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TEMARIO

UNIDAD I NUMEROS REALES 1.1 La recta numérica. 1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.3.1 Tricotomía. 1.3.2 Transitividad. 1.3.3 Densidad. 1.3.4 Axioma del supremo. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución de desigualdades de primer grado con una incógnita y de desigualdades cuadráticas con una incógnita. 1.6 Valor absoluto y sus propiedades. 1.7 Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto. UNIDAD II FUNCIONES 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función. 2.2 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva 2.3 Función real de variable real y su representación gráfica. 2.4 Funciones algebraicas: función polinomial, racional e irracional. 2.5 Funciones trascendentes: funciones trigonométricas y funciones exponenciales. 2.6 Función definida por más de una regla de correspondencia. Función valor absoluto. 2.7 Operaciones con funciones: adición, multiplicación, composición. 2.8 Función inversa. Función logarítmica. Funciones trigonométricas inversas. 2.9 Funciones con dominio en los números naturales y recorrido en los números reales: las sucesiones infinitas. 2.10 Función implícita.

UNIDAD III LÍMITE Y CONTINUIDAD 3.1 Límite de una sucesión. 3.2 Límite de una función de variable real. 3.3 Cálculo de límites. 3.4 Propiedades de los límites. 3.5 Límites laterales. 3.6 Límites infinitos y límites al infinito. 3.7 Asíntotas. 3.8 Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo. 3.9 Tipos de discontinuidades.

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UNIDAD IV DERIVADAS 4.1 Conceptos de incremento y de razón de cambio. La derivada de una función. 4.2 La interpretación geométrica de la derivada. 4.3 Concepto de diferencial. Interpretación geométrica de las diferenciales. 4.4 Propiedades de la derivada. 4.5 Regla de la cadena. 4.6 Fórmulas de derivación y fórmulas de diferenciación. 4.7 Derivadas de orden superior y regla L´Hôpital. 4.8 Derivada de funciones implícitas.

UNIDAD V APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales. 5.2 Teorema de Rolle, teorema de Lagrange o teorema del valor medio del cálculo diferencial. 5.3 Función creciente y decreciente. Máximos y mínimos de una función. Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos. Concavidades y puntos de inflexión. Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos. 5.4 Análisis de la variación de funciones 5.5 Cálculo de aproximaciones usando la diferencial. 5.6 Problemas de optimización y de tasas relacionadas.

CRITERIOS DE EVALUACION 40% RUBRICA HOLISTICA (20% INVESTIGACION, 20% PLENARIA ) 20% RUBRICA ANALITICA (PROBLEMARIO 20%) 40% CUESTINARIO (EXAMENES)

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INTRODUCCION En el Calculo Diferencial la característica más sobresaliente de esta asignatura es que en ella se estudian los conceptos sobre los que se construye todo el Cálculo: números reales, variable, función y límite. Utilizando estos tres conceptos se establece uno de los esenciales del Cálculo: la derivada, concepto que permite analizar razones de cambio entre dos variables, noción de trascendental importancia en las aplicaciones de la ingeniería. Esta asignatura contiene los conceptos básicos y esenciales para cualquier área de la ingeniería y contribuye a desarrollar en el ingeniero un pensamiento lógico, formal, heurístico y algorítmico. En el Cálculo diferencial el estudiante adquiere los conocimientos necesarios para afrontar con éxito cálculo integral, cálculo vectorial, ecuaciones diferenciales, asignaturas de física y ciencias de la ingeniería. Además, encuentra, también, los principios y las bases para el modelado matemático. En la unidad uno se inicia con un estudio sobre el conjunto de los números reales y sus propiedades básicas. Esto servirá de sustento para el estudio de las funciones de variable real, tema de la unidad dos. En la tercera unidad se introduce el concepto de límite de una sucesión, caso particular de una función de variable natural. Una vez comprendido el límite de una sucesión se abordan los conceptos de límite y continuidad de una función de variable real. En la unidad cuatro, a partir de los conceptos de incremento y razón de cambio, se desarrolla el concepto de derivada de una función continua de variable real. También se estudian las reglas de derivación más comunes. Finalmente, en la quinta unidad se utiliza la derivada en la solución de problemas de razón de cambio y optimización (máximos y mínimos).

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OBJETIVO GENERAL DEL CURSO

Al finalizar el curso de Calculo Diferencial el alumno tendrá la capacidad y destreza para plantear y resolver problemas que requieren del concepto de función de una variable para modelar y de la derivada para resolver. COMPETENCIAS A DESARROLLAR COMPETECIAS ESPECÍFICAS • Comprender las propiedades de los números reales para resolver desigualdades de primer y segundo grado con una incógnita y desigualdades con valor absoluto, representando las soluciones en la recta numérica real. • Comprender el concepto de función real e identificar tipos de funciones, así como aplicar sus propiedades y operaciones. • Comprender el concepto de límite de funciones y aplicarlo para determinar analíticamente la continuidad de una función en un punto o en un intervalo y mostrar gráficamente los diferentes tipos de discontinuidad. • Comprender el concepto de derivada para aplicarlo como la herramienta que estudia y analiza la variación de una variable con respecto a otra. • Aplicar el concepto de la derivada para la solución de problemas de optimización y de variación de funciones y el de diferencial en problemas que requieren de aproximaciones.

COMPETENCIAS GENERICAS • Procesar e interpretar datos. • Representar e interpretar conceptos en diferentes formas: numérica, geométrica, algebraica, trascendente y verbal. • Comunicarse en el lenguaje matemático en forma oral y escrita. • Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones. • Pensamiento lógico, algorítmico, heurístico, analítico y sintético. • Potenciar las habilidades para el uso de tecnologías de información.

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• Resolución de problemas. • Analizar la factibilidad de las soluciones. • Optimizar soluciones. • Toma de decisiones. • Reconocimiento de conceptos o principios integradores. • Argumentar con contundencia y precisión. COMPETENCIAS PREVIAS • Manejar operaciones algebraicas. • Resolver ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita. • Resolver ecuaciones simultáneas con dos incógnitas. • Manejar razones trigonométricas e identidades trigonométricas. • Identificar los lugares geométricos que representan rectas ó cónicas.

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UNIDAD I NUMEROS REALES

OBJETIVO PARTICULAR: Al finalizar la unidad el alumno comprenderá las propiedades de los números reales para resolver desigualdades de primer y segundo grado con una incógnita y desigualdades con valor absoluto, representando las soluciones en la recta numérica real.

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UNIDAD I NUMEROS REALES.

1.1 LA RECTA NUMÉRICA.

Recta numérica. Se representa por una línea recta en forma horizontal en el cuál se encuentran ordenados los números reales de acuerdo a su magnitud.

Es importante recordar que para cualesquiera dos números reales diferentes a los que llamaremos a y b, siempre uno es mayor que el otro. 

Si a - b es positivo, entonces a > b.

Podemos representar los números reales a lo largo de una línea recta, esta recta numérica es una imagen o gráfica de los números reales. Cada punto en la recta numérica corresponde exactamente a un número real y cada número real se puede localizar exactamente en un punto.

Ejemplo: Represente en la recta numérica los siguientes números racionales: 3/2, 7/2, -1/2,-5/2:

Solución:

Ejercicio: Represente en una recta numérica los siguientes números racionales.

a) 2 / 3 e) 9 / 2

b) 8 / 5

c) - 5 / 2

d) 7 / 4

f) - 11 / 3

g) 13 / 5

h) - 7 / 4

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1.2 LOS NÚMEROS REALES.

Todo número real puede ser racional o irracional. Todo número real es negativo, cero o positivo, existe una relación entre los números reales y los puntos de una recta, todo número real se puede asociar con un punto sobre la recta y todo punto sobre una recta se puede asociar con uno y solo un numero real. Existe un número infinito de puntos sobre una recta y también un número infinito de números reales; entre dos números reales distintos siempre es posible hallar otros números reales. Números reales

Números racionales

Números irracionales

Ejemplos: Enteros

Fracciones Decimales finitos Decimales periódicos infinitos

7 2.5090510560580 5…

Naturales {1, 2, 3, …} Cero

Inverso aditivo de los naturales {-1, -2. -3, …}

Números racionales. Son aquellos que se pueden expresar como el cociente de dos enteros (a/b), donde “a” es un entero y “b” es un entero diferente de cero. Con la explicación de que la división entre (0) no está definida. Los enteros positivos, negativos y el cero están incluidos entre los números racionales. Los números racionales pueden escribirse en forma decimal. Existen dos maneras: Decimales terminales

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Decimales que se repiten infinitamente

Ejemplos: 23/0 = no está definida 10/2 = 5 es un entero positivo  es racional. -9/3 = -3 es un entero negativo  es racional. 0/6= 0 cero  es racional. 3/11= 0.2727272 se repite después de un máximo de 2 dígitos  es racional. 2/5 = 0.4 termina  es racional.

Números irracionales. Los números reales que no son racionales se llaman irracionales. Son números reales que no pueden ser expresados en la forma a/b, donde a y b son enteros; se dice que los números irracionales son todos los decimales que no se repiten infinitamente y no terminan.

Ejemplos:

2  1.414213562 3

7  1.912931183

 = 3.1415922654 Números naturales. Son todos aquellos números positivos excepto el cero por ejemplo; 1, 2, 3, 4, etc. Es decir los números naturales son las que usamos para contar y efectuar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones.

1.3 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES.  Conmutativa de adición: La conmutatividad implica que no importa el orden de operación, el resultado siempre es el mismo.

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Por ejemplo: 4+2=2+4 6=6  Conmutativa de multiplicación:

Por ejemplo: 4.2=2.4 8=8  Asociativa de adición: La asociatividad implica que no importa el orden en que se agrupe, el resultado es el mismo.

Por ejemplo: (4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9) 6 + 9 = 4 + 11 15 = 15  Asociativa de multiplicación:

Por ejemplo: 4 . (2 . 9) = (4 . 2) . 9 4 . 18 = 8. 9 72 = 72  Distributiva de multiplicación sobre adición:

Por ejemplo: 4 . (2 + 9) = 4 . 2 + 4 . 9 4. 11 = 8 + 36 44 = 44  Identidad de la adición: x+0=x

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Por ejemplo: 4+0=4  Identidad de la multiplicación: x*1=x

Por ejemplo: 4*1=4  Inverso de la adición: x + (-x) = 0

Por ejemplo: 4 + (-4) = 0  Inverso de la multiplicación:

( x)

1 1 x

Por ejemplo:

1 (4)   1 4

1.3.1 TRICOTOMÍA.

En particular, en los Números Reales, además de las propiedades de producto y suma (que en este conjunto son cerradas), se puede destacar una propiedad de vital importancia para la Matemática, que es el orden. En otras palabras “R” es un conjunto ordenado (tiene un orden). Es decir, si “x” y “y” pertenecen a “R”, entonces se puede decir si la afirmación x > y es verdadera o no. De forma precisa se puede decir que para cada “x” y “y” en “R” se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones: x > y; x < y; x = y.

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Esta propiedad se conoce con el nombre de Ley de Tricotomía. Nótese que una consecuencia inmediata de esta ley, es que si x < y, entonces “x” es distinto de “y”. Dicho de otra forma, no existe ningún número real “x” tal que x < x. 1.3.2 TRANSITIVIDAD. Una relación binaria “R” sobre un conjunto “A” es transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero. Ejemplo: Si “a” es mayor que “b”, y “b” es mayor que “c”, entonces, “a” es mayor que “c”.

La propiedad anterior se conoce como transitividad.

O bien La relación binaria "menor que" en los enteros es transitiva: Si a a Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales: Ejemplo: 2x - 8 > 0 Que solamente satisface para x > 4. En tal caso se dice que 4 es el límite de x. Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones. Desigualdades Lineales. Una inecuación o desigualdad lineal es lo mismo que una ecuación lineal pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad. Los signos de desigualdad son: > (mayor que), < (menor que),  (mayor o igual que), y  (menor o igual que).

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Las relaciones numéricas que se expresan con estos signos se llaman desigualdades

y

las

relaciones

algebraicas

correspondientes

se

llaman

inecuaciones. Estos serían unos ejemplos de desigualdades y de inecuaciones: a) 3 + 7 > 6

b) 3 + 2 < 8

c) x - 1 < 5

d) x - 1 < x + 5

Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita. Si el grado de la inecuación es uno, se dice que la inecuación es lineal. Resolver una inecuación es encontrar los valores de la incógnita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales. El método para resolver una inecuación es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades. Es conveniente ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica. Si la solución incluye algún extremo del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un círculo en negrita o utilizando corchetes; en cambio, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo blanco (transparente), o utilizando paréntesis.

Resolución de problemas. No es muy común encontrar problemas con inecuaciones, pero de todas formas, si nos encontramos frente a este caso, debemos plantearlo en forma matemática y luego realizar las operaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el dato que deseamos conocer). Veamos un problema sencillo como ejemplo: Dentro de cinco años, Ximena tendrá no menos de 18 años. ¿Qué edad tiene actualmente Ximena? Tenemos entonces: x

edad de Ximena

x+5

edad de Ximena en 5 años

Sabemos que la edad de Ximena en cinco años será mayor que 18 años (Dentro de cinco años, Ximena tendrá no menos de 18 años).

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x + 5 > 18 Resolvemos la inecuación: x + 5 > 18 x > 18 –5 x > 13

Entonces podemos afirmar que Ximena actualmente tiene más de 13 años, pero no podemos determinar exactamente su edad.

Para resolver una desigualdad lineal se utilizan los mismos pasos que se usan para resolver una ecuación lineal. Procedimiento: 1)

Se puede añadir el mismo número en ambos miembros de una

desigualdad. 2)

Se puede multiplicar ambos miembros de una desigualdad por un número

positivo. 3)

Se puede multiplicar ambos miembros por un número negativo, pero

entonces se debe invertir el sentido del signo de desigualdad.

Ejemplo: Resolver las siguientes inecuaciones lineales.

a) 4x + 6 > 2x -7

b) 5x+12 x - 8

4x - 2x > -7 – 6

5x – 8x < -3 – 12

3+8>x-8+8

2x>-13

-3x< -15

11 > x

(-3x-13/2 x>-6.5

x>5

(-13/2,∞)

(5,∞)

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d) 4x - 3 > 53

e) -11x -5x +1 < -65x +36

f) 2x-[x -(x -50)] 53 +3

-11x -5x +65x < 36 -1

3x)

4x > 56

49x < 35

x > 56/4

x < 35/49

x > 14

x < 5/7

2x -[50] < 4x -800

(14,∞)

(-∞,5/7)

2x -50 < 4x -800

2x -[x -x +50] < x -800 +3x

2x -4x < -800 +50 (- 2x < -750) (-1/2) x>750/2 x>375 (375,∞) g) -7  2x + 1 < 19

h) -1 < - 2x + 1 < 3

i) 2x – 3 < x + 4 < 3x – 2

-1 < - 2x + - 2x + 1
-1 (-1,1) Ejercicio: Resuelva correctamente las siguientes inecuaciones lineales.

 6  x   5x  7  1)     3   5  4) 2x - 6 > 2

2) 3(3x + 3)+6 < 4(2x - 2) – 8

5)

1 1  x0 3 2

3) 3(x – 1)  5(x + 2) – 5 6) -3x + 4  2x – 6

7) 3x – 5  x + 7

8) 2x > x + 6

9) 1 + x < 7x + 5

10) 4  3x – 2 < 13

11) 2x + 7 > 3

12) 1 – x  2

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13) 2x + 1 < 5x – 8

14) -1 < 2x – 5 < 7

16) 4x < 2x + 1  3x 17) 1 + 5x > 5 - 3x

15) 0  1 – x < 1 18) 1 < 3x + 4  16

+2 19) -5  3 – 2x  9

20) 3x – 11 < 4

21) 2X-3X+1, , o , la inecuación resultante también se denomina inecuación cuadrática.

Ejemplo: Detecte que expresión matemática es inecuación cuadrática (I.C.) y cual no lo es (No I.C.): a) 2x2 - 3x  5 puede reescribirse como: 2x2 - 3x – 5  0 ===> I.C. b) (x + 3) (x - 1)  0 puede reescribirse como: x2 -x + 3x - 3 0 ===> x2 + 2x - 3  0 ===> I.C. c) 2x3 - x2 - 3x ===> No I.C. es inecuación cúbica d) x( 3x2 + 5 x - 3 ) ===> No I.C. es inecuación cúbica e) (x - 3) ( x+5) (x -8) ===> No I.C. es inecuación cúbica f) -7x2 > 9x + 3 puede reescribirse como: -7x2 - 9x - 3 > 0 ===> (-1) (-7x2 - 9x - 3) < 0 ===> 7x2 + 9x + 3 < 0 ===> I.C.

Procedimiento para solucionar desigualdades cuadráticas. Para resolver una inecuación cuadrática como ax2 + bx + c < 0 con a  0, se deben seguir los siguientes pasos:

1. Transformar la inecuación en la forma estándar, si la inecuación está escrita en cualquier otra forma.

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2. Factorizar el primer miembro de la desigualdad. Suponga que la factorización quedó como: (x + a') (x - b' ) < 0. 3. Se calculan los números críticos o puntos críticos, es decir números para los cuales los factores son cero. Esto es posible igualando a cero cada factor y despejando “x” de cada uno de ellos. En este caso con (x + a') (x - b') < 0 tenemos: (x + a') = 0 ===> x = -a' y además (x - b') = 0 ===> x = b' 4. Se hace un diagrama de signos, para encontrar los signos de los dos factores. Este diagrama nos ayuda a determinar cuándo los dos factores son ambos positivos o ambos negativos, porque entonces su producto será positivo. Para ello se señalan sobre una recta numérica los puntos para los cuales los factores son cero (en este x = - a' y x = b'). Al señalar los puntos críticos o números críticos, la recta numérica se divide en intervalos. 5a. Generalizando, si la ecuación fuese (xa’)(xb’)0 se tomarán los intervalos donde se cumpla que sea > 0, es decir que sean positivos. Además para el primer caso es estrictamente "menor que cero" por lo que los números críticos no son tomados en cuenta, y para el segundo caso es estrictamente "mayor que cero" por lo que los números críticos no son tomados en cuenta. Y para ambos casos el(los) intervalo(s) resultante(s) será(n) abierto(s) en ese punto. 5b. Generalizando, si la ecuación fuese (xa’)(xb’)0 se tomarán los intervalos donde se cumpla que sea  0, es decir que sean negativos, pero además dado que es "menor o igual que cero" implicará que los números críticos serán tomados en cuenta. Lo mismo ocurre si la ecuación fuese (xa’)(xb’)0 , se tomarán los intervalos donde se cumpla que sea  0, es decir que sean positivos, además por el hecho de que sea "mayor o igual que cero" implica que los números críticos serán tomados en cuenta. Y para ambos el(los) intervalo(s) resultante(s) será(n) cerrado(s) en ese punto.

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Procedimiento en el método gráfico 1. Se factoriza el polinomio 2. Se organizan los factores de tal modo que la incógnita quede escrita en la parte izquierda de cada paréntesis y con signo positivo 3. Se traza una recta real por cada factor y una recta real adicional para el resultado 4. Se calculan las raíces contenidas en cada factor 5. Se ubican en cada recta real las respectivas raíces calculadas en el paso anterior 6. Se trazan rectas verticales por cada punto-raíz 7. A la izquierda de cada raíz ubicada en su respectiva recta, se señala con un signo menos y a la derecha con un signo más 8. Aplicando la "Ley de los signos" se halla el resultado de multiplicar los signos de cada columna, dicho resultado se escribe en el lugar correspondiente de la recta real de resultados 9. Si el sentido de la inecuación es >, la solución estará constituida por todos los intervalos, en la recta resultado, señalados con el signo más; en cambio si el sentido de la inecuación es 3 - 2x

Solución:

Solución: (3x2)(3) + x – (10)(3) < 0

x2 + 2x – 3 > 0

9x2 +3x – 30 < 0

(x+3)(x-1) > 0

3x  63x  5  0

x = -3 y x= 1

3

-4

-3

-2

-1

0

1

2

(x+2)(3x-5) < 0

x+3

-

0

+

+

+

+

+

x = -2 y x= 5/3

x-1

-

-

-

-

-

0

+

Prod.

+

0

-

-

-

0

+

-3

-2

-1

0 1 5/3 2

x+2

-

0

+

+ +

+

+

3x-5

-

-

-

-

-

0

+

Prod.

+

0

-

-

-

0

+

(-,-3)U(1, )

(-2,5/3) e) (x-1)(x+3) > 0

f) x2 + x – 12 < 0

Solución:

Solución: x= 1 y x=-3

(x+4)(x-3) < 0 x = -4 y x= 3

-4

-3

-2

-

0 1 2

-

1

-

-

-

-

0 1 2 3 4

5 4 3 2 1

x-1

-

-

-

-

-

0 +

x+4

-

0 + + + + + + + +

x+3

-

0

+

+

+ + +

x-3

-

-

-

-

-

-

-

-

0 +

Prod.

+

0

-

-

-

Prod. + 0

-

-

-

-

-

-

0 +

0 +

(-,-3)U(1, )

(-4,3)

g) x2 – 7x + 10 < 0

h) x (x+1) < 2

Solución:

Solución: (x-5)(x-2) < 0

x (x+1) < 2

x =5 y x=2

x2 + x < 2

1 2 3 4 5 6

x2 + x – 2 < 0

x-5

-

-

(x+2)(x-1) < 0

x-2

-

0 + + + +

-

-

0 +

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x = -2 y x= 1

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Prod. + 0

-

-

0 +

(2,5)

-3

-2

-1

0

1 2

x+2

-

0

+

+ + +

x-1

-

-

-

-

0 +

Prod.

+

0

-

-

0 +

(-2,1)

Ejercicio: Resuelva correctamente las siguientes inecuaciones cuadráticas. 1) x2 – 6x + 9  0

2) x2  4

3) x2 – 7x + 12  0

4) 3x2 – x – 2 > 0

5) (x+6)(x-2) > 6x – 9

6) 2x2 + x – 15  0

7) 2x2 + 5x – 3 < 0

8) 4x2 + 20x + 24 < 0

9) (x+2)(x-4)  0

10) 2x2 – 5x – 3  0

11) –x3 + 7x2 - 10x> 0

12) x3 + 6x2 –x –300

13) (x-2)(x+3)(x-5)(x+1)  0

1.6 VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES

Valor absoluto. Se representa con el símbolo |x|. El valor absoluto de un número se calcula de la siguiente manera: 

si el número es negativo, lo convertimos a positivo.



si el número es cero o positivo, se queda igual. Ejemplos: |7| = 7 |-3| = 3

O bien lo podemos definir como: |x| = x

si x > 0

|x| = -x

si x < 0

Ejercicios: |6| = 6 |-5| = -(-5) = 5

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Propiedades. El valor absoluto se comporta en forma regular en la multiplicación y en la división, pero no así en la adición y sustracción. a)

|a.b| = |a| . |b|

b)

|a/b| = |a| / |b|

c)

|a+b|  |a| + |b|

d)

|a-b|  |a| - |b|

Por ejemplo:

a)

|(2)(3)| = |2| . |3| |6| = (2)(3) 6=6

b)

|2/3| = |2| / |3| 2/3 = 2/3

c)

d)

|2+3|  |2| +|3|

|(-2)(-3)| = |-2| . |-3| |6| = (2)(3)

|-6| = (2)(3)

6=6

6=6

|-2/-3| = |-2| / |-3| 2/3 = 2/3

|-2/3| = |-2| / |3| 2/3 = 2/3

|-2+(-3)|  |-2| + |-3|

|5|  2+3

|-5| 2+3

55

55

|2-3|  |2|- |3|

|(-2)(3)| = |-2| . |3|

|-2-(-3)|  |-2| - |-3|

|-2+3|  |-2| + |3| |1| 2+3 15 |-2-3|  |-2| - |3|

|-1|  2-3

|1|  2-3

|5|  2-3

1  -1

1  -1

5  -1

ANTOLOGIA DE CALCULO DIFERENCIAL

Instituto Tecnológico Superior de las Choapas Ingeniería

INDUSTRIAL

1.7 RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES QUE INCLUYAN VALOR ABSOLUTO.

Inecuaciones lineales que comprenden valores absolutos:

Hay desigualdades que envuelven dos posibles soluciones, una positiva y otra negativa. Por ejemplo: a) | 10x - 2| 9

b) | x - 1| < 5

10x - 2  -9

10x – 2  9

10x  -9 + 2

10x  9 + 2

-5 < x - x – 1