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INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MÉCANICA Y ELECTRICA UNIDAD CULHUCAN DINÁMICA DE FLUIDOS

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Apuntes de Dinámica de Fluidos

Ingeniería en Sistemas Automotrices Objetivo Aplicar la cinemática y dinámica de los fluidos Newtonianos, usando las ecuaciones básicas de volumen de control, para resolver problemas de flujo incompresibles y compresibles. Contenido Unidad I Propiedad de los fluidos 1.1 Definición y clasificación de los fluidos 1.2 Definición de los fluidos 1.3 Clasificación de los fluidos 1.4 El fluido como medio continuo 1.5 Propiedades de la presión hidrostática 1.6 Problemas de fuerzas sobre superficies y cuerpos sumergidos Unidad II Ecuaciones básicas de volumen de control 2.1 Conceptos de flujo y cinemática 2.2 Tipos de volumen de control 2.3 Ecuación general de la conservación en un volumen de control 2.4 Ecuación de la conservación de la masa 2.5 Ecuación de energía 2.6 Problemas de aplicaciones prácticas de las ecuaciones básicas de volumen de control Unidad III Cinemática de los Fluidos 3.1 Campo de velocidades 3.2 Clasificación de los fluidos 3.3 Flujo laminar 3.4 Flujo turbulento 3.5 Gradientes de velocidad y esfuerzos tangenciales Unidad IV Procesos de Transferencia 4.1 Introducción 4.2 Ecuación general de transporte Reynolds 4.3 La ecuación de continuidad 4.4 La ecuación de momentum 4.5 La conservación de energía y la ecuación de Bernoulli 4.6 La ecuación de energía Unidad V Teoría de Modelos Experimentales 5.1 Estudio de modelos y conceptos de semejanza 5.2 Semejanza Geométrica Ing. María Guadalupe Rosas Hernández Ingeniería en Sistemas Automotrices e Ingeniería Mecánica Página 2 | 71

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5.3 Semejanza Cinemática 5.4 Semejanza Dinámica 5.5 Parámetros adimensionales 5.6 Utilización de los datos

Unidad VI Flujo Compresible 6.1 Introducción 6.2 Velocidad del sonido y número de Mach 6.3 Flujo Isentrópico a través de una tobera 6.4 Onda de choque normal 6.5 Ondas de choque en toberas convergentes-divergentes 6.6 Problemas

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INICIO DE CURSO PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

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Unidad I, II y III Propiedad de los fluidos Tanto los líquidos como los gases son considerados fluidos, además un fluido es aquel que se encuentra en fase liquida o gaseosa, la diferencia entre un sólido y un fluido se establece con base en la capacidad de la sustancia para oponer resistencia a un esfuerzo cortante aplicado que tiende a cambiar su forma. Un sólido puede oponer resistencia a un esfuerzo cortante aplicado por medio de la deformación, en tanto un fluido se deforma de manera continua bajo la influencia del esfuerzo cortante, sin importar lo pequeño que sea.

Actividad grupal 1 Se realizará una actividad grupal donde se hablará con los alumnos sobre la importancia de los fluidos para poder introducirlos ampliamente a la importancia de los fluidos, mediante preguntarles algunos ejemplos donde los fluidos forman parte de nuestra vida (ya sean líquidos o gaseosos), explique cuál es la importancia de los fluidos en la vida cotidiana. Traer una pagina de algun ejemplo de fluido con caracteristicas del fluido

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La mecánica de los fluidos es la parte de la mecánica que estudia las leyes del comportamiento de los fluidos en equilibrio, hidrostática y en movimiento hidrodinámico. Algunas aplicaciones son: Respiración, flujo sanguíneo, natación, ventiladores, turbinas, aviones, barcos, ríos, molinos de viento, tuberías, misiles, motores, filtros, chorros y aspersores, casi todas las cosas que existen en este planeta o son un fluido o se mueven inmersas o cerca de un fluido.

Clasificación de los fluidos Los fluidos se clasifican en Newtonianos y No-Newtonianos, en el primero hay una relación lineal entre la magnitud del esfuerzo cortante aplicada y la rapidez de deformación, en el segundo hay una relación no lineal. Para el análisis teórico muchas veces se supone que un fluido es no viscoso esto es cuando se considera que un fluido tiene una viscosidad nula (viscosidad cero), entonces se dice que el fluido es IDEAL. Los anteriores conceptos se visualizan en la siguiente grafica de esfuerzo cortante contra la rapidez de deformación.

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Así podemos determinar que los fluidos no newtonianos son aquellos que tienden a fluir sin necesidad de la aplicación de una fuerza, algunos ejemplos típicos son: Pinol, Alcohol, agua, acetona, suavitel, entre algunos.

Los Fluidos no newtonianos son aquellos los cuales necesitan una fuerza lo suficientemente grande para provocar que fluyan. Por ejemplo, el jabón líquido para lavar trastes, gel antibacterial, pasta de dientes, entre algunos.

Actividad I Realizar un resumen mencionando algunos ejemplos de fluidos Newtonianos y no Newtonianos. Ver vídeo

(Ver hasta el min 3) https://www.youtube.com/watch?v=t-PPw0OX89E NOTA: TODAS LAS TAREAS O ACTIVIDADES DEBERAN ESTAR EN LA LIBRETA DE TRABAJO. Ing. María Guadalupe Rosas Hernández Ingeniería en Sistemas Automotrices e Ingeniería Mecánica Página 7 | 71

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Flujo turbulento y flujo laminar El flujo en una tubería revela que el flujo es currentilineo a bajas velocidades, pero se vuelve caótico conforme la velocidad aumenta por arriba de un valor crítico, se dice que el régimen de flujo en el primer caso es laminar, se caracteriza por líneas de corriente suave y movimiento sumamente ordenado, mientras que en el segundo caso es turbulento y se caracteriza por fluctuaciones de velocidad y movimiento también desordenado.

Actividad II Seleccione algunas imágenes e indique que tipo de flujo ve en ellas, por ejemplo

Flujo laminar

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Sistema y volumen de control Un sistema se define como una cantidad de materia o una región en el espacio elegidas para su estudio. Lo que esta fuera del sistema se conoce como los alrededores. La superficie real o imaginaria que separa al sistema de sus alrededores se llama frontera. La frontera de un sistema puede ser fija o movible.

Los sistemas pueden ser cerrados o abiertos dependiendo de si se elige una masa o un volumen en el espacio fijo. Un sistema cerrado también conocido como masa de control (también conocido como masa de control) consta de una cantidad fija de masa y ninguna masa puede cruzar su frontera. Pero la energía en forma de calor o trabajo, puede cruzar la frontera y el volumen de un sistema cerrado no tiene que ser fijo. Cuando no se permite que la energía cruce la frontera, ese sistema se conoce como sistema aislado.

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Un sistema abierto, o volumen de control, es una región seleccionada de modo adecuado en el espacio. Suelen ser aparatos que encierran un flujo de masa como por ejemplo un compresor, una turbina o una tobera. El flujo de estos aparatos se estudia apropiadamente cuando se selecciona la región que se encuentra dentro de ellos como el volumen de control. Tanto masa como energía pueden cruzar la frontera de un volumen de control.

Volumen de control con frontera real e imaginaria

Volumen de control con frontera fija y móvil

Volumen de control con una entrada y una salida

Un volumen de control puede ser de tamaño y forma fijos, como en el caso de una tobera, o bien puede comprender una frontera móvil, no obstante, la mayor parte de los volúmenes de control tienen fronteras fijas y como consecuencia, no comprenden fronteras móviles. Un volumen de control también puede estar relacionado con interacciones de calor y trabajo, precisamente como un sistema cerrado, además de la interacción de masa.

Ecuaciones Básicas de volumen de control. Históricamente leyes de conservación como las leyes de conservación de la nada, de energía y cantidad de movimiento, se aplicaron por primera vez a una cantidad fija de la materia llamada sistema cerrado o simplemente sistema y después se extendieron a regiones en el espacio llamadas volúmenes de control. Las relaciones de Ing. María Guadalupe Rosas Hernández Ingeniería en Sistemas Automotrices e Ingeniería Mecánica Página 10 | 71

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conservación también se conocen como ecuaciones de balance, dado que cualquier entidad conservada se debe balancear durante un proceso.

Conservación de la masa Para un sistema cerrado que pasa por un cambio se expresa con

= 0 . Para un volumen

de control (VC), el balance de masa se expresa como

Dónde:

flujo másico hacia adentro Flujo másico hacia afuera del volumen de control es la razón de cambio de la masa dentro de las fronteras de ese volumen

Conservación de la cantidad de movimiento El producto de la masa y la velocidad de un cuerpo se llama momento lineal o cantidad de movimiento del cuerpo y la cantidad de movimiento de un cuerpo rígido de masa “m” que se mueva con una velocidad es , la cantidad de movimiento de un sistema permanece constante, cuando la fuerza neta que actúa sobre él es cero y donde se conserva la cantidad de movimiento de esos sistemas, se conoce como el principio de conservación de la cantidad de movimiento (segunda ley de Newton, ecuación del momento lineal).

Conservación de la energía Los volúmenes de control incluyen la transferencia de energía también por la vida de flujo de masa, y el principio de conservación de la energía, también conocido como balance de energía, se expresa como:

Donde

Conservación de la masa No es exacto confirmar que la masa se conserva. Ocurre que la masa m y la energía E pueden convertirse una en otra, según la conocida fórmula propuesta por Albert Einstein. Ing. María Guadalupe Rosas Hernández Ingeniería en Sistemas Automotrices e Ingeniería Mecánica Página 11 | 71

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Donde c es la velocidad de la luz 2 Kg

2 Kg

2 Kg

La masa se conserva inclusive durante las reacciones químicas.

Gastos de masa y de volumen La cantidad de masa que fluye través de una sección transversal por unidad de tiempo se llama razón de flujo de masa, o simplemente flujo o gasto másico y se denota por (se pone un punto sobre el símbolo “m” para indicar razón de cambio respecto al tiempo).

Velocidad promedio Ac es el área de la sección transversal normal a la dirección de flujo. 𝑽𝒑𝒓𝒐𝒎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝐕 razon de flujo volumetrico o gasto volumetrico

𝒎 flujo másico 𝝆 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑽𝒑𝒓𝒐𝒎 velocidad promedio Ac área de la sección transversal normal a la dirección del flujo

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Densidad de los gases ideales Cualquier ecuación que relacione la presión, la temperatura y la densidad (o volumen específico) de una sustancia se llama ecuación de estado. La ecuación más sencilla y conocida para sustancias en la fase gaseosa es la ecuación de estado del gas ideal.

Dónde: P presión absoluta v volumen especifico T temperatura m masa ρ densidad R constante de los gases ideales Ejemplo: Determine la densidad, la gravedad específica y la masa del aire en un cuarto cuyas dimensiones son de 4 m X 5 m X 6 m a 100 kPa y 25 ºC. R= 0.287 kPa *m³/Kg*ºK

2-11 Un fluido que ocupa un volumen de 32 L pesa 280 N en una ubicación donde la aceleración gravitacional es de 9.80 m/s². Determine la masa de este fluido y su densidad.

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2-12 Un globo esférico con diámetro de 9 m se llena con helio a 20 ªC y 200 kPa. Determine el número de moles y la masa del helio en el globo.

Se llena un tanque con aceite cuya densidad es ρ = 850 kg/m³. Si el volumen del tanque es V = 2 m³, determine la cantidad de masa m en el tanque.

Un depósito de aceite tiene una masa de 825 kg y un volumen de 0.917 m³, ¿calcule la densidad y la gravedad específica?

La glicerina a 20ºC tiene una gravedad específica de 1.263, calcule su densidad

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Densidad Densidad especifica o absoluta de una substancia homogénea se define como la cantidad de masa por unidad de volumen de una sustancia:

Dónde: ρ densidad (kg/m³); (slug/pie³); (lbm/pie³) m masa (Kilogramos Kg); (slug); (libra masa lbm) v volumen (metro³; m³); (pie³; ft³)

Densidad relativa Densidad relativa o gravedad específica se define como la razón de la densidad de una sustancia, entre la densidad de alguna sustancia estándar, por lo general se utiliza la densidad del agua (1000 Kg/m³).

(ADIMENSIONAL)

Ejemplo: La gravedad específica del benceno es de 0.876. ¿Calcule su peso específico y su densidad? Datos

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Peso Específico Es la cantidad de peso por unidad de volumen de una sustancia. El peso específico del agua a la presión atmosférica y a una temperatura de 4ºC es de 9810 N/m³ y en el sistema técnico es de 1000 Kp/m³. (N/m³) Donde: W peso (N) V volumen (m³) Los pesos específicos de los gases pueden calcularse mediante la ecuación de estado de los gases

Dónde: p es la presión absoluta (Kg/m²) Volumen específico o volumen ocupado por unidad de peso (m³/Kg) T temperatura absoluta en grados Kelvin (°K) R constante de los gases Como w = 1/ , la ecuación anterior puede escribirse

Ejemplo. 1. Calcule el peso de un depósito de aceite si tiene una masa de 825kg, determine además su peso específico si el volumen del depósito es 0.917 m³.

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2. Una cubeta de agua pesa 1.041 lb, ¿calcule su masa?

3. Un galón de mercurio tiene una masa de 3.51 slugs, ¿calcule su peso? .

Volumen especifico Se define como el volumen por unidad de masa y por lo tanto se tiene que es el reciproco de la densidad. (

)

(

)

Dónde: v volumen (m³) m masa (Kg) ρ densidad (Kg/m³)

Relación entre densidad y peso específico. Con frecuencia el peso específico de una substancia debe encontrarse cuando se conoce su densidad y viceversa. La conversión de uno a otra se lleva a cabo por medio de la ecuación. γ=ρ*g

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Ejercicios (Mecánica de fluidos Moot, sexta edición pagina 23 y 24) 1. La gravedad específica del benceno es de 0.876. ¿calcule su peso específico y su densidad?

2. El peso específico del aire a 16 ºC y presión atmosférica estándar es de 12.02 N/m³. ¿calcule su densidad?

3. El dióxido de carbono tiene una densidad de 1.964 Kg/m³, a 0 ºC. ¿Calcule su peso específico?

4. Cierto aceite medio de lubricación tiene un peso específico de 8.860 kN/m³ a 5 ºC y 8.483 kN/m³ a 50 ºC. ¿Calcule su gravedad específica en cada temperatura?

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5. A 100 ºC, el mercurio tiene un peso específico de 130.4 kN/m³. ¿Cuál sería el volumen del mercurio si tuviera un peso de 2?25 kN?

6. Una lata cilíndrica de 150 mm de diámetro contiene 100 mm de aceite combustible. El aceite tiene una masa de 1.56 kg. ¿Calcule su densidad, peso específico y gravedad especifica?

7. La glicerina tiene una gravedad especifica de 1.258, ¿Cuánto pesaría 0?50 m³ de ella?, ¿Cuál sería su masa?

8. El tanque de combustible de un automóvil tiene una capacidad de 0.095 m³. Si se llena de gasolina, cuya gravedad específica es de 0.68, ¿Cuál sería el peso de esta?

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9. El amoniaco líquido tiene una gravedad específica de 0.826. ¿Calcule el volumen que tendría una cantidad que pesara 22 N?

10. El dióxido de carbono tiene una densidad de 0.00381 slug/pie³, a 32 ºF. ¿Calcule su peso específico?

Viscosidad Es la propiedad más importante de un fluido hidráulico, es una medida de la resistencia a fluir y se clasifica en viscosidad cinemática y viscosidad dinámica o absoluta. Cuando la viscosidad de un fluido es baja este fluye fácilmente y tiene una apariencia ligera. Cuando un fluido fluye con dificultad tiene una viscosidad alta y una apariencia espesa. Algunos de los problemas resultantes de trabajar con un fluido de viscosidad alta son: 1. 2. 3. 4.

Resistencia alta al flujo, lo cual causa una operación lenta. Incremento en el consumo de la potencia debido a las perdidas por fricción. Incremento de la caída de presión a través de válvulas y lineales. Temperaturas altas debido a la fricción.

Por otro lado, si la viscosidad es demasiado baja se tendrá: 1. Incremento en las fugas de aceite a través de los sellos. 2. Desgaste excesivo debido a la disminución de la película de aceite entre las partes en movimiento. Estas partes en movimiento pueden ser componentes internos de una bomba o partes internas de una válvula.

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Viscosidad absoluta o dinámica Cuando dos placas paralelas están separadas por una película delgada de aceite, la placa inferior esta fija mientras que la placa superior, se mueve a una velocidad (v) y es empujada por una fuerza (F). Debido a que el aceite se adhiere en ambas capas, la velocidad de la capa de fluido en contacto con la placa inferior es cero y la velocidad de la capa del fluido en contacto con la placa superior es (v), por lo que la velocidad varia en forma lineal, es decir, como v/y. La viscosidad absoluta del aceite puede ser representada de la siguiente manera:

Dónde: λ es el esfuerzo cortante en el aceite V velocidad de la placa y espesor de la película de aceite µ viscosidad absoluta del aceite A área de la superficie de la placa F fuerza aplicada a la placa superior

Viscosidad Cinemàtica La viscosidad cinemática es igual a la viscosidad absoluta dividida entre la densidad.

Dónde: Vc Viscosidad Cinemática µ Viscosidad absoluta ρ Densidad Ing. María Guadalupe Rosas Hernández Ingeniería en Sistemas Automotrices e Ingeniería Mecánica Página 21 | 71

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Viscosidad para los gases

Dónde: T es la temperatura a y b son constantes que se determinan en forma experimental

Viscosidad para los líquidos

Dónde: T es la temperatura absoluta a, b y c son constantes que determinan de manera experimental

Ejemplo Se va a medir la viscosidad de un fluido con un viscosímetro construido con dos cilindros concéntricos de 40 cm de largo. El diámetro exterior del cilindro interior es de 12 cm y la brecha entre los dos cilindros es de 0.15 cm. El cilindro interior se hace girar a 300 rpm y se mide el par de torsión que resulta ser de 1.8 N*m. Determine la viscosidad del fluido.

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Ejercicios. 2-83 Se va a medir la viscosidad de un fluido con un viscosímetro construido con dos cilindros concéntricos de 75 cm de largo. El diámetro exterior del cilindro interior del cilindro interior es de 15 cm y la separación entre los dos cilindros es de 1.5 cm. Se hace girar el cilindro interior a 300 rpm y se mide que el par de torsión es de 0.8 N*m. Determine la viscosidad del fluido.

2-84 Se va a medir la viscosidad de un fluido con un viscosímetro construido con dos cilindros concéntricos de 3 pies de largo. El diámetro exterior del cilindro interior mide 6 pulgadas y la separación entre los dos cilindros es de 0.05 pulgadas. Se hace girar el cilindro interior a 250 rpm y se mide que el par de torsión es de 1.2 lbf*ft. Determine la viscosidad del fluido.

Tensión Superficial (característica gotas esféricas) A menudo se observa que una gota de sangre formar una joroba sobre un vidrio, una gota de mercurio forma una esfera casi perfecta y se puede hacer rodar de la misma forma que una bola de acero, sobre una superficie lisa, las gotas de agua de la lluvia o de rocío se cuelgan de las ramas o de las hojas de los arboles; un combustible líquido inyectado en un motor forma una niebla de gotas esféricas; una pompa de jabón que se lanza al aire toma una forma esférica, el agua forma pequeñas gotas sobre los pétalos de las flores .

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Las gotas de líquidos se comportan como pequeños globos esféricos llenos con ese líquido y su superficie actúa como una membrana elástica estirada sometida a tensión. La fuerza de atracción que causa esta tensión actúa paralela a la superficie y se debe a las fuerzas de atracción entre las moléculas del líquido. La magnitud de esta fuerza por unidad de longitud se llama tensión superficial y se expresa en N/m. La tensión superficial también se puede definir como el trabajo realizado por unidad de incremento en el área superficial del líquido.

Donde: F Fuerza (N) B Longitud (m) W Trabajo También se puede determinar el exceso de presión ΔP dentro de una gota o burbuja, por arriba de la presión atmosférica, cuando se considera el diagrama de cuerpo libre de la mitad de ellas, por lo que la tensión superficial actúa a lo largo de la circunferencia y la presión actúa sobre el área, el equilibrio horizontal de fuerzas para la gota y la burbuja son:

Ejercicios 2.99 Considere una burbuja de aire de 0.2 mm de diámetro en un líquido. Determine la diferencia de presión entre el interior y el exterior de la burbuja si la tensión superficial en la interface aire-liquido es a) 0.08 N/m y b) 0.12 N/m.

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2.102 Determine la presión manométrica en el interior de una burbuja de jabón cuyo diámetro es de a) 0.2 cm y b) 5 cm, ambas a 20 ºC (0.025 N/m).

2.104 Se va a medir la tensión superficial de un líquido con el apoyo de un líquido de este que está suspendida en un marco de alambre con una forma de U con un lado movible de 8 cm de largo. Si la fuerza necesaria para mover el alambre es de 0.024 N, determina la tensión superficial de este líquido en el aire.

2.105 Contrario a lo que el lector podría esperar, una bola de acero solido puede flotar sobre el agua debido al efecto de la tensión superficial. Determine el diámetro máximo de una bola de acero que flotaría sobre agua a 20 ºC. ¿Cuál sería su respuesta para una bola de aluminio? Tome la densidad de la bola de acero y de aluminio como 7800 kg/m³ y 2700 kg/m³, respectivamente ( .

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2.106 Una burbuja de jabón de 3 plg de diámetro se va a inflar soplando aire a su interior. Tomando la tensión superficial de la solución de jabón como 0.0027 lbf/ft, determine la aportación de trabajo necesaria para inflar la burbuja a un diámetro de 3.2 plg.

Capilaridad Es la elevación o descenso de un líquido en un tubo capilar, tales como medios porosos vienen producidos por la tensión superficial, dependiendo de las magnitudes relativas de la cohesión del líquido y de la adhesión del líquido a las paredes del tubo. Los líquidos ascienden en tubos que mojan (adhesión > cohesión) y descienden en tubos a los que no mojan (cohesión > adhesión). La capilaridad tiene importancia en tubos de diámetros aproximadamente menores de 10 mm. Se tiene que el ascenso por capilaridad es:

Donde: Ρ Densidad g Gravedad R radio

Ejemplo Se inserta un tubo de vidrio de 6 mm de diámetro en agua a 20 ºC que está en una taza, el ángulo de contacto es 0º. Determine el ascenso por capilaridad del agua en el tubo.

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Ejercicios 2.100 Se introduce un tubo cuyo diámetro es de 0.03 pulgadas en queroseno a 68ºF. El ángulo de contacto del queroseno con una superficie de vidrio es de 26º. Determine el ascenso por capilaridad del queroseno en el tubo.

2.101 Se introduce un tubo de diámetro de 1.2 mm en un líquido desconocido cuya densidad es de 960 kg/m³ y se observa que el líquido asciende 5 mm en el tubo y forma un ángulo de contacto de 15º. Determine la tensión superficial del líquido.

2.102 Los nutrientes disueltos en el agua los llevan hasta las partes superiores de las plantas diminutos tubos, en parte debido al efecto de capilaridad. Determine hasta que altura ascenderá la solución acuosa en un árbol, en un tubo cuyo diámetro mide 0.002 mm, como resultado del efecto de capilaridad. Trate la solución como agua a 20ºC con un ángulo de contacto de 15º.

PRESION La presión de un líquido se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y actúa normalmente a cualquier superficie plana. En el mismo plano horizontal, el valor de la presión en un líquido es igual en cualquier punto. Las medidas de presión se realizan con los manómetros, que pueden ser de diversas formas. La presión manométrica representa el valor de la presión con relación a la presión atmosférica. Ing. María Guadalupe Rosas Hernández Ingeniería en Sistemas Automotrices e Ingeniería Mecánica Página 27 | 71

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Se define como la cantidad de fuerza que se ejerce sobre una unidad de área de una sustancia o sobre una superficie.

Donde P presión F fuerza A área

Los fluidos están sujetos a variaciones grandes de presión, en función del sistema en el que se utilizan, por ejemplo, la leche contenida en un vaso se halla a la misma presión que ejerce el aire sobre ella. El agua en el sistema de tuberías doméstico, está a una presión más grande que la atmosférica para que salga con rapidez del grifo.

Ejercicios Calcule la presión que ejerce un embolo que aplica una fuerza de 2500 lbf, en el aceite que se encuentra dentro de un cilindro cerrado. El embolo tiene un diámetro de 3 plg.

Un cilindro hidráulico debe de ser capaz de aplicar una fuerza de 8700 lbf. El diámetro del embolo es de 1.5 plg, ¿calcule la presión que requiere aceite?

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Calcule la presión que produce un embolo que aplica una fuerza de 12 kN, en el aceite contenido en un cilindro cerrado. El diámetro del embolo es de 75 mm.

Un cilindro hidráulico debe poder ejercer una fuerza de 38.8 kN, el embolo tiene un diámetro de 40 mm. ¿Calcule la presión que necesita el aceite?

El elevador hidráulico de un taller de servicio de automóviles tiene un cilindro cuyo diámetro es de 8 plg. ¿Cuál es la presión que debe tener el aceite para poder levantar 6000 lbf?

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Presión absoluta Se mide en relación con el vacío absoluto (es decir, presión cero absolutos)

Presión manométrica Es la diferencia entre presión absoluta y presión atmosférica local.

Presión de vacío Es la presión por debajo de la atmosférica y se mide con instrumentos de vacío que indican la diferencia entre la presión atmosférica y la absoluta todas son cantidades positivas.

Pman = Pabs – Patm Pvac = Patm - Pabs Ejemplo Un medidor de vacío conectado a una cámara da como lectura 5.8 psi en un lugar en donde la presión atmosférica es de 14.5 psi. Determine la presión absoluta en la cámara.

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La presión en un neumático de automóvil depende de la temperatura del aire contenido en él. Cuando la temperatura del aire es de 25ºC, la lectura del manómetro es de 210 kPa. Si el volumen del neumático es de 0.025 m³, determine la elevación de la presión cuando la temperatura del aire en el sube hasta 50 ºC. También determine la cantidad de aire que debe purgarse para restablecer la presión hasta su valor original, a esta temperatura. Suponga que la presión atmosférica es de 100 kPa.

Presión a una profundidad “h” a partir de la superficie libre. La presión en un líquido en reposo aumenta linealmente con la distancia desde la superficie libre.

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Ejercicios Se usa un manómetro para medir la presión en un tanque, el fluido que se utiliza tiene una gravedad específica de 0.85 y la altura de la columna en el manómetro es de 55 cm, como se muestra en la figura. Si la presión atmosférica local es de 96 kPa, determine la presión absoluta dentro del tanque.

Presión de Vapor La presión de vapor ( de una substancia pura se define como la presión ejercida por su vapor en equilibrio de fases con su líquido a una temperatura dada. es una propiedad de la substancia pura y resulta idéntica a la presión de saturación del líquido , se debe tener cuidado de no confundir la presión de vapor con la presión parcial. La presión parcial se define como la presión de u n gas o vapor en una mezcla con otros gases. La presión parcial de un vapor debe ser menor que la presión de vapor, o igual a esta, sino hubiera líquido presente. Cuando están presentes tanto el vapor y el líquido, y el sistema está en equilibrio de fases, la presión parcial de vapor debe ser igual a la presión de vapor y se dice que el sistema está saturado. La rapidez de la evaporación desde masas abiertas de agua, como los lagos, es controlada por la diferencia entre la presión de vapor y la presión parcial. Por ejemplo, la presión de vapor del agua a 20 ºC es de 2.34kPa, por lo tanto, un cubo de agua a 20 ºC que se deje en un cuarto con aire seco a 1 atm., continuara evaporándose hasta que suceda una de dos cosas: el agua se evapora por completo, o la evaporación se detiene cuando la presión parcial del vapor de agua en el cuarto se eleva hasta 2.34 kPa punto en el que se establece el equilibrio de fases.

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Estática de los fluidos La estática de los fluidos trata de los problemas relacionados con los fluidos en reposo, el fluido puede ser gaseoso o líquido, se llama hidrostática cuando el fluido es un líquido y aerostática cuando el fluido es un gas. En la estática de los fluidos no se tiene movimiento relativo entre capas adyacentes del fluido, por lo tanto, no se tienen esfuerzos cortantes en este que traten de deformarlo. El único esfuerzo que se trata en la estática de fluidos es el esfuerzo es el esfuerzo normal, el cual es la presión y la variación de esta solo se debe al peso del fluido. La estática de los fluidos se utiliza para determinar las fuerzas que actúan sobre cuerpos flotantes o sumergidos y las fuerzas que generan algunos dispositivos como las prensas hidráulicas y los gatos para automóviles. El diseño de muchos sistemas de ingeniería, como las presas y los tanques de almacenamiento de líquidos, exigen determinar las fuerzas que actúan sobre las superficies aplicando la estática de los fluidos, demanda determinar la magnitud, la dirección y la línea de acción de la fuerza.

BARCO

PRESA

AVIÓN

GATO HIDRAULICO

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Fuerzas hidrostáticas sobre superficies planas sumergidas. Sobre una superficie plana las fuerzas hidrostáticas forman un sistema de fuerzas paralelas y a menudo se necesitan determinar la magnitud de la fuerza y su punto de aplicación, el cual se llama centro de presión. En la mayoría de los casos, el otro lado de la placa está abierto a la atmosfera (como el lado seco de una compuerta), donde la presión atmosférica actúa sobre los dos lados de la placa y conduce a una resultante cero. En esos casos conviene restar la presión atmosférica y trabajar solo la presión manométrica. Por ejemplo = ρgh, en el fondo del lago.

Dónde: V = h A es el volumen de la placa. Se llega a la conclusión que la fuerza de flotación que actúa sobre la placa es igual al peso del líquido desplazado por la propia placa. Tanto el peso y la fuerza de flotación deben tener la misma línea de acción para crear un momento cero. Esto se conoce como el principio de Arquímedes. “La fuerza de flotación que actúa sobre un cuerpo sumergido en un fluido es igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo y actúa hacia arriba pasando por el centroide del volumen desplazado.” Para los cuerpos flotantes, el peso del cuerpo completo debe ser igual a la fuerza de flotación, la cual es el peso del fluido cuyo volumen es igual al de la parte sumergida de ese cuerpo.

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Ejemplo: Se usa una grúa para hacer bajar objetos pesados en el mar (densidad = 1025

) para un proyecto de construcción

submarina. Determine la tensión del cable de la grúa debida a un bloque rectangular (de 0.4 m X 0.4 m X 3 m) de concreto (densidad = 2300 cuando está a) suspendido en el aire y b) sumergido totalmente en el agua.

3.68 Se usa un cilindro solido largo de radio de 2 ft. Articulado en el punto A, como una compuerta automática, como se muestra en la figura. Cuando el nivel del agua llega a 15ft, la compuerta cilíndrica se abre girando en torno a la articulación en el punto A. Determine a) la fuerza hidrostática que actúa sobre el cilindro y su línea de acción cuando la compuerta se abre y b) el peso del cilindro por ft de longitud del mismo.

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Flotación y Estabilidad Es un hecho que un objeto se sienta más ligero y pese menos en un líquido que en el aire. Esto se puede demostrar con facilidad si se pesa un objeto denso en el agua, con una balanza de resorte impermeable. De igual forma los objetos hechos de madera o de otros materiales ligeros flotan en el agua. Esto sugiere que un fluido ejerce una fuerza hacia arriba sobre un cuerpo sumergido en él. Estas fuerzas que tienden a levantar el cuerpo se llaman fuerza de flotación y se denota por . Dicha fuerza se debe al aumento de la presión en un fluido con profundidad. Considere una placa plana de espesor “h” sumergida en un líquido de densidad paralela a la superficie libre, el área de la superficie libre superior y también la inferior de la placa es A, y su distancia a la superficie libre es “S”. Las presiones en la superficie superior e inferior de la placa son y , respectivamente. Entonces la fuerza hidrostática actúa hacia abajo sobre la superficie superior y la fuerza más grande actúa hacia arriba sobre la superficie inferior de la placa. La diferencia de las dos fuerzas es una fuerza neta hacia arriba, la cual es la fuerza de flotación.

Actividad III Explicar el principio de funcionamiento de un barco, submarino y un avión.

Estabilidad de los cuerpos sumergidos y de los flotantes.

Una aplicación importante de flotación es el análisis de la estabilidad de los cuerpos sumergidos y de los flotantes sin accesorios externos, como en el caso del diseño de barcos y submarinos.

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Al aplicar la analogia de la “bola sobre el piso” se entienden conceptos fundamentales de la estab ilidad y la

inestabilidad. En la siguiente figura se muestran tres bolas en reposo sobre el piso, en el caso de la bola (a) es estable, ya que para que exista una perturbación pequeña alguien tiene que moverla hacia la izquierda o hacia la derecha, generando así un a fuerza de restitución (debida a la gravedad) que la regresa a su posición inicial.

En el caso (b) la bola es neutralmente estable, porque si alguien mueve la bola hacia la derecha o hacia la izquierda, esta permanecería puesta en su nueva ubicación. No tiende a regresar a su ubicación original ni continúa moviéndose.

En el caso (c) la bola puede ser que este en el reposo en el momento, pero cualquier perturbación inclusive infinitesimal hace que la bola ruede hacia abajo y no regrese a su posición original, más bien diverge de ella. Esta situación es inestable.

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Para que un cuerpo sumergido o flotante este en equilibrio estático, el peso y la fuerza de flotación que actúa sobre el se equilibran entre si y, de manera inherente esos cuerpos son estables en la dirección vertical. Si un cuerpo sumergido neutralmente flotante se asciende o desciende hasta una profundidad diferente, el cuerpo permanecerá en equilibrio en esa ubicación. Si un cuerpo flotante se asciende o desciende mediante una fuerza vertical, el cuerpo regresara a su posición original tan pronto como se elimine el efecto externo. Por lo tanto, un cuerpo flotante posee estabilidad vertical, mientras que uno sumergido neutralmente flotante es neutralmente estable, puesto que no regresa a su posición original después de una perturbación. La estabilidad rotacional de un cuerpo sumergido depende de las ubicaciones relativas del centro de gravedad “G” del cuerpo y del centro de flotación “B”, el cual es el centroide del volumen desplazado. Un cuerpo es sumergido es estable si tiene un fondo pesado y en consecuencia, el punto G está directamente debajo del B. En este caso una perturbación rotacional del cuerpo produce un momento de restitución que lo regresa a su posición estable original.

Por ejemplo, en el caso de los submarinos el diseño exige que los motores y las cabinas de tripulación estén ubicados en la mitad inferior, para desplazar el peso hacia el fondo tanto como sea posible.

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Los globos con aire caliente o helio, se consideran como si estuvieran sumergidos en el aire, también se les considera estables, ya que la canastilla que lleva la carga también esta abajo.

En un cuerpo donde “G” y “B” coinciden es neutralmente estable. Esto aplica en el caso de los cuerpos cuya densidad es constante en toda su extensión. Para esos cuerpos no existe tendencia de voltearse o enderezarse por si mismos.

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Un cuerpo sumergido cuyo centro de gravedad “G” está directamente arriba del “B” es inestable y cualquier perturbación hará que este cuerpo de voltee.

Los criterios de estabilidad rotacional son semejantes para los cuerpos flotantes, por lo que si el cuerpo flotante tiene fondo pesado el centro de gravedad “G” está directamente abajo del centro de flotación B, el cuerpo siempre es estable. A diferencia de los cuerpos sumergidos, un cuerpo flotante puede ser estable cuando G está directamente arriba de B. Esto es debido a que el centroide del volumen desplazado se mueve hacia uno de los lados hasta el punto B’ durante una perturbación rotacional, mientras que el centro de gravedad G, del cuerpo permanece inalterado.

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A menudo los globos se llenan con gas helio por que pesa solo alrededor de un séptimo de lo que pesa el aire en condiciones idénticas. La fuerza de flotación, la cual se puede expresar como impulsara al globo hacia arriba. Si este mide 12 m de diámetro y transporta dos personas, de 70 kg cada una, determine la aceleración del globo cuando se acaba de liberar. Suponga que la densidad del aire es de ρ = 1.16 , y desprecie el peso de las cuerdas y la canastilla. También determine la cantidad máxima de carga, en kg, que puede transportar el globo.

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Unidad IV Procesos de Transferencia

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Numero de Reynolds El régimen de flujo depende principalmente de la razón de fuerzas inerciales o fuerzas viscosas en el fluido. Esta razón se llama Numero de Reynolds (tubería circular).

Donde: V velocidad de flujo promedio (m/s) D Diámetro (m) ρ Densidad µ Viscosidad El número de Reynolds en donde el flujo se vuelve turbulento se llama número de Reynolds crítico . El valor del número de Reynolds crítico es diferente para geometrías y condiciones de flujo distintas. Para flujo interno en una tubería circular, el valor generalmente aceptado del número de Reynolds critico es de Para flujo en tuberías no-circulares, el número de Reynolds se basa en el diámetro hidráulico.

Donde: es el área de sección transversal de la tubería P es su perímetro mojado. El diámetro hidráulico se define de modo que se reduce a diámetro común D, para tuberías circulares. Tuberías circulares

Re ≤ 2300 flujo laminar 2300 ≤ Re ≤ 4000 flujo transicional Re ≥ 4000 Flujo turbulento

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Ecuación de Bernoulli La ecuación de Bernoulli es una relación aproximada entre la presión, la velocidad y la elevación, es válida en regiones de flujo estacionaria e incompresible, en donde las fuerzas netas de fricción son despreciables. La aproximación clave en la deducción de la ecuación de Bernoulli es que los efectos viscosos son despreciablemente pequeños en comparación con los efectos de inercia, gravitacionales y de la presión. La ecuación de Bernoulli es una aproximación que solo se aplica a las regiones no viscosas del flujo.

Flujo estacionario e incompresible

Dónde: P es presión V es la velocidad g es la gravedad z es una altura o distancia Ρ es la densidad Ejercicio Fluye agua de una manguera. Un niño coloca su dedo pulgar para cubrir la mayor parte de la salida de la manguera y hace que salga el chorro delgado de agua a alta velocidad. La presión en la manguera inmediatamente corriente arriba del pulgar del niño es 400 kPa. Si la manguera se sostiene hacia arriba. ¿Qué altura máxima podría llegar el chorro?

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En una planta de generación hidroeléctrica, entra agua a las toberas de la turbina a una presión de 800 kPa absoluta, con baja velocidad. Si las salidas de las toberas están expuestas a una presión atmosférica de 100 kPa, determine la velocidad máxima a la que las toberas pueden acelerar el agua antes de que llegue a las aspas de la turbina.

Se usa una sonda de Pitot y de presión estática para medir la velocidad de un avión que vuela a 3000 m. Si la lectura de la presión diferencial es de 3 kPa, determine la velocidad.

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Sondas de Pitot y sondas de Pitot estáticas (Tubo de Prandtl) Las sondas de Pitot (también llamadas tubos de pitot) y las sondas de Pitot estáticas (tubod de Prandtl) se usan para medir la razón de flujo.

Una sonda de Pitot consiste en un tubo con un orificio de borde redondo en el punto de estancamiento que mide la presión de estancamiento, mientas que una sonda de Pitot estática tiene además orificios para la medición de presión de estancamiento y estática. Para flujo incompresible con velocidades suficientemente altas (los efectos de fricción entre el punto 1 y el 2 son despreciables), la ecuación de Bernoulli se expresa.

, porque lo agujeros de presión estática de la sonda de Pitot estática se distribuyen circularmente alrededor del tubo y debido a las condiciones de estancamiento, la velocidad del flujo se vuelve:

Flujo metros de obstrucción: dentro de este tipo de medidores se tienen las placas de orificio, medidores de Venturi y toberas de flujo. Considere flujo estacionario incompresible de un fluido en una tubería horizontal de diámetro “D” que se restringe a un área de flujo de diámetro “d”, las ecuaciones de equilibrio de masa y de Bernoulli, entre una posición antes de la restricción (punto 1) y la posición donde ocurre la restricción (punto n2) se puede escribir como.

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Ecuación de equilibrio de masa

Obstrucción (sin perdida)

Donde =

Los flujometros que se basan en este principio se llaman flujometros de obstrucción y se usan para medir razones de flujo de gases y líquidos.

Flujo metros de obstrucción =

coeficiente de descarga y es menor a 1 es el área transversal del agujero es la razón de diámetros del agujero al diámetro de la tubería.

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Cd está disponible para varios tipos de medidores de obstrucción, de los numerosos tipos de medidores de obstrucción, los más usados son los de placa de orificio, las toberas de flujo y los medidores de Venturi.

Placa de Orificio.

Toberas de Flujo

Estas relaciones de Cd para placas de orificio y toberas son válidas para 0.25 < β < 0.75 y . Los valores de Cd dependen del diseño particular del flujometro de obstrucción y por lo tanto deben consultarse los datos del fabricante.

Tipos comunes de medidores de obstrucción

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Ejercicio Con una placa de 4 cm de diámetro equipada con un manómetro de mercurio, se debe medir la razón de flujo del metanol a 20°C (ρ = 788.4 kg/cm³ y µ = 5.857X Kg/m*s) a través de una tubería de 3 cm de diámetro. Si la lectura del manómetro es de 11 cm, determine la razón de flujo del metanol a través de la tubería y la velocidad de flujo promedio. Cd = 0.61.

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Unidad V Teoría de Modelos Experimentales

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Análisis Dimensional El análisis dimensional analiza las similitudes entre un modelo y un prototipo, a través de análisis dimensional que combina variables dimensionales, variables adimensionales y constantes dimensionales en parámetros sin dimensiones reduciendo el número de parámetros independientes necesarios en un problema, al presentar un método paso a paso para obtener dichos parámetros adimensionales, llamado método de variables repetitivos, que se basa exclusivamente en las dimensiones de las variables y constantes. Finalmente, esta técnica se aplica a varios problemas prácticos para ilustrar su utilidad y sus limitaciones.

Dimensiones y unidades Una medición es una medida de una cantidad física (sin valores numéricos) mientras que una unidad es una manera de asignar un número a dicha dimensión. Por ejemplo, la longitud es una dimensión que se mide en unidades como, metros (m, ft, cm, mm, kilómetros, etc). Existen siete dimensiones primarias (también llamadas dimensiones fundamentales o básicas): masa, longitud, tiempo, temperatura, corriente eléctrica, cantidad de luz y cantidad de materia. Todas las dimensiones no-primarias se pueden formar por cierta combinación de las siete dimensiones primarias. Por ejemplo, fuerza

Dimensiones básicas Dimensión

Símbolo

Unidad en SI

Unidad en S. Ingles

Masa

Kg

Kilogramo (Kg)

Slug; lbm (libra masa)

Longitud

L

Metro (m)

Feet (pie)

Tiempo

t

Segundo (s)

Segundo (s)

Temperatura

T

Kelvin (°K)

Rankine (°R)

Corriente eléctrica

I

Ampere (A)

Ampere (A)

Cantidad de luz

C

Candela (Cd)

Candela (Cd)

Cantidad de materia

M

Mole (mol)

Mole (mol)

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Homogeneidad Dimensional Todo termino aditivo en una ecuación debe tener las mismas dimensiones. Por ejemplo, el cambio de energía total de un sistema cerrado compresible simple de un estado y/o tiempo (1) a otro (2), como se ilustra en la figura, por lo que el cambio de energía total en el sistema (ΔE) está dado por:

ΔE = ΔU + ΔEC + ΔEP

Donde: E tiene tres componentes: energía interna (U), energía cinética (EC) y energía potencial (EP). Dichos componentes se pueden escribir en términos de la masa del sistema (m). Las cantidades mensurables y las propiedades termodinámicas en cada uno de los estados, como la velocidad (v), elevación (z) y la energía interna especifica (u) y la conocida constante de aceleración gravitacional (g).

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Tanto la ecuación del estado 1 como del estado 2 tienen las mismas dimensiones, las de la energía

Una ecuación que no es dimensionalmente homogénea es un signo seguro de error.

Por ejemplo:

F = Newton = 1 kg*m/s² F = gramos*ft/s² Eliminacion de dimensiones de las ecuaciones La ley de homogeneidad dimensional garantiza que todos termino aditivo en la ecuacion tienen las mismas dimensiones. En consecuencia si cada termino en la ecuacion se divide entre un conjunto de variables y constantes cuyo producto tenga estas mismas dimensiones, la ecuación queda sin dimensiones.

Los términos adimensionales en la ecuación son de orden de magnitud de uno, la ecuación se llama normalizada. Cada termino en una ecuación sin dimensiones es adimensional. En el proceso de adimensionaldad en una ecuación en movimiento, con frecuencia aparecen parámetros adimensionales, la mayoría de los cuales reciben su nombre en honor a un científico o ingeniero notable, por ejemplo, el número de Reynolds y el número de Froude.

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El número de Froude es importante en flujos de superficie libre tales como el flujo en canales abiertos, por ejemplo, en una compuerta, el flujo a través de esta corriente arriba de la compuesta es:

Numero de Froude El número de Froude también aparece como un parámetro adimensional en flujo de superficie libre, y se puede considerar como la razón de la fuerza inercial a la fuerza gravitacional.

Resultado adimensional

Dónde: z es la elevación adimensional t tiempo adimensional

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Ejemplo La constante gravitacional en la superficie de la luna es casi un sexto de la tierra. Un astronauta en la luna lanza una pelota de béisbol con una velocidad inicial de 21 m/s en un ángulo de 5° sobre el horizonte y a 2 m sobre la superficie lunar. A) Utilice los datos adimensionales t = 2.75 de las tablas para predecir cuánto tarda en caer al suelo la pelota de béisbol b) Realice un cálculo exacto y compare el resultado con el inciso a.

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El número de Froude y otros parámetros adimensionales importantes, como el número de Reynolds, el número de Euler y el número de Strouhal.

En un problema general de flujo de fluido no estacionario con superficie libre, los parámetros de escalonamiento incluyen una longitud característica L, una velocidad característica V, una frecuencia característica f y una diferencia de presión de referencia . La eliminación de dimensiones de las ecuaciones diferenciales del flujo del fluido produce cuatro parámetros adimensionales: el número de Reynolds, el número de Froude, el número de Strounal y el número de Euler. Análisis dimensional y similitud. En la mayoría de los experimentos, para ahorrar tiempo y dinero las pruebas se realizan en un modelo a escala geométricamente en lugar de un prototipo de tamaño real. Aquí se introduce una poderosa técnica llamada análisis dimensional y es útil en todas las disciplinas, especialmente cuando es necesario diseñar y realizar experimentos. Los tres propósitos del análisis dimensional son:  Generar parámetros adimensionales que ayuden en el diseño de experimentos (físicos y/o numéricos) y en el reporte de los resultados experimentales. Ing. María Guadalupe Rosas Hernández Ingeniería en Sistemas Automotrices e Ingeniería Mecánica Página 57 | 71

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 Obtener leyes de escalonamiento de modo que se pueda predecir el desempeño del prototipo a partir del desempeño del modelo.  Predecir (a veces) las tendencias en la relación entre parámetros. Existen 3 condiciones necesarias para similitud completa entre un modelo y un prototipo:  La primera condición es la similitud geométrica: el modelo debe tener la misma forma que el prototipo, pero se le puede escalar por un factor de escala constante.  La segunda condición es la similitud cinemática, lo que significa que la velocidad en cualquier punto en el flujo del modelo debe ser proporcional (por un factor de escala constante) a la velocidad en el punto correspondiente en el flujo del prototipo. La similitud geométrica se puede considerar como equivalencia en escala de longitud y la similitud cinemática como equivalencia de escala de tiempo.  La tercera condición y la más restrictiva condición es la de similitud dinámica, se logra cuando todas las fuerzas en el flujo del modelo se escalan por un factor constante a fuerza correspondientes en el flujo del prototipo. En un campo de flujo general, la similitud completa entre un modelo y un prototipo se logra solo cuando existen similitudes geométricas, cinemática y dinámica.

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Similitud para numero de Reynolds en el caso de la fuerza de arrasstre sobre un automovil. (II se denota un parametro adimensional)

V velocidad del auto L longitud del auto

El número de Reynolds es el parámetro adimensional más útil y conocido en toda la mecánica de fluidos. Ejemplo Similitud entre autos modelo y prototipo Se debe predecir la fuerza aerodinámica de arrastre de un auto deportivo nuevo a una velocidad de 50 mi/h a una temperatura de aire de 25 °C. Los ingenieros automotrices construyen un modelo a un quinto de escala del auto para probarlo en un túnel de viento. Es invierno y el túnel de viento se localiza en un edificio sin calefacción. La temperatura del aire del túnel de viento es de solo 5 °C. Determine que tan rápido deben correr los ingenieros el aire en el túnel de viento con la finalidad de lograr similitud entre el modelo y el prototipo.

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Despues de predecir la similitud completa entre las pruebas del modelo y el flujo del prototipo, tambien se puede predecir el desempeño del prototipo con base en las mediciones del comportamiento del modelo. Ejemplo Prediccion de la fuerza aerodinamica de arrastre sobre el auto prototipo. Suponga que los ingenieros corren en el tunel de viento a 221 mi/h para lograr similitud entre el modelo y el prototipo. La fuerza aerodinamica de arrastre sobre el auto modelo se mide con una balanza de arrastre. Se registran varias lecturas de arrastre y resulta que la fuerza de arrastre promedio sobre el modelo es de 21.2 lbf. Prediga la fuerza de arrastre sobre el prototipo (a 50 mi/h y 25 °C)

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Teorema de Buckingham El metodo de repeticion de variables y el teorema de buckingham El metodo de repeticion de variables popularizado por Edgar Buckingham, se puede considerar como un procedimeinto paso a paso o receta para obtener parametros adimensionales. Existen 6 pasos: Paso 1 Hacer un listado con los parametros del problema y cuente su numero total n. Sea n el numero total de parametros en el problema, incluyendo la variable dependiente. Cersiorese de que cualquier parametro independiente en la lista sea de hecho independiente de los demas, es decir no se le pueda expresar en sus terminos. Por ejemplo, no incluya el radio “r” y el area “A” = π r², por que r y A no son independientes. Paso 2 Realice una lista con las dimensiones primarias par cada uno de los n parametros. Paso 3 Suponga la reducción j, como primera suposicion, haga j igual al numero de dimensiones primarias representadas en el problema. El numero esperado de grupos II (k) es igual a n menos j, de acuerdo con el teorema Pi de Buckingham. Teorema Pi de Buckingham: k = n – j Si en este paso, o durante algún paso subsecuente, el analisis no funciona, verifique que haya incluido suficientes parametros en el paso 1. De otro modo, regrese y reduzca j por uno e intente de nuevo. Paso 4 Elija los j parametros repetitivos que usara para consturir cada II. Dado que los parametros repetitivos tienen el potencial para aparecer en cada II, cersiorese de elegirlos atinadamente. Paso 5 Genere los II una a la vez mediante el agrupamiento de los j parametros repetitivos con uno de los parametros rstantes, y fuerce el producto a ser adimensional. De esta manera, construya todas las k II. Por costumbre, la primera II, designada II, es la II dependiente. Utilice las II como sea necesario para lograr establecer grupos adimensionales. Paso 6 Verifique que todas las II de hecho sean adimensionales. Escriba la relacion funcional final en la forma de la ecuación Ejemplo Considere una bola que cae en un vacío, como se muestra en la figura, suponga que todo lo que se sabe es que la elevación instantanea z de la bola debe ser funcion del tiempo t, de la velocidad vertical inicial inicial

y de la constante gravitacional g.

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, de la elevación

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Paso 1 Hacer una lista de los parametros (variables dimensionales, variables adimensionales y cosntantes diemsnionales)

Paso 2 Hacer una lista con dimensiones primarias de cada parametro

L longitud en m t tiempo en seg

Paso 3 Suponga la reducción j, es decir j igual al número de dimensiones primarias representadas en el problema. j=2

(L y t)

Teorema de Pi de Buckingham k = n – j Ing. María Guadalupe Rosas Hernández Ingeniería en Sistemas Automotrices e Ingeniería Mecánica Página 62 | 71

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K = 5 – 2 = 3 (número esperado π) Paso 4 Elegir los j parámetros repetitivos que se usan para construir cada π Parámetros repetitivos

y

Paso 5 Generar las π una a la vez mediante el agrupamiento de los j parámetros repetitivos con uno de los parámetros restantes. La primera π siempre es la π dependiente y se forma con la variable dependiente z Π dependiente Donde

son exponentes constantes que es necesario determinar.

Dimensiones ( ):

Dado que las dimensiones primarias son, por definición independientes unas de otras, se igualan los exponentes de cada dimensión primaria de manera independiente para resolver los exponentes Tiempo {

Longitud Tenemos La segunda independiente se crea de manera similar, por medio de cambiar los parámetros repetitivos con la variable independiente t. Primera π independiente Dimensiones de

Cuando se igualan los exponentes: Ing. María Guadalupe Rosas Hernández Ingeniería en Sistemas Automotrices e Ingeniería Mecánica Página 63 | 71

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Tiempo: Longitud Por lo tanto

es

Segunda

independiente, cuando se combinan los parámetros repetitivos con g y forzar a π a ser dimensional

Segunda

independiente

Dimensiones de Cuando se igualan exponentes Tiempo Longitud Por lo tanto

, es

Aplicando el número de Froude

modificada = Paso 6 Verificar que todas las π sean adimensionales Relación entre π

Resultado final del analisis dimensional: Z = f (t, Fr) Ing. María Guadalupe Rosas Hernández Ingeniería en Sistemas Automotrices e Ingeniería Mecánica Página 64 | 71

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Unidad VI Flujo Compresible

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Introduccion Existe una amplia variedad de problemas de flujo de fluidos que se encuentran en la practica y suele ser conveniente clasificarlos sobre la base de algunas caracteristicas comunes, para que sea factible estudiarlos en grupos. Existen muchas maneras de clasificar los problemas del dlujo de fluidos.  Regiones Viscosas de flujo en comparcion con las no-viscosas. Cuando dos cuerpos de fluidos se mueven una en relacion con otra, se desarrolla un afuerza de friccion entre ellas y la capa mas lenta trata de desacelerara la masa rapida. Esta resistencia interna al flujo se cuantifica mediane la propiedad de viscosidad del flujo, la cual es una medida de la adherencia interna en este. Los flujos en donde los efectos de la friccion son sinificativos se llaman flujos viscosos. Despreciar los terminos viscososo en esas regiones del flujo no viscosos simplifica mucho el analisis, sin perdida considerable en la exactitud.

 Flujo interno en comparación con el externo El flujo de un fluido se clasifica como interno o externo dependiendo si a este fluido se le obliga a fluir en un canal confinado o sobre una superficie. El flujo de un fluido no limitado sobre una superficie, como una placa, un alambre o un tubo, es flujo externo. El flujo en un tubo o ducto es flujo interno si el fluido queda por completo limitado por las superficies solidas. Por ejemplo el agua que corre en las tuberias, flujo externo sobre una pelota de tenis y la region de la estela turbulenta que se encuentra detrás de ella. 

Flujo compresible en comparacion con el incompresible

Un flujo se clasifica como compresible o incompresible, dependiendo del nivel de variación de la densidad del fluido en ese flujo. La incompresibilidad es una aproximacion y se dice que el flujo es incompresible si la densidad permanece aproximadamente constante a lo largo de todo el flujo, suele decirse que los liquidos son incompresibles. Cuando se analizan los cohetes, las naves espaciales y otros sistemas en los que intervienen flujos de gas a velocidades altas, la velocidad del flujo a menudo se expres en terminos del numero adimincional de Mach que se define como:

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Se dice que un flujo es sonico cuando Ma = 1 sonico, M1 supersonico, Ma >>1 hipersonico, Ma 1 transonico. 

Flujo laminar en comparación con el turbulento

Algunos flujos son suaves y ordenados en tanto que otros son considerados caóticos. El movimiento ordenado de un fluido, caracterizado por capas no-alternas de este se conoce como laminar. El movimiento intensamente desordenado de un fluido, que es común se presenta a velocidades altas y se caracteriza por fluctuaciones en la velocidad, se llama flujo turbulento. Un flujo que se altera entre laminar y turbulento se conoce como de transición.

Flujo laminar

Flujo transicional

Flujo turbulento

El numero de Reynolds (Re) permite determinar el regimen de flujo en los tubos. Ing. María Guadalupe Rosas Hernández Ingeniería en Sistemas Automotrices e Ingeniería Mecánica Página 67 | 71

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 Flujo natural (o no forzado) en comparacion con el forzado. El flujo de un fluido es natural o forzado, dependiendo como se inicie el movimiento, si el fluido se obliga a fluir sobre una superficie o en un tubo por medio de medios externos como una bomba o ventilador se dice que el flujo es forzado. Pero si el movimiento del fluido se debe a medios naturales, como el efecto de flotacion, el cual se manifiesta como elevacion del fluido mas caliente (y por consiguiente mas ligero) y la caida del fluido mas frio (y por tanto el mas denso) se dice que es un flujo natural.  Flujo estacionario en comparacion con el no estacionario. El termino estacionario implica que no hay cambio en un punto con el tiempo. Lo opuesto a estacionario es noestacionario. El termino uniforme implic que no hay cambio con el lugar sobre una region especifica. A menudo se usan los terminos no-estacionario y transitorio de manera intercambiable, sin embargo no son sinonimos. En mecanica de fluidos, no-estacionario es el termino mas general que se aplica a cualquier flujo que no sea estacionario, pero transitorio es comun aplicarlo para flujos en desarrollo.  Flujos unidimensional, bidimensional y tridimensional Un campo de flujo se caracteriza mejor mediante la distribución de velovcidad y por consiguiente, se dice que un flujo es unidimensional, bidimensional o tridimensional si la velocidad del flujo varia en una, dos o tres dimensiones, respectivamente. Un flujo tipico de un fluido comprende una configuracion geometrica tridimensional y la velociadad puede variar en las tres dimensiones y dar lugar al flujo tridimensional , x, y, z) en coordenadas rectangulares o (r, θ, z) en coordenadas cilindricas. Ecuaciones basicas de volumen de control. Historicamente leyes de conservacion como las leyes de conservacion de la masa, de energia y cantidad de movimiento, se aplicaran por primera vez a una cantidad fija de la materia llamada sistema cerrado o simplemente sistema y despues se extendieron a regiones en el espacio llamadas volumenes de control. Las relaciones de conservacion tambien se conocen como ecuaciones de balance, dado que cualquier entidad conservada se debe balancear durante un proceso. Conservacion de la masa Para un sistema cerrado que pasa por un cambio se expresa con volumen de control (VC), el balance de masa se expresa como Conservación de la masa Donde: Flujo másico hacia adentro Ing. María Guadalupe Rosas Hernández Ingeniería en Sistemas Automotrices e Ingeniería Mecánica Página 68 | 71

Para un

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Flujo másico hacia afuera del volumen de control es la razón de cambio de la masa dentro de las fronteras de ese volumen

Conservacion de la cantidad de movimiento El producto de la masa y de la velocidad de un cuerpo se llama momento lineal o cantidad de movimiento del cuerpo y la cantidad de movimiento de un cuerpo rigido de masa “m” que se mueve con una velocidad es m , la cantidad de moviemiento de un sistema permanece constante, cuando la fuerza neta que actua sobre el permanece constante, cuando la fuerza neta que actua sobre el es cero y donde se conserva la cantidad de moviemiento de esos sistemas, se conoce como el principio de conservacion de la cantidad de movimiento (segunda ley de Newton, evacuación del momento lineal). Cosnservacion de la Energia Los volumenes de control incluyen la transferencia de energia tambien por la via de flujo de masa, y el principio de conservacion de la energia, tambien conocido como balance de energia, se expresa como: Conservacion de la energias Donde:

son las razones de transferencia de energia hacia adentro y hacia afuera del volumen de control.

Conservacion de la energia No es exacto confirmar que la masa se conserva. Ocurre que la masa m y la energia E pueden convertirse una en otra, según la conocida formula propuesta por Albert Einstein

Donde c es la velocidad de la luz (

)

La masa se conserva inclusive durante las reaciones quimicas.

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Gastos de masa y de volumen La cantidad de masa que fluye través de una sección transversal por unidad de tiempo se llama razón de flujo de masa, o simplemente flujo o gasto másico y se denota por (se pone un punto sobre el símbolo “m” para indicar razón de cambio respecto al tiempo).

Velocidad promedio Ac es el área de la sección transversal normal a la dirección de flujo. 𝑽𝒑𝒓𝒐𝒎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝐕 razon de flujo volumetrico o gasto volumetrico

𝒎 flujo másico 𝝆 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑽𝒑𝒓𝒐𝒎 velocidad promedio Ac área de la sección transversal normal a la dirección del flujo

Ejemplo Se usa una manguera de jardín que tiene una boquilla de riego para llenar una cubeta de 10 galones. El diámetro de la manguera es de 2 cm y se reduce hasta 0.8 cm en la salida de la boquilla. Si transcurren 50 seg para llenar la cubeta con agua, determine a) las razones de flujo volumétrico y de masa de agua que pasa por la manguera y b) la velocidad promedio del agua a la salida de la boquilla (1 gal = 3.7854 L), = 1 kg/L Solución a)

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b)

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