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CALCULO INTEGRAL EL CONCEPTO DE INTEGRAL TRABAJO COLABORATIVO 1

Estudiantes:

Presentado a SONIA SORAYDA PINILLA SIMIJACA

Grupo:102 201424_614

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA OCTUBRE DE 2019 BOGOTÁ

INTRODUCCION Las derivadas y las integrales tienen diferentes campos de aplicación, pero en este caso en particular, nos referiremos a los beneficios que se obtienen mediante el uso de las integrales, lo cual fue expuesto en el módulo, identificando las diferentes unidades y su contenido Para llevar a cabo estas aplicaciones, nos valimos del uso de dos herramientas elementales como: Videos educativos suministrados por el tutor, Los simuladores los cuales nos sirvieron de mucha ayuda, Las integrales definidas y el Teorema Fundamental del Cálculo Integral. Al tener el conocimiento necesario sobre estos dos puntos se podrá llevar a cabo cualquiera de las aplicaciones aquí mencionadas, sumado claro, con las reglas individuales de cada caso en mención. La realización de este trabajo nos permite reforzar los conocimientos adquiridos en la unidad uno del módulo, los cuales son básicos para continuar con el buen entendimiento de los temas venideros del curso Cálculo Integral. El Cálculo Integral, está ubicado dentro de los cursos básicos del área disciplinar, debido a la gran trascendencia que tiene como herramienta matemática en la formación del futuro profesional, ya que es necesario para poder abordar cursos de mayor complejidad y como herramienta para resolver problemas innumerables en diferentes campos del saber. El Cálculo Integral es la rama de las Matemáticas muy utilizadas en Ciencias, Tecnología, Ingeniería e Investigación, que requiere un trabajo sistemático y planificado, para poder cumplir el propósito fundamental que es saber integrar, técnica que permite solucionar problemas de estos campos, la integración es necesaria para otros escenarios como las Ecuaciones Diferenciales, los Métodos Numéricos, la geometría diferencial, la Probabilidad, la Estadística Avanzada y otras áreas del conocimiento

OBJETIVO GENERAL Desarrollo de los ejercicios utilizando conceptos aprendidos en cursos pasados y haciendo uso de las nuevas tecnologías al igual que la graficación.

OBEJTIVO ESPECÍFICO 

Desarrollo de ejercicios aplicando conceptos ya aprendidos con anterioridad



Hacer uso de herramientas informáticas como GeoGebra y editor de ecuaciones de Word



Grabación de video explicando la solución de uno de los ejercicios

ACTIVIDAD 1 Tipo de ejercicios 1 - Integrales inmediatas. EJERCICIO A.

x 4−1 dx a. ∫ 3 3 x −3 x En primer lugar simplificamos la expresión para poder acceder a una integración mas sencilla, para esto usamos los casos de factorización tales como factor común y diferencia de cuadrados: ( x 2 +1)(x2 −1) ∫ 3 x ( x 2−1) dx Por lo tanto la integral queda reescrita de la siguiente manera: 2

dx ∫ x3+1 x Ahora separamos las dos en dos integrales por ley de la suma: x2 ∫ 3 x dx +∫ 31x dx Simplificamos: x

1

∫ 3 dx +∫ 3 x dx Finalmente procedemos a aplicar las reglas de integración de potencias a cada una de las partes y le sumamos la constante de integración C: x2 1 | | + ln x +C 6 3 Y así damos por terminado el primer punto con la solución a la integral propuesta.

EJERCICIOS C

x 3+ 5 x−4 ∫ x 2 dx Separando las integrales x3 ∫ x 2 dx +∫ 5xx2 dx−∫ x42 dx Reduciendo términos

∫ xdx +5 ∫ x−1 dx−4 ∫ x−2 dx x2 4 +5 ln |x|+ +C 2 x EJERCICIO E

3

2 − 5 dx √x √x

(

∫

5

)

2

3

2

∫ 5 2 dx−∫ 5 x dx √ √x 1

3∫

x 3∫ x −2

2 5

−2 5

+1

dx −2∫

1 x

dx −2∫ x −1

1 5

dx

−1 5

+1

dx

( )( )

x5 x5 3 −2 +C −2 −1 +1 +1 5 5

3

3 5

4 5

()()

x x −2 +C 3 4 5 5 3 5

4

5 5 x − x 5 +C 2 RTA=5

(

5

√ x 3−

√5 x 4 2

)

+C

Tipo de ejercicios 2 – Sumas de Riemann

EJERCICIO A.

i. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función f ( x )=2 x−6 en el intervalo [3, 7], en donde use una partición de n=5. Siga los siguientes pasos: - Graficar la función f ( x ) en Geogebra. - Tome un pantallazo de la gráfica. - Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los seis (5) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva f ( x ). Lo anteriormente referido se encuentra en el siguiente pantallazo:

ii. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función f ( x )=2 x−6 en el intervalo [3, 7], en donde use una partición de n=12 Siga los siguientes pasos: - Graficar la función f ( x ) en Geogebra. - Tome un pantallazo de la gráfica. - Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los doce (12) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva f ( x ). Lo anteriormente referido se encuentra en el siguiente pantallazo:

iii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n= 5 y n=12. Claramente y según las integrales resultantes hechas en Geogebra se puede ver que tanto las aproximaciones hechas con las sumas de Riemann como la integral definida propuesta nos arrojan el mismo resultado que al final viene a ser el área bajo la curva de la función f ( x )=2 x−6 en el intervalo propuesto desde 3 hasta 7.

EJERCICIOS C i. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función f (x)=4 x 3 +1 en el intervalo [0, 3], en donde use una partición de n=6. Siga los siguientes pasos: - Graficar la función (𝑥) en Geogebra. - Tome un pantallazo de la gráfica. - Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los seis (6) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva (𝑥). ii. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función f (x)=4 x 3 +1 en el intervalo [0, 3], en donde use una partición de n=12 Siga los siguientes pasos: - Graficar la función (𝑥) en Geogebra. - Tome un pantallazo de la gráfica. - Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los doce (12) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva (𝑥). Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n= 6 y n=12. Desarrollo Por el método de sumatoria directa N=6

f ( x )=4 x 3 +1 , [ 0,3 ] ∆ x=

b−a 3−0 1 = = n 6 2

n

n

[(

lim ∑ f ( a+ k ∆ x ) ∆ x=lim ∑ f n→ 6 k=1 n

n →5 k=1

n→ 6 k=1

n

n

lim ∑

n→ 6 k=1

1 3 1 k +1 8 2

[ ( ) ]( )

lim ∑ 4 n→ 6 k=1

1 3 1 k +1 2 2

[ ( ) ]( )

lim ∑ 4

[ (

1 3 1 k + 4 2

]

2 2 1 n ( n+1 ) 1 lim + n 4 2 x →6 4

[

)

2 2 1 6 ( 6+1 ) 1 + ( 6) 4 4 2

( (

)

1 36 ( 49 ) +3 4 4

)

1764 +3 16 453 =113,25 4 N=12

]

1 k −0 2

)]( 12 )

f ( x )=4 x 3 +1 , [ 0,3 ] ∆ x=

b−a 3−0 1 = = n 12 4 n

lim

n

n →12 k=1 n

lim

∑

n →12 k=1

n

lim

∑ n →12 k=1

n

lim

∑ n →12 k=1

lim

x→ 12

[(

∑ f ( a+k ∆ x ) ∆ x=lim ∑ f n →5 k=1

1 3 1 4 k +1 4 4

[ ( ) ]( ) ( 641 k )+1]( 14 )

[

4

[

1 3 1 k + 64 4

3

]

2 2 1 n ( n+1 ) 1 + n 64 4 4

[ (

)

2 2 1 12 ( 12+1 ) 1 + ( 12 ) 64 4 4

( (

)

1 144 ( 169 ) +3 64 4 24336 +3 256

)

]

1 k −0 4

)]( 14 )

1569 =98,0625 16 Por la definición de sumatoria R p =∑ f ( x i ) ∆ x i 3−0 3 1 = = =0,5 6 6 2 Se hallan los valores de x i

∆ x=

x 1=a , entonces x 1=0 x 2=a+1 ∆ x , entonces x2 =0+1 ( 0,5 )=0,5 x 3=2 ( 0,5 )=1 x 4 =3 ( 0,5 )=1,5 x 5=4 ( 0,5 )=2 x 6=5 ( 0,5 ) =2,5 R p =( f ( 0 ) + f ( 0,5 ) +f ( 1 ) + f ( 1,5 )+ f ( 2 )+ f ( 2.5 ) )∗∆ x R p =( 1+1.5+ 5+14.5+33+63.5 )∗( 0,5 ) R p =( 118,5 )∗0,5 R p =59,25

ii. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función f (x)=4 x 3 +1 en el intervalo [0, 3], en donde use una partición de n=12 R p =∑ f ( x i ) ∆ x i 3−0 3 1 = = =0,25 12 12 4 Se hallan los valores de x i

∆ x=

x 1=a , entonces x 1=0 x 2=a+1 ∆ x , entonces x2 =0+1 ( 0,25 )=0,25 x 3=2 ( 0,25 )=0,5 x 4 =3 ( 0,25 )=0,75 x 5=4 ( 0,25 )=1 x 6=5 ( 0,25 ) =1,25 x 7=6 ( 0,25 )=1,5 x 8=7 ( 0,25 ) =1,75 x 9=8 ( 0,25 )=2 x 10=9 ( 0,25 )=2,25 x 11=10 ( 0,25 )=2,5 x 12=11 ( 0,25 )=2,75 R p =( f ( 0 ) + f ( 0,25 ) +f ( 0,5 ) + f ( 0,75 ) +f ( 1 ) + f ( 1.25 ) + f ( 1,5 )+ f ( 1.75 ) + f ( 2 ) + f ( 2,25 )+ f ( 2,5 ) + f (2,75) )∗∆ x R p =( 1+1,0625+ 1.5+ 2,6875+5+8,8125+14.5+22,4375+33+ 46,5625+63.5+84,1875 )∗( 0,25 ) R p =( 284,25 )∗0,25 R p =71,0625

Desarrollo de la integral f ( x )=4 x 3 +1 3

A=∫ ( 4 x 3 +1 ) dx 0

A=x 4 + x 3=3 4 +3=81+ 3=84 0

[

A medida que se van ampliando los rectángulos debajo de la curva, el valor se acerca al valor de la integral. Al utilizar el método de sumatorias directa y la sumatoria hallando término por término se observa que en la primera se halla la suma por encima de la curva y con la segunda por debajo de la curva. EJERCICIO E Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – Grupo Editorial Patria. (pp. 2 – 13).

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando las Sumas de Riemann Ejercicio e.

i.

Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función f ( x )=cos ( x ) +1 En el intervalo [-2,2], en donde use una partición de n=6. Siga los siguientes pasos: - Graficar la función f ( x ) en Geogebra. - Tome un pantallazo de la gráfica. - Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los seis (6) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva f ( x ).

Fig.1 Área bajo la curva de la función f ( x )=cos ( x ) +1, con límites de [-2,2], para N=6.

ii. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función f ( x )=cos ( x ) +1 en el intervalo [-2,2], en donde use una partición de n=12 Siga los siguientes pasos: - Graficar la función f ( x ) en Geogebra. - Tome un pantallazo de la gráfica. - Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los doce (12) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva f ( x ).

Fig.2 Área bajo la curva de la función f ( x )=cos ( x ) +1, con límites de [-2,2], para N=12. iii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n= 6 y n=12.

Fig.3 Área bajo la curva de la función f ( x )=cos ( x ) +1, con límites de [-2,2].

Conclusiones Se evidencia que utilizando una serie de particiones “N” mayores la tendencia a disminuir el error del área bajo la curva es mayor, como se da a conocer en la fig.1 N=6, con a=4.81, fig.2 N=12, con a=5.33, con respecto al área real de la fig.3, con a=5.81.

EJERCICIO A.

Tipo de ejercicios 3 – Teorema de integración.

sen x

dt 1+ √ 1−t cos ⁡x

F ( x )= ∫

Teniendo en cuenta que la derivada de una integral se puede expresar o determinar con la siguiente expresión: x

d ∫ f ( t ) dt=f ( x ) dx a

Podemos llevar a cabo la derivada propuesta reemplazando cada una de las funciones por ty multiplicándolas por su respectiva derivada para después sumar las fracciones resultantes y tendríamos una solución: sen x

dt cos ⁡x 1+ √ 1−t

F ( x )= ∫ F ´ ( x )=¿

( sen ( x ) ) ´ 1+ √1−sen (x)

−

( cos ( x ) ) ´ 1+ √1−cos( x )

F ´ ( x )=¿ cos

(x ¿) −sen ( x) − ¿ 1+ √ 1−sen(x) 1+ √ 1−cos ( x)

F ´ ( x )=¿ cos

(x ¿) sen( x) + ¿ 1+ √ 1−sen(x) 1+ √1−cos(x )

F ´ ( x )=¿ cos

( x ¿) ( 1+ √ 1−cos ( x ) ) + sen ( x ) ( 1+ √ 1−sen ( x ) ) (1+ √ 1−sen( x ))(1+ √ 1−cos(x ))

¿

Y así tenemos resuelta la derivada de la integral propuesta:

EJERCICIOS C x

2

F ( x )=∫ t (3+t) dt x 2

d F ( x )= dx '

[

x

2

∫ t (3+t) dt x 2

]

' x x F ( x )=x 2 ( 3+ x 2 ) ( x 2 ) − 3+ 2 2

x 2

'

( )( ) 3 x 1 f ( x )=(3 x + x )(2 x)−( x + ) ( ) 2 4 2 '

'

2

2

3 x2 ' 2 3 f ( x )=6 x + 2 x − x− 4 8 f ' ( x )=2 x3 +

47 2 3 x− x 8 4

Integral definida. π

∫ −π

π +1 dx 2

[ ( ) ] cos x +

π

π

−π

−π

∫ ( cos x cos π2 −sin x sin π2 ) dx+∫ dx π

cos

π

π

π π ( cos x ) dx−sin ∫ sin x dx+ ∫ dx ∫ 2 −π 2 −π −π π

π

π

0∗∫ ( cos x ) dx−1∗∫ sin x dx+ ∫ dx −π

−π

0+ cos x π + x π −π −π

[

[

−π

cos π −cos (−π ) +π −(−π ) π

∫ −π

π +1 dx=2 π 2

[ ( ) ] cos x +

El área bajo la curva es de 2 π

EJERCICIO E

Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando F ' ( x ) de las siguientes funciones

Ejercicio e.

2 √x

F ( x )= ∫ (2+t)dt √x

Siguiendo que: d dx

u ( x)

[∫ ]

f (t ) dt =f

v ( x)

( u )∗du ( v )∗dv −f dx dx

Entonces: 2∗1 F ´ ( x )=( 2+2 √ x )∗ ∗x 2

(

−1 2

1 −( 2+ √ x )∗ x 2

)

−1 2

−1 2

( )

−1 2

( )

( )−( 2+ √ x )∗ x2

F ´ ( x )=( 2+2 √ x )∗ x F ´ ( x )=

2+ √ x 2+ √ x − 2√ x √x

F ´ ( x )=

2 √x 2 x + − −√ √ x √ x 2√ x 2 √ x

F ´ ( x )=

2 1 1 +1− − √x √x 2 RTA = F ´ ( x )=

1 1 + √x 2

Tipo de ejercicios 4 – Integral definida. EJERCICIO A.

Calcular la siguiente integral definida:

2

3

−27 dx ∫ xx−3 −4

Primero reescribiremos la integral factorizando el numerador de la misma: 2

(x −3)( x2 +3 x +9) dx ∫ ( x−3) −4 Ahora simplificamos numerad or con denominador:

2

∫ ( x 2+ 3 x +9) dx −4

Ya con la expresión simplificada procedo a determinar la integral como si fuera integral indefinida: 2

∫ x dx=

x3 +C 3

∫ 3 x dx= 32x

2

+C

∫ 9 dx=9 x+ C Por lo que la integral completa 3

∫ ( x 2 +3 x+ 9 ) dx= x3 + 32x

2

+ 9 x+C

Ahora utilizando el segundo teorema fundamental del cálculo procedemos a calcular la integral definida propuesta al principio cuyos límites van desde -4 hasta 2

(

2 (−4)3 3(−4)2 23 3( 2) + + 9(−4) − + + 9(2) 3 2 3 2

)(

−64 3(16) 8 12 + −36 − + +18 3 2 3 2

( )( ) −64 48 8 12 ¿( + −36 )−( + +18 ) 3 2 3 2 −64 48 8 12 ¿( + −36 )−( + +18 ) 3 2 3 2 ¿

)

¿

80 −180 −( )= =−60 ( −100 ) 3 3 3

Por lo tanto 2

3

−27 dx=60 ∫ xx−3 −4

Esto claramente representa el área bajo la curva de f ( x )=

x 3−27 en el intervalo del eje x (-4,2). x −3

Por lo cual gráficamente esta área se representaría de la siguiente manera:

EJERCICIO C

π

∫ −π

[

( π2 )+1] dx ¿ ¿

cos x +

Podemos resolver la integral como

π 0

π +1 dx 2

[ ( ) ]

2∗∫ cos x+

Si convertimos el termino

( π2 )=sen ( π2 −x − π2 )=sen (−x )=−sen ( x )

cos x+

Reescribiendo la integral original

π

2∗∫ [− sen ( x ) +1 ] dx 0

Resolviendo por linealidad

[

π

π

2∗ ∫ −sen ( x ) dx +∫ 1 dx

π

∫ −π

[

π

0

0

π

]

]

π π π cos x + +1 dx=2∗ ∫ −sen ( x ) dx+∫ 1 dx =2∗ cos ( x )|0 + x|0 =2∗( 0−(−π ) ) =6.28319 2 0 0

[ ( ) ]

[

]

EJERCICIO E

Calcular la siguiente integral definida,

π

∫ 0

(

cosc (x) dx 1+ co t 2 (x )

)

Según la siguiente identidad trigonométrica: csc 2 ( x )=1+cot 2 ( x ) Se tiene que: π

csc x dx ∫ csc 2 (x) 0

π

∫ csc1 x dx 0

Conociendo que csc ¿

1 , se reemplaza: sin x π

∫ 0

π

1 dx=∫ sin x dx 1 0 sin x π

=[ −cos x ] 0 =[ −cos π ] −[ −cos o ] =[ −(−1) ] − [−(1) ] = 1+1 RTA = 2

Siga los siguientes pasos: - Graficar la función que acaba de integrar en Geogebra. - Tome un pantallazo de la gráfica. - Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, coloree la región de la cual acaba de hallar el área con la integral definida.

Fig.4 Grafica en Geogebra de la integra definida con límites de [ 0−π ].

CONCLUSIONES

El presente trabajo nos brindó la oportunidad de adquirir conocimiento sobre el desarrollo de cuatro tipos de ejercicios los cuales le brindan el conocimiento al estudiante, conocimiento que se espera que un profesional sepa aplicarle a su carrera desarrollando diferentes actividades en pro de la actividad que deba realizar Grabar el video le permite al estudiante adquirir confianza ante un público lo cual es de gran importancia en la vida de un profesional Las temáticas abordadas en la presente actividad permitieron al estudiante investigar en las unidades del entorno de conocimiento sobre los ejercicios a desarrollar dándole al estudiante la oportunidad de utilizar en el desarrollo de su conocimiento herramientas digitales como GeoGebra, el

editor de ecuaciones de Word y screencast con el cual se logra grabar un video herramientas útiles en la vida académica de una persona

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Casteblanco, C. (2018). La Integración. [Video]. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/20497