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Introducción

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitesimalmente pequeños: una suma continua. La integral es la operación inversa a la derivada. El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación. Es muy común en la ingeniería y en la ciencia; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Algunas veces nos encontraremos con funciones cuyas integrales no se pueden obtener de manera directa (integrales inmediatas). También, en ocasiones, calcular la integral de una función se puede complicar un poco y será necesario algún artificio matemático para reducirla a una integral inmediata. En este tema veremos algunos métodos de integración, los cuales son técnicas que te permitirán encontrar la integral de una función reduciéndola a una integral inmediata o a una suma de integrales inmediatas. Las sustituciones que involucran funciones trigonométricas se pueden llevar a cabo en aquellas integrales cuyo integrando contiene una expresión de la forma: La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra que contiene funciones trigonométricas cuyo proceso de integración es más sencillo. En álgebra, fracción parcial, descomposición o extensión parcial de la fracción se utiliza para reducir el grado de el numerador o el denominador de a función racional. El resultado de la extensión parcial de la fracción expresa esa función como la suma de las fracciones, donde: - El denominador de cada término es irreducible (no factorizable) polinómico y, - El numerador es un polinomio de un grado más pequeño que ese polinomio irreducible. El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en fracciones más simples, que permitan obtener de manera inmediata una integral o una transformada de La place Inversa. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el grado del numerador. Definimos fracciones parciales a la función F(x) en la cual dicha función depende de un numerador y un denominador. Para que sea una fracción parcial el grado del denominador tiene que ser mayor al grado del numerador.

7. La concentración de un medicamento en la sangre de una paciente t horas después de −3,3𝑡

una inyección disminuye a una tasa de 𝑐’(𝑡) = √16𝑡 2

+100

𝑚𝑔/𝑐𝑚3por hora. ¿En cuánto

cambia la concentración en las primeras 4 horas después de la inyección, si la concentración inicial era de 10 mg?

√16𝑥 2 + 100

𝑡𝑔𝜃 = 4𝑥

𝑥=

5𝑡𝑔𝜃

∫

𝑑𝑥 =

2

𝑠𝑒𝑐𝜃 =

10

4𝑥 10

√16𝑥 2 +100

√16𝑡 2 + 100

−3,3 ∫

sec 2 𝜃𝑑𝜃

𝑑𝑡

𝑡 √16𝑡 2

2

10𝑠𝑒𝑐𝜃 = √16𝑥 2 + 100

10

−3,3𝑡

5

+ 100

𝑑𝑡

5𝑡𝑔𝜃 5 × sec2 𝜃𝑑𝜃 2 2 −3,3 ∫ 10𝑠𝑒𝑐𝜃

25𝑡𝑔𝜃 sec2 𝜃𝑑𝜃 −3,3 ∫ 40𝑠𝑒𝑐𝜃 −

33 ∫ 𝑡𝑔𝜃𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃 16 −

−

33 √16𝑥 2 + 100 ( )+𝑐 16 10

𝑐(𝑡) = −

−

33 𝑠𝑒𝑐𝜃 16

33 √16𝑥 2 + 100 ( ) + 𝑐 = 10 16 10

33 √16(0)2 + 100 ( ) + 𝑐 = 10 16 10 𝑐=

193 16

𝑐(4) = −

33 √16(4)2 + 100 193 ( )+ 16 10 16

𝑐(4) = 8,17𝑚𝑔/𝑐𝑚3 La concentración de un medicamento en la sangre de una paciente t horas después de una −3,3𝑡

inyección disminuye a una tasa de 𝑐’(𝑡) = √16𝑡 2

+100

𝑚𝑔/𝑐𝑚3por hora. ¿En cuánto

cambia la concentración en las primeras 4 horas después de la inyección, si la concentración inicial era de 10 mg?