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• Adalberto Martinez

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SAETA

Educación humana y de calidad

SISTEMA ABIERTO DE EDUCACIÓN TECNOLÓGICA AGROPECUARIA

CÁLCULO

Zacatecas Zacatecas, Octubre de 2005

DIRECTORIO

GUÌA DIDÀCTICA CÀLCULO

SAETA

Lic. Reyes Tamez Guerra Secretario de Educación Pública Yoloxochitl Bustamante Diaz Subsecretario de Educación Media Superior Ing. Ernesto Guajardo Maldonado Director General de Educación Tecnológica Agropecuaria Prof. Saúl Arellano Valadez Director Técnico Ing. Agustín Velázquez Servín Director de Apoyo a la Operación Desconcentrada M.C. Maria Elena Hernández Mejia Coordinador Nacional del Programa Sistema Abierto de Educación Tecnológica Agropecuaria

ASIGNATURA: “ CÁLCULO ” REGISTRO No. IV SEP / SEMS / DGETA JOSE MARIA IBARRARAN No. 804 COL. SAN JOSE INSURGENTES SUR. 06720, MÉXICO, D.F. TEL. 01 5 328 10 00 y 01 5 328 10 97 ISBN

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COMITÉ EDITORIAL Prof. Saúl Arellano Valadez M.C. María Elena Hernández Mejía En el proceso de elaboración de esta antología, participaron los siguientes docentes del estado de: Nayarit, Sonora y Zacatecas: NOMBRE Francisco Romo Romero Jaime Escobedo de los Santos Omar O. Guzmán Valenzuela Rubén Henríquez María Elena Mejía Hernandez Reyna Reyes Velasco María de Jesús Onofre Torrez María Elena Pérz Ojeda Narcisa Guevara Hernandez Alfonso Almaguer Sierra Irasú Jiménez Valencia Elma Vela de la Fuente María del Consuelo Zamora Calderón Sagrario Castillo Casanova Gildadrdo Raul Figueroa León

PLANTEL CBTa No. 88 CBTa No. 195 CBTa No. 107 CBTa No. 107 E. O Durango Tlaxcala Morelos Morelos Hidalgo E O. Tams Tabasco CBTA 139 Durango San Luis Potosí Tamaulipas

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ÍNDICE UNIDAD 1: CALCULO

CONTENIDO Presentación 1. Funciones Dominio y contradominio Tabulaciones Gráficas Tipos de funciones Operaciones con funciones Funciones algebráicas Funciones trascendentes Trigonométricas Exponenciales 2. Límites Límites de funciones Límite de funciones trascendentes 3. La función derivada Interpretación geométrica de la derivada Resolución de problemas Regla de cadena Formulas de derivación Comportamiento de la función Funciones crecientes y decrecientes Máximos y mínimos relativos de una función Puntos de inflexión y sentido de concavidad de la curva La integral Definición Integración de funciones Bibliografía

PÁGINA 1 7-14

15-18 19-24

25-41 42-92

93-100 101

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SAETA INTRODUCCIÓN

El presente trabajo está dirigido a los estudiantes del SAETA que cursan el BACHILLERATO TECNOLOÓGICO bajo el Enfoque De Estrategias Educativas Centradas En El Aprendizaje, con la intención de que sirva de guía y material de trabajo mínimo para cubrir los contenidos programáticos que especifica el programa de estudios de la asignatura de Cálculo Diferencial; asignatura correspondiente al componente básico de la estructura del bachillerato tecnológico. El descubrimiento del Cálculo en un principio apoyó algunos problemas de la Física, actualmente constituye una herramienta muy útil en los diferentes campos de la ciencia, permitiendo el estudio de las razones de cambio de muchas cantidades, la estimación de la distancia y la velocidad de un cuerpo en movimiento, la predicción de resultados de las reacciones químicas, la explicación del crecimiento del número de bacterias en cultivos, la descripción del cambio de corriente eléctrica en un circuito, el estudio de las pérdidas y ganancias de una empresa o el encuentro de las rectas tangentes a las cónicas; con esto se da a entender que el uso del Cálculo tiene como límite la creatividad del ser humano para su aplicación. Con el desarrollo de los contenidos programáticos en el aula, mediante el proceso enseñanza-aprendizaje, los participantes en dicho proceso deben ir construyendo los conceptos que permitan comprender las bondades de esta herramienta, la comprensión de los conceptos analizados y una adecuada aplicación a diversos problemas de la vida cotidiana. Ello contribuirá a que todos los estudiantes puedan lograr el objetivo general del curso que es: Objetivo General: “Los estudiantes integrarán los contenidos de la matemática antecedente, para resolver problemas que los conduzcan hacia los conceptos centrales de función,

límite, derivada e integral. Que les permitan

construir una imagen de su entorno con mayor coherencia y formalidad, desarrollarse con solvencia en un entorno social, científico y tecnológico”. Este OBJETIVO habrá de lograrse con tu valiosa participación porque eres el principal actor en la realización de

las actividades para la estructuración y

reestructuración de los aprendizajes de los contenidos y procedimientos que comprende el curso y que están incluidos en este material de apoyo que tienes en tus manos y habrán de desarrollarse bajo la guía de tu asesor.

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En el siguiente esquema podrás identificar los contenidos de este curso, mismos que están divididos en cuatro grandes temas: 1. Funciones. 2. Limites 3. Función derivada 4. La integral ¡FELICIDADES, TE FALTA MENOS QUE AYER! ¿Cuál es la prisa? ¡Recuerda que lo importante es PRIMERO llegar !

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1. FUNCIONES: Concepto de constante, variable, relación y función. A

B

Observa los engranes A y B. Si A y B representan dos engranes donde el radio de A es un

tercio Del radio de B, al hacer girar el engrane A las vueltas que queramos ¿Que sucederá con el engrane B? Si A gira 6 vueltas, ¿Cuántas vueltas gira el engrane B? Si A Gira 120 vueltas ¿Cuántas vueltas gira B? ¿Qué engrane hemos estado girando? ¿De qué depende la vueltas que gira B? 8

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En este ejemplo habrás observado que el engrane A ha dado las vueltas que hemos deseado, por lo que se puede considerar como variable independiente (x), como las vueltas que da el engrane B dependen de las vueltas que gire el engrane A, entonces B representa la variable dependiente (y), entre ellos se establece una relación. Y =

x 3

¿A 18 vueltas de “A” le corresponden dos o más número diferentes de vueltas de B? o solo un número único de vueltas? Analiza la fórmula que nos da el volumen de la esfera: V =

4 3 πr 3

¿De qué depende el volumen de la esfera? ¿Qué variable se requiere hacer que cambie para que varíe el volumen de la esfera? ¿Cuál es la variable independiente en esta relación? ¿Cuál es la variable dependiente? Si r = 8 , ¿habrá dos volúmenes o más diferentes?_______o a 8 cm de radio, ¿ solo le corresponde un volumen de la esfera? _____________________ En estos dos ejemplos se observa que hay cierta relación entre variables, además esta relación es especial porque a cada valor de la variable independiente solo le corresponde un valor a la variable dependiente. Si se grafica la primera relación se tiene: Y=

x 3

y = 4(3.14)x3/3

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Con una regla traza líneas verticales que corten las gráficas: ¿Cuántos puntos de la gráfica cortan las líneas verticales?______________________________ A esta clase de relaciones se les llama funciones, de esta forma se puede concluir que

una función es una relación entre dos variables tal que no hay dos o mas parejas ordenadas que tengan igual el primer componente. Estas parejas ordenadas (x,y) los elementos que forman estas parejas integran dos conjuntos de valores que pueden tomar las variables (x) independiente, (y) dependiente. Los valores que integran el conjunto de valores que toma la variable (x) se le llama dominio de la función Al conjunto de valores que toma la variable (y) se le llama contra dominio o rango de la función En la vida diaria es de gran utilidad la idea de pareja ordenada por la relación que se establece entre los elementos; ya sean personas, objetos, números, etc. ¿Cómo se establece esta relación? Generalmente mediante una asociación de elementos de dos conjuntos, formando parejas ordenadas, estableciéndose dicha ordenación o relación mediante una regla de asignación. Ejemplo 1: si se tienen dos conjuntos integrados por: A={Zacatecas, Aguascalientes, Monterrey, Cd. Victoria} B= {Zacatecas, Aguascalientes, Nuevo León, Tamaulipas} Una regla de ordenación de estas parejas es: C= {(x,y) / x es capital de y; x pertenece a A , y pertenece a B } 10

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Escribe esta relación mediante un conjunto de parejas ordenadas. C={

}

Ejemplo 2: Si en un cine se relacionan los asientos por el número de fila y el número de asiento. La expresión: B = {(2,1), (3,2), (2,7), (5,4) } donde (2,1) indica fila 2 asiento 1 (3,2) indica: (2,7) indica: (5,4) indica: ¿Qué asientos son de la misma fila? ______________________________________________________ Ejemplo 3: En un tu grupo asisten a clases un total de ___alumnos, si estableces una relación entre edad y talla del pie. A = {(18, ) , (19, ), (19, ), (20, ) ……} Si la relación la establecemos : B = {“número de alumnos que calzan del”} Las parejas en tu grupo se integran de la siguiente forma: B = {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )……

}

Analizando los ejemplos se puede concluir que:

Una relación es un conjunto de parejas ordenadas, donde al conjunto de todos los primeros elementos de las parejas se llama dominio de la relación, al conjunto formado por todos los segundos elementos de las parejas ordenadas se le llama rango, codominio o contra dominio de la relación. También se llama relación en el producto cartesiano de 2 conjuntos A x B , al

conjunto de parejas ordenadas, formadas por elementos de A y con elementos de B, en este orden, mediante una fórmula o regla que determina su asociación; así la relación es una selección de parejas del producto cartesiano A x B. Si U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} el producto de: U x U ¿Cuántas parejas integran este producto?_____________________________________

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Completa la gráfica de este producto: 9 8 7 6 5 4 3 2 1

*

Como se observa en este producto el dominio y el rango son iguales (U)

* * * * * * * * * * 1 2 3 4 5 6 7 8 9 dominio

La siguientes relaciones son subconjuntos del producto cartesiano UxU, en ellas enumera las parejas, identifica: el dominio , el rango y elabora la gráfica o identifica las parejas en la gráfica ya elaborada. R1 = {(x,y) / x = y}= {(1,1)…………………………………………….(9,9)} R2 = {(x,y) / x < y} = { R3 = {(x,y) / x > y} = { R4 = {(x,y) / y = x + 3} = { R5 = {(x,y) / y =

x

}={

R6 = {(x,y) / y = x2} = { R7 = {(x,y) / y = x2 + 1} = { R8 = {(x,y) / x = 5} = { Como ya se ha enunciado algunas de estas relaciones cumplen ciertas condiciones; por lo que reciben el nombre de funciones, en estos ejemplos podrás identificar estas funciones si se considera que:

Una función es una relación tal que no hay dos parejas ordenadas que tengan igual el primer componente. En el conjunto de parejas ordenadas (x,y) ; x , y, reciben el nombre de variables, la primera independiente (x) y la segunda dependiente (y), a los valores que toman se le llama dominio de la variable. Al dominio de x se le llama dominio, al dominio de y se le llama rango de la relación. 12

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Actividad: De las relaciones anteriores observa el dominio y el rango de cada una de ellas y determina cuáles de ellas son funciones. R1 es ____________________________ R2 es_______________________ R3 es________________ R4 es ____________________________ R5 es _______________________ R6 es ________________ R7 es ____________________________ R8 es ________________________ La regla que nos dice como aparear los elementos de un conjunto con los de otro conjunto para determinada relación se puede establecer de diferentes formas: 1°. La asociación se establece mediante una tabla de valore 2°. Mediante una gráfica 3°. Mediante una ecuación 4°. Mediante un enunciado verbal

Conceptos relacionados con funciones, intervalos, dominio y rango de funciones.

Notación de Función: Si f es la función que tiene como variable de dominio a “x” y como variable de contradominio “y”, el símbolo f(x) se lee “f de x” , éste representa un valor particular de “y” que corresponde a un valor particular de “x” de este modo se tiene que: y = f(x)= 3x2 + 5x -2, donde x es variable independiente y “y” variable dependiente, si la regla para bobtener y es: (3x2 + 5x -2 ) si x = 2, y =____________ f(x)= 3x2 + 5x -2 = 3(2)2 +5(2) -2 = 3(4) + 10 -2 = 12 +10 – 2 = 22 - 2 = 20 f(2) = 20 entonces decimos que la función de 2 es 20. En ocasiones para distinguir una función de función suele usarse g(x) , h(x), etc. Ejem: f = {(x,y)/ y = 5 − x } por lo tanto f(x) = 5 − x f(1) = f(2) = f(-6) = f(3) = f(0) = Identifica el dominio de f D= Identifica el rango de f R= Esta relación es función?______________________Elabora su gráfica

f(5) = f(6) =

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Traza una línea vertical que corte esta gráfica ¿que observas?_________________________ Conclusión: Si una gráfica es cortada por una línea vertical en más de un punto, dicha gráfica corresponde a una relación que no es función. Al definir una función, su dominio debe de darse: a) En forma implícita b) En forma explícita Ejemplo: f(x) = 3x2 – 5x +2 x = todo número real 2 F(x) = 3x – 5x + 2 1 ≤ x ≤ 10 Aquí podrás observar que para identificar el campo de variación de una variable es necesario saberlo expresar; esta expresión la podemos realizar mediante varias formas, como se refiere a valores específicos que puede tomar una variable en determinada relación, a este conjunto de de valores que puede tomar una variable le llamaremos intervalo. “Conjunto de

valores que toma una variable dentro del dominio , comprendido entre dos de ellos llamados extremos”. Existen intervalos: a) Finitos: los que contienen a los extremos b) Infinitos: los que no contienen a un extremo o ambos. c) Cerrados: Son aquellos cuya variable puede tomar el valor de los extremos d) Abiertos: Son aquellos en que la variable no puede tomar el valor de los extremos. Existen diversas formas en que se pueden expresar estos intervalos: Forma gráfica: En la recta numérica se determinan los puntos correspondientes a los extremos del intervalo con un círculo , si es cerrado, el círculo se rellena, si es abierto se deja sin rellenar. O x 0 x a b a b 14

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Con paréntesis: [a,b] cerrado, (a, b) abierto a≤ x ≤ b

Forma constructor : a < x < b, 0 a 0

x

0 b x

=

(a , b) =

=

(a , ∞) =

a