grande, podemos hacer que estos tres numeros sean tan parecidos como queramos.
´ Este ultimo hecho es crucial: si en las gr´aficas del cuarto de c´ırculo en lugar de 10 intervalos tomamos 20, 30 o´ 2.000, la diferencia entre las “escalerillas” y la circunferencia cada vez ser´a m´as y m´as pequeña. De este ´ como queramos. modo, podremos calcular el a´ rea con tanta precision Ejercicios ´ 5.1. Repetid sin el ordenador el computo de las aproximaciones al a´ rea del c´ırculo, tomando n = 4 intervalos en [0, 1], y despu´es hacedlo en la hoja de c´alculo tomando 50 intervalos. Desde el principio de este apartado hemos considerado, exclusivamente, funciones positivas, si bien las definiciones anteriores se pueden generalizar sin demasiados problemas a funciones que cambien de signo o que sean negativas.
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´ f (x) = (x − 2)2 − 2 en el intervalo [0, 3]. 5.2. Considerad la funcion ´ del intervalo en tres subintervalos y calculad el valor de la a) Haced una subdivision ´ en cada uno de los puntos que hab´eis obtenido. funcion ´ en los extremos del subintervalo b) Calculad los valores m´aximo y m´ınimo de la funcion ´ para cada intervalo de la subdivision. ´ anterior, calculad la suma inferior y la superior de f entre 0 y 3. c) Con la informacion d) Mediante el uso de la hoja de c´alculo, repetid este c´alculo para n = 25.
´ Ahora ya estamos en condiciones de precisar un poco m´as la definicion anterior, aplic´andola a funciones que no sean por necesidad positivas y continuas. . ´ cualquiera f definida en el intervalo [a, b], decimos Dada una funcion que f es integrable en [a, b] si cuando n → ∞ las sumas inferiores y las ´ ´ sumas superiores tienden a un mismo numero. Este numero recibe el nombre de integral de f entre a y b.
Ejemplo 5.1. x ´ f (x) = |x| , f (0) = 0 no es continua (lo hab´eis visto en el ejercicio 1.2); pero es La funcion ´ se puede obtener integrable y su integral en el intervalo [–1, 1] vale cero. Esta afirmacion ´ de la funcion ´ as´ı como tambi´en se puede deducir de algunas directamente de la definicion ´ de las propiedades que veremos a continuacion.
Tal y como se han definido las sumas superiores e inferiores m´as arriba, ´ en un intervalo queda claro que para calcular la integral de una funcion [a, b] podemos hacerlo dividiendo primero el intervalo en dos partes o m´as, ´ calculando la integral en cada una de las partes y, por ultimo, sumando los resultados parciales que se hayan obtenido. Podemos expresarlo de la siguiente forma: . Si f es integrable en el intervalo [a, b] y m es un punto cualquiera del intervalo, a < m < b: a
b
f=
m
f+
a
b
f. m
5.2. El signo de la integral definida ´ la definicion ´ de integral, una funcion ´ que sea negativa en un inSegun tervalo tambi´en tendr´a integral definida negativa en este intervalo. Y por
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´ anterior que nos permite otro lado, si tenemos en cuenta la observacion calcular la integral dividi´endola en partes, podemos decir que: . ´ cambia de signo en el intervalo [a, b], su integral en Si una funcion ´ es positiva este intervalo ser´a la suma de las a´ reas donde la funcion menos la suma de las a´ reas donde es negativa. Por este motivo decimos, en algunas ocasiones, que las a´ reas que tenemos bajo el eje horizontal cuentan como negativas.
Ejemplo 5.2. Si queremos calcular la integral de f (x) = 2 − 3x en [0, 1], nos encontramos con que la ´ cambia de signo en x = 23 . Por lo tanto, podremos hacer: funcion
1
2 3
(2 − 3x)dx =
(2 − 3x)dx +
2 3
0
0
1
(2 − 3x)dx = A1 + (−A2 ),
donde A1 indica el a´ rea entre 0 y 23 y A2 , el a´ rea entre a´ reas 23 y 16 , respectivamente. Por lo tanto:
1
2 3
y 1, que son dos tri´angulos de
2 1 1 − = . 3 6 2
(2 − 3x)dx = 0
´ sobre la integral definida 5.3. Mas Antes de dejar la integral definida, vamos a hacer algunas observaciones: ´ tomamos: 1) Por definicion
a
f =0
a
es decir, la integral en un intervalo que se reduce a un solo punto de ´ es cero. cualquier funcion ´ si a < b y f es integrable en [a, b]: 2) Tambi´en por definicion, b
a
f =−
b
f a
´ integrable en [a, b] y k ∈ IR, entonces la funcion ´ 3) Si f es una funcion ´ multiple kf es integrable y:
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b
kf (x) dx = k
a
b
f (x) dx
a
´ suma 4) Si f y g son funciones integrables en [a, b], entonces la funcion f + g es integrable y:
b
f (x) + g(x) dx =
a
b
f (x) dx +
a
b
g(x) dx a
´ 5) Como consecuencia de las dos ultimas afirmaciones, la integral de una diferencia es la diferencia de las integrales. ´ de la tercera afirmacion, ´ pensemos en que un cambio Como justificacion ´ o contraccion ´ del de f (x) por kf (x) se ve en la gr´afica como una dilatacion plano en sentido vertical, que hace que todas las a´ reas queden multiplicadas ´ es la por k. Esto es cierto para k > 0. Si k = −1, la gr´afica de la funcion sim´etrica con respecto al eje horizontal, y las a´ reas que tom´abamos como positivas pasan a ser negativas, y a la inversa. La integral, por lo tanto, cambiar´a de signo. Y el caso general k < 0 se puede descomponer en dos pasos: el cambio de signo y el producto por |k|. ´ sobre la suma de funciones se ve con claridad si ambas La afirmacion funciones son positivas o ambas son negativas. Tambi´en se ve claro cuando una es positiva y la otra negativa, siendo la primera mayor (o menor) que ´ la segunda en valor absoluto en todo el intervalo. En estos casos, solo tenemos que dibujar el croquis y pensar qu´e significa la suma y qu´e es la integral. En el caso general, lo que hacemos es descomponer el intervalo ´ en diferentes tramos, en cada uno de los cuales se cumplen de integracion algunas de las condiciones anteriores, y aplicar el hecho de que la integral se puede calcular sumando las integrales de los tramos del intervalo.
5.4. La integral indefinida . ´ ´ integrable, la Dado un numero a del dominio de una funcion ´ funcion:
S(x) =
x
f (t)dt
a
recibe el nombre de integral indefinida de f con origen en a.
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Observaciones: ´ 1) La integral definida, que se ha introducido antes, es un numero. La integral indefinida, o mejor dicho, las integrales indefinidas, son funciones.
!
2) Dado que existen muchos or´ıgenes como a que son posibles, tambi´en habr´a muchas integrales de f que son posibles. Puede que ya sep´ais, y en caso contrario lo veremos juntos un poco m´as adelante, que todas las ´ se parecen mucho, puesto integrales indefinidas de una misma funcion ´ se diferencian en constantes. que solo
!
´ 3) Si recordamos que la integral entre dos numeros se puede interpretar ´ S(x) de la definicion ´ como un a´ rea por debajo de la gr´afica, la funcion ´ que nos mide el a´ rea entre anterior se puede interpretar como la funcion a y x, contando como negativas las a´ reas que est´an por debajo del eje horizontal.
!
Ejemplo 5.3. ´ f (x) = 0, 2x + 0, 8, ser´a f´acil calcular las a´ reas que est´an Si consideramos la funcion ´ involucradas. Para tener una integral definida, hay que escoger un origen de integracion. Para empezar, tomaremos el cero, y entonces:
S1 (x) =
x
(0, 2t + 0, 8)dt = 0, 8x + x · 0, 2 0
x = 0, 1x2 + 0, 8x, 2
donde hemos realizado los c´alculos simplemente sumando las a´ reas de los rect´angulos y las de los tri´angulos correspondientes (es posible que un croquis de la gr´afica f (x) os ´ ayude a entenderlo). La formula anterior es v´alida tanto para x > 0 como para x < 0. ´ pongamos por caso a = 2, con lo que el Podemos escoger otro origen de integracion, resultado ser´a:
x
(0, 2t + 0, 8)dt = 0, 1x2 + 0, 8x − 2,
S2 (x) = 2
´ otra integral indefinida de nuestra funcion.
Actividad 2. Construiremos la gr´afica de una integral indefinida. .
En la figura... ... se ve el croquis de la funcion. ´ Para aseguraros de que entend´eis todo lo que estamos haciendo en este apartado, se trata de que con la unica ´ ayuda de la informacion ´ que aporta la gr´afica, hag´ais un esbozo de la gr´afica de xla integral indefinida f , sin olvidar 0 nunca la observacion ´ que hemos indicado antes.
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Copiad ahora la gr´afica en una hoja de papel y con el l´apiz id siguiendo los puntos que ´ para construir la gr´afica de: proponemos a continuacion
F (x) =
x
f (t)dt. 0
1) Puesto que estamos calculando el a´ rea desde 0 hasta x, F (0) ser´a el a´ rea de 0 a 0, que tiene que ser tambi´en 0. 2) Para x entre 0 y A, el a´ rea entre 0 y x es positiva y cuanto mayor sea x, mayor ser´a el a´ rea. As´ı, F tiene que ser creciente en este tramo; ahora bien, cuanto m´as a la derecha est´e situada, tambi´en ser´a menos creciente, ya que cuando estamos cerca de A añadimos menos a´ rea que al principio. Por lo tanto, F ser´a cada vez menos creciente, es decir, convexa. 3) Cuando llegamos a A, F tiene que ser m´axima, puesto que a partir de aquel punto f (x) pasa a ser negativa y las a´ reas se contar´an como negativas. ´ f tiene que ser decreciente, ya que cuanto m´as hacia 4) Desde A hacia delante, la funcion la derecha se encuentre x, m´as a´ rea restaremos. Ahora bien, cuando vamos desde A hasta B, ´ F (x) ser´a la cantidad de a´ rea que restamos es cada vez mayor y, en consecuencia, la funcion paulatinamente m´as decreciente y, en tal caso, continuar´a siendo convexa; por otra parte, B ´ har´a m´as bajada. ser´a el punto donde la funcion 5) En cambio, cuando sobrepasamos B, continuamos restando a´ rea, pero en este caso cada ´ F tiene que ser concava ´ vez menos. As´ı pues, la funcion entre B y C.
5.5. Notaciones Cuando se trabaja con integrales indefinidas, hay que prestar un poco ´ a la cuestion ´ de la notacion. ´ de atencion En primer lugar, como habr´eis ´ y= podido observar, cuando queremos escribir la integral de una funcion x f (x) ponemos a f (t)dt e introducimos una nueva variable t. Lo hacemos de esta manera para evitar confusiones: utilizamos la variable t como ´ una variable de integracion, una variable muda en tanto que carece de trascendencia en el exterior de la integral. Reservamos la variable x como ´ integral, interpretando el mismo rol variable independiente de la funcion ´ original. que en la funcion
5.6. Propiedades de la integral indefinida De manera breve y concisa, vamos a hacer constar algunas propiedades de ´ la integral indefinida, propiedades que solo son consecuencia directa de las que ya hemos visto para la integral definida.
!
´ 1) Las integrales indefinidas de la suma de dos funciones y de los multiplos ´ satisfacen las igualdades: de una funcion x x x f +g = f+ g, a
a
a
a
x
kf = k
x
f. a
Tambi´en nos encontramos con que la integral de una diferencia de funciones es la diferencia de integrales.
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´ solo ´ se diferencian en 2) Dos integrales indefinidas de una misma funcion una constante. ´ Fij´emonos, ahora, en la ultima propiedad. De entrada, dos integrales de ´ f se diferencian por el hecho de que se han tomado con dos una funcion ´ diferentes. Tenemos: or´ıgenes de integracion x f (t) dt, S2 (x) = S1 (x) = a
x
f (t) dt.
b
No cabe duda de que podemos descomponer: b x f (t) dt + f (t) dt = K + S2 (x), S1 (x) = a
b
donde K representa la integral desde a hasta b, que es una constante. Repasad el ejemplo 5.3 y podr´eis ver que las dos integrales que hemos calculado difieren en 2, que es precisamente la integral desde 0 hasta 2.
5.7. Solucionario 5.1. Para n = 4 y el intervalo [0,1], tenemos que a = x0 = 0 < x1 = = 34 < x4 = 1 = b. As´ı pues, tendremos que: SIn (f, a, b)
=
b−a n
n
1 4
< x2 =
1 2
< x3 =
min(f (xi−1 ), f (xi )) =
i=1
=
1 4
min
1,
1 1− 16
SSn (f, a, b)
1 1− , 4
+
min
=
b−a n
n
1 , 1− 16
+ min
9 1− 16
1 1− 4
9 ,0 1− 16
+ min
+
= 0, 62,
max(f (xi−1 ), f (xi )) =
i=1
=
1 4
max
1,
+
max
1 1− 16
1 1− , 4
+ max
9 1− 16
1 , 1− 16
+ max
1 1− 4
9 1− ,0 16
+
= 0, 87.
Para encontrar el a´ rea del c´ırculo, tenemos que multiplicar los resultados anteriores por 4, ya ´ hac´ıan referencia al a´ rea de un cuarto. As´ı, los resultados son: 2,5 y 3,5. Dentro de que solo este intervalo encontraremos el a´ rea exacta, que es π. 5.2. a) Los subintervalos que hay que considerar son [0, 1], [1, 2] y [2, 3]. Las im´agenes de sus extremos son f (0) = 2, f (1) = −1, f (2) = −2, f (3) = −1. ´ encontraremos los m´ınimos y los m´aximos de b) En la tabla que mostramos a continuacion las im´agenes de los extremos de los subintervalos. Intervalo
fmin
fmax
[0, 1]
f (1)=−1
f (0)= 2
[1, 2]
f (2)=−2
f (1)=−1
[2, 3]
f (2)=−2
f (3)=−1
La curva integral... ... de la actividad anterior se tendr´ıa que parecer a la que se muestra aqu´ı.
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´ c) En este apartado lo unico que hay que hacer es sumar los elementos de la primera columna y los de la segunda, respectivamente. De aqu´ı: SI3 (f, 0, 3) = −1 − 2 − 2 = −5 y SS3 (f, 0, 3) = 2 − 1 − 1 = 0.
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´ entre la derivada y la integral 6. Relacion .
Vamos a dedicar este apartado al an´alisis del hecho de mayor relevancia por ´ que se lo que respecta al c´alculo infinitesimal, que es la estrecha relacion da entre los dos operadores que hemos estudiado hasta ahora: la derivada y la integral. Veremos que una tiene un papel inverso con respecto a la otra, es decir, que si integramos la derivada o si derivamos la integral, nos quedamos como antes de empezar. No es tan f´acil como puede parecer as´ı explicado, pero casi. ´ continua f (x), consideramos una de sus integrales con Dada una funcion x origen en a, F (x) = a f (t)dt, y escribimos su cociente incremental para un incremento h de la variable: C(h)
= =
F (x + h) − F (x) = h x+h f (t)dt x . h
x+h a
f (t)dt − h
x a
f (t)dt
=
Ahora bien, si f es positiva, el numerador es el a´ rea por debajo de f entre x y x + h, que podemos considerar igual a la de un rect´angulo de base h y altura f (x), teniendo en cuenta que h es un incremento muy pequeño. As´ı, el cociente C(h) se convierte en f (x) cuando h tiende a cero. . ´ G(x) tal que G (x) = f (x) es una primitiva de f . Cualquier funcion ´ continua f , En particular, si F (x) es una integral de una funcion entonces F es una primitiva de f .
Ejemplo 6.1. ´ continua a partir de su derivada. De momento, solo ´ lo Reconstruimos una funcion haremos de manera gr´afica.
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. En la figura,...
1) Dado que f (0) = 0, F tendr´a una pendiente 0 cuando arranca desde F (0). ´ F (x) tiene que ser creciente, ya que su 2) A partir de este punto y hasta B, la funcion derivada es positiva. ´ F (x) tiene 3) A la izquierda de A, la derivada f (x) es creciente y, por lo tanto, la funcion ´ que crecer cada vez m´as, debe ser concava. En el punto A, la derivada es m´axima y, en consecuencia, e´ ste tiene que ser el punto de m´axima pendiente de F . 4) Desde A hasta B, F tiene que seguir creciendo, pero paulatinamente su crecimiento ser´a menor, tiene que ser convexa. Al llegar a B su pendiente tiene que ser igual a cero. 5) A partir de B, F tiene que ser decreciente, puesto que su derivada f es negativa, y tiene que bajar cada vez m´as hasta llegar a C, que ser´a el punto de m´axima bajada. 6) F tiene que llegar al final con pendiente cero.
´ ´ de un esbozo de la gr´afica de F (x). La vuestra se tendr´ıa que Esta es la representacion parecer a e´ sta, por lo menos en los rasgos principales.
6.1. La diferencia entre dos primitivas de una misma constante Por lo pronto, sabemos que las funciones del tipo F (x) =
x a
f (t)dt son
primitivas de f (x). Pues bien, ahora la pregunta es: ¿todas las primitivas son as´ı? ´ f , tendremos que: Si tenemos dos primitivas F1 y F2 de una misma funcion d (F1 (x) − F2 (x)) = F1 (x) − F2 (x) = f (x) − f (x) = 0 dx ´ que tiene derivada igual a cero tiene que y como resulta que una funcion ´ ser una constante, pues la diferencia entre dos primitivas de una funcion siempre es constante.
... pod´eis ver la gr´afica de la funcion ´ f (x), de la cual no tenemos ninguna informacion ´ m´as. Queremos representar, o como m´ınimo identificar, los tres puntos principales de una integral indefinida suya. Tendremos que tomar un valor inicial; podemos tomar el que queramos (en la figura hemos marcado F (0)). A partir de aqu´ı, copiad la figura en un papel, tomad un l´apiz e intentad trazar la gr´afica de la primitiva F (x) teniendo en cuenta que F (x) debe ser igual a f (x).
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Esto simplifica el trabajo que conlleva encontrar todas las primitivas de ´ ´ es necesario que encontremos una y que le sumemos una funcion. Solo una constante arbitraria. Por ejemplo, si tenemos f (x) = 3x − 1, una primitiva ser´a quier otra ser´a de la forma
3 2 2 x − x + k,
3 2 2x
− x y cual-
donde k es una constante adecuada.
Tenemos que tener muy presente lo que acabamos de exponer porque es de gran importancia. Vamos a destacarlo: . ´ f , cualquier otra primitiva Dada una primitiva F de una funcion ser´a de la forma F (x) + C, donde C es una constante num´erica. Lo ´ expresamos con la notacion: f (x) dx = F (x) + C.
Ejercicio 6.1. ´ f (x) = 2 − 5x de valor 3 cuando x = 1. Encontrad una primitiva de la funcion A partir de estas premisas no puede ser dif´ıcil encontrar las primitivas de las funciones ´ constante f (x) = a ser´a ax + k, m´as sencillas. Por ejemplo, la primitiva de la funcion ´ donde k es cualquier constante. Siguiendo con la misma idea, podemos saber como son las primitivas de las funciones potenciales. Si tenemos f (x) = xc , tendremos que tomar 1 ´ F (x) = c+1 xc+1 + k. Esto ultimo no lo podremos hacer cuando c = −1, pero no hay ´ problema, ya que sabemos la primitiva de ningun
1 . x
´ ´ 6.2. Calculo de areas mediante primitivas Uno de nuestro objetivos es calcular integrales definidas sin utilizar las sumas superiores ni las inferiores. La herramienta que nos permitir´a hacerlo son las primitivas. . Regla de Barrow Si F es una primitiva cualquiera de f , se cumple:
b
f (x)dx = F (b) − F (a).
a
De esta forma hallamos una manera m´as f´acil de computar las a´ reas o de ´ sumar los valores de una funcion.
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Resulta f´acil demostrar que la regla de Barrow es cierta. Si F es una primitiva cualquiera:
F (x) = k +
x
f (t)dt
a
para alguna constante k, como vimos en el apartado 6.1. Por lo tanto: F (b) − F (a) = k +
b
f (t)dt − k −
a
a
f (t)dt =
a
b
f (t)dt.
a
Ejemplo 6.2. Vamos a calcular algunas integrales definidas. Tenemos un caso muy sencillo: calculemos 3 2x dx. Si lo hacemos utilizando integrales: 0
1) Buscamos una primitiva de f (x) = 2x, F (x) = x2 . 2) Calculamos F (3) − F (0) = 9. 3) Obtenemos que
3 0
2x dx = 9.
Si lo comprobamos de manera geom´etrica, diremos que es el a´ rea de un tri´angulo de base 3 y altura 6, es decir, que vale 9. Otro caso: calculamos
2
1 1 x
2
1
dx. Escribimos:
2
1 dx = ln x = ln 2 − ln 1 ≈ 0, 6931. x 1
´ que es pr´actica y habitual en este tipo de c´alculo. Aqu´ı hemos utilizado una notacion
b
´ detr´as, queremos decir que hay que evaluar la Cuando ponemos una expresion a ´ en estos dos valores y que tenemos que restar, tal y como lo hemos hecho expresion arriba.
En los ejercicios del final del apartado podr´eis practicar un poco todo lo que estamos viendo.
6.3. Aplicaciones de la integral En las aplicaciones, la integral aparece muy a menudo como un mecanismo de suma acumulativa de una magnitud que nos da un ritmo o una velocidad de un proceso con respecto al tiempo. ´ Si conocemos la velocidad instant´anea de un movil V (t), la integral nos ´ proporcionar´a la distancia a la que se encuentra el movil con respecto al punto inicial cuando hayan pasado t unidades de tiempo. Si V (t) = 3 + 5t, donde t son segundos, entonces: 0
2
(3 + 5t) dt = F (2) − F (0),
donde F es alguna primitiva de 3 + 5t, por ejemplo, 3t + ( 52 )t2 . El resultado ´ ser´a 16, lo cual nos indica que el movil estar´a a 16 unidades de distancia del punto original.
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6.4. Las unidades de la integral En correspondencia con el apartado 2.5, en el que analiz´abamos las unidades que tienen que corresponder a la derivada, aqu´ı discutimos sobre las unidades que le tenemos que asignar a la integral, si es que las variables involucradas las tienen. Si recordamos las operaciones que llevamos a cabo para calcular la integral, ´ de las sumas superiores o inferiores, tenemos que volver hasta la definicion donde multiplicamos valores x por valores m´aximos (o m´ınimos) de f (x) y sumamos estos productos para aproximar las a´ reas bajo la curva. Por lo tanto, la magnitud de la integral es la magnitud producto de x por f (x). As´ı, si tenemos que f (t) es la velocidad instant´anea que se mide en metros por segundo, la distancia f (t) dt se medir´a en (m/s) × s, es decir, en metros.
´ sobre notaciones 6.5. Todav´ıa algo mas Ahora que ya lo hemos dicho casi todo sobre las integrales, nos gustar´ıa ´ que pueden producir las diferentes insistir un poco en la posible confusion notaciones que se utilizan. Las notaciones:
b
f (x) dx
o
a
x
f (t) dt
a
no presentan demasiados problemas por el momento; pero, ¿qu´e quiere ´ que se usa muy a menudo: decir la notacion, f (x) dx? Cuando escribimos, por ejemplo,
´ representarex2 dx, con esta notacion
´ x2 . Por este motivo escribimos: mos todas las primitivas de la funcion x3 +C x2 dx = 3 y con esta C indicamos que en su lugar puede ir una constante cualquiera.
6.6. Ejercicios 6.2. Calculad las siguientes integrales definidas: a) b)
5 1
(x +
2 −1
√
x)dx.
x(1 − x)dx.
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6.7. Solucionario 6.1. F (x) = 2x − 52 x2 + k, F (1) = 3 ⇒ k =
7 . 2
6.2. a) Recordad que para calcular una integral definida, hay que encontrar la primitiva y evaluarla en los extremos. Es decir:
5
(x +
√
5
x)dx =
1
x2 25 2 3 2 √ + x2 = + 5 5− 2 3 2 3
1
1 2 + 2 3
18, 79.
b) En este caso, primero tenemos que calcular el producto que aparece dentro de la integral:
2
2
x(1 − x)dx = −1
−1
2
(x − x2 )dx =
x2 x3 − 2 3
=2− −1
8 − 3
1 1 + 2 3
= −1, 5.
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´ 7. El calculo de integrales .
En este apartado y en el siguiente mostraremos las t´ecnicas b´asicas que permiten calcular integrales de manera mec´anica. Puede que algunos de vosotros no teng´ais mucha pr´actica, as´ı que, para facilitar vuestra tarea, vamos a dedicar este apartado al repaso de los casos m´as sencillos.
´ 7.1. Integrales de funciones polinomicas y potenciales Las reglas b´asicas que tenemos que aplicar son las que hemos visto en ´ el ultimo apartado: la integral de una suma es la suma de las integrales, ´ potencial hacemos lo contrario que cuando y para integrar una funcion derivamos, es decir, sumamos 1 al exponente y dividimos por el exponente obtenido. ´ es suficiente A la hora de calcular la integral indefinida de una funcion, encontrar una primitiva y sumarle una constante. Ejemplo 7.1. Calculamos
(t4 − t2 )dt.
(t4 − t2 )dt =
t4 dt −
t2 dt =
1 5 1 t − t3 + C. 5 3
d 1 5 ´ dt Comprobacion: ( 5 t − 13 t3 + C) = t4 − t2 .
Ejemplo 7.2. Calculamos
(ax−2 + 2)dx.
(ax−2 + 2)dx = a
x−2 dx +
2dx = −ax−1 + 2x + C.
Ejemplo 7.3.
Calculamos (e2x − x1 )dx. Ya sabemos la integral del segundo sumando, es: − ln x, pero en el primer sumando tenemos que observar que hay 2x. La derivada de e2x es 2e2x , as´ı ´ e2x , tenemos que hacer: que, si al derivar queremos obtener solo
(e2x −
1 1 )dx = e2x − ln x + C. x 2
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7.2. Integrales definidas e integrales indefinidas Como ya hemos visto, una integral definida corresponde al c´alculo de un a´ rea con las oportunas correcciones de signo. El c´alculo de la integral definida consiste en encontrar, en primer lugar, una primitiva, y despu´es, en evaluarla en los dos extremos. La diferencia de valores obtenidos nos da el resultado final. Veamos algunos ejemplos. Ejemplo 7.4.
3
(x3 − 12 x)dx, tenemos que encontrar una primitiva y despu´es evaluarla Para calcular −2 en los extremos:
3
3
(x3 −
−2
1 1 1 x)dx = x4 − x2 2 4 4
= −2
1 4 1 3 − 32 − 4 4
1 1 (−2)4 − (−2)2 4 4
= 15.
Ejemplo 7.5.
Calculemos:
−5
3ax−4 dx.
−1
´ es − 124a Una primitiva es −ax−3 y la solucion . 125
Ejemplo 7.6. Calculemos:
t2
dx . x
t
´ La primitiva de la funcion
t
t2
1 x
es inmediata. As´ı:
t2
dx = ln |x| x
= ln t2 − ln |t| = 2 ln |t| − ln |t| = ln |t|. t
Ejemplo 7.7. 3
Calculamos a con el fin de que el a´ rea por debajo de la curva x 4 entre x = 1 y x = a sea 1. a a 3 4 7 4 4 x dx = x = 1, 7 1 de donde deducimos que a =
11 47 4
1
≈ 1, 7826.
Ejemplo 7.8.
Calculemos:
5
2−x dx.
0
Para encontrar una primitiva de 2−x , observamos que indica que, dividiendo por − ln 2,
0
5
−x d (− 2ln 2 ) dx
=
5
2−x dx = −
2−x .
d −x 2 dx
= −(ln 2)2−x , lo cual nos
Por lo tanto:
2−x 1 − 2−5 = ≈ 1, 4. ln 2 ln 2 0
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7.3. Integrales impropias ´ Antes de seguir adelante con las t´ecnicas de integracion, os queremos mostrar que en algunos casos es posible calcular a´ reas por medio de integrales definidas, a pesar de que propiamente no lo son.
Como primer ejemplo,... ... observad la gr´afica de la funcion ´ f (x) = 2−x que nos dibuja el programa de gr´aficas.
Tal y como acab´ais de calcular (ejemplo 7.8.), el a´ rea por debajo de esta curva entre la abscisa 0 y 5 es aproximadamente 1,4. No obstante, esta curva no acaba en x = 5. De hecho, la curva nunca llega a tocar el eje horizontal, lo cual significa que podemos calcular el a´ rea entre 0 y x para valores de x tan grandes como queramos; as´ı, calcularemos el a´ rea de una figura muy larga, pero al mismo tiempo muy estrecha en la punta. Si hacemos que x tienda a infinito, es posible calcular el a´ rea de la figura completa. El resultado ser´a: 1 1 − 2−x = . x→∞ ln 2 ln 2 lim
Nos hemos encontrado, pues, con algo curioso: una figura ilimitada pero sin a´ rea infinita, como quiz´a alguien hab´ıa pensado de entrada. La forma habitual de anotar este c´alculo es: 0
+∞
2−x dx =
1 . ln 2
!
Sin embargo, es necesario estar alerta a la hora de interpretar de manera correcta esta integral desde 0 hasta infinito, pues siempre se tiene que interpretar como el l´ımite que hemos visto antes. Ahora vamos a ver otros ejemplos. Ejemplo 7.9. Calculamos
+∞ 1
x−2 dx.
Y esto significa calcular
a 1
x−2 dx y despu´es hacer que a → +∞.
Y esto cuando a a → +∞, nos da 1.
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Ejemplo 7.10. En otros casos, el a´ rea ilimitada no corresponde a valores de x muy grandes. Por ejemplo, ´ y = √1x entre 0 y 2, ver´eis que cuando si introduc´ıs en el programa de gr´aficas la funcion se acerca al eje vertical, la gr´afica se dispara hacia valores muy elevados de Y . Por lo tanto, estamos ante otro caso de zona ilimitada. Llegados a este punto, la pregunta es: ¿tambi´en aqu´ı el a´ rea es finita? Tendremos que utilizar un truco parecido al de antes:
2
0
dx √ = lim x h→0+
2
h
√ √ √ √ dx √ = lim [2 x]2h = lim [2 2 − 2 h] = 2 2. x h→0+ h→0+
7.4. Ejercicios ´ 7.1. Calculad las integrales que ten´eis a continuacion: a) b) c)
x−
3 x
0 −∞
3 x2
+
√1 x
dx.
+ 2 dx. e2x dx.
7.2. ¿Para qu´e valores del par´ametro p es finita el a´ rea por debajo de la curva y = las abscisas x = 0 y x = 1?
1 xp
entre
7.5. Solucionario 7.1. a) Reescribimos la integral para facilitar su c´alculo, y lo hacemos en tres integrales de funciones potenciales, cuyo resultado es:
1
x − 3x−2 + x− 2
dx =
b) Recordad que la derivada del logaritmo vale
1 x2 + 3x−1 + 2x 2 + C. 2
1 . x
Por tanto:
3 + 2 dx = 3 ln x + 2x + C. x
c) Teniendo en cuenta que uno de los l´ımites es infinito, tendremos que resolver primero la 0 2x e dx y evaluar el resultado cuando a −→ −∞, es decir: integral a
0
0
e2x dx =
a
1 2x 1 1 2a e = 2 − 2e . 2 a
Entonces, para terminar: lim a→−∞
1 1 1 − e2a = . 2 2 2
´ es potencial y el a´ rea es finita porque la region ´ es 7.2. Observamos que si p < 0, la funcion acotada. ´ es un cuadrado de lado 1. Si p = 0, la region ´ x1p presenta una as´ıntota vertical en el punto x = 0 y la region ´ est´a Si p > 0, la funcion acotada; el a´ rea puede ser finita o infinita. Podemos salir de dudas calculando:
Ip = 0
1
1 dx = lim xp h→0
h
1
1 dx. xp
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1
Si p = 1, I1 = lim
h→0
h
Si p = 1, Ip = lim
h→0
1 dx = lim (ln 1 − ln h) = +∞. x h→0
1
x h
Las ideas b´asicas del c´alculo
−p
1−p+1 − h−p+1 dx = lim = −p + 1 h→0
´ el a´ rea es finita solo ´ cuando p < 1. Conclusion:
1 −p+1
∞
si
p1
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Las ideas b´asicas del c´alculo
´ 8. M´etodos generales de calculo de integrales .
´ que os van En este apartado presentaremos algunos m´etodos de integracion ´ a ser utiles un poco m´as adelante para esta misma asignatura o para otras. ´ no es que os convirt´ais en una m´aquina calculadora de Nuestra pretension ´ integrales, pero es importante entender como funcionan estas t´ecnicas y saberlas aplicar.
´ por partes 8.1. Integracion ´ Una de las t´ecnicas m´as utiles para encontrar derivadas primitivas se basa en la regla de la derivada del producto: d (f (x)g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x). dx Aislando el segundo sumando de la derecha e integrando a derecha e ´ por partes: izquierda, tenemos la regla de integracion
f (x)g (x)dx = f (x)g(x) −
f (x)g(x)dx
´ siempre que podamos descomponer el integrando en dos Esta regla es util partes: una que resulta f´acil de integrar y otra que se simplifica en gran medida al derivarla. Ejemplo 8.1.
Para calcular x ln x dx, tomamos f (x) = ln x y g (x) = x, con g(x) = aplicar la regla anterior:
x ln x dx = ln x ·
1 2 x − 2
Obtenemos como resultado final: x2
x2 , 2
1 11 2 11 2 x dx = x2 ln x − x + C. x2 2 22
ln x− 1 2 2
+ C.
y podremos
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Ejemplo 8.2.
Para calcular xex dx, tomamos f (x) = x, ya que cuando la derivamos obtenemos una constante y g (x) = ex , que es f´acil de integrar: g(x) = ex . Tendremos:
xex dx = xex −
1 · ex dx = xex − ex + C.
Haced la prueba vosotros mismos y averiguad qu´e hubiera pasado si hubi´esemos tomado f (x) y g(x) al rev´es; ver´eis que no nos habr´ıa servido de nada. ´ por partes. Puede que os pregunt´eis como ´ Esta t´ecnica se denomina integracion se ´ averigua si una integral se puede resolver por partes y como se descompone en los dos ´ factores de la manera correcta. La unica respuesta que podemos dar es que con la pr´actica se aprende a hacerlo.
Ejemplo 8.3. ´ Antes de quehag´ais los ejercicios del final del apartado, os presentamos un ultimo ejemplo: calculemos ln x dx. ´ ´ tenemos ln x? Pues bien, tomamos f (x) = Nos dir´eis: ¿como descomponemos esto si solo ln x y g (x) = 1. Tendremos g(x) = x y, por lo tanto:
ln x dx = ln x · x −
1 x dx = x ln x − x + C. x
8.2. Cambio de variable La otra t´ecnica para encontrar primitivas tiene la regla de la cadena como base, regla que, por otra parte, ya conoc´eis. La regla de la cadena nos ´ f (u) que sabemos integrar y, en lugar indica que si tenemos una funcion ´ de x, u = g(x), entonces: de u ponemos alguna otra funcion
f (g(x))g (x)dx =
f (u)du, (u = g(x)).
Es decir, que no hay cambios si sustituimos: g(x) por u y g (x)dx por du. Despu´es integramos con respecto a u y, ya para acabar, volvemos a sustituir u por g(x). ´ veamos algunos ejemplos que nos ayudar´an a comprender A continuacion, ´ la t´ecnica de sustitucion. Ejemplo 8.4.
2x Calculamos dx. Ponemos u = g(x) = x2 + 5 y tendremos como resultado x2 +5 g (x) = 2x, con lo cual podemos hacer:
2x dx = x2 + 5
g (x) dx = g(x)
du u
Las ideas b´asicas del c´alculo
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´ y dado que conocemos esta ultima integral (es igual a ln u), podemos escribir:
2x dx = ln(x2 + 5) + C. x2 + 5
Ejemplo 8.5.
Para calcular:
√ 3
ex dx 1 + ex
introducimos la nueva variable u = 1 + ex . Tendremos, entonces du = ex dx y podremos ´ aplicar la sustitucion: ex 1 dx = du. √ √ 3 3 u 1 + ex
´ La ultima integral es
1
u− 3 du =
√ 3
3 2 u3 2
+ C y, por lo tanto, nuestra integral inicial es:
2 3 ex dx = (1 + ex ) 3 + C. 2 1 + ex
8.3. Cambio de variables en integrales definidas Para calcular una integral definida por cambio de variable se puede determinar la integral definida como se ha explicado y, tras haber deshecho ´ aplicar la regla de Barrow sobre la primitiva (consultad el la sustitucion, ´ apartado 6.2.). Sin embargo, tambi´en se puede llevar a cabo la sustitucion directamente. . Si tenemos una integral definida escrita en la forma:
b
f (g(x))g (x) dx
a ∗
∗
´ y tomamos a = g(a) y b = g(b), la integral resultante por sustitucion tiene el mismo valor, es decir:
b∗
a∗
f (u)du =
b
f (g(x))g (x) dx.
a
Se puede comprobar f´acilmente que esto es cierto, ahora lo veremos. Supongamos que F es una primitiva de f :
b∗ a∗
f (u)du
= F (b∗ ) − F (a∗ ) = F (g(b)) − F (g(a)) = =
b
a b
= a
d F (g(x)) dx = dx f (g(x))g (x) dx.
a
b
F (g(x))g (x) dx =
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Ejemplo 8.6.
e
ln x Cuando os dispong´ais a calcular dx es f´acil que se os ocurra el cambio de la variable 1 x ´ necesitamos calcular y (x) dx, que normalmente y = ln x. Para llevar a cabo la sustitucion, se escribe: 1 dy = y dx = dx. x ´ puesto que 1 = ln e y 0 = ln 1, haremos: En cuanto a los extremos de integracion,
1
e
ln x dx = x
1
1
y dy = 0
y 2 1 = . 2 2 0
Ejercicio 8.1. Calculad las siguientes integrales: a) b) c) d) e) f)
x ex
(ln x)2 dx. x2 ln x dx.
dx.
√ 3
3 + 2x dx.
ln x x
dx.
2ex 1+ex
dx.
´ de funciones racionales 8.4. Integracion En este apartado nos disponemos a presentar un m´etodo para calcular primitivas de funciones racionales, es decir, funciones del estilo f (x) = =
P (x) Q(x) ,
donde P (x) y Q(x) sean polinomios. Un caso sencillo de este tipo
es cuando Q(x) es de primer grado. Ejemplo 8.7. C´alculo de I =
x2 −x+1 dx. x+2
´ polinomica ´ Si hacemos la division de x2 − x + 1 per x + 2, obtenemos cociente x − 3 y ´ racional presenta resto 7, es decir, x2 − x + 1 = (x + 2)(x − 3) + 7. Ahora, nuestra funcion otro aspecto: x2 − x + 1 (x + 2)(x − 3) + 7 7 = = (x − 3) + . x+2 x+2 x+2 ´ simple, ambos f´aciles de Se ha convertido en la suma de un polinomio y una fraccion integrar: 7 x2 I= − 3x + 7 ln |x + 2| + C. x−3+ dx = x+2 2 Pero, ¿qu´e haremos cuando el polinomio Q(x) del denominador sea de grado mayor que 1?
Ejemplo 8.8. Calculamos I =
dx . x2 −5x+6
Descomponemos, si es posible, el polinomio x2 − 5x + 6 en dos factores de primer grado. Para hacerlo, tendremos que buscar las soluciones de x2 − 5x + 6 = 0, que son x = 2 y
Comentario La division ´ polinomica ´ es an´aloga a la division ´ de enteros. Si dividimos 27 entre 4, el resultado es cociente 6 y resto 3. Podemos comprobar que no nos hemos equivocado mediante la prueba de la division: ´ 27 = 4 × 6 + 3.
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x = 3, y ya tenemos que x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Y ahora empezamos a manipular ´ racional hasta que adopte una forma f´acil de integrar: la funcion 1 1 1 1 ´ = = − (comprobad este ultimo paso). x2 − 5x + 6 (x − 2)(x − 3) x−3 x−2 ´ Por ultimo: I=
1 1 − x−3 x−2
x − 3 + C. x−2
dx = ln |x − 3| − ln |x − 2| + C = ln
´ exponemos un m´etodo que permite calcular A continuacion
P (x) Q(x) dx, siempre
y cuando todas las ra´ıces de Q(x) sean reales.
8.5. M´etodo general En general, una función racional se puede escribir y =
Pm (x) Qn (x) ,
siendo Pm (x)
un polinomio de grado m y Qn (x) un polinomio de grado n. Se trata, en este caso, de estudiar el m´etodo que hay que seguir para calcular integrales de la siguiente forma: I=
Pm (x) dx. Qn (x)
Si m ≥ n se puede dividir Pm (x) por Qn (x), es decir, obtener C(x) y R(x) tal que Pm (x) = C(x)Qn (x) + R(x), siendo R(x) ≡ 0 o bien, grado R(x) < n. Por lo tanto, la integral se puede descomponer:
I=
Pm (x) dx = Qn (x)
R(x) R(x) C(x) + dx = C(x) dx + dx Qn (x) Qn (x)
´ polinomica, ´ La primera integral es la de una funcion motivo por el cual ´ de la el problema queda reducido al estudio del sistema de resolucion ´ racional en la que el numerador es de segunda integral: la de una funcion grado inferior al denominador. Para el caso particular R(x) ≡ 0, tendremos R(x) Qn (x) dx = C. El m´etodo que nosotros vamos a seguir requiere, en todos los casos, que el polinomio del denominador se encuentre descompuesto en factores, es decir, que se conozcan las ra´ıces del denominador.
!
´ calcularemos las integrales racionales m´as sencillas que se A continuacion, presentan, y despu´es veremos los diferentes casos que se pueden dar y que siempre se resuelven utilizando estas integrales.
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8.6. Integrales racionales de uso frecuente
B´asicamente hay cuatro tipos de integrales racionales, que son:
A dx = A x−α
I)
II)
dx = A ln |x − α| + C = ln K|x − α|A . x−α
A A(x − α) dx = (x − α)2 + β 2 2
2(x − α) A = ln[(x − α)2 + β 2 ] + C = (x − α)2 + β 2 2
A = ln K[(x − α)2 + β 2 ] 2 .
Ejemplo 8.9.
5x − 10 dx = 3x2 − 12x + 24 =
III)
5(x − 2) 5 dx = 3(x − 2)2 + 12 6
2(x − 2) dx = (x − 2)2 + 4
5 5 ln |(x − 2)2 + 4| + C = ln K|x2 − 4x + 8| 6 . 6
A A dx = 2 2 2 (x − α) + β β =
dx x−α 2 β
Aβ = 2 β +1
1 β dx = x−α 2 +1 β
x − α A arctan + C. β β
Ejemplo 8.10.
6 dx = x2 − 4x + 13
6 dx 6·3 = (x − 2)2 + 9 9
= 2 arctan
IV)
dx = (x − α)m
=
x−2 3
1 3
dx
x−2 2 3
= +1
+ C.
(x − α)−m dx =
(x − α)−m+1 +C = −m + 1
1 + C. (1 − m)(x − α)m−1
Ejemplo 8.11.
dx = (x − 1)7
(x − 1)−7 dx =
(x − 1)−6 −1 + C. +C = −6 6(x − 1)6
Nota En algunas ocasiones nos interesa, pensando en c´alculos posteriores, expresar la constante C como ln K, con K > 0. Fijaos en que esto siempre es posible.
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8.7. Integrales racionales en las que el denominador ´ tiene ra´ıces reales simples solo ´ Qn (x) = 0 tiene todas las soluciones reales y Supongamos que la ecuacion diferentes. En tal caso, tendremos: Qn (x) = a(x − α1 )(x − α2 ) . . . (x − αn ), a ∈ IR, αi ∈ IR, ∀i = 1, . . . , n. ´ en fracciones simples: Esto nos permite realizar la siguiente descomposicion
1 A1 R(x) A2 An = + + Qn (x) a x − α1 x − α2 x − αn
siendo los numeradores Ai ∈ IR, ∀i = 1, 2, . . . , n,, constantes que se pueden ´ de los dos miembros de la igualdad. determinar por identificacion ´ tras conocer las constantes Ai , la integral racional Con esta descomposicion, dada queda reducida a una suma de integrales que son inmediatas. Ejemplo 8.12.
I=
3x3
x2 − 1 dx. − 11x2 + 12x − 4
Descomponemos el denominador aplicando la regla de Ruffini:
3
-11 3 -8
1 3 As´ı, 3x2 − 8x + 4 = 0 ⇒ x = 2, x =
12 -8 4
Comentario
-4 4 0
2 . 3
Por lo tanto, 3x3 − 11x2 + 12x − 4 = 3(x − 1)(x − 2) x − Por este motivo tenemos:
I
=
=
=
dx = 2
3(x − 1)(x − 2) x −
A1 x −
2 3
2
=
3
3(x − 2) x −
3
2 3
=
.
(x + 1)
3(x − 2) x −
A1 1 A2 + 3 x−2 x − 23
+ A2 (x − 2)
2 3
(x + 1)(x − 1)
1 x+1 3 (x − 2) x −
Otra manera de calcular A1 y A2 es sustituyendo las dos ra´ıces del polinomio del denominador, 2 y 23 , en la igualdad: 2 + x + 1 = A1 x − 3 + A2 (x − 2).
2 3
dx =
(A1 + A2 )x − 23 A1 − 2A2
2 3
.
Igualando los numeradores nos queda: 2 x + 1 = (A1 + A2 )x − A1 − 2A2 ⇒ 3
A1 + A2 = 1 − 23 A1 − 2A2 = 1
x = 2 ⇒ 3 = 43 A1 x = 23 ⇒ 53 = − 43 A2 .
Es decir: A1 =
=
3(x − 2) x −
As´ı:
⇒ A1 =
9 5 , A2 = − . 4 4
9 , A2 4
= − 54 .
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Por lo tanto, la integral tiene como resultado:
9 − 54 1 4 + 3 x−2 x − 23
I=
3 2 5 dx = ln |x − 2| − ln x − + C = ln K 4 12 3
12
|x − 2|9
x − 2 5
.
3
Ejemplo 8.13. Calculamos I1 =
1 (x2 − a2 )
I2 =
dx x2 −a2
= =
1 dx. a2 −x2
1 A B A(x + a) + B(x − a) = = + = (x − a)(x + a) x−a x+a x2 − a 2 (A + B)x + (A − B)a . x2 − a 2
Igualando los numeradores, obtenemos: (A + B)x + (A − B)a = 0 · x + 1 ⇒
a2 Por lo tanto, I1 =
1 2a
=
1 x−a
A+B =0 A − B = a1
⇒A=
1 1 1 1 = . − 2 −x 2a x − a x+a
−
1 x+a
dx =
1 2a
1 x−a
dx −
1 x+a
1 1 ,B = − . 2a 2a
dx =
x − a 1 1 + C. (ln |x − a| − ln |x + a|) + C = ln 2a 2a x+a
Puesto que I2 = −I1 , resulta que:
I2 =
1 dx = − a 2 − x2
x + a 1 1 + C. dx = ln x2 − a 2 2a x−a
´ 8.8. Integrales racionales en las que el denominador solo tiene ´ ra´ız real multiple ´ ´ Qn (x) = 0 tiene una ra´ız real multiple de Supongamos que la ecuacion orden n. Entonces tendremos: Qn (x) = a(x − α)n . Podemos suponer que el polinomio Qn (x) est´a normalizado, es decir, a = 1. ´ tenemos que extraer el factor En caso contrario, solo
1 a
fuera de la integral.
´ en fracciones Este hecho nos permite llevar a cabo la descomposicion simples: An An−1 A2 A1 R(x) , = + + ... + + (x − α)n (x − α)n (x − α)n−1 (x − α)2 (x − α) siendo los numeradores Ai ∈ IR, ∀i = 1, 2, . . . , n constantes que se pueden ´ como se ha visto antes. determinar por igualacion, ´ la integral racional se ve reducida a una suma de Con esta descomposicion integrales que son inmediatas.
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Ejemplo 8.14.
Calculemos I =
x3 + 1 dx. (x − 1)4
´ racional en fracciones simples: Empecemos por descomponer la funcion x3 + 1 A4 A3 A2 A1 = + + + = (x − 1)4 (x − 1)4 (x − 1)3 (x − 1)2 x−1 =
A4 + A3 (x − 1) + A2 (x − 1)2 + A1 (x − 1)3 = (x − 1)4
=
A1 x3 + (A2 − 3A1 )x2 + (A3 − 2A2 + 3A1 )x + (A4 − A3 + A2 − A1 ) . (x − 1)4
Igualamos los numeradores: x3 + 1 = A1 x3 + (A2 − 3A1 )x2 + (A3 − 2A2 + 3A1 )x + (A4 − A3 + A2 − A1 ). ´ ´ si, tienen Esta es una igualdad entre polinomios. Dos polinomios son iguales si, y solo ´ anterior conduce al sistema de ecuaciones: los mismos coeficientes. As´ı pues, la ecuacion 1 = A1 0 = A2 − 3A1 0 = A3 − 2A2 + 3A1 1 = A4 − A3 + A2 − A1
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
cuyas soluciones son A1 = 1, A2 = 3, A3 = 3, A4 = 2. Por lo tanto, la primitiva buscada es: I
= =
−
3 3 1 2 + + + (x − 1)4 (x − 1)3 (x − 1)2 x−1
dx =
2 3 3 + ln |x − 1| + C. − − 3(x − 1)3 2(x − 1)2 x−1
8.9. Ejercicios 8.2. Calculad las siguientes integrales:
a)
b)
c)
2x2 + 5x − 1 dx. x3 + x2 − 2x 2x2 + 6x − 4 dx. x3 + 4x2 + 4x x3 + 7x2 + 21x + 6 dx. x3 + 2x2 + x
8.10. Solucionario ´ Si queremos 8.1. Todas estas integrales se pueden resolver por partes o bien por sustitucion. aplicar el primer m´etodo, el integrando tiene que ser del tipo f (x)g (x), en el que g (x) tiene ´ f´acil de integrar. Fijaos en que las tres primeras se adaptan. que ser una funcion a) Sea f (x) = x y g (x) =
x dx ex
1 ex
´ = e−x . Entonces, aplicando la formula, tenemos que:
x (−e−x ) −
=
−x e−x − e−x + C = −e−x (x + 1) + C.
b) Igual que cuando calcul´abamos tanto:
=
−e−x dx = −x e−x +
x (ln x)2 −
2
=
2
e−x dx =
ln x dx, tomemos f (x) = (ln x)2 y g (x) = 1. Por lo
(ln x)2 dx
=
x (ln x) − 2
ln x x dx = x ln x dx = x (ln x)2 − 2(x ln x − x) + C.
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Las ideas b´asicas del c´alculo
´ x2 es m´as f´acil de integrar que ln x, tomaremos c) Teniendo en cuenta que la funcion f (x) = ln x y g (x) = x2 . Entonces tenemos que:
2
x ln x dx
=
x3 ln x − 3
x3 dx = 3x
=
x3 1 x3 x3 1 ln x − = (ln x − ) + C. 3 3 3 3 3
´ Podemos resolver las integrales que se siguen por el m´etodo de sustitucion. Para aplicar ´ de funciones en el integrando, f (g(x)), este m´etodo necesitamos tener una composicion multiplicada por g (x). En algunas ocasiones, si queremos tener g (x), tendremos que multiplicar y dividir por una constante. √ d) En este caso utilizaremos f (g(x)) = 3 3 + 2x, siendo g(x) = u = 3+2x y, en consecuencia, g (x) = 2. Observad que para obtener g (x) tendremos que multiplicar y dividir por 2. Entonces:
√ 3
3 + 2x dx
√ 1 2 3 3 + 2x dx = 2
√ 3
=
1 2
=
4 3 3 4 u 3 + C = (3 + 2x) 3 + C. 8 8
u du =
´ de la variable original. Recordad que es necesario expresar el resultado en funcion ´ al hecho de que en este caso pod´eis tomar f (x) = x y, por lo tanto,f (g(x)) = e) Prestad atencion = g(x) = u = ln x. Entonces:
ln x dx = x
u du =
u2 (ln x)2 +C = + C. 2 2
f) En caso de que tengamos un cociente, puede que sea conveniente que tomemos g(x) como denominador y f (x) = x1 . Si lo hacemos as´ı, en tal caso tendremos que g(x) = u = 1 + ex y 1 x f (g(x)) = 1+e x y g (x) = e .
2ex dx 1 + ex
ex dx = 2 1 + ex
=
2
=
2 ln(1 + ex ) + C.
1 du = 2 ln u + C = u
8.2. a) Puesto que x3 + x2 − 2x = x(x − 1)(x + 2), podemos encontrar A1 , A2 , A3 , de manera que: 2x2 + 5x − 1 x3 + x2 − 2x
= = =
A1 A2 A3 + + = x x−1 x+2 A1 (x − 1)(x + 2) + A2 x(x + 2) + A3 x(x − 1) = x(x − 1)(x + 2) (A1 + A2 + A3 )x2 + (A1 + 2A2 − A3 )x − 2A1 . x(x − 1)(x + 2)
Y ahora igualamos numeradores y con ello obtenemos el sistema de ecuaciones: −1 = 5= 2= cuyas soluciones son A1 =
1 , 2
⎫ ⎬ ⎭
A2 = 2, A3 = − 12 . As´ı pues:
2x2 + 5x − 1 1 dx = x3 + x2 − 2x 2 =
−2A1 −A3 + 2A2 + A1 A3 + A2 + A1
dx +2 x
dx 1 − x−1 2
dx = x+2
1 1 ln |x| + 2 ln |x − 1| − ln |x + 2| + C = 2 2 √ 2 (x − 1) x + C. = ln √ x+2
b) Puesto que x3 + 4x2 + 4x = x(x + 2)2 , podemos encontrar A1 , A2 y A3 de manera que: 2x2 + 6x − 4 x3 + 4x2 + 4x
=
A1 A2 A3 = + + x x+2 (x + 2)2
=
A1 (x + 2)2 + A2 x(x + 2) + A3 x = x(x + 2)2
=
(A1 + A2 )x2 + (4A1 + 2A2 + A3 )x + 4A1 . x(x + 2)2
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Las ideas b´asicas del c´alculo
Igualamos numeradores y obtenemos el sistema de ecuaciones: −4 = 6= 2=
4A1 A3 + 2A2 + 4A1 A2 + A1
⎫ ⎬ ⎭
´ A1 = −1, A2 = 3 y A3 = 4. As´ı pues: que tiene por solucion
2x2 + 6x − 4 dx x3 + 4x2 + 4x
dx +3 x
dx +4 x+2
=
−
=
− ln |x| + 3 ln |x + 2| −
=
(x + 1)3 ln x −
dx = (x + 2)2
4 +C = x+2
4 + C. x+2
c) Dado que x3 + 7x2 + 21x + 6 = (x3 + 2x2 + x) · 1 + (5x2 + 20x + 6), entonces:
x3 + 7x2 + 21x + 6 dx = x3 + 2x2 + x
1 dx +
5x2 + 20x + 6 dx. x3 + 2x2 + x
´ racional restante, tendremos en cuenta que Si queremos calcular una primitiva de la funcion x3 + 2x2 + x = = x(x + 1)2 y, por lo tanto, encontraremos A1 , A2 y A3 tales que: 5x2 + 20x + 6 x3 + 2x2 + x
=
A1 A2 A3 = + + x x+1 (x + 1)2
=
A1 (x + 1)2 + A2 x(x + 1) + A3 x . x(x + 1)2
Tras igualar numeradores, obtenemos 5x2 + 20x + 6 = A1 (x + 1)2 + A2 x(x + 1) + A3 x; ahora damos tres valores diferentes a x (por ejemplo, x = 0, x = −1 y x = 1) y vamos a parar al sistema de ecuaciones: ⎫ 6 = A1 ⎬ −9 = −A3 ⎭ 31 = A3 + 2A2 + 4A1 ´ es A1 = 6, A2 = −1 y A3 = 9. Para finalizar: cuya solucion
x3 + 7x2 + 21x + 6 dx x3 + 2x2 + x
=
1 dx +
= =
x+6
5x2 + 20x + 6 dx = x3 + 2x2 + x
dx − x
x6 x + ln x + 1 −
dx +9 x+1 9 + C. x+1
dx = (x + 1)2
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´ 9. Los principales teoremas del calculo .
´ A lo largo de este apartado compilaremos los principales resultados teoricos que hemos ido viendo desde un principio. Algunos ya los hemos enunciado, pero tambi´en hay cosas nuevas que veremos.
9.1. Teoremas de continuidad Un primer hecho importante sobre las funciones continuas es el siguiente: . ´ continua en un intervalo (a, b) y en un punto x0 Si f es una funcion de este intervalo tenemos f (x0 ) > 0, entonces existe un entorno U de x0 tal que f (x) > 0 ∀x ∈ U .
Esta propiedad de las funciones continuas se puede expresar de otras ma´ cumple y1 < f (x) < y2 , neras. Podemos decir que si para x = x0 , la funcion tambi´en lo tiene que cumplir en todo un entorno alrededor del punto x0 . Exercici 9.1. ´ continua en un intervalo (a, b) y un punto x0 ∈ (a, b). ¿Es cierta la Tenemos una funcion ´ ´ afirmacion: “Si se cumple y1 ≤ f (x0 ) ≤ y2 para dos numeros y1 , y2 , existe un intervalo alrededor de x0 donde la desigualdad tambi´en se cumpla”?
El siguiente teorema tiene una gran importancia, as´ı como implicaciones pr´acticas: .
Comentario
Teorema de Bolzano ´ es continua en el intervalo cerrado [a, b] y cambia de Si una funcion signo en este intervalo, es decir, f (a) < 0 < f (b) o f (a) > 0 > f (b), ´ punto x0 ∈ [a, b] tal que f (x0 ) = 0. entonces tiene que existir algun
Dicho de otra forma, el teorema de Bolzano establece que si la gr´afica de una funcion ´ no se rompe y pasa de un lado a otro del eje, necesariamente lo tiene que cruzar en algun ´ punto.
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´ de este teorema se basa en el hecho de que una sucesion ´ La demostracion ´ de intervalos encajados define un numero real. En lugar de escribir la ´ preferimos plantearnos una aplicacion ´ pr´actica. demostracion, Aplicación ´ f (x) = x3 − x2 − x − 3 en el programa de gr´aficas. Si solicitamos la Introducid la funcion ´ cambia de signo en este gr´afica en el intervalo [−4, 4], veremos claramente que la funcion ´ punto x0 , donde intervalo y que, por lo tanto, tiene que cortar el eje horizontal en algun tendremos f (x0 ) = 0. El objetivo es tratar de localizar este punto reduciendo el intervalo que lo incluye. Por ejemplo, pod´eis intentar dibujar la gr´afica de f (x) con el ordenador en los siguientes intervalos: [1 , 3]
[2, 2, 2]
[2, 1, 2, 15]
[2, 13, 2, 135]
[2, 13, 2, 1305]
[2, 1303 , 2, 1305]
Por lo tanto, nuestro punto est´a entre 2,1303 y 2,1305, lo cual nos permite asegurar con certeza cu´ales son las tres primeras cifras decimales, pero ninguna m´as. Continuad adelante ´ con la busqueda e intentad encontrar las cinco primeras cifras decimales. ¿Os parece que este ´ momento? ¿Cre´eis que este sistema puede servir para encontrar proceso se acabar´a en algun ´ los ceros de cualquier funcion? Este procedimiento para resolver ecuaciones recibe el nombre ´ y hablaremos de e´ l en el modulo ´ ´ en las t´ecnicas del de m´etodo de biseccion, “Profundizacion c´alculo”.
´ vamos a ver un teorema crucial. Os recordamos que el A continuacion ´ f tiene un m´aximo en un punto x0 quiere hecho de decir que una funcion decir que f (x0 ) es mayor o igual que f sobre los otros puntos. . Teorema del m´aximo o de Weierstrass ´ continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces Si f es una funcion f est´a acotada en el intervalo [a, b] y, adem´as, tiene que existir un punto x0 donde f llegue a su valor m´aximo, es decir, que cumpla f (x0 ) ≥ f (x), ∀x ∈ [a, b].
Este mismo teorema puede ser formulado para el m´ınimo. Dicho teorema es importante a la hora de resolver problemas de optimi´ donde nos interesa asegurar que existe el valor que maximiza la zacion, ´ Esto ser´a f´acil si la funcion ´ es continua en un intervalo cerrado. funcion. Ejercicio 9.2. ´ sea continua y que lo sea en un Las premisas del teorema anterior son: que la funcion intervalo cerrado y finito. Aqu´ı os pedimos que comprob´eis que ninguna de estas dos premisas es superflua: ´ definida en un intervalo cerrado que no llegue a su a) Encontrad un ejemplo de funcion ´ punto del intervalo. valor m´aximo en ningun
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´ continua en un intervalo que no alcance su valor b) Encontrad un ejemplo de funcion ´ punto del mismo. m´aximo en ningun
Si os hab´eis encontrado con dificultades graves para entender lo que hemos explicado hasta ahora, os recomendamos que volv´ais al apartado 1. De todos modos, hay que tener claro que en este apartado vemos la parte m´as ´ abstracta y m´as formal del modulo.
9.2. Teoremas sobre la derivada Aqu´ı necesitamos recoger una serie de propiedades de las funciones derivables que son importantes por s´ı mismas, as´ı como por las aplicaciones ´ ´ en las t´ecnicas del c´alculo”. que veremos en el modulo “Profundizacion ´ es Volvemos a un hecho que ya hemos discutido antes: si una funcion derivable en un punto, es continua en este punto.
!
. La derivada en un extremo local ´ derivable en un intervalo (a, b) y tiene un m´aximo Si f es una funcion en x0 ∈ (a, b), f (x0 ) = 0. Lo mismo podemos decir si se trata de un m´ınimo.
´ Demostracion La derivada f (x0 ) que tenemos que demostrar que vale cero es igual al l´ımite del cociente: C(h) =
f (x0 + h) − f (x0 ) , h
cuyo numerador siempre ser´a negativo, puesto que f (x0 ) es m´aximo. Si hacemos el l´ımite por la derecha, h > 0, tenemos que C(h) ≤ 0 y, en consecuencia, el l´ımite tambi´en tiene que ser menor o igual que cero. Si hacemos el l´ımite por la izquierda, vemos que tiene que ser mayor o igual que cero y, dado que los dos tienen que ser iguales, la derivada tiene que ser cero.
. Teorema de Rolle Si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b) y cumple f (a) = f (b), ´ punto x0 ∈ [a, b] tal que f (x0 ) = 0. entonces existe algun
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´ Demostracion ´ punto x0 donde la funcion ´ alcanza El teorema de Weierstrass nos asegura que existe algun ´ llega a su m´ınimo. Puede que alguno su valor m´aximo y otro punto x1 donde la funcion de estos puntos est´e en el interior del intervalo y, entonces, el teorema anterior ya nos asegura que la derivada vale cero. Si ninguno de los dos puntos est´a en el interior, estos significa que ambos se hallan en los extremos del intervalo cerrado y, en consecuencia, f (x0 ) = f (x1 ) = 0, con lo que tendremos que f (x) = 0 y f (x) = 0 en todos los puntos del intervalo.
Ejercicio 9.3. Los teoremas anteriores exigen que las funciones a las que se aplican sean derivables. ´ continua que Aportad ejemplos, tanto de manera gr´afica como anal´ıtica, de una funcion ´ continua tenga un extremo local donde la derivada no exista. Y lo mismo de una funcion ´ de las notaciones del teorema de Rolle, pero que no que cumpla f (a) = f (b) en funcion ´ del teorema. cumpla la conclusion
El teorema que presentamos ahora probablemente sea el m´as importante: . Teorema del valor medio de la derivada Si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), y consideramos su incremento medio en el intervalo considerado: M=
f (b) − f (a) , b−a
´ punto x0 ∈ [a, b] tal que f (x0 ) = M . existe algun
´ Demostracion ´ La funcion: g(x) = f (x) − f (a) − M (x − a), ´ que donde M es el valor medio que hemos definido en el enunciado, es una funcion cumple los requisitos del teorema de Rolle, con g(a) = g(b) = 0. Por lo tanto, existe ´ x0 tal que g (x0 ) = 0. Y puesto que g (x) = f (x) − M , tenemos que f (x0 ) = M . algun
´ Podemos reformular este teorema diciendo: sea como sea, una funcion ´ momento vale exactamente lo mismo derivable entre dos puntos en algun que la media entre estos dos puntos. Por ejemplo, si la polic´ıa os para en la autopista y puede demostrar que desde el primer peaje hab´eis ido a una ´ velocidad media de 135 kilometros por hora, os podr´ıa poner una multa ´ por correr como m´ınimo en un momento del trayecto a 135 kilometros por hora. Esto es lo que asegura el teorema del valor medio: es imposible ´ ´ momento viajar a una media de 135 kilometros por hora sin ir en ningun ´ a 135 kilometros por hora.
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.
La figura muestra... ... gr´aficamente el teorema del valor medio. Esto nos da la idea de que el valor medio, el cociente entre f (b) − f (a) y b − a es precisamente la pendiente de la l´ınea que une (a, f (a)) con (b, f (b)). Y lo que enuncia el teorema es que tiene que haber, como m´ınimo, un punto donde la pendiente de la curva sea igual que la de esta l´ınea. En el ejemplo de la figura nos encontramos con tres puntos donde esto sucede. Ejercicios ´ f (x) = x3 −2x+5 en el intervalo [0, 2]. Calculad el incremento 9.4. Considerad la funcion ´ en el intervalo dado y buscad el punto donde la derivada coincide medio de la funcion con el incremento medio. ´ f (x) = 5 − 9.5. Haced lo mismo que en el ejercicio anterior, pero con la funcion intervalo [1, 4].
4 x
9.6. Dos unidades de la polic´ıa de tr´afico equipadas con radar est´an situadas en una ´ ´ pasa al lado carretera a 8 kilometros de distancia la una de la otra. Cuando un camion ´ de la primera, el radar detecta una velocidad de 90 kilometros por hora. Al cabo de ´ resulta ser de 80 4 minutos, al pasar cerca del segundo radar, la velocidad del camion ´ ´ ha superado el l´ımite kilometros por hora. ¿Se puede deducir con estos datos si el camion ´ de velocidad de 100 kilometros por hora?
9.3. Teoremas sobre la integral Una de las aplicaciones de la integral que todav´ıa no hemos visto es que nos ´ en un intervalo. permite calcular el valor medio o la media de una funcion ´ en Pero ¿qu´e significa hacer la media de todos los valores de la funcion un intervalo si los valores que hay son infinitos? Podemos establecer un ´ paralelismo con el caso discreto y despu´es hacer que el numero de valores cuya media hemos encontrado tienda a infinito. ´ f en un Supongamos que queremos calcular la media µ de una funcion intervalo [a, b]. Tomamos n valores en el intervalo que se encuentren a la misma distancia unos de otros: a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b, ´ podemos aproximar la media de los Tras haber realizado esta operacion, valores de f : µ ≈ µn =
1 f (xi ). n i
Asimismo, considerando que tenemos dividida la longitud del intervalo, b − a, en n tramos del mismo tamaño xi+1 − xi , podemos escribir: 1 xi+1 − xi = f (xi ) f (xi )(xi+1 − xi ). µn = b−a b−a i i
8 km
en el
coches policía radar camión
t=0
t = 4 minutos
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Si ahora hacemos que n → ∞, tenemos que µn se convierte en: 1 b−a
b
f (x) dx,
a
´ como el valor medio de f en [a, b]. que es lo que tomaremos por definicion . Teorema del valor medio para la integral ´ punto Si f : [a, b] −→ IR es continua, podemos asegurar que en algun ´ alcanza su valor medio: x0 ∈ [a, b] la funcion f (x0 ) =
1 b−a
b
f. a
El teorema nos indica que si construimos de manera gr´afica el valor medio, ´ punto de altura µ. el grafo de f tiene que pasar por algun
El valor medio... µ
... se puede interpretar de manera gr´afica. Puesto que la integral es el a´ rea por debajo de la funcion, ´ y la dividimos por b − a, µ tiene que ser igual a la altura de un rect´angulo que tenga base b − a y a´ rea igual al a´ rea por debajo del grafo de f .
Nos disponemos a demostrar este teorema, y para ello utilizaremos algunos otros que ya hemos enunciado en este mismo apartado. Sabemos que la ´ f alcanza los valores m´aximo y m´ınimo en puntos del intervalo, funcion que pueden ser, por ejemplo, xm y xM . El valor medio se encontrar´a, con ´ que tenemos que hacer para toda seguridad, entre f (xm ) y f (xM ), y lo unico ´ Por su parte, el teorema de Bolzano comprobarlo es repasar la definicion. ´ que toma dos valores tambi´en tiene nos permite asegurar que una funcion ´ punto cualquier valor intermedio. que alcanzar en algun Ejercicios ´ f (x) = x + x1 en el intervalo [0, 5, 2, 5]. 9.7. Calculad el valor medio de la funcion ´ punto de este intervalo donde la funcion ´ alcance este valor medio; Encontrad algun haced lo mismo para f (x) = [x], el entero mayor que no es mayor que x en el intervalo [0, 5, 2, 5]. (Utilizad el ejemplo 1.2.) ´ f (x) = 9.8. Calculad el valor medio de la funcion ´ punto del intervalo? en algun
ln x x
en el intervalo [1, 5]. ¿Lo alcanza
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9.4. Teorema fundamental del c´ alculo Hemos enunciado, demostrado y utilizado este teorema en apartados anteriores, pero conviene repetirlo aqu´ı ya que es realmente fundamental. . Teorema fundamental del c´alculo 1) Si f : (a, b) −→ IR es continua, cualquier integral indefinida de f es derivable y cumple F (x) = f (x) para toda x ∈ (a, b). ´ F que cumpla F (x) = f (x) en un intervalo 2) Cualquier funcion abierto, debe ser de la forma: F (x) = k +
x
f a
´ a del dominio de f . para alguna constante k y algun
9.5. Solucionario 9.1. No es cierta. El problema estriba en la parte donde se dice “menor o igual”. Por ejemplo, ´ f (x) = x2 nos encontramos con que f (0) ≤ 0, pero en todos los otros puntos, para la funcion ´ que cruce el valor en aquel punto: f (x) > 0. Otro ejemplo sencillo puede ser el de una funcion ´ intervalo alrededor f (x) = 3x cumple 0 ≤ f (1) ≤ 3, pero no puede cumplir esto en ningun de x0 = 3. 9.2. ´ continua. Encontramos un ejemplo si tomamos una a) Esto es imposible para una funcion ´ que presente una discontinuidad en un intervalo cerrado. Os presentamos un ejemplo funcion de ello: 1 f (x) = con x ∈ [0, 2]. x−1 Os sugerimos que intent´eis dibujarla para que lo ve´ais claramente. ´ b) Para encontrar un ejemplo, ser´a necesario que el intervalo donde definimos la funcion ´ continua m´as sencilla que podemos tomar es f (x) = x, continua no sea cerrado. La funcion ´ es creciente, no llegaremos nunca al m´aximo. definida para x ∈ [−1, 2). Puesto que la funcion ´ con un extremo en x0 , en el cual la derivada en x0 no existe, trazar´a una 9.3. Una funcion gr´afica con una “punta” en este punto. Un ejemplo de ello es f (x) = |x| en x0 = 0. Ve´amoslo:
f (x) = |x| =
x
x≥0
−x
x≤0
=⇒ f (x) =
1
x>0
−1
x 1... 3. La funcion a) tiene l´ımite 0 cuando x → 0+ . b) El l´ımite anterior no existe c) Las dos respuestas anteriores son falsas. ´ definida por f (x) = x2 si x ≥ 0 y f (x) = |x| si x < 0... 4. La funcion a) presenta una discontinuidad de salto en x = 0. b) es continua en x = 0. c) presenta una discontinuidad evitable en x = 0. ´ y= √ 5. La funcion
1 ... x(x−1)
a) es continua en x = 1 ya que existe el l´ımite para x → 1− . b) tiene una as´ıntota vertical en x = −1. c) ninguna de las respuestas anteriores es cierta. 6. Si sabemos que lim f (x) = 0,... x→0
a) el l´ımite de
1 f (x)
cuando x → 0 es +∞.
b) el l´ımite de
1 f (x)
cuando x → 0 no puede ser −∞.
c) Ninguna de las dos respuestas anteriores es correcta. ´ ∞ − ∞, esto quiere decir ... 7. Si cuando calculamos un l´ımite aparece la indeterminacion a) que el l´ımite no existe. b) que el l´ımite puede ser 0. c) que el l´ımite es +∞ o −∞. ´ correcta: 8. Escoged la afirmacion ´ no derivable en un punto puede ser continua en aquel punto. a) Una funcion ´ continua en un punto tiene que ser derivable en aquel punto. b) Una funcion ´ derivable en un punto puede tener l´ımite infinito en aquel punto. c) Una funcion ´ en un punto es... 9. La derivada de una funcion a) el cociente del l´ımite de incrementos en aquel punto. b) el l´ımite del cociente de incrementos en aquel punto. c) el incremento del cociente de l´ımites en aquel punto. ´ y = (1 − |x|)2 en el punto x = 0 ... 10. La funcion a) es continua y derivable. b) no es derivable, ya que la derivada por la derecha da −2 y por la izquierda, 2. c) no es derivable, pero el motivo no es el anterior. √ √ 11. El l´ımite, cuando x tiende a infinito, de x − 2 − x + 2 es... a) cero. b) no existe. c) es indeterminado, no se puede calcular.
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12. El l´ımite de x2 + a) no existe. b) es infinito. c) es ±0.
1 x
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cuando x → 0...
2
x √ 13. El l´ımite de 10+x cuando x → ∞... x a) no existe. b) es ∞. c) depende de si nos acercamos a ∞ por la derecha o por la izquierda.
´ f (x) = x + log10 x, definida por x > 0,... 14. La funcion a) siempre es creciente. b) es decreciente para x < 1 ya que el logaritmo es negativo. c) es creciente si en lugar de log10 ponemos el logaritmo neperiano. ´ impl´ıcita se obtiene ... 15. Si tenemos x3 + y 3 − 3xy = 0, aplicando la diferenciacion a) y =
x2 −y . x−y 2
´ b) No se puede derivar de manera impl´ıcita esta expresion. c) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. 16. La derivada de f (x) = −e−x es... a) ex . b) e−x . c) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. ´ f (x) = x + ln x, x > 0 tiene una funcion ´ inversa, g(x), lo cual quiere decir 17. La funcion que ... a) g (x + ln x) = x, per a tot x > 0. b) g (x + ln x) =
1 , f (x)
para todo x > 0.
c) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. 18. Sab´eis, de dos funciones f (x) y g(x), que est´an definidas en todo IR y que, para x > 0, f (x) es positiva y g(x) es negativa. Entonces ... a) f no puede ser la derivada de g. b) g no puede ser la derivada de f . c) No se puede asegurar ninguna de las afirmaciones anteriores. ´ f (x) definida en todo IR sabemos que siempre es creciente y que siempre 19. De una funcion es positiva. a) Se puede asegurar que lim f (x) = ∞. x→∞
b) Se puede asegurar que lim f (x) = ∞. x→∞
c) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. ´ derivable mediante la cual obtenemos el saldo de una cuenta 20. Si f (t) es una funcion bancaria en pesetas en el momento t ∈ [0, 10], t en años, ... a) f (t) se expresar´a en pesetas por año. b) f (t) ser´a la cantidad de pesetas que entran o salen en un año. c) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. 21. Si f (x) = a) f (x) =
1
,...
1
1+e x
1
ex 1 1+e x
2
. x2
1
b) f (x) = ln 1 + e x . c) f (x) =
1
2
−e x 1 1+e x
. x2
22. La regla de la cadena que nos permite asegurar que la derivada con respecto a x de f (suponiendo que exista) es... a) f
b) −f
1 g(x)
c) −f
g (x)
g(x)2
1 g (x) 1 g(x)
.
g(x) . g(x)2
g (x)
g(x)2
.
1 g(x)
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23. La derivada de f (x) = ax es ... a) f (x) = xax−1 . b) f (x) = ex loga x. c) f (x) = ax ln a. ´ que tiene la derivada segunda creciente... 24. Una funcion a) tiene que ser positiva. ´ b) tiene que ser concava. c) Ninguna de las dos afirmaciones anteriores es cierta. 25. Si la derivada segunda en un punto es cero, ... ´ es una recta. a) la funcion ´ b) el punto es de inflexion. c) el punto puede ser un m´ınimo local. 26. Si sabemos que f (x0 ) > 0 y que f (x0 ) = 0,... a) x0 puede ser un m´ınimo local de f . ´ de f . b) x0 puede ser un punto de inflexion c) Ninguna de las respuestas anteriores es cierta. ´ derivable en un punto a, se cumple... 27. Si f (x) es una funcion a) f (x) = f (a) + f (a)(x − a) para x en un entorno de a. b) f (x) ≈ f (a) + f (a)(x − a) para x cerca de a. c) No se cumple ninguna de las respuestas anteriores. ´ f entre dos valores a y b es igual al a´ rea comprendida entre el 28. La integral de una funcion ´ el eje horizontal y las rectas x = a y x = b... grafo de la funcion, a) siempre. b) si f (x) es positiva y a < b. c) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. ´ 29. En el computo num´erico de una integral, las sumas superiores y las inferiores... a) siempre son iguales. b) no pueden ser iguales. c) Ninguna de las dos respuestas anteriores es correcta.
2
dx ´ del intervalo en cuatro subintervalos. Las 30. Para calcular realizamos una division 1 x sumas inferiores resultan...
a)
1 4
b) 4
1 1,25
1 1,25
+
1 1,5
+
1 1,5
+
1 1,75
+
1 1,75
+
1 2
+
1 2
.
.
c) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. ´ positiva entre a y b,... 31. Sea aa < b y f (x) una funcion a) f (x) dx ≥ 0. b)
ba b
f (x) dx ≤ 0.
c) No se puede asegurar ninguna de las respuestas anteriores. ´ continua en todo IR, definimos: 32. Sea f (x) una funcion
F (x) = 2 +
x
f (t) dt. 0
a) Podemos asegurar que F es derivable y que F (x) = f (t). b) Podemos asegurar que F es derivable y que F (x) = f (x). c) No podemos asegurar ninguna de estas dos afirmaciones. ´ f (x) = 2x − 33. La primitiva de la funcion a) x2 − x−2 + 1. b) x2 − ln x. c) No existe esta primitiva.
1 , x
que vale 1 para x = 1, es...
´ f (t) nos aporta la cantidad de divisas de un pa´ıs en dolares, ´ 34. Si una funcion donde t es el tiempo en meses, la derivada f (t)... a) nos da la cantidad de divisas que entra o sale del pa´ıs durante el mes t. b) nos da el ritmo mensual de entrada o salida de divisas en el momento t. c) acumula las divisas del pa´ıs desde el momento 0 hasta el momento t.
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x
35. Para calcular la integral exe−1 dx,,... ´ u(x) = ex permite encontrar con facilidad la solucion. ´ a) la sustitucion ´ u(x) = ln x permite encontrar con facilidad la solucion. ´ b) la sustitucion c) Ninguna de las respuestas anteriores es cierta. 36. La integral
1 0
x(x − 1) dx da...
a) x2 ( x3 − 12 ). b) − 16 + C. c) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. 37. La integral impropia
1
4 . 3
0
1
x− 4 dx...
a) es igual a 1 b) no se puede calcular, ya que x− 4 da infinito en x = 0. c) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
38. Para integrar exx dx,... ´ u(x) = ex va muy bien. a) la sustitucion ´ por partes con f (x) = x, y g (x) = e−x , y obtenemos b) hay que aplicar la integracion como resultado −xe−x − ex + C. ´ por partes con f (x) = x, y g (x) = e−x va bien, pero el c) hay que aplicar la integracion resultado es diferente. 39. Si en la integral a) b) c)
2
ex dx 1 ex +10
´ u(x) = ex , tenemos que calcular... efectuamos la sustitucion
2
du . 1 u+10
e2
du . u+10
eln 2 0
du . u+10
´ continua en un intervalo [a, b],... 40. Si f es una funcion a) podemos asegurar que tiene un m´ınimo local en el intervalo. b) podemos asegurar que tiene un m´aximo en el intervalo. ´ sea derivable. c) podemos asegurar que f (a) = f (b) siempre que la funcion ´ cualquiera, definida en un intervalo [a, b] tal que f (a) < 0 < f (b),... 41. Si f es una funcion ´ punto x0 ∈ [a, b] se tiene f (x0 ) = 0. a) se puede asegurar que en algun ´ punto x0 ∈ [a, b] se tiene f (x0 ) ≈ 0. b) se puede asegurar que en algun c) No se puede asegurar ninguna de estas dos afirmaciones. ´ continua en un intervalo [a, b] y es derivable en (a, b), y x0 ∈ [a, b] es 42. Si f es una funcion ´ toma su valor m´ınimo,... el punto donde la funcion a) se puede asegurar que f (x0 ) > 0. b) se puede asegurar que f (x0 ) = 0. c) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. ´ continua en un intervalo [a, b] y es derivable en (a, b), el teorema del 43. Si f es una funcion valor medio de la derivada nos indica que... (b) ´ punto donde la derivada es igual a f (a)−f a) hay algun . b−a ´ punto donde la derivada es igual a la pendiente del grafo en aquel punto. b) hay algun ´ punto donde la derivada es igual al a´ rea comprendida debajo de la curva. c) hay algun ´ continua en un intervalo [a, b]... 44. El valor medio de una funcion a) es igual a b) es igual a c) es igual a
f (b)−f (a) . b−a
b a
f
b−a
.
f (a)+f (b) . 2
´ f (x) = 45. Consideremos la funcion
1 . x(x+1)2
f (x) dx no aparecen logaritmos. x b) f (x) dx = ln + x + C. ´ de a) En la expresion
x+1
x+1
c) Ninguna de las respuestas anteriores es cierta.
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46. Calculamos I =
3x 2x2 −12x+18
dx con el m´etodo habitual.
a) Ninguno de los sumandos de I es un polinomio 1 b) I = 3 ln |x − 3| − 9 x−3 + C.
c) I =
1 2
ln |x − 3| −
3 1 2 x−3
+ C.
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Solucionario 1. c, 2. b, 3. a, 4. b, 5. c, 6. c, 7. b, 8. a, 9. b, 10. b, 11. a, 12. a, 13. b, 14. a, 15. a, 16. b, 17. b, 18. c, 19. c, 20. a, 21. a, 22. c, 23. c, 24. c, 25. c, 26. c, 27. b, 28. b, 29. c, 30. a, 31. b, 32. b, 33. b, 34. b, 35. a, 36. c, 37. a, 38. c, 39. b, 40. b, 41. c, 42. c, 43. a, 44. a, 45. b, 46. a.
Glosario ´ en un punto: la derivada de una funcion ´ f en un punto a es: Derivada de una funcion f (a + h) − f (a) h
f (a) = lim h→0
´ es derivable en dicho en caso de que este l´ımite exista. Cuando existe, decimos que la funcion punto. ´ f tiene una discontinuidad evitable en x = a Discontinuidades: decimos que la funcion ´ de f (a), la funcion ´ ya es continua en a. Si cuando, cambiando o añadiendo la definicion ´ los dos l´ımites laterales existen pero son dos numeros diferentes, decimos que tenemos una discontinuidad de salto. ´ continua: decimos que una funcion ´ f es continua en un punto a si el l´ımite de Funcion ´ es f (x) cuando x tiende a este punto existe y coincide con f (a). Decimos que una funcion continua en un intervalo si lo es en todos los puntos del intervalo. ´ de funciones racionales: Pm (x), Qn (x) son polinomios de grado m y n, Integracion respectivamente: • Si Qn (x) tiene todas las ra´ıces reales y diferentes:
Pm (x) dx = Qn (x)
polinomio + logaritmos logaritmos
si si
m≥n m 1, entonces en la expresion P (x) 1 de la primitiva de Qm(x) encontraremos, adem´as, los t´erminos (x−α) k , k ≤ r. n
´ por cambio de variable: para integrar por sustitucion ´ tenemos que aplicar: Integracion
f (g(x))g (x)dx =
f (u)du
(u = g(x)).
Es decir, nada cambia si sustituimos: por por
g(x) g (x)dx
u, du.
´ Despu´es integramos con respecto a u y, por ultimo, deshacemos el cambio remplazando u por g(x). ´ por partes: si queremos integrar por partes, tenemos que aplicar: Integracion
f (x)g (x)dx = f (x)g(x) −
f (x)g(x)dx.
´ ´ continua y positiva f en un segmento [a, b], definiIntegral como area: dada una funcion mos la integral de f en [a, b] como el a´ rea comprendida entre el grafo de f , el eje horizontal ´ y las rectas x = a y x = b. Expresaremos este numero como:
b
f
b
f (x)dx.
o bien
a
a
Integral definida: si tomamos valores a = x0 < x1 < . . . < xn = b, que subdividen en ´ partes iguales el intervalo [a, b] en n tramos, y denominamos sumas inferiores al numero: SIn (f, a, b) =
b−a n
n
min(f (xi−1 ), f (xi ))
i=1
´ y sumas superiores al numero: nos encontraremos con que, para valores de n grandes:
SIn (f, a, b) ≤
b
f ≤ SSn (f, a, b). a
La funcion... ´ ... del apartado a del ejercicio 1.2 presenta una discontinuidad de salto finito. Fijaos en que no importa que la funcion ´ se encuentre definida o no en el punto conflictivo ni el valor que tenga all´ı.
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´ Adem´as, si tomamos n suficientemente grande, podemos hacer que estos tres numeros sean ´ es continua). tan parecidos como queramos (suponiendo que la funcion ´ ´ integrable, la funcion: ´ Integral indefinida: dado un numero a del dominio de una funcion
x
S(x) =
f (t)dt a
recibe el nombre de integral (indefinida) de f con origen en a. ´ f es la funcion ´ que al ser derivada nos da la Primitiva: la primitiva de una funcion ´ f. funcion Regla de Barrow: si F es una primitiva cualquiera de f , se cumple:
b
f (x)dx = F (b) − F (a). a
´ compuesta f (x) = g1 (g2 (x)), la derivada ser´a: Regla de la cadena: si tenemos una funcion f (x) = g1 (g2 (x)) · g2 (x). ´ diferencial, si z es funcion ´ de y e y es funcion ´ de x, tenemos que: En notacion dz dy dz = · . dx dy dx ´ proporcional o porcentual: la tasa de variacion ´ porcentual o razon ´ Tasa de variacion ´ f en un punto x = a es de cambio relativa de una funcion
f (a) . f (a)
´ es continua en el intervalo cerrado [a, b] y cambia de Teorema de Bolzano: si una funcion signo en el intervalo, es decir, f (a) < 0 < f (b) o f (a) > 0 > f (b), entonces tiene que existir ´ punto x0 ∈ [a, b] tal que f (x0 ) = 0. algun ´ ´ continua en un intervalo Teorema del maximo o de Weierstrass: si f es una funcion cerrado [a, b], entonces f est´a acotada en el intervalo [a, b] y, adem´as, existe un punto x0 donde f alcanza su valor m´aximo, es decir, que cumple f (x0 ) ≥ f (x), ∀x ∈ [a, b]. Teorema del valor medio de la derivada: si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), y consideramos su incremento medio en el intervalo: M =
f (b) − f (a) , b−a
´ punto x0 ∈ [a, b] tal que f (x0 ) = M . existe algun Teorema del valor medio para la integral: si f : [a, b] −→ IR es continua, podemos ´ punto x0 ∈ [a, b] la funcion ´ alcanza su valor medio: asegurar que en algun f (x0 ) =
1 b−a
b
f. a
Teorema de Rolle: si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b) y cumple f (a) = f (b), ´ punto x0 ∈ [a, b] tal que f (x0 ) = 0. entonces existe algun ´ ´ este teorema, tenemos que: Teorema fundamental del calculo: segun 1) Si f : (a, b) −→ IR es continua, cualquier integral indefinida de f , F , es derivable y cumple F (x) = f (x) para toda x ∈ (a, b). ´ F que cumple F (x) = f (x) en un intervalo abierto, tiene que ser de la 2) Cualquier funcion forma: x F (x) = k +
f a
´ a del dominio de f . para alguna constante k y algun
Sumario Hemos analizado los tipos de discontinuidades m´as frecuentes y se han presentado algunos ejemplos al respecto. Adem´as, hemos podido analizar algunas t´ecnicas para calcular l´ımites ´ dada es continua. y para determinar si una funcion
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´ en un punto y de funcion ´ derivada. Se ha definido el concepto de derivada de una funcion ´ Hemos mostrado las interpretaciones geom´etricas, f´ısicas, economicas, etc., al mismo tiempo ´ que existe entre el signo de la derivada y el comportamiento que hemos repasado la relacion ´ de la funcion. Tambi´en se han podido considerar las diferentes notaciones que se utilizan a la hora de anotar las derivadas y las unidades que hay que asignarles cuando las variables involucradas corresponden a magnitudes con unidades determinadas. ´ aparecen registradas en la tabla que tenemos a continuacion: ´ Las reglas b´asicas de derivacion
La función
Tiene derivada
Comentario es constante
es constante
Para todo c ∈⺢
ella misma
´ entre el signo Despu´es, tambi´en hemos visto algunos hechos sobre las derivadas: la relacion ´ la t´ecnica de derivacion ´ impl´ıcita de la segunda derivada y la forma del grafo de la funcion, ´ de aproximaciones aplicada al c´alculo de la tangente a una curva en un punto y la construccion lineales y/o cuadr´aticas de funciones complicadas. Hemos introducido el concepto de integral definida y sus propiedades fundamentales, la ´ que hace variar el extremo superior de integracion ´ y sus integral indefinida como funcion ´ entre las integrales definidas y primitivas y sus aplicaciones, y, por propiedades, la relacion ´ ´ y el c´alculo de integrales impropias. ultimo, la nocion Tambi´en hemos repasado los dos m´etodos generales que resultan de mayor utilidad para el ´ por partes y cambio de variable; hemos presentado un c´alculo de primitivas: integracion m´etodo para calcular primitivas de funciones racionales de diferentes tipos. Y ya para acabar, hemos recopilado los resultados fundamentales del c´alculo desde un punto de vista m´as formal: el teorema de Bolzano, el teorema de Weierstrass, el teorema del valor medio integral y el teorema fundamental del c´alculo.
Bibliografía Courant, R.; John, F. (1971). Introducci´on al cálculo y al análisis matemático (vol. 1). M´exico D.F.: Limusa. Larson, R.E.; Hostetler, R.P.; Edwards, B.H. (1995). C´alculo y geometr´ıa anal´ıtica (vol. 1, 5ª ed.). Santa Fe de Bogot´a: McGraw-Hill Interamericana.
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