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• Jesus Alfredo Granados Diaz

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CÁLCULO INTEGRAL

M.C. Alicia E. Pérez Yebra

__________________________________________________

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CÁLCULO INTEGRAL

M.C. Alicia E. Pérez Yebra

Índice

Presentación

3

Unidad I

4

Unidad II

15

Unidad III

29

Unidad IV

41

Formulario

87

Comentarios

91

Bibliografía

92

Página 2 de 57

CÁLCULO INTEGRAL

M.C. Alicia E. Pérez Yebra

Los creadores del Análisis Infinitesimal introdujeron el Cálculo Integral, considerando los problemas inversos de sus cálculos. En la teoría de fluxiones de Newton la mutua inversibilidad de los problemas del cálculo de fluxiones y fluentes se evidenciaba claramente. Para Leibniz el problema era más complejo: la integral surgía inicialmente como definida. No obstante, la integración se reducía prácticamente a la búsqueda de funciones primitivas. La idea de la integración indefinida fue inicialmente la dominante. El Cálculo Integral incluía además de la integración de funciones, los problemas y la teoría de las ecuaciones diferenciales, el cálculo variacional, la teoría de funciones especiales, etc. Tal formulación general creció inusualmente rápido. Euler necesitó en los años 1768 y 1770 tres grandes volúmenes para dar una exposición sistemática de él. Según Euler el Cálculo Integral constituía un método de búsqueda, dada la relación entre los diferenciales o la relación entre las propias cantidades. La operación con lo que esto se obtenía se denominaba integración. El concepto primario de tal Cálculo, por supuesto, era la integral indefinida. El propio Cálculo tenía el objetivo de elaborar métodos de búsqueda de las funciones primitivas para funciones de una clase lo más amplia posible. Los logros principales en la construcción del Cálculo Integral inicialmente pertenecieron a J. Bernoulli y después a Euler, cuyo aporte fue inusitadamente grande. La integración llevada por este último hasta sus últimas consecuencias y las cuadraturas por él encontradas, todavía constituyen el marco de todos los cursos y tratados modernos sobre Cálculo Integral, cuyos textos actuales son sólo modificaciones de los tratados de Euler en lo relativo al lenguaje. Estos juicios se confirman con la revisión concreta del famoso Cálculo Integral de Euler y su comparación con los textos actuales. El cálculo integral se basa en el proceso inverso de la diferenciación, llamado integración. El cálculo Integral se puede aplicar o mejor se puede usar para calcular áreas entre curvas, volúmenes de sólidos, y el trabajo realizado por una fuerza variable. En este caso vamos a ser énfasis en el cálculo de volúmenes de solidos cilíndricos y arandelas. Al tratar de hallar el volumen de un solido, se presenta el mismo problema que al buscar áreas. Se tiene una idea intuitiva del significado de volumen pero aplicando el cálculo veremos una definición más exacta.

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1.1 Medición aproximada de figuras amorfas. 1.2 Notación sumatoria. Notación Sigma ∑: En general: ∑ ()

( )

(

)

(

)

( )

Donde m y n son enteros y m se llama el límite inferior de la suma y n se llama el límite superior. El símbolo i se llama índice de la suma.

Propiedades de la notación sigma: Propiedad 1: ∑ Donde c es cualquier constante Propiedad 2: ∑

()

∑ ()

Donde c es cualquier constante Propiedad 3: ∑[ ( )

( )]

∑ ()

∑ ()

Propiedad 4:

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∑[ ( )

(

)]

( )

( )

Las siguientes formulas, numeradas para referencias también son útiles: Fórmula 1 (

∑

)

Fórmula 2 (

∑

)(

)

Fórmula 3 (

∑

)

Fórmula 4 (

∑ Ejemplo: calcular ∑ ∑ (

( )

)(

)

) ∑( (

) )(

∑ )

∑ (

)

Evidencia 1 Encontrar la suma dada: ∑

(

∑

(

∑

) ) (

)

Área: Página 6 de 57

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Supongamos que la función f es continua en el intervalo cerrado [ ], con ( ) para ] y que R es la región acotada por la curva ( ), el eje x y las rectas toda x en [ ] en n subintervalos cada uno de longitud y . Dividimos el intervalo [ ] . Entonces si ( ) es el valor y denotamos el i-ésimo subintervalo por [ mínimo absoluto de la función en el i-ésimo subintervalo, la medida del área de la región R está dada por: ∑ ( ) O bien, podemos definir la medida del área de la región R como: ∑ ( ) Donde ( ) es el valor máximo absoluto de f en [

].

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Ejemplo: Encontrar el área de la región acotada por la curva

, el eje x y la recta x= 3

a) Tomando los rectángulos inscritos. ∑ ( ( ( Por lo tanto;

∑

)

(

) [(

) (

)

)

]

) (

)

Considerando que:

b) Tomando los rectángulos circunscritos. ∑ ( ) ∑ ( )

Por lo tanto;

∑

( )

[

( )

()

]

Con

Sol. 9 unidades cuadradas.

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Evidencia 2 Encontrar el área de la región acotada por la curva

, el eje x y la recta x=1

a) Tomando los rectángulos inscritos. b) Tomando los rectángulos circunscritos.

Encontrar el área de la región acotada por la curva

Sol. unidades cuadradas.

, el eje x y la recta x= -1 y x=2

a) Tomando los rectángulos inscritos. b) Tomando los rectángulos circunscritos.

Sol.

unidades cuadradas.

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1.3 Sumas de Riemann. ]. Dividimos este intervalo en n Sea f una función continua en el intervalo cerrado [ ) puntos intermedios entre a y b .Sean subintervalos escogiendo cualesquiera ( y y sean , los puntos intermedios tales que,

no son necesariamente equidistantes. Sea la longitud del primer subintervalo tal que . Sea Sea la longitud del segundo subintervalo tal que y así sucesivamente, tal que la longitud del i-ésimo subintervalo sea ,y Escójase un punto en cada subintervalo de la partición Δ. ] tal que Sea el punto escogido en [ ] tal que Sea el punto escogido en [ ] tal que Y así sucesivamente tal que el punto escogido en [ Fórmese la suma ( ) ( ) ( ) ( ) O ∑ ( ) ( )

Ejemplo: Dada función f en [ y [

con

encontrar la suma de Riemann para la

] para la partición Δ: ,

,

,

, y

.

,

,

y

. Trazar la gráfica de la función en

] y mostrar los rectángulos, cuyas medidas de área son los términos de la suma de

Riemann ¿Cuál es la norma de partición? Encontrar la suma de Riemann para la función en el intervalo, usando la partición dada Δ y valores dados de . Hacer la gráfica de la función en el intervalo dado y mostrar los rectángulos cuyas medidas de área son los términos de la suma de Riemann ¿Cuál es la norma de partición? Práctica (Evidencia 3): Cálculo de áreas amorfas. Construir en cartulina la figura amorfa, calcular su área y señalar ¿Cuál es la norma de partición? .

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( )

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, para Δ:

, ,

,

,

( )

,

,

, ,

.

,

,

;

,

.

( ) ,

,

para Δ:

, ,

, para Δ: .

,

,

.

,

.

,

,

,

,

;

;

,

1.4 Definición de integral definida. 1.5 Teorema de existencia. Si f es una función definida en el intervalo cerrado [ de a a b denotada por ∫ ( ) está dada por:

∫

( )

] entonces la integral definida de f

∑ ( )

‖ ‖

( ) se llama integrando a se llama el límite inferior b se llama el límite superior ∫ Teorema: si una función f es continua en el intervalo cerrado [ ], entonces f es integrable ], sin embargo no es una condición necesaria para la existencia de ∫ ( ) . en [ Para considerar la integral definida de una función f de a a b cuando , tenemos las siguientes definiciones: Si , entonces ∫

( ) ∫

Cuando

∫

( )

∫

, o cuando

( )

( ) ( )

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1.6 Propiedades de la integral definida. Si la función f es integrable en el intervalo cerrado [ entonces ( )

∫

Si las funciones f y g son integrables en [ ∫ [ ( )

( )]

∫

] y si k es cualquier constante ( )

] , entonces f + g es integrable en [ ∫

( )

∫

]y

( )

1.7 Función primitiva. Evidencia 4 Investigar concepto de función primitiva 1.8 Teorema fundamental del cálculo. ] y sea g una función tal que Sea la función f continua en el intervalo [ ( ) ( ) ]. Entonces: Para toda x en [ ∫

( )

( )

( )

1.9 Cálculo de integrales definidas. Evidencia 5 ∫ ∫ ∫ (

)

∫ ( ∫ (

) )

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1.10 Integrales Impropias Definición de la integral impropia Hasta el momento las integrales que se han realizado tienen ambos límites de integración finitos, y la función que se integra es continua en el intervalo de integración. Los casos de integrales impropias son justamente donde uno o ambos límites de integración son infinitos o donde el integrando es discontinuo en un número finito de puntos del intervalo de integración. ∫

( )

( )

∫

( )

∫

( )

∫

( )

∫

( )

∫

∫

( )

La función para integrar es continua para todos los valores de x entre los límites a y b con excepción Si

y es positivo: ∫

( )

∫

( )

La función para integrar es continua para todos los valores de x entre los límites a y b con excepción ∫

( )

∫

( )

Evidencia 6

∫ ∫ ∫ ∫

√

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∫ ∫ ∫

(√

√

)

√

∫ ∫ ∫

√ √

∫ ∫

(

)

∫ ∫ ∫ ∫

√ (

)

⁄

⁄

∫ ∫ ∫

√ √

∫ ∫

√

√

∫ ∫ ∫ ∫

(

)

⁄

√

√

∫ ∫

(

)

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2.1 Definición de integral indefinida. 2.2 Propiedades de integrales indefinidas. Evidencia 1 1. Investigar la definición de función primitiva. 2. Comprender y explicar el concepto de integral indefinida 3. Investigar y analizar las propiedades de la integral indefinida.

2.3 Cálculo de integrales indefinidas. Los problemas del cálculo integral dependen de la operación inversa: ( ) es conocida. Hallar una función ( ) cuya derivada ( ) ( ) ( ) O bien, ( ) Se enuncia el problema de cálculo integral como sigue: Dada la diferencial de una función, hallar la función. ∫

( )

( )

Entonces, se concluye que la diferenciación y la integración son operaciones inversas. Reglas para integrar las formas elementales ordinarias: a) La integral de una suma algebraica de expresiones diferenciales es igual a la misma suma algebraica de las integrales de esas expresiones. )

∫(

∫

∫

∫

b) Una constante puede escribirse adelante del signo integral ∫

∫

2.3.1 Directas. Evidencia 2 Comprobar las siguientes integraciones:

1. ∫(

)

2. ∫(

)

3. ∫(

)

4. ∫( 5. ∫ (√

) √

) Página 16 de 57

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6. ∫(

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)

(

)

7. ∫

9. ∫ 10. ∫

⁄

⁄

8. ∫

√

√

⁄

√

11. ∫ 12. ∫ 13. ∫(

⁄

⁄

⁄

⁄

√

15. ∫ (

)

16. ∫ √ ( 17. ∫

√

√

14. ∫

⁄

)

⁄

)

⁄

√

√

√

18. ∫ √ (

19. ∫ √ 20. ∫(

)

)

⁄

(

)

21. ∫ 22. ∫ ( 23. ∫

)

(

√

√

(

24. ∫ √

26. ∫( 28. ∫(

) (

25. ∫ √

27. ∫(

)

)

) (

)

) )

(

) Página 17 de 57

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29. ∫ √ 30. ∫(

)

31. ∫(

)

32. ∫ ( 33. ∫ (

)

( )

(

35. ∫(

)

36. ∫(

)

37. ∫(

) (

)

(

)

39. ∫ 40. ∫

)

(

)

) (

)

√

√ (

(

)

)

√ (

)

)

34. ∫(

38. ∫

(

(

)

)

Evidencia 3 Comprobar las siguientes integraciones:

1. ∫

| |

2. ∫

|

|

3. ∫ 4. ∫

|

|

5. ∫

|

|

6. ∫ 7. ∫

|

| |

|

8. ∫ 9. ∫

|

|

| | Página 18 de 57

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√|

10.

∫

11.

∫

12.

∫

13.

∫

14.

∫

15.

∫

16.

∫

17.

∫

18.

∫

19.

∫

20.

∫(

(

)

(

|

)

( (

)

(

√

√

21.

∫

22.

∫

23.

∫

24.

∫(

25.

∫(

26.

∫

27.

∫(

28.

∫

29.

∫

) )

√ ⁄

⁄

⁄

⁄

( )

⁄

⁄ ⁄

(

) ⁄

)

⁄

) )

(

)

(

)

) ( (

) ) Página 19 de 57

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30.

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(

∫

)

Evidencia 4 Comprobar las siguientes integraciones: 1. ∫

2. ∫ 3. ∫ 4. ∫ 5. ∫ 6. ∫ 7. ∫ √

8. ∫ √ 9. ∫ (

)

10. ∫ 11. ∫ 12. ∫(

)

13. ∫ 14. ∫ 15. ∫ 16. ∫

( (

) ) Página 20 de 57

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17. ∫ 18. ∫( 19. ∫ 20. ∫

)

(

)

√

√ (

)

(

)

Evidencia 5 Comprobar las siguientes integraciones:

1. ∫ (

2. ∫ 3. ∫

√

(

4. ∫ √

)

√ (

5. ∫ 6. ∫

)

)

√

(

7. ∫

)

(

8. ∫

)

9. ∫ (

10. ∫

(

11. ∫ 12. ∫

) )

√

13. ∫ 14. ∫ (

)

(

)

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15. ∫ 16. ∫

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(

√ √

(

(

)

(

17. ∫

(

(

)

21. ∫

(

)

23. ∫

√

(

√

)

√

(

√

(

√

)

√

)

√

(

28. ∫

√

(

√

30. ∫ √

√

31. ∫ √

√

33. ∫ √

) (

√

32. ∫ √

)

√

27. ∫

29. ∫

)

(

√

24. ∫

26. ∫

)

(

√

25. ∫

)

(

√

20. ∫

22. ∫

)

)

18. ∫ 19. ∫

)

√

√

) )

( (

√

√

√

√

)

√ )

√

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34. ∫ √

√

35. ∫ √ (

√

)

√

2.3.2 Con cambio de variable. Diferenciales que contienen solamente potencias fraccionarias de x Una expresión que contiene solamente potencias fraccionarias de x puede transformarse en forma racional mediante la sustitución

Siendo n el menor denominador común de los exponentes fraccionarios de x. Diferenciales que contienen solamente potencias fraccionarias de Una expresión que contiene solamente potencias fraccionarias de transformarse en forma racional mediante la sustitución

puede

Siendo n el menor denominador común de los exponentes fraccionarios de x. Evidencia 6 ⁄

1) ∫ 2) ∫ (

)

(

4) ∫

(

)

(

⁄

) )

⁄

√ ⁄

)

√

√

√

√

√

√

√ ⁄

5) ∫ 6) ∫

⁄

⁄

(

)

3) ∫ (

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

7) ∫ ( 8) ∫

⁄

⁄

)

⁄

(

) ⁄

⁄

⁄

⁄

⁄ ⁄ ⁄

⁄

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2.3.3 Trigonométricas Evidencia 7 1) ∫ 2) ∫ 3) ∫ 4) ∫ 5) ∫ 6) ∫ 7) ∫

8) ∫ 9) ∫ 10)

∫

2.3.4 .Por partes. Evidencia 8

∫ ∫

(

)

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

[

] [

] Página 24 de 57

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∫

√

∫

(

) (

∫

) √

∫ ∫

(

√

∫

(

√

√

√

) )

∫ ∫

(

√

)

∫

(

)

∫

(

)

∫(

(

)

) √

∫ ∫

(

)

∫(

[ (

√

√

)

]

) (

∫

)

2.3.5 Por sustitución trigonométrica. Evidencia 9

∫(

) ⁄

√

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√

∫√ ∫(

) ⁄

) ⁄

∫(

) ⁄

√

(

√

)

√

(

√

(

√

√ √

) )

√

∫

√ √

∫

√ √

∫ ∫

)

√

∫(

∫

√

√

∫√

∫

(

√ √

√

2.3.6 Por fracciones parciales. Evidencia 10

∫ ∫

(

) (

(

)

)

(

)

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(

∫ ∫

)

∫(

)

(

(

) )(

)

)

)

(

)

(

)

) (

)(

)

(

)

∫(

∫

(

(

)

)

)

)

(

)(

)(

)

∫(

∫

(

)

(

(

)

(

) )(

∫

)(

)

(

∫

(

(

∫(

∫

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)(

(

)

)

(

)

(

)

∫ ∫( ∫

)(

( (

) )

)

(

)

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∫ ∫

(

)

(

∫(

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(

) (

√

)

)

)

√

(

)

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3.1 Áreas. 3.1.1 Área bajo la gráfica de una función. 3.1.2 Área entre las gráficas de funciones. Si f es una función continua en el intervalo cerrado [ la medida del área de la región acotada por la curva y es igual a la integral definida Área = ∫ ( ) Ejemplo: Encontrar el área de la región acotada por la curva y Encontrar el área de la región acotada por la curva y

Ejemplo: Encontrar el área de la región acotada por las curvas Encontrar el área de la región acotada por la parábola a) Rectángulos verticales b) Rectángulos horizontales

]y ( ) ], para toda x en [ ( ), el eje de las x y las rectas

, el eje de las x y las rectas y las rectas

y

( )

y la recta

Evidencia 1: En cada problema hacer lo siguiente: a) Dibujar una figura que muestre la región y un elemento rectangular del área b) Calcular el área 1)

2)

√

;

;

3)

4)

; Página 30 de 57

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5)

6) ; 7) √ ; 8) y la recta a) Empleando franjas horizontales b) Empleando franjas verticales

3.2 Longitud de curvas. Por longitud de una recta queremos decir, el número de veces que podemos colocar sucesivamente sobre ella un segmento rectilíneo que se toma como unidad de longitud. La longitud de arco de una curva se define como el límite de la suma de los lados de un la poligonal cuando el número de los puntos de división tiende a infinito, al mismo tiempo que cada uno de los lados tiende a cero. Si la derivada de la función f, f ', es continua en el intervalo [a, b], se dice que f es alisada en dicho intervalo. Se denomina arco de una curva continua a la porción comprendida entre dos de sus puntos.

], la longitud, L de arco de la curva de Sea la función ( ) alisada en [ puntos ( ( )) y ( ( )) está dada por:

entre los

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∫ √

[ ( )]

( ) alisada en [ ], la longitud, L de arco de la curva de Sea la función puntos ( ( )) y ( ( )) está dada por: ∫ √ Ejemplo: Encuentre la longitud del arco de la curva

entre los

[ ( )] del origen al punto (

√ )

Evidencia 2 Hallar la longitud de arco de la curva

desde el punto donde

al punto

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Hallar la longitud de arco de la curva

desde el punto donde

al punto

Hallar la longitud de arco de la curva

desde el origen al punto (

) (

√ )

3.3 Cálculo de volúmenes de sólidos de sólidos de revolución.

Método del disco a) El eje de rotación forma parte del contorno del área plana 1) Se traza un diagrama indicando el área generatriz, el rectángulo genérico perpendicular el eje de rotación. 2) Se halla el volumen del disco producido en la rotación del rectángulo genérico alrededor del eje de rotación y la suma de los n rectángulos. 3) Aplicar el teorema fundamental del cálculo integral

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b) El eje de rotación no forma parte del contorno del área plana 1) Igual que en el a). 2) Cuando este rectángulo gire alrededor del eje de rotación se produce una arandela cuyo volumen es igual a la diferencia entre los volúmenes generados por los rectángulos al girar con respecto al eje. 3) Aplicar el teorema fundamental del cálculo integral

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Ejemplo:

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Evidencia 3

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Método del anillo 1) Se dibuja en un diagrama, el área generatriz, una franja representativa paralela al eje de rotación y su rectángulo correspondiente. ( )( )( 2) Se halla el ) del anillo cilíndrico producido en la rotación del rectángulo genérico con respecto al eje de giro y se halla la suma correspondiente a los rectángulos. 3) Aplicar el teorema fundamental del cálculo integral Regla general: El volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b, está dado por la integral

V  V2  V1   r22 h   r12 h   (r22  r12 )h   (r2  r1 )(r2  r1 )h r r   2  2 1  (r2  r1 )h  2  ∫

∫

[ ( )

∫ (

( )

( )]

) ( )

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Evidencia 4 Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar sobre el eje y la región que está comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva y = −x3 + 4x2 − 3x + 1 y la vertical x = 3 Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar, alrededor del eje y, la región que está delimitada por la parábola y = − x2 + 4x − 3, por la cúbica y = x3 − 6x2 + 12x − 5 y por las verticales x = 1 y x = 3. Determinar el volumen del sólido de la región circundada por el eje x y la parábola ( ) que se hace girar alrededor de la recta vertical .

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3.3 Cálculo de centroides. 3.4 Otras aplicaciones.

Ejemplo: Encontrar el centro de masa de una lámina de densidad uniforme, delimitada por ( ) y el eje x.

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Evidencia 5 Encontrar el centro de masa de una lámina de densidad uniforme, delimitada por ( )

Encontrar el centro de masa de una lámina de densidad uniforme, delimitada por ( ) √

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4.1 Definición de serie. 4.1.1 Finita. 4.1.2 Infinita. Los números 5, 7, 10, 11, 13,15 definen una sucesión. Está sucesión se dice que es finita porque hay un primer y último número. Si el conjunto de números el cual define una sucesión no tiene un primer y un último número, se dice que es una sucesión infinita. Por ejemplo, la sucesión definida por:

Es infinita porque los tres puntos indican que no hay último número. Definición: Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos. Si el n-ésimo elemento está dado por ( ) entonces la sucesión es el conjunto de parejas ordenadas de la forma ( ( )), donde n es un entero positivo. En particular, si ( )

( )

, entonces: ( )

( )

( )

Teorema: Si ( )

( ) y f está definida para todo entero positivo, entonces también cuando n es un entero positivo.

Definición: Si {

} es una sucesión y ∑

Entonces la sucesión { } se llama una serie infinita. Los números

se llaman los términos de la serie infinita.

Para denotar una serie infinita se utiliza el siguiente simbolismo: ∑ Ejemplo: Dada la serie infinita

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∑

∑

(

)

Encontrar los 4 primeros términos de la sucesión de sumas parciales fórmula para en términos de n.

y encontrar una

Por fracciones parciales vemos que (

)

Definición: Sea ∑ una serie infinita dada, y sea la sucesión de sumas parciales que define esta serie infinita. Entonces si existe y es igual a S, decimos que la serie dada es convergente y que S es la suma de la serie infinita dada. Si no existe, se dice que la serie es divergente y la serie no tiene suma. Ejemplo: Determinar si la serie del ejemplo anterior tiene una suma

Concluimos que la serie infinita tiene una suma igual a 1. Teoremas: Si la serie infinita ∑ Si

es convergente, entonces

entonces la serie ∑

es divergente.

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4.2 Serie numérica y convergencia Prueba de la razón (criterio de D´Alembert) y Prueba de la raíz (criterio de Cauchy). Teorema: el criterio de la razón: Sea ∑ una serie infinita dada para la cual toda | | a) Si b) Si

|

|

c) Si

|

|

4.3 Serie de potencias. Una serie de potencias en

es diferente de cero. Entonces:

|

|

la serie es divergente

nada se puede concluir acerca de la convergencia.

es una serie de la forma ) ( )

(

(

)

Usamos la notación (

∑

)

También hay series de potencias de la forma: [ ( )]

∑

( )

[ ( )]

[ ( )]

Donde Φ es una función de x. Ejemplo: Encontrar los valores de x para los cuales la serie de potencias ∑ es convergente Para la serie dada, (

)

(

y

)

(

(

)

)

De este modo |

|

|

(

| |

|

)

| |

Por lo tanto la serie es convergente para | | Por lo tanto la serie es divergente para | | Cuando

la serie de potencias dada se convierte en (

)

La cual es convergente Cuando tenemos

Es divergente Conclusión: Página 44 de 57

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La serie de potencias dada es convergente cuando Es absolutamente convergente cuando Y es condicionalmente convergente cuando Si

la serie es divergente

4.4 Radio de convergencia. 4.5 Serie de Taylor. ( )

∑

(

)

( )

( )(

)

( )

(

)

( )(

)

Se llama serie de Taylor de f en a. Cuando a=0 se llama serie de Maclaurin. Ejemplo: Encontrar la serie de Taylor para senx en a ( ) ( ( ) ( )

(

)

)

4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor. 4.7 Cálculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor.

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FORMULARIO CÁLCULO DIFERENCIAL

1)

dc 0 dx

d 8)

 v  n

dx

dx 1 dx d du dv dw (u  v  w)    3) dx dx dx dx d  dv  4) (cv )  c  dx  dx  d  dv   du  5) (uv)  u   v  dx  dx   dx  d sec v   sec v * tgv dv dx dx d n dv (v )  nv n1 6) dx dx d csc v    csc v * ctgv dv dx dx d n ( x )  nx n 1 6a) dx dv  du  v   u d u dx  dx  7)   2 dx  v  v  du    d  u   dx  7a)   dx  c  c dois)

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dv dx

n 1 n

nv dv d 9) ln v   dx  1  dv  dx v v  dx  d ln x   1 9a) dx x d 10) log v   log e  dv  dx v  dx  d log x   log e 10a) dx x

20)

d x a  a x ln a dx

13)

18)

 

11a))

12a)

d cos v   senv dv dx dx d tgv   sec 2 v dv 16) dx dx d ctgv    csc 2 v dv 17) dx dx

19)

d v dv a  a v ln a dx dx

d senv   cos v dv dx dx

15)

 

11)

12)

14)

d versv  senv dv dx dx

 

d v dv e  ev dx dx

 

d x e  ex dx d v du dv u  vuv 1  ln u * u v dx dx dx

 

[

]

dv d arcsenv   dx 21) dx 1 v2 dv d arcversv dx  dx 2v  v 2

24)

dv d arcctgv    dx 2 dx 1 v

27)

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22)

23)

dv d arccos v    dx dx 1 v2

dv d arctgv   dx 2 dx 1 v

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25)

26)

dv d arc sec v  dx  dx v v2 1 dv d arc csc v    dx dx v v2 1

dy dy dv  * , siendo y función de v dx dx dx

dy 1  dx dx dy

Siendo y función de x

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Identidades Pitagóricas Trigonométricas

Identidades Recíprocas

Funciones trigonométricas √

√

√

Funciones trigonométricas ( ) ( ) (

)

(

)

(

)

) (

Propiedades de Logaritmos √

Grados 0º 30º 45º 60º 90º Radianes 0 0

√

√

1

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1

√

√

0

√

1

0 √

No definido

Fórmula General: √

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FORMULARIO CÁLCULO INTEGRAL ) ∫ ∫( ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1  undu  n  1 un1  C n  1 du  u  ln u  C au  a udu  ln a  C  eu du  eu  C

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 sen u du   cos u  C  cos udu  sen u  C  sec udu  tan u  C  csc u du   cot u  C  sec u tan u du  sec u  C  csc u cot u du   csc u  C  tan udu  ln sec u  C  cot u du  ln sen u  C  sec udu  ln sec u  tan u  C  csc u du  ln csc u  cot u  C du u  sen C  a 2

2

1

a u du 1 1 u  a 2  u 2  a tan a  C du 1 u  2 2  a sec1 a  C u u a du 1 ua  a 2  u2  2a ln u  a  C du 1 ua  u2  a 2  2a ln u  a  C u 2 a2 2 2 2  a  u du  2 a  u  2 ln u  a 2  u2  C 2

u

2

2

a 2  u2 du 

u 2 a2  a  2u2  a 2  u2  ln u  a 2  u2  C 8 8

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



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1 a 2  u2  a   ln C a u u a 2  u2 du

a 2  u2  C a 2u a 2  u2 du

u2

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Integración por partes

∫

∫

Integrales de la forma √

u √ √

z a

Integrales de la forma √ √

√ z a

Integrales de la forma √

a √

u

z √

Integración de Fracciones Racionales Caso I Caso II Caso III Caso IV

Los factores del denominador son de primer grado y ninguno se repite Los factores del denominador son de primer grado y algunos se repiten El denominador contiene factores de segundo grado pero ninguno se repite El denominador contiene factores de segundo grado pero ninguno se repite Cuando el exponente del denominador es mayor que el denominador se realiza la división

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Integración de diferenciales trigonométricas (casos) Caso I Identidades ∫ n y m son números enteros positivos impares Restar 1(descomponer)

Caso II ∫

Identidades ó ∫

n es um número entero positivo par o impar Restar 2 (descomponer)

*se aplica del lado derecho

Caso III ∫

Identidades ó ∫

n es um número entero positivo par Restar 2 (descomponer)

*se aplica del lado izquierdo

Caso IV

Identidades Se utilizan anteriores

ó ∫ ∫ Cuando n es un número entero positivo par, se procede como en III. Cuando m es un número entero impar, se le resta 1 a cada uno y se hace un dv. Caso V

Identidades ∫

n y m son números enteros positivos pares o uno de ellos.

(

Caso VI: ∫

)

;

(

)

( (

) )

( (

) )

( (

) )

( (

) ) Página 56 de 57

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( (

∫

( (

∫

) ) ) )

( ( ( (

) ) ) )

∫ INTEGRACION APROXIMADA Fórmula de los trapecios ( ) Fórmula de Simpson (

)

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