5.6 Aplicaciones de la Transformada de Laplace 5.6.1 Respuesta de un sistema de un solo grado de libertad Considere un
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5.6 Aplicaciones de la Transformada de Laplace
5.6.1 Respuesta de un sistema de un solo grado de libertad Considere un sistema con un grado de libertad como se muestra en la figura W5.8 bajo la fuerza
f(t) aplicada externamente. La condición inicial del sistema en el momento
t =O son
x(O) = Xa
A
x'(O) =Va·
r-x(t) ~"i!i!'J"'!"
f(t)
Figura N> 5.8: Un sistema con un grado de libertad. Del capítulo 111 y de de la sección 3 .2, la ecuación de movimiento de sistema es
{x(O)-
mx"~ + ex'~t) +_kx(t) = f(t) Xa, x (O)- Va.
Dividiendo la ecuación por
m
y reescribiendo la forma estándar se obtiene
e k 1 k e x"(t)+-x'(t)+-x(t)=-f(t), w~ =-, 2sw0 =-. m m m m m Aplicando la transformada de Laplace, L [x(t)] (s)
= X (s), se obtiene
[s 2 X(s)- sx(O)- x'(O) + 2sw0 [sX(s)- x(O)] + w~X(s) = ____,L[,__f_(t)~](_s) m
J
Resolviendo para
X(s) conduce 562
vibración libre
vibración forzada
en la que el primer término es la transformada de Laplace de la respuesta de vibración libre xLibre(t), debido a las condiciones iniciales x(O)
1\
x'(O), mientras que el
segundo término es la transformada de Laplace de la respuesta de vibración forzada X Forzado
(t), debido a la fuerza j (t) aplicada externamente.
Vibración libre La respuesta de las vibración libre está dada por
-1 [
XLibre(t) = L
J
_[xos + (
XL.b (s) (t) = L l re
1
+ 2sw0x0 )] (t) s + 2sw0s+ w02 V0
2
563
xLibre(t)=e-t;~ot[xocos(wat)+ (vo +c;woxo)sen(wat) L-r[ 2Wa 2J(t)], Wa
s +wa
0 W 0S
+W0
s
(S 2+ 21''::> w s + w 2)( S 2+ n2) 0
X sen (t) y xcos (t)
0
.:!. ¿
son muy útiles para los problemas de
vibración de un sistema con un grado de libertad en virtud de las cargas que se pueden expresar en términos de funciones sinusoidales, en el que la respuesta de la vibración forzada puede ser expresada en términos de
xsen (t)
y xcos (t). Un ejemplo utilizando
estas funciones se presenta en la siguiente.
567
Ejemplo 5.30: Vibración de un vehículo que pasa un badén En la sección 3.3, se estudió la vibración de un vehículo que pasaba un badén. La ecuación de movimiento se resuelve y se obtiene la respuesta por separado para dos duraciones de tiempo: de vehículos en el golpe de velocidad y pasó al tope de velocidad. Resuelva este problema de nuevo usando la transformada de Laplace. Desde el reductor de velocidad se produce para
T
= }}___ , puede ser más fácilmente expresado
u
usando la función de paso de Heaviside:
y 0 (x) =
hsen( :x )e1- H(x-b) Jv y (t) = hsen( "~1 )e1- H(t- T) J 0
Al referirse a la sección 3.3, la ecuación de movimiento para el desplazamiento relativo
z(t) = y(t)- Yo (t), se convierte para t ¿O, mz"+cz'+kz=mh0 2 sennt[1-H(t-T)], 0= JrU, b o, en el formato estándar, según la sección 3.6.1, 2 1 z"+2sw0 z'+w0 z=-f(t), Oze=C-=C -L. dt dt dt La aplicación de la Ley Voltage de Kirchhoff en la malla más grande conduce a
.
Se nota que v1 = R ¡Z, vL =
Ldi , luego se obtiene dt 2
1 d "] , ie = C [ (1-a)R1 -d" +L~ dt dt
i2 = _!_[-V(t) + R¡i + L di]· R2 dt
La aplicación de la Ley Corriente de Kirchhoff en el nodo 1 produce i + i2
+ Íe
=
O.
Por lo tanto
con las condiciones iniciales
La ecuación diferencial es de la forma estándar
i"(t) + 2(w0 i'(t) + w~i(t) = __!_ f(t), m 576
Donde,
r w0
'='
=
L+C(1-a)RR 1 2 m = R2 CL f(t) ' 2R2 CL '
= V(t).
Observaciones: Como se discutió en el Capítulo III, un circuito de segundo orden es equivalente a un sistema mecánico con un grado de libertad. Por lo tanto, los resultados obtenidos para un solo grado de libertad se pueden aplicar al circuito de segundo orden. La solución esi(t) = iLibre(t) + iForzada(t), donde iLibre(t) es la solución complementaria o la respuesta de vibración "libre". Usando la función delta de Dirac, la función de fuerza f(t) = V(t) es -tao
f(t)
= V(t) = 1.8(t -1) + 1.8(t- 2) + 1.8(t- 3) + ··· = L8(t- n). n=l
La aplicación de la transformada de Laplace conduce a 00
00
L[ 8(t- a )](s) =e-as=> L[f(t)](s) = IL[ 8(t- n )](s) = ¿e-ns. n=l
n=l
Caso l. Sistema subamortiguado Para R1 = R2 .= 20,
V¡¡= 4V, L = 64H,
a= 1, C = 4F ,la ecuación
diferencial se convierte en (PVI)
d 2 i 1 di 1 . 1 2 dt +S dt +128z = 512 V(t),
i(o+)=-1, i'(o+)=/6 que es de la forma estándar con m= 512, f(t)
= V(t), y 577
El sistema está subamortiguado y
i . (t) = e-(wot Lzbre
t i(o+)coswd t + z·•(o+) +Wd'~"=' w z·(o+) senwd t J=-e-- cos-. 16
l
t 16
0
La transfÓrmada de Laplace de la respuesta" forzado " ¡Forzada (s)
= L [iForzada y(O)=O momento de desviacion=O => y "(O) = O,
en x=L:
pendiente=O :::::::> y'(L)=O,
583
fuerza de corte=O=> V(L) = -Ely"'(L)- Py'(L) =O => y"'(L)=O. Aplicando la transformada de Laplace Y(s) = L[y(x) ](s), se obtiene
J
[ s 4 Y(s)- s 3 y(O)- s 2 y'(O)- sy"(O)- y"'(O) + a 2 [s 2 Y(s)- sy(O)- y'(O)
J
= w (1- e-as) + we-bs. S
Puesto que y(O) = y"(O) =O, resolviendo para Y(s) se obtiene
_ y'(O)
Y(s)-
2
2 '+ S +a
[y"'(O)+a y'(O)]+We-bs
2( S 2+a2) S
w
+ S '( S 2+a2)(1-e
-as
).
Aplicando fracciones parciales
Sumando el lado derecho y comparando el coeficiente de numeradores, se obtiene
1:
Aa2
s:
2
=1=> A = __!__2 ' a
Ba =O=>B=O 1 A+ ea 2 =O=> e=_.!!__= - az a4'
B+E=O=>E=-B=O' 1 a4 '
e+ D =O=> D = - e = - -
584
Por lo tanto,
-( -1- - 1 S ](1 -e -as) +w a 2s 3 a 4 s s 2 + a 2 • Tomando la transformada inversa de Laplace resulta,
y(x) = L- 1 [Y(s) ](x), luego se tiene
Jya"'(O) 1 y(x)=L- 1 [Y(s)](x)=y'(O)x+ ( x- asenax 2 2
1 ] -H(x-b)+w W - ( ---+-cosax x 1 1 ) + [ (x-b)--sena(x-b) 4 4 2 2 a a 2a a a
l
2
-[(x-a) 2
~w
en la que y'(O)A
1 1 --+-cosa(x-a) H(x-a), a4 a4
2a
y"'(O) son determinados de la condición de frontera en
extremo derecho de la columna de la viga, x
=L ,
X=
L. En el
es decir, dado H ( x - a) = 1,
H ( x - b) = 1. La desviación lateral se simplifica como
y(x)=y'(O)x+ ( x-a1 senaxJy a"'(O) + [ (x-b)- a1 sena(x-b) ] aW2 2
+
w[ a
Diferenciando respecto a
2
(
2ax- a2 ) + 2cosax- 2cosa(x- a) 2a
X
4
J .
se produce
585
y'(x)=y'(O)+ 1-co:ax y"'(O)+ W[l-cos~(x-b)]
a +
a
w[ aa -senax+sena(x- a)] a3
'
-
y"'(x)=cosax.y"'(O)+Wcosa(x-b)+
-[ w senax-sena x-a J ( ) . a
Denotando
w; = ~2
{
w[t-cosa(L-b)]+
:e
aa -senaL+sena(L-a)]}•
~ = Wcosa(L-b)+ w[senaL-sena(L-a)J, a
y aplicando las condiciones de frontera en x = L se obtiene
y'(L)=y'(O)+ 1-co:ax y"'(O)+W¡ =O, a
y"'(L) = cosaL.y"'(O) +~=O, lo cual resulta en
y'(O) = -W¡ + ~ (1- cosaL), y"'(O) = _ ~ a 2 cos aL cos aL 5.6.3 Vigas sobre base elástica. Las estructuras que se pueden modelar como vigas colocadas sobre base elástica se encuentran en muchas aplicaciones de ingeniería, por ejemplo, las vías del ferrocarril, vigas de cimentación y muros de contención de los edificios y las infraestructuras 586
subterráneas (Figura Nl 5.9). Redes de vigas, tales como los utilizados en sistemas de piso para barcos, edificios, puentes, cáscaras de revolución tales como aquellos en los recipientes a presión, calderas, contenedores, y de gran envergadura reforzados salas de hormigón y cúpulas también se pueden analizar utilizando la teoría de vigas en base elástica.
Figura N° 5.9: Vigas sobre base elástica. El modelo de una base elástica de Winkler asume que la deformación y en cualquier punto de la superficie de la base es proporcional a la tensión en ese punto, es decir,
a
=
k 0 y,
donde
k0 se llama el módulo de la base con dimensión (fuerza!longitud3).
En el estudio de vigas en base elástica, sea
p la intensidad por unidad de longitud de
carga distribuida sobre la base a lo largo de la longitud de la viga, es decir, donde de
la
p
=
ab,
k0 es la anchura de la viga. Por lo tanto, como se muestra en la Figura 5.1 O (a) y suposición
de
Winkler,
p = ky,
donde
k = k 0 b ,con
dimensión
(fuerza/longitud2).
587
p X
Figura 5.10 Modelo de base elástica de Winkler. Para una viga sobre una base elástica bajo la acción de una carga distribuida como se muestra en la figura 5.1 O (b ), la deflexión
y (X) a
w(x)
la flexión se rige por la
ecuación
d4
E l -4 = w(x)- p(x), dx donde
El es
la rigidez a la flexión de la viga. Sustituyendo p(x)
= ky(x)
en la
ecuación conduce a una ecuación diferencial ordinaria lineal de cuarto orden 4
d y + 4 /3 4 = w(x) dx 4 y El ' Las constantes en la solución de la ecuación diferencial se determinan a partir de las condiciones de contorno de la viga, que se dan por los soportes de extremo de la viga. Algunas condiciones de contorno típicas se listan en la Tabla N° 5 .1.
588
Tabla N° 5.1 Condiciones de contorno. Extremo fijado:
Desviación = O ==> y(l)
=O
MomentO = O ==> y"(/) =.O
Extremo sujeto: Desviación= O ==> y(l) =O
Pendiente= o ==> y'(l) =o
Extremo libre: x=l
w
1
Momento= O ==>
y "(l) = O
Fuerza corte= O ==> j"(l) =O
Extremo deslizante: Pendiente= O ==> y' (l) =O Fuerza corte =
o ==> j"(l) = o
Ejemplo 6.34: Vigas de base elástica Determine la deflexión de una viga libre en los dos extremos bajo una carga distribuida de forma trapecial, como se muestra en la siguiente figura.
X
Utilizando la función de paso de Heaviside, la carga distribuida se puede expresar como
w(x)= [ w1 + w.2 -w1 (x-a) ] [H(x-a)-H(x-b)]. b-a 589
La ecuación diferencial se convierte en
Z
4
+4fi y= wi;)
=[ w +w(x-a)][H(x-a)-H(x-b)], 1
donde
w w1 = - 1
El'
-
w2 -
Wz
w= Wz El ' - ( b -
-w1
a) El
Wz -w1
----=-~
b-
a '
Dado que ambos extremos son libres, las condiciones de contorno son
y"(O) = y"'(O) = y"(L) = y'¡'(L) =O. La aplicación de la transformada de Laplace a la ecuación diferencial se convierte en
J
[s 4 Y(s)- s 3 y(O)- s 2 y'(O)- sy"(O)- y"'(O) + 4j1 4 Y(s)
=L{[ w +w(x-a)][H(x-a)-H(x-b)]}(s) 1
L{[ w +w(x-a)][H(x-a)-H(x-b)]}(s) =L{[ w +w(x-a)]H(x-a)}(s)-L{[ w +w[(x-b)+(b-a)]]H(x-b)}(s) =L{[ w +w(x-a)]H(x-a)}(s)-L{[ w +w(x-b)]H(x-b)}(s) 1
1
1
1
2
Luego se tiene que
590
4
3
J
2
4
L[s Y(s)- s y(O)- s y'(O)- sy"(O)- y"'(O) + 4fi Y(s) =
_!_( W¡e-as - Wze-bs) + ~ (e-as - e-bs ). S
S
Puesto que y"(O)=y"'(O)=O, resolviendo para Y(s) se obtiene
Usando las notaciones y las fórmulas de la Tabla 5.2 y usando la propiedad de
J
desplazarnientoL- 1 [e-as F(s) (t)
= f(t- a)H(t- a), se obtiene la desviación de la
viga
y(x) = L- [Y(s) ](x) = y(0)~3 (x) + y'(0)~2 (x) 1
3 (x-a)H( X _ a )--1-~ 3 (x-b)H( X -b) + -l-~ W1 W2 4 4
4P 4P + w{ (X- a)-~~ (X- a) H (X_ a)_ (X- b)- ~~ (X- b) H (X_ b )} 4P 4P Para x>b>a, H(x-b)=H(x-b)=l y se simplifica y(x)
y(x) = y(0)~3 (x) + y'(0)~2 (x)
+ Note que
4~ {w,9i (x-b) -w 9i (x- a) +w[?l,(x-b) -?l,(x- a) J}. 3
1 3
w1 - w2 + w( b ~ a) = O
Diferenciando y (x) con respecto a x tres veces se obtiene:
591
y"(x) = y(0)~3 "(x) + y'(0)~2 "(x)
+
4~4
{
W2 ~3 "(x -b) -W¡~3 "(x-a)+ w[~2 "(x-b) -~2 "(x-a) J}
y "(x) = -4/34 [y(0)~1 (x) +y '(0)~0 (x)] - { w2 ~1 (x -b) -w1 ~1 (x- a)+ w[~0 (x- b)- ~0 (x- a)J}
y"'(x) = -4/3 [y(0)~1 '(x) + y'(0)~0 '(x)] 4
-{w2 ~1 '(x-b)-w1 ~1 '(x-a)+w[~o '(x-b)-~0 '(x-a)J} y"'(x) = -4/3 4 [y(0)~2 (x)] + y'(0)~1 (x) - {w2 ~2 (x-b)- w1 ~2 (x- a)+ w[~1 (x-b)- ~1 (x- a) J} Usando las condiciones de Frontera en x=L, se tiene
y"(L) = -4/3 [y(0)~1 (L) + y'(0)~0 (L)] 2
- {w2 ~1 (L-b) -w1 ~1 (L-a)+ w[~0 (L- b)- ~0 (L- a) J} =0, y"'(L) = -4/3 4 [y(0)~2 (L) + y'(0)~1 (L)]
- {w2 ~2 (L -b) -w1 ~2 (L- a)+ w[~1 (L -b)- ~1 (L- a)J} =O que da lugar a dos ecuaciones algebraicas para dos incógnitas y( O)
1\
y'( O)
~1 ( L )y(O)+ ~o ( L )y'(O) = a 2 ,
{2
~ (L)y(0)+~1 (L)y'(O) = a 3 ,
592
~
4~ {wz~CL-b)-w1 ~(L-a)+w[(b0 (L-b)-(b0 (L-a)l), a,=- ~ 4 {w (L- b) -w (L- a)+ w[(b¡(L -b) -~(L- a)J), 4 a 2 =-
2 (Ó2
1(Ó2
y da,
Fórmulas útiles de transformada inversa de Laplace para vigas sobre base elástica.
rjJ(x)=L-
1
[
S
r/J1(x)=L-
1
4
[
S
4
1 +4/] s
4 ]=~(senfJxcoshfJx-cosfJxsenhfJx), 4/]
+4/]
4 ]=~senfJxsenhfJx, 2/]
2
r/J2 (x) = L- 1 [
s 4] 4 S +4/]
= ~senfJxsenhfJx, 2/]
3
rjJ3 (x) = L-
1
[
S
4
s
+4/]4
L-1 [_!_ 1 ] 4 4 s s +4/3
]
= cosfJxcoshfJx,
= 1- r/J3 (x)
L-1 [__!__ 1 ]= sz s4 + 4/]4
4/]4
'
r/J2(X) 4/]4 '
X-
593
tPo '(x) = -
1
2/3 2
senfJxsenhfJx = t/J1 (x),
1 t/J1 '(x) = -(senfJxcoshfJx+ cosfJxsenhfJx) = f/J2 (x),
2/3
f/J2 '(x) = cosfJxcoshfJx = fjJ3(x), 4 fjJ3'(x) = -fJ(senfJxcoshfJx- cosfJxsenhfJx) = -4f3 fjJ0 (x),
tPo "(x) = f/J1'(x) = f/J2 (x),
= f/J2 '(x) = f/J3(x), 4 f/J2 "(x) = f/J3'(x) = -4f3 f/J0 (x),
f/J1 "(x)
f/J3"(x) = -4f3 4 fjJ0 '(x) =
-4f34 t/J1(x),
tPo "'(x) = f/J2 '(x) = f/J3 (x), f/J1"'(x)
= t/J3'(x) = -4f34f/J0 (x), 4
f/J2 "'(x) = -4f3 f/J0 '(x) = f/J3"'(x) =
-4f34 t/J1(x),
-4/34 f/J1 '(x) = -4f34 fjJ2 (x),
Ejemplo 5.35: Vigas de base elástico Determine la deflexión de una viga libre en ambos extremos bajo en ambos extremos una carga Concentrado como se muestra en la siguiente figura.
vv
y Usando la función delta de Dirac, la carga concentrada se puede expresar como
594
w(x) = w8(x-a). La ecuacion diferecial se convierte en
4 d y 4fJ4 y- -w(x)--+ - - - ws:( u x-a )
dx 4
El
-
w
W=-. El
'
Puesto que ambos extremos de la viga están puestos, las condiciones de contorno son
y(O) = y"(O) = y(L) = y"(L) =O. Aplicando la transformada de Laplace de la-función incógnita y del delta de Dirac
Y(s) = L[y(x) ](s) 1\ L[ 8(x- a) ](s) =e-as se tiene que:
Puesto que y(O)=y"(O)=O, resolviendo para Y(s) se obtiene
Y(s) = 4y'(O)
4
S
s2
+4/3
4
+ y"'(O)
4
S
1
+4/3
4
+W
4
S
1
+4/3
4
e-as.
El empleo de los resultados y notaciones como en el ejemplo anterior, se obtiene la desviación del haz de viga
en el que las incógnitas y'(O) , y"'(O) se determinan a partir de las condiciones de contorno y(O)=y"(L)=O. Para x>a, la deflexión y(x) es simplificada como
Diferenciando con respecto a x dos veces se obtiene 595
y"(x) = y'(0)~2 "(x) + y"'(0)~0 "(x) + W~0 "(x-a)
= -4fi y'(0)~0 (x) + y"'(0)~2 (x) + W~2 "(x-a). 4
La aplicación de las condiciones de contorno en x = L da
y(L) = y'(0)~2 (L) + y"'(0)~0 (L) + W~0 (L) =O, y"(L) = -4,8 4 y'(0)~0 (L) + y"'(0)~2 (L) + W~0 (L- a)= O que conduce a dos ecuaciones algebraicas para dos incógnitas y '(O) e y"' (O)
{
~2 (L)y'(O) + ~0 (L)y"'(O) = a 0
,
-4fi ~0 (L)y'(O) + ~2 (L)y"'(O) = a 2 4
a0 ,
= -W~0 (L- a) a 2 = -W~2 (L- a),
y resulta
596
5 .7 Problemas propuestos •:• Evaluar la transformada de Laplace de las siguientes funciones.
l. f(t) = 4t 2
-
2t 3 + 5
2. f(t) = 3sen2t- 4cos5t \
3. f(t) = e-zt ( 4cos3t + 5sen3t)
4. f(t) = 3cosh6t + 8seh3t
5. f(t) = 3tcos2t + t 2 et
6. f(t) = tcosh2t + t 2 sen5t + t 3
7. f(t) = 7e-st cos2t + 9senh 2 2t
8.f(t)=
9. f(t)
o,
={
t O. 62. Determine la deflexión de una viga articulada en ambos extremos bajo una carga distribuida uniformemente como se muestra.
X
y 63. Determine la deflexión de la viga sujetada en ambos extremos con una carga concentrada como se muestra.
w
64.
Determine la deflexión de una viga libre sujetada bajo una carga distribuida
triangular como se muestra. 602
y 65.
Determine la deflexión de una viga de deslizamiento-sujetada bajo una carga
distribuida triangular como se muestra.
603