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Cálculo y análisis numérica Bitácora V: Derivadas parciales y derivadas parciales segundas

Autores: Álvaro Bernárdez Gil Manuel Figueiras Gago Melanie Mendoza Escalona

Índice 1 Introducción___________________________________________________3 1.1 Curiosamente_________________________________________3 2 Derivada parcial_________________________________________________4 2.1 Ejemplo 1_____________________________________________4 2.2 Ejemplo 2_____________________________________________5 3 Derivadas parciales segundas_____________________________________5

3 1.-Introducción La clase empezó con 58 alumnos más la profesora. Como se hace normalmente al principio de cada clase se procedió a la discusión de las bitácoras de los dos días anteriores (sobre 20 minutos). Una vez acabado este tema, se hizo un inciso sobre un vínculo situado en el campus virtual en el que podemos encontrar información sobre el hipercubo, visualizando la cuarta dimesión. 1.1-Curiosamente El arquitecto que diseño la ciudad de la cultura de Santiago de Compostela, era un gran aficionado a las matemáticas. De su obra podemos intuir matices matemáticos, como puede ser la estructura de la Biblioteca de Galicia, porque si interpretamos su figura matemáticamente podemos identificar la forma de su fachada como una funcion de dos variables z=f(x,y) donde x e y representarían el punto del plano en el que nos situamos y z la distancia a la que estaría el techo en dicho punto. También es destacable que tiene una “discontinuidad de salto” que nos da la sensación de ser dos bloques distintos que forman un único edificio.

Entonces, ¿cómo diríamos que es esta pendiente?, ¿creciente o decreciente?, depende... Recordando que la pendiente de una recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto

f ' (x 0)lim h → 0

f (x 0 +h)−f ( x 0) h

4 Pasamos a definir la derivada parcial de una funcion. 2-Derivada parcial

https://cv.usc.es/pluginfile.php/224980/mod_resource/content/2/teoria_tema2-CAN.pdf (apuntes de clase)

Para realizar una derivada parcial debemos tomar el valor de una de las incógnitas (x,y) como una constante y derivar en función de la otra (luego de comprobar el dominio y la imagen). De esta forma definimos la derivada parcial como:

Una vez que se explicó la teoría, la profesora hizo un par de ejemplos: 2.1-Ejemplo 1:

f x (x , y )=x 2+ 3 xy + y−1 • • •

f x(

Dom: ℝ². Imf: Toma valores en todo ℝ. Derivamos en función de x, asumiendo la y como una constante:

∂f )( x , y )=∂ xf ∂x f x ( x , y )=2 x+3 y .

•

Después de derivar, evaluamos la función en los puntos (3,8)

f x (3,8)=6+ 24 .

5 •

Derivamos en función de y, asumiendo ahora la x como una constante

f y ( x , y )=3 x+1 . Posteriormente se hizo un nuevo ejemplo un poco más artístico: 2.2-Ejemplo 2:

f (x , y )= y⋅sin( xy) • • •

Dom: ℝ² Imf: ℝ Derivamos en función de x

f x (x , y )= y 2⋅cos( xy ) . •

Derivamos en función de y

f y (x , y )=sin(xy )+ x⋅y⋅cos (xy ) . Cada derivada parcial nos aporta una recta tangente. Cada recta tangente nos arroja un poco más de luz sobre el comportamiento de las variables en particular 3.-Derivadas parciales segundas Se llaman derivadas parciales segundas de una función a las derivadas parciales de las funciones derivadas parciales (primeras). Se representan en la siguiente forma:

∂2 f (x , y)=f xx (x , y )=∂ 2 xf ( x , y ) . 2 ∂x Con una representacion un poco más intuitiva:

∂ ( ∂ f ( x , y) ) . ∂x ∂x Continuando con el ejemplo anterior, su segunda derivada (de la derivada con respecto de x) con respecto de x sería:

f xx (xy )=− y 3⋅sen (x , y ) .

Y entonces quedo en el aire la pregunta ¿Y si empezamos derivando en el sentido contrario, primero respecto de la x luego a la y, nos dará el mismo resultado?

Bibliografia G. B. Thomas Jr., Cálculo (11ª ed), Pearson - Addison Wesley, 2005-2006. Hipercubo, visualizando la cuarta dimensión http://culturacientifica.com/2015/09/09/hipercubo-

visualizando-la-cuarta-dimension/