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CALCULO DIFERENCIAL ELABORADO POR: KAREN GUADALUPE LOPEZ ALEJO

PROFESOR: JORGE CEBADA , 2015 COMPUTO 5° ‘A’ TURNO: VEPERTINO

INDICE 1… DEFINICION DE DERIVADA 2… ANTECEDENTE DE CALCULO DIFERENCIAL

3… LISTAS DE TODAS LAS FORMULAS PARA CALCULAR LA DERIVADA ALGEBAICAS Y TRASEDIENTES

DE

FUNCIONES

4… ¿QUE ES CALCULAR LA DERIVADA DE UNA FUNCION? 5… ¿QUÉ APLICACIONES TIENE EL CÁLCULO DIFERENCIAL? 6… ¿CUÁLES SON LOS ÚLTIMOS AVANCES DOCUMENTADOS QUE SE HAN REALIZADO EN EL CÁLCULO DIFERENCIAL? 7… ¿EN QUÉ OTRAS RAMAS DE LA TECNOLOGÍA Y DE LA VIDA DIARIA INTERVIENE EL CÁLCULO DIFERENCIAL?

DEFINICION

DE

DERIVADA:

En matemática, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc. Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

La derivada de una función f en un punto x se denota como f′ (x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo infinitesimal. Concretamente, el que trata de asuntos vinculados con la derivada se denomina cálculo diferencial.1

ANTECEDENTE DIFERENCIAL

DE

CALCULO

El cálculo diferencial es la rama de las matemáticas que comprende el estudio y aplicación del cálculo diferencial y del cálculo integral. El cálculo diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios sobre el movimiento, es decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vacío ya que cambia de un momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse, teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente pequeño. En 1666, el científico Ingles ISAAC NEWTON fue el primero en desarrollar métodos matemáticos para resolver problemas de esta índole. Casi al mismo tiempo el filósofo y matemático alemán GOTTFRIED LEIBNIZ realizo investigaciones similares e ideando símbolos matemáticos que se aplican hasta nuestros días. Destacan otros matemáticos por haber hecho trabajos importantes relacionados con el cálculo diferencial, sobresale entre otros, PIERRE FERMAT matemático francés, quien en su obra habla de los métodos diseñados para determinar los máximos y mínimos acercándose casi al descubrimiento del cálculo diferencial. Dicha obra influencio a LEIBNIZ en la investigación del cálculo diferencial. FERMAT dejo casi todos sus teoremas sin demostrar ya que por aquella época era común entré los matemáticos el plantearse problemas unos a otros, por lo que

frecuentemente se ocultaba el método propio de solución, con el fin de reservarse el éxito para si mismo y para su nación; ya que había una gran rivalidad entre los franceses, alemanes y los ingleses, razón por la que las demostraciones de FERMAT se hayan perdido. Los procesos generales y las reglas prácticas sencillas del cálculo diferencial se deben a NEWTON y a LEIBNIZ; sin embargo, por más de 150 años el cálculo diferencial continúo basándose en el concepto de lo infinitesimal. En el siglo XIX se han encontrado bases más firmes y lógicas al margen de lo infinitamente pequeño. Él calculo diferencial se ha ido desarrollando a través de los años, consolidándose en una herramienta técnico-científica que se utiliza en el análisis de procesos que contienen magnitudes en constante cambio, por ejemplo: la velocidad de las reacciones químicas, los cambios atmosféricos, los desarrollos sociales y económicos de las naciones, en la astronomía, la estadística, etc. A NEWTON y a LEIBNIZ se les llama fundadores del cálculo ya que fueron los primeros en estudiar el problema geométrico fundamentalmente del cálculo diferencial, que se denomina: Problemas de las tangentes en el cual hay que hallar las rectas tangentes a una curva dada.

LISTAS DE TODAS LAS FORMULAS PARA CALCULAR LA DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBAICAS Y TRASEDIENTES Sean a, b, e y k constantes (números consideremos a: u(x) y v(x) como funciones.

reales)

En adelante, escribiremos u y v con el fin de simplificar. Derivada de una constante

Derivada de x

Derivada de la función lineal

Derivada de una potencia

Derivada de una raíz cuadrada

Derivada de una raíz

Derivada de una suma

y

Derivada de una constante por una función

Derivada de un producto

Derivada de una constante partida por una función

Derivada de un cociente

Derivada de la función exponencial

Derivada de la función exponencial de base e

Derivada de un logaritmo

Como

, también se puede expresar así:

Derivada del logaritmo neperiano

Derivada del seno

Derivada del coseno

Derivada de la tangente

Derivada de la cotangente

Derivada de la secante

Derivada de la cosecante

Derivada del arcoseno

Derivada del arcocoseno

Derivada del arcotangente

Derivada del arcocotangente

Derivada del arcosecante

Derivada del arcocosecante

Derivada de la función potencial-exponencial

Regla de la cadena

Derivadas implícitas

¿QUE ES CALCULAR LA DERIVADA DE UNA FUNCION?

Considerando la función f definida en el intervalo abierto I y un punto a fijo en I, se tiene que la derivada de la función f en el punto

se define como sigue:

, si este límite existe, de lo contrario,

, la derivada, no está definida. Esta última expresión

coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática. Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un límite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite. Tales reglas son consecuencia directa de la definición de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen texto de cálculo infinitesimal. También puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier punto de su dominio de la siguiente manera:

, La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente de la tangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de

. El aspecto de

este límite está relacionado más con la velocidad instantánea del movimiento uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva. No obstante su aparente diferencia, el cálculo de la derivada por definición con cualquiera de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado.

Ejemplo Sea la función cuadrática f(x)= x2 definida para todo x perteneciente a los reales. Se trata de calcular la derivada de esta función para todo punto x ∈ R — puesto que es continua en todos los puntos de su dominio —, mediante el límite de su cociente de diferencias de Newton.

¿QUÉ APLICACIONES TIENE EL CÁLCULO DIFERENCIAL? Recta tangente a una función en un punto LA RECTA TANGENTE A UNA FUNCIÓN F(X) ES COMO SE HA VISTO EL LÍMITE DE LAS RECTAS SECANTES CUANDO UNO DE LOS PUNTOS DE CORTE DE LA SECANTE CON LA FUNCIÓN SE HACE TENDER HACIA EL OTRO PUNTO DE CORTE. TAMBIÉN PUEDE DEFINIRSE A LA RECTA TANGENTE COMO LA MEJOR APROXIMACIÓN LINEAL A LA FUNCIÓN EN SU PUNTO DE TANGENCIA, ESTO ES, LA RECTA TANGENTE ES LA FUNCIÓN POLINÓMICA DE PRIMER GRADO QUE MEJOR APROXIMA A LA FUNCIÓN LOCALMENTE EN EL PUNTO DE TANGENCIA QUE CONSIDEREMOS. SI

CONOCEMOS

FUNCIÓN F(X)

LA

EN

ECUACIÓN EL

DE

LA

RECTA

PUNTO A PODEMOS

TANGENTE TA(X)

TOMAR TA(X)

A

COMO

LA UNA

APROXIMACIÓN RAZONABLEMENTE BUENA DE F(X) EN LAS PROXIMIDADES DEL PUNTO A. ESTO QUIERE DECIR QUE SI TOMAMOS UN PUNTO A + H Y LO EVALUAMOS TANTO EN LA FUNCIÓN COMO EN LA RECTA TANGENTE, LA DIFERENCIA ABSOLUTO

SERÁ DESPRECIABLE FRENTE A H EN VALOR SI H TIENDE

A

CERO.

CUANTO

MÁS

CERCA

ESTEMOS

DEL

PUNTO A TANTO MÁS PRECISA SERÁ NUESTRA APROXIMACIÓN DE F(X). PARA UNA FUNCIÓN F(X) DERIVABLE LOCALMENTE EN EL PUNTO A, LA RECTA TANGENTE A F(X) POR EL PUNTO A ES: TA(X)= F(A) + F '(A)(X-A).

USO DE LAS DERIVADAS GRÁFICOS DE FUNCIONES LAS

DERIVADAS

SON

UNA

ÚTIL

PARA

HERRAMIENTA

REALIZAR

PARA

EXAMINAR

LAS GRÁFICAS DE FUNCIONES. EN PARTICULAR, LOS PUNTOS EN EL INTERIOR DE UN DOMINIO DE UNA FUNCIÓN DE VALORES REALES QUE LLEVAN A DICHA FUNCIÓN A UN EXTREMO LOCAL TENDRÁN UNA PRIMERA DERIVADA DE CERO. SIN EMBARGO, NO TODOS LOS PUNTOS CRÍTICOS SON EXTREMOS LOCALES. POR EJEMPLO, F(X)=X³ TIENE UN PUNTO CRÍTICO EN X=0, PERO EN ESE PUNTO NO HAY UN MÁXIMO NI UN MÍNIMO. EL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA Y EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PERMITEN DETERMINAR SI LOS PUNTOS CRÍTICOS SON MÁXIMOS, MÍNIMOS O NINGUNO. EN EL CASO DE DOMINIOS MULTIDIMENSIONALES, LA FUNCIÓN TENDRÁ UNA DERIVADA PARCIAL DE CERO CON RESPECTO A CADA DIMENSIÓN EN UN EXTREMO LOCAL. EN ESTE CASO, LA PRUEBA DE LA SEGUNDA

DERIVADA SE PUEDE SEGUIR UTILIZANDO PARA CARACTERIZAR A LOS PUNTOS

CRÍTICOS,

CONSIDERANDO

EL EIGENVALOR DE

LA MATRIZ

HESSIANA DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARCIALES DE LA FUNCIÓN EN EL PUNTO CRÍTICO. SI TODOS LOS EIGENVALORES SON POSITIVOS, ENTONCES EL PUNTO ES UN MÍNIMO LOCAL; SI TODOS SON NEGATIVOS ES UN MÁXIMO LOCAL.

SI

HAY

ALGUNOS

EIGENVALORES

POSITIVOS

Y

ALGUNOS

NEGATIVOS, ENTONCES EL PUNTO CRÍTICO ES UN PUNTO SILLA, Y SI NO SE CUMPLE NINGUNO DE ESTOS CASOS, LA PRUEBA ES NO CONCLUYENTE (E.G., LOS ENGEIVALORES SON 0 Y 3). UNA VEZ QUE SE ENCUENTRAN LOS EXTREMOS LOCALES, ES MUCHO MÁS FÁCIL HACERSE DE UNA BURDA IDEA DE LA GRÁFICA GENERAL DE LA FUNCIÓN, YA QUE (EN EL CASO DEL DOMINIO MONO DIMENSIONAL) SE INCREMENTARÁ O DECREMENTARÁ UNIFORMEMENTE EXCEPTO EN LOS PUNTOS CRÍTICOS, Y POR ELLO (SUPONIENDO SU CONTINUIDAD) TENDRÁ VALORES INTERMEDIOS ENTRE LOS VALORES EN LOS PUNTOS CRÍTICOS DE CADA LADO.

APROXIMACIÓN LOCAL DE TAYLOR ARTÍCULOS PRINCIPALES: SERIE DE TAYLOR Y TEOREMA DE TAYLOR.

HEMOS VISTO QUE PODEMOS APROXIMAR MEDIANTE SU RECTA TANGENTE A UNA FUNCIÓN DERIVABLE LOCALMENTE EN UN PUNTO. SI SE CUMPLE QUE LA FUNCIÓN ES SUFICIENTEMENTE SUAVE EN EL PUNTO O DOMINIO DE ESTUDIO (ESTO ES, LA FUNCIÓN ES DE CLASE

) SE PUEDE APROXIMAR LA

FUNCIÓN NO POR POLINOMIOS DE GRADO UNO, SINO POR POLINOMIOS DE GRADO DOS, TRES, CUATRO Y SUCESIVAMENTE. ESTA APROXIMACIÓN RECIBE EL NOMBRE DE «DESARROLLO POLINÓMICO DE TAYLOR» Y SE DEFINE DE LA SIGUIENTE MANERA:

DONDE P(X) ES EL POLINOMIO DE GRADO N QUE MEJOR APROXIMA A LA FUNCIÓN EN EL PUNTO X=A. NÓTESE QUE SI EVALUAMOS P(X) EN X=A TODOS LOS TÉRMINOS SALVO EL F(A) SE ANULAN, LUEGOP(A) = F(A). NÓTESE TAMBIÉN QUE LA ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE DEL APARTADO ANTERIOR CORRESPONDE AL CASO EN EL QUE N=1. CUANDO A=0 EL DESARROLLO SE DENOMINA DESARROLLO DE MACLAURIN. EN LA PRÁCTICA LA MAYORÍA DE LAS VECES SE EMPLEAN DESARROLLOS DE MACLAURIN. EJEMPLOS DE DESARROLLOS IMPORTANTES DE MACLAURIN SON:

NÓTESE EL SÍMBOLO

QUE DENOTA APROXIMACIÓN QUE

NO IGUALDAD. SI LA FUNCIÓN A APROXIMAR ES INFINITAMENTE DERIVABLE (

) Y AGREGAMOS INFINITOS

TÉRMINOS AL DESARROLLO ENTONCES EL EN UN

SE CONVIERTE

Y EL DESARROLLO ANTERIOR SE CONVIERTE EN

UNA SERIE DE TAYLOR. LAS FUNCIONES QUE SON IGUAL A SU SERIE DE TAYLOR SE DENOMINAN FUNCIONES ANALÍTICAS.

CÁLCULO DE PUNTOS PUNTOS SINGULARES SE DENOMINAN PUNTOS SINGULARES Ó ESTACIONARIOS A LOS VALORES DE LA VARIABLE EN LOS QUE SE ANULA LA DERIVADA F '(X) DE UNA FUNCIÓN F(X), ES DECIR, SI F ´(X)=0 EN X1, X2, X3, . . . , XN, ENTONCES X1, X2, X3, . . . , XN SON PUNTOS SINGULARES DE F(X). LOS VALORES F(X1), F(X2), F(X3), . . . , F(XN), SE LLAMAN VALORES SINGULARES. PUNTOS CRÍTICOS POR PUNTO CRÍTICO SE ENTIENDE: UN PUNTO SINGULAR, UN PUNTO DONDE NO EXISTA LA DERIVADA O UN PUNTO EXTREMO A O B DEL DOMINIO [A,B] DE DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN. SI LA SEGUNDA DERIVADA ES POSITIVA EN UN PUNTO CRÍTICO, SE DICE QUE EL PUNTO ES UN MÍNIMO LOCAL; SI ES NEGATIVA, SE DICE QUE EL PUNTO ES UN MÁXIMO LOCAL; SI VALE CERO, PUEDE SER TANTO UN MÍNIMO, COMO UN MÁXIMO O UN PUNTO DE INFLEXIÓN. DERIVAR Y RESOLVER EN LOS PUNTOS CRÍTICOS ES A MENUDO UNA FORMA SIMPLE DE ENCONTRAR MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES, QUE PUEDEN SER EMPLEADOS EN OPTIMIZACIÓN. AUNQUE NUNCA HAY QUE DESPRECIAR LOS EXTREMOS EN DICHOS PROBLEMAS

GENERALIZACIÓN DEL CÁLCULO DIFERENCIAL CUANDO UNA FUNCIÓN DEPENDE DE MÁS DE UNA VARIABLE, SE UTILIZA EL CONCEPTO DE DERIVADA PARCIAL. LAS DERIVADAS PARCIALES SE PUEDEN PENSAR INFORMALMENTE COMO TOMAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CON RESPECTO A UNA DE ELLAS, MANTENIENDO LAS DEMÁS VARIABLES CONSTANTES. LAS DERIVADAS PARCIALES SE REPRESENTAN COMO

(EN DÓNDE

; ES UNA 'D' REDONDEADA

CONOCIDA COMO 'SÍMBOLO DE LA DERIVADA PARCIAL'). EL CONCEPTO DE DERIVADA PUEDE SER EXTENDIDO DE FORMA MÁS GENERAL. EL HILO COMÚN ES QUE LA DERIVADA EN UN PUNTO SIRVE COMO UNA APROXIMACIÓN LINEAL A LA FUNCIÓN EN DICHO PUNTO. QUIZÁ LA SITUACIÓN MÁS NATURAL ES QUE LAS FUNCIONES SEAN DIFERENCIABLES EN LAS VARIEDADES. LA DERIVADA EN UN CIERTO PUNTO ENTONCES SE CONVIERTE EN UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL ENTRE LOS CORRESPONDIENTES ESPACIOS TANGENTES Y LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN SE CONVIERTE EN UN MAPEO ENTRE LOS GRUPOS TANGENTES. PARA DIFERENCIAR TODAS LAS FUNCIONES CONTINUAS Y MUCHO MÁS, SE PUEDE DEFINIR EL CONCEPTO DE DISTRIBUCIÓN. PARA LAS FUNCIONES COMPLEJAS DE UNA VARIABLE COMPLEJA, LA DIFERENCIABILIDAD ES UNA CONDICIÓN MUCHO MÁS FUERTE QUE LA SIMPLE PARTE REAL E IMAGINARIA DE LA FUNCIÓN DIFERENCIADA CON RESPECTO A LA PARTE REAL E IMAGINARIA DEL ARGUMENTO. POR EJEMPLO, LA FUNCIÓN

SATISFACE LO

SEGUNDO, PERO NO LO PRIMERO. VEA TAMBIÉN FUNCIÓN HOLOMÓRFICA.

¿Cuáles son los últimos avances documentados que se han realizado en el cálculo diferencial? Newton y Leibniz como los creadores del cálculo diferencial e integral, hecho que se manifiesta en los materiales escritos en forma de alusiones explícitas o implícitas, a través de fotografías o fichas bibliográficas. En la bibliografía actual, da la impresión, que de la nada, en un acto de creación inexplicable, obtuvieron el conocimiento tal y como lo conocemos hoy en día. No obstante, cuando ellos inventaron «el nuevo Cálculo», como se le llamó en el siglo XVII a los trabajos de Newton con sus infinitesimales y de Leibniz con su concepto de diferenciales, ya existía un amplio bagaje de conocimientos que en aquella época constituían la vanguardia del saber. Históricamente, desde los tiempos de Arquímedes, los problemas vinculados al Cálculo eran la determinación de

tangentes y la estimación de áreas, y, por otro lado, el objeto matemático que marca el nacimiento del nuevo Cálculo es el teorema fundamental del Cálculo el cual, mediante el uso de un procedimiento inverso al cálculo de tangentes de curvas, establece el algoritmo para calcular una integral definida. Las ideas precursoras de los infinitesimales y el concepto de infinito, «piedras de toque» para el nuevo Cálculo, parecen remontarse a los inicios de las matemáticas, en la sucesión ilimitada de los números naturales, en el Quinto Postulado de Euclides sobre las paralelas o en el método de exhausción1 de los griegos, sólo por señalar algunos ejemplos. Conviene señalar, por significativo, que en el lenguaje matemático de hoy las expresiones infinito o infinitésimo conservan el sentido que Aristóteles les asignó.2 Los griegos, influidos por la supremacía de la Geometría en sus matemáticas, buscaron procedimientos puramente geométricos para hallar la cuadratura de distintas superficies. Mediante la descomposición de polígonos en triángulos, los griegos cuadraban cualquier superficie poligonal. Arquímedes, fue todavía más allá, y en su libro Cuadratura de la Parábola, prueba3 que un segmento de parábola puede «agotarse» mediante una serie de triángulos. Claramente se puede ver en la figura 1, que cada una de las cuerdas que se corresponden con la hipotenusa de los triángulos tiende a «pegarse» a la curva, conforme se aumenta el número de éstos. Tómese en cuenta que se debe a Eudoxo el método de exhausción (aunque el término de exhausción se introdujo en el siglo XVII)4 y que, por ser un método indirecto de demostración, no requiere del uso del concepto del límite para hallar áreas y volúmenes. Uno de los antecedentes más próximos a la creación del nuevo Cálculo, que influyó en el pensamiento, más empírico que formal, de los matemáticos de los siglos XVI, XVII y XVIII, fue el cardenal alemán Nicolás de Cusa, autor de La Docta Ignorancia5 (año de 1440). En su obra, acepta la imposibilidad de que un polígono inscrito en un círculo, por más lados que aquél contenga, llegue a convertirse en dicho círculo, y dice que «Es evidente, pues, que nosotros no sabemos acerca de lo verdadero, sino que lo que exactamente es en cuanto tal, es algo incomprensible y que se relaciona con la verdad como necesidad absoluta, y con nuestro entendimiento como posibilidad.

¿EN QUÉ OTRAS RAMAS DE LA TECNOLOGÍA Y DE LA VIDA DIARIA INTERVIENE EL CÁLCULO DIFERENCIAL? El Cálculo Diferencial, es una parte importante del análisis matemático y dentro del mismo del cálculo infinitesimal. Consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones o en los campos objetos del análisis. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Considero que es muy importante la enseñanza del cálculo diferencial dentro de la escuela como una materia de tronco común porque a pesar de que estará presente en el examen de admisión de las universidades, es algo de lo que no te puedes deslindar porque, la mayoría de las acciones y problemas comunes dentro de una sociedad están relacionadas con el cálculo diferencial. Es por eso que la considero como una materia de vital importancia para el desarrollo intelectual de todo ser humano.

REFERENCIAS O ENLACES https://inglilianaalanis.wordpress.com/2011/09/16/calculo-diferencial/

https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada http://calculodiferencialmarcelinodelangel.blogspot.mx/2013/01/antecedenteshistoricos-del-calculo.html http://www.monografias.com/trabajos91/matematicas-travestiempos/matematicas-traves-tiempos.shtml