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Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

DINÁMICA DE FLUIDOS Y FENÓMENOS DE TRANSPORTE N. FALCON

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N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Titulo de la Obra: Dinámica de Fluidos y Fenómenos de transporte Autor: Nelson Falcón Veloz Diciembre 2011

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Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Presentación y dedicatoria

Esta obra contiene un enfoque formal y ameno de la Dinámica de Fluidos y Fenómenos de transporte para estudiantes de las Ciencias Físicas de Pre y postgrado. Comienza con una revisión de los conceptos fundamentales de hidrostática (Capitulo1) y de la Hidrodinámica formal expresada con cálculo vectorial de varias variables (Capitulo 2) como preludio al tratamiento riguroso, en el Capitulo 3, de la Ecuación de Boltzmann y los fenómenos de transporte. El capitulo 4 se dedica a fluidos viscosos y el estudio de la turbulencia. En el capitulo 5 se estudian las ondas en los fluidos y aplicaciones en meteorología y astrofísica, y finalmente, se describe los fundamentos de la física de plasma y la magnetohidrodinámica (capitulo 6). En todas secciones se plantean y discuten experimentos simples y fenómenos naturales notables junto al formalismo cuantitativo de los mismos. Al escribir un libro como este, la primera pregunta que nos asalta es ¿a quien va dirigido?, si es para colegas profesores investigadores, termina convirtiéndose en un tratado del tema, poco atractivo para el novicio y menos aun para el estudiante. Si se presenta como texto, pronto el autor queda tentado a eludir el andamiaje formal que permite una visión de conjunto de los diferentes fenómenos físicos y su interrelación, y la más de las veces termina en un conjunto de problemas resueltos con poco o nada de la fenomenologia que pretende estudiarse. Otros simplemente auguran que su obra corrige deficiencias de otras obras que le precedieron. Les cuento que mi motivación no fue otra que divertirme, escribiendo las clases que he impartido en el curso obligatorio de Dinámica de los Fluidos, en el cuarto año de la licenciatura en Física de la Universidad de Carabobo. De modo que lo escribí para mis estudiantes, quienes querían un curso de Fluidos, vinculado a la Física, no un curso de Hidráulica ni de Fluidos para Ingeniería, de ordinario sesgados hacia aplicaciones como flujo en tuberías, tuberías y fenómenos de cavitación. Mis estudiantes con cuatro horas semanales durante 18 a 20 semanas, apenas si alcanzaban a cubrir el primer capitulo de la obra de la Mecánica de Fluidos de Landau y Lifshitz. Las veces que he dictado el curso de Dinámica de los Fluidos me vi forzado a enormes esfuerzos de síntesis para mostrar elementos de la teoría de transporte y de la ecuación de Boltzmann, y de como se reobtienen las ecuaciones básicas de la hidrodinámica a partir de ella; aspecto usualmente omitidos en los textos de Mecánica de Fluidos. Lo incorpore aquí en la clase 3, luego de un breve repaso de hidrostática (clase 1) y del tratamiento riguroso de los flujos de fluidos como campos vectoriales (clase 2), antes de discutir tópicos mas especializados como fluidos viscosos y Turbulencia (clase 4) y Arrastre y Ondas en Fluidos Ideales (clase 5). Finalmente se introduce el tema de los fluidos en campos electromagnéticos con una introducción a la magnetohidrodinámica y los Plasmas en la última sección (clase 6) .

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He querido acercar al estudiante a la fenomenologìa y la experimentación, incluyendo experimentos simples a lo largo de todo el texto, tal y como hicimos en las clases impartidas, unas veces como proyecto de aula y otras como demostración experimental de cátedra; supliendo las carencias de laboratorios bien equipados con mucho ingenio y el empeño decidido de los jóvenes físicos en preparación. También he incluido en la obra breves referencias históricas y ejemplo relevantes de situaciones físicas especificas como el interior de las estrellas, plasmas, la atmosfera y las nubes y un sin fin de aplicaciones en los ejemplos seleccionados; evitando los problemas triviales y de cátedra, al cual se han abocado la mayoría de los textos de docencia tradicional. Por ello se han empleado una gran cantidad de ilustraciones relevantes que buscan motivar la lectura y la investigación. La matemática formal supone un curso previo de cálculo de funciones vectoriales, calculo diferencial de varias variables y de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales; como es usual en estudiantes avanzados de Física y de Ingeniería. La ejercitación se ha colocado toda al final del texto, haciendo énfasis en los primeros dos capítulos. Y se exhorta a tratar los últimos temas, mas especializados, como seminarios y como mini proyectos de aplicación e investigación para la evaluación del aprovechamiento y prosecución de los estudiantes. Agradezco las observaciones y comentarios de los Doctores Allan Dixon, excatedrático de al Universidad Complutense de Madrid, y de Eduardo Simmonovich del Observatorio Astronómico y Meteorológico de Paris; también las correcciones del manuscrito que ha hecho la Profa. Gladys Castillo y sus alumnos del curso de Fluidos del núcleo de la Universidad Pedagógica Experimental Libertador (UPEL) en Maracay. He dedicado esta obra a mis estudiantes de Dinámica de los Fluidos de la Facultad Experimental de Ciencias y Tecnología (FACYT) de la Universidad de Carabobo, con quienes compartí la experiencia del redescubrimiento de la Mecánica de los Fluidos en los años 2006, 2007 y 2008. Entre ellos mi gratitud especial a: Félix Álvarez, José Luis Casadiego, Katiuska Coello, Yoel Cuerva, Carlos Guilarte, José Querales, Alejandro Rincones, Amarelis Román, Carlos Salgado y Hecmary Suárez; por algunas de las imágenes y/o por la realización de los experimentos descritos en la obra. Mi gratitud y amor a mis hijos Orión, Antares y Altair; y a mi esposa Liliana; por su devoción y comprensión al cederme el tiempo que debí dedicarles en las vacaciones y fines de semana.. La edición de la obra fue parcialmente costeada por la Asociación de Profesores de la Universidad de Carabobo (APUC), gracias a la comprensión y solidaridad de los Profesores Jesús Villarreal y Tadeo Medina quienes han impulsado la actividad académica desde la “trinchera gremial”, elevando la noble labor de nuestra Asociación; mis estudiantes y colegas agradecemos el financiamiento. Prof. Nelson Falcon Veloz Valencia 2011.

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Clase 1. Hidrostática: Generalidades y Definiciones Básicas Se introducen los conceptos fundamentales de uso general en Hidrostática, la definición de fluidos y sus propiedades más relevantes, junto a una deducción elemental de la ecuación de continuidad. Adicionalmente se repasa el concepto de flotabilidad y el Principio de Arquímedes. Posteriormente se obtiene la ecuación de Euler y la Ley de Bernoulli para la dinámica y la Conservación de la Energía respectivamente, en la aproximación hidrostática elemental y se muestran aplicaciones simples en diversos campos de la física. Todo ello como repaso introductorio de la física elemental. El interés por la dinámica de fluidos se remonta a las aplicaciones más antiguas de los fluidos en ingeniería. Arquímedes realizó una de las primeras contribuciones con la invención, que se le atribuye tradicionalmente, del tornillo sin fin. Los romanos desarrollaron otras máquinas y mecanismos hidráulicos; no sólo empleaban el tornillo de Arquímedes para bombear agua en agricultura y minería, sino que también construyeron extensos sistemas de acueductos, algunos de los cuales todavía funcionan. En el siglo I a.C., el arquitecto e ingeniero romano Vitrubio inventó la rueda hidráulica horizontal, con lo que revolucionó la técnica de moler grano. A pesar de estas tempranas aplicaciones de la dinámica de fluidos, apenas se comprendía la teoría básica, por lo que su desarrollo se vio frenado. Casi dos mil años después de Arquímedes se produjo el siguiente avance científico significativo, debido al físico italiano Evangelista Torricelli, que inventó el barómetro en 1643 y formuló el teorema, que relaciona la velocidad de salida de un líquido a través de un orificio de un recipiente, con la altura del líquido situado por encima del agujero. El siguiente gran avance en el desarrollo de la mecánica de fluidos tuvo que esperar a la formulación de las leyes del movimiento por Isaac Newton. Estas leyes fueron aplicadas por primera vez a los fluidos por el matemático suizo Leonhard Euler, quien dedujo las ecuaciones básicas para un fluido sin rozamiento (no viscoso). Euler fue el primero en reconocer que las leyes dinámicas para los fluidos sólo pueden expresarse de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es incompresible e ideal, es decir, si se pueden despreciar los efectos del rozamiento y la viscosidad. 1. Generalidades Para caracterizar de manera más general las propiedades térmicas de los cuerpos se utiliza el concepto de estados de agregación: gaseoso, líquido, sólido y plasma. Debido al gran enrarecimiento de la sustancia en estado gaseoso, las moléculas se hallan relativamente a gran distancia entre si: a grandes distancias en comparación con las propias dimensiones. Por eso la interacción de las moléculas del gas desempeñan un papel secundario, ya que la mayor parte del tiempo las moléculas se desplazan libremente y sólo chocan entre sí de vez en cuando. En el líquido, las distancias entre las moléculas son comparables a las dimensiones de las mismas, de modo que se hallan en constante y fuerte interacción y el movimiento térmico tiene un carácter muy complejo. En condiciones habituales, los líquidos y los gases se diferencian tanto por su densidad que no representa dificultad para distinguirlos. Sin embargo, en realidad, la diferencia entre estos dos estados no es cualitativa sino cuantitativa; ésta reside en la magnitud de la densidad, y debido a ello en la diferencia de intensidad de la interacción de las moléculas. Esta falta de diferencia cualitativa entre estos dos estados se revela claramente sobre todo en que el paso del estado líquido al gaseoso o viceversa, se puede realizar en principio, continuamente, de manera que en ningún momento se puede indicar donde ha terminado un estado y donde ha empezado otro. La identificación de un material como fluidos depende fundamentalmente del estado y no del material en si. De esta forma lo que define al fluido es su comportamiento y no su composición. Entre las propiedades que diferencian el estado de la materia, la que permite una mejor clasificación desde el punto de vista mecánico, es la que dice la relación con la forma en que reacciona el material cuando se le aplica una fuerza. Los fluidos reaccionan de una manera muy característica a las fuerzas. Al comparar lo que ocurre a un sólido y a un fluido cuando son sometidos a un esfuerzo de corte

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o tangencial se tienen reacciones características que se pueden verificar experimentalmente y que permiten diferenciarlos. Con base al comportamiento que desarrollan los fluidos se definen de la siguiente manera: “Fluido es una sustancia que se deforma continuamente, o sea se escurre,cuando esta sometido a un esfuerzo de corte o tangencial”. De esta definición se desprende que un fluido en reposo no soporta ningún esfuerzo de corte. La hidrodinámica es la rama de la física que se encarga del estudio de los fluidos animados de movimiento. La hidrostática es una rama de la física que se encarga del estudio de los fluidos carentes de movimiento. 2. FLUIDOS IDEALES El movimiento de un fluido real es muy complejo. Decimos de que estamos frente de un fluido ideal, cuando consideramos que su comportamiento es de un régimen estable, irrotacional, incompresible y no viscoso. Para simplificar su descripción consideraremos el comportamiento de un fluido ideal cuyas características son las siguientes: 1.-Fluido no viscoso. Se desprecia la fricción interna entre las distintas partes del fluido 2.-Flujo estacionario. La velocidad del fluido en un punto es constante con el tiempo 3.-Fluido incompresible. La densidad del fluido permanece constante con el tiempo 4.-Flujo irrotacional. No presenta torbellinos, es decir, no hay momento angular del fluido respecto de cualquier punto. Todo volumen v de un líquido se considera como un medio continuo formado, en reposo, por láminas superpuestas que pueden deslizarse las unas sobre las otras. La experiencia muestra que si se desplaza una de las láminas, las capas adyacentes son arrastradas. Existe, entonces, fuerzas de rozamiento internas, denominados esfuerzos tangenciales o cortantes, y el líquido se llama viscoso. Y se suponen equilibrio local. Se entiende por equilibrio termodinámico local o cuasi estático en el cual en cada instante t hay equilibrio pero se admiten fluctuaciones de algunos parámetros del sistema. Obviamente en el estudio de los fluidos, se sabe que están compuestos por muchas partículas, cuyos análisis correspondientes no se estudia con respecto a cada punto de la partícula; sino por el promedio del movimiento del fluido en función del tiempo de modo que “ ese punto representa el punto medio de las cantidades de partículas presentes en dicho fluido”

3. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS Los fluidos, como todos los materiales, tienen propiedades físicas que permiten caracterizar y cuantificar su comportamiento así como distinguirlos de otros. Algunas de estas propiedades son exclusivas de los fluidos y otras son típicas de todas las sustancias. Características como la viscosidad, tensión superficial y presión de vapor solo se pueden definir en los líquidos y gases. Sin embargo, el peso específico y la densidad son atributos de cualquier materia. 3.1 Densidad. Se denomina densidad de un cuerpo a la cantidad de materia por unidad de volumen de una sustancia. se define como.

ρ≡

m V

(1. 1)

La unidad de medida en el S.I. de Unidades es kg/m3, también se utiliza frecuentemente la unidad g/cm3 A diferencia de la masa o el volumen, que dependen de cada objeto, su cociente depende solamente del tipo de material de que está constituido y no de la forma ni del tamaño de aquél. Se dice por ello que la densidad es una propiedad o atributo característica de cada sustancia. En los sólidos la densidad es aproximadamente constante, pero en los líquidos, y particularmente en los gases, varía con las condiciones de medida. Así en el caso de los líquidos se suele especificar la temperatura a la que se refiere el valor dado para la densidad y en el caso de los gases se ha de indicar, junto con dicho valor, la presión.

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Densidad de sólidos y líquidos a (20ºC) Sustancia Acero Aluminio Estaño

Densidad (g/cm3) 7.7-7.9 2.7 7.29

Sustancia Aceite Agua de mar Alcohol etílico

Densidad (g/cm3) 0.8-0.9 1.01-1.03 0.79

3.2 Gravedad Específica (GE) o Densidad Relativa (ρrel ). La gravedad especifica o densidad relativa de una sustancia se define como la relación entre la densidad absoluta de la sustancia y la densidad de una sustancia patrón.

G.E. =Densidad Patrón/ Densidad Absoluta=ρ/ρ(patron)

(1..2)

Para líquidos y sólidos, se toma como sustancia patrón el agua y para gases el aire. ρagua = 1 cm3 gr = 1000 kg/ m3 y para el ρaire = 0.00129 gr/ cm3 = 1.29 kg/m3 3.3 Peso Específico. El peso específico corresponde a la fuerza con que la Tierra atrae una unidad de volumen. Definido:

γ ≡

mg = ρg V

(1.3)

Donde g representa la gravedad. Las unidades del peso específico pueden ser. N/m3, Dinas /cm3, etc. 4 Presión Hidrostática. La presión hidrostática, es la presión que ejerce un fluido sobre las paredes y el fondo del recipiente que lo contiene. La presión: es el cociente entre la intensidad F de la fuerza aplicada perpendicularmente sobre una superficie dada.

P=

F A

(1.4)

En el SI la unidad de presión es el pascal, se representa por Pa y se define como la presión correspondiente a una fuerza de un newton de intensidad actuando perpendicularmente sobre una superficie plana de un metro cuadrado. 1 Pa equivale, por tanto, a 1 N/m2. Otra propiedad importante de un fluido en reposo, es que la fuerza debida a la presión del fluido, siempre actúa perpendicularmente a cualquier superficie que está en contacto con el.

Figura 1.1 Fuerzas que ejerce un fluido en equilibrio sobre las paredes del recipiente y sobre un cuerpo sumergido

Cuanto mayor sea la fuerza que actúa sobre una superficie dada, mayor será la presión, y cuanto menor sea la superficie para una fuerza dada, mayor será entonces la presión resultante el área S de dicha superficieCuando un fluido está contenido en un recipiente, ejerce una fuerza sobre sus paredes y, por tanto, puede hablarse también de presión. Si el fluido está en equilibrio las fuerzas sobre las paredes son perpendiculares a cada porción de superficie del recipiente, ya que de no serlo existirían componentes paralelas que provocarían el desplazamiento de la masa de fluido en contra de la hipótesis de equilibrio. La orientación de la superficie determina la dirección de la fuerza de presión, por lo que el cociente de ambas, que es precisamente la presión, que resulta independiente de la dirección; se trata entonces de una magnitud escalar.

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5. Viscosidad La viscosidad es el rozamiento interno entre las capas de fluido; la cual origina la oposición de un fluido a las deformaciones tangenciales. Un fluido que no tiene viscosidad se llama fluido ideal, en realidad todos los fluidos conocidos presentan algo de viscosidad, siendo el modelo de viscosidad nula una aproximación bastante buena para ciertas aplicaciones.A causa de la viscosidad, es necesario ejercer una fuerza para obligar a una capa de fluido a deslizar sobre otra. Fig. 1.2. Fluido comprendido entre una lámina inferior fija y una lámina superior móvil.

La capa de fluido en contacto con la lámina móvil tiene la misma velocidad que ella, mientras que la adyacente a la pared fija está en reposo. La velocidad de las distintas capas intermedias aumenta uniformemente entre ambas láminas tal como sugieren las flechas. Un flujo de este tipo se denomina laminar. Como consecuencia de este movimiento, una porción de líquido que en un determinado instante tiene la forma ABCD, al cabo de un cierto tiempo se deformará y se transformará en la porción ABC’D’.

Ahora consideremos el caso en que dos capas de fluido de área S que distancia dy y entre las cuales existe una diferencia de velocidad dv. La fuerza por unidad de área que hay que aplicar es proporcional al gradiente de velocidad.

F dv =η A dy Figura 1.3. Capas de fluidos en un gradiente de velocidad

(1.5)

La constante de proporcionalidad se denomina coeficiente de viscosidad η, y se define para un fluido como la razón del esfuerzo de corte a la rapidez de cambio de la deformación de corte:

La viscosidad de un fluido puede medirse a través de un parámetro dependiente de la temperatura llamada coeficiente de viscosidad o simplemente viscosidad: • Coeficiente de viscosidad dinámico, designado como η o µ. En unidades en el Sistema Internacional: [µ] = [Pa—s] = [kg—m-1—s-1] ; otras unidades: 1 Poise (P) = 10-1 Pa—s =[10-1 kg—s-1—m-1] • Coeficiente de viscosidad cinemática, designado como ν, y que resulta ser igual al cociente del coeficiente de viscosidad dinámica entre la densidad ν = µ/ρ. ( en el SI: [ν] = [m2.s-1] ) La viscosidad puede ser diferente en dos fluidos de la misma masa. La inversa de la viscosidad es la fluidez.

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Viscosidad de algunos Líquidos: Variación de la viscosidad de líquidos en función de la temperatura. La viscosidad es una especificación de primer orden en los aceites lubricantes, ya que condiciona las cualidades requeridas para la lubricación. Este valor depende además de la temperatura ambiente, de forma que cuanto menor resulta ésta, más viscoso es un crudo. La inercia de un líquido se relaciona con su densidad; un líquido más denso tarda más en fluir.

5. Líneas de Corriente es el camino seguido por una partícula del fluido en un flujo estacionario. Dos líneas de corriente no se pueden cruzar ya que la partícula del fluido se podría mover en cualquiera de ellas en el punto de cruce y el flujo ya no seria estacionario. Un conjunto de líneas como se muestra en la Figura 4 se le llama tubo de corriente. Figura 1.4 Representación de un fluido por medio de líneas de corriente

6. Ecuación de Continuidad: Consideremos un fluido en una tubería de tamaño no uniforme como se muestra en la Figura 5. En un intervalo de

tiempo ∆t , el fluido se mueve una distancia ∆x1 = v1 ∆t . Si A1 es el área en la sección transversal en la región, entonces la masa contenida en la región sombreada es:

∆m1 = ρ1 A1 ∆x1 = ρ1v1 ∆t A1

(1.5)

Análogamente para el fluido que se encuentra en la parte superior:

∆m2 = ρ 2 A2 ∆x 2 = ρ 2 v 2 ∆t A2

(1.6)

Sin embargo, como la masa se conserva tenemos que∆m1=∆m2, entonces:

ρ1 A1v1 = ρ 2 A2 v2

(1.7)

Esta es la expresión simple de la llamada Ecuación de Continuidad, para fluidos hidrostáticos. Y para un fluido incompresible, que es nuestro caso ρ es constante; de modo que:

A1v1 = A2 v2

(1.8) Entonces el producto del área por la velocidad será constante en todos los puntos a lo largo de la tubería.

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El caudal (llamado en ocasiones “gasto” en la jerga de Ingeniería) se define como el producto del área de la sección transversal por la que fluye el fluido, y la velocidad a la que fluye. Hemos visto que la ecuación de continuidad garantiza, que en ausencia de manantiales o sumideros, el caudal es constante para fluidos ideales incompresibles.

7. Empuje Hidrostático. Un cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza ocasionada por la presión hacia afuera del fluido, denominada empuje. La observación de esta dio origen al denominado Principio de Arquímedes. Principio de Arquímedes: Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un líquido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen de líquido desalojado.

Aun cuando para llegar a esta conclusión Arquímedes se apoyó en la medida y experimentación, su famoso principio puede ser, como veremos luego, reobtenido como una consecuencia de la ecuación fundamental de la hidrostática. También hay que decir que el Principio es valido para fluidos en general y no solamente para la fase liquida. De acuerdo con el principio de Arquímedes, para que un cuerpo sumergido en un líquido esté en equilibrio, la fuerza de empuje E y el peso P han de ser iguales en magnitudes y, además, han de aplicarse en el mismo punto. En tal caso la fuerza resultante es cero (Fresultante =0) y también lo es el momento M, con lo cual se dan las dos condiciones de equilibrio: La condición E = P equivale de hecho a que las densidades del cuerpo y del líquido sean iguales. En tal caso el equilibrio del cuerpo sumergido es indiferente. Si el cuerpo no es homogéneo, el centro de gravedad no coincide con el centro geométrico, que es el punto en donde puede considerarse aplicada la fuerza de empuje. Ello significa que las fuerzas E y P forman un par que hará girar el cuerpo hasta que ambas estén alineadas. Si un cuerpo sumergido sale a flote es porque el empuje predomina sobre el peso (E>P). En el equilibrio ambas fuerzas aplicadas sobre puntos diferentes estarán alineadas; tal es el caso de las embarcaciones en aguas tranquilas En la figura 6 se ilustra el principio en el caso de un bloque de aluminio y uno de madera. (1) El peso aparente de un bloque de aluminio sumergido en agua se ve reducido en una cantidad igual al peso del agua desplazada. (2) Si un bloque de madera está completamente sumergido en agua, el empuje es mayor que el peso de la madera (esto se debe a que la madera es menos densa que el agua, por lo que el peso de la madera es menor que el peso del mismo volumen de agua). Por tanto, el bloque asciende y emerge del agua parcialmente —desplazando así menos agua— hasta que el empuje iguala exactamente el peso del bloque. Figura 1.6. Diagrama de cuerpos suspendidos

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Al ir introduciendo el cuerpo en un fluido se va desalojando un volumen del fluido igual al volumen que se va introduciendo del cuerpo (un volumen sustituye al otro). El líquido reacciona contra esa intromisión empujando al cuerpo con la misma fuerza que utilizaba para mantener al fluido que estaba allí (en el lugar que está ahora esta el cuerpo). Basándonos en el Principio de Arquímedes; en el cual, la fuerza empuje es igual al peso del líquido desalojado. El cuerpo se sumerge hasta que el empuje del líquido iguala el peso que tiene el cuerpo en el vacío. El peso del cuerpo en el vacío es:

P = mg = ρVg (1.9) El empuje no depende ni del tamaño del recipiente donde está sumergido el objeto ni de la profundidad a que se encuentre el cuerpo. Peso del líquido desalojado es: Pl = ml g = ρ lVl g (1.10) Y por ende el volumen de líquido desalojado es igual al volumen del cuerpo sumergido.

Vs = Vl

(1.11)

Y como el equilibrio se produce cuando el peso del cuerpo en el vacío es igual a la Fuerza de Empuje. Se tiene que el volumen desplazado, en función del peso es:

Vs = Vl =

E gρ l

(1.12)

Calculado el Volumen sumergido (ecuación 1.12), es fácil determinar la densidad de la pieza ρS. Si el peso es mayor que el empuje máximo (cuando está todo hundido) el cuerpo se desplaza hacia el fondo. El Volumen sumergido Vs , en relación con el volumen del líquido donde se sumerge Vl, y también mediante las densidades respectivas, permiten calcular la fracción sumergida, mediante la relación:

fS =

ρ Vl = l Vs ρ S

(1.13)

Ejemplo 1.1 ¿Que Fracción del volumen de un Iceberg se encuentra debajo del nivel del mar?

fS =

Vl ρ = l Vs ρ S

Sabiendo que la densidad del mar es: ρl= 1024 kg/m3 y la del iceberg es: ρl= 917 kg/m3, equivalente a la densidad del Hielo. La fracción de volumen sumergida es:

fS =

917 = 0,896 ⇒ 1024

f S ≅ 89,6%

De un iceberg sobresale del agua sólo una décima parte su volumen total, por lo que estas masas gélidas constituyen un peligro para la navegación, ya que pueden alcanzar dimensiones enormes.

Fig 1.7. Representación de un Iceberg mostrando su parte sumergida.

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Notas Biográficas: Arquímedes Nace Siracusa, actual Italia, en el 287 a.C. 212 a.C. Matemático griego. Hijo de un astrónomo, quien probablemente le introdujo en las matemáticas, Arquímedes estudió en Alejandría, donde tuvo como maestro a Conón de Samos y entró en contacto con Eratóstenes; a este último dedicó Arquímedes su Método, en el que expuso su genial aplicación de la mecánica a la geometría, en la que «pesaba» imaginariamente áreas y volúmenes desconocidos para determinar su valor. Regresó luego a Siracusa, donde se dedicó de lleno al trabajo científico. Narra la historia que en el siglo III a.c. el rey Hierón II tirano de Siracusa habría entregado a un joyero cierta cantidad de oro para hacer una corona. Corrieron rumores sobre a honestidad del orfebre, quién pudo usar para su provecho parte del oro y reemplazarlo por plata en la confección de la corona. ¿Cómo descubrir el supuesto hurto sin destruir la hermosa diadema llena de finos arabescos ? se preguntaba el Rey Hierón. Asi que decidió encargar del asunto al filósofo Arquímedes. Ya para entonces Arquímedes era bien conocido por su catálogo de figuras geométricas y por el invento de la polea. También su fama debida al descubrimiento de la palanca. Suya fue la frase “Dame un punto de apoyo y moveré el mundo” , la cual pronunció con motivo de una exhibición en el Puerto de Siracusa, en la cual pudo mover un barco el solo, usando una vara de casi media legua de largo. Además inventó el tornillo de agua, hoy conocido como tornillo de Arquímedes, suerte de manivela con alabes que permitía extraer agua de los pozos con el simple giro de la misma.

Pensaba sobre el particular, el físico Arquímedes, mientras tomaba una ducha en el baño público. Observó que el nivel de agua de la piscina subía mientras introducía su cuerpo en ella, dándose cuenta de la solución al problema de la corona real, salió gritando casi desnudo por las calles de Siracusa “Eureka! Eureka!” (Lo descubrí). En efecto, a posteriori de la anécdota, él observó que sumergiendo en agua una cantidad de oro, igual a la entregada por el soberano, se derramaba una cierta cantidad de líquido. Repitió el experimento con plata y con la corona. Al observar que la corona sumergida desplazaba más líquido que el oro y menos que la plata probó la deshonestidad del orfebre. No dice nada la historia sobre la suerte de este último. El principio descubierto por Arquímedes, y que hoy lleva su nombre, expresa que la fuerza con la cual un líquido empuja un cuerpo sumergido es igual al peso del líquido desplazado por el cuerpo. Es decir, Arquímedes notó que existe una fuerza, denominada empuje hidrostático, que obra sobre los cuerpos sumergidos en los fluidos, en dirección contraria al peso de ellos. La idea de Arquímedes está reflejada en una de las proposiciones iniciales de su obra Sobre los cuerpos flotantes, pionera de la hidrostática. Las leyes de la Mecánica de los fluidos y de los cuerpos no avanzaron más en el mediterráneo del siglo III a.c. debido a la desaparición física de Arquímedes y de sus discípulos, cuando los romanos le pasaron el arado a la ciudad. Arquímedes murió en el 212 a.c., cuando tenía 75 años, a manos de un soldado romano. La leyenda cuenta que estaba Arquímedes dibujando en el suelo de su patio, la pizarra de la época, signos y figuras cuando un inconsciente soldado pisoteó los cálculos. La repuesta al reclamo del anciano fue el acero de la espada. Que nos ha llegado por el mosaico romano hallado en Herculano que ilustra este apartado. La fama y admiración por el genio de Arquímedes era tal, que al enterarse de su muerte, el Cónsul Marcelo mandó a ejecutar al soldado insolente y ordenó enterrar al sabio con los miramientos que se tenían para los héroes, previamente Marcelo había ordenado pasar cuchillo a todos los habitantes excepto a Arquímedes. Sorprende que fuera el propio Arquímedes el que durante años le arrebato el triunfo a la flota romana de Marcelo, que sitiaba a la ciudad. Primero con la invención de la catapulta y luego con la discutida leyenda del incendio de las tirrenas romanas mediante enormes espejos cóncavos que concentraban la luz solar, como gigantescas lupas, sobre los barcos. La anécdota aquí narrada del principio de Arquímedes, es referida por el historiador antiguo, Plutarco, quien le atribuyó a Arquímedes una «inteligencia sobrehumana».

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8. Ecuación de Euler Considere un tubo de corriente compuesto por líneas de flujo. (Una línea de flujo es la representación visual de la velocidad de la partícula del fluido, de suerte tal que en cada línea circula una y solo una partícula de fluido). Tomemos una sección diferencial del tubo de corriente de largo dS y área dA. La presión que actúa sobre este diferencial es siempre perpendicular a la superficie de dicho diferencial. Recordemos que la fuerza está relacionada con la presión por medio de la ecuación:

F = P.dA

(1.14)

Donde F es la presión, P es la presión del fluido y dA es el diferencial de área de cada lado del tubo. Puesto que la presión actúa a lo largo del eje sˆ , usaremos la 2da. Ley de Newton siguiendo esa dirección y obtenemos:

m

dv ∂P = P.dA − ( P + dS ) dA − .m.g . cos θ dt ∂S

(1.15)

Si escribimos la masa en función de la densidad

m

dv ∂P = P.dA − ( P + dS ) dA − ρ .g.dA.dS . cos θ dt ∂S

(1.16)

Ahora, como v = v( S , t ) , tenemos que Fig. 1. 8 Diagrama de Fuerzas sobre un tubo de corrientes

dv ∂v ∂S ∂v ∂v ∂v = + = .v + . dt ∂S ∂t ∂t ∂S ∂t

Al sustituir este resultado en la ecuación (1.16) y expresar la masa en términos de la densidad tenemos:

(1.17)

ρ,

∂P  ∂v ∂v  dS .dA − ρ .g .dA.dS . cos θ +  = P.dA − P.dA − ∂S  ∂S ∂t 

ρ .dA.dS  v

De la figura 8, observamos que cos θ =

dZ , con lo cual: dS

dZ ∂P ∂P  ∂v ∂v  dS − ρ .g .dZ dS − ρ .g .dS . =− + =− ⇒ ρ .dS  v dS ∂S ∂S  ∂S ∂t  En esta última ecuación puede simplificarse el factor

v

(1.18)

ρ .dS ,

∂v ∂v 1 ∂P dZ + + + g. =0 ∂S ∂t ρ ∂S dS

(1.19)

y obtenemos la Ecuación de Euler:

(1.20)

Esta ecuación nos proporciona el movimiento de un fluido ideal e incompresible ( su densidad es constante en todos los elementos del fluido y en el tiempo) y la presión siempre es perpendicular a un elemento de superficie.

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Cuando el fluido es estacionario,

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∂v = 0 , tenemos la Ecuación de Euler para fluidos estacionarios ∂t ∂v 1 ∂P dZ v + + g. =0 (1.21) dS ∂S ρ ∂S

Ejemplo 2: Veamos el caso en que v=0, o sea, el fluido esta en reposo (fluido estático). Por ejemplo el fluido podría estar en un recipiente. La ecuación de Euler para fluidos estacionarios se convierte en

1

ρ

dP + g.dZ = 0

(1.22)

, multiplicando por dS e integramos esta última ecuación obtendremos la Ley de Pascal.

P2 − P1 = − ρ.g.(Z 2 − Z1 )

(1.23)

Hacemos P1 la presión en la superficie del fluido en reposo, y Z 2 − Z 1 = h

P = Patm − ρ .g .h

(1.24)

Donde la presión absoluta P es la suma de la presión atmosférica más la presión del fluido. Se suele emplear también la presión manométrica, definida como

∆P = ρ .g .h

(1.25)

donde ∆P = P2 − P1 . Resulta evidente de (1.24) que la presión sólo depende de la altura del fluido. Si v ≈ 0 y dZ ≈ 0 , o sea, el fluido es estático y no hay variación en la altura, la ecuación de Euler para fluidos estacionario se convierte simplemente en:

1 ∂P = 0 , lo que implica que la presión es constante en esa altura, P = cte. ρ ∂S

Esta última consecuencia de la Ecuación de Euler, da origen a lo que se conoce como: Principio de Pascal: Toda variación de presión en el seno de un fluido en reposo, se transmite de manera igual en todas las direcciones y obra perpendicularmente sobre las paredes del recipiente”. Ejemplo 1.2 Principio de los vasos comunicantes: Si se tienen dos o más recipientes comunicados y se vierte un líquido en uno de ellos en éste se distribuirá entre ambos de tal modo que, independientemente de sus capacidades, el nivel de líquido en uno y otro recipiente sea el mismo. Éste es el llamado principio de los vasos comunicantes, que es una consecuencia de la ecuación fundamental de la hidrostática. Si se toman dos puntos A y B situados en el mismo nivel, sus presiones hidrostáticas han de ser las mismas, es decir si

Fig. 1.9 Los Vasos Comunicantes y los acueductos son aplicaciones notables del Principio de Pascal

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P1 = P2 necesariamente las alturas y1 y y2 de las respectivas superficies libres han de ser idénticas. Si se emplean dos líquidos de diferentes, entonces las alturas serán inversamente proporcionales a las respectivas densidades. A partir de la medida de las alturas, la determinación experimental de la densidad relativa de un líquido respecto de otro y constituye, por tanto, un modo de medir densidades de líquidos no miscibles si la de uno de ellos es conocida. Ejemplo 1.3: La Prensa Hidráulica

El Principio y la Ley de Pascal explican el funcionamiento de una prensa hidráulica. Si la presión es constante, cuando se aplica una fuerza F1 sobre un área mayor S1 , se genera una presión P1 que está dada por F P1 = 1 S1 De la misma manera, la presión en el otro lado es: F P2 = 2 S2 Como el líquido está comunicado, y por el principio de Pascal, la presión en ambos lados es la misma, de modo que:

Fig. 1.10 La Prensa Hidráulica emplea la Ley de Pascal para levantar enormes pesos con pequeñas fuerzas aplicadas a grandes áreas

P1 = P2 ⇒ como F1 S1 = F2 , S2

F1 F2 = S1 S 2

(1.26)

si S1 >> S 2 obtendremos una fuerza mucho mayor aplicada en el área S 2

9. Ecuación de Bernoulli La ecuación de Euler (1.21) para fluidos estacionarios podemos escribirla como: 1 v.dv + dP + g.dZ = 0

ρ

Si la integramos obtenemos

(1.27)

v2 P + + g .Z = cte. Que conlleva a la ecuación de Bernoulli 2 ρ

ρ

v2 + P + g .ρ .Z = cte. 2

(1.28)

Donde, en modulo, la presión representa la energía por unidad de volumen Esta es una ley de conservación de energía. El primer término de la izquierda es la energía cinética (por unidad de volumen) y el tercer término de la izquierda, la energía potencial (por unidad de volumen). Cada uno de los términos indica las cantidades que pueden convertirse en forma directa para producir energía mecánica. Es importante recordar cuales son las condiciones sobre las que se basa la veracidad de esta relación: el flujo debe ser continuo, incompresible, no viscoso, isotérmico y no se realiza ninguna transferencia de calor ni se efectúa trabajo.

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Nótese que si además ocurre que Z=constante, entonces

ρ

2

2

v1 v + P1 + g.ρ .Z = ρ 2 + P2 + g.ρ .Z 2 2

v 2 v 2  ⇒ ρ  2 − 1  + (P2 − P1 ) = 0 2   2

 v2 ⇒ ∆P ≈ ∆ ρ  2

  

(1.29)

(1.30)

Si la presión P1 es mayor que P2, entonces la velocidad v1 es menor que v2. Ley de Bernoulli: En un fluido ideal incomprensible, sin fuentes ni sumidero, al aumentar la velocidad del fluido disminuye la presión

.Ejemplo 1.4 Ilustración de la Ley de Bernoulli Cuando acercamos una hoja de papel a nuestros labios tomándola por las esquinas de un borde y soplamos, la hoja se levanta debido a que el aire por encima tiene mayor velocidad y por lo tanto la presión es menor allí. El aire abajo tiene mayor presión y por lo tanto la hoja sube. Este mismo efecto se ve si se toma una hoja colocada en forma de túnel sobre una mesa y se sopla por dentro, entonces la presión en el interior del túnel disminuirá y la hoja será aplastada. Fig. 1.11 Experimentos para visualizar la Ley de Bernoulli con una hoja de papel.

Fig 1.12. El perfil aerodinámico de un ala, muestra como el fluido recorre mayor longitud encima de ella y menor por debajo, luego la velocidad del fluido es menor bajo el ala que sobre ella y en virtud de la Ley de Bernoulli hay una diferencia de presión positiva que empuja el ala hacia arriba.

Este es el principio de funcionamiento de un avión, la forma del ala es tal que el aire sobre el ala es acelerado creando una disminución de la presión y el aire por debajo del ala es frenado haciendo que la presión aumente, de esta manera el avión tiende a subir. Se crea una fuerza hacia arriba que si es suficientemente fuerte contrarresta la fuerza de gravedad, dejando que el ala quede suspendida en el aire. Ejemplo 1.5: rapidez del agua en el punto de derrame

Figura 1.13. Derrame de un tanque a través de un orificio.

Un tanque que contiene un liquido de densidad ρ tiene un orificio pequeño a un lado a una distancia y1 del fondo. El aire por encima del liquido se mantiene a una presión P. Determínese la rapidez con la cual sale el liquido por el orificio cuando el nivel del liquido esta a una distancia h arriba del orificio. Para este estudio, según la figura 11, P1=P2, a su vez se debe tomar en cuenta que la sección transversal del envase es muy grande en comparación al orificio de salida del agua, por lo que v2 es despreciable en comparación aV1, de modo que la ecuación 1.29, queda de la forma siguiente:

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1 2 Pa + ρv1 + ρgy1 = P + ρgy2 2

(1.31)

Despejando, se obtiene que:

v1 = ±

2( P − Pa )

ρ

+ 2 g ( y 2 − y1 )

(1.32) Este resultado permite concluir que la velocidad en el punto es grande por lo que la presión disminuye y el líquido sale. Suponiendo que las Presiones son iguales, es decir, que el envase este destapado:

v1 = 2 gh

(1.33) donde h=y2-y1 La ecuación 1.33, es conocida como la Ley de Torricelli,. Cuyo significado físico es que la velocidad de la emisión para un tanque abierto es igual a la adquirida por un cuerpo que cae libremente a través de una distancia vertical h.

Ejemplo: Tubo de Venturi: Como implicación directa de esta continuidad del caudal y la ecuación de Bernoulli tenemos un tubo de Venturi. Un tubo de Venturi es una cavidad de sección S1 por la que fluye un fluido y que en una parte se estrecha, teniendo ahora una sección S2V1. De la ecuación 1.29 tenemos:

1 2 1 2 P1 + ρv1 = P2 + ρv2 2 2

(1.34) Y a su vez se considera la ecuación de continuidad (1.8) :

A1v1 = A2v2 ⇒ v1 = Fig. 1.14. Tubo de Venturi.

A1 v2 A2

Sustituyendo en (1.34), se obtiene que:

v2 = ±

2A1

ρ

2

P1 − P2 A2 − A1 2

2

(1.35) El hecho de obtener soluciones positivas y negativas, con respecto a las velocidades; indica que el movimiento de las partículas es igual de derecha a izquierda, que de izquierda a derecha Si el tubo es horizontal entonces h1=h2, y con la condición anterior de las velocidades vemos que, necesariamente P1>P2. Es decir, un estrechamiento en un tubo horizontal implica que la presión estática del líquido disminuye en el estrechamiento. 10. La Turbulencia La turbulencia o flujo turbulento es un régimen de flujo caracterizado por baja difusión de momento, alta convección y cambios espaciotemporales rápidos de presión y velocidad. Los flujos no turbulentos son también llamados flujos laminares.

Figura 1.15 . Tipos de fluidos.

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Un flujo se puede caracterizar como laminar o turbulento observando el orden de magnitud del número de Reynolds. Siendo el número de Reynolds un número adimensional, su ecuación es:

RN =

ρvd η

(1.36)

Si el número de Reynolds es menor de 2000 el flujo será laminar y si es mayor de 3000 el flujo será turbulento, si se encuentra en medio se conoce como flujo transicional y su comportamiento no puede ser modelado.

Fig. 1.16. Chorro turbulento de agua

11. Experimentos demostrativos de Cátedra Se presenta un conjunto de experimentos demostrativos, en los cuales se verificaron conceptos básicos de hidrostática. En el primer experimento del vaso invertido se emplea para comprobar la interacción de la presión atmosférica con los cuerpos. En el segundo experimento se usa para observar como el principio de Pascal puede ocasionar cambios de volumen al haber variaciones en la presión de un gas confinado (aire). En el tercer experimento se construyó un Ludión a través del cual se observaron consecuencias directas del principio de Pascal y del principio de Arquímedes, y en los dos últimos experimento se ejemplifica el concepto de flotabilidad y empuje hidrostático en los peces. Experimento 1. Presión atmosférica y el vaso invertido que no se derrama. Para este experimento Se necesita de una botella vidrio con una boca preferiblemente ancha. Se llena de agua hasta la mitad preferiblemente, luego se coloca una hoja de papel de manera que cubra la abertura de la botella. Se coloca la mano sobre el papel para sostenerlo y se voltea la botella de manera que quede boca abajo. Se puede estudiar lo sucedido utilizando la ecuación de Euler para fluidos estacionarios

v Fig. 1.17 Se observa como el papel

queda adherido a la boca del tubo sin dejar caer el agua.

∂v 1 ∂P ∂Z + +g =0 ∂S ρ ∂S ∂S

(1.36)

Como además en este caso el fluido está en reposo, es decir, estático, v=0, la Ec. (1.36) se transforma en

1

ρ

dP + gdZ = 0

(1.37)

Multiplicando por dS e integrando esta última ecuación se obtiene la ley de Pascal

P2 − P1 = − ρg ( Z 2 − Z 1 ) = 0

(1.38)

Donde Z 2 − Z 1 = h , que es la longitud de la columna de agua, P2, es la presión que ejerce el aire atrapado dentro de la botella y P1 la presión atmosférica. Si además ∆P = P2 – P1, entonces

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∆P =

magua g A

(1.39)

Es decir que para que el agua no caiga la diferencia entre las presiones debe ser igual al peso del agua entre el área de la superficie. Si se introducen los valores correspondientes al experimento. magua = 0,25 Kg, g = 9,8 m/s2 y A = ̟. ( 2,2x10-2 m)2, se obtiene: ∆P = 1,61 kPa Se sabe que la presión atmosférica depende, entre muchos factores, de la altura. La presión atmosférica, a nivel del mar es, Po= 101 kPa. Sin embargo para las alturas consideradas en el experimento la variación de la presión por las alturas son muy pequeñas, es decir, ∆P ≈ 0 . La diferencia de presión tiene otra razón, y es que, al voltear el vaso, la hoja de papel, se “comba”, o dobla de manera imperceptible producto del peso del agua. Como el volumen aumenta, la presión dentro del vaso disminuye produciendo la variación de presión que se observa en (1.39). Igualmente cabe mencionar que el papel se adhiere al borde del vaso producto de la tensión superficial de la película de agua. Por esta razón para despegar el papel solo hay que aplicar una pequeña fuerza superior a la fuerza de la tensión superficial. Una variación del experimento es repetirlo pero con un recipiente tapado por la parte de arriba, intercambiando el envase por una botella plástica, a la que se ha removido el fondo, (figura 1.18), de manera que cuando se quite la tapa, la presión dentro del recipiente P2, sea aproximadamente igual a P1 y por lo tanto la variación de presión se aproxime a cero ∆P ≈ 0 , de tal manera que no se pueda compensar el peso del agua y por lo tanto esta caiga. Fig. 1.18 Variación del experimento usando una botella de tapa enroscable y sin fondo., observa como el papel queda adherido a la boca del tubo sin dejar caer el agua, al aflojar la tapa, el agua se vacia..

Experimento 2. La Ley de Pascal y la Vela Encendida. Se puede visualizar las consecuencias del principio de Pascal a través del siguiente experimento. Se coloca una vela encendida en un plato con agua. Luego se tapa la vela con un frasco, como puede observar en la figura 1.19. Si v≈0 y dZ≈0, es decir, el fluido es estático y no hay variación en la altura, la ecuación de Euler para fluidos estacionarios (Ec. 1.21) se convierte en

1 ∂P =0 ρ ∂S

Lo que implica que la presión es constante en esa altura, P=cte. Esta consecuencia de la ecuación de Euler, da origen a lo que se conoce como Principio de Pascal: Toda variación de presión en el seno de un fluido en reposo, se transmite de manera igual en todas las direcciones y obra perpendicularmente sobre las paredes del recipiente.

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Al pasar una determinado cantidad de tiempo la vela se apagará y el agua entrará en el frasco. Lo que ocurre es que la combustión de la vela es una reacción química que consume el oxígeno del aire produciendo CO2 y H2O, recordemos que el aire está compuesto por aproximadamente por 20% de oxígeno, y parte de este se transforma en luz y calor. Por lo tanto el número de moles dentro del frasco disminuye, igualmente producto de la combustión la temperatura dentro del frasco aumenta, la ecuación de los gases ideales PV = nRT relaciona la presión P y el volumen V , con el número de moles n. la temperatura T y la constante universal de los gases R. Cuando la temperatura se estabiliza, la presión dentro de la botella disminuye. Se sabe que el aire fuera de la botella ejerce constantemente una presión sobre el agua, que por la ley de Pascal se transmite hasta el interior de la botella. Entonces, como las presiones del agua y el aire son diferentes, el agua asciende hasta que hay un equilibrio entre las presiones, lo que a su vez produce una disminución del el volumen de aire dentro de la botella. En la figura 4 es posible apreciar la variación en el nivel de agua dentro del envase de vidrio.

Fig.1.19 Un recipiente con agua en cuyo centro se coloca una vela o cirio encendido. Al tapar la vela con un envase, el liquido penetra por completo dentro del envase, sobrepasando el nivel original del liquido.

Experimento 3. El Ludión y los Principios de Pascal y Arquímedes. Un cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza ocasionada por la presión hacia fuera del fluido, denominada empuje E. La observación de este hecho dio origen al denominado Principio de Arquímedes Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un líquido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen del líquido desplazado. La construcción de un ludión o “diablillo de Descartes” en honor a su inventor es muy sencilla. Se necesita de un tubo de ensayo (un gotero o una pajilla), el cual para experimentar el fenómeno puede llenarse de agua, de tal manera que aumente su peso ó como se realizó en este experimento enrollarle una pequeña cantidad de alambre. El tubo se lanza con la boca hacia abajo y sin tapa en una botella llena casi por completo de agua la cual debe taparse. Al lanzar el tubo, este debe flotar (figura 5) se debe observar entonces una pequeña columna de agua dentro del tubo.

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Fig. 1.20 El Ludión o diablillo de Descartes usado para ilustrar el Principio de Arquímedes

Mientras el tubo flota el peso del cuerpo es igual al empuje, es decir: E = P o equivalentemente ρ 0Vo = ρ cVc .Donde ρc es la densidad del cuerpo, y Vc su volumen. Entonces si se aprieta el tubo con las manos se puede observar como la columna de aire dentro del tubo disminuye y el tubo empieza a descender (figura 6), y cuando se deja de hacer el tubo sube nuevamente. Esto sucede debido a que cuando se ejerce una fuerza sobre la botella se genera una presión que por el principio de Pascal se transmite por todo el fluido. Entonces como resultado de esta presión la columna de aire dentro del tubo y el aire que se encuentra afuera se comprimen. Cuando la columna de aire dentro del tubo se comprime, el volumen de agua desplazado V0 también disminuye reduciendo por tanto el empuje, lo que a su vez ocasiona que se produzca una aceleración en dirección del peso. Cuando se deja de apretar la botella el aire recupera su volumen y el empuje su magnitud inicial. Experimento 4 Flotabilidad de los peces. Los peces, que necesitan aumentar su flotabilidad, lo han logran mediante el desarrollo de un órgano hidrostático, la vejiga natatoria. La vejiga natatoria es un saco de pared membranosa que se desarrolla a partir del tubo digestivo. En ella se acumula cierta cantidad de gases - oxígeno y nitrógeno - que compensan la tendencia a hundirse. El tamaño de la vejiga natatoria es variable en los peces. La norma general nos dice que en las especies marinas puede llegar a representar el 5% del peso del animal, mientras que en los de aguas continentales puede llegar hasta el 7%. Esto se debe a la composición química del agua (densidad). El agua salada es más densa que el agua dulce, de modo que las especies que viven en el mar no necesitan de un órgano de flotación “tan grande” como las de agua dulce. Su funcionamiento, es decir, los procesos fisiológicos para el mantenimiento de un determinado volumen de gas en el interior de la vejiga natatoria con sus paredes colapsables supone dos problemas básicos: (i)Segregar gas activamente en contra de un gradiente de presión parcial muy elevado, y (ii) Controlar rápida y eficazmente la presión interna de los gases para ajustar los cambios de densidad del animal asociados a una variación de la profundidad. Los peces son más densos que el agua, pero la mayoría posee en su cuerpo una pequeña bolsa que pueden inflar o vaciar. Si inflan su bolsa, suben hasta la superficie del agua; si la vacían, se hunden hasta el fondo o a la profundidad que deseen. Esta bolsa llamada vejiga natatoria permite al pez igualar su densidad con la del agua que le rodea.

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Pensamos que un pez se hunde por su peso, pero en realidad el peso es siempre el mismo, lo que consigue es variar su densidad cambiando su volumen, gracias a hinchar (aumenta de volumen) o deshinchar (disminuye de volumen) su vejiga natatoria actúa como órgano de flotación del pez. Se modela el fenómeno, con un pez artificial al que le incluyeron un globo (simulando la vejiga natatoria) con un tubo flexible en la boquilla, para poder inflarlo con una jeringa (el aire simula los gases que el pez extrae de su sangre), comprobamos cómo al soplar a través del tubo el pez asciende y cómo al desinflar el globo el pez se hunde. Fig. 1.21 Al soplar con la jeringa a través del tubo, llenamos de aire el globo que aumenta de volumen y viceversa. (El globo simula la vejiga natatoria). El aire que

introducimos al soplar simula los gases que el pez extrae de su sangre para llenar esta bolsa.

El pez experimental no siempre flota en la superficie del agua, este puede quedarse a diferentes alturas según llene total o parcialmente su vejiga (simulado en el prototipo con una jeringa) como se observa en la figura 1.22. Figura 1.22. Figura 1.22. experimental

Simulación Simulación de la experimental de los de peces. la flotabilidad flotabilidad de los con peces. Prototipo construido un Prototipo construido con un globo, bloques de sterofoam globo, bloques de sterofoam (anime) y tubos de latex (anime) y tubos de latex

Experimento 5: Flotabilidad y Densidad. Fig. 1.23 Es fácil ver que el empuje hidrostático aumenta con la densidad del fluido, para ello necesitaremos un frasco o envase de vidrio, sal de cocina y un huevo. Notamos como el huevo se hunde en el envase con agua, pero que flota si se añade la sal al envase.

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Fig. 1.24 Un ejemplo donde la tensión superficial permite la “flotación” por encima de la superficie es el caso de los insectos (Ejm. Hydrometra stagnorum) sobre el agua.

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Un aspecto, en ocasiones relacionado erróneamente a la flotabilidad, es la tensión superficial de los líquidos. La tensión superficial es responsable de la resistencia que un líquido presenta a la penetración de su superficie. Al interior de un fluido cada molécula esta rodeada de otras moléculas que ejercen atracciones simétricas, pero en la superficie, una molécula se encuentra sólo parcialmente rodeada por otras moléculas del fluido, y en consecuencia es atraída hacia adentro del líquido. Esta fuerza de atracción tiende a arrastrar a las moléculas de la superficie hacia el interior del líquido (tensión superficial), y al hacerlo el líquido se comporta como si estuviera rodeado por una membrana invisible. La tensión superficial también es responsable de la flotación de objetos sólidos por encima de la superficie de los líquidos, diferente a la flotación de cuerpos parcialmente sumergido.

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Clase II. FLUIDOS IDEALES: Ecuaciones de Continuidad, de Euler y de Bernoulli En esta clase volveremos a deducir las tres ecuaciones fundamentales de la Dinámica de los Fluidos, ya estudiadas en la clase anterior, las ecuaciones de Continuidad, de Euler y de Bernoulli, pero desde un formalismo más riguroso. La repetición de algunos conceptos y expresiones tiene la finalidad didáctica de reforzar el aprendizaje de estos. Se ilustran variadas situaciones de aplicabilidad en áreas muy diversas de la física y de la ingeniería. Un fluido es considerado como un medio continuo (a escala macroscópica), debido a la suposición de que cualquier elemento de volumen pequeño del fluido es sobradamente grande como para almacenar un número muy elevado de moléculas. Consideraremos primeramente fluidos ideales; es decir que verifican las siguientes propiedades (i) son no viscosos en el sentido de que se puede despreciar la perdida de energía por fricción entre las diversas partes del mismo; (ii) son estacionarios, de modo que la velocidad en un punto del mismo permanece constante en el tiempo; (iii) son incomprensibles, en el sentido que su densidad no varia en el tiempo y (iv) son irrotacionales en el sentido de ausencia de turbulencias, es decir ninguna parte del mismo presenta tiene momento angular respecto a otra parte del fluido.

2.1 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD Consideremos un tubo de corriente por el que circula un fluido estacionario (lo cual implica, una velocidad constante del mismo) con un volumen Vo del espacio (ilustrado en la Figura 1) que contiene →

partículas que viajan a la velocidad promedio v . La masa del fluido contenida en dicho volumen, está dada por la relación:

∫

m = ρdV Siendo ρ la densidad del fluido. De esta manera, la masa que circula por unidad de tiempo a través de un elemento dA de la superficie que limita a este volumen, está dada por la expresión: → dm = ρvd A (2.1) dt

∫

Figura 2.1. Tubo de corriente.

→

Siendo el módulo del vector d A igual al área del elemento superficial, y su dirección coincide con la normal a la misma (ilustrado en la Figura 2.2). A su vez, la disminución de la masa del fluido en el volumen Vo por unidad de tiempo (causada por el flujo emergente) se expresa mediante: ∂m ∂ =− ρdV (2.2) ∂t ∂t Igualando (2.1) y (2.2), se obtiene: → ∂ − ρdV = ρvd A (2.3) ∂t Al aplicar el teorema de la divergencia, la integral de superficie puede transformarse en una integral de volumen y en consecuencia: → → ∂ρ dV + ∇.( ρ v )dV = 0 (2.4) ∂t

∫

∫

∫

∫

∫

Como el elemento de volumen es genérico, la relación se cumple siempre que:

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∂ρ → → + ∇ .( ρ v ) = 0 ∂t →

(2.5)

→

Donde además j = ρ v se denomina flujo másico. Su dirección, es la dirección del movimiento del fluido mientras que su valor o módulo es igual a la masa del fluido que circula por unidad de tiempo a través de la unidad de área perpendicular a la velocidad. Esta es la Ecuación de Continuidad que expresa la conservación del flujo màsico de un fluido monocomponente, o equivalentemente: → → → → ∂ρ + ρ ∇ . v + v .∇ ρ = 0 ∂t

(2.6)

• Ejemplo 2.1 Cuando se abre poco a poco un grifo, se forma un pequeño chorro de agua, un hilo cuyo radio va disminuyendo con la distancia al grifo y que al final, se rompe formando gotas. La ecuación de continuidad nos proporciona la forma de la superficie del chorrito de agua que cae del grifo, tal como apreciamos en la figura. La sección trasversal del chorro de agua cuando sale del grifo es S0, y la velocidad del agua es v0. Debido a la acción de la gravedad la velocidad v del agua se incrementa. A una distancia h del grifo la velocidad es

v 2 = v 0 + 2 gh 2

(2.7)

Aplicando la ecuación de continuidad (2.5), con ρ constante (fluido incompresible), tenemos que →

→

∇ .( ρ v ) = 0 ⇒ s0 v0 = sv

π r0 2 v 0 = π r 2 v

(2.8) (2.9)

Despejamos el radio r del hilo de agua en función de la distancia h al grifo y sustituyendo la velocidad por medio de Ec. 2.7, tenemos Fig. 2.3 Adelgazamiento de un chorro de agua

r = r0 4

v0

2

v0 + 2gh 2

(2.10)

Numéricamente, conocido que el diámetro en el punto 2 (orificio de salida) es d 2 = ( 8,60 ± 0,05 )mm y además que se utilizan 2 litros de agua para llenar el recipiente y el tiempo de vaciado es t exp = ( 53,76 ± 0,01 )s ¿Cual es la rapidez de salida del flujo?. Solución: Utilizando la ecuación de continuidad A1 v1= A2 v2 , la cual expresa el cambio del volumen del fluido en el tiempo, por consiguiente la rapidez en el punto 2 se puede escribir V

como v2= A t siendo t y V el tiempo de vaciado y el volumen del fluido respectivamente. 2 Sustituyendo los datos obtenemos: v 2 =

2 10 −3 m 3 = 0,641m / s ( 53,76 s) ( 5,80 10 −5 m 2 )

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DEMOSTRACCIÓN EXPERIMENTAL DE LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD Utilizando el montaje de la figura 1, mediremos la rapidez v2 y v3 del fluido en los puntos 2 y 3 respectivamente, así como también el diámetro del fluido en dichos puntos. Como no hay dispositivos mecánicos entre las dos secciones de interés que pudiera agregar o eliminar flujo al sistema entonces el caudal total del fluido es constante. Por tratarse de agua, en condición ambiente, se satisface la condición de fluido incomprensible (densidad màsica constante). De la conservación de la energía mecánica en los puntos 1 y 2, tenemos:

mgh1 + 0 =

1 m(v 2 ) 2 + mgh2 ⇒ v 2 = 2g(h1 − h2 ) 2

Sustituyendo

los

datos,

obtenemos:

−2

v 2 = 2 9.80 m / s ( 30 − 28 ) 10 m = 0,63m / s 2

que es la rapidez a la altura h2 . El diámetro ( d2 ) es aproximadamente

d 2 = ( 8,60 ± 0,05 )mm , luego se calcula el área en ese punto : A2 = 5,80 10 −5 m 2 . Con el mismo procedimiento calculamos la rapidez en el punto 3 así como su área. Los resultados obtenidos fueron A3 = 1,77 ∗ 10 −5 m 2 .

v3= 2,17m/s

y

Figura 1. Montaje experimental.

La siguiente tabla muestra los valores obtenidos:

Punto

flujo

Área

Rapidez (m/s)

Diámetro (mm)

2

v2= 0,63

d 2 = ( 8,60 ± 0,05 )

A2 = 5,80

v 2 A2 = 3,65

3

v3= 2,17

d 3 = ( 4,75 ± 0,05 )

A3 = 1,77

v3 A3 = 3,84

Figura2. Fluido con trayectoria laminar.

( 10

−5

m2)

( 10

−5

m3 /s)

Figura3. Montaje experimental

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En general, si el fluido es incomprensible: ∂ρ ≅ 0 , la ecuación de continuidad, establece que ∂t

A1 v 1 = A 2 v 2

(2.11)

El producto del área y de la rapidez del fluido en todos los puntos a lo largo del tubo de corriente, es una constante para un fluido incompresible.

Figura 2.4 De acuerdo a la ecuación de continuidad: Se observa que al obstruir parcialmente el orificio de salida en una manguera, el chorro tiene un alcance mayor. Esto se debe al aumento de velocidad de líquido por la disminución del área transversal de la manguera.

2.2 ECUACIÓN DE EULER Consideremos un cierto volumen del fluido confinado en una línea de corriente. La fuerza total del sistema es: →

→

∫

F = − pd A

(2.12) Transformando esta expresión a una integral de volumen tenemos: →

→

− ∫ p d A = − ∫ ∇P dV V

(2.13) Entonces la fuerza nos quedaría: Figura 2.3. Sección diferencial del tubo de corriente

→

→

F = − ∫ ∇P dV V

(2.14) Consideremos la fuerza por unidad de volumen del fluido: →

→ dv ρ = −∇ P dt

(2.15)

→

dv La derivada que aparece aquí designa, no la variación respecto al tiempo de la velocidad del dt fluido en un punto fijo del espacio, sino la variación respecto al tiempo de la velocidad de una partícula fluida determinada cuando se mueve en el espacio. Esta es llamada la derivada material o total. Esta derivada ha de expresarse en función de magnitudes que se refiere a puntos fijos en el espacio. Existen dos métodos fundamentales para describir el movimiento de un fluido cualquiera, ambos desarrollados por Euler: el método o descripción de Euler y el método o descripción de Lagrange. En

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el método de Lagrange, el objetivo de estudio es el fluido en movimiento, más precisamente, las partículas materiales que constituyen uniformemente cualquier elemento del volumen del fluido en movimiento. Se realiza en función del movimiento de las partículas que forman el fluido. Necesita Identificar dichas partículas utilizando coordenadas de numeración. El método de Euler estudia las variaciones temporales de diferentes variables dinámicas en un punto fijo en el espacio. Consiste en el estudio del movimiento según las velocidades de los puntos que ocupa el fluido sin importar qué partículas están en cada instante en cada punto. No reconoce a las partículas individualmente. Las relaciones entre las derivadas en la descripción Euleriana y Lagrangeana, pueden ser obtenidas a través de la regla de la cadena: →

→

→

→

→

d v ∂ v dx ∂ v dy ∂ v dz ∂ v dt = + + + ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t dt dt

(2.16)

→

Donde ∂ v dt es la variación durante un intervalo diferencial de tiempo de la velocidad en un punto ∂t dt

→

→

→

fijo del espacio y ∂ v dx + ∂ v dy + ∂ v dz es la diferencia entre las velocidades (en el mismo instante) ∂x dt ∂y dt ∂z dt en dos puntos separados dr , siendo dr la distancia recorrida por la partícula de fluido durante el tiempo dt . En general la expresión anterior Ec 2.16 nos queda como: →

→

d ∂ → →  d v ∂ v → → → = +  v .∇  ⇒ = +  v .∇  v dt ∂t  dt ∂t   

(2.17)

El lado izquierdo de esta relación es denominada derivación convectiva, o por algunos autores también llamada derivada material, y expresa que la variación temporal de una magnitud esta afectada por el campo de velocidades del sistema en movimiento. Sustituyendo Ec. 2.17 en la Ec. (2.15) →

∂ v → → → 1→ +  v .∇  v = − ∇ P ∂t  ρ 

(2.18)

Si el fluido está en el interior de un campo gravitatorio sobre cualquier volumen unidad actúa una fuerza adicional ρg , siendo g la aceleración debida a la gravedad. Esta fuerza debe sumarse al segundo miembro de la ecuación (2.15):

ρ

r → r dv = − ∇ P + ρg dt

(2.19)

Entonces la Ec. 2.18 luce como: →

r 1→ ∂ v → →→ +  v .∇  v = − ∇ P + g ρ ∂t  

(2.20)

Esta es la ecuación de Euler del movimiento del fluido. Fue obtenida por Leonnard Euler en 1775 y es una de las ecuaciones fundamentales de la dinámica de fluidos.

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• Ejemplo 2.2: Fluido estacionario (Hidrostático) bajo la acción de la gravedad En el caso de un fluido estacionario υ=0 dentro de un campo gravitatorio uniforme, la ecuación de Euler ( Ec. 2.20) se reduce a:

∇ P = −ρ g

(2.21)

Esta ecuación describe el equilibrio mecánico del fluido. →

Si no existe ninguna fuerza externa, la ecuación de equilibrio es simplemente ∇ P = 0 , es decir, la presión es constante en todos los puntos del fluido. Si integramos la Ec. 2.21, tenemos que:

∂P = − ρg ⇒ dP = − ρgdz ⇒ ∂z

P = − ρgz + P0

(2.22)

Donde la constante de integración se obtuvo de las condiciones iniciales, y representa la presión a la cota z=0. La ecuación (2.22) es conocida como La Ley de Pascal. • Ejemplo 2.3: Fluido Estacionario sometido a Rotación Uniforme En este caso, el fluido está sometido a la acción de la fuerza de gravedad y una velocidad angular que le da una rotación uniforme. Por lo tanto el sistema de ecuaciones resultante de (2.20) es:

∂P = ρω 2 r ∂r

y

∂P = − ρg ∂z

(2.23) La presión diferencial será:

dP =

∂P ∂P dr + dz = ρω 2 rdr − ρgdz ∂r ∂z

(2.24) Que es integrada, luego de evaluar las condiciones iniciales como:

Figura 2.4 Fluido estacionario con rotación uniforme ω

P=

1

2

ρω 2 r 2 − ρg ( z − z 0 )

(2.25)

La condición P=0 expresa la ecuación de la superficie, así de la Ec. 2.25 obtenemos:

z=

1

ω2 2

g

r 2 + z0

(2.26)

Que corresponde a una superficie parabólica, independiente de la densidad del fluido. 2.3 Otras expresiones de la Ecuación de Euler Al deducir las ecuaciones del movimiento no hemos tenido en cuenta los procesos de disipación de energía que pueden producirse en un fluido en movimiento como consecuencia de la fricción o rozamiento interno (viscosidad) del fluido y el intercambio térmico entre las diferentes partes del mismo. Designando S la entropía por unidad de masa, podemos expresar la condición correspondiente el movimiento adiabático como: dS =0 (2.27) dt Donde la derivada total respecto al tiempo, designa la variación respecto al tiempo de la entropía para una partícula fluida determinada cuando esta se mueve. Dicha condición puede escribirse también como:

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∂S  → →  +  v . ∇  S = 0 (2.28) ∂t   Esta es la ecuación que de modo general describe el movimiento adiabático de un fluido ideal. También podemos escribir la ecuación de continuidad correspondiente a la entropía: → → ∂ (ρS ) + ∇ . ρS v  = 0 ∂t  

(2.29)

→

Donde el producto ρS v es la “densidad de flujo de entropía”.. Cuando S = ctte , se dice que presenta un movimiento isoentrópico. Podemos utilizar el hecho de que el movimiento sea isoentrópico para poner la ecuación de Euler (2.20) en una forma ligeramente distinta; para ello emplearemos la relación termodinámica de la entalpía: dw = TdS + Vdp (2.30) 1 es el volumen específico y T la Donde w es la entalpía por unidad de masa del fluido. V =

ρ

temperatura. Puesto que S es constante, tenemos:

dw = Vdp =

dp

(2.31)

ρ

Por lo tanto: →

∇w=

→

∇p

(2.32)

ρ

Luego, reemplazando en Ec. 2.20, podemos rescribirla como: →

→ ∂ v → →→ +  v .∇  v = − ∇ w ∂t  

(2.33)

Es interesante señalar otra forma que puede adquirir la ecuación de Euler, en la cual interviene solo la velocidad. Utilizando la siguiente propiedad: → v 2  → → →  → →  → ∇   = v × ∇× v +  v . ∇  v (2.34)  2       → →  → → v 2  → → → − v × ∇× v  v . ∇  v = ∇  2      Sustituyendo en (2.33): →

∂ v → v 2 +∇  2 ∂t 

 → → → →  − v × ∇× v = − ∇ w (2.35)   Si tomamos el rotacional de ambos miembros de la Ec 2.35, anulamos el lado derecho y obtenemos la Ecuación de Euler en el que interviene solo la velocidad: ∂  → → →  → → →  ∇× v  = ∇×  v × ∇× v  ∂t    

(2.36)

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• Ejemplo 2. 4: Modelo estelar simple En el caso de masas grandes de líquido o para un gas, la densidad ρ no se puede considerar constante, esto se aplica especialmente en los gases, como ejemplo la atmósfera. Suponemos que le fluido no solamente está en equilibrio mecánico, sino también en equilibrio térmico. Entonces la temperatura es la misma en todos sus puntos y la ecuación (2.36) puede integrarse utilizando la relación termodinámica: dΦ = − SdT + Vdp (2.37) Mejor conocido como potencial de Gibbs. Donde Φ es el potencial termodinámico por unidad de masa. Considérese también el Potencial termodinámico que induce un cambio de composición o de masa de un componente, en su función parcial de Gibbs. dG = − SdT + Vdp + µdN (2.38) .Donde µ es el potencial químico y N es el número de partículas A temperatura constante la Ec. 2.36 puede escribirse en términos del volumen específico V como:

dΦ = Vdp = →

1

ρ

→

dp ⇒ ∇ Φ =

1

ρ

→

→

∇.p

(2.39)

→

Como: ∇ Φ = g y asumiendo el eje z como radial, el vector g estará dirigido a lo largo del eje z negativo, por lo tanto: →

→

g = − ∇ (gz ) Así, la ecuación de Euler, demanda que:

(2.40)

→

∇ (Φ + gz ) = 0 De aquí resulta que en todo el fluido:

(2.41)

Φ + gz = Constante (2.42) gz es la energía potencial del fluido en el campo gravitatorio, recordando que antes se dijo que Φ es le potencial termodinámico por unidad de masa. Otra consecuencia de la ecuación (2.20), si un fluido (como la atmósfera) está en equilibrio mecánico dentro de un campo gravitatorio, la presión en el puede ser una función solo de la altura z (puesto que, si la presión fuese diferente en los distintos puntos con la misma altitud, no estaría en equilibrio). Así resulta a partir de (2.21) que la densidad es: 1 dp ρ=− (2.43) g dz Es también una función de z . La presión y la densidad juntas determinan la temperatura, pues es, por tanto, de nueva una función de z .Así pues, en el equilibrio mecánico dentro de un campo gravitatorio, las distribuciones de presión, densidad y temperatura dependen solo de la altura. Finalmente, deduciremos la ecuación de equilibrio para una masa muy grande de fluido, cuyas partes separadas se mantienen reunidas por la atracción gravitatoria. Sea Φ el potencial gravitatorio newtoniano del campo debido al fluido, este satisface la ecuación diferencial: ∇ 2φ = 4πGp

Figura 2.5 Nebulosa planetaria Abell 39. Los gases verifican la expresión 2.45.

(2.44) Donde G es la constante de la gravitación. La aceleración gravitatoria es ∇φ y la fuerza sobre una masa ρ es ρ∇φ . La condición del equilibrio es por lo tanto:

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1

ρ

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→

→

∇ p = − ∇φ ⇒

→ →  1 → → →  1 →   →  ∇ . ∇ p  = − ∇ . ∇ φ  ⇒ ∇ . ∇ p  = − ∇ 2 φ    ρ  ρ

(2.45)

Sustituyo la expresión del potencial en la última expresión, obtenemos que: →1 →  ∇ . ∇ p  = −4πρG (2.46) ρ  Que prescribe el comportamiento de una esfera gaseoso para un modelo estelar simple (con rotación despreciable). Si el cuerpo no está girando, será esférico cuando esté en equilibrio y las distribuciones de densidad y de presión tendrán simetría esférica, como se deduce al escribir la Ec. 2.46 en coordenadas esféricas: 1 d  r 2 dp  (2.47) = −4πρG r 2 dr  ρ dr  Debemos aclarar que el estudio actual se refiere solo al equilibrio mecánico, la ecuación (2.47) no supone la existencia de un equilibrio térmico completo. 2.4 ECUACIÓN DE BERNOULLI

Retomemos la Ecuación de Euler dependiente de la entalpía por unidad de masa (w) (Ec. 2.35): →

∂ v → v 2 +∇  2 ∂t 

 → → → →  − v × ∇× v = − ∇ w (2.48)   Si consideramos que el fluido es estacionario, es decir que la velocidad es constante en el tiempo en cada punto ocupado por el fluido, la Ec 2.35, se reduce a: → v 2 ∇  2

→  → → →  − v × ∇× v = − ∇ w 

(2.49)

Ahora consideremos las líneas de corriente, líneas de flujo imaginarias que siempre son paralelas a la dirección del flujo en cada punto, y en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria de las partículas individuales del fluido Estas líneas tienen la propiedad de que la tangente a ellas en cualquier punto indica la dirección de la velocidad en dicho punto; quedan determinadas, las relaciones diferenciales siguientes:

dl

Figura 2.6. Tubo de corriente, obsérvese que la velocidad es tangente a las líneas de corriente en cada punto

dx

νx

=

dy

νy

=

dz

νz

(2.50)

Por otra parte obsérvese la siguiente propiedad de las líneas de corriente:

[(∇r . f ). rˆ] rˆ = ∂∂fl rˆ

(2.51)

Que es fácilmente verificable si observamos que:

[(∇r . f ).rˆ] =  ∂∂fx xˆ + ∂∂fy yˆ + ∂∂fz zˆ (xˆ + yˆ + zˆ ) = ∂∂fl 



(2.52)

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Con el resultado anterior y considerando, en el segundo término de la Ec. 2.49, que el vector v × ∇ × v es un vector ortogonal a “l” y por lo tanto la proyección en la dirección de la línea de corriente es nula; nos quedaría la ecuación (2.35) como:

∂ 1 2   1 2  ν + w  = 0 ⇔  ν + w  = constante ∂l  2   2

(2.53)

Multiplicando por la densidad la última igualdad y usando la definición de entalpía específica (Ec. 2.30) tenemos:

1 p ρν 2 + ρ = constante 2 ρ

(2.54)

Considerando que el fluido tiene lugar en un campo gravitacional, la aceleración g debida a la gravedad sumarse al segundo miembro de la ecuación (2.54), multiplicar por la densidad y reemplazar como antes, la definición de entalpía especifica, en cuyo caso obtenemos:  p ∂ 1 (2.55)  ρν 2 + ρ + ρgz  = 0 ρ ∂l  2  Donde se ha empleado el hecho de que la proyección de g sobre l, es -g dz/dl; finalmente obtenemos

1 ρν 2 + p + ρgz = constante 2

(2.56)

Que es la conocida Ecuación de Bernoulli y expresa la conservación de energía por unidad de volumen de un fluido que se encuentre bajo un campo gravitatorio. Ley de Bernoulli la energía mecánica de un flujo incompresible y no viscoso es constante a lo largo de una línea de corriente. • Ejemplo 2.5: Efecto Sifón. Un sifón es un tubo continuo que permite trasvasijar líquidos, es decir, que un líquido pase de un depósito a otro, a través de un punto intermedio que sea más alto que el depósito con líquido. Es necesario que el extremo final del tubo sea más bajo que la superficie líquida en el depósito lleno. Básicamente es un tubo doblado que penetra una de sus extremidades (A) en el primer recipiente, quedando la otra libre o sumergida en el segundo recipiente (ver figura 2.7). Para que el aparato funcione es preciso cebarla, operación que consiste en llenarla del líquido en cuestión. Al introducir entonces una de las ramas (A), en el vaso más alto, y abrir los dos extremos (S), el líquido sale por B, siempre que esta extremidad esté más baja que el nivel del líquido en el recipiente superior. Figura 2.7: Efecto sifón

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•

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Visualización de la ecuación de Bernoulli Se dispone de dos banderines colocados paralelamente, al soplar en el espacio comprendido entre ellos se observa que se atraen.

Figura 2.8: Ejemplo de aplicación de la Ley de Bernoulli

•

Ejemplo 2.6 Obstrucción cardiaca de una arteria o una vena.

En la medicina es bastante común que las arterias o las venas se obstruyan; la respuesta más común a este fenómeno: al chocar con la obstrucción, la sangre se va a frenar y va a empezar a presionar hacia fuera porque quiere pasar. Por lo tanto la arteria se va a dilatar y se va a formar como un globo. Este razonamiento es muy intuitivo pero es físicamente incorrecto. Ocurre justo lo contrario: el caudal que manda el corazón es constante, este caudal no se frena por ningún motivo. Para poder pasar por la obstrucción lo que hace la sangre es aumentar su velocidad. (La velocidad aumenta porque el diámetro de la arteria disminuye). Entonces,… ¿qué es lo que pasa? De la Ecuación de Bernoulli se sabe que a Mayor velocidad tanto Menor Presión. Luego al aumentar la velocidad dentro de la arteria, la presión adentro tiene que disminuir. Pero afuera de la arteria la presión sigue siendo la misma. Entonces la presión de afuera le gana a la presión de adentro y la arteria se comprime. ¿Y qué pasa al comprimirse la arteria? La obstrucción se cierra más. Esto provoca un aumento de la velocidad dentro de la obstrucción, lo que a su vez obliga a la arteria a cerrarse más todavía. De esta manera, la arteria se va cerrando más y más hasta que sobreviene el colapso. Esto significa que la arteria tiende a cerrarse del todo e impide el pasaje de sangre. Esto es lo que ocurre cuando una persona tiene un ataque cardíaco, creo que también pasa en el cerebro y en otros lados. •

Ejemplo 2.7. Descarga (vaciado) de un Tanque

Se usa un sifón, de diámetro uniforme d, para drenar agua de un tanque. Suponga flujo estacionario. a. Encuentre una expresión para la descarga del volumen en el extremo del final del sifón. b. ¿Cuál es el límite en la altura H por encima del agua en la parte superior del sifón?. Suponga que la presión en el líquido, es siempre mayor o igual que la presión atmosférica para mantener el flujo continuo de agua?

Figura 2.9: Descarga de un tanque

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Solución a) Aplicando la ecuación de Bernoulli, podemos determinar la velocidad con que sale el líquido

P+

1 2 ρv + ρgy = ctte 2

(2.57) Asumimos que la presión en el líquido es igual a la presión atmosférica, como estamos trabajando con agua ρ = 1 kg/m3. y en la parte del estanque del agua debemos saber que esta en reposo, por lo tanto la velocidad es cero

gh =

1 2 v 2 ⇒ v = 2 gh 2

(2.58)

La ecuación anterior es conocida como ley de Torricelli. Esta es la expresión de la velocidad con que sale el agua del sifón. h es la distancia que va desde la parte de abajo del tubo hasta la superficie del agua. b.) La altura limite que debe tener el sifón, se deduce a partir de la ecuación de Bernoulli: 2

P vA v2 P + gh + atm = + gH + B 2 2 ρ ρ

(2.59)

Pero en este caso la velocidad vA en la superficie del fluido es cero, a demás h=0 ya que lo tomamos desde la superficie del fluido, y la presión PB tiende a cero, debido a que a medida que aumentamos la altura la presión va disminuyendo, por lo tanto este valor tiende a cero, así pues nos quedará: Patm

ρ

=

P v2 v2 + gH ⇒ H = atm − 2 ρg 2 g

(2.60)

Vemos que a medida que la velocidad del fluido aumenta la altura será menor, por lo tanto se puede maximizar la altura suponiendo que la velocidad del fluido en el sifón es muy lenta. Entonces quedara:

H=

Patm ρg

(2.61)

De este modo la altura límite del sifón depende de la densidad del fluido que contiene el sifón.

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Nota Biográfica: Leonhard Euler Nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza. Fue matemático y físico, y es considerado uno de los más grandes matemáticos de la historia. Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó importantes descubrimientos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos. También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática. Se le considera como el principal matemático del siglo XVIII y como uno de los más grandes de todos los tiempos. El más prolíficos, ya que sus obras completas reunidas pueden ocupar entre 60 y 80 volúmenes. Los trabajos científicos de Euler abarcan prácticamente todas las matemáticas contemporáneas a él. Aproximadamente el 40% de sus trabajos están dedicados a la matemática aplicada, la física, la mecánica, la hidromecánica, la teoría de la elasticidad, la balística, la construcción naval, la teoría de máquinas, la óptica y otras. En todas las ramas de las matemáticas hizo descubrimientos notables, que lo situaron en el primer lugar en el mundo.. Una afirmación atribuida a Pierre-Simon Laplace expresa la influencia de Euler en los matemáticos posteriores: «Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros.»

Euler, en 1730, ocupó la cátedra de filosofía natural, en vez de la sección de medicina. y se convirtió en el matemático más importante de la Academia a la edad de veintiséis años. Ese mismo año se casó con Mademoiselle Gsell, una dama suiza, hija de un pintor que había sido llevado a Rusia por Pedro el Grande y con tuvo trece hijos. La Academia de San Petersburgo había comenzado a publicar una revista de investigación, los Commentarri Academiae Scientiarum Imperiales Petropolitanae. Los editores no tenían por qué preocuparse de una eventual escasez de material que publicar en tanto la pluma de Euler permaneciese activa. El académico francés François Arago dijo que Euler podía calcular sin ningún esfuerzo aparente, exactamente igual que los hombres respiran y que las águilas se mantienen en el aire. En 1738, perdió su ojo derecho, durante la realización de un mapa geográfico de Rusia. Se cuenta que él mismo decía que su lápiz parecía sobrepasarlo en inteligencia, por la gran facilidad con que fluían sus memorias a lo largo de su vida, publicó más de 500 libros y artículos. Durante casi medio siglo después de su muerte continuaron apareciendo obras inéditas de Euler. Una lista bibliográfica de las obras conocidas de Euler, incluidas las póstumas, contiene 886 trabajos. A lo largo de su vida su investigación matemática vino a suponer una producción de unas 800 páginas anuales en promedio; ningún matemático ha superado jamás la producción de este hombre, al que Arago llamó "el Análisis Encarnado". En años sucesivos Euler presentó a menudo memorias a los concursos convocados por la Academia, y obtuvo doce veces el codiciado premio que se otorgaba bianualmente. En 1741 recibió una invitación de Federico el Grande para incorporarse a la Academia de Berlín, pasó veinticinco años en la corte, pero a lo largo de este período continuó recibiendo una pensión de Rusia, y envió numerosos artículos a la Academia de San Petersburgo. En Berlín, Euler intimó con M. de Maupertuis, presidente de la Academia, quien impresionó mucho a Euler con su principio favorito del mínimo esfuerzo. La estima en que se tenía a Euler, es que cuando el ejército ruso invadió Alemania en 1760 y saqueó una granja de su propiedad y el acto llegó a conocimiento del general, la pérdida fue inmediatamente remediada, y a ello se añadió un obsequio de cuatro mil florines, hecho por la emperatriz Isabel cuando se enteró del suceso. Regresó a Rusia en 1766, cuando supo que estaba perdiendo el ojo que le quedaba, y se preparó para la ceguera practicando en escribir con tiza en grandes caracteres en una pizarra preparada a propósito, y dictando a sus hijos. En 1771, sufrió una operación y volvió a ver durante unos días, pero el éxito de la operación duro poco, y Euler vivió los diecisiete últimos años de su vida en una ceguera total. Tragedia que no consiguió interrumpir sus investigaciones y publicaciones, que continuó al mismo ritmo hasta 1783, cuando murió mientras tomaba el té y jugaba con sus nietos, a la edad de setenta y seis años.

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Clase III. Teoría del transporte para sistemas de partículas clásicas. La ecuación de Boltzmann puede considerarse como uno de los monumentos sintetizadores de la física, equiparable a las ecuaciones de Maxwell o la formulación lagrangiana de la mecánica. Esta ecuación permite derivar las ecuaciones fundamentales de la dinámica de fluidos o ecuaciones hidrodinámicas, una de tales ecuaciones expresa la conservación de la masa o continuidad del fluido, otra describe la dinámica de éste y finalmente una que describe el flujo de energía; bajo consideraciones adicionales, a partir de éstas se pueden obtener las ecuaciones de Euler y Bernoulli ya estudiadas en las clases I y II. La derivación, comprensión y aplicación de éste formalismo es el objetivo fundamental de este curso. Con las ecuaciones a obtener se pueden estudiar una multitud de sistemas, como por ejemplo: gases de fotones, sistemas que se aproximan a gases de Lorentz, gases altamente ionizados (como los rayos), gases débilmente ionizados (como los encontrados en los anuncios de neón), transporte de electrones en semiconductores en una aproximación semi-clásica, entre otros. Primeramente se generalizan los conceptos ya estudiados de Presión y Flujo, destacando su carácter tensorial, luego usando el Teorema de Liouville se obtiene una derivación sencilla de la Ecuación de Boltzmann, y finalmente, partiendo del la simplificación de primer orden, donde se desprecian los términos colisionales en esta ecuación, se calculan los invariantes de orden cero, primero y segundo, que corresponden a las ecuaciones hidrostáticas de continuidad, de Euler y de Bernoulli respectivamente.

3.1 Valores Medios de Observables de los Fluidos Supóngase que las moléculas de un fluido están distribuidas en el espacio y se mueven a velocidades diferentes. Sea f una función de distribución que nos indique la probabilidad de que una partícula se encuentre en alguna determinada posición y con determinada velocidad, con lo cual Entonces el número de moléculas en el volumen elemental

r v

y

r r v + dv , es

dτ r

r r f = f (r , v , t ) .

con velocidades comprendidas entre

r r r r f (r , v , t )dτ r dτ v = f (r , v , t )dτ

(3.1)

Definimos el número n de moléculas o partículas por unidad de volumen, como

n = ∫ fdτ v

(3.2)

De esta ecuación podemos obtener la densidad de masa

ρ , dada por

ρ = mn = m ∫ fdτ v

(3.3)

v

Si tenemos una función F = F (v ) escalar de la velocidad v , entonces su promedio se calcula como

r

F =

∫

r

r f v dτ v

v

n

=

r f v dτ v

∫ v

∫

f dτ v

(3.4)

v

r
Ejemplo 3.1 Velocidad media v 0 . r En este caso la velocidad v 0 haría las veces de F , en la Ec3.4, por lo que obtenemos. r fv dτ v ∫ r r v0 = v = v n

(3.5)

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r

La velocidad de agitación o velocidad peculiar vt denota la velocidad macroscópica del fluido,

r

r

que intuitivamente es v = 0 , por lo que vt tendría la forma

r r r r r vt ≡ v − v = v − v0

r 1 r r vt = ∫ (v − v0 ) fdτ v nv r v0 r 1 r vt = ∫ v fdτ v − ∫ fdτ v n v nv

(3.6)

r

Nótese que el primer término del segundo miembro es v0

y la integral del segundo término

es igual a n , entonces de la ecuación 3.6 resulta que la velocidad media es nula:

r r r vt = v 0 − v 0 = 0

(3.7)

Consideremos ahora una superficie elemental dσ a través de la cual pueden pasar las partículas del fluido, como se muestra en la Figura 3.1. discurrirán fdτ v dτ r partículas cuando de dσ r r dτ r = (v ⋅ dσ )dt . Teniendo estas dos expresiones en cuenta, es claro r r r que pasaran f (v ⋅ dσ )dtdτ v moléculas con velocidades entre v y r r v + dv a través de la superficie dσ .

A

través

Sea F (v ) una función de la velocidad de una partícula al atravesar la

r

superficie elemental, luego F (v ) es “transportada” a través de dσ .

r

Figura 3.1. Superficie

r Definimos el vector flujo de transporte Φ (F ) como:

∫ Ff (v ⋅ d σ )d τ r

r r Φ (F ) ≡ n F v =

v

r

r d σ dt

v

dt

r r n F (v ⋅ d σ ) = r dσ

dσ

.

(3.8)

Si F tuviera carácter vectorial definimos el flujo será tensorial, es decir.

rr r r r Φ F ≡ n F ⋅v

( )

(3.9)

Donde las doble flechas sobre Φ , representa que es un tensor.

r

r


Ejemplo 3.2. Sea F = mv la cantidad de movimiento, calcular el tensor flujo de transporte. Entonces de la Ec 40, queda:

rr r rr r r r r Φ F = µ = n mv ⋅ v = nm v ⋅ v

( )

r

(3.10)

r

r

Usamos Ec 3.3 para reemplazar el factor “n.m” y v = vt + v 0 , luego la anterior igualdad Ec 3.10 se escribe como:

40

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rr

r r

rr

r

µ = ρ v ⋅ v = ρ (vt + v0 ) ⋅ (vt + v0 ) r

r

r

r

µ = ρ [ v 0 ⋅ v 0 + v 0 ⋅ v t + v 0 ⋅ v t + vt ⋅ v t r

r

r

r

r

]

r r

rr

r r r r r r r r µ = ρ [v0 ⋅ v0 + v 0 vt + v0 vt + vt ⋅ vt

]

(3.11)

Y por la Ec 3.7, la Ec 3.11 se reduce a.

rr

µ = ρ (v 0 ⋅ v 0 ) + ρ v t ⋅ v t r

r

r

r

(3.12)

El primer termino del segundo miembro esta asociado al flujo de materia. Obsérvese que cuando no

rr

r

r r

existe flujo de materia (aun cuando pv 0 = 0 ) se tendría Φ = ρ v ⋅ v ≠ 0 , la cual se conoce como

rr

tensor de presión P .

rr r r P = ρ v t ⋅ vt

(3.13)

rr r P = pδ

(3.14)

rr Cuando en un fluido no existan direcciones privilegiadas, el tensor de presión P coincide con la presión hidrostática, es decir

rr rr Recordando que el funcional traza de una matriz se define como Tr  F  = Fii , entonces la Ec. 3.14   implica que.

rr 2 Tr  P  = 3P = ρ vt  

(3.15)

r

r

Despejando de la anterior igualdad la presión P , y teniendo en cuenta v = vt , obtenemos

P=

1 ρ v2 3

(3.16)

Para un fluido en fase de gas ideal, se tiene

v 2 = v 2 x + v 2 y + v 2 z = 3v x2 = 3v 2

(3.17)

Entonces la Ec 3.16, para este sistema seria.

1  Nm  2 P=  v 3 V 

(3.18)

Empleando el teorema de equipartición de la energía (Ec 49)

1 1 mv 2 = K B T 2 2

(3.19) 2

y despejando de allí el cuadrado de la velocidad promedio v , la Ec 3.18, obtenemos la conocida ecuación de Estado del gas Ideal

P=

N K B T = nK B T V

(3.20)

41

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Obsérvese que N es el número de partículas del fluido, mientras que en la notación usada n es el número de partículas por unidad de volumen. Obviamente hay que emplear el número de Avogadro para expresar esta ecuación en términos del número de moléculas y de la Constante Universal de los gases. (Ejercicio)
Ejemplo 3.3: Flujo de energía cinética. La energía cinética es F =

1 2 mv y empleando la Ec 3.9 y la Ec 3.3, queda que el flujo es: 2 r r 1 Φ (F ) ≡ n mv 2 ⋅ v 2 r r 1 Φ (F ) ≡ nm v 2 ⋅ v 2 r r Φ (F ) ≡ ρ v 2 ⋅ v

r

r

r

r2

Y debido a que v = v 0 + vt entonces v queda como.

[

(3.21)

r r r r = v 02 + vt2 + v 0 ⋅ vt + vt ⋅ v0 por lo que la Ec 3.21

]

r r r r r 1 Φ (F ) = ρ v 02 + v t2 + 2(v 0 ⋅ v t ) (v 0 + vt ) 2 r r r r r r r r r r r 1 Φ (F ) = ρ v 02 v 0 + v 02 v t + v t2 v 0 + v t2 v t + 2 (v 0 ⋅ vt )v 0 + 2 (v 0 ⋅ v t )v t 2

[

[

r r r r r r r r r r r 1 Φ (F ) = ρ v02 v 0 + v 02 vt + vt2 v0 + vt2 vt + 2 (v 0 ⋅ vt )v 0 + 2 (v 0 ⋅ vt )vt 2 r Como vimos en la Ec. 3.7, los términos v t = 0 , entonces:

[

r r r r r r r r r r 1 Φ (F ) = ρ v 02 v 0 + v t2 v 0 + v t2 v t + 2 (v 0 ⋅ v t )v 0 + 2 (v 0 ⋅ v t )v t 2

[

r r r r r r r r r r 1 Φ (F ) = ρ v 02 v 0 + v t2 v 0 + v t2 v t + 2 v 0 (v 0 ⋅ v t ) + 2 (v 0 ⋅ v t )v t 2 r r r r r r r  r r r 1 Φ (F ) = ρ v 02 v 0 + v 0 v t2 + v t2 v t + 2 v 0  v 0 v t  + 2 (v 0 ⋅ v t v t  { 2 0  

[

r

2

El término v0 vt

rr vt vt =

rr P

ρ

]

]

] (3.22)

] (3.23)



)  

 nKT  (de la Ec 3.19 y la Ec 3.20) y el término  ρ

r 3

se puede remplazar por v 0 

es obvio en virtud de la Ec. 3.13, , entonces:

42

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

 ) = 1 ρ  v 02 vr 0 + vr 0  3 nKT 2   ρ   r 1 r 3 r Φ (F ) =  ρ v 02 v 0 + v 0 (nKT 2 2  r Φ (F

r  r Pr    r  + v t2 v t + 2  v 0 ⋅    ρ    

)+

rr r r 1 ρ v t2 v t +  v 0 ⋅ P  2 42 43 1

   

(3.24)

q

r r 3r r rr 1 Φ (F ) = ρv02 v0 + v0 (nKT ) +  v0 ⋅ P  + q   2 2

(3.25)

En el lado derecho de la Ec 3.25, el 1er término representa la energía cinética microscópica asociada al flujo de materia y el 2do la energía microscópica. El 3er término es la energía asociada al flujo de momentos y el 4to término definido como cantidad de calor, sobrevive, aun r cuando v 0 = 0 , es decir, permanece cuando el flujo de materia sea nulo. 3.2 Ecuación de Boltzmann Consideremos un fluido cuyas partículas están sometidas a una fuerza por unidad de masa, dada por Ec.3.26. Por fuerza exterior se entiende aquella que obra sobre un par de partículas interactuando. Para estudiar el sistema, tomemos en cuenta su representación en el espacio fase (no el de configuraciones) como se ilustra en Fig.3.2, nótese que aunque se considera generalmente momento en función

r r p k = mν k ,

de la posición, si entonces no existe inconveniente en escribir v vs. r (por la proporcionalidad entre el momento y la velocidad).

r r F a≡ m

(3.26) Figura 3.2 Representación en el Espacio de

En Fig.3.2 se muestra el sistema en una posición r y con Fases de la línea de corriente de un fluido velocidad v en un determinado instante t, considerando que no hay colisiones, luego de un tiempo dt el sistema es trasladado por una trayectoria fásica arbitraria, y ahora se encuentra en una posición r+vt desplazándose con una velocidad v+at , en un instante t+d. Recordemos sucintamente el Teorema de Liouville: el hipervolumen en el espacio fase permanece constante bajo transformaciones canónicas; en este caso la transformación canónica esta dada por la variación de r y v en el tiempo y como la cantidad de partículas de alguna forma define el volumen en este caso, entonces su número en las “celdas” 1 y 2 deben ser iguales, como se expresa en Ec.3.27,

r r r r r r f (r + ν dt ,ν + adt , t + dt )dτ r dτ ν = f (r ,ν , t )dτ r dτ ν

(3.27)

donde se ha denota los elementos de volumen en forma abreviada

dτ r = dxdydz

dτ ν = dν x dν y dν z

(3.28)

43

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Un caso más interesante de estudiar es suponiendo ahora un sistema menos pasivo: hay colisiones; si ahora se considera esto, se deben añadir al balance precedente, el número de partículas (por unidad de volumen

dτ r dτ ν

dt ) que van entrando y el número correspondiente a aquellas + conforma la celda 2, sean estas cantidades denotadas por Γ y

y unidad de tiempo

que van saliendo hasta que se

Γ − respectivamente. Así la Ec.3.25 se escribe como:

(

)

r r r r r r f (r + ν dt,ν + adt, t + dt )dτ r dτν = f (r ,ν , t )dτ r dτν + Γ + − Γ− dτ r dτν dt

(3.28)

Se realiza la expansión en serie de Taylor del primer miembro en Ec.3.28. La formula de Taylor para la expansión en primer orden de una función escalar de variable vectorial, esta dada.

r r r r r r f ( x + x0 ) ≈ f ( x0 ) + ∇f ( x0 ) ⋅ x

(3.29) En este caso la función a la que se le va a realizar la expansión en serie de Taylor, depende de 7 variables: 3 de posición, 3 de velocidad y una de tiempo. Al emplear Ec.3.29 en la Ec. 3.38 se obtiene:

r r r r r r r r ∂f r r r r r r rr f (r +νdt,ν + adt,t + dt) ≈ f (r,ν ,t ) + ∇f (r ,ν ,t ) ⋅νdt + ∇vr f (r,ν ,t ) ⋅ adt + (r ,ν ,t )dt ∂t

(3.30)

donde el subíndice en el operador gradiente en el tercer término del segundo miembro indica que las

r

derivadas se realizan con respecto a la velocidad obtiene:

ν

. Al introducir Ec.3.30 en Ec.3.28 y simplificar se

∂f r r r r + ν ⋅ ∇f + a ⋅ ∇ν f = Γ + − Γ − ∂t

(3.31) Los términos en el segundo miembro son denominados términos colisionales y la ecuación 3.31 es conocida como Ecuación de Boltzmann, la cual se obtiene del balance de la función de distribución de

f

probabilidad en dos instantes distintos en el espacio fase, esta ecuación da la distribución de probabilidad de las partículas señalando la ubicación y la velocidad más probable del sistema en el espacio físico. Si se explicitan los términos colisionales (segundo miembro en Ec.3.31) se obtiene una ecuación integro-diferencial (del tipo Volterra) cuya solución, provee la función de distribución ( f ) y en consecuencia, todas las magnitudes macroscópicas y flujos de transporte. Ludwin Boltzmann (18841947) intentó, sin éxito, una solución. S. Chapman (1888-1970) y D. Enskog (1884-1947) lograron su integración en el caso de gases clásicos diluidos en condiciones de cuasi equilibrio. La ecuación de Boltzmann, había sido formulada primero por Maxwell en 1867 para describir el flujo de moléculas, momentum y energía de un gas. Esta fue reformulada por Boltzmann en 1872 en términos de una función de distribución de velocidad, cabe destacar que este no logró una solución, y esta ecuación es conocida también como ecuación de Maxwell – Boltzmann. En 1911 Enskog predijo que si una mezcla de dos gases esta sujeta a una diferencia de temperatura, el gas con la mayor concentración de moléculas estará a la temperatura más baja. S. Chapman predijo de forma independiente éste resultado, pero su teoría fue puesta en duda hasta que el químico F. W. Dootson realizó los experimentos pertinentes.

44

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

D. Hilbert publicó un nuevo enfoque para la ecuación de Boltzmann en 1912 el cual fue empleado por D. Enskog, realizando una expansión en serie de la función de distribución, trabajo que presentó para su disertación doctoral en 1917. Los resultados de Enskog se obtienen suponiendo las moléculas interactuantes como esferas macizas. El método de Chapman-Enskog para la solución de las ecuaciones cinéticas (tal como la de Boltzmann), se basa en una expansión en gradientes de las desviaciones del campo hidrodinámico desde un estado de referencia uniforme, esto es denominado método perturbativo. La distribución de orden cero es la distribución de equilibrio local, en la expansión en primer orden el campo es dominado por la ecuación de Euler; en el segundo orden el campo hidrodinámico es gobernado por la ecuación de Navier-Stokes y en tercer orden por la ecuación de Burnett.

Nota Biográfica: Ludwig Boltzmann Fue un físico austriaco pionero de la mecánica estadística. Nacido en Viena, un 20 de febrero de 1844, dentro de una familia acomodada, Boltzmann cursó estudios medios en Linz, doctorándose en la Universidad de Viena en 1866. Al año siguiente trabajaría como ayudante de Josef Stefan. Profesor de física en Graz en 1869, aunque cuatro años después aceptaría un puesto de profesor de matemáticas en Viena. Regresaría, sin embargo, a Graz como catedrático en 1876. Por aquella época ya era conocido por la comunidad científica, por su desarrollo de la estadística de Maxwell-Boltzmann para las velocidades de las moléculas de un gas en 1871. En 1894 retomó su puesto, esta vez como profesor de física teórica, en la Universidad de Viena tras la muerte de Joseph Stefan. Al año siguiente, Ernst Mach obtuvo la cátedra de historia y filosofía de las ciencias. Mach era uno de los más claros opositores al trabajo de Boltzmann. En 1900, debido a su descontento con Mach, Boltzmann se trasladó a Leipzig donde conoció a Wilhelm Ostwald. Mach dejó la Universidad de Viena en 1901 por motivos de salud, lo que permitió a Boltzmann volver al año siguiente. En esta ocasión, además de recuperar su cátedra de física, obtuvo la cátedra de Mach de historia y filosofía de las ciencias.

La dura oposición a su trabajo, la hipótesis de la existencia de átomos que todavía no estaba demostrada completamente, con Ostwald como cabeza , pudo haber causado trastornos psíquicos que le llevaría al suicidio por ahorcamiento, en 1906 durante unas vacaciones en Duino, cerca de Trieste. El motivo que le llevó al suicidio permanece poco claro, pero pudo haber estado relacionado con su resentimiento al ser rechazado, por la comunidad científica de entonces, su tesis sobre la realidad del átomo y las moléculas una creencia compartida, sin embargo, por Maxwell en Inglaterra y Gibbs en Estados Unidos; y por la mayoría de los químicos desde los descubrimientos de John Dalton en 1808. Sólo unos años después de su muerte, los trabajos de Jean Perprin sobre las suspensiones coloidales (1908-1909) confirmaron los valores del número de Avogadro y la constante de Boltzmann, convenciendo a la comunidad científica de la existencia de los átomos. El epitafio de su tumba en Viena, tiene escrita su genial definición de la Entropía S=KB ln Ω.

45

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

3.3 Invariantes de orden: 0, 1 y 2. Ecuaciones hidrodinámicas.

f

ni los términos colisionales podemos “extraer” conclusiones relevantes. Si hay Aun sin explicitar mezclas de componentes habrán i ecuaciones de Boltzmann (una por cada tipo de partícula), que se pueden escribir cada una en la forma de la Ec.3.32.

(

∂f i r r r r + − + ν i ⋅ ∇f i + ai ⋅ ∇ν f i = ∑ Γij − Γij ∂t j i

) (3.32)

El segundo miembro representa las interacciones microscópicas, es decir la interacción de todas las partículas entrantes y salientes con la i-ésima partícula, el cual es difícil de determinar. Sea Fi algún invariante colisional (se conserva en las colisiones), si en la ecuación de Boltzmann Ec.3.32 realizamos los siguientes pasos: i. Multiplicar por Fi y por dτυ ii. Integrar sobre todas las velocidades iii. Sumar sobre todos los tipos de partículas. Al realizar el procedimiento expuesto anteriormente se obtiene que el término colisional es nulo:

∑ ∫ ∑ (Γ i

r

ν

+ ij

− Γij− )Fi dτ ν = 0

j

(3.33)

Pues representan la variación total de Fi debido a todas las colisiones de partículas con cualquier velocidad en el tiempo dt. La investigación de la ecuación de Boltzmann para diversos sistemas es un tema de investigación relevante, por ejemplo se podría determinar Ec.3.33 y resolver las ecuaciones Ec.3.32 para una mezcla petróleo-gas, lo cual es, esta demás decirlo, una ardua labor. Se estudiaran ahora tres casos particulares aplicados a la ecuación de Boltzmann: i. El invariante de orden 0 dado que permite deducir la ecuación de continuidad

Fi = mi vi0 = mi

ii.

(3.34) El invariante de orden 1 permite obtener la ecuación de movimiento y bajo ciertas condiciones se obtiene la ecuación de Euler.

Fi = mi vi

iii.

(3.35) El invariante de orden 2 dado por Ec.11, que permite obtener la ecuación de flujo energético que es una generalización de la ecuación de Bernoulli.

1 Fi = mi vi2 2

(3.36) De los tres casos anteriores se puede obtener información sobre: la densidad de masa, las velocidades medias de las partículas y la temperatura, además de obtenerse las ecuaciones hidrodinámicas. Podríamos realizar la siguiente pregunta: ¿Qué significado tienen los invariantes de orden mayor que 2? Ocurre como con la posición de una partícula, cuya variación con respecto al tiempo da la velocidad, la variación de esta con respecto al tiempo da la aceleración, pero ¿qué significado físico tiene la tercera derivada de la posición? Esta pregunta y la primera son análogas, entonces de manera filosófica: ¿pareciera que la naturaleza solo trabaja hasta el orden 2?

46

N. Falcón

3.4

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

El invariante de orden 0 en la ecuación de Boltzmann:

En Ec.3.32, se multiplica por la i-ésima masa y por el elemento diferencial de volumen en el espacio de velocidades

dτ ν = dν x dν y dν z

∫ mi r

νi

, y luego se integra sobre toda las velocidades para obtener:

∂f i r r r r dτ ν i + ∫ miν i ⋅ ∇f i dτ ν i + ∫ mi a i ⋅ ∇ν i f i dτ ν i = ∫ m i ∑ Γij+ − Γij− dτ ν i r ∂t j νi νi vi

(

)

(3.37)

El subíndice en el símbolo de la integral, en la ecuación precedente Ec.3.37, indica que se esta integrando sobre todas las componentes de la velocidad de la i-ésima partícula; el subíndice en el operador gradiente del tercer término del primer miembro indica que este se escribe como:.

r ∂ ∂ ∂ ∇v = eˆ1 + eˆ2 + eˆ3 ∂v1i ∂v2 i ∂v3i i

(3.38) donde υji denotan la j-ésima componente de la velocidad de la i-ésima partícula y los ei a los elementos de la base del espacio vectorial. El primer término del primer miembro se puede escribir como en Ec.3.40, empleando la regla de Leibniz de derivación bajo el signo de la integral y recordando que, como vimos en la sección 3.1, el número de moléculas o partículas por unidad de volumen esta dada en Ec.3.39.

r r

η = ∫ f (r ,ν , t )dτ v r

ν

∫m ν r

i

i

(3.39)

∂f i ∂η dτ ν = mi i ∂t ∂t i

(3.40)

El segundo término del primer miembro en Ec.3.37 se puede escribir como en Ec.3.42 recordando, como se indicó en la sección 3.1, que la velocidad media esta dada por. r v fdτ νr r ∫vr v = η (3.41)

r r r r m f d m ν ⋅ ∇ τ = ∇ ⋅ (ηi ν i i ∫ i i i ν

νi

i

)

(3.42) Nótese que en Ec.3.42 el símbolo de gradiente se puede “extraer” de la integral ya que este operador es de posición, y por lo tanto no depende explícitamente de las velocidades, a diferencia del escrito en Ec.3.38 Para rescribir el tercer término del primer miembro en Ec.3.37, primero se expande el producto escalar allí mostrado para escribirse como:

r r

∫ν ma ⋅ ∇ i i

i

  ∂f ∂f ∂f f dτνi = mi  ∫ ∫ ∫ a1i i dν1idν2idν3i + ∫ ∫ ∫ a2i i dν1idν2idν3i + ∫ ∫ ∫ a3i i dν1idν2idν3i  ∂ν2i ∂ν3i v1iν21ν3i ∂ν1i  v1iν 21ν3i v1iν 21ν3i

vi i

a ji =

(3.43)

dν ji

dt , pero si las aceleraciones no dependen explícitamente de las velocidades, se Como pueden extraer de Ec.18, y ésta se escribe como en Ec.19.

47

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

  ∂fi ∂fi r r ∂fi ⋅ ∇ = + m a f d τ m a d ν d ν d ν . a d ν d ν d ν a d ν d ν d ν +   i i v i i i i i i i i i i i ν 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 i 2 i 3 i ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∂ν2i ∫ ∫ ∫ ∂ν3i i i v1iν21ν3i νi v1iν21ν3i  v1iν21ν3i ∂ν1i 

(

)

(3.43)

Si empleamos el teorema de Fubini, la Ec. 3.43 se puede escribir en la forma de la Ec.3.44.

 r r ∞ ∞ ∞ m a ⋅ ∇ f d τ = m ∫ν i i vi i ν i i a1i v∫ ν∫ [ f i ]−∞ dν 2i dν 3i +a2i v∫ ν∫ [ f i ]−∞ dν 1i dν 3i + a3i v∫ ν∫ [ f i ]−∞ dν 1i dν 2i i 1i 3i 1i 2 i  2 i 3i

(

)

  

(3.44)

f

Si se considera que i debe anularse en el infinito, (además cabe destacar que esta función sobre todo el rango de velocidades, posiciones y tiempo, en el espacio fase, debería ser acotada, es una función de distribución de probabilidad), entonces el tercer término del primer miembro en Ec.3.37 es cero. Ahora Ec.3.37 se rescribe, para el i-ésimo componente, como:

∂η i r r + ∇ ⋅ (η i v i ∂t

) = ∫ m ∑ (Γ r vi

+ ij

i

− Γij− )dτ ν

j

r

ν

i

r =ν 0 + V r

(3.45)

Como la velocidad media de la i-ésima partícula esta dada por i , si se multiplica por la i-ésima masa y se suma sobre todas estas, la Ec.3.37, se rescribe como en Ec.3.46, considerando aquí que el promedio de la velocidad peculiar es cero

r V =0

.

∂  r  r  ∑ miη i  + ∇ ⋅  ∑ miη i ν 0 = ∑ ∫ m i ∑ Γij+ − Γij− dτ ν i ∂t  i i vri j   i 

(

)

(3.46)

El segundo miembro de Ec.3.46 es nulo en virtud de la Ec.3.33.

Recordando que la densidad de masa del sistema de partículas se escribe como en la Ec. 3.3

ρ = ∑ miηi i

Entonces la Ec. 3.45 se rescribe como la ya conocida ecuación de continuidad de la mezcla.

r ∂ρ r + ∇ ⋅ ( ρν 0 ) = 0 ∂t

(3.47)

48

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

3.5 El invariante de primer orden en la ecuación de Boltzmann: Análogamente al procedimiento empleado al comienzo de la deducción de Ec.3.47 se parte de Ec.3.32, pero esta vez se multiplica toda la expresión por el invariante de momentum o de primer orden (Ec.3.35), con lo que se obtiene

(

)

(

)

r r r r rr r r ∂fi + − m v d τ + m ν ν ⋅ ∇ f d τ + m ν i i ν i i i i ν i ∫νr ∂t i ν∫ ∫ν i ai ⋅ ∇vi fi dτνi = v∫r miνi ∑j Γij − Γij dτνi i i i i i

(

)

(3.48)

El primer término del primer miembro en se puede escribir como en Ec.3.49 considerando que

r

r

r

ν i =ν 0 + V

junto con Ec.3.41.

(

r r ∂f i r ∂ r ∂ = = m + ν d τ m v f d τ m η ν V ∫ i i ∂t ν i ∂t ν∫ i i ν i ∂t i 0 ν

)

(3.49)

El segundo término del primer miembro en Ec3.48, se puede simplificar considerando nuevamente Ec. 3.41

(

r r

r

)

)([

(r

r r

r

)

r

]

r r

r

rr

r

rr

r rr

r

∫ν i ν i ⋅ ∇f i dτ ν = ∫ ν 0 + V ν 0 + V ⋅ ∇f i dτ ν = ν 0 ∫ν 0 ∇f i dτ ν + ν 0 ∫ V∇f i dτ ν + ∫ V∇f i dτ νν 0 + ∫ VV∇f i dτ ν

ν

ν

ν

Introduciendo aquí el tensor presión (Ec. 3.13)

(

r

r r

)

r

ν

se obtiene:

r

r

r

r

) r] r

∫ν i ν i ⋅ ∇f i dτ ν = ∇ η i mi ν 0ν 0 + ν 0 V +ν 0 V . + ℘

ν

ν

(3.50)

rr rr ℘ = ρ VV

[ (r r

ν

(3.51)

Sustituyendo las ecuaciones 3.49 y 3.51 en la expresión Ec. 3.48, después de haber realizado la suma sobre todos los componentes del fluido y considerando que el termino colisional es nulo (Ec.3.33) obtenemos:

(

)

rr r ∂ (ρνr0 ) + ∇ ρνr0νr0 + ℘ − ∑ miη i ari = 0 ∂t i

(3.52)

r

ν por 0

Multipliquemos la ecuación de continuidad (Ec. 3.47) y sustraerla de la Ec.3.52, aplicando correctamente la regla de la derivada de un producto de funciones (extrapolándose al operador gradiente), se obtiene

r r rr ∂ν 0 r r r r ρ + ρν 0 ∇ ⋅ ν 0 + ∇℘ − ∑ m iη i a i = 0 ∂t i

(3.53)

es la ecuación de movimiento de cada componente (equivalente a la Ecuación de Euler estudiada anteriormente). El segundo término de Ec.31 es un término inercial, es decir, que solo es observable por el observador fijo; el tercer término da las fuerzas de gradiente y las de viscosidad y el último término representa las fuerzas externas, incluidas las de carácter macroscópico, originadas por el movimiento de las partículas del fluido.

49

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

3.6 El invariante de segundo orden en la ecuación de Boltzmann: Análogamente a los casos precedentes con los invariantes de orden 0 y 1, se parte de Ec.3.47, se multiplica toda la ecuación por el invariante de segundo orden dado por Ec.3.36, se integra sobre todas las velocidades y se obtiene:

∫ r

1 2

miν i2

ν

(

)

(

)

∂f i r r r r dτ ν + ∫ 12 miν i2 ν i ⋅ ∇f i dτ ν + ∫ 12 miν i2 ai ⋅ ∇νr f i dτ ν = ∫ 12 miν i2 ∑ Γij+ − Γij− dτ ν r r ∂t j ν ν ν

(

)

Se rescribirá el primer término del primer miembro de Ec.3.54, empleando el hecho de que la Ec. 3.41

∫ ν

1 2

(

)(

)

r r r ∂f r ∂ m i ν 0 + V ⋅ ν 0 + V i dτ ν = ∂t ∂t

[ mην 1 2

i

i

2 0

+ 12 miη i V 2

]

(3.54)

r V =0

y

(3.55)

Si ahora se suma sobre todas las partículas, se emplea la ecuación de continuidad y la densidad mediante las relaciones Ec.3.3 y Ec.3.47, se obtiene (ejercicio)

∑∫ i

1 2

miν i2

ν

∂f i ∂ dτ ν = ∂t ∂t

(

1 2

ρν 02 + 32 ηk B T )

(3.56)

Donde se ha usado a partir del teorema de equipartición de la energía la relación:

V2 =

3η k BT

(3.57)

ρ

El segundo término de Ec.3.54, después de haber sumado sobre todos los componentes del fluido, esta relacionada con Ec.3.25 la cual se obtuvo en la sección III.1I, esta ecuación da el flujo de energía cinética.

rr rr r r r r Φ = 12 ρν 02ν 0 + ℘ ⋅ ν 0 + ( 32 kT )ην 0 + q

(3.25) El primer término del segundo miembro de Ec.3.58 es la enérgica cinética macroscópica asociada al flujo de materia, el segundo término del segundo miembro es la energía asociada al flujo de momentum, el tercer término es la energía cinética microscópica asociada al flujo de materia y el

r

último termino sobrevive aun cuando la enérgica media flujo de materia sea nulo).

ν0

sea igual a cero (es decir aun cuando el

Empleando Ec.3.25, podemos reescribir el segundo término del lado izquierdo de la Ec.3.54, como:

∑∫

1 2

(

)

r r r r rr r r r miν i2 ν i ⋅ ∇f i dτ ν = ∇ 12 ρν 02ν 0 +℘ ⋅ν 0 + 32 k B Tην 0 + q )

i ν

(

(3.58)

Usando las ecuaciones Ec.3.56 y Ec.3.48, y el hecho de que el termino colisional es nulo (Ec.3.33), en la Ec. 3.54 la ecuación del flujo de energía se escribe como.

∂ ∂t

( ηkT + 3 2

1 2

(

rr r

(

)

ρν 02 ) + ∇ q + ℘⋅ν 0 + 32 ηk B Tν 0 + 12 ρν 02ν 0 ) − ∑ miη i ai ν 0 + V = 0 r r

r

r

r r

r

(3.59)

i

50

N. Falcón

Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

Obsérvese que esta es la versión hidrodinámica de la ecuación de conservación de la energía y por lo tanto la generalización de la ecuación de Bernoulli, esta ecuación también se puede en la forma compacta 3 2

(rr r r )

ηk ( 32 ηk B T + 12 ρν 02 ) + ∇q + Tr ℘∇ν 0 − ∑ miη i ai V = 0 rr

r r

(3.60)

i

donde Tr denota la traza. Hasta ahora hemos supuesto que las aceleraciones de cada especie de partículas no dependen de las

r

velocidades. Eso no es cierto para las fuerzas de Lorentz F

(

r r r = q E +ν × B

), para el caso de plasmas

habrá que considerar esa posibilidad y replantear las deducciones precedentes. 3.7 Tratamiento general de las propiedades de transporte El tratamiento más general y riguroso de las propiedades de transporte de carga o de energía se aborda a través de la ecuación de Bolztmann Presentaremos una versión simplificada de dicha ecuación, y abordaremos algunos problemas de transporte en el marco de la hipótesis del tiempo de relajación. Como se señaló en la sección III.2, el teorema de Liouville, en el marco del modelo semiclásico, establece que para un sistema de partículas que se mueve de acuerdo con las leyes de la mecánica clásica, la densidad de puntos representativos en el espacio de las fases permanece constante. En dicho espacio de fases (el espacio τr3τV3, de dimensión 6, si utilizamos el vector de ondas como medida del impulso del electrón) cada partícula está representada por las seis coordenadas de un punto de dicho

r

espacio que indican la posición en el espacio real ( r ) y su velocidad generalizada (V). En equilibrio térmico, sabemos que la probabilidad de que un estado esté ocupado viene dada por la estadística de Fermi-Dirac, cuya función de distribución en un sistema homogéneo solo depende de la energía. Ahora se trataría de encontrar una ecuación que nos permita calcular como varía la función de

r r r distribución f( , k ,t) en presencia de campos exteriores. Una vez conocida dicha función, podríamos calcular las densidades de corriente o los flujos de energía a través de la expresión:

r r r r r v e J (r , t ) = ∫ f ( r ,v,t) v d τ v 4π 3 r r r r r 1 J ε (r , t ) = ∫ ε f (r , v , t ) v d τ kr 3 4π

(3.61)

En equilibrio térmico ambas densidades son nulas, al ser isótropa la distribución de Fermi-Dirac. Las fuerzas que actúan sobre el sistema son, por una parte los campos externos, que varían de manera suave y dan lugar a variaciones suaves de la posición y velocidad de las partículas y, por otra parte, las fuerzas internas debidas a las perturbaciones de la periodicidad de la red: defectos, impurezas, vibraciones de la red, etc. Dichas fuerzas internas dan lugar a fenómenos de dispersión o choques, en r los que las partículas cambian bruscamente su velocidad, siendo dispersadas de un estado v a un r estado v ' . Debido a esto, a las fuerzas internas se les llama mecanismos de dispersión. Dichas fuerzas no pueden describirse en el marco del modelo semiclásico, por tratarse de fuerza originadas por potenciales muy localizados (defectos, impurezas) o por procesos esencialmente no-clásicos, como la absorción o emisión de cuantos de vibración de la red de átomos del sólido por parte de los electrones. Para deducir la ecuación de Boltzmann, como se realizó en la sección 3.2, hemos seguido el movimiento de un elemento de volumen del espacio de fases. Entre los instantes t y t +dt el elemento

r r

r

r r

r

centrado en ( r , v ) pasa a ( r +d r , v +d v ). Los cambios debidos a las fuerzas exteriores que varían de manera suave conservarían la densidad de puntos, de acuerdo con el teorema de Liouville. Por

51

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Dinámica de Fluidos y Fenómenos de Transporte

tanto, la diferencia de concentración entre t y t + dt solo puede ser debida a los procesos de dispersión debidos a las colisiones:

r r r r r r  ∂f  f (r + dr , v + dv , t + dt ) = f (r , v , t ) +   dt  ∂t  col

(3.62)

Desarrollando el primer término y dividiendo por dt obtenemos la ecuación de Boltzmann:

r r ∂f dr r dv r ∂f + ⋅ ∇r f + ⋅ ∇v f = ( ) dt ∂t col ∂t dt

(3.63)

Esta ecuación puede escribirse también:

r ∂f r r F r ∂f + v ⋅ ∇ r f + ⋅ ∇v f = ( ) ∂t h ∂t col

(3.64)

En el caso estacionario y cuando solo intervienen campos eléctricos y magnéticos obtenemos:

r e r r r ∂f v ⋅ ∇ rr f + ( E + v × B ) ⋅ ∇vr f = ( ) h ∂t col

(3.65)

3.8 Aproximación del tiempo de relajación: solución de primer orden La ecuación de Boltzmann puede aún simplificarse en aquellos casos en los el término de colisiones resulta ser proporcional a la diferencia entre la función de distribución en presencia de campos y la función de distribución en equilibrio térmico, lo que equivale a suponer que, al cesar los campos externos, el sistema vuelve al equilibrio (como consecuencia de las colisiones) con una velocidad proporcional a la desviación respecto a dicho equilibrio provocada por los campos:

r r r f(r , v ) − f 0 (v ) ∂f ( ) =− r τ (v ) ∂t col

(3.66)

Donde la inversa de la constante de proporcionalidad se le llama tiempo de relajación, que, en general será una función del vector de ondas del electrón. Para una perturbación estacionaria, la ecuación de Boltzmann queda:

r r r f(r , v ) − f 0 (v ) r r e r r r v ⋅ ∇r f + ( E + v × B ) ⋅ ∇vr f = − r h τ (v )

(3.67)

En general, el tiempo de relajación es independiente de los campos externos, y depende únicamente de la temperatura y contenido de impurezas del material. Podemos obtener una solución de primer orden suponiendo que la función de distribución difiere de la de equilibrio sólo en un término pequeño: f=f0+f1. Si despreciamos las derivadas de dicho término obtenemos:

f r e r r r v ⋅ ∇ rr f 0 + ( E + v × B ) ⋅ ∇vr f 0 = − 1r h τ (v )

(3.68)

r r e r r r  f 1 = −τ (v )  v ⋅ ∇ rr f 0 + ( E + v × B ) ⋅ ∇vr f 0  h  

(3.69)

de donde:

Al despreciar las derivadas de f0 frente a las de f1 hemos obtenido f1 , en función de los gradientes de la distribución de Fermi-Dirac. Deduzcamos ahora algunas expresiones que nos serán útiles para desarrollar f1 .

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r

f0=

ε (k )− E F

∂ f0 1 e kTr =− ∂ε kT (1 + ε (k)− E F )2 e kT r ∂ f 0 ε (k ) − E F ∂ f 0 = ∂T ∂ε T

1 1+ e

r ε (k )− E F kT

∂ f0 ∂ f0 =− ∂ε ∂ EF

(3.70)

Con estas expresiones, es fácil obtener f1:

r r r e r r r f 1 (v ) = −τ (v )(v ⋅ ∇ rr f 0 + ( E + v × B ) ⋅ ∇ vr f 0 ) = h ∂ f0  ∂ f0 ∂ f0 r r r e r r r ) + ( E + v × B ) ⋅ ∇ vr ε ( ) ) + (v ⋅ ∇ rr T)( = −τ (v ) (v ⋅ ∇ rr E F )( ∂ε  ∂T ∂ EF h  r  ε (k ) − E F r  ∂ f 0  r  r = τ (v ) − v ⋅  eE − ∇ rr E F + ∇ rr T  T  ∂ε   

(3.71)

r

Donde hemos tenido en cuenta que ∇vr ε = hv y el término que incluía el campo magnético se anula, por ser la fuerza perpendicular a la velocidad. Esta solución de primer orden puede describir problemas de conductividad, de difusión de partículas o efectos termoeléctricos. Ejemplo 1. Conductividad eléctrica Si sobre el semiconductor solo actúa un campo eléctrico, la densidad de corriente, la función de distribución será:

r r  ∂ f 0 r r f = f 0 + f 1 (v ) = f 0 + eτ (v ) − v ⋅ E  ∂ε 

(3.72)

Podemos calcular la densidad de corriente como:

r r r r r r r  ∂ f0 r r r r e e e = + τ ( ) e ( v ) − f v d f v v d J=  v ⋅ E v d τ v τ τ v v 0 4π 3 ∫ 4π 3 ∫ 4π 3 ∫  ∂ε 

(

)

(3.73)

Como f0 es isótropa, el primer término se anula y tenemos:

(

t

donde

σ

)

r e2 r  ∂ f0 r r r r t r J= τ (v ) −  v ⋅ E v d τ v = σ .E 3 ∫ 4π  ∂ε 

(3.74)

es el tensor conductividad, con componentes:

r  ∂ f0 e σ ij = 3 ∫ τ (v ) − vi v j d τ vr 4π  ∂ε  2

(3.75)

Para bandas isótropas (superficies de energía constante esféricas o, lo que es lo mismo, masa efectiva escalar) y con un tiempo de relajación que dependa sólo de la energía de los portadores, siempre podemos escribir:

 ∂ f0 2 vi dε  ∂ε 

σ ii =σ = e 2 ∫τ ( ε )g (ε ) − utilizando las expresiones :

vx2 = v y2 = vz2 = vx2 =

2ε 1 2 v = 3 3m*

n = ∫ g (ε ) f 0 dε

(3.76)

(3.77)

53

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obtenemos

σ ii

 ∂ f0 ε dε ∂ε  0 dε

τ ( ε )g (ε ) − 2e n ∫  =σ = 3m ∫ g (ε ) f 2

*

(3.78) Veamos ahora como se simplifica esa expresión en los casos degenerado y no degenerado. En el caso no degenerado,

 ∂ f 0  f0 − =  ∂ε  kT

(3.79)

y entonces

σ=

e 2 n ∫ τ ( ε )g (ε ) f 0 (ε )ε dε e 2 n = * τ = enµ m* 3kT g (ε ) f (ε ) dε m 0 2 ∫

(3.80) donde se ha definido un promedio del tiempo de relajación ponderado en energía. Como para el modelo de Drude, es posible expresar la conductividad en función de una movilidad electrónica (velocidad para un campo eléctrico unidad), pero esa movilidad se calcula a partir del promedio ponderado del tiempo de relajación

µ=

eτ m*

.(3.81)

En el caso degenerado,

 ∂ f0 −  = δ (ε − EF )  ∂ε 

(3.82)

obtenemos

σ=

2e 2 e 2 nτ ( E F ) τ E ( E ) g ( E ) = F F F 3m* m*

(3.83)

donde se ve que la conductividad de un semiconductor degenerado solo depende del valor del tiempo de relajación para la energía correspondiente a la nivel de Fermi. Ejemplo2: Coeficiente de Difusión Supongamos que queremos tratar un problema en el que la concentración de portadores no sea homogénea. En ese caso, la función de distribución depende de la posición, por lo que la expresamos como:

r r f = f 0 − τ (k ) v ⋅ ∇

r r

f0

(3.84)

r  ∂ f 0 r f = f 0 − τ (k ) − v ⋅ ∇ rr EF  ∂ε  La densidad de corriente asociada al flujo de partículas (corriente de difusión) será ahora

r r r r r r  ∂ f 0 r e e e v τ (v )  − v ⋅ ∇ rr E F d τ v f (v ) v d τ vr = 3 ∫ f 0 v d τ vr − JD = 3 ∫ 3 ∫ 4π 4π 4π  ∂ε 

(3.85)

De nuevo, el primer término se anula. Si suponemos que la inhomogeneidad se da sólo en le dirección x, tenemos:

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 2e r  ∂ f 0  dE F r  ∂ f0  d τ v = =  − * ∫ ε g (ε ) τ (v )  − dε  4π  ∂ε   ∂ε  dx  3m Si se trata de un semiconductor no degenerado, tenemos: J Dx = −

e

3

∫v

2

x

τ (v )  −

n = NC e

−

Ec − E F kT

− dn = NC e dx

Ec − E F kT

1 dE F n dE F = kT dx kT dx

 dE F (3.86)   dx 

(3.87)

y la corriente de difusión será:

r f dn  2e  kT dn J Dx =  − * ∫ ε g (ε )τ (k ) 0 dε  = −eD kT dx  3m  n dx

(3.88)

donde hemos introducido el coeficiente de difusión, que valdrá:

D=

r f kT τ kT 2 kT ε ( ε ) τ µ g ( k ) 0 dε = = * ∫ * n 3m kT m e

(3.89) Obtenemos así la llamada relación de Einstein entre el coeficiente de difusión y la movilidad, en semiconductores no degenerados. Para semiconductores degenerados, la relación entre concentración y nivel de Fermi, tomando el origen en el fondo de la banda, viene dada por

n=

1 3π

( 2

2 m*e h

2

3 2

3

) ( E F − E C )2

dn 3n dEF = dx 2 EF dx

(3.90)

y la corriente de difusión queda :

r  2e  2 E dn J Dx =  − * ∫ ε g (ε )τ (k )δ (ε − EF ) dε  F  3m  3n dx

(3.91)

de donde se obtiene el coeficiente de difusión:

D=

2 2 2 2 EF EF g ( EF )τ ( E F ) = µ * 3m 3n 3e

(3.92) Para los semiconductores degenerados el coeficiente de difusión es dependiente de la concentración.

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Clase 4: FLUIDOS VISCOSOS, TURBULENCIA. Al principio se habían descrito las ecuaciones que rigen la dinámica de los fluidos, solo desde un punto de vista fenomenológico, estas son: Ecuación de Euler, Ecuación de Bernoulli y la Ecuación de Continuidad. Luego haciendo se desarrolló un formalismo matemático para encontrar la Ecuación de Boltzmann, a partir de esta se pueden obtener las ecuaciones hidrodinámicas, como lo son: Ecuación de Euler, Ecuación de Bernoulli y la Ecuación de Continuidad. Sin embargo en esos desarrollos se uso la hipótesis simplificadora de que los fluidos son no viscosos, es decir que las partículas que lo componen no intercambian entre si y con el medio, cantidad de movimiento y energía. En esta clase se discute la modificación del tratamiento de los fluidos no laminales, es decir cuando la viscosidad y/o la vorticidad están presentes.

4.1 Ecuaciones de Navier- Stokes : Ecuación de Movimiento de fluidos considerando Viscosidad. Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que se obtienen aplicando los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la llamada formulación integral de las ecuaciones. Para llegar a su formulación diferencial se manipulan aplicando diferentes teoremas matemáticos, llegando así a la llamada formulación diferencial, que generalmente es más útil para la resolución de los problemas que se plantean en la mecánica de fluidos. Cuando se estudió la ecuación de continuidad, no se consideraron las reacciones químicas y se considero que conservan tanto los componentes como la mezcla. Además, se considero que el fluido es “Laminar” es decir sin fricción. Ahora vamos a considerara que las partículas intercambian tanto momento como energía, en este caso se dice que hay Viscosidad. En ocasiones, se tiende a confundir la viscosidad con la densidad; por ejemplo: el Sodio fundido es más denso que el agua, pero no es viscoso. Cuando se estudia la viscosidad se considera la interacción del fluido consigo mismo. A altas temperaturas, el fluido se hace menos viscoso ya que aumenta la velocidad cuadrática media de las partículas. De forma general se interpreta viscosidad como: un intercambio de momento y energía entre dos regiones adyacentes del fluido con diferente velocidad. Así, el tensor de presión viene dado por ℘ = pδ , pero al considerarse las cizalladuras, el tensor de presión nos queda:

℘ = pδ + η ℑ

(4.1)

Donde ℑ es el tensor de cizalladura y η es el coeficiente de viscosidad interna, definido como sigue:

η≡

F A Fl ≈ (∆x l ) ∆t Aν

(4.2)

Obsérvese que,

η≡

F A esfuerzo = deformaciondecorte ∆t dν dt

(4.3)

Donde l es la longitud trasversal, A representa el Área, F la Fuerza externa y ν la Velocidad. La viscosidad

η

tiene unidades en el SI de N ⋅ s m , consideremos la viscosidad del agua, la cual es

aproximadamente 1,0 × 10

2

−3

N ⋅ s m 2 , pero a una temperatura de 100 o C tiene una viscosidad

57

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aproximada de 0,3 × 10

−3

N ⋅ s m 2 , la viscosidad del aceite es aproximadamente de 0,25, la −3 2 viscosidad de la sangre es de 2,7 × 10 N ⋅ s m . El tensor de cizalladura no es fácil de modelar, para fluidos gaseosos diluidos siguiendo la integración de la ecuación de Boltzmann de Chapman- Enskog se tiene,

(

)

2   ℑ ≡  ∇ν 0 + ∇ν 0 − ∇ ⋅ν 0 δ  3  

(4.4)

También podemos usar el termino de viscosidad cinemática, definido como,

ζ ≡

η ρ

(4.5)

De la ecuación de Euler:

ρ Puede demostrarse que termino

∂ν 0 + ρν 0 ∇ν 0 + ∇℘ − ∑ mi ni ai = 0 ∂t

ρν 0∇ν 0

(4.6)

como función de la viscosidad cinemática, es:

ρν 0 ⋅ ∇ν 0 ≅ − ρζ∇ 2ν 0

(4.7)

Con lo cual la Ecuación de Euler, resulta generalizada como:

ρ

(

)

∂ν 0 η  + ∇ p − ρζ ∇ 2ν 0 +  ζ + ∇ ∇ ⋅ν 0 − ∑ mi ni a i = 0 3 ∂t 

(4.8)

Estas ecuaciones se les conocen como Ecuaciones de Navier- Stokes. Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en todo tipo de fluidos. Si el fluido es incomprensible es decir, ∇ν 0 = 0 , estas las ecuaciones se escriben como:

ρ

dν 0 = ∑ mi ni a i − ∇ p + η∇ 2ν 0 dt

(4.9)

Mejor conocidas como Ecuaciones de Navier Stokes para fluidos incomprensibles En la ecuación anterior tenemos el termino vemos que

η

η∇ 2ν 0

es cual es el termino asociado con la viscosidad,

produce una fuerza adicional que disminuye la aceleración

ai del fluido. No se

dispone de una solución general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y

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situaciones muy concretas no es posible hallar una solución analítica; por lo que en muchas ocasiones se ha de recurrir al análisis numérico para determinar una solución. Para ilustrar podemos considerar que la aceleración es la de la gravedad, en cuyo caso podemos escribir la ecuación de Navier-Stokes, como sigue:

ρ

 ∂2x ∂2 y ∂2z  dν dP = ρg − + η  2 + 2 + 2  dt dz ∂z  ∂y  ∂x

(4.10)

Además podemos suponer que estamos a presión atmosférica Pa = P0 + ρgz . Esta es una ecuación en derivadas parciales, la cual podemos resolver utilizando el método de las variables separables. Nota Biográfica: Claude Navier y George Stokes Claude Louis Marie Henri Navier (1785- 1836) fue un ingeniero y físico francés, discípulo de Fourier. Trabajó en el campo de las matemáticas aplicadas a la ingeniería, la elasticidad y la mecánica de fluidos. Es el creador de la teoría general de la elasticidad (1821), escribió varias memorias sobre los canales de navegación (1816), y también se convirtió en un especialista del ferrocarril. En 1824 ingresa en la Académie des sciences. En 1830 es nombrado profesor en la Escuela Nacional de Puentes y Caminos, y al año siguiente profesor de análisis y mecánica en la Escuela politécnica reemplazando a Cauchy que había dimitido. Su mayor contribución constituyen las ecuaciones que escriben la dinámica de un fluido no compresible (ver: Hidrodinámica). Estas se conocen hoy día como ecuaciones de Navier-Stokes.

Sir George Gabriel Stokes, primer Baronet (1819- 1903) Nació y creció George (Irlanda) se graduó en 1841 en Pembroke College, en la Universidad de Cambridge, con los más altos honores), fue elegidoallí como profesor de Matemática y física, hasta 1857, cuando contrajo matrimonio, doce años más tarde, es reelegido hasta 1902, que fue promocionado a la mastership de su facultad. Realizó contribuciones importantes a la dinámica de fluidos (incluyendo las ecuaciones de Navier-Stokes), la óptica y la física matemática (incluyendo el teorema de Stokes). Fue secretario y luego presidente de la Royal Society de Inglaterra. Sus primeros artículos aparecieron en 1842 y, trataban del movimiento uniforme de fluidos incompresibles y algunos casos de movimiento fluido. A éstos siguió en 1845 sobre la fricción de fluidos en movimiento y el equilibrio y movimiento de sólidos elásticos y en 1850 sobre los efectos de la fricción interna de los fluidos sobre el movimiento de los péndulos. También realizó contribuciones a la teoría del sonido. Su labor en relación al movimiento de los fluidos y la viscosidad le llevó a calcular la velocidad terminal de una esfera que cae en un medio viscoso, lo cual pasó a conocerse como la ley de Stokes. Más adelante la unidad CGS de viscosidad pasaría a llamarse el Stokes, en honor a su trabajo. En 1852, en su famoso trabajo sobre el cambio en la longitud de onda de la luz, describió el fenómeno de la fluorescencia, tal y como la mostraban la fluorita y el cristal de uranio. El desplazamiento de Stokes, que describe dicha conversión, es llamado en su honor. A continuación, un modelo mecánico que ilustraba el principio dinámico de la explicación de Stokes fue propuesto y de éste surgió el concepto de línea de Stokes, que a su vez es la base de la dispersión Raman. Su producción fue tan variada y prolifica que incluso hoy se honra con su nombre un Cráter de Marte, y en el siglo pasado uno en la Luna, en recuerdo a sus contribuciones

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Determinación del Coeficiente de Viscosidad de distintos fluidos Propósito: Se determina el coeficiente de viscosidad de diversos fluidos: aceite, agua, granadina, glicerina, champú y miel, usando esferas de plomo que se dejan caer en ellos. Si consideramos el caso en que dos capas de fluido de área S distan entre sí dy y entre las cuales existe una diferencia de velocidad dv, la fuerza por unidad de área que hay que aplicar es proporcional al gradiente de velocidad, es decir:

F dv =η A dy

(1)

La constante de proporcionalidad es lo que se conoce como coeficiente de viscosidad, y se define para un fluido como la razón del esfuerzo de corte a la rapidez de cambio de la deformación de corte. La viscosidad de un fluido puede medirse a través de un parámetro dependiente de la temperatura llamada coeficiente de viscosidad o simplemente viscosidad. Esta puede ser diferente en dos fluidos de la misma masa. La inversa de la viscosidad es la fluidez. Método Experimental Se deja caer (con ayuda de una pinza) una esferita de plomo en cada cilindro graduado (Fig. 1), midiendo el tiempo promedio de caída a través de cada 100ml de fluido. Se graba con una cámara digital cada uno de estos casos, lo cual permite obtener mayor precisión en los tiempos promedios t, observados en cámara lenta. Conocida la masa m de las esferitas su área, y la distancia y que recorre a través de cada fluido, el coeficiente de viscosidad interna se puede estimar como sigue:

η≡

F/A mgl ≈ ( ∆x / l ) / ∆t Av

(2)

La viscosidad se expresada en N s / m

m l y F A

Fig1. Diseño Experimental

Tabla3: Resultados Fluido t ± 0,001s Aceite Agua Granadina Glicerina Champú Miel

0,205 0,215 0,450 0,980 2,210 5,715

v (m / s ) 0,956 0,912 0,436 0,200 0,089 0,034

η(N ⋅ s / m2 ) 1,654 1,735 3,632 7,909 17,836 46,124

2

(3,37 ± 0,01) g = 3,37 × 10 −3 kg ( 26,28 ± 0,02)mm = 0,0263m (19,6 ± 0,1)cm = 0,196m 0,033N

Conclusiones Mientras mas corto es el tiempo que tarda cada esfera en llegar al fondo del cilindro graduado menos viscoso es el fluido que atraviesa. Y por ende a menor velocidad de caída mayor coeficiente de viscosidad.

5,433 × 10 −4 m 2

. Tabla 1: Datos generales

60

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4.2 Fluido Estacionario y sin rozamiento Estos flujos cumplen el llamado teorema de Bernoulli, que afirma que la energía mecánica total de un flujo incompresible y no viscoso (sin rozamiento) es constante a lo largo de una línea de corriente. Las líneas de corriente son líneas de flujo imaginarias que siempre son paralelas a la dirección del flujo en cada punto, y en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria de las partículas individuales de fluido. El número de Reynolds proporciona una estimación de la importancia relativa del término de inercia, y el término viscoso ∇

2

ν0

de la ecuación de Navier-Stokes. Volvamos por un momento sobre esta

cuestión, y consideremos un flujo incompresible Estacionario alrededor de un cuerpo sólido. Claramente, de acuerdo con la ecuación de Navier-Stokes, el gradiente de la presión asociado con el campo de velocidad está determinado por dos clases de fuerzas: las fuerzas de carácter inercial, es decir las dadas por el teorema de Bernoulli, y las fuerzas de origen viscoso. A velocidades más elevadas, surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo, o remolinos (flujo turbulento), en una forma que ni siquiera en la actualidad se puede predecir completamente.

Figura 4.1 Flujo de aire detrás de una bola en movimiento: laminal (izquierda) y Turbulento (derecha).

Cuando el agua de un río fluye por su cauce sabemos que existen diferentes formas de flujo. Si la velocidad del agua es pequeña, entonces este flujo es regular; cuando el agua pasa por alguna piedra que está en el río, simplemente la rodea y el flujo continúa de manera regular. Se dice que el flujo es laminar, ya que su movimiento ocurre como si un conjunto de láminas de agua fluyera una sobre otra. Sin embargo, al aumentar la velocidad del agua llega cierto momento en que el flujo se vuelve altamente irregular. Nos damos cuenta de que al bordear la piedra se producen remolinos. Si la velocidad del agua es mucho más alta todavía, aparecen remolinos dentro de los remolinos. En estas condiciones el flujo del agua es turbulento. La turbulencia o flujo turbulento es un régimen de flujo caracterizado por baja difusión de momento, alta convección y cambios espacio-temporales rápidos de presión y velocidad. Los flujos no turbulentos son también llamados flujos laminares.

Figura 4.2 Representación de las líneas de corriente en tuberías, para flujos laminal (izq). Y Turbulento (derecha)

Reynolds determinó que la transición del flujo laminar al turbulento era función de un único parámetro, que desde entonces se conoce como número de Reynolds. Cantidad adimensional, definida como:

61

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RN =

ρvd η

(4.11)

Si el número de Reynolds es menor de 2000 el flujo será laminar y si es mayor de 3000 el flujo será turbulento, si se encuentra en medio se conoce como flujo transicional y su comportamiento no puede ser modelado. De esta manera los flujos viscosos se pueden clasificar en laminares o turbulentos teniendo en cuenta la estructura interna del fluido. En un régimen laminar, la estructura del fluido se caracteriza por el movimiento de láminas o capas. La estructura del fluido en un régimen turbulento por otro lado, se caracteriza por los movimientos tridimensionales, aleatorios, de las partículas del fluido, superpuestos al movimiento promedio. Un ejemplo, para observar la turbulencia en un fluido es un cigarrillo encendido, cuando se enciende el humo sabe en forma de laminas (régimen laminar), luego el fluido se mueve mas libremente describiendo un movimiento como un remolino, esto se debe al numero de Reynolds, las partículas se mueven libremente aumentando así su camino libre medio.

Fig.4.3 Flujo laminal en el Humo de un Cigarrillo (izquierda), flujo turbulento representado por Van Gogh en su pintura “La noche estrellada” (derecha)

4.3 Turbulencia En términos de la dinámica de fluidos la turbulencia es la manifestación del flujo no laminares o flujo turbulento, concretamente es un régimen de flujo caracterizado por baja difusión de momento, alta convección y cambios espacio-temporales rápidos de presión y velocidad. Un flujo se puede caracterizar como laminar o turbulento observando el orden de magnitud del número de Reynolds. El mecanismo concreto del inicio del turbulencia siguió siendo un misterio durante mucho tiempo. Landau consideró la turbulencia como el resultado de un flujo de un fluido inicialmente estable que adquiere un movimiento adicional de vibración, y luego otro y otro. Así una turbulencia podía ser inicialmente un flujo estable con tres o cuatro movimientos periódicos superpuestos, e ideó un mecanismo por el cual cuando se desata el flujo totalmente turbulento el número de movimientos periódicos se hace infinitamente grande. El mecanismo básico de creación de las vibraciones adicionales se conoce como bifurcación de Hopf, en honor a Eberhard Hopo, quien en 1948 propuso una teoría detallada del inicio de la turbulencia. Luego se llamó teoría de Hopf-Landau, aun cuando es bastante poco predictiva. En palabras del propio L.D. Landau ( 1944): “Aunque se ha discutido extensamente en la literatura el movimiento turbulento, la verdadera esencia de este fenómeno todavía carece de la suficiente claridad [...] En opinión del autor, el problema puede aparecer con una nueva luz si se examina a fondo el fenómeno de la iniciación de la turbulencia”

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Figura 4.4 Los vórtices y la turbulencia se manifiestan en todas las escalas de longitud, en un sin numero de situaciones físicas como las mostradas en las imágenes: chorros de agua, viento alrededor del vuelo de un avión, tornados, galaxias, mareas, huracanes terrestres, la mancha roja de Júpiter, las regiones de formación estelar en las nebulosas galácticas, ect.

A una columna de fluido girando se le conoce como, vortex (en plural, vórtices); debido a que la turbulencia está llena de vórtices, decimos que tiene vorticidad. Esto es especialmente cierto si el objeto mismo se encuentra girando al igual que un planeta o estrella, en cuyo caso, la verticidad se origina por el efecto Coriolis. Algunos ejemplos de vórtices incluyen, tornados y huracanes en la Tierra, pequeños remolinos de polvo sobre Marte, y la Gran mancha roja de Júpiter. Así mismo, las galaxias en espiral son vórtices. En flujo turbulento, se asume que aparecen vórtices de diferentes escalas que interactúan entre sí. La fuerza de arrastre debido a fricción en la capa límite aumenta. La estructura y localización del punto de separación de la capa límite cambia, a veces resultando en una reducción de la fuerza de arrastre global. Las turbulencias son impredecibles ya que ambos regimenes de fluido (laminal y turbulento) están presentes en ella, los cuales parecen idénticos en un momento determinado, pueden verse completamente diferentes al siguiente instante. Generalmente, la turbulencia de objetos astronómicos como, planetas y estrellas, se debe a la flotabilidad (los fluidos calientes ascienden, y los fluidos fríos se hunden a causa de la gravedad) o a los cortes (vientos o corrientes que van en direcciones diferentes). Los fluidos de una turbulencia se mezclan muy bien, si pones leche en tu té, esta se mezclará más fácilmente que si pones leche en una tasa de melaza. La turbulencia también es buena para disipar energía - es por esto que los automóviles y aeronaves están diseñados para cortar el perfil aerodinámico lo más posible. La forma del perfil aerodinámico reduce la turbulencia y por ende, también reduce la resistencia. Fig.4.5 El flujo de una pompa de jabón sigue los mismos patrones de comportamiento que los huracanes o las grandes tormentas, como la Gran Mancha Roja del planeta Júpiter. Recientemente se ha recurrido al uso de capas de agua jabonosa para modelar atmósferas planetarias, debido a que ambos sistemas son muy delgados en comparación con su entorno y se comportan como si fueran bidimensionales. Sin embargo, difieren en que el movimiento turbulento sobre una capa de agua jabonosa suele derivar en la formación de pares de vórtices, como si fuesen dos huracanes rotando en direcciones opuestas.

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4.4 La turbulencia de los fluidos y Ecuaciones de Navier-Stokes: Para números de Reynolds grandes el flujo deja de ser estable (Debido a la no linealidad de las ecuaciones de Navier-Stokes) . En algunos casos las perturbaciones de tipo local en un flujo estacionario se amortiguan rápidamente. En otros casos los flujos estacionarios que son perturbados dejan de comportarse de forma laminar y se vuelven inestables. Consideremos las ecuaciones de Navier-Stokes.

∂v ∇p + (v.∇ )v = − + η∇ 2 v ρ ∂t Sea

(4.12)

v 0 ( x , y , z ) y p0 ( x , y , z ) las soluciones de un flujo laminar estacionario y v1 ( x, y, z, t ) y

p1 ( x , y, z , t ) perturbaciones dependientes del tiempo. Las respectivas sumas de ellas deben satisfacer las siguientes ecuaciones lineales si se considera sólo el primer orden:

∂v1 ∇p + (v 0 .∇ )v1 + (v1 .∇ )v 0 = − + η∇ 2 v1 ∂t ρ

∇ ⋅ v1 = 0

(4.13)

Como la derivada temporal es de 1er. orden la dependencia en el tiempo es de la forma exp (-iωt)

v1 = f ( x, y, z ) A(t ) = f ( x, y , z ) k

e−iωt

(4.14)

En general las frecuencias de las perturbaciones son complejas:

ω ≡ ω1 + i γ 1

(4.15)

ω1 y γ1 dependen de los números de Reynolds (R) de la siguiente manera.

R < Rcr R = Rcr

γ1 < 0 γ1 = 0

Examinemos las propiedades del flujo a números de Reynolds sólo ligeramente mayores al número de Reynolds crítico. En este caso γ1 es pequeña en comparación con la parte realω1 (γ1>1:

V =

1 g 1 gλ = k 2π 2 2

(5.69)

Para kh− dz Cp

Luego de hacer una serie de consideraciones tales como

V

( p , s ) (donde p 1. Consideramos un elemento de fluido a una altura z, con volumen específico y s son presión y entropía de equilibrio a la altura z). 2. Supongamos que este elemento de fluido sufre un desplazamiento adiabático hacia arriba a lo

ξ ; su volumen especifico se transforma entonces en V ( p , s ) , z +ξ . en donde p’ es la presión a la altura '

largo de un pequeño intervalo

3. Para que el equilibrio sea estable, es necesario que la fuerza resultante sobre el elemento tienda a devolverlo a su posición original. El volumen especifico de este ultimo es

z +ξ . s’ le entropía de equilibrio a la altura

V (p ' , s ' )

, siendo

Hallamos la condición de estabilidad

V (p ' , s ' ) V (p , s ) '

>0 Y hacer un Desarrollo la diferencia de potencias de:

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s' − s = ξ

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ds dz

dV dV ds = >0 dz ds dz

 ∂V  ds >0    ∂s  p dz Donde

Cp

(*)

T  ∂V   ∂V   =     ∂s  p C p  ∂T  p

es la capacidad calórica a presión constante.

 ∂V  ds >0   ∂T  p dz  Por lo que podemos escribir la ecuación (*) como La mayoría de las sustancias se dilatan al calentarse, es decir, ausente la convección se reduce a

(**)  ∂V     ∂T  p >0.

La condición para que este

ds >0 dz Si desarrollamos esta derivada tenemos

ds  ∂s  dT  ∂s  dP = +   dz  ∂T  p dz  ∂P T dz

→

ds C P dT  ∂s  dP = +  dz T dz  ∂P  T dz

→

ds C P dT  ∂V  dP >0 = −  dz T dz  ∂T  T dz

Recordando que:

 ∂s   ∂V    = −   ∂P T  ∂T  P

dP g =− V , luego Sabemos que dz

dT  ∂V  gT > −  dz  ∂T  P C PV

∂V Debemos hallar una relación con la ecuación de estado de van der Waals, ∂T

La Ecuación de Estado de van der Waals es:  N 2a   P + 2 (V − Nb ) = NkT V   a y b son constantes que dependen de la sustancia, y N el numero de moléculas. 2

P=

NKT N −  a V − Nb  V 

∂P NK = ∂T V − Nb

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6.-dadas las condiciones del sistema, analizaremos los torques ejercidos sobre el pívote, que en este caso seria el punto K. En consecuencia la fuerza de sustentación no ejerce ningún troqué, ya que esta se aplica en el pívot. Así la segunda ley de Newton para rotaciones nos queda:

r

r

∑τ = Iαr

r r r r R × Fsustentacion − R × Mg = Iθ&& − RMg sin θ = Iθ&&

θ&& +

RMg sin θ = 0 I

Además tomando en cuenta oscilaciones pequeñas:

θ