Aplicaciones reales de la transformada de Laplace
Aplicaciones reales de la transformada de Laplace ¿Por qué Transformada de Laplace? En el estudio de los procesos es n
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- Octavio Charry
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Aplicaciones reales de la transformada de Laplace
¿Por qué Transformada de Laplace? En el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinámicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo. Esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representar matemáticamente el comportamiento de un proceso.
¿Por qué Transformada de Laplace? El comportamiento dinámico de los procesos en la naturaleza puede representarse de manera aproximada por el siguiente modelo general de comportamiento dinámico lineal:
La transformada de Laplace es una herramienta matemática muy útil para el análisis de sistemas dinámicos lineales.
¿Por qué Transformada de Laplace? De hecho, la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio. Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple.
MODELACIÓN MATEMÁTICA Suspensión de un automóvil f(t)
Fuerza de entrada F
m k
z(t) Desplazamiento, salida del sistema
b
ma
f (t ) kz (t ) b
dz (t ) dt
m
d 2 z (t ) dt 2
El rol de la transformada de Laplace Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas
Suspensión de un automóvil
Función de transferencia
MODELACIÓN MATEMÁTICA Nivel en un tanque Flujo que entra Flujo que sale = Acumulamiento qi(t) Flujo de entrada h(t) A (área del tanque)
qo(t) R (resistencia de la válvula)
Flujo de salida
El rol de la transformada de Laplace Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas
Nivel en un tanque
Función de transferencia
MODELACIÓN MATEMÁTICA Circuito eléctrico
El rol de la transformada de Laplace Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas
Circuito eléctrico
Función de transferencia
La función de transferencia Representa el comportamiento dinámico del proceso Nos indica como cambia la salida de un proceso ante un cambio en la entrada
Diagrama de bloques Entrada del proceso (función forzante o estímulo)
Proceso
Salida del proceso (respuesta al estímulo)
La función de transferencia Diagrama de bloques Suspensión de un automóvil Entrada
Salida
(Bache)
(Desplazamiento del coche)
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
La función de transferencia Diagrama de bloques Nivel en un tanque Qi(s)
H(s)
(Aumento del flujo de entrada repentinamente)
(Altura del nivel en el tanque
20
15
10
5
0
-5
-10
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
La función de transferencia Diagrama de bloques Circuito eléctrico Ei(s)
Eo(s)
(Voltaje de entrada)
(Voltaje de salida)
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4 4
x 10
Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor Se tiene un intercambiador de calor 1-1, de tubos y coraza. En condiciones estables, este intercambiador calienta 224 gal/min de agua de 80°F a 185°F por dentro de tubos mediante un vapor saturado a 150 psia.
En un instante dado, la temperatura del vapor y el flujo de agua cambian, produciéndose una perturbación en el intercambiador.
Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor a) Obtenga la función de transferencia del cambio de la temperatura de salida del agua con respecto a un cambio en la temperatura del vapor y un cambio en el flujo de agua, suponiendo que la temperatura de entrada del agua al intercambiador se mantiene constante en 80°F. b) Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambio tipo escalón de +20°F en la temperatura del vapor, y un cambio de +10 gal/min en el flujo de agua. c) Grafique la variación de la temperatura de salida del agua con respecto al tiempo.
Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor Ecuación diferencial que modela el intercambiador de calor
Intercambiador de calor Ecuación diferencial
Donde: Ud0: Coeficiente global de transferencia de calor referido al diámetro exterior (BTU/h °F ft2) ATC0: Área de transferencia de calor referida al diámetro exterior (ft2) Cp : Capacidad calorífica (BTU/lb °F) tv : Temperatura del vapor (°F) te : Temperatura del agua a la entrada (°F) ts : Temperatura del agua a la salida (°F) (te+ ts) / 2 :Temperatura del agua dentro de tubos (°F) tref : Temperatura de referencia (°F) w : Flujo de agua (lb/h) m : Cantidad de agua dentro de tubos (lb) : Valores en condiciones estables Tv , Ts , W Variables de desviación
Intercambiador de calor
Linealizando
1 2 Evaluando en condiciones iniciales estables
3 Restando (2) de (3)
Intercambiador de calor
Utilizando variables de desviación
Aplicando la transformada con Laplace
Intercambiador de calor
Simplificando
Datos físicos
Largo del intercambiador = 9 ft Flujo = 224 gal/min Temperatura de entrada =80°F Temperatura de salida = 185°F Presión de vapor =150psia. Número de tubos= 112 Conductividad térmica de los tubos = 26 BTU/hft°F, Factor de obstrucción interno = 0.0012 hft2°F/BTU; externo = 0.001 hft2°F/BTU Coeficiente global de transferencia de calor = 650 BTU/hft2°F
°
Intercambiador de calor Calculando las constantes
Intercambiador de calor Función de transferencia
Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambio tipo escalón de +20°F en la temperatura del vapor, y un cambio de +10 gal/min en el flujo de agua.
0
0
Intercambiador de calor 20 18 16
240
234 14 12 10 8 6
224
220
4 2 0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Flujo de agua entrada
Temp de Vapor entrada
Salida de vapor
Salida de Agua °T 188.85
185
La respuesta del proceso en el tiempo Transformada Inversa De Laplace Ts ( s )
K1 Tv ( s ) 1s 1
K2 W (s) 2s 1
Ts ( s )
K1 20 1s 1 s
K 2 5007.25 s 2s 1
Tv ( s )
20 s
0.381883 20 7.573947x10 4 5007.25 Ts ( s ) 1.712995s 1 s 1.712995s 1 s Expansiónen fraccionesparciales Ts ( s )
4.458658 s 0.583772 s
2.213928 s 0.583772 s
a1 s 0.583772
W (s)
5007.25 s
7.63766 1.712995s 1 s a2 s
3.792464 1.712995s 1 s
b1 s 0.583772
b2 s
La respuesta del proceso en el tiempo Transformada Inversa De Laplace
Actividad para realizar en casa Un sistema de suspensión simplificada de un automóvil se puede representar por la figura siguiente: Las ecuaciones diferenciales que modelan al sistema están dadas por:
m1 m2
d 2 x(t ) dt
2
d 2 y (t ) dt
2
k 2 y (t ) x(t ) k 2 y (t ) x(t )
dy(t ) b dt dy(t ) b dt
dx(t ) dt dx(t ) dt
k1 u (t ) x(t )
Actividad para realizar en casa a) Obtén la función de transferencia (Tip: transforma ambas ecuaciones, despeja X(s) en ambas e iguálalas, finalmente reacomoda para dejar Y(s)/U(s) ) b) Se sabe que b=1300 Ns/cm, k1=2000 KN/cm, k2=50KN/cm, m2=1850 kg y m1 = 20 kg. Si se le aplica una cambio escalón unitario en la entrada de fuerza, obtén la expresión en el tiempo, es decir, la transformada inversa de dicha función. c) Utilizando cualquier paquete de graficado, excel, matlab, mathematica, etc. Grafica la respuesta del desplazamiento en el tiempo para t = [0,20]