Aplicaciones reales de la transformada de Laplace

Aplicaciones reales de la transformada de Laplace ¿Por qué Transformada de Laplace? En el estudio de los procesos es n

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Aplicaciones reales de la transformada de Laplace

¿Por qué Transformada de Laplace? En el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinámicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo. Esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representar matemáticamente el comportamiento de un proceso.

¿Por qué Transformada de Laplace? El comportamiento dinámico de los procesos en la naturaleza puede representarse de manera aproximada por el siguiente modelo general de comportamiento dinámico lineal:

La transformada de Laplace es una herramienta matemática muy útil para el análisis de sistemas dinámicos lineales.

¿Por qué Transformada de Laplace? De hecho, la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio. Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple.

MODELACIÓN MATEMÁTICA Suspensión de un automóvil f(t)

Fuerza de entrada F

m k

z(t) Desplazamiento, salida del sistema

b

ma

f (t ) kz (t ) b

dz (t ) dt

m

d 2 z (t ) dt 2

El rol de la transformada de Laplace Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas

Suspensión de un automóvil

Función de transferencia

MODELACIÓN MATEMÁTICA Nivel en un tanque Flujo que entra Flujo que sale = Acumulamiento qi(t) Flujo de entrada h(t) A (área del tanque)

qo(t) R (resistencia de la válvula)

Flujo de salida

El rol de la transformada de Laplace Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas

Nivel en un tanque

Función de transferencia

MODELACIÓN MATEMÁTICA Circuito eléctrico

El rol de la transformada de Laplace Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas

Circuito eléctrico

Función de transferencia

La función de transferencia Representa el comportamiento dinámico del proceso Nos indica como cambia la salida de un proceso ante un cambio en la entrada

Diagrama de bloques Entrada del proceso (función forzante o estímulo)

Proceso

Salida del proceso (respuesta al estímulo)

La función de transferencia Diagrama de bloques Suspensión de un automóvil Entrada

Salida

(Bache)

(Desplazamiento del coche)

10

8

6

4

2

0

-2

-4

-6

-8

-10

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

La función de transferencia Diagrama de bloques Nivel en un tanque Qi(s)

H(s)

(Aumento del flujo de entrada repentinamente)

(Altura del nivel en el tanque

20

15

10

5

0

-5

-10

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

La función de transferencia Diagrama de bloques Circuito eléctrico Ei(s)

Eo(s)

(Voltaje de entrada)

(Voltaje de salida)

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4 4

x 10

Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor Se tiene un intercambiador de calor 1-1, de tubos y coraza. En condiciones estables, este intercambiador calienta 224 gal/min de agua de 80°F a 185°F por dentro de tubos mediante un vapor saturado a 150 psia.

En un instante dado, la temperatura del vapor y el flujo de agua cambian, produciéndose una perturbación en el intercambiador.

Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor a) Obtenga la función de transferencia del cambio de la temperatura de salida del agua con respecto a un cambio en la temperatura del vapor y un cambio en el flujo de agua, suponiendo que la temperatura de entrada del agua al intercambiador se mantiene constante en 80°F. b) Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambio tipo escalón de +20°F en la temperatura del vapor, y un cambio de +10 gal/min en el flujo de agua. c) Grafique la variación de la temperatura de salida del agua con respecto al tiempo.

Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor Ecuación diferencial que modela el intercambiador de calor

Intercambiador de calor Ecuación diferencial

Donde: Ud0: Coeficiente global de transferencia de calor referido al diámetro exterior (BTU/h °F ft2) ATC0: Área de transferencia de calor referida al diámetro exterior (ft2) Cp : Capacidad calorífica (BTU/lb °F) tv : Temperatura del vapor (°F) te : Temperatura del agua a la entrada (°F) ts : Temperatura del agua a la salida (°F) (te+ ts) / 2 :Temperatura del agua dentro de tubos (°F) tref : Temperatura de referencia (°F) w : Flujo de agua (lb/h) m : Cantidad de agua dentro de tubos (lb) : Valores en condiciones estables Tv , Ts , W Variables de desviación

Intercambiador de calor

Linealizando

1 2 Evaluando en condiciones iniciales estables

3 Restando (2) de (3)

Intercambiador de calor

Utilizando variables de desviación

Aplicando la transformada con Laplace

Intercambiador de calor

Simplificando

Datos físicos

Largo del intercambiador = 9 ft Flujo = 224 gal/min Temperatura de entrada =80°F Temperatura de salida = 185°F Presión de vapor =150psia. Número de tubos= 112 Conductividad térmica de los tubos = 26 BTU/hft°F, Factor de obstrucción interno = 0.0012 hft2°F/BTU; externo = 0.001 hft2°F/BTU Coeficiente global de transferencia de calor = 650 BTU/hft2°F

°

Intercambiador de calor Calculando las constantes

Intercambiador de calor Función de transferencia

Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambio tipo escalón de +20°F en la temperatura del vapor, y un cambio de +10 gal/min en el flujo de agua.

0

0

Intercambiador de calor 20 18 16

240

234 14 12 10 8 6

224

220

4 2 0

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Flujo de agua entrada

Temp de Vapor entrada

Salida de vapor

Salida de Agua °T 188.85

185

La respuesta del proceso en el tiempo Transformada Inversa De Laplace Ts ( s )

K1 Tv ( s ) 1s 1

K2 W (s) 2s 1

Ts ( s )

K1 20 1s 1 s

K 2 5007.25 s 2s 1

Tv ( s )

20 s

0.381883 20 7.573947x10 4 5007.25 Ts ( s ) 1.712995s 1 s 1.712995s 1 s Expansiónen fraccionesparciales Ts ( s )

4.458658 s 0.583772 s

2.213928 s 0.583772 s

a1 s 0.583772

W (s)

5007.25 s

7.63766 1.712995s 1 s a2 s

3.792464 1.712995s 1 s

b1 s 0.583772

b2 s

La respuesta del proceso en el tiempo Transformada Inversa De Laplace

Actividad para realizar en casa Un sistema de suspensión simplificada de un automóvil se puede representar por la figura siguiente: Las ecuaciones diferenciales que modelan al sistema están dadas por:

m1 m2

d 2 x(t ) dt

2

d 2 y (t ) dt

2

k 2 y (t ) x(t ) k 2 y (t ) x(t )

dy(t ) b dt dy(t ) b dt

dx(t ) dt dx(t ) dt

k1 u (t ) x(t )

Actividad para realizar en casa a) Obtén la función de transferencia (Tip: transforma ambas ecuaciones, despeja X(s) en ambas e iguálalas, finalmente reacomoda para dejar Y(s)/U(s) ) b) Se sabe que b=1300 Ns/cm, k1=2000 KN/cm, k2=50KN/cm, m2=1850 kg y m1 = 20 kg. Si se le aplica una cambio escalón unitario en la entrada de fuerza, obtén la expresión en el tiempo, es decir, la transformada inversa de dicha función. c) Utilizando cualquier paquete de graficado, excel, matlab, mathematica, etc. Grafica la respuesta del desplazamiento en el tiempo para t = [0,20]