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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE EXTENSIÓN LATACUNGA ECUACIONES DIFERENCIALES INGENIERÍA ELECTROMECÁNICA

Proyecto final: APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Alex Hernández

Dra. Jacqueline Pozo Miércoles 21 de febrero del 2018

1. TEMA Aplicaciones de la Transformada de Laplace 2. OBJETIVOS 2.1. Objetivo General 

Determinar la

las diferentes funciones y utilidades que tiene las

transformaciones de Laplace 2.2. Objetivos Específicos 

Investigar las diferentes aplicaciones que tiene las a transformaciones de Laplace



Identificar las formas que utiliza Laplace para resolver ecuaciones diferenciales en el campo de la ingeniera.

3. MARCO TEÓRICO Como funciona Laplace La transformada de Laplace es una técnica matemática la cual está definida por medio de una integral impropia y cambia una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. Ésta, puede ser usada para resolver ecuaciones diferenciales lineales y ecuaciones integrales, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. La transformada de Laplace (ℒ) se define como: Propiedades de la Transformada de Laplace Como la transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones discontinuas, que pueden tener transformada; entonces

∞

ℒ[f(t)] = F(s) = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 0

Donde f:𝑅 + → 𝑅 y existe para todo s ∈ 𝑅 donde la integral converge. La función original f (t) se conoce como la transformada inversa o inversa F(s), es decir: 𝑓(𝑡) = ℒ −1 {𝐹(𝑠)} Sea 𝑓(𝑡) ↔ 𝐹(𝑠) ∀𝑠 > 𝑝 𝑔(𝑡) ↔ 𝐺(𝑠) ∀𝑠 > 𝑞 Propiedad de la linealidad: Para 𝛼, 𝛽 𝜖 𝐶 𝛼𝑓(𝑡) + 𝛽𝑔(𝑡) ↔ 𝛼𝐹(𝑠) + 𝛽𝐺(𝑠) ∀𝑠 𝜖 max(𝑝, 𝑞)

Propiedad de las derivadas: 𝑓 𝑛 (𝑡) ↔ 𝑠 𝑛 𝐹(𝑠) − 𝑠 𝑛−1 𝑓(0) − ⋯ − 𝑓 (𝑛−1) (0) 𝑅𝑒(𝑠) > 𝑝

APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE EN CONTROL DE PROCESOS En años recientes, los sistemas de control han asumido un papel cada vez más importante en el desarrollo y avance de la civilización moderna y la tecnología. Esto ha surgido a la necesidad de evaluar el problema y obtener la óptima solución teniendo en cuenta los siguientes aspectos: Incremento de la productividad, Alto costo de mano de obra, Seguridad, Alto costo de materiales, Mejorar la calidad, Reducción de tiempo de manufactura, Reducción de inventario en proceso, Certificación (mercados internacionales), Protección del medio ambiente (desarrollo sustentable). A pesar de que esta transformada tiene orígenes hacia fines del siglo XVIII, recién hacia principios del siglo XX, se convirtió en una herramienta común de la teoría de vibraciones y de la teoría de circuitos, dos de los campos donde ha sido aplicada con más éxito. Así, se puede representarse, de manera aproximada, el

comportamiento dinámico de los procesos en la naturaleza, por el siguiente modelo general de comportamiento dinámico lineal:

𝑎𝑛

𝑑𝑛 𝑦(𝑡) 𝑑𝑛−1 𝑦(𝑡) 𝑑 𝑛−2 𝑦(𝑡) + 𝑎 + 𝑎 + ⋯ + 𝑎0 𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) 𝑛−1 𝑛−2 𝑑𝑡 𝑛 𝑑𝑡 𝑛−1 𝑑𝑡 𝑛−2

CONTROL DE PROCESO DE UN SISTEMA MECÁNICO Se desea obtener un control de proceso al sistema de la figura, el cual es de carácter mecánico y consta, básicamente, de dos cuerpos en un recinto interactuando con resortes y amortiguación. Para esto, se sabe que la ley fundamental que controla los sistemas mecánicos es la segunda Ley de Newton, la cual se aplica a todo sistema de este estilo

Imagen 3: Sistema Mecánico

IMPLEMENTACIÓN DE TRANSFORMADA DE LAPLACE Se comenzará planteando las ecuaciones que corresponden al comportamiento de este sistema: 𝑚1

𝑑𝑥12 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 = −𝑘1 ∗ 𝑥1 − 𝑘2 (𝑥1 − 𝑥2 ) − 𝑏 ( − ) + 𝑢(𝑡) 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝑥22 𝑑𝑥2 𝑑𝑥1 𝑚2 2 = −𝑘3 ∗ 𝑥2 − 𝑘2 (𝑥2 − 𝑥1 ) − 𝑏 ( − ) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

(1)

(2)

Siendo m1 y m2 las masas de los cuerpos analizados; k1, k2 y k3 las constantes de los respectivos resortes; x1 y x2 las funciones de posición y u (t) la función excitación.

Al simplificar: 𝑚1

𝑑𝑥12 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 = −𝑘1 ∗ 𝑥1 − 𝑘2 (𝑥1 − 𝑥2 ) − 𝑏 ( − ) + 𝑘2 ∗ 𝑥2 + 𝑢(𝑡) 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

(3)

𝑑𝑥22 𝑑𝑥2 𝑑𝑥1 = −𝑘3 ∗ 𝑥2 − 𝑘2 (𝑥2 − 𝑥1 ) − 𝑏 ( − ) + 𝑘2 ∗ 𝑥1 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

(4)

𝑚2

Al aplicar la transformada de Laplace s estas últimas ecuaciones, se consigue: 𝑚1 𝑠 2 + 𝑏 ∗ 𝑠 + (𝑘1 + 𝑘2 ) ∗ 𝑋1(𝑠) = (𝑏 ∗ 𝑠 + 𝑘2 )𝑋2(𝑠) + 𝑈(𝑠)

(5)

𝑚2 𝑠 2 + 𝑏 ∗ 𝑠 + (𝑘2 + 𝑘3 ) ∗ 𝑋2(𝑠) = (𝑏 ∗ 𝑠 + 𝑘2 )𝑋1(𝑠)

(6)

APLICACIÓN DE LA TRASFORMADA DE LAPLACE EN LA DEFORMACIÓN DE VIGAS Consideremos una viga delgada de longitud L y sea y(x) su desplazamiento transversal, a una distancia x medida desde uno de los extremos, de la posición original debido a la carga. En la figura 1 esta ilustrada esta situación, con el desplazamiento medido hacia arriba. Entonces, de la teoría elemental de las vigas, tenemos

Donde W(x) es la fuerza transversal por unidad de longitud, considerando la dirección positiva hacia abajo y EI es la rigidez de flexión de la viga (E es el módulo de elasticidad de Young e I es el momento de inercia de a viga alrededor de su eje central). Se supone que la viga tiene propiedades uniformes de elasticidad y una sección transversal uniforme en toda si longitud, así que tanto E como I se toman como constantes. La ecuación 1) se escribe algunas veces como

Donde y(x) es su desplazamiento transversal medido hacia abajo y no hacia arriba como en (1). En los casos cuando la carga es uniforme a lo largo de toda la longitud de la viga, esto es, W(x)= constante,

Se puede resolver fácilmente con las técnicas normales del cálculo integral. Sin embargo, cuando la carga no es uniforme, los métodos de la transformada de Laplace tienen una ventaja importante, ya que haciendo uso de las funciones unitarias Heaviside y de las funciones impulso, el problema de resolver independientemente para varias secciones de la viga puede evitarse. Aplicando la transformada de Laplace en todo se tiene

Utilización de la transformada de Laplace para obtener la función de transferencia de la amortiguación de un automóvil Antes de comenzar a desarrollar el tema, se procederá a explicar los conceptos básicos necesarios para comprender el problema y su solución. La amortiguación de un automóvil permite controlar la carga del vehículo, mantener las ruedas alineadas, mejorar la maniobrabilidad y, principalmente, reducir las vibraciones provocadas por la forma del terreno sobre el cual se transita. Esto se logra gracias al uso de amortiguadores, muelles (resortes) y de los neumáticos. La función de los neumáticos en la amortiguación es la de absorber las pequeñas desigualdades del terreno. En cambio, la de los muelles es absorber las desigualdades grandes, y por último, los amortiguadores se encargan de limitar las oscilaciones del movimiento de los muelles. El comportamiento de la amortiguación es un proceso dinámico, es decir, que es variable en el tiempo. Es por esto, que se debe describir con ecuaciones diferenciales para poder representarlo matemáticamente.

En general, los procesos dinámicos pueden representarse de manera aproximada por el siguiente modelo:

Como la amortiguación del automóvil es un proceso dinámico, la ecuación que lo describe será similar a la anterior y para formularla utilizaremos la segunda ley de Newton, la cual indica que la sumatoria de fuerzas aplicadas a un cuerpo es igual a su masa por la aceleración, es decir:

Para encontrar la función de transferencia, primero se debe plantear el problema y encontrar la ecuación que describe el movimiento de la amortiguación del automóvil en función del tiempo. Para simplificar el problema se estudiará el proceso en una de las ruedas según la figura

Donde 𝑘: representa el muelle o resorte, y también será considerado como la constante elástica del mismo. 𝑏: representa el amortiguador. Se utiliza la ecuación para modelar el problema de la siguiente forma:

6. CONCLUSIONES 

La place tiene una infinidad de aplicaciones para utilización en la ingeniería.



La transformada de Laplace no soluciona todas las ecuaciones continuas o escalonadas

7. RECOMENDACIONES 

Para poder comprender como funciona las transformadas de Laplace tenemos que tener fundamentos de matemática avanzada.



Investigar la información de fuentes confiables para una efectividad e comprensión.

8. BIBLIOGRAFÍA http://lcr.uns.edu.ar/fvc/transformada_de_laplace.htm http://lcr.uns.edu.ar/fvc/NotasDeAplicacion/FVC-ChristianArielKent.pdf. https://es.slideshare.net/KJEP/aplicaciones-la-transformada-de-laplace-1712469 https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursoslinea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5-geo/laplace/node3.html