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Dinámica de Fluidos El flujo de fluidos es complejo y no siempre puede ser estudiado en forma exacta mediante el análisis matemático. Contrariamente a lo que sucede con los sólidos, las partículas de fluido en movimiento pueden tener diferentes velocidades y están sujetos a distintas aceleraciones. Tres principios fundamentales permiten predecir el comportamiento de los fluidos: a) Principio de conservación de la masa, a partir del cual se establece la Ecuación de Continuidad. b) Principio de la energía cinética, a partir del cual se deducen Ecuaciones de Movimiento aplicables al flujo. c) Principio de la Cantidad de Movimiento, a partir del cual se deducen ecuaciones para calcular las fuerzas dinámicas ejercidas por fluidos en movimiento. Adicionalmente, para flujo estacionario de gas ideal se aplican la primera y segunda ley de la Termodinámica. Tipos de Flujo 1. Flujo Unidimensional: Todos los vectores de velocidad del campo son paralelos, pero no necesariamente iguales. Es decir, son paralelos pero pueden tener diferentes módulos. 2. Flujo Laminar: Las partículas de fluido se mueven en capas, sin corrientes transversales ni torbellinos. Este tipo de flujo es gobernado por la ley de viscosidad e Newton, que relaciona el esfuerzo cortante con la rapidez de deformación angular. 

du dy

En el flujo laminar la acción de la viscosidad amortigua las tendencias a la turbulencia. 3. Flujo Turbulento: Las partículas de fluido se mueven siguiendo trayectorias muy irregulares que dan lugar a mezcla lateral. El flujo turbulento produce intercambio de cantidades de movimiento que convierte la energía mecánica en calor. Es el tipo de flujo más frecuente encontrado en aplicaciones de ingeniería. 4. Flujo Irrotacional: Flujo en fluidos ideales sin viscosidad, que no pueden transmitir tensiones tangenciales. 5. Flujo a Régimen Permanente: Las propiedades del fluido y las condiciones del movimiento no cambian con el tiempo:

u 0 t



Además, en flujo a régimen permanente no hay cambio en la densidad “”, presión “p” o temperatura “T” con el tiempo en cualquier punto: 

 0 t

p 0 t

;

;

T 0 t

En el flujo turbulento, debido al movimiento al azar de las partículas fluidas, siempre se presentan pequeñas fluctuaciones en un punto, pero la velocidad temporal media no cambia en el tiempo: t



t: tiempo

ut 

1 udt t 0

ut: velocidad temporal media

u: velocidad

6. Flujo Uniforme: Tiene lugar cuando el módulo, la dirección y el sentido de la velocidad no varían de un punto a otro del fluido: 

u 0 s

;

s: espacio

Un ejemplo es un líquido que fluye a través de una tubería recta de sección constante. Sistema y Volumen de Control Sistema: Cantidad de masa definida de material diferenciada de toda la demás materia por fronteras (de sistema) reales o imaginarios que la separan del entorno o alrededores. Las fronteras de un sistema forman una superficie cerrada que puede variar con el tiempo, de manera de que contenga la misma masa durante los cambios en su condición. La ley de la conservación de la masa afirma que la masa dentro de un sistema permanece constante con el tiempo, si no se toman en cuenta los efectos de la relatividad: 

dm 0 dt

;

m: masa total

La segunda ley del movimiento de Newton para un sistema generalmente se expresa como: d

 F  dt (mu) m: masa constante del sistema

V: velocidad del centro de masa del sistema

F: resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema, incluyendo fuerzas de cuerpo tal como la gravedad. A este tipo de sistema también se le denomina sistema cerrado. Volumen de Control: Se refiere a una región en el espacio y es útil en el análisis de situaciones donde ocurre flujo dentro y fuera del espacio. La frontera de un volumen de control es su superficie de control. Al volumen de control también se le denomina sistema abierto.

Ecuación de Continuidad (Flujo a régimen permanente) En el balance de materia que tiene lugar en un tubo de corriente, que no puede existir flujo a través de las paredes del tubo, la velocidad de flujo másico a la entrada del tubo, en un determinado período de tiempo, ha de ser igual a la velocidad del flujo másico a la salida. 2 salida

 m velocidad = u1

velocidad = u2

densidad = 2 area = A2

densidad = 1 area = A1

 m

1 entrada

Asumiendo que:  

La densidad en cada sección transversal es constante El flujo es irrotacional => fluido ideal, no viscoso

Se tiene la ecuación de continuidad para un fluido compresible:    1u1 A 1   2 u 2 A 2  uA  constante m

Para un fluido incompresible se tiene que 1 = 2 =  por lo que la ecuación de continuidad se puede expresar como: Q = u1A1 = u2A2 = uA Q: caudal (m3/s) Ecuación de Movimiento (Flujo a régimen permanente) En una línea de corriente las componentes de las fuerzas que actúan sobre una partícula de fluido en la dirección de su dp  deben ser iguales a la masa  movimiento, A de la línea s(Segunda Ley  p  aslo largo de la partícula multiplicada por la aceleración ds   de Newton). Se asume un flujo irrotacional. z s z pA



As

s: trayectoria de la partícula de fluido por la línea de corriente. Fs

=>

dp    pA   p  s  A  As cos   As  a s ds g  

dividiendo por “As” y simplificando se tiene: a 1 dp  cos   s  0  ds g

Por otra parte:

z dz  cos   s ds

as 

y

du du ds du   u dt dt ds ds

Luego se tiene: 1 dp dz u du   0  ds ds g ds

multiplicando por “gds” y teniendo en cuenta que  = g, se tiene: g dp  gdz  udu  0 



dp  gdz  udu  0 

integrando la ecuación diferencial se tiene la ecuación de la energía para flujo en régimen permanente e irrotacional: gz 

u2  2



dp  cte. 



La constante de integración varía de una línea de corriente a otra, pero es invariable a lo largo de cada una de ellas.



Para resolver la integral



Si el fluido es incompresible entonces  = cte., por lo que la ecuación queda:



dp debe conocerse  en función de p. 

gz 

u2 p   cte 2 

Esta corresponde a la ecuación de BERNOULLI para flujo en régimen permanente, irrotacional e incompresible en unidades de energía por unidad de masa. Si la última ecuación se divide por “g” se tiene la ecuación de Bernoulli en unidades de energía por unidad de peso, la que es útil para su aplicación a problemas de líquidos con superficie libre: u2 p   cte 2g 

z

Si esta se multiplica por “” se tiene una forma de la ecuación de Bernoulli útil para aplicaciones a problemas de gases incompresibles: z 

u 2  p  cte 2

Cada término del Bernoulli es una forma de energía: a) z, Energía de Posición: Energía potencial del fluido por unidad de peso, medida a partir de un origen arbitrario. Corresponde al trabajo necesario para elevar una masa de “W” (Kg) desde el origen a la altura z, es Wz (Kg fm), que es una energía potencial. Por lo tanto, la energía potencial por Kg f es: Wz  z (m) W

W z

W b)

origen

p , Energía de Presión: El trabajo que un fluido es capaz de realizar en virtud 

de su presión: Tapón dl

h = cte pA

h = cte pA

F a) Régimen Permanente

b) Sistema Cerrado

En la figura “a” el pistón es empujado por la fuerza debido a la presión del fluido “pA” (donde A es el área del pistón) y se desplaza una distancia “dl” contra la fuerza resistente “F”, realizando un trabajo “pAdl” (Kg fm). La fuerza necesaria para realizar el trabajo es “dlA”, ya que es la cantidad de fluido que será devuelta por el pistón al estanque para regresar a su posición original para luego repetir el ciclo. Por lo tanto, el trabajo por unidad de peso, el cual corresponde a la altura de presión es: (Sólo para fluido en movimiento) pAdl p  Adl 

(m)

En un sistema cerrado como “b” se puede dar un gran valor de “p/” si el tapón se aprieta fuertemente, sobre todo si el fluido es incompresible, pero el liquido es incapaz de realizar mucho trabajo, porque la presión cae rápidamente cuando el desplazamiento del tapón aumenta el volumen del sistema. c) u2/2g, Energía de Velocidad: Energía cinética de un elemento de fluido es “mu2/2” y m = W/g, donde “W” es el peso del fluido. Luego, por unidad de peso se tiene la “altura de velocidad”:

W

u

( W / g)u 2 u2  (m) 2W 2g

Bernoulli: La suma de las energías cinética, potencial y de presión por unidad de peso permanece constante a lo largo de una línea de corriente. Consideraciones sobre el Bernoulli a) Cuando todas las líneas de corriente tienen su origen en un deposito donde la energía contenida es la misma en todos los puntos, la constante de integración no cambia de una línea de corriente a otra y los puntos 1 y 2, para la aplicación de la ecuación de Bernoulli, pueden elegirse arbitrariamente, no siendo necesario que se encuentren en la misma línea de corriente.

b) En un flujo compresible (gas), si el cambio de presión es pequeño (en %) respecto de la presión absoluta, se puede considerar incompresible y se puede aplicar la Ecuación de Bernoulli con un  promedio. Este es el caso de los sistemas de ventilación. c) Para un flujo no permanente, con un cambio muy lento de las condiciones de permanencia, se puede aplicar la Ecuación de Bernoulli sin error apreciable. Este es el caso del vaciado de un gran deposito o estanque. d) Si el fluido no es irrotacional aparecen esfuerzos de corte tangencial (tg), los que convierten la energía mecánica en térmica, por fricción fluida debido a la viscosidad, luego: B1 = B2 + Pérdidas1 – 2 = B2 + 12 La naturaleza del  varía con las aplicaciones, necesitándose usualmente determinaciones experimentales para evaluarlas. Si se le entrega energía al fluido mediante cualquier dispositivo mecánico como una bomba, por ejemplo, la ecuación queda: B1 + WB = B2 + 12 WB : Trabajo entregado al fluido por la bomba. Aplicaciones del Teorema de Bernoulli La aplicación del teorema a problemas prácticos debe hacerse en forma racional y sistemática como se explica a continuación: 1. Dibujar un esquema del sistema, seleccionando y marcando cada una de las secciones rectas de la corriente bajo consideración. 2. Aplicar la ecuación de Bernoulli en la dirección del flujo. Se recomienda definir como cota de referencia al punto de menor elevación para que no existan signos negativos, reduciendo así la probabilidad de cometer errores de calculo. 3. Calcular la energía aguas arriba de la sección 1 en Kg fm/ Kgf o Nm/N, que se reduce en definitiva a metros columna de fluido.  La altura de presión debe ser absoluta en los fluidos compresibles (gases)  La altura de presión puede ser manométrica en los fluidos incompresibles (líquidos).  La velocidad utilizada en cada sección es la velocidad media. 4. Agregar, en metros columna de fluido, toda la energía mecánica entregada al fluido por medio de bombas o compresores.

5. Restar, en metros columna de fluido, cualquier energía extraída del fluido mediante dispositivos mecánicos como turbinas. 6. Restar, en metros columna de fluido, cualquier energía perdida durante el flujo por pérdidas de carga singulares (válvulas, fittings) y regulares (roce en tuberías). 7. Igualar la suma algebraica anterior a la misma suma algebraica, pero aplicada a la sección 2. 8. Si las dos alturas de velocidad son desconocidas, estas se deberán relacionar mediante la ecuación de continuidad. Ecuación de la Cantidad de Movimiento Establece que la componente en una dirección de la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo libre de un fluido en régimen permanente es igual a la componente, en esa dirección, de la cantidad de movimiento que sale por unidad de tiempo, menos la componente de la cantidad de movimiento que entra, por unidad de tiempo, del cuerpo libre.

F

X

 Q(u 2  u1 ) X

Q: caudal (m3/s)

Se supone la velocidad constante en la sección 1 y 2, pero no necesariamente la velocidad de la sección 1 es igual a la de la 2. U2 2

u2 ux2

1 U1 u1

Fx

ux1 Si las velocidades varían en sus respectivas secciones, entonces se utiliza el factor el factor de corrección de la cantidad de movimiento :

 FX  Q( 2 u 2   1u1 ) X u: velocidad en cada tubo de corriente U: velocidad media en cada sección

;

1 donde   A

 u A  U 

2

dA

El análisis es análogo tanto para las direcciones x e y. Para tuberías:  

Flujo Laminar =>  = 1,33 Flujo Turbulento => 1,01 <  < 1,07

Aplicación a Hélice La acción de una hélice de propulsión consiste en cambiar la cantidad de movimiento del fluido, en que se encuentra sumergida, originando un impulso que se utiliza para la propulsión. 1 2

3 4 u

u1

F

P = p1 = p 2 La hélice puede estar quieta en un fluido que se mueve con velocidad u 1 (como muestra la figura), o moviéndose hacia la izquierda u 1 en un fluido en reposo. Se supone un fluido irrotacional e incompresible. El fluido no es perturbado por la hélice en la sección 1 de aguas arriba y se acelera al aproximarse a la hélice, debido a que la presión se ha reducido en la cara 2. Al pasar por la hélice el fluido aumenta su presión, se acelera y la sección en 4 se reduce. La velocidad “u” no cambia al pasar el fluido a través de la hélice desde 2 a 3. Las presiones en 1 y 4, así como a lo largo de la superficie límite del tubo de flujo (estela), son las del fluido no perturbado. Ecuación de la cantidad de movimiento:

F

X

 Q(u X 2  u X1 )

Luego en el cuerpo libre entre 1 y 4 la única fuerza que actúa sobre el fluido en la dirección x del movimiento es la originada por la hélice, ya que en la superficie exterior del cuerpo libre la presión es la misma en todos los puntos: F = Q(u4 – u1) = (p3 – p2)A Q = uA u(u4 – u1) = p3 – p2 (I)

Luego:

Aplicando Bernoulli entre 1 y 2:

u 2  Kgm   cte   3 2  m  1 1 p 1  u12  p 2  u 2 2 2 z  p 

Aplicando Bernoulli entre 3 y 4: p3 

1 2 1 u  p 4  u 24 2 2

ya que z1 = z2 = z3 = z4. Resolviendo para p3 – P2, con p1 – P4, se tiene: p3  p2 

1 (u 24  u 12 ) 2

(II)

Entre (I) y (II), eliminando p3 – p2 u

u1  u 4 2

Demuestra que la velocidad a través de la hélice es la media de las velocidades aguas arriba y aguas debajo de ella. El trabajo útil realizado en la unidad de tiempo por la hélice o la potencia desarrollada por ella al moverse en el fluido en reposo, es el producto del empuje por la velocidad. a) Potencia desarrollada: F  u1 = Q(u4 – u1) u1 La potencia gastada es la necesaria para aumentar la velocidad del fluido desde u1 a u4, que es también la suma de la potencia desarrollada más la energía cinética que en la unidad de tiempo se pierde en la estela. b) Potencia gastada: 

Q 2 Q (u 4  u12 )  Q(u 4  u 1 )u 1   (u 4  u 1 ) 2 2 2

Dividiendo a y b se obtiene el rendimiento teórico: 

2u1 u generacion   1 generacion  perdida u 4  u1 u

Si u = u4 – u1 es el aumento de la velocidad de la estela, la ecuación queda:



u1 u1  u

2

Lo que muestra que el máximo rendimiento se obtiene con una hélice que aumenta la velocidad de la estela de deslizamiento tan poco como sea posible, o para la cual u/u1 es un mínimo. Nota: Debido a la compresibilidad del aire el rendimiento de una hélice de avión disminuye rápidamente sobre una velocidad de 650 (km/h) (  85%). En barcos   60% por límite de diámetro.