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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE SAN ANDRÉS TUXTLA

CARRERA: TODAS LAS INGENIERÍAS

PLAN DE ESTUDIOS: *ANTOLOGÍA* ASIGNATURA: CALCULO VECTORIAL CLAVE: ACF – 0904

ELABORÓ: ING. COSME HERNÁNDEZ LINARES

SAN ANDRÉS TUXTLA, VER. AGOSTO 2019

ÍNDICE ÍNDICE ..........................................................................................................................................................1 INTRODUCCIÓN.........................................................................................................................................3 Competencia a desarrollar ......................................................................................................................4 Competencia específica de la asignatura........................................................................................4 TEMA I. VECTORES EN EL ESPACIO. ..................................................................................................5 Subtemas. ...................................................................................................................................................5 1.1 Definición de un vector en el plano y en el espacio y su interpretación geométrica. ...5 1.2 Álgebra vectorial y su geometría. ...............................................................................................7 1.3 Producto escalar y vectorial. .....................................................................................................10 1.4 Ecuación de la recta.....................................................................................................................13 1.5 Ecuación del plano. ......................................................................................................................16 1.6 Aplicaciones. .................................................................................................................................17 TEMA 2. CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES. .....................................................................................................................................................................19 Competencia específica: .......................................................................................................................19 2.1 Ecuaciones paramétricas de algunas curvas planas y su representación gráfica. .....21 2.2 Derivada de una curva en forma paramétrica. .......................................................................23 2.3 Tangentes a una curva. ...............................................................................................................25 2.4 Área y longitud de arco. ..............................................................................................................26 2.5 Curvas planas y graficación en coordenadas polares. .......................................................28 2.6 Cálculo en coordenadas polares. .............................................................................................33 TEMA 3.- FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL. .............................................34 Competencia específica: .......................................................................................................................34 3.1 Definición de función vectorial de una variable real. ...........................................................34 3.2 Límites y continuidad de una función vectorial. ...................................................................35 3.3 Derivada de una función vectorial. ...........................................................................................36 3.4 Integración de funciones vectoriales.......................................................................................37 3.5 Longitud de arco. ..........................................................................................................................38 3.6 Vectores tangente, normal y binormal. ...................................................................................39 3.7 Curvatura. .......................................................................................................................................40 3.8 Aplicaciones. .................................................................................................................................40 TEMA 4.- FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES. ............................................................42 Competencia específica: .......................................................................................................................42 1 ELABORO: INGENIERO COSME HERNANDEZ LINARES.

4.1 Definición de una función de varias variables. .....................................................................43 4.2 Gráfica de una función de varias variables. Curvas y superficies de nivel....................43 4.3 Límite y continuidad de una función de varias variables. ..................................................45 4.4 Derivadas parciales. .....................................................................................................................45 4.5 Incrementos y diferenciales. ......................................................................................................47 4.6 Regla de la cadena y derivada implícita. .................................................................................47 4.7 Derivadas parciales de orden superior. ..................................................................................48 4.8 Derivada direccional y gradiente. .............................................................................................49 4.9 Valores extremos de funciones de varias. .............................................................................51 TEMA 5.- INTEGRACIÓN MÚLTIPLE. ..................................................................................................52 Competencias específicas: ...................................................................................................................52 5.1 Cálculo de áreas e integrales dobles. ......................................................................................52 5.2 Integrales iteradas. .......................................................................................................................53 5.3 Integral doble en coordenadas rectangulares. ......................................................................54 5.4 Integral doble en coordenadas polares. ..................................................................................55 5.5 Integral triple en coordenadas rectangulares. Volumen. ....................................................56 5.6 Integral triple en coordenadas cilíndricas y esféricas.........................................................58 5.7 Campos vectoriales......................................................................................................................59 5.8 La Integral de línea. ......................................................................................................................60 5.8.1. Integral de línea de un campo vectorial ..........................................................................61 5.9 Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física...............................................64 5.10 Teoremas de integrales. Aplicaciones. .................................................................................68 PROBLEMARIO. .......................................................................................................................................70 FUENTES DE INFORMACIÓN. ..............................................................................................................83

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INTRODUCCIÓN. La asignatura contribuye a desarrollar un pensamiento lógico-matemático al perfil del ingeniero y aporta las herramientas básicas para introducirse al estudio del cálculo vectorial y su aplicación, así como las bases para el modelado matemático. Además, proporciona herramientas que permiten modelar fenómenos de contexto. La importancia del estudio del Cálculo Vectorial radica principalmente en que, en diversas aplicaciones de la ingeniería, la concurrencia de variables espaciales y temporales, hace necesario el análisis de fenómenos naturales cuyos modelos utilizan funciones vectoriales o escalares de varias variables. La asignatura está diseñada de manera que el estudiante pueda representar conceptos, que aparecen en el campo de la ingeniería por medio de vectores; resolver problemas en los que intervienen variaciones continuas; resolver problemas geométricos en forma vectorial; graficar funciones de varias variables; calcular derivadas parciales; representar campos vectoriales que provengan del gradiente de un campo escalar, así como su divergencia y rotacional; resolver integrales dobles y triples; aplicar las integrales en el cálculo de áreas y volúmenes.

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Competencia a desarrollar Competencia específica de la asignatura Aplica los principios y técnicas básicas del cálculo vectorial para resolver problemas de ingeniería del entorno.

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TEMA I. VECTORES EN EL ESPACIO. Competencia específica Conoce y desarrolla las propiedades de las operaciones con vectores para resolver problemas de aplicación en las diferentes áreas de ingeniería. Determina ecuaciones de rectas y planos del entorno para desarrollar la capacidad de modelado matemático. Subtemas. 1.1 Definición de un vector en el plano y en el espacio y su interpretación geométrica. En la ingeniería es de suma importancia el estudio del cálculo vectorial. Ya que es una parte de las matemáticas que hace uso tanto de la física como de la geometría, en el caso de la física, se relaciona específicamente con los vectores, y en lo que a la geometría se refiere la utiliza para plantear de manera adecuada los problemas con el objetivo de resolverlos de manera más rápida y eficiente. Vector: Es una magnitud cuya determinación exige el conocimiento de un módulo, una dirección y un sentido. Ejemplos de magnitudes vectoriales son el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el peso, etc. Gráficamente, un vector se representa por un segmento orientado OP (Fig. 1); la longitud del segmento es el módulo del vector, la dirección de segmento es la correspondiente del vector y la flecha indica el sentido del vector. El punto O se llama el origen o punto de aplicación y P el extremo del vector.

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Dirección de los vectores. Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Definición: la dirección de un vector u= (a, b) es el ángulo medio en radianes que forma el vector con el eje positivo de las x. El ángulo se puede medir haciendo tanq=b/a; pero es importante localizar el vector puesto que q=tan-1b/a da valores entre -p/2 y p/2 mientras que el ángulo buscado estará entre 0 y 2p

Ejemplo 1: encontrar la dirección del vector (-Ö3,1) tanq=-1/Ö3=-p/6; sin embargo, el vector está en segundo cuadrante; por lo tanto, el angulo q será de p-p/6=5p/6. Representación geométrica de la suma y la resta de vectores. Para vectores posición la suma u + v es el vector representado por la diagonal principal del paralelogramo cuyos lados están conformados por los vectores u y v. La resta u-v o vu es el vector representado por la otra diagonal (al hacer v-u el punto final del vector es v y el inicial es u, por eso la flecha, si fuera u-v el punto final sería el de u y el vector tendría la dirección opuesta).

FIGURA 1 Grafica de representación geométrica

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1.2 Álgebra vectorial y su geometría. álgebra vectorial. Las operaciones de adición o suma, diferencia o resta, multiplicación o producto del álgebra elemental entre números reales o escalares, se pueden generalizar, introduciendo determinadas definiciones, al álgebra entre vectores. Dos vectores A y B son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección e idéntico sentido. Geométricamente se reconoce que dos vectores son equipolentes si el polígono que resulta al unir sus orígenes, por una parte, y sus extremos por otra es un paralelogramo. (Ver Fig. 2)

A B

FIGURA. 2

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Dado un vector A, el vector opuesto, -A, es el que tiene el mismo módulo y dirección, pero sentido contrario (Fig. 3)

A -A

FIGURA. 3

Suma o resultante de dos vectores A y B es otro vector C obtenido trasladando el origen de B al extremo de A (Fig. 4). Analíticamente se expresa A+B = C. Obsérvese que, trasladando los dos vectores a un origen común, el vector suma corresponde a la diagonal del paralelogramo con el origen en el origen común. Por ello, se dice que la suma de vectores obedece a la ley del paralelogramo. La generalización a la suma de varios vectores es inmediata sin más que ir sumando de dos en dos sucesivamente.

FIGURA 4

La diferencia de los vectores A y B, que se representa analíticamente por A-B, es otro vector C, tal que sumado a B produce el vector A. Dicho de otra manera, para restar dos vectores se suma al vector minuendo el opuesto al vector sustraendo, es decir, C = A – B = A + (-B). La diferencia de vectores es un caso particular de la suma. En el caso de que A = B, el vector A – B se llama vector nulo o cero y se representa por 0, o simplemente 0. El producto de un escalar m por un vector A, es otro vector, mA, de la misma dirección de A pero con un módulo m veces el de A y un sentido igual u opuesto al de A según que el escalar m sea positivo o negativo. Si m = 0, mA es el vector nulo.

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Demostración de las propiedades. 1.- Demostrar que la suma de vectores goza de la propiedad asociativa:

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1.3 Producto escalar y vectorial. Definiciones fundamentales. producto escalar o interno. Dados dos vectores A y B, su producto escalar o interno, A, B, se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman, por lo tanto:

Obsérvese que 𝑨 ⋅ 𝑩 es un escalar, un número, y no un vector. propiedades del producto escalar. 1. 𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐵 ⋅ 𝐴 2. 𝐴 ⋅ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝐴 ⋅ 𝐶 3. 𝑚(𝐴 ⋅ 𝐵) = (𝑚𝐴) ⋅ 𝐵 = (𝐴 ⋅ 𝐵)𝑚 Propiedad conmutativa

4. 𝑖 ⋅ 𝑖 = 𝑗 ⋅ 𝑗 = 𝑘 ⋅ 𝑘 = 1, 𝑖 ⋅ 𝑗 = 𝑗 ⋅ 𝑘 = 𝑘 ⋅ 𝑖 = 0 Propiedad distributiva del producto escalar respecto de la suma siendo m un escalar

5.Dados𝐴 = 𝐴1 𝑖 + 𝐴2 𝑗 + 𝐴3 𝑘𝑦𝐵 = 𝐵1 𝑖 + 𝐵2 𝑗 + 𝐵3 𝑘 𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐴1 𝐵1 + 𝐴2 𝐵2 + 𝐴3 𝐵3

A  A  A2  A1  A2  A3 2

2

2

B  B  B 2  B1  B2  B3 2

2

2

6. 𝑆𝑖 ⥂⥂ 𝐴 ⋅ 𝐵 = 0 𝑦 ninguno de los vectores es nulo, ambos son perpendiculares Producto vectorial o externo. Dados los vectores A y B, su producto vectorial o externo es otro vector 𝑪 = 𝑨 × 𝑩 𝑨 × 𝑩es el producto de módulos por el seno del ángulo que forman. La dirección de 𝑪 = 𝑨 × 𝑩es la perpendicular al plano que forman A y B, y su sentido es tal que A, B y C, forman un triedro a derechas. Por lo tanto: El módulo de

A  B  AB sin u

0  

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Propiedades del producto vectorial.

Un vector está caracterizado completamente por su magnitud y su dirección. Por ejemplo: 20 km al sur. Aquí 20 kilómetros es la magnitud y se acompaña de la dirección, es decir, hacia el sur. También puede estar muy bien representado por un segmento de recta dirigido. Es por esta razón que un segmento de recta dirigido también puede ser llamado vector. Existe una gran cantidad de operaciones que pueden ser aplicadas sobre los vectores. La operación más comúnmente realizada en los vectores es la suma y multiplicación de vectores. Entre la variedad de operaciones, se incluyen la adición de dos vectores, la resta de dos vectores, el producto escalar y cruz de dos vectores, los cuales se pueden realizar en los vectores, el producto escalar y la cruz, guardan mayor importancia.

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objetos básicos Los objetos básicos en cálculo vectorial son campos escalares (las funciones con valores escalares) y campos de vectores (vector con valores de funciones). Estos se combinan o se transforman en diversas operaciones, e integrada. En los tratamientos más avanzados, una más distingue pseudovector campos y pseudoescalar campos, que son idénticos a los campos vectoriales y campos escalares, salvo que cambie de signo en virtud de un inversor de mapa de orientación: por ejemplo, la curvatura de un campo vectorial es un campo pseudovector, y si se reflexiona un campo vectorial, los puntos de curvatura en la dirección opuesta. Esta distinción se aclara y elaborado en el álgebra geométrica, como se describe a continuación.

operaciones algebraicas Las algebraicas básicas (no diferencial) en las operaciones de cálculo vectorial se conocen como álgebra vectorial, se define un espacio vectorial y luego a nivel mundial se aplica a un campo de vectores, y consisten en: -Multiplicación escalar: multiplicación de un campo escalar y un campo de vectores, produciendo un campo vectorial: av.; Además de dos campos vectoriales, produciendo un campo vectorial: v1+v2.; -producto de punto: multiplicación de dos campos vectoriales, produciendo un campo escalar: v1*v2; -producto vectorial: multiplicación de dos campos vectoriales, produciendo un campo vectorial: v1xv2 Para sumar dos vectores U¬+V libres se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector. Regla del paralelogramo Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores. Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

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La multiplicación de un vector por un escalar.

Si el vector conserva su dirección; si el vector obtenido tiene la dirección contraria.

Representación geométrica de la suma y la resta de vectores. Para vectores posición la suma es el vector representado por la diagonal principal del paralelogramo cuyos lados están conformados por los vectores y. La resta o es el vector representado por la otra diagonal (al hacer el punto final del vector es y el inicial, por eso la flecha, si fuera el punto final sería el de y el vector tendría la dirección opuesta).

1.4 Ecuación de la recta. Las rectas son variedades lineales de dimensión 1 (1 parámetro libre). Quedan determinadas por: a) Un punto de la recta y un vector paralelo a ésta (vector director de la recta) b) Dos puntos no coincidentes de la recta. Formas de expresar la recta en el espacio: 1. Forma vectorial y cartesiana 13 ELABORO: INGENIERO COSME HERNANDEZ LINARES.

2. Paramétricas 3. Ecuación continua 4. Ecuación general o como intersección de dos planos.

Sea paralelo a la recta)

un punto cualquiera de la recta, y con vector director (todo vector La ecuación vectorial de la recta es:

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ecuaciones paramétricas. Estas podrían considerarse el desarrollo de la ecuación vectorial, ya que representan las coordenadas de un punto de la recta en términos de una variable independiente λ o t. Siguiendo con el ejemplo anterior, si tenemos la ecuación vectorial sus ecuaciones paramétricas son: 𝑥 = 3 + 𝜆 (− 1) = 3 – 𝜆 𝑦 = 6 + 𝜆 (− 1) = 6 – 𝜆 𝑧 = 1 + 𝜆 (7) = 1 + 7𝜆 Sustituyendo los mismos valores de lambda que en la ecuación anterior, podemos llegar a los puntos correspondientes. ecuación continua. A estas se llega despejando la variable independiente (λ o t) en las ecuaciones paramétricas, e igualando todas las ecuaciones resultantes. La forma general de la ecuación continua es: (x-x0) / a=(y-y0) / b Por lo tanto: Cuando una de las variables no está en términos de la variable independiente (es constante), no se deja en la triple igualación, sino que se coloca aparte, después de un “punto y coma” Esto significa que, en las ecuaciones paramétricas, la variable lambda o tno aparecía en la ecuación de la variable que queda aparte, y por lo tanto, que el vector dirección tiene un componente cero en esa posición. Para esa última recta, las ecuaciones paramétricas serían x = 5λ – 4 y = 15λ + 7 z=5 Y la ecuación vectorial: x

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1.5 Ecuación del plano. Para determinar un plano se necesitan un punto Po (xo, yo, zo) y un vector Ñ (A, B, C) normal al plano. La ecuación del plano viene entonces dada por la relación: A (x - xo) + B (y - yo) + C (z - zo) = 0 A.x + B. y + C. z + D = 0 (1) Donde D = -A.x - B. y - C. z Se pueden considerar varios casos particulares según que uno o dos de los coeficientes de la ecuación (1) sean nulos.

a) Plano paralelo al eje OX. Se tiene A = 0 y la ecuación toma la forma:

b) Plano paralelo al eje OY. Se tiene B = 0 y la ecuación general toma la forma

c) Plano paralelo al eje OZ. Se tiene C = 0 y la ecuación general toma la forma:

d) Plano que pasa por el origen. Se tiene D = 0 y la ecuación general toma la forma: 16 ELABORO: INGENIERO COSME HERNANDEZ LINARES.

A.x + B. y + C.z = 0

e) Plano perpendicular al eje OZ. Se tiene en este caso A = 0, B = 0 y la ecuación general toma la forma:

f) Plano perpendicular al eje OY o, lo que es igual, paralelo al plano XOZ. Se tiene en este caso A = 0, C = 0 y la ecuación general toma la forma: B. y + D = 0; y = Cte

g) Plano perpendicular al eje OX o, lo que es igual, paralelo al plano YOZ. Se tiene en este caso B = 0, C = 0 y la ecuación general toma la forma: A.x + D = 0; x = Cte.

1.6 Aplicaciones. aplicación: angulo entre dos vectores Producto Escalar. El producto escalar de dos vectores es por definición un escalar. 𝑎 ∗ 𝑏 = |𝑎| ∗ 𝑏 propiedades: 𝑎∗𝑏 = 𝑏∗𝑎 𝑝 ∗ (𝑞 + 𝑟) = 𝑝 ∗ 𝑞 + 𝑝 ∗ 𝑟 podemos usar ahora el producto escalar para encontrar el angulo de los vectores a y b: 𝑎 ∗ 𝑏 = |𝑎| ∗ 𝑏 con lo que deducimos que: 17 ELABORO: INGENIERO COSME HERNANDEZ LINARES.

cos(𝑎, 𝑏) −

𝑎𝑥 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 𝑏 − 𝑎 .𝑏 − |𝑎 | . |𝑏 | √𝑎

𝑎𝑧 𝑏𝑧

= 2 − 3 𝑎, 𝑏

-El coseno dará siempre entre 0 y 1 -El producto escalar varia como máximo entre el |a|*b y 0 -El coseno nos dice si los vectores son paralelos o perpendiculares Si coseno de a y b = 0 –vectores perpendiculares Si coseno de a y b < >0 –vectores perpendiculares En este caso, a*b=0, podemos sacar como conclusión que a=0 o b=0, o bien que a y b son mutuamente perpendiculares. módulo de un vector. Un vector no solo nos da una dirección y un sentido, sino también una magnitud se le denomina modulo. Gráficamente: es la distancia que existe entre su origen y su extremo, y se representa por: a-a. Coordenadas cartesianas: en muchas ocasiones es conveniente tomar las componentes sobre tres direcciones mutuamente perpendiculares OX, OY, y OZ que forman un sistema cartesiano tridimensional. Si tomamos tres vectores unitarios, i sobre OX, j sobre OY y k sobre OZ, entonces podemos encontrar puntos ax, ay, az sobre OX, OY, OZ, respectivamente tales que:

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Y aplicamos el teorema de Pitágoras nos encontramos con que el módulo de a es: |𝑎| √𝑎2 . 𝑖 𝑎2.2 √𝑎2 . 𝑖 ( √𝑎2 .2 aplicación: coordenadas intrínsecas y cosenos directores Se debe hacer notar que la proyección de a en una dirección cualquiera (por ejemplo: a) es un escalar, mientras que su componente en la misma dirección (por ejemplo: A.x• i) es un vector. Para un vector genérico a, los cosenos de los ángulos, y, que forma con los semiejes x, y, z, respectivamente, se denominan cosenos directores de a.

TEMA 2. CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES.

Competencia específica: Establece ecuaciones de curvas planas, en coordenadas rectangulares, polares, o en forma paramétrica, para brindarle herramientas necesarias para el estudio de curvas más sofisticadas. Una curva geométricamente hablando diremos que intuitivamente, es el conjunto de puntos que representan las distintas posiciones ocupadas por un punto que se mueve; si se usa el término curva por oposición a recta o línea poligonal, habría que excluir de esta noción los casos de, aquellas líneas que cambian continuamente de dirección, pero de forma suave, es decir, sin formar ángulos. Esto las distingue de las líneas rectas y de las quebradas. Estarían fuera de esta noción los casos de movimiento rectilíneo. Sin embargo, utilizando la definición matemática, una línea recta es un caso particular de curva. Curva: Es el caso límite de poligonal en que los saltos discretos de los segmentos son infinitesimales. También en este caso se dice curva plana, también llamada de simple curvatura por el ángulo de contingencia, si tiene todos sus puntos en un mismo plano; y curva alabeada, llamada de doble curvatura por los dos ángulos el de contingencia y el de torsión, en caso que todos sus puntos no estén en un mismo plano. A continuación, se van a definir las principales características de las curvas planas. La recta secante de una curva es la que une dos puntos de la curva separados una distancia finita. El orden de una curva es el número máximo de puntos de corte con una secante. En la figura se muestra una curva de 4° orden.

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La recta tangente a una curva en un punto es el límite a que tiende la secante cuando los dos puntos de corte tienden a confundirse. De esta forma la tangente puede ser de primera especie cuando el punto de tangencia está quieto y el otro se aproxima al primero, de segunda especie cuando los dos puntos se aproximan simultáneamente hacia el de tangencia. La clase de una curva es el número máximo de tangentes que se pueden trazar desde un punto exterior. Por ejemplo, la circunferencia es una curva de clase dos. La recta normal a una curva es la perpendicular a la tangente por el punto de tangencia. Según esta definición por un punto de la curva existirán infinitas normales. Para las curvas planas la más importante de estas normales es la coplanaria con la curva, que es la normal principal.

La clase de una curva es el número máximo de tangentes que se pueden trazar desde un punto exterior. Por ejemplo, la circunferencia es una curva de clase dos. La recta normal a una curva es la perpendicular a la tangente por el punto de tangencia. Según esta definición por un punto de la curva existirán infinitas normales. Para las curvas planas la más importante de estas normales es la coplanaria con la curva, que es la normal principal. Reciben este nombre aquellas ecuaciones en que las variables x y y, cada una separadamente, están expresadas en función de la misma tercera variable. Según esto, designando por la letra z la tercera variable, comúnmente llamada variable paramétrica, estas ecuaciones se representan en la siguiente forma general:

𝑥 = 𝐹 (𝑧)

𝑦 = 𝐹 (𝑧)

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Es muy importante aclarar que cada dos ecuaciones paramétricas representan una sola curva perfectamente referida a un sistema de ejes cartesianos. Trazado de una curva dadas sus ecuaciones paramétricas. En forma directa se le asignan valores ordenados al parámetro con lo cual las ecuaciones paramétricas determinan los valores correspondientes a x, y, que representan las coordenadas de un punto de la curva. Uniendo los puntos así determinados resulta una curva, que es la representación gráfica de las ecuaciones para métricas. 2.1 Ecuaciones paramétricas de algunas curvas planas y su representación gráfica. circunferencia Sea la circunferencia de centro en O y radio a. sean además M (x, y) un punto de la curva y Θ=ángXOM.

Se tiene, como ecuaciones paramétricas de la circunferencia: 𝑥 = 𝑎 cos 𝜃 𝑦 = 𝑎 sin 𝜃 cicloide Es la curvatura descrita por un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin resbalar, a lo largo de una recta fija. Tómese al eje x como la recta fija OX sobre la cual se hace rodar la circunferencia de centro C y radio r, y sea M el punto fijo que describe la curva.

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En el momento en que comienza a rodar la circunferencia, el punto M coincide en el origen con T, punto de contacto de la circunferencia con OX. Cuando M y T lleguen a A, cada punto habrá hecho un recorrido igual a 2πr, es decir, en todo instante genérico, la distancia OT es igual al arco TM. Teniendo presente que cuando la medida del ángulo se da en radianes, el arco es igual al radio multiplicado por el número que mide el ángulo, se puede escribir: 𝑥 = 𝑂𝑃 = 𝑂𝑇 − 𝑀𝑁 = r 𝜃 − 𝑟 sin 𝜃; 𝑦 = 𝑃𝑀 = 𝑇𝐶 − 𝑁𝐶 = 𝑟 − 𝑟 cos 𝜃; 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑥 = 𝑟 (𝜃 − 𝑟 sin 𝜃); 𝑦 = 𝑟 1 − cos 𝜃; hipocicloide Es la curvatura que describe un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin resbalar, permaneciendo siempre tangente interiormente a otra circunferencia fija.

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Sean a el radio de la circunferencia fija de centro O, b el radio de la circunferencia menor, de centro O´, que rueda, permaneciendo siempre tangente a la circunferencia mayor, M el punto fijo de la circunferencia menor que describe la hipocicloide, y T el punto de tangencia. En A coinciden M y T. cuando M haya descrito la arcada AB; habrá girado 360°, y el punto T habrá recorrido el arco AB; o sea: arco AB=2πb. astroide Si los radios de las circunferencias que intervienen en la generación de la hipocicloide son inconmensurables, la curva no vuelve a pasar por el punto inicial A. Pero, si los radios a y b son conmensurables, resulta una curva cerrada. En el caso particular de b = (1/4) a, se obtiene una curva llamada astroide. Las ecuaciones paramétricas de esta curva se deducen de las de la hipocicloide, sustituyendo b por (1/4) a y después reduciendo queda: 𝑥 = 𝑎 cos3 𝜃; 𝑦 = 𝑎 sen3 𝜃 Que son las ecuaciones paramétricas del astroide.

2.2 Derivada de una curva en forma paramétrica. Si una curva suave C está dada por las ecuaciones x=f(t) y y=g(t), entonces la pendiente de C en (x, y) es:

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Esto se da ya que cumple con el teorema que proporciona las condiciones necesarias para obtener la derivada de una función dada en forma paramétrica: 𝑆𝑒𝑎𝑛 𝑓 𝑦 𝑔 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑡1, 𝑡2. 𝑆𝑢𝑝𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜. 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓´ 𝑡 ≠ 0, 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑥 = 𝑓 𝑡, 𝑦 = 𝑔 𝑡 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖o𝑛 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝐹 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑦 𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑠 𝐷x y En general, para obtener la enésima derivada, cuando las ecuaciones están dadas en forma paramétrica, se aplica la siguiente igualdad:

A continuación, veremos unos ejemplos de derivadas de funciones dadas en forma paramétrica.

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2.3 Tangentes a una curva. La recta tangente a una curva es la que coincide con la curva en un punto y con la misma derivada, es decir, el mismo grado de variación. El conocimiento de la recta tangente permitirá resolver problemas sencillos: en primer lugar, se podrán encontrar tangentes a cualquier función que se pueda derivar, en cualquier punto, como se observa en el primer ejemplo resuelto a continuación. En segundo lugar y como se puede ver en el segundo ejemplo, se puede utilizar como condición en problemas más complejos. La recta y=m*x + b es tangente a la curva f(x) si cumple los siguientes requisitos: 1. Pasa por el punto de tangencia: (a, f(a)) 2. Tiene el mismo pendiente (mismo valor de la derivada) que la curva en el punto de tangencia: m=f´(a)

Entonces, se puede escribir la ecuación de la recta tangente de la siguiente forma: y-f(a)=f´(a)*(x-a) Nota: Siempre se encontrarán tangentes a funciones polinómicas de orden superior a 1, o a funciones no polinómicas. La tangente a una recta sería la propia recta. Además, la recta tangente puede tener interesantes aplicaciones geométricas. La siguiente gráfica posición-tiempo muestra la evolución de un atleta desde que empieza a correr. Se puede ver que el eje vertical representa la distancia recorrida, mientras que el horizontal representa el tiempo en segundos.

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Teniendo en cuenta que la velocidad es la derivada de la posición respecto al tiempo, la pendiente de la parábola azul representa la velocidad instantánea. Se puede ver que el corredor empieza con velocidad nula (parado) y va acelerando. La recta roja de la gráfica representa otro corredor que va a una velocidad constante y, en el instante marcado por el punto de tangencia, tiene la misma velocidad y se encuentra en el mismo punto. El segundo corredor va más rápido que el primero hasta que es adelantado, y luego es el primero el que, gracias a que está acelerando, termina por delante.

2.4 Área y longitud de arco. Una mejor técnica para definir una curva es describirla con una función vectorial de variables reales. Esta es una estrategia alternativa para definir una curva y es mucho mejor aquella en la cual todos los puntos de la curva son vectores posición con puntos terminales. Debido a esto, la curva es descrita de forma compacta y el cálculo de distintas propiedades de la curva puede llevarse a cabo convenientemente. Si hablamos de curvas, una propiedad importante que surge es la longitud del arco de la curva. Las funciones vectoriales de una variable también se definen paramétricamente; por tanto, la definición de la longitud del arco es la misma que para otras curvas definidas paramétricamente. Si una curva suave C está dada por x = f(t) y y = g(t) y C no se interseca a sí misma en el intervalo 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, entonces la longitud de arco de C en este intervalo está dada por:

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2.5 Curvas planas y graficación en coordenadas polares. Graficación de curvas planas en coordenadas polares

En un sistema de coordenadas rectangulares o cartesiano se puede localizar un punto con una sola pareja de puntos (x, y). El origen es el punto donde se intersectan los dos ejes coordenados.

Otra forma de representar puntos en el plano es empleando coordenadas polares, en este sistema se necesitan un ángulo (q) y una distancia (r). Para medir q, en radianes, necesitamos una semirrecta dirigida llamada eje polar y para medir r, un punto fijo llamado polo.

Si queremos localizar un punto (r, q) en este sistema de coordenadas, lo primero que tenemos que hacer es trazar una circunferencia de radio r, después trazar una línea con un ángulo de inclinación q y, por último, localizamos el punto de intersección entre la circunferencia y la recta; este punto será el que queríamos localizar.

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A continuación, localizamos varios puntos en el plano polar.

Observa que hay tres circunferencias, todos los puntos sobre estas circunferencias tienen una distancia al polo igual al radio de ella. Lo único que hace falta es encontrar el ángulo de inclinación. Para medir el ángulo es necesario tomar en cuenta si este es positivo o negativo. Si es positivo hay que medirlo en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj y si es negativo, a favor del movimiento de las manecillas del reloj.

Como ves los ángulos pueden ser negativos dependiendo de cómo se midan a partir del eje polar.

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También podemos tener distancias "negativas": ya que hayamos localizado el ángulo, la recta que parte del polo en esa dirección tendrán un radio positivo y los puntos que estén sobre la prolongación de esta recta en sentido contrario al polo tendrán un radio negativo. Por ejemplo:

Con estos conceptos básicos de localización de puntos en el sistema de coordenadas polares, podemos graficar funciones y no solo puntos. En este tipo de funciones la variable independiente es q y la dependiente es r, así que las funciones son del tipo r = r(q). El método para graficar estas funciones es el siguiente, primero graficamos la función r = r(q) en coordenadas rectangulares y a partir de esa gráfica trazamos la correspondiente en polares. Guiándonos con la dependencia de r con respecto a q. Recordemos que q es la variable independiente y va de 0 a 2p generalmente. Por ejemplo, la función r = q tiene como gráfica en rectangulares a la izquierda vemos que el radio depende linealmente con el ángulo, es decir que el radio crecerá y tomará los mismos valores que el ángulo. Y a la derecha tenemos esta gráfica en coordenadas polares se ve claro esta dependencia del radio con el ángulo. A esta gráfica se le llama Espiral de Arquímedes Mostraremos a continuación algunas gráficas en coordenadas polares. r = sen(2q)

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r = sen(3q)

r = sen(4q)

r = sen(5q)

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Las funciones del tipo r = sen(aq) son rosas o rosetas. El número de pétalos depende del valor de a, si a es par, el número de pétalos es 2a; y si a es impar el número de pétalos esa. Para graficar estas funciones en el cuaderno o en el pizarrón se puede hacer una tabulación sólo con algunos valores de q que casi siempre son: 0, p/2, p, 3p/2, 2p. y ver cómo cambia el valor de r. r = 1- sen(q) Aquí observamos que el radio siempre es positivo y va de 1 a 2.

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2.6 Cálculo en coordenadas polares. Las coordenadas polares. se definen por un eje que pasa por el origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto considerado, mientras que la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos. En muchos casos, es útil utilizar las coordenadas cartesianas para definir una función en el plano o en el espacio. Aunque en muchos otros, definir ciertas funciones en dichas coordenadas puede resultar muy complicado, hacer uso de las coordenadas polares o esféricas puede simplificarnos mucho la vida. Otra forma de determinar numéricamente un vector es indicando su intensidad y el ángulo que forma con el eje de abscisas: son las coordenadas polares de un vector. al determinar sus coordenadas cartesianas es inmediato, ya que en la figura x=r*cos (deg) y y=r*sen(deg), donde r es la intensidad del vector y deg el ángulo que forma con el eje de abscisas.

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TEMA 3.- FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL. Competencia específica: Establece ecuaciones de curvas en el espacio en forma paramétrica, para analizar el movimiento curvilíneo de un objeto, así como contribuir al diseño de elementos que involucren curvas en el espacio.

3.1 Definición de función vectorial de una variable real. Una función vectorial es una función que transforma un número real en un vector:

Donde x(t), y(t) y z(t) son funciones llamadas funciones componentes de variable real del parámetro t. Así, se dice que F es continua, derivable o integrable, si lo son x(t), y(t) y z(t). La función vectorial también se puede encontrar representada como 𝑓 (𝑡). Por tanto, se llama función vectorial a cualquier función de la forma:

dominio El dominio de una función vectorial está dado por la intersección de los dominios de cada una de las funciones componentes, es decir:

representación gráfica La representación gráfica de una función vectorial es aquella curva C que describen los puntos finales de los vectores que forman parte de la función para toda t que pertenece al dominio de la función.

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Un punto de la curva C tiene la representación cartesiana (x, y, z) donde:

Las cuales se llaman ecuaciones paramétricas de C. Al asignar números reales a t se elimina el parámetro y se obtienen ecuaciones cartesianas de C. Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas. Tomando como parámetro t el tiempo, las podemos usar para describir el movimiento a lo largo de una curva. Más en general, podemos usar una función vectorial para trazar la gráfica de una curva. En ambos casos, el punto final del vector posición r (t) coincide con el punto (x, y) o (x, y, z) de la curva dada por las ecuaciones paramétricas, como muestra la figura 11.1. La flecha sobre la curva indica el sentido de recorrido, es decir, el sentido de valores crecientes de t. Salvo que se especifique otra cosa, se considera como dominio de una función vectorial r la intersección de los dominios de las funciones f, g y h. Por ejemplo, el dominio de: 𝑟(𝑡) = 𝑙𝑛(𝑡) 𝑖 + √1 − 𝑡𝑗 + 𝑡𝑘 es el intervalo (0, 1]

3.2 Límites y continuidad de una función vectorial. Muchas de las técnicas y definiciones utilizadas en el estudio de funciones reales de una variable real son aplicables a las funciones vectoriales. Así, las funciones vectoriales se pueden sumar o restar, multiplicar o dividir, tomar su límite, derivarlas, etc. La estrategia consiste en aprovechar la linealidad de las operaciones vectoriales, extendiendo las definiciones a las funciones vectoriales componente a componente. Por ejemplo, para sumar o restar dos funciones vectoriales en el plano podemos hacer lo que se muestra en la pizarra: límite de una función vectorial

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Dada una función vectorial

Esto significa que cuando t tiende al valor de a, el vector ⃗⃗⃗ 𝐹 (𝑡) se acerca más y más al ⃗ . Para que exista el límite de la función, debe existir el límite de cada una de las vector ℓ funciones componentes. Continuidad Sea ⃗⃗⃗ 𝐹 𝑡: 𝐴 → ℝ𝑛 𝑦 𝑎 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝐴 ⊆ ℝ. 𝐴𝑛á𝑙𝑜𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝐹 𝑡 es continua en a sí y sólo si:

Teorema: Una función con valores vectoriales r(t) es continua en t = a si y sólo si sus funciones componentes f, g y h son continuas en t = a.

3.3 Derivada de una función vectorial. ⃗⃗⃗ ′𝑡 es la derivada de dicha función y se Sea la función vectorial 𝐹 𝑡 entonces diremos que 𝐹 define mediante:

Para valores cualesquiera de t para los que existe el límite. Cuando el límite existe para t = a se dice que 𝐹 𝑡 es derivable en t = a. Teorema Sea 𝐹 𝑡 una función vectorial y supongamos que sus funciones componentes f, g y h son todas derivables para algún valor de t, entonces 𝐹 𝑡 es derivable en ese valor de t y su derivada está dada por:

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propiedades Supongamos que r(t) y s(t) son funciones vectoriales derivables, que f(t) es una función escalar también derivable y que c es un escalar cualquiera, entonces:

Cuando una función vectorial definida en un intervalo abierto de R es derivable indefinidamente y su primera derivada no es nula, decimos que se trata de una curva regular. Al vector ⃗⃗⃗ 𝐹 (𝑡) se le llama vector de posición de la curva y a los vectores 𝐹 ′(𝑡) y 𝐹 ′′(𝑡) se les llama, respectivamente, vectores velocidad y aceleración. De modo que la rapidez en un instante t es 𝐹 ′𝑡, es importante observar que la rapidez es un escalar, mientras que la velocidad un vector. Al vector 𝐹 ′(𝑡) también se le llama vector tangente a la curva 𝐹 (𝑡) en t, y el vector.

3.4 Integración de funciones vectoriales. La función vectorial 𝐹 (𝑡) es una antiderivada de la función vectorial ⃗⃗⃗⃗ 𝑓 (𝑡), siempre y cuando

integral indefinida Si 𝐹 (𝑡) es cualquier antiderivada de 𝑓 (𝑡), la integral indefinida de esta se define como 37 ELABORO: INGENIERO COSME HERNANDEZ LINARES.

Donde c es un vector constante arbitrario

integral definida Para la función vectorial 𝑓 (𝑡), se define la integral definida de la misma

teorema fundamental del cálculo integral (regla de barrow) Supongamos que 𝐹 (𝑡) es una antiderivada de 𝑓 (𝑡) en el intervalo [a, b] diremos:

3.5 Longitud de arco. Teorema. Si C es la gráfica de una función F en un intervalo [a, b] y si F’ es continua en dicho intervalo, entonces C tiene una longitud L y

Ejemplo: Encuentre la longitud de la parte de la parábola con ecuación 𝑦 = 4 – 𝑥2 que está en la parte superior del eje x. Solución: La curva que se desea determinar es la gráfica de

Como 𝐹 𝑥 = 4 − 𝑥2, 𝐹′ 𝑥 = −2𝑥, vemos que F’ es continua en [-2,2]; por tanto, se puede aplicar el teorema anterior y tenemos:

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Ocasionalmente se expresa la longitud de una curva C por la ecuación:

La fórmula anterior sugiere que si la curva C tiene la representación paramétrica

Donde 𝑎 = 𝐺 𝑡1, 𝑏 = 𝐺 𝑡2, 𝑐 = 𝐻 𝑡1, 𝑑 = 𝐻 𝑡2, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑑𝑥 = 𝐺 ′ 𝑡 𝑑𝑡 𝑦 𝑑𝑦 = 𝐻 ′ 𝑡 𝑑𝑡, 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝐿 𝑑𝑒 𝐶 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑝𝑜𝑟:

La fórmula anterior se puede aplicar para cuando la ecuación de la curva está dada por una función vectorial, por lo que, la longitud de arco de curva entre dos puntos F(a) y F(b) viene dada por la fórmula:

3.6 Vectores tangente, normal y binormal. vector tangente Como ya lo vimos anteriormente, al vector 𝐹 ′(𝑡) también se le llama vector tangente a la curva 𝐹 (𝑡) en t,

y el vector

vector normal

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vector binormal

Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares entre sí, juntos forman un sistema de referencia móvil conocido como Triedro de Frénet-Serret.

3.7 Curvatura. Dada una curva regular F(t) se puede reparametrizar, de manera que la longitud de la curva entre dos puntos a y b coincida con la longitud del intervalo con origen en a y extremo en b; en este caso se dice que la curva está parametrizada por la longitud de arco, que llamamos s. En este caso el vector tangente siempre es unitario. Se define la curvatura k como la variación del vector tangente respecto a la longitud de arco.

La curvatura viene a medir como se “tuerce” la curva respecto de su longitud. Esta definición es bastante intuitiva, pero no es fácil de calcular. Para curvas, no necesariamente parametrizadas por el arco, se puede calcular como

Si la curva está en el espacio, también se “retuerce” y para medir esto de define a la torsión T como

3.8 Aplicaciones. En electricidad y magnetismo Para determinar completamente una función vectorial necesitamos calcular tanto su rotacional como su divergencia, además de las condiciones de contorno. Por ello las

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ecuaciones fundamentales del electromagnetismo (ecuaciones de Maxwell) se expresan en términos de la divergencia y el rotacional de los campos eléctrico y magnético. Empezaremos calculando la divergencia del campo magnético a través de la ley de BiotSavart:

El integrando de esta ecuación puede descomponerse según las reglas del cálculo vectorial en la forma:

donde los dos términos dan un resultado nulo. Por lo tanto, se obtiene:

que constituye una de las leyes generales del Electromagnetismo que establece que el campo de inducción magnética es solenoidal, es decir tiene divergencia nula en todos los puntos. Esto significa dicho campo no tiene ni fuentes ni sumideros y por tanto, como resaltaremos posteriormente, las líneas de fuerza del campo magnético siempre son cerradas. Los polos magnéticos, equivalentes en este caso a las cargas eléctricas, no existen independientemente; siempre que hay un polo Norte ha de aparecer un polo Sur. Otra de las implicaciones del carácter solenoidal del campo de inducción es la de que existe una función vectorial de la que deriva:

para cualquier vector A. Este vector así definido recibe el nombre de potencial vector, y su unidad en el S.I. es el Wb/m. Al igual de lo que ocurre en el caso del potencial electrostático V, el potencial vector no está unívocamente determinado puesto que si le añade cualquier magnitud vectorial de rotacional nulo se llega al mismo campo magnético B.

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En el cálculo de movimiento de un proyectil Cuando se lanza un objeto en presencia solamente de un campo gravitatorio, como el de la tierra, se observa que dicho objeto se eleva, alcanza una determinada altura y cae. Las ecuaciones vectoriales que describen este tipo de movimientos son:

Este movimiento ocurre en un plano y para su estudio se puede descomponer en un movimiento en la dirección horizontal y otro en la dirección vertical. En la dirección horizontal, el movimiento es uniforme con velocidad constante y las ecuaciones que lo describen son:

donde 𝑥0 es la componente horizontal de la posición inicial y es la componente horizontal del vector velocidad inicial. 0xxv0 En la dirección vertical, el movimiento es uniformemente acelerado, donde la aceleración es debida al campo gravitatorio. Las ecuaciones que lo describen son:

donde 𝑦0 es la componente vertical de la posición inicial, 𝑣0𝑦 es la componente vertical de la velocidad inicial y es la componente vertical de la aceleración.

TEMA 4.- FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES. Competencia específica: Aplica los principios del cálculo de funciones de varias variables para resolver y optimizar problemas de ingeniería del entorno, así como para mejorar su capacidad de análisis e interpretación de leyes físicas. 42 ELABORO: INGENIERO COSME HERNANDEZ LINARES.

Hasta ahora hemos manejado solo funciones de una variable independiente. Sin embargo, muchos problemas comunes vienen planteados en términos de funciones de dos o más variables. Así, por ejemplo, el trabajo efectuado por una fuerza (W = FD) y el volumen de un cilindro circular recto son funciones de dos variables. El volumen de un sólido rectangular es una función de tres variables. La notación para las funciones de dos o tres variables es similar a la utilizada para funciones de una sola variable. Sirva como ejemplos: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧

4.1 Definición de una función de varias variables. Muchas magnitudes que nos resultan familiares son funciones de dos o más variables independientes. Por ejemplo, el trabajo 𝑤 realizado por una fuerza 𝑤 = 𝑓. 𝑑 , el volumen de un cilindro circular recto 𝑉 − 𝑉(𝑟3ℎ) − 𝑙𝑙 . 𝑟 2 . ℎ , el qrea de un triángulo 𝐴 = 𝑏. ℎ , son todas funciones de dos variables. 3El volumen de una caja rectangular es una función de tres variables. Denotaremos una función de dos o más variables de la forma usual.

4.2 Gráfica de una función de varias variables. Curvas y superficies de nivel. Otra forma de visualizar una función de dos variables consiste en utilizar un campo escalar en el que se asigna al punto (x, y) el escalar z= f (x, y). Un campo escalar queda caracterizado por sus curvas de nivel (o líneas de contorno) a lo largo de las cuales el valor de f (x, y) es constante. Los mapas de contorno suelen utilizarse para representar regiones de la superficie terrestre, con las curvas de nivel correspondiendo a las líneas de altura constante sobre el nivel del mar. Los mapas de ese tipo se llaman mapas topográficos Un mapa de contorno traduce la variación de z respecto de x e y gracias al espaciado entre las curvas de nivel. Una separación grande entre las curvas de nivel significa que z está variando lentamente, mientras que curvas de nivel muy juntas quieren decir que z cambia muy de prisa. Además, para proporcionar una ilusión tridimensional adecuada en un mapa de contorno, es importante elegir los valores de c espaciados de manera uniforme. 43 ELABORO: INGENIERO COSME HERNANDEZ LINARES.

Ejemplo 1. Hallar y dibujar el dominio de las siguientes funciones 1.

2.

Solución. Para hallar el dominio de 𝑓 recuerde que el argumento de una raíz cuadrada debe ser positivo o cero:

Lo cual corresponde al interior de un círculo de radio 3, como se muestra en la figura 1.

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4.3 Límite y continuidad de una función de varias variables. Definición del límite de una función de dos variables. Sea f una función de dos variables definida en un disco abierto centrado en (x0, y0), excepto quizás en el punto (x0, y0), y sea L un número real. Entonces

lím

f ( x, y)  L

( x , y )( x0 , y0 )

sí para cada 𝜀 > 0 existe un 𝛿 > 0

tal que

|𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝐿| < 𝜀 Siempre que 0 < √(𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 < 𝛿 Gráficamente, esta definición de límite implica que para cualquier punto (x, y) (x0, y0) en el disco de radio, el valor de f (x, y) está entre. El conjunto de parejas ordenadas x, y se llama dominio de la función y el conjunto de valores correspondiente a z se llama contra dominio, rango, ámbito. Una función de dos variables se escribe z = “f (x, y) de x, y”. Las variables x, y se denominan variables independientes y z la variable dependiente. La gráfica de una función Z es una superficie del espacio tridimensional. El potencial electrostático en un punto P (x, y) del plano debido a una carga puntual unitaria, colocada en el origen está dada por: Donde C es una constante positiva, las líneas o curvas equipotenciales son círculos alrededor de la carga y se les denomina curvas del nivel Las curvas de nivel se usan en la elaboración de mapas orográficos o planos de configuración. En los mapas meteorológicos o climáticos, las curvas de nivel se llaman isotérmicos (cuando la temperatura es constante: isotérmico), en un mapa meteorológico que represente la presión atmosférica se les llama isobalos (presión barométrica constante). 4.4 Derivadas parciales. En las aplicaciones en que intervienen funciones de varias variables suele presentarse la cuestión de cómo resulta afectada la función por un cambio en una de sus variables independientes. Se puede contestar esa pregunta considerando por separado esa variable independiente. Este proceso se llama derivación parcial respecto de esa variable independiente elegida.

45 ELABORO: INGENIERO COSME HERNANDEZ LINARES.

definición de las derivadas parciales de una función de dos variables

Esta definición significa que, dada z = f (x, y), para calcular fx deben considerar a y como constante y derivar respecto de x. Del mismo modo, para hallar fy mantenemos x como constante y derivamos respecto de y.

interpretación geométrica Las derivadas parciales de una función de dos variables z = f (x, y), admiten una interesante interpretación geométrica. Si y = y0, z = f (x, y) es la curva intersección de la superficie z = f (x, y) con el plano y = y0 como muestra la figura 12.26. Por tanto, da la pendiente de esa curva en el punto (x0, y0, f (x0, y0)). Nótese que tanto la curva como la recta tangente están en el plano y = y0 Análogamente. Si x = x0, z = f (x, y) es la curva intersección de la superficie z = f (x, y) con el plano x = x0 da la pendiente de ésta con el plano x = x0 en el punto (x0, y0, f (x0, y0)). como indica la figura 12.27.

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4.5 Incrementos y diferenciales. Para funciones z = f (x, y) de dos variables se va a utilizar una terminología similar. Esto es𝛥𝑥𝑦𝛥𝑦, son los incrementos de x e y, y el incremento de z viene dado por: 𝛥𝑧 = 𝑓(𝑥 + 𝛥𝑥, 𝑦 + 𝛥𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦) Incremento de z. definición de la diferencial total Si z = f (x, y) y 𝛥𝑥, 𝛥𝑦 son incrementos de x e y las diferenciales de las variables independientes x e y son: 𝑑𝑥 = 𝛥𝑥, 𝑑𝑦 = 𝛥𝑦 y la diferencial total de la variable dependiente z es: 𝑑𝑧 =

𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦

Esta definición se extiende de manera obvia a funciones de tres o más variables. Así, si w = f (x, y, z, u), entonces 𝑑𝑥 = 𝛥𝑥, 𝑑𝑦 = 𝛥𝑦, 𝑑𝑧 = 𝛥𝑧, 𝑑𝑢 = 𝛥𝑢 𝑑𝑤 =

𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧 + 𝑑𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑢

4.6 Regla de la cadena y derivada implícita. El manejo de las diferenciales en la sección anterior abre la puerta a la extensión de la regla de la cadena a funciones de dos variables. Hay dos casos, el primero de los cuales trata una función w de x e y, donde x e y son funciones de una variable independiente t.

La regla de la cadena para dos variables independientes ofrece un método alternativo para calcular las derivadas parciales del ejemplo anterior, sin escribir explícitamente w como función de s y t.

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Vamos a finalizar esta sección aplicando la regla de la cadena al cálculo de la derivada de una función dada en forma implícita.

4.7 Derivadas parciales de orden superior. Las derivadas parciales de primer orden fx y fy son a su vez funciones de “x” y “y” por lo que se pueden derivar con respecto de x o de y. Las derivadas parciales de f x (x, y) y fy (x, y) son derivadas parciales de segundo orden de f. Tal como sucedía con las derivadas ordinarias, es posible hallar las derivadas parciales segundas, terceras o de orden más alto, suponiendo que existan. 48 ELABORO: INGENIERO COSME HERNANDEZ LINARES.

Se denotan por el orden en el que se van efectuando las derivaciones. Por ejemplo, la función z = f (x, y) tiene las siguientes derivadas parciales de segundo orden:

4.8 Derivada direccional y gradiente. Ya sabemos cómo determinar las pendientes en las direcciones x e y que vienen dadas respectivamente por las derivadas parciales fx (x, y) y fy (x, y). En esta sección veremos que estas dos pendientes sirven para calcular la pendiente en cualquier dirección. Para calcular la pendiente en un punto de una superficie, definimos un nuevo tipo de derivada, la derivada direccional. Sea z = f (x, y) una superficie y P (x0, y0) un punto en el dominio de f. la dirección de la derivada direccional la da un vector unitario: 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑗

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El gradiente de una función de dos variables El gradiente de una función de dos variables es una función vectorial de dos variables. Tiene múltiples aplicaciones (como la divergencia y el rotacional), las cuales describiremos más adelante. (ver figura).

NOTA: No se asigna valor alguno al símbolo ∇ en sí mismo. Es un operador, en el mismo sentido que lo es 𝑑/ 𝑑𝑥: Cuando ∇ opera sobre f (x, y) produce el vector ∇ f (x, y).

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4.9 Valores extremos de funciones de varias.

¿qué es un punto de extremo absoluto o global sobre un conjunto a para una función real de n variables reales? Es un punto de A en el cual la función alcanza el mayor o el menor valor respecto al resto de los valores que toma dicha función en los puntos de A. ¿y cuándo hablamos de puntos de extremo local o relativo? Pues cuando el máximo o el mínimo lo es respecto al resto de los valores que toma la función en cierto entorno del punto (este entorno se asume subconjunto de A) pero no necesariamente respecto al esto de los valores de la función en los demás puntos de A. Ejemplos: El punto es un punto de mínimo absoluto y local para la función definida por: El punto es un punto de máximo absoluto y local para la función definida por: Al igual que en el caso de funciones de una variable una función de varias variables puede alcanzar un extremo local en puntos donde puede o no ser diferenciable.

¿Pero en cualquier punto en el cual sea diferenciable ella puede alcanzar un máximo o mínimo? La respuesta se recoge en el teorema siguiente el cual es una extensión del llamado Teorema de Fermat al caso de funciones de varias variables, aunque solo será enunciado para el caso de tres variables. Como se ve este teorema solo expresa condiciones necesarias de existencia de extremo local bajo el supuesto de que la función tiene derivadas parciales respecto a cada variable definidas en dicho punto (para ello es suficiente pero no necesario que la función sea diferenciable). A los puntos que anulan todas las parciales de primer orden se les denomina puntos estacionarios.

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TEMA 5.- INTEGRACIÓN MÚLTIPLE. Competencias específicas: Formula y resuelve integrales múltiples a partir de una situación propuesta, eligiendo el sistema de coordenadas más adecuado para desarrollar su capacidad para resolver problemas. Interpreta y determina las características de los campos vectoriales para su aplicación en el estudio de fenómenos físicos.

5.1 Cálculo de áreas e integrales dobles. Integral de área: Es la aplicación sucesiva de dos procesos de integración definida simple a una función de dos variables f (x, y); tomando en consideración en función de que variable se encuentran los límites para saber cuál diferencial (dx o dy) se utilizará primero y cual después. Se debe enfatizar que las condiciones de esta definición son suficientes, pero no necesarias para la existencia de la integral doble. El cálculo del valor de una integral doble directamente de la definición es muy tedioso, por lo que existe un teorema para integrales dobles. Teorema fundamental para integrales dobles. Si la integral doble de f en R existe, y si la región R es de alguno de estos dos tipos: acotada cuya frontera es una curva cerrada simple y rectificable, y cada línea que pasa por un punto interior de R y perpendicular al eje x interseca a la frontera de R en solo dos puntos (región R tipo T1) o si cada línea que pasa por un punto interior de R y perpendicular al eje y interseca a la frontera de R solo en dos puntos (región R tipo T2). O si R es la unión de un número finito de regiones del tipo T1 o T2, las integrales iteradas se pueden usar para calcular la integral doble.

Integral de volumen: Es la aplicación sucesiva de tres procesos de integración definida simple a una función de tres variables f (x, y, z); tomando en consideración en función de que variable se encuentran los límites para saber cuál diferencial (dx, dy, dz) se utilizará primero y cual después y cual al final. (se verá en el subtema 5.5 definición de integral triple). 𝑆𝑒𝑎 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑥 | 𝑧=𝐹 𝑥, 𝑦, (𝑥, 𝑦) ∈𝑅 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖o𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ó𝑛 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑦 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑅. 𝑖. 𝑆𝑖 𝑅 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑇1 𝑦 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 {𝑥, 𝑦 |𝐺1 𝑥 ≤𝑦≤𝐺2 𝑥, 𝑎≤𝑥≤𝑏}, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐺1 𝑦 𝐺2 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑎, 𝑏 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

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|

𝑖𝑖. 𝑆𝑖 𝑅 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑇2 𝑦 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 {𝑥, 𝑦 |𝐻1 𝑦 ≤𝑥≤𝐻2 𝑦, 𝑐≤𝑦≤𝑑}, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐻1 𝑦 𝐻2 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑐, 𝑑 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

Cálculo de áreas: Consideramos la región R acotada por 𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑦 𝑔1(𝑥)≤𝑦≤𝑔2(𝑥). El área plana R está dada por la integral

5.2 Integrales iteradas. Integración. Se llaman integrales iteradas a la realización sucesiva de por lo menos 2 procesos de integración simple considerando las diferenciales 𝑑𝑥 𝑦 𝑑𝑦. Es importante tomar en cuenta en que posición vienen dados los límites de las integrales en cuestión para saber en qué orden serán ejecutados los procesos de integración simple; es decir, reconocer si se va a integrar primero considerando la diferencial 𝑑𝑥 o la diferencial 𝑑𝑦 o viceversa. formas en que pueden presentarse las integrales iteradas. 1

0 2 xydx

;

1

0 2 xydy

; 01 02 dydx ; 01 02 dxdy ;

1 3y

0 y

dxdy ;

1 2x

0 x 2 dydx

procedimientos para la integración iterada En las primeras dos integrales:

53 ELABORO: INGENIERO COSME HERNANDEZ LINARES.

Se mantiene constante la variable diferente a la diferencial y se integra respecto a la diferencial correspondiente ya sea dx o dy; y posteriormente en el resultado de la integración se sustituyen los límites superior e inferior como se realiza en las integrales definidas. En la tercera y cuarta integrales: 1 2

1 2

0 0 dxdy ;

0 0 dydx ;

Como los límites son numéricos es independiente realizar la integración primero respecto de dx y luego de dy, o viceversa, ya que el resultado es el mismo.

En la quinta y sexta integrales: 1 3y

0 y

dxdy ;

1

2𝑥

∫0 ∫𝑥2 𝑑𝑦𝑑𝑥

Se observan en función de que variable se encuentran los límites y se realiza la primera integración considerando la diferencial de la otra variable; seguidamente se sustituyen los límites no numéricos en el resultado de la primera integración. Y este nuevo resultado se integra considerando la diferencial de esta misma variable; y finalmente, se sustituyen los límites numéricos en el resultado de esta segunda integración. Mismo que será el resultado de la integral iterada buscada. En la quinta: Se integra primero considerando la diferencial dx y después la diferencial dy En la sexta: Se integra primero considerando la diferencial dy y después la diferencial dx

Otra manera es: Observando la posición de las dos diferenciales en la integral iterada e integrando primero respecto de la diferencial de la izquierda y segundo respecto de la diferencial de la derecha.

5.3 Integral doble en coordenadas rectangulares.

54 ELABORO: INGENIERO COSME HERNANDEZ LINARES.

5.4 Integral doble en coordenadas polares. De la misma manera en que la integral de una función positiva f (x) de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva f (x, y) de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una “integral triple” de una función f (x, y, z) definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo, es bueno notar que si f (x, y, z) = 1 el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores. La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El Dominio de Integración se representa simbólicamente para cada diferencial sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha: Es importante destacar que es imposible calcular la antiderivada de una función de más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen. Consideraciones importantes teorema de green ∫ 𝑴𝒅𝒙 + 𝑵𝒅𝒚 = ∫ ∫ ( 𝑪

𝑹

𝝏𝑵 𝝏𝑴 ) 𝒅𝑨 − 𝝏𝒙 𝝏𝒚

En coordenadas polares

dA  rdrd

x  r cos 

cos   2

1  cos 2 2

Consideremos la región A determinada por las semirrectas 𝜃 = 𝛽, 𝜃 = 𝛼 y las curvas r = f1 (𝜃), r = f2 (𝜃), como en la figura 6. Supongamos que A queda incluida por completo en el sector R: " r " a " 𝜃 " Sean m y n dos enteros positivos y hagamos

55 ELABORO: INGENIERO COSME HERNANDEZ LINARES.

Cubrimos ahora R por una red de arcos circulares de centro O y radios r, 2r,….mr y trazamos rectas desde O tales que el ángulo formado por dos rectas consecutivas cualquiera sea siempre el mismo e igual a 𝛥𝜃, R queda dividido en tres tipos de subregiones: a) exteriores de A; b) interiores de A, y c) atravesadas por el contorno de A.

5.5 Integral triple en coordenadas rectangulares. Volumen. Así como las integrales dobles nos permiten tratar con situaciones más generales que las integrales simples, las integrales triples nos permiten resolver problemas aún más generales. Usamos las integrales triples para calcular los volúmenes de formas tridimensionales y el valor promedio de una función sobre una región tridimensional. Las integrales triples también se usan en el estudio de campos vectoriales y el flujo de fluidos en tres dimensiones. Integrales triples Si F (x, y, z) es una función definida en una región cerrada D y acotada en el espacio, como la región ocupada por una bola sólida o un montón de arcilla, entonces la integral de F sobre D se define de la siguiente manera. Partimos una región en forma de caja rectangular que contiene a D en celdas rectangulares mediante planos paralelos a los ejes coordenados (figura 15.29).

56 ELABORO: INGENIERO COSME HERNANDEZ LINARES.

Numeramos las celdas que están dentro de D desde 1 hasta n en algún orden, donde la k-ésima celda tiene las dimensiones ∆𝑥𝑘 por ∆𝑦𝑘 por ∆𝑧𝑘 y un volumen ∆𝑉𝑘 = ∆𝑥𝑘∆𝑦𝑘∆𝑧𝑘. Seleccionamos un punto (𝑥𝑘, 𝑦𝑘, 𝑧𝑘) en cada celda y formamos la suma.

Estamos interesados en lo que pasa cuando D se parte en celdas cada vez más pequeñas, de manera que ∆𝑥𝑘, ∆𝑦𝑘, ∆𝑧𝑘 y la norma de la partición el valor máximo entre 𝐷𝑥𝑘, 𝐷𝑦𝑘, 𝐷𝑧𝑘 tienden a cero. Cuando se obtiene un único valor límite, sin importar la forma de elegir las particiones y puntos (𝑥𝑘, 𝑦𝑘, 𝑧𝑘), decimos que 𝐹 es integrable sobre D. Como antes, se demuestra que cuando 𝐹 es continua y la superficie de la frontera de D está formada por un número finito de superficies regulares unidas a lo largo de un número finito de curvas regulares, entonces 𝐹 es integrable. Cuando ‖𝑃‖ → 0y el número de celdas n tiende a ∞ `, las sumas Sn tienden a un límite. Llamamos a este límite la integral triple de 𝐹 sobre 𝐷 y la escribimos como

Las regiones D sobre las que las funciones continuas son integrables, son aquellas que tienen fronteras “razonablemente suaves”.

57 ELABORO: INGENIERO COSME HERNANDEZ LINARES.

Volumen de una región en el espacio Si F es una función constante cuyo valor es 1, entonces las sumas de la ecuación (1) se reducen a

Cuando ∆𝑥𝑘, ∆𝑦𝑘 y ∆𝑧𝑘 tienden a cero, las celdas ∆𝑉𝑘 se hacen cada vez más pequeñas y más numerosas, y cubren una parte cada vez mayor de 𝐷. Por lo tanto, definimos el volumen de 𝐷 como la integral triple

5.6 Integral triple en coordenadas cilíndricas y esféricas. Este tipo de integrales se utilizan cuando la función F viene dada en coordenadas cilíndricas o esféricas. Es decir, la función viene dada de la siguiente manera:

F (r ,  , z ) dos consideraciones importantes: 1. Es importante observar la posición de los límites de la integral triple para saber con cual diferencial se va a integrar primero, con cual diferencial se va a integrar segundo y con cual diferencial se va a integrar al final. 2. Es importante también reconocer a cuál de los tres parámetros corresponden cada uno de los límites de las tres integrales para saber cuál deberá sustituirse en cada una de ellas. Cálculo de integrales triples en coordenadas esféricas A continuación, deseamos calcular una integral triple dada en coordenadas rectangulares

en coordenadas esféricas. Para ellos, si f (x, y, z) es una función continua y si definimos 𝑔 𝜌, 𝜃, 𝜑 =𝑓 (𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑, 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑, 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑) 58 ELABORO: INGENIERO COSME HERNANDEZ LINARES.

tenemos la siguiente relación entre las integrales:

Donde la integral triple se calcula mediante integrales iteradas.

5.7 Campos vectoriales. Un campo vectorial sobre E ⊂ R3 es una función 𝐹 : E → V3 que a cada punto (x, y, z) ∈ E le asigna un (único) vector de tres componentes 𝐹 (x, y, z) ∈ V3. Para cada terna ⃗⃗⃗ (x, y, z); luego ordenada (x, y, z) del dominio, se tiene asociado un vector tridimensional 𝐹

59 ELABORO: INGENIERO COSME HERNANDEZ LINARES.

podemos escribirlo en términos de sus tres componentes, que son funciones escalares de tres variables a las que llamaremos 𝑃 (𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑄 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑦 𝑅 (𝑥, 𝑦, 𝑧). Escribimos en notación vectorial: o también como terna ordenada:

Ejemplos de campos vectoriales son: a) Si un fluido se mueve en un recipiente, cada partícula tiene una velocidad 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧) la cual es un vector que depende de la posición (𝑥, 𝑦, 𝑧) de la partícula en cada momento. b) Si en un recipiente se aplica una fuente de calor, la temperatura en cada punto (x, y, z) es un campo escalar T (x, y, z). El flujo de calor viene dado por un campo vectorial de ecuación J (x, y, z) = −k · ∇T (x, y, z), donde k > 0 es una constante, llamada conductividad (el signo negativo indica que el calor fluye desde la parte más caliente hacia la más fría). c) El campo de fuerzas gravitacional que producen dos masas m y M sobre un punto (x, y, 𝑚 . 𝑀 .𝐺 z) es un campo vectorial de ecuación 𝐹 = − . (𝑥, 𝑦, 𝑧) donde G es la |𝑥,𝑦,𝑧|3 𝑚 . 𝑀 .𝐺 constante de gravitación universal. En este caso, F = −∇ V, donde 𝑉 = − . |𝑥,𝑦,𝑧| d) El campo vectorial 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (−𝑦, 𝑥) representa el movimiento giratorio de un punto (𝑥, 𝑦) en el plano. En los ejemplos (b) y (c), los campos vectoriales son campos gradientes de funciones escalares. En general, si 𝐹 = 𝛻𝑓, decimos que f es el potencial del campo vectorial F. En un campo vectorial F, se llama línea de flujo a cualquier trayectoria σ(t) tal que

De este modo, 𝐹 representa el campo de velocidad de la trayectoria σ(t).

5.8 La Integral de línea. Definición. Sea f: Ω → R un campo escalar continuo, con Ω ⊆ R n, y sea γ: [a, b] → Ω un camino regular a trozos. La integral de línea de f a lo largo de γ es, por definición:

60 ELABORO: INGENIERO COSME HERNANDEZ LINARES.

Existencia de la integral. Está asegurada, ya que el integrando es una función acotada en [a, b] y continua salvo, a lo sumo, en un número finito de puntos para los que ni siquiera concretamos el valor que toma en ellos dicha función. De hecho, si hacemos una partición a = t0 < t1 < ... < tn = b del intervalo [a, b] de forma que, para k = 1, 2..., n, la restricción de γ al subintervalo [tk−1, tk] sea de clase C1, podemos escribir.

obteniendo una suma finita de integrales de funciones continuas. Resaltamos que al campo escalar 𝑓 sólo se le exige estar definido y ser continuo sobre la curva Γ recorrida por el camino de integración. Habitualmente 𝑓 tendrá propiedades de regularidad mucho mejores, siendo por ejemplo diferenciable en un abierto Ω que contenga a la curva Γ. Casos particulares. En el caso n = 3, tendremos

Donde

son las ecuaciones paramétricas del camino γ. En el caso n = 2 tendremos solamente:

5.8.1. Integral de línea de un campo vectorial Definición. Sea ahora F: Ω → R n un campo vectorial continuo en un conjunto Ω ⊆ R n y γ: [a, b] → Ω un camino regular a trozos. La integral de línea de F a lo largo de γ es, por definición.

La existencia de esta integral está asegurada por las mismas razones comentadas en el caso de un campo escalar. Ejemplo. Consideremos el campo vectorial definido en R 3 por

61 ELABORO: INGENIERO COSME HERNANDEZ LINARES.

y el camino helicoidal

Tenemos entonces

con lo que

Propiedades de las integrales de línea Linealidad. Las integrales dependen linealmente del campo que se integra. Más concretamente, se verifica que

para cualquier camino regular a trozos γ en Rn, cualesquiera campos escalares f y g que sean continuos sobre la curva recorrida por el camino 𝛾 y cualesquiera α, β ∈ R. Análoga propiedad se tiene para campos vectoriales:

Continuidad. Las integrales de línea también dependen de manera continua del campo que se integra; intuitivamente, pequeñas perturbaciones del campo dan lugar a pequeñas variaciones en la integral. Ello es consecuencia de las desigualdades que vamos a presentar. Sea γ: [a, b] → Rn un camino regular a trozos que recorre una curva Γ, sea f un campo escalar continuo sobre Γ y supongamos que f está acotado en Γ por una constante k, es decir,

Entonces se tiene, claramente, 62 ELABORO: INGENIERO COSME HERNANDEZ LINARES.

Análogo resultado se tiene para un campo vectorial F que sea continuo sobre Γ. De hecho, podemos considerar el campo escalar ‖𝐹 ‖, que también es continuo sobre Γ, y la desigualdad de Cauchy-Schwartz nos permite escribir:

se deduce que

Aditividad. Las integrales de línea son aditivas con respecto al camino de integración, en el sentido de que, al recorrer consecutivamente dos caminos, las integrales se suman. Más concretamente, sean γ: [a, b] → Rn y σ: [c, d] → R n caminos regulares a trozos consecutivos, esto es, verificando que γ(b) = σ(c), y consideremos el camino suma γ ⊕ σ. Si 𝑓 y F son, respectivamente, un campo escalar y un campo vectorial, ambos continuos sobre la unión de las curvas recorridas por γ y σ, se verifica que

Para el camino opuesto, el comportamiento de ambas integrales no es el mismo, la de un campo escalar no se altera al cambiar el sentido de recorrido, mientras que la de un campo vectorial cambia de signo. Más concretamente, si f es un campo escalar y F un campo vectorial, ambos continuos sobre la curva recorrida por un camino regular a trozos γ, se tiene:

63 ELABORO: INGENIERO COSME HERNANDEZ LINARES.

5.9 Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física. Divergencia de un campo vectorial. Sea F un campo vectorial definido en un conjunto abierto Ω ⊆ ℝ𝑛 y consideremos sus coordenadas F = (F1, F2…, Fn). Sustentamos que F es diferenciable en un punto una ∈ Ω Lo que sabemos equivale un que todos los campos escalares Fk, con k = 1, 2…, n, sean diferenciables en el punto a. De hecho, cada vector gradiente es ∇ 𝐹𝐾 la k-esima fila de la matriz jacobiana de F en a. Pues bien, la traza de dicha matriz es, la definición, la divergencia del campo F en el punto a, y se denota por div F (a). Asia pues, se tendrá

Cuando el campo vectorial F es diferenciable en todo punto de Ω tenemos una función div F: Ω -> R que en cada punto xƐ Ω toma el valor div F (x) de la divergencia en dicho punto. Tenemos entonces la siguiente igualdad entre funciones, valida en todo punto de Ω:

Para un campo vectorial plano (x, y) 7->F (x, y) = P (x, y), Q (x, y), que sea diferenciable en un punto (x0, y0), tendremos

Cuando F sea diferenciable en un abierto Ω⊆ R2 podremos escribir

Análogamente, si F = P i + Q j + R k es un campo vectorial en el espacio, diferenciable en un punto (x0, y0, z0), tendremos

y cuando mar diferenciable en un abierto Ω ⊆ R3 podremos escribir 64 ELABORO: INGENIERO COSME HERNANDEZ LINARES.

Para operar con las nociones que estamos estudiando es útil introducir el simbolismo y manejar ∇ como si se tratase de un vector de Rn.

Por ejemplo, si f es un campo escalar definido en un abierto Ω ⊆ R norte y diferenciable en un punto a ∈ Ω, al multiplicar simbólicamente el “vector” ∇ Por el escalar f (a) se obtiene la expresión correcta del vector gradiente:

Cuando es diferenciable en todo punto de Puede hacer el mismo cálculo simbólico con la “variable escalar” f, que multiplicado por ∇ nos da

Si ahora F = (F1, F2, · · ·, F norte) es un campo vectorial definido en el abierto y diferenciable en el punto a ∈, cuando calculamos simbólicamente el producto escalar del "vector" ∇ por el vector F (a) = (F 1 (a), f2 (una)..., F norte (a)) obtenemos:

Esto explica que frecuentemente se denota por ∇. F (a) a la divergencia del campo F en el punto a. Cuando es diferenciable en Ω, tenemos igualmente

65 ELABORO: INGENIERO COSME HERNANDEZ LINARES.

Interpretación Geométrica De La Derivada

Mar un punto fijo de la curva y el mar Q, un punto móvil de la curva y el próximo a P. La recta que pasa por P y Q se denomina: recta secante. Cuando el punto Q se mueve hacia P sobre la curva, adoptando las posiciones sucesivas: Q1, Q2, Q3, ..., q n, ..., entonces, la posición límite (si existe) de la secante, se denomina: la recta tangente a la curva en P. Ahora, si las direcciones de la punta son P y Q son respectiva mente: 𝑃(𝑐 . 𝑓(𝑐 )) 𝑄(𝑐 + ℎ . 𝑓 (𝑐 + ℎ)) , entonces, la pendiente de la recta viene dado por secante, denotada por 𝑚𝑠𝑒𝑐 𝑃𝑄 ̅̅̅̅ 𝑚𝑠𝑒𝑐 ̅̅̅̅ 𝑃𝑄 = tan 𝛼 =

𝑓 (𝑐 + ℎ) − 𝑓 (𝑐) ℎ

66 ELABORO: INGENIERO COSME HERNANDEZ LINARES.

Interpretación Física De La Derivada. Velocidad promedia y velocidad instantánea. Si se trata de un vehículo de una ciudad A otra B, separadas entre sí a 100 Km., En un tiempo de 2 horas, la velocidad promedio. Es de 50 Km./h. Esto es, la velocidad promedio es la distancia entre las ciudades, dividida entre el tiempo empleado. Pero, durante el viaje, el velocímetro con frecuencia. ia marcó lecturas diferentes de 50Km./h. Inicialmente marco 0; a veces subió hasta60y al final volvió a marcar 0. Surge entonces la siguiente pregunta: ¿Qué es lo que en realidad marca el velocímetro? No marca la velocidad promedia, sino la llamada velocidad instantánea. Considere un ejemplo más preciso. Mar p un objeto que cae al vacío. Los experimentos demuestran que si un objeto, parte del reposo en caída libre, la posición del objeto, como función del tiempo viene dada por: 𝑆 = 16 𝑡 2 S en pies t en segundos así, en el primer segundo, cae 16 pies en el segundo cae 16 (2) 2 = 64 pies. En el intervalo de t = 1 seg at = 2 seg, P cae (64 - 16) pasteles. Asique su velocidad promedio será:

𝑉𝑛𝑜𝑚 =

64 − 16 𝑝𝑖𝑒𝑠 = 48 2−1 𝑠𝑒𝑔

En el intervalo de t = 1seg at = 1.5seg, P cae (16 (1.5)2 -16) pasteles. Su velocidad promedio será de: 𝑉𝑛𝑜𝑚 =

16 (1.5)2 − 16 20 𝑝𝑖𝑒𝑠 = = 20 1.5 − 1 0.5 𝑠𝑒𝑔

En forma similar, en los intervalos de tiempo: det =1 seg at=1.1 seg, y det =1seg a t =1.01 seg, P caerá respectivamente:(16(1.1)2 –16) pies y (16(1.01)2 –16) pies.

67 ELABORO: INGENIERO COSME HERNANDEZ LINARES.

5.10 Teoremas de integrales. Aplicaciones. Cálculo de áreas planas Tal cómo hemos visto antes, la integral definida es una generalización del proceso del cálculo de áreas. Ahora bien, el área de un recinto es siempre positiva, mientras que la integral puede ser positiva, negativa o nula. Por tanto, en la aplicación de la integral al cálculo de áreas, debe tenerse en cuenta el signo de cada uno de los recintos limitados por el eje OX, y tomar el valor absoluto de los mismos. Su suma es el área. Cálculo de volúmenes. Al introducir la integración, vimos que el área es solamente una de las muchas aplicaciones de la integral definida. Otra aplicación importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional. Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una región tridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, eje de giro paralelo al eje OX o al eje OY. Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de revolución. Volúmenes de revolución: El Método de los discos. Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rectángulo. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es: Volumen del disco = πR2ω Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución general, consideremos una función continua f(x) definida en el intervalo [a,b], cuya gráfica determina con las rectas x=a, x=b, y=0 , el recinto R. Si giramos este recinto alrededor del eje OX, obtenemos un sólido de revolución. Se trata de hallar el volumen de este cuerpo engendrado por R. Volúmenes de revolución: El Método de las arandelas. El método de los discos puede extenderse fácilmente para incluir sólidos de revolución con un agujero, reemplazando el disco representativo por una arandela representativa. La arandela se obtiene girando un rectángulo alrededor de un eje. Si R y r son los radios externos e internos de la arandela, y ω es la anchura de la arandela, entonces el volumen viene dado por: Volumen de la arandela = π (R2 – r2) ω

68 ELABORO: INGENIERO COSME HERNANDEZ LINARES.

Entonces, generalizando de forma análoga a como se hizo en el método de los discos, si tenemos dos funciones continuas f(x) y g(x) definidas en un intervalo cerrado [a, b], con 0≤g(x) ≤f(x), y las rectas x=a y x=b, el volumen engendrado se calcula restando los sólidos de revolución engendrados por los recintos de ambas funciones, Longitud de un arco. Podemos calcular la longitud de arco de una curva plana aplicando integrales. Lo que haremos será aproximar un arco (un trozo de curva) por segmentos rectos cuyas longitudes vienen dadas por la conocida fórmula de la distancia 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 + 𝑦1 )2

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PROBLEMARIO. TEMA 1 VECTORES EN EL ESPACIO 1.- Hallar la expresión en componentes y calcular la longitud del vector v con punto inicial (3, -7) y punto final (-2, 5). Hallar también su vector unitario u en la dirección de v. SOLUCIÓN: Denotaremos P (3, -7) = (p1, p2) y Q (-2,5) = (q1, q2). Entonces las componentes de v = son: v1 = q1 – p1 = -2 - 3 = -5 v=

v2 = q2 – p2 = 5 –(- 7) = 12 Y la longitud de v es: ‖𝑣 ‖ = √(−5)2 + (12)2 = √25 + 144 = √169 = 13 Y el vector unitario u en la dirección de v es: 𝑢=

⟨−5|12⟩ −5 12 𝑣 ⟨ | ⟩ = 13 13 ‖𝑣 ‖ 13

70 ELABORO: INGENIERO COSME HERNANDEZ LINARES.

2.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P (2, -3) y forma un ángulo de 45º con la recta r: 3x – y + 3 = 0 Solución: Escribimos la recta dada en su forma explícita: y = 3x + 3. Su pendiente es m = 3

La recta que buscamos tendrá de pendiente m´ Aplicando la fórmula del ángulo formado por dos rectas en función de sus pendientes, 𝑡𝑔 𝛼 =

𝑚 − 𝑚´ 3 − 𝑚´ 3 − 𝑚´ ⇒ 𝑡𝑔45∘ = ⇒ 1= ⇒ 1 + 3𝑚´ = 3 − 𝑚´ ´ 1 + 𝑚. 𝑚 1 + 3𝑚´ 1 + 3𝑚´

Es decir, 4𝑚´ = 2 ⇒ 𝑚´ =

1 2

De la recta que buscamos ya conocemos su pendiente y uno de sus puntos. Su ecuación será: 𝑦+3=

1 2

(𝑥 − 2) (𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 − 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒)

71 ELABORO: INGENIERO COSME HERNANDEZ LINARES.

3.- Averigua el valor del parámetro m para que las rectas − x + (m −1) y − 3 = 0 y mx − 6y + 2 sean: a) Paralelas. b) Perpendiculares.

𝐴

a) Condición de paralelismo: 𝐴´ = 6 = 𝑚(𝑚 − 1)

𝐵 𝐵´

por tanto,

⇒ 𝑚2 − 𝑚 − 6 = 0 ⇒ 𝑚 =

−1 𝑚

=

𝑚−1 −6

⇒, es decir,

1 ± √(−1)2 − 4(−6) 1 ±5 3 = = { −1 2 2

b) Condición de perpendicularidad: A. A´ + B. B´ = 0, (Producto escalar nulo) por tanto, (−1). 𝑚 + (−6)(𝑚 – 1) = 0 ⇒ 𝑚 − 6𝑚 + 6 = 0 ⇒ 5𝑚 = 6, es decir, 𝑚 = 6⁄5

72 ELABORO: INGENIERO COSME HERNANDEZ LINARES.

TEMA 2 CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES 1.- Obtenga la tangente a la curva 𝑥 = sec 𝑡,

𝑦 = tan 𝑡,

−

𝜋 𝜋