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• Martín Sánchez

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TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE CUAUTITLÁN IZCALLI Av.Nopaltepec,S/N., col. Fracción la Coyotera del Ejido de San Antonio Cuamatla, Cuautitlán Izcalli,cp. 54748

ASIGNATURA: CALCULO INTEGRAL CARRERA: INGENIERIA INDUSTRIAL

ANTOLOGÍA PARA EL UTOAPRENDIZAJE SOLIS HERNÁNDEZ VICTOR ALFONSO HERNÁNDEZ RAMIREZ VICTOR HUGO LOPÉZ TORRES CRISTIAN RAFAEL SANCHEZ MARTINEZ MARTIN JUAREZ RAMIREZ RUBÉN

PRESENTACIÓN 1.- Caracterización de la asignatura.

Esta asignatura contribuye a desarrollar un pensamiento lógico, heurístico y algorítmico al modelar fenómenos y resolver problemas en los que interviene la variación. Hay una diversidad de problemas en la ingeniería que son modelados y resueltos a través de una integral, por lo que resulta importante que el ingeniero domine el Cálculo integral. El problema esencial del Cálculo integral es calcular áreas de superficies, particularmente el área bajo la gráfica de una función; de manera más sencilla, sumar áreas de rectángulos. Varios conceptos son descritos como el producto de dos variables; por ejemplo: trabajo, como fuerza por distancia; fuerza como el producto de la presión por el área; masa como densidad por volumen. Si cada uno de los factores que componen el producto se asocian con cada uno de los ejes coordenados; el producto se asocia en el plano con una área que puede ser calculada a través de una integral. En general, si se define un plano p q, entonces la integral nos permite calcular áreas en este plano, las unidades del área resultante están definidas por las unidades de los factores.

2.- Intención didáctica. Buscando la comprensión del significado de la integral se propone un tratamiento que comience por lo concreto y pase luego a lo abstracto, así se sugiere que la integral definida se estudie antes de la indefinida puesto que aquélla puede ser abordada a partir del acto concreto de medir áreas. Se incluye la notación sumatoria para que el alumno la conozca y la maneje en la representación de sumas de Riemann. La función primitiva se define junto con el Teorema Fundamental por estar íntimamente ligados. Las integrales impropias se ubican en esta unidad por ser un caso de integral definida, para aprovechar el contexto. Una vez que se abordó la construcción conceptual de la integral definida, se estudian la integral indefinida y los métodos de integración, para tener más herramientas en la construcción de la antiderivada, necesaria para aplicar el Teorema Fundamental.

Las aplicaciones incluidas en el temario son las básicas, adecuadas a las competencias previas de los estudiantes, con el objetivo que sean ellos quienes planteen por sí mismos la integral a aplicar y resolver. Se complementa el tratamiento de aplicaciones con la identificación, por parte del alumno, de la integral en diferentes temas de ingeniería. Se incluye la serie de Taylor puesto que el cálculo de algunas integrales se facilita o posibilita representando la función a integrar como una serie de potencias. La lista de prácticas y actividades de aprendizaje recomendadas no es exhaustiva, se han incluido ejemplos que pretenden favorecer el desarrollo de las competencias. En dichas actividades se especifica la participación del alumno con la intención de resaltar su papel activo. En algunas unidades se sugiere iniciar el tratamiento del tema con la realización de una práctica, esto obedece a lo expuesto arriba: partir de lo concreto para llegar a lo abstracto.

INDICE CONTENIDO

PRESENTACIÓN ……………………………………………………………………………………………….. INSTRUCCIONES PARA EL USO DE LA ANTOLOGÍA PARA EL AUTOAPRENDIZAJE ……. SYLABUS DE CALCULO INTEGRAL ……………………………………………………………………….

UNIDAD I

Teorema fundamental del cálculo ………………………………. Medición aproximada de figuras amorfas……………………………………… Notación sumatoria………………………………………………………………. Sumas de Riemann………………………………………………………………. Definición de integral definida…………………………………………………... Teorema de existencia…………………………………………………………… Propiedades de la integral definida…………………………………………….. Función primitiva…………………………………………………………………. Teorema fundamental del cálculo………………………………………………. Cálculo de integrales definidas…………………………………………………. Integrales Impropias………………………………………………………………

UNIDAD II

Integral indefinida y métodos de integración………………… Definición de integral indefinida………………………………………………… Propiedades de integrales indefinidas…………………………………………. Cálculo de integrales indefinidas……………………………………………….. Directas……………………………………………………………………. Con cambio de variable…………………………………………………. Trigonométricas………………………………………………………….. Por partes…………………………………………………………………. Por sustitución trigonométrica…………………………………………... Por fracciones parciales………………………………………………….

UNIDAD III Aplicaciones de la integral……………………………………. Áreas………………………………………………………………………………. Área bajo la gráfica de una función……………………………………. Área entre las gráficas de funciones…………………………………... Longitud de curvas………………………………………………………………. Cálculo de volúmenes de sólidos de sólidos de revolución…………………. Cálculo de centroides……………………………………………………………. Otras aplicaciones………………………………………………………………..

PAGINA

UNIDAD IV Series ..……………………………………………………………. Definición de serie……………………………………………………………….. Finita………………………………………………………………………. Infinita……………………………………………………………………... Serie numérica y convergencia Prueba de la razón (criterio de D´Alembert) y Prueba de la raíz (criterio de Cauchy)………………………………………………….. Serie de potencias………………………………………………………………. Radio de convergencia…………………………………………………………. Serie de Taylor…………………………………………………………………… Representación de funciones mediante la serie de Taylor…………………. Cálculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor…… BIBLIOGRAFIA …………………………………………………………………. RESPUESTA A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN ……………

INSTRUCCIONES PARA EL USO DE LA ANTOLOGÍA PARA EL AUTOAPRENDIZAJE

El participante del curso deberá, dedicar un tiempo razonable, para leer detenidamente y con la mayor atención posible el presente trabajo, o en su defecto si es el caso y se presentan dudas con respecto a alguna descripción, tomar las notas correspondientes de las preguntas que se presenten, ya que en base al sentido de comprensión que tenga, podrá lograr desarrollar las actividades que se proponen con la mejor calidad y a la vez sin equivocarse, es decir que responderá a los reactivos, preguntas y ejercicios, y así obtendrá los resultados correctos.

En base a las lecturas que se recomiendan por cada subtema, deberá de realizar anotaciones para poder comprender, estimar y resolver los ejercicios propuestos, para lo cual se recomiendan los siguientes materiales: calculadora científica, cuaderno de trabajo (de preferencia de cuadricula), lápiz o pluma.

IDENTIFICACIÓN DE LA MATERIA CARRERA: Ingeniería Industrial

NIVEL: Tecnólogo

MATERIA: Calculo Integral

CRÉDITOS:

CLAVE: ACF-0902

SEMESTRE: 2°

HORAS SEMANALES: 5

PROFESOR: Raygoza Trejo Ángel

DURACIÓN:

Tel:

HORARIO: Martes de 18:00 a 20:00,

E-Mail:

Jueves de 18:00 a 20:00 Viernes 16:00 a 17:00

Http:// PENDIENTE

ACADEMIA; Http:// PENDIENTE

FECHA DE AUTORIZACIÓN POR LA ACADEMIA: VERSIÓN: Primera

PREREQUISITOS * Conocimientos de cálculo diferencial. * Manipulación de calculadora científica. * Manejo de funciones principales de la computadora.

COMPETENCIAS

• Contextualizar el concepto de Integral. • Discernir cuál método puede ser más adecuado para resolver una integral dada y resolverla usándolo. • Resolver problemas de cálculo de áreas, centroides, longitud de arco y volúmenes de sólidos de revolución. • Reconocer el potencial del Cálculo integral en la ingeniería.

CONTENIDO

1 Teorema fundamental del cálculo. 1.1 Medición aproximada de figuras amorfas. 1.2 Notación sumatoria. 1.3 Sumas de Riemann. 1.4 Definición de integral definida. 1.5 Teorema de existencia. 1.6 Propiedades de la integral definida. 1.7 Función primitiva. 1.8 Teorema fundamental del cálculo. 1.9 Cálculo de integrales definidas. 1.10 Integrales Impropias. 2 Integral indefinida y métodos de integración. 2.1 Definición de integral indefinida. 2.2 Propiedades de integrales indefinidas. 2.3 Cálculo de integrales indefinidas. 2.3.1 Directas. 2.3.2 Con cambio de variable. 2.3.3 Trigonométricas. 2.3.4 Por partes. 2.3.5 Por sustitución trigonométrica. 2.3.6 Por fracciones parciales. 3 Aplicaciones de la integral. 3.1 Áreas. 3.1.1 Área bajo la gráfica de una función. 3.1.2 Área entre las gráficas de funciones. 3.2 Longitud de curvas. 3.3 Cálculo de volúmenes de sólidos de sólidos de revolución. 3.4 Cálculo de centroides. 3.5 Otras aplicaciones. 4 Series 4.1 Definición de seria. 4.1.1 Finita. 4.1.2 Infinita. 4.2 Serie numérica y convergencia Prueba de la razón (criterio de D´Alembert) y Prueba de la raíz (criterio de Cauchy). 4.3 Serie de potencias. 4.4 Radio de convergencia. 4.5 Serie de Taylor.

4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor. 4.7 Cálculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor.

METODOLOGÍA DEL CURSO

Buscando la comprensión del significado de la integral se propone un tratamiento que comience por lo concreto y pase luego a lo abstracto, así se sugiere que la integral definida se estudie antes de la indefinida puesto que aquélla puede ser abordada a partir del acto concreto de medir áreas. Se incluye la notación sumatoria para que el alumno la conozca y la maneje en la representación de sumas de Riemann. La función primitiva se define junto con el Teorema Fundamental por estar íntimamente ligados. Las integrales impropias se ubican en esta unidad por ser un caso de integral definida, para aprovechar el contexto. Una vez que se abordó la construcción conceptual de la integral definida, se estudian la integral indefinida y los métodos de integración, para tener más herramientas en la construcción de la antiderivada, necesaria para aplicar el Teorema Fundamental. Las aplicaciones incluidas en el temario son las básicas, adecuadas a las competencias previas de los estudiantes, con el objetivo que sean ellos quienes planteen por sí mismos la integral a aplicar y resolver. Se complementa el tratamiento de aplicaciones con la identificación, por parte del alumno, de la integral en diferentes temas de ingeniería.

Se incluye la serie de Taylor puesto que el cálculo de algunas integrales se facilita o posibilita representando la función a integrar como una serie de potencias. La lista de prácticas y actividades de aprendizaje recomendadas no es exhaustiva, se han incluido ejemplos que pretenden favorecer el desarrollo de las competencias. En dichas actividades se especifica la participación del alumno con la intención de resaltar su papel activo. En algunas unidades se sugiere iniciar el tratamiento del tema con la realización de una práctica, esto obedece a lo expuesto arriba: partir de lo concreto para llegar a lo abstracto.

PROGRAMACIÓN DE CLASES SESIÓN

TEMA

BIBLIOGRAFÍA

1.1 Medición aproximada de figuras amorfas.

(120 min.)

I pag.

1.2 Notación sumatoria.

(120 min.)

I pag.

1.3 Sumas de Riemann.

(120 min.)

I pag.

1.4 Definición de integral definida.

(120 min.)

I pag.

1.5 Teorema de existencia.

(120 min.)

I pag.

1.6 Propiedades de la integral definida.

(120 min.)

I pag.

1.7 Función primitiva.

(120 min.)

I pag.

1.8 Teorema fundamental del cálculo.

(120 min.)

I pag.

1.9 Cálculo de integrales definidas.

(120 min.)

I pag.

1.10 Integrales Impropias.

(120 min.)

I pag.

Primer examen parcial

( 120 min. )

2.1 Definición de integral indefinida.

(120 min.)

I pag.

2.2 Propiedades de integrales indefinidas.

(120 min.)

I pag.

2.3 Cálculo de integrales indefinidas.

(120 min.)

I pag.

2.3.1 Directas.

(120 min.)

I pag.

2.3.2 Con cambio de variable.

(120 min.)

I pag.

2.3.3 Trigonométricas.

(120 min.)

I pag.

2.3.4 Por partes.

(120 min.)

I pag.

2.3.5 Por sustitución trigonométrica.

(120 min.)

I pag.

2.3.6 Por fracciones parciales.

(120 min.)

I pag.

(120 min.)

I pag.

(120 min.)

I pag.

Segundo examen parcial

3.1 Áreas. 3.1.1 Área bajo la gráfica de una función.

( 120 min. )

(120 min.)

I pag.

3.2 Longitud de curvas.

(120 min.)

I pag.

3.3 Cálculo de volúmenes de sólidos de sólidos de revolución. 3.4 Cálculo de centroides.

(120 min.)

I pag.

(120 min.)

I pag.

(120 min)

I pag.

4.1.1 Finita.

(120 min)

I pag.

4.1.2 Infinita.

(120 min)

I pag.

3.1.2 Área entre las gráficas de funciones.

Tercer examen parcial

( 120 min. )

4.1 Definición de seria.

4.2 Serie numérica y convergencia Prueba de la razón (criterio de D´Alembert) y Prueba de la raíz (criterio de Cauchy). 4.3 Serie de potencias.

(120 min)

I pag.

(120 min)

I pag.

4.4 Radio de convergencia.

(120 min)

I pag.

4.5 Serie de Taylor.

(120 min)

I pag.

4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor. 4.7 Cálculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor.

(120 min)

I pag.

(120 min)

I pag.

Cuarto examen parcial

( 120 min. )

EVALUACIÓN CONCEPTO

VALOR PORCENTUAL

1er parcial.- Asistencia

( %)

1er parcial.- Trabajos (tareas)

(%)

1er parcial.- Examen

( %) Total 1er parcial

100%

2do parcial.- Asistencia

(%)

2do parcial.- Trabajos (tareas)

(%)

2do parcial.- Examen

(% ) Total 2do parcial

(100%)

3er parcial.- Asistencia

(%)

3er parcial.- Trabajos (tareas)

(%)

3er parcial.- Examen

(%) Total 3er parcial

(100%)

4to parcial.- Asistencia

(%)

4to parcial.- Trabajos (tareas)

(%)

4to parcial.- Examen

(%) Total 4to parcial

(100%)

BIBLIOGRAFÍA

1. Stewart, James B. Cálculo con una Variable. Editorial Thomson, 2. Larson, Ron. Matemáticas 2 (Cálculo Integral), McGraw-Hill, 2009. 3. Swokowski Earl W. Cálculo con Geometria Analítica. Grupo Editorial iberoamericana,1998. 4. Leithold, Louis. El Cálculo con Geometría Analítica, Editorial Oxford University Press, 2009. 5. Purcell, Edwin J. Cálculo, Editorial Pearson, 2007. 6. Ayres, Frank. Cálculo, McGraw-Hill, 2005. 7. Hasser, Norman B. Análisis Matemático Vol. 1, Editorial Trillas, 2009. 8. Courant, Richard. Introducción al Cálculo y Análisis Matemático Vol. I, Editorial Limusa, 2008. 9. Aleksandrov, A. D., Kolmogorov A. N., Laurentiev M. A. La matemática: su contenido, métodos y significado. Madrid, Alianza Universidad, 1985. 10. Boyer C. B. (1959). The history of the Claculus and its conceptual development. New York, Dover Publications Inc. Software: El que se tenga disponible.

UNIDAD I TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. OBJETIVO

DURACIÓN: 9 Sesiones (1020 min) COMPETENCIAS CON LA QUE SE RELACIONA EL OBJETIVO

• Contextualizar el concepto de integral definida. • Visualizar la relación entre cálculo diferencial y el cálculo integral. • Calcular integrales definidas. CONTENIDO

1.1 Medición aproximada de figuras amorfas. 1.2 Notación sumatoria. 1.3 Sumas de Riemann. 1.4 Definición de integral definida. 1.5 Teorema de existencia. 1.6 Propiedades de la integral definida. 1.7 Función primitiva. 1.8 Teorema fundamental del cálculo. 1.9 Cálculo de integrales definidas. 1.10 Integrales Impropias. ACTIVIDADES DE LA UNIDAD

• Actividad del alumno: Se propone realizarla práctica 1.1. • Actividad del alumno: Para una colección de funciones simples (como y =1, y = x, y = ex , y = x2…) construir la primitiva a partir de la definición.

• Actividad del alumno: Realizar la práctica 1.2. • Actividad conjunta maestro-alumno: Consultar el enunciado del Teorema Fundamental del Cálculo y establecer la relación entre el enunciado y las conclusiones de la práctica 1.1. Se sugiere que en este punto el profesor haga un cierre, precisando el Teorema.

REFERENCIA NO 1

1. Stewart, James B.

Cálculo con una Variable.

Editorial Thomson, PAGINAS: a

2. Larson, Ron . Matemáticas 2 (Cálculo Integral),

McGraw-Hill, 2009.

PAGINAS: a

Teorema fundamental del cálculo. Medición aproximada de figuras amorfas. Teorema fundamental del calculo El teorema fundamental del cálculo es la afirmación de que la derivación y la integración son operaciones inversas: si una función continua primero se integra y luego se deriva, se recupera la función original. Una consecuencia importante, en ocasiones denominada el segundo teorema fundamental del cálculo, permite calcular integrales a base de emplear una primitiva de la función a integrar. 1.1 Medición aproximada de figuras amorfas Rectángulo Genérico Definiremos, para nuestra presentación, un rectángulo genérico. El mismo se formaráteniendo como base el eje de coordenadas, (bien sea eje X o el eje Y), dependiendo de lacurva que estemos estudiando.En ocasiones el rectángulo genérico puede ser vertical, si tiene como base el ejeX. (Ver Figura 1). Pero es posible que el rectángulo sea horizontal, para este caso la base está sobreel eje Y. (Ver Figura 2)

Figura1 Figura

2 (Ver Figura 2).

Ahora bien, la longitud de los rectángulos vendrá determinada por la curva. Es decir; dondetoque el rectángulo a la curva, esa será la longitud.El ancho del rectángulo vendrá dado por la exactitud del cálculo que deseamos hacer.Para estudios siguientes, haremos que el ancho del rectángulo se haga tan pequeño como ellímite cuando tiende a cero

1.2 Notacion sumatoria INTEGRAL DEFINIDA (NOTACION SUMATORIA) “Si en cualquier figura delimitada por rectas y por una curva; se inscriben y circunscriben rectángulos en número arbitrario, y si la anchura de tales rectángulos se va disminuyendo a la par que se aumenta su número hasta el infinito, afirmo que las razones entre las figuras inscrita y circunscrita y la figura curvilínea acabarán siendo razones de igualdad”--- Isaac Newton. El área, es un concepto familiar para todos nosotros, por el estudio de figuras geométricas sencillas como el triángulo, el cuadrado, el círculo y el rectángulo. La idea o el concepto que manejamos de área, es la magnitud que mide de algún modo el tamaño de una región acotada, es decir, cuanto mide una superficie. Ciertamente, para hallar el área de las figuras geométricas sencillas que ya conocemos, disponemos de formulas matemáticas que facilitan este cálculo. Ahora, nuestro problema consiste en encontrar un método, que nos permita calcular el área de cualquier región, sin importar la forma que esta tenga. Para lograr esto, es necesario primero introducir el símbolo o la notación de Sumatoria. Para representar esto, se una la letra griega mayúscula Σ “sigma”, para abreviar la sumatoria, y se usa de este modo:

Σ y sus partes son: a: representa los términos de la sumatoria ak: representa el termino k-ésimo de la sumatoria an: representa el termino n-ésimo y último de la sumatoria k: es el índice de la sumatoria 1: es el límite inferior de la sumatoria n: es el límite superior de la sumatoria

Gráfica 1. Como habíamos mencionado anteriormente, nuestra preocupación ahora, es encontrar el área de cualquier superficie sin importar su forma. Supongamos que queremos hallar el área de la región comprendida entre el eje x, la recta x=a, la recta x=b y la gráfica de la función f(x) (Gráfica 1).

Gráfica 2. Ahora, supongamos que tomamos la región y la dividimos en una serie de rectángulos de base x (Gráfica 2.). Si lográramos calcular el área de cada uno de esos rectángulos, y las sumáramos todas, obtendríamos una aproximación del área total de la región que deseamos. Pero como ya vimos que esa sumatoria se puede reducir a una sola expresión, podríamos hacerlo de modo que, tomemos un valor xi, dentro del intervalo [a,b], tal que exista xi y un f(xi), de tal manera que se cumpla que:

de esta manera se puede calcular el área de ese rectángulo así: , Puesto que el área de un rectángulo, como todos sabemos, es base por altura. Debido a que este rectángulo puede ser cualquier rectángulo dentro de la región, puesto que xi puede ser cualquier valor, ya podemos sumar sus áreas para lograr la aproximación: , Donde esta sumatoria nos representa el área aproximada de la región que deseamos. Como ya habíamos visto que xi, representa cada una de las particiones de nuestra región, ahora definamos a P como la partición más grande de todas, es decir la base de rectángulo más grande de dotas las de la región y n el número de particiones. Así, si hacemos que P se haga tan pequeño como pueda o que el número de particiones n, se haga lo más grande que pueda, hallamos una mejor aproximación del área que buscamos (Gráfica 3).

Gráfica 3. De aquí podemos deducir que si hallamos el Límite cuando el número de rectángulos sea muy grande o cuando las longitudes de las bases de esos rectángulos sean muy pequeñas, lograremos la mejor y más exacta aproximación del área que tanto hemos buscado. Y esto se representa así:

,

que es equivalente a, , con esto ya encontramos la mejor aproximación del área. Ahora si, podemos definir la integral definida ya que, Por lo tanto podemos deducir que la integral definida es una suma y así la hemos definido. Y de esta manera, también hemos mostrado la primera aplicación de la integración definida, hallar el área bajo una curva. Ya que definimos la integral definida, identifiquemos cual es su notación y las partes que la componen. Toda la expresión se lee, integradle f(x), desde a hasta b; a y b, son los límites de integración, donde a es el límite inferior y b es el límite superior. El símbolo", es una s mayúscula alargada, que significa suma y se llama símbolo de integración. La función f(x), es el integrando y el dx, se llama diferencial y es el que lleva la variable de integración que en este caso es x. ÁREA ENTRE CURVAS Como ya hemos definido la integral definida como una suma y además hemos visto como se halla el área de una región comprendida entre una curva y en eje, ahora veremos como se hace este mismo cálculo para hallar el área de una región que este comprendida entre dos curvas, es decir, entre las gráficas de dos funciones. El concepto para calcular el área entre dos curvas, es el mismo que ya habíamos estudiado. La región a trabajar, se divide en rectángulos, y se determinan los mismos parámetros para calcular el área de este, es decir su base y su altura. La diferencia en esta aplicación es que la altura del rectángulo se define de una manera algo distinta, debido a que hay dos funciones involucradas.

Gráfica 4.

Como podemos ver en la Gráfica 4, el intervalo de la región esta definido por los puntos de corte de las dos funciones, esto es en el caso de las los tengan dichos puntos, por otro lado, si las funciones no se cortan, para hallar el área entre ellas, es necesario definir un intervalo mediante “tapas”, que son rectas constantes en función de y, de igual manera que definimos el intervalo en la aplicación anterior. Ahora que ya sabemos todo el proceso para hallar el área, sólo resta, mostrar como es que cambia el asunto de la altura del rectángulo. Y eso lo podemos representar así: Donde f(x)-g(x), representa la altura del rectángulo diferencial. Con esto ya hemos mostrado y definido otra aplicación de la integral definida. SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Ya está visto que la integral definida es aplicable, cuando se trata de hallar áreas, pero ¿será aplicable para hallar volúmenes formados por rotación de una función?, la respuesta a esta pregunta es si, si es posible calcular estos volúmenes, llamados volúmenes de revolución, mediante integración definida. Más adelante y en el transcurso de este tema, veremos que el cálculo del volumen de un sólido, es como una expansión del cálculo del área, a una tercera dimensión. Igual que para hallar el área, tomemos una figura sencilla, para hallar su volumen, por ejemplo un cilindro. Dado que el cilindro es un prisma, igual que un paralelepípedo, su volumen puede ser calculado como tal, área de su base por su altura.

si

Método de los discos

Gráfica 5. Como ya vimos, el volumen de un cilindro, ahora nos queda más fácil comprender el concepto de volumen por el método de los discos. Como sabemos las dimensiones del disco diferencial (Gráfica 5.), son muy parecidas a las de un cilindro, de hecho el disco es prácticamente un cilindro cuya altura es mucho menor al radio de su base. De esto podemos deducir que si queremos hallar el volumen del sólido de la gráfica, es necesario sumar los volúmenes de los discos que quepan dentro del sólido y si llevamos esa cantidad, hacia el infinito, igual que con el área, obtendremos la mejor aproximación del volumen y para esto ya vimos como funciona la integral definida, es por eso que para este caso el cálculo del volumen del sólido, es una expansión del cálculo del área de una superficie plana. Calculemos el volumen del disco si, el radio es f(x) y su espesor es x. , de aquí, deducimos que, , por lo tanto , dado que el volumen esta entre a y b, De esta manera, podemos calcular el volumen de un sólido, mediante el método de los discos. Método de las arandelas Este método, es sin duda una expansión del anterior, debido a que también se basa en discos, pero esta vez con un agujero, es por eso que se les llama arandelas. El hecho que se presente el agujero, se debe a que el volumen de revolución lo forma la rotación de dos funciones, a un mismo sentido y a un mismo ritmo, de donde generalmente se forma un sólido hueco.

Gráfica 6. Ahora, si miramos la Gráfica 6; nos damos cuenta que el proceso para hallar el volumen es muy similar al del método anterior, pero aquí es necesario hacer una resta de volúmenes para la arandela, si el radio mayor es f(x) y el radio menor es g(x), y Va es el volumen de la arandela, , de aquí ya podemos hallar fácilmente el volumen del sólido, desarrollando la integral definida en el intervalo [a,b]. Método de los casquillos cilíndricos Cuando necesitamos hallar el volumen de un sólido de revolución, a veces los casquillos cilíndricos nos pueden dar una solución más fácil, que el método de las arandelas. En parte, la razón es que la formula a la que nos llevan no requiere que se eleve al cuadrado. Los métodos de discos y arandelas usaban como elemento representativo de volumen un disco circular, generado al girar un rectángulo orientado perpendicularmente al eje de rotación o revolución. El método de los casquillos usa como elemento representativo de volumen un cilindro que es generado al girar un rectángulo, orientado de forma paralela al eje de revolución. En primer lugar es necesario que desarrollemos la formula para el volumen del cilindro diferencial.

Gráfica 7.

Anteriormente ya habíamos calculado el volumen de un cilindro, así que aquí, miraremos una formula geométrica que nos dice que el volumen de un casquillo barrido por un rectángulo es: V=2

(radio promedio del casquillo)(altura del casquillo)(grosor)

en nuestro caso es:

Gráfica 8. Supongamos que hacemos girar la región sombreada de la Gráfica 8, alrededor del eje y para generar un sólido. Para hallar una aproximación del volumen del sólido, así:

Gráfica 9. Como podemos ver en la Gráfica 9, de la rotación resultan casquillos cilíndricos diferenciales. Si hacemos la sumatoria de volúmenes de los casquillos diferenciales, obtendremos el volumen del sólido de revolución. Anteriormente, habíamos definido el volumen de uno de los casquillos diferenciales en términos de la función, así que ya podemos afirmar que: Esto es el resultado de hacer la sumatoria de los volúmenes de los casquillos diferenciales y es el método de los casquillos para calcular volúmenes de revolución.

VOLÚMENES POR REBANADAS Cuando analizamos el método de los discos para hallar el volumen de un sólido, llegamos a la formula: donde , era el área de la sección circular y

x el espesor del disco.

Ahora podemos generalizar este método, para calcular el volumen de sólidos con forma arbitraria, si conocemos el área de una de sus secciones. Por ejemplo si A(x), representa el área de una sección en x, perpendicular al eje x, entonces el volumen del sólido se obtendrá integrando A(x) con respecto a x.

Gráfica 10. Por ejemplo en la Gráfica 10, encontramos un sólido cuyas secciones transversales son triángulos, de manera que si calculamos el área de uno de esos triángulos diferenciales y la integramos con respecto a x, encontramos el volumen total del sólido, es decir: y de esta manera podemos encontrar, el volumen de cualquier sólido, siempre que conozcamos un elemento diferencial y la formula para hallar su área. LONGITUD DE ARCO Hasta ahora, hemos usado la integral definida para calcular magnitudes con unidades cúbicas y con unidades cuadradas; esto nos lleva a preguntarnos, ¿podemos medir unidades lineales mediante la integral definida? Pues en esta aplicación veremos como podemos medir longitudes usando esta magnífica herramienta del cálculo. Desde sierre, hemos tenido la noción de longitud, y siempre nos ha parecido muy sencillo medir objetos, usando los diferentes instrumentos de medición o simplemente calculando dichas longitudes usando formulas sencillas que nos sirven básicamente para estimar medidas de rectas o

circunferencias; de manera que ahora tendremos la oportunidad de calcular longitudes pero esta vez de segmentos curvos. De nuestra experiencia en cursos anteriores, hemos aprendido a calcular la distancia entre dos puntos usando la formula que deriva del teorema de Pitágoras: Esta formula nos será útil para lograr nuestro propósito de medir la longitud de arco, pero antes tenemos que tener en cuenta que para poder realizar este cálculo, es necesario que la curva además de ser continua en un intervalo cerrado, sea también continua su derivada en el mismo intervalo [a,b]. También hay que saber que, no todas las curvas tienen longitud finita entre dos de sus puntos; si una curva tiene longitud finita entre dos de sus puntos, se dice que es rectificable entre esos dos puntos.

Gráfica 11. Sea f(x), una función rectificable en el intervalo cerrado [a,b], aproximamos la curva de su gráfica mediante segmentos de recta, para hallar una estimación de su longitud. Tenemos i, donde es la partición correspondiente de [a,b] tal que a = n1< n2< n3< n4