• Author / Uploaded
• Jeisson Garcia

Citation preview

APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE EN LA INGENIER´IA INDUSTRIAL

Jeisson Garc´ıa Crespo

Ecuaciones diferenciales

Universidad Cooperativa de Colombia Facultad de ingenier´ıa Ingenier´ıa industrial

Transformada de Laplace

Jeisson Garcia Crespo

Ecuaciones diferenciales Trabajo de consulta

Dirigido por Jose Fabio D´ avila

Universidad Cooperativa de Colombia Facultad de ingenier´ıa Ingenier´ıa industrial

Bogot´ a D.C, 20 de Mayo de 2016

Resumen Es cada vez m´ as frecuente, que en econom´ıa se utilicen t´ecnicas y m´etodos matem´ aticos que originalmente surgieron como respuesta a problemas f´ısicos. Una metodolog´ıa que es usada com´ unmente para problemas de ingenier´ıa es la de las transformadas integrales. En este breve art´ıculo estudiamos a una de ellas, la transformada de Laplace. Lo que hace u ´til a esta transformada es la interpretaci´ on natural que tiene como el valor presente de un flujo de efectivo.

´ INTRODUCCION La transformada de Laplace de una funci´on f tiene una interpretaci´on economica evidente: L{f (t)s } es el valor presente de un glujo f (t) durante el periodo [0, ∞) con una tasa de descuento igual a s. Si tomamos a c(t) como una trayectoria de consumo y u(c(t)) la utilidad que se deriva del mismo, entonces: Z ∞ L{u(c)}s = u(c(t))e−st dt 0

Es el valor presente de la utilidad acumulada en [0, ∞) descontado a una tasa s. Esta observaci´ on fue hecha en 1986 por S. Buser, que detecto en esta transformada una herramienta para calcular el valor presente de flujos en efectivo. Hay una variedad de articulos dedicados a otras aplicaciones dentro de finanzas.

DESARROLLO Si consideramos k(t) una trayectoria para el capital, y el capital se deprecia a una tasa δ, entonces la trayectoria de inversi´on bruta esta dada por: dk(s) + δk(t) (1) dt Supongamos que la tasa de descuento es igual a r, por lo tanto tomando la transformada de Laplace de la inversi´ on y utilizando las propiedades ya mencionadas tenemos: I(t) =

n dk o L{I}(r) = L + δL{k}(r) = rL{k}(r) − k0 + δL{k}(r) = (r + δ)L{k}(r) − k(0) dt (r) Esto nos da la relaci´ on entre el valor presente de la inversi´on bruta L{I}(r) y el del capital L{k}(r) , ambos descontados a la tasa r.

SOLUCIONANDO LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Ahora, nos concentraremos en la soluci´on de ecuaciones diferenciales del tipo: dx + δx(t) = H(t) (2) dt En donde x es una funci´ on diferenciable y H(t) es cualquier funci´on cuya transformada de Laplace existe. Si pensamos en x(t) como el acervo de capital al tiempo t, entonces la

ecuaci´ on (2) es simplemente la ecuaci´on de inversi´on (1) con H(t) = I(t). Aplicamos la transformada de Laplace de la ecuaci´on (2) para obtener: L

n dx o dt

s

+ δL{x}(s) = L{H}(s)

sL{x}(s)−x(0) + δL{x}(s) = L{H}(s)

(3)

x(0) LH(s) + (4) s+δ s+δ Observemos que la transformada de Laplace convierte a la ecuaci´on diferencial de flujos dada por (2) en una ecuaci´ on algebraica de acervos representada por (3). L{H}(s) =

Ahora, aplicaremos la transformada inversa de la ecuaci´on (4) para obtener x(t) = x(0) L−1

n L{H} o n 1 o + L−1 s+δ t s+δ

= x(0) e−δt + L−1

(5)

n L{H} o s+δ

La ecuaci´ on(5) nos proporciona el valor de x(t) en cada instante dado su valor inicial x(0). La forma explicita de la soluci´on depende de la funci´on H(t), el caso mas simple es cuando H(t) = H, una constante, de manera que la soluci´on dada por (5) queda como x(t) = x(0)e−st + L−1

n H o s + δ (t)

o 1 1 δ(s + δ) + δs (t) n 1 o n1o H H = x(0)e−st − L−1 + L−1 s s + δ (t) s s (t) n = x(0)e−st + HL−1 −

H −δt H e + s s  H H e−δt x(0) − + s s La soluci´ on general de (5) puede encontrarse de la siguiente manera. Notemos que si 1 para todo s > −δ, con lo cual: g(t) = e−δt , entonces se tiene que L{g}(s) = s+δ = x(0)e−st −

x(t) = x(0)e−δs + L−1 {L{g}L{H}}(t) Aplicando producto de convoluci´on en el termino de la derecha, queda Z t −δs x(t) = x(0)e + e−δ(t−r) H(r) 0

Esta ecuaci´ on tiene un interpretaci´on economica inmediata. Para ilustrar esto, pensemos en x(t) como el acervo de capital que se deprecia a una tasa δ y en H(t) como la inversi´on bruta. Entonces nos dice que el acervo de capital en el tiempo t consiste de dos partes: la primera es lo que queda del capital inicial tomando en cuenta la depreciaci´on (representada por el primer termino de la ecuaci´on), y la segunda consiste en la inversi´on acumulada en el periodo [0, t) con su correspondiente depreciaci´on (representada por el segundo termino de

2

la ecuaci´ on) ´ CONCLUSION La transformada de Laplace resulta ser recurso de un sin numero de aplicaciones en donde su mayor connotaci´ on est´ a en la ingenier´ıa, pero vemos que quien posea la destreza para llevar la teor´ıa de la transformada a un campo aplicativo, como se mostr´o anteriormente, definitivamente contribuir´ a al desarrollo no solo de procesos sino al desarrollo tambi´en de un sistema financiero consolidado que quiz´as no utilice m´etodos de tal complejidad como lo es la transformada de Laplace.

Referencias [1] Spiegel, M. R. , Ecuaciones diferenciales aplicadas (No. 04; QA371, S6.), Prentice Hall, 1983. [2] G. Zill, Dennis , Ecuaciones diferenciales (Sexta Edici´ on), Thomson, 1983. ´ vila, Jose Fabio , Ecuaciones diferenciales (Contenido de clase), Universidad [3] E. Da Cooperativa de Colombia, 2016

3