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Aplicaciones de la Ley de Gauss Las dos leyes fundamentales de las cuales se obtienen todas las predicciones de la electrostática: la que dice que el flujo de un campo eléctrico de un volumen es proporcional a la carga dentro (conocida como Ley de Gauss) y la que dice que la circulación de un campo eléctrico es cero. Su forma diferencial:

La ley de Gauss puede ser usada para resolver problemas de campo eléctrico que involucran una simetría especial, que puede ser esférica, cilíndrica o plana. Revisaremos los tres casos: 1) Simetría cilíndrica: Línea infinita con carga

Supongamos que tenemos un alambre cargado que se extiende en todo el espacio, desde -infinito hasta +infinito. Primeramente observamos que la única componente del campo que tenemos es la radial, las otras componentes se cancelan entre ellas debido a la simetría. Consideremos ahora una superficie cilíndrica coaxial que envuelva al alambre. De acuerdo a Gauss, el campo eléctrico es igual a la carga que encierra la superficie, dividida por

. Como el campo es normal a la superficie, la magnitud del campo es igual a

la componente radial, y nos podemos olvidar del producto punto. Entonces tenemos:

Llamemos r al radio del cilindro, y por conveniencia, tomemos su longitud como una unidad. El flujo a través del cilindro es E veces el área del cilindro, que es 2 r. El flujo a través de las bases es cero porque no tenemos campo en la dirección tangencial. La carga total dentro de la superficie es solo Entonces:

porque la longitud del alambre dentro es una unidad.

Vemos que el campo eléctrico de una línea infinita de carga depende del inverso de la distancia desde la línea de carga.

2) Simetría Plana:

Plano infinito uniformemente cargado

Ahora calcularemos el campo de un plano infinito cargado. Suponemos que la carga por unidad de área es . Considerando la simetría del plano, podemos ver que la dirección del campo es normal al plano, y que, si estuviéramos en el vacío, el campo sería el mismo a cada lado del plano. Esta vez elegiremos una caja rectangular como superficie gaussiana. Las caras laterales tienen misma área A y como el campo es normal al plano, solo tenemos flujo a través de estas caras. El flujo total será entonces el campo eléctrico por dos veces el área:

¡La magnitud del campo no depende de la distancia al plano! El problema de los dos planos paralelos con iguales pero opuestas en signo densidades de carga es simple si asumimos que el mundo exterior es simétrico. Superponiendo la solución para cada campo de las láminas nos podemos dar cuanta que el campo fuera de los planos es cero y que entre los planos es

3) Simetría Esférica:

Esfera con densidad de carga uniforme

Buscaremos cuál es el campo eléctrico dentro de una esfera de radio R uniformemente cargada, con densidad de carga

por unidad de volumen. Asumimos, por cuestiones de

simetría que el campo es radial e igual en magnitud en todos los puntos equidistantes del centro. Para encontrar el campo a una distancia r menor a R del centro tomamos una superficie gaussiana esférica. El flujo a través de esa superficie es:

y la carga dentro de la superficie gaussiana es:

Usando Gauss encontramos que el campo está dado por:

El campo eléctrico resulta ser proporcional al radio.

Los Conductores Un conductor eléctrico es un material que contiene muchos electrones libres. Estos electrones se pueden mover libremente en el conductor, pero no pueden abandonarlo, ya que para ello requieren mayor energía. Cualquier campo eléctrico pondrá en movimiento muchos de estos electrones, que, para el caso de electrostática, se detendrán solo hasta que el campo dentro del conductor sea cero. El caso de la corriente producida por los electrones no se considera ahora. Consideremos ahora el interior de un material conductor. Como es un conductor, el campo eléctrico es cero, lo que implica que el potencial es constante, por lo que cualquier conductor es una región equipotencial. A partir de la ley de Gauss, podremos concluir que la carga dentro de un conductor es cero. Toda la carga se localiza justo en la superficie del conductor, donde hay fuerzas que no les permiten dejar el material. Vemos también que el campo eléctrico justo afuera del conductor solo tiene componente normal, ya que si tuviera una pequeña componente tangencial, esta provocaría que los electrones se muevan a lo largo de la superficie; no tenemos fuerzas que prevengan eso. Dicho de otro modo, los campos eléctricos son normales en las superficies equipotenciales.

El campo eléctrico dentro de un cascarón esférico es cero.

Si analizamos con detalle cómo es que el campo eléctrico dentro de un cascaron esférico se hace cero, podremos darnos cuenta claramente porque la Ley de Gauss es cierta solo porque la fuerza de Coulomb depende exactamente del inverso del cuadrado de la distancia. Consideremos un punto dentro de una esfera uniforme cargada entonces unos conos como se muestra en la figura. A partir de la geometría se puede demostrar la siguiente relación:

Si la esfera esta uniformemente cargada, la carga

en cada uno de los elementos de

area es proporcional al área, así:

Entonces, la ley de Coulomb dice que las magnitudes del campo producido en el punto debido a estos dos elementos de área están a razón:

Observamos que los campos se cancelan, y como podemos acomodar en parejas todas las partes de la superficie, podemos concluir que el campo dentro del cascarón esférico es cero. Se han hecho experimentos que han demostrado que la ley de Coulomb sigue siendo válida hasta órdenes de ser 10 veces más débil

cm. Para órdenes menores,la fuerza eléctrica parece