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Antología Cálculo Integral Calculo integral y diferencial (Universidad Politécnica de Chiapas)

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Antología

CÁLCULO INTEGRAL Fabio Fernández Ramírez

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ANTOLOGÍA Cálculo Integral

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UNIDAD DE APRENDIZAJE

I. Integral indeeinida

PROPÓSITO ESPERADO

El alumno obtendrá la integral indeeinida de una eunción para contribuir a la eundamentación del estudio del cálculo.

TEMAS Antiderivada

SABER DIMENSIÓN CONCEPTUAL Explicar los conceptos de: -Antiderivada -Dieerencial -Constante de integración Relacionar la antiderivada como un proceso inverso a la derivación. Explicar la representación de una eamilia de eunciones como la antiderivada de otra eunción con soetware.

Integral indeeinida

Explicar las reglas básicas de integración: - Constante - ∫dx - Potencia - Polinomio

SABER HACER DIMENSIÓN ACTUACIONAL Construir la antiderivada a partir de una eunción. Representar geométricamente la antiderivada de una eunción con soetware. Determinar la integral indeeinida de la eunción con base a las reglas o técnicas dadas.

Explicar las técnicas de integración: - Cambio de variable - Por partes - Fracciones parciales: eactores lineales distintos, eactores lineales repetidos, eactores cuadráticos distintos y eactores cuadráticos repetidos - Sustitución trigonométrica de acuerdo a la eorma de la raíz Identieicar la regla o técnica de integración dada una eunción.

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SER DIMENSIÓN SOCIOAFECTIVA Analítico Proactivo Autónomo Trabajo colaborativo Responsable Ético

Analítico Proactivo Autónomo Sistemático Trabajo colaborativo Responsable Éticos

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En la siguiente figura vemos que para la función f ( x )=x 2 , se pueden tener múltiples antiderivadas, que constituyen una “familia” de funciones.

Para graficar las familias de soluciones indicadas se puede utilizar MathStudio, que es una herramienta de software online. Use los siguientes comandos:

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El procedimiento general que se recomienda para aprender a integrar y practicar lo suficiente para adquirir experiencia es el siguiente:

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NOTA DEL PROFESOR: Para comprobar si la solución obtenida en las integrales es la correcta, se acostumbra derivar el resultado y verificar que tenemos la función que integramos, es decir, realizando la operación contraria. Es similar a comprobar una división, multiplicando el resultado por el divisor para ver si nos da el dividendo. Sin embargo, hay ocasiones en que la comprobación con la derivada no es viable por lo complejo o tardado que pueda resultar, y en su lugar se hace uso de la tecnología, con herramientas de cálculo que nos permitan realizar la comprobación de nuestros resultados. Como cuando compruebas la división que hiciste a mano, con ayuda de una calculadora. Como herramientas útiles para la comprobación se usan calculadoras científicas, que son algo obsoletas y pueden ser costosas; software especializado para su uso en computadoras, algunos de los cuales requieren licencias y también son costosos como Matlab y Matematica. Sin embargo, actualmente hay herramientas online y apps gratuitas que puedes usar para la comprobación de tus resultados. Algunas de ellas son Wolfram Alpha, Cymath y MathStudio, lo único necesario es saber escribir los comandos adecuados para que el software realice los cálculos.

A pesar de que existen múltiples herramientas tecnológicas que nos permiten realizar las integrales, es indispensable saber integrar, para cualquier ingeniero. Así que las herramientas mencionadas solamente serán un apoyo para comprobar los resultados, mientras aprendes a integrar; y una vez que lo domines, pueden ser una buena herramienta para resolver problemas de aplicación más complejos.

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A continuación se indican los comandos para integrar en las herramientas de software online que se recomiendan.

Comandos en Wolfram Alpha:

Comandos en Cymath:

Comandos en MathStudio:

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EJERCICIOS Utiliza un software para graficar la familia de funciones que representan la solución de las integrales siguientes, asignando valores a la constante de integración C:

Resolver las siguientes integrales, verificando que su resultado sea correcto, mediante derivación del resultado y con software (Wolfram Alpha, Cymath, MathStudio, u otro).

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Videos: Introduction to Antiderivatives and Indefinite Integration https://www.youtube.com/watch? v=US8p_qO4Or8&list=PLROOIV7hGpZjllKQ6iWmC5jqoN4wHM6qV The Six Basic Trigonometric Integration Formulas https://www.youtube.com/watch?v=mlIDZYgGD0&list=PLROOIV7hGpZjKLCYLL6Bje-1pn3NI3OKz&index=4

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TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN. Las fórmulas básicas de integración, de la sección anterior, no permiten hallar antiderivadas de algunas funciones más complejas, para las cuales se emplean estrategias especiales que llamamos técnicas de integración. Las principales técnicas de integración son las siguientes: 1. 2. 3. 4. 5.

Cambio de variables. Por partes. Integrales con potencias de funciones trigonométricas. Sustitución trigonométrica. Fracciones parciales: a. Factores lineales distintos. b. Factores lineales repetidos. c. Factores cuadráticos distintos. d. Factores cuadráticos repetidos

Cambio de variables Con un cambio de variables formal se puede reescribir por completo la integral en términos de u y du (o cualquier otra variable conveniente). La técnica del cambio de variable utiliza la notación de Leibniz para la diferencial. Esto es, si u = g(x), entonces du = g’(x) dx y la integral toma la forma:

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Se debe tener especial cuidado al realizar el cambio de variables y tratar de resolver las integrales, veamos los siguientes casos:

NOTA: Se pueden agregar valores constantes para “completar” los diferenciales en las integrales, pero NO se pueden agregar variables. En las dos integrales anteriores, por ejemplo, en la primera se puede agregar un 2 para completar el diferencial, pero en la segunda integral no se puede agregar un 2x.

EJERCICIOS: Resolver las siguientes integrales.

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Videos: Indefinite Integration Using Substitution. https://www.youtube.com/watch? v=568hUU4beuk&list=PLROOIV7hGpZhzutBcu0CKbC4kPlLee1sX

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Esta fórmula expresa la integral original en términos de otra integral. Se espera que sea más fácil evaluar la segunda integral que la original, esto dependerá de la elección de u y dv. En caso de una mala elección, resultará más complicada la segunda integral que la original; por lo tanto, se recomienda prestar especial atención a los distintos casos que se presentan en los ejemplos, para escoger adecuadamente la u y dv que más conviene.

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Ejercicio: Resolver la integral ∫ e cos 2 x dx haciendo u=cos 2 x y dv=e x dx en la primera sustitución. Y para la segunda sustitución haciendo u=sen 2 x y dv=e x dx. x

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Como se mencionó anteriormente, la elección adecuada de u y dv son la clave en esta técnica de integración. A continuación se resumen los casos más comunes en que se usa la integración por partes y las recomendaciones para seleccionar la u y dv adecuadas.

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EJERCICIOS:

Videos: Integration by Parts: The Basics. https://www.youtube.com/watch?v=815sYB9X44&list=PLROOIV7hGpZh8DUkQIdwACJS0mmlPF4US

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Integrales con Potencias de Funciones Trigonométricas Es común que se presenten integrales que contienen en la función a integrar: potencias de seno y coseno, potencias de secante y tangente, y los productos de seno-coseno con ángulos diferentes. Algunos tipos de estas integrales tienen su propia técnica de integración, que se describe a continuación y se muestra en los ejemplos posteriores.

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En el caso en que la potencia del coseno sea impar y positiva, se procede de manera similar al ejemplo anterior, usando la regla de la potencia con u=sen x, así que ahora se debe conservar un factor del coseno para formar el du correspondiente y se convierten los factores del coseno restantes a senos empleando cos 2 x=1−sen 2 x .

En el caso en que la potencia del seno sea par y no negativa, se procede de manera similar al ejemplo anterior, usando la identidad del ángulo mitad para el seno, que es 1−cos 2 x sen2 u= . 2

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Estrstegis psrs evslusr integrsles que contienen productos de senos-cosenos de ángulos diferentes En tales tasos usar las identidades de erodutto suma que se muestran:

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EJERCICIOS:

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Videos: Trigonometric Integrals Involving Powers of Sine and Cosine - Part 1 https://www.youtube.com/watch?v=SvbSbAQeXc&list=PLROOIV7hGpZhM4dArXrFsU3EiXEMoHBGZ

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A continuación se puede realizar una sustitución simple tomando u=x−1, con lo cual la integral se vuelve a reescribir como

∫ √u2−1 du Finalmente se aplica la estrategia del caso 3.

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EJERCICIOS: Resolver las siguientes integrales

Videos: Integration Involving Trigonometric Substitution Part 1 https://www.youtube.com/watch? v=yS7Mgsvwdkw&list=PLROOIV7hGpZjllJTsGDc2C39gaN1FpnYd

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En cursos previos se vio cómo combinar funciones tales como:

El método de las fracciones parciales muestra cómo invertir este proceso. Es decir:

A continuación se describe el procedimiento:

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Este método es equivalente a escribir directamente el polinomio del numerador P(x) que se escribió en el lado izquierdo de la ecuación básica, dividido entre los factores que quedan cuando x toma el valor tal que hace cero el denominador de una de las fracciones parciales, esta se elimina y se calcula el resultado de P(x) que divide a los demás factores sustituyendo el valor de x. Para el ejemplo anterior:

| 1 ❑ = 1 =−1 B= x−3| x=2 2−3 A=

1 ❑ = 1 =1 x−2 x =3 3−2

En el siguiente ejemplo, se muestra el procedimiento tradicional para calcular las fracciones parciales, a partir de un sistema de ecuaciones.

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Si aplicamos el método reducido para encontrar los valores de A, B y C podemos simplificar el procedimiento de la siguiente manera:

|

A=

x 2 +2 x−1 ❑ = −1 = 1 ( 2 x−1 )( x +2 ) x=0 −2 2

B=

x2 +2 x−1 ❑ 1/ 4 1 = = x=1 /2 5 /4 5 x ( x +2 )

| |

x 2 +2 x−1 ❑ −1 −1 C= = = x=−2 10 10 x ( 2 x−1 )

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El método reducido se puede aplicar solamente para encontrar A, que no es una raíz repetida y C, que es la que tiene la raíz repetida con mayor exponente, escribiendo nuestras expresiones como sigue:

|

A=

5 x 2+20 x +6 ❑ 6 = =6 x=0 1 ( x+1 )2

C=

5 x 2 +20 x+6 ❑ −9 = =9 x=−1 −1 x

|

Ahora bien, para encontrar B lo más conveniente es usar el procedimiento descrito en el ejemplo. Para fracciones parciales lineales con solo raíces repetidas, se puede emplear un procedimiento conocido como Método de Heavyside, que consiste en derivar al polinomio P(x) y sustituir en su derivada el valor de x que hace cero sus raíces repetidas. Verificar el siguiente ejemplo: Una vez elanteadas las frattiones eartiales, se obtienen los valores de los toefitientes.

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EJERCICIOS:

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Videos: Partial Fraction Decomposition https:// www.youtube.com/ watch?

v=8LI5MnGFMlI&list=P LROOIV7hGpZg11m4CY uVMxxNma-Bltfal UNIDAD DE APRENDIZAJE

II. Integral deeinida

PROPÓSITO ESPERADO

El alumno determinará el área y volumen de sólido en revolución para contribuir a la solución e interpretación de problemas de su entorno.

TEMAS

Integral deeinida

SABER DIMENSIÓN CONCEPTUAL

Identieicar el concepto de integral deeinida. Explicar los siguientes elementos: - Suma de Riemann. - Propiedades de la integral deeinida. - Teorema eundamental del cálculo. - Área bajo la curva y entre curvas. Explicar el cálculo de área bajo la curva y entre curvas de eorma analítica y con soetware. Explicar la metodología de resolución de integral deeinida: - Bosquejar las eunciones. - Formular la integral a resolver. - Establecer los intervalos de integración o los puntos de intersección. - Resolver la integral deeinida. - Interpretar los resultados obtenidos en el contexto del problema.

SABER HACER DIMENSIÓN ACTUACIONAL

Determinar el área bajo la curva y entre curvas con integrales deeinidas de un problema de su entorno. Validar el área obtenida con soetware. Interpretar el resultado obtenido de acuerdo al contexto del problema.

Interpretar la integral deeinida en el cálculo de áreas bajo la curva en el contexto de un

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SER DIMENSIÓN SOCIOAFECTIVA

Analítico Proactivo Autónomo Trabajo colaborativo Responsable Creativo Ético

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TEMAS

Sólidos de revolución

SABER DIMENSIÓN CONCEPTUAL

problema de su entorno. Identieicar los conceptos de: - Sólido de revolución. - Área de la sección transversal. Explicar el proceso de obtención del volumen del sólido de revolución por: - Método de discos. - Método de arandelas. Explicar la construcción y el cálculo de volumen de un sólido de revolución con soetware.

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SABER HACER DIMENSIÓN ACTUACIONAL

Obtener el volumen del sólido de revolución en problemas de su entorno. Diseñar el sólido de revolución en soetware. Validar el volumen obtenido del sólido de revolución con soetware.

Explicar la metodología de resolución de un sólido de revolución: - Bosquejar las eunciones. Interpretar el - Formular la integral a resolver. resultado obtenido - Establecer los intervalos de integración. de acuerdo al - Resolver la integral deeinida. contexto del - Interpretar los resultados obtenidos en el problema. contexto del problema. INTEGRAL DEFINIDA

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Analítico Proactivo Autónomo Trabajo colaborativo Responsable Creativo Ético

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Verificar el ejemplo anterior con ayuda de la herramienta de software online: http://mathworld.wolfram.com/RiemannSum.html

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La derivación y la integración definida tienen una relación “inversa” Figura 4.26

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Se debe tener cuidado al aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo, ya que puede presentarse un error si existe una discontinuidad en la función a integrar, en el intervalo establecido por los límites de la integral.

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En los ejemplos anteriores se explicó el cálculo de área bajo la curva y entre curvas de forma analítica; los resultados se pueden comprobar y explicar con ayuda de algún software que permita tanto graficar las áreas buscadas como resolver las integrales correspondientes. Una herramienta de software que nos permite realizar el cálculo de áreas bajo la curva y entre curvas es el Geogebra, que es una herramienta gratuita online. Revisar las siguientes ligas: 

Para analizar el cálculo del área limitada por la gráfica de una función continua, el eje de abscisas y dos rectas verticales. https://www.geogebra.org/m/fTkpUM4E#material/qjUZZJZr



Para analizar el cálculo del área de la región limitada por las gráficas de dos funciones y dos rectas verticales. https://www.geogebra.org/m/fTkpUM4E#material/P5VeYvuj



Para analizar el cálculo del área de la región limitada por las gráficas de dos funciones secantes en más de un punto. https://www.geogebra.org/m/fTkpUM4E#material/MQWTjB4u

Use las herramientas de software anteriores para comprobar los ejemplos y los ejercicios que se realicen, de manera que se practique el cálculo de área bajo la curva y entre curvas de forma analítica y con software.

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EJERCICIOS:

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Videos: The Definition of The Definite Integral https://www.youtube.com/watch? v=VDOBMZRWxmw&list=PLROOIV7 hGpZjV70eTbBnjf4u0FD71J32U The Fundamental Theorem of Calculus https://www.youtube.com/watch? v=thv8M45GeTA&list=PLROOIV7hGp ZjV70eTbBnjf4u0FD71J32U&index=8

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Sólido de Revolución

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Dado que el eje de giro de una función puede ser horizontal o vertical, el radio del área de la sección transversal A, se deberá considerar como una función R(x) o R(y), respectivamente.

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TECNOLOGÍA

Algunas herramientas de graficación tienen la capacidad para generar (o tienen el software capaz de generar) un sólido de revolución. A continuación se explica el cálculo

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y la construcción del volumen de un sólido de revolución con la ayuda de software. Para mostrar el uso del software se resolverá el ejemplo anterior. 1. Primero se resuelve la integral que se plantea en el procedimiento de la solución del ejemplo anterior, para comprobar el resultado numérico. Para esta comprobación se emplea el software online de WolframAlpha con el comando integrate como se muestra:

2. A continuación se emplea el software Geogebra, que nos permite realizar la representación gráfica del sólido de revolución. Para realizarlo se requieren varios pasos que se pueden consultar en videos tutoriales, a continuación se muestra una síntesis del procedimiento y el resultado. a. Se construye la región plana que se hará girar alrededor del eje de giro. Use el comando Función, que se muestra a continuación:

b. Se cierra la región con un segmento de recta.

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c. Se agrega el eje de giro con una recta sobre el eje x.

d. Se da formato a las líneas y se ocultan los puntos de referencia, para tener la región plana delimitada como se muestra en la figura 7.23 b, del ejemplo anterior.

e. Se abre una ventana de Vista Gráfica 3D y se agrega un deslizador de ángulo en la Vista Gráfica 2D.

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f.

En la Vista Gráfica 3D se selecciona el comando de Rotación Axial y se rotan tanto el segmento de la recta como la función, alrededor del eje de giro. Asegúrese de seleccionar como Ángulo de giro al que se definió en el deslizador angular, en este caso α. g. Mueva el deslizador para verificar que se realiza el giro de la región correctamente.

h. Oculte lo puntos auxiliares y seleccione la opción de Rastro para el segmento y la función, en la ventana de la Vista Gráfica 3D, también puede ocultarse el plano. Al mover el deslizador se mostrará el efecto siguiente:

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i.

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Finalmente para visualizar el sólido de revolución, active la Animación en el menú del deslizador.

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EJERCICIOS:

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VIDEOS:

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Volume of Revolution - The Disk Method https://www.youtube.com/watch?v=1CbZlM09zF8&t=245s Volume of Revolution - The Washer Method about the x-axis https://www.youtube.com/watch?v=rbqWHbxmVUI Volume of Revolution - The Washer Method about the y-axis https://www.youtube.com/watch?v=8gbphumzbSI Volume of Revolution - The Washer Method NOT about the x or y axis https://www.youtube.com/watch?v=_FF3CM5MNe8

UNIDAD DE APRENDIZAJE

III. Series y sucesiones

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PROPÓSITO ESPERADO

Series y sucesiones

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El alumno realizará cálculos de sucesiones y series, para contribuir a la solución de problemas de ingeniería.

SABER DIMENSIÓN CONCEPTUAL

TEMAS

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Describir los conceptos y propiedades de: - Sucesiones: Convergencia y Divergencia - Series - Tipos de series: - Finitas - Ineinitas - Monótonas - Creciente - Decreciente Explicar las eórmulas de solución de las series.

SABER HACER DIMENSIÓN ACTUACIONAL Determinar el término enésimo en una sucesión. Determinar la convergencia o divergencia de la serie.

SER DIMENSIÓN SOCIOAFECTIVA Analítico Proactivo Autónomo Trabajo colaborativo Responsable Ético

Seleccionar la eórmula de acuerdo a las características de la serie Calcular la serie con el uso de las propiedades.

Análisis de Fourier

Explicar el concepto de: - Serie de Fourier - Sumas parciales - Ortogonalidad de senos y cosenos - Condiciones de convergencia - Propiedades matemáticas de las eunciones pares e impares Identieicar los tipos de solución de la serie de Fourier.

Resolver ejercicios con los tres tipos de solución de la serie de Fourier. Validar el resultado de la serie con soetware.

- Deeiniendo la ortogonalidad de la eunción en el intervalo y por medio de la integral de la eunción indicada - Relacionados con convergencia de una serie en intervalos dados -De series pares e impares por medio de las series de senos y cosenos Identieicar las posibles aplicaciones de las series de Fourier en problemas de su entorno. Explicar la construcción y el cálculo de la serie de Fourier con soetware.

Sucesiones

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Analítico Proactivo Autónomo Trabajo colaborativo Responsable Ético

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Si comparamos la definición 2 con la definición del límite de una función veremos que la única diferencia es que se requiere que n sea un entero. En este sentido se tiene el siguiente teorema, ilustrado en la figura 6.

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Las leyes de los límites dadas para las funciones también se cumplen para los límites de sucesiones y sus demostraciones son similares.

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EJERCICIOS:

VIDEOS: Introduction to Sequences

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https://www.youtube.com/watch?v=p-rc5mTDt9E Limits of a Sequence https://www.youtube.com/watch?v=hc64LUtPjP0 Limits of Sequences Examples https://www.youtube.com/watch?v=SZ1EJWX7EP8

Series

Como se mencionó, las series son sumas, y su notación es la siguiente:

Una serie finita tiene un primer y último términos bien definidos, por ejemplo:

Cada uno de los términos de la serie suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, como en el caso de las sucesiones.

- Series

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- Tipos de series: - Finitas - Infinitas - Monótonas - Creciente - Decreciente Explicar las fórmulas de solución de las series. Explicar el concepto de: - Serie de Fourier - Sumas parciales - Ortogonalidad de senos y cosenos - Condiciones de convergencia - Propiedades matemáticas de las funciones pares e impares Identificar los tipos de solución de la serie de Fourier. - Definiendo la ortogonalidad de la función en el intervalo y por medio de la integral de la función indicada - Relacionados con convergencia de una serie en intervalos dados -De series pares e impares por medio de las series de senos y cosenos Identificar las posibles aplicaciones de las series de Fourier en problemas de su entorno. Explicar la construcción y el cálculo de la serie de Fourier con software.

VIDEOS: Introduction to Infinite Series https://www.youtube.com/watch?v=jPx2S4mSZWc

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