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Universidad Nacional Abierta y a Distancia Vicerrectoría Académica y de Investigación Calculo integral Tarea 3 – Aplicaciones de las Integrales.

Presentado por Ruben Aragón Díaz

Código 16493290

Grupo 100411_244

Tutor Rafael Gaitán

cead Cali-UNAD

Actividades a desarrollar A continuación, se definen los 4 Tipos de ejercicios a desarrollar según las temáticas de la unidad. Tipo de ejercicios 1 – Análisis de gráficas. Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Mesa, F. (2012). Cálculo integral en una variable. Ecoe Ediciones. (pp. 109– 114). Desarrollar el ejercicio seleccionado: Ejercicio a. Encontrar el área de la región comprendida entre las curvas 𝑦 = 𝑥 2 + 3𝑥 − 6 y 𝑦 = 𝑥 − 3. Grafique en Geogebra las funciones, tome un pantallazo y usando Paint señale con colores las regiones integradas. Ejercicio b. Encontrar el área de la región comprendida entre las curvas 𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥 y 𝑦 = −𝑥 + 4. Grafique en Geogebra las funciones, tome un pantallazo y usando Paint señale con colores las regiones integradas. Ejercicio c. Encontrar el valor medio de la función y= √𝑥 en el intervalo [1,3]. Grafique en Geogebra la función, tome un pantallazo y usando Paint señale el valor medio de la función en el intervalo dado. Ejercicio d.

Hallar la longitud de la curva de la y= 𝑥 2/3 entre el punto (0,0) y el punto (8,4). Grafique en Geogebra la función, tome un pantallazo y usando Paint señale con colores la sección de la gráfica a la cual se le ha hallado la longitud. Ejercicio e. Encontrar el centroide de la región limitada por la curva 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 3 y 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 1. Grafique en Geogebra las funciones, tome un pantallazo y usando Paint señale el centroide de la región del ejercicio.

Primero determinamos el área de la región encerrada entre las dos curvas 2

2

𝐴 = ∫ −𝑥 2 + 3 − 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 𝑑𝑥 = ∫ −2𝑥 2 + 2𝑥 + 4 𝑑𝑥 −1

−1 2

2

2𝑥 3 𝐴 = ∫ −2𝑥 + 2𝑥 + 4 𝑑𝑥 = [− + 𝑥 2 + 4𝑥] = 9 3 −1 −1 2

2

∫−1 𝑥(−𝑥 2 + 3 − 𝑥 2 + 2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 𝑥̅ = 𝐴 2 2 𝑥 4 2𝑥 3 9 2 2 2 ∫ 𝑥(−𝑥 + 3 − 𝑥 + 2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = [− + + 2𝑥 ] = 2 3 2 −1 −1

𝑥̅ =

4.5 = 0.5 9

1 2 ∫−1((−𝑥 2 + 3)2 − (𝑥 2 − 2𝑥 − 1)2 ) 𝑑𝑥 2 𝑦̅ = 𝐴 1 2 4 ∫−1(𝑥 − 6𝑥 2 + 9 − 𝑥 4 + 4𝑥 3 − 2𝑥 2 − 4𝑥 − 1) 𝑑𝑥 2 𝑦̅ = 𝐴 2 1 2 1 8 3 9 2 3 4 2 ∫ (−8𝑥 + 4𝑥 − 4𝑥 + 8) 𝑑𝑥 = [− 𝑥 + 𝑥 − 2𝑥 + 8] = 2 −1 2 3 2 −1

𝑦̅ =

4.5 = 0.5 9 1 1

Luego en centro de área esta en el punto 𝐶 = (2 , 2)

Tipo de ejercicios 2 – Solidos de revolución. Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Guerrero, G. (2015). Cálculo Integral. Grupo Editorial Patria. (pp. 241 – 255). Desarrollar el ejercicio seleccionado: Ejercicio a. Hallar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x la región acotada por la curva 𝑦 = 4 − 𝑥 2 y las rectas y=2 y y=4 Representar el sólido de revolución en Geogebra y anexar un pantallazo. Ejercicio b. Hallar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje y la región acotada por la curva 𝑦 = √𝑥 2 − 16 y las rectas y=2 y y=4 Representar el sólido de revolución en Geogebra y anexar un pantallazo. Ejercicio c. Hallar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje y la región acotada por las curvas 𝑦 = 3𝑥, y, 𝑦 = 4𝑥 2 . Representar en Geogebra la región a rotar y anexar un pantallazo. Ejercicio d. Hallar el volumen del solido generado al rotar alrededor del eje x la región acotada por las gráficas 𝑦 = 𝑥 2 y 𝑦 = √8𝑥. Representar en Geogebra las regiones a rotar y anexar un pantallazo.

Ejercicio e. Una varilla de 15 cm de longitud tiene una densidad lineal medida en g/cm, dada por

𝑝(𝑥 ) = √𝑥

0 < 𝑥≤15. Hallar su centro de masa (Ce).

Solución: 1 15 𝐶𝑚 = ∫ 𝑟𝑑𝑚 𝑀 0 Determinamos la masa de la varilla 15

15

𝑀 = ∫ 𝜌𝑑𝑥 = ∫ √𝑥 𝑑𝑥 0

𝑀=

0

2 3 15 [𝑥 2 ] = 38.73 𝑔 3 0

El diferencial de masa una varilla, consideramos que solo tiene dimensión lineal, por tanto: 𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑥 Luego, 15

15

15

3

∫ 𝑥𝜌𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 √𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 0 15

0 3

∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 = 0

0

2 5 15 [𝑥 2 ] = 348.57 𝑔 ∗ 𝑐𝑚 5 0

Luego se define el centro de masa como: 1 15 𝐶𝑚 = ∫ 𝑟𝑑𝑚 𝑀 0

𝐶𝑚 =

1 ∗ 348.57 𝑔 ∗ 𝑐𝑚 ≅ 9 𝑐𝑚 38.73 𝑔

Tipo de ejercicios 3 – Aplicaciones de las integrales en la Ciencia. Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Alvarado, M. (2017) Cálculo integral en competencias. Grupo Editorial Patria. (pp. 193 - 209). Desarrollar el ejercicio seleccionado usando el concepto de integral. Ejercicio a. La ley de Hooke dice: La fuerza necesaria para estirar un resorte helicoidal es directamente proporcional al alargamiento. Sí se requiere una fuerza de 29 N para detener un resorte que está estirado desde su longitud natural de 10 cm a una longitud de 15 cm. i. ii.

¿Cuánto trabajo se hace al estirar el resorte de 15 a 17 cm? ¿Cuánto trabajo se hace al estirar el resorte de 16 a 20 cm?

Ejercicio b. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad inicial de 22 𝑚/𝑠 , considere como aceleración de la gravedad 9,8 𝑚/𝑠 2 . i. Cuál es la ecuación de la velocidad v(t) en un instante de tiempo t. ii. Cuál es la ecuación del movimiento. iii. Cuánto tiempo tarda la piedra en llegar al suelo. Ejercicio c. La ley de Hooke dice: La fuerza necesaria para estirar un resorte helicoidal es directamente proporcional al alargamiento. Un resorte tiene una longitud natural de 0,5 metros y una fuerza de 42 N lo estira a 0.7 metros.

i. ii.

Hallar el trabajo realizado al estirar el resorte de su longitud natural a 0,6 metros. Hallar el trabajo realizado al estirar el resorte de a 0,6 a 0,8 metros.

Ejercicio e. El calor específico es la cantidad de calor que se necesita para elevar un grado la temperatura de una unidad de masa de una sustancia, se denota por las letras Ce según la siguiente expresión: 𝑪𝒆 =

𝑸 𝒎𝒅𝑻

Donde, Q= Calor transferido desde o hacia el cuerpo. (Si Q es positivo, la pieza ha ganado energía en forma de calor; si Q es negativo, la pieza ha perdido o cedido energía como calor) m=masa del cuerpo 𝑑𝑇= Variación de la temperatura Una pieza de plomo de 20 kg que se encuentra a 373°Kelvin, se deja enfriar en una habitación hasta 298°Kelvin. a. Calcular el calor intercambiado por la pieza si el calor específico

es de 130Julios/Kg. Kelvin

b. Si el calor intercambiado por la pieza de plomo es de 150000

Joule Determine la temperatura inicial si al final la pieza resultó en 260°Kelvin

Solución: 𝑪𝒆 =

𝑸 → 𝒅𝒒 = 𝑪𝒆 ∗ 𝒎 ∗ 𝒅𝑻 𝒎𝒅𝑻

Luego, 𝑇2

∫ 𝑑𝑞 = ∫ 𝑪𝒆 ∗ 𝒎 ∗ 𝒅𝑻 𝑇1

𝑸 = 𝑪𝒆 ∗ 𝒎 ∗ (𝑻𝟐 − 𝑻𝟏) 𝑸 = 130

Jouls ∗ 𝟐𝟎 𝑲𝒈 ∗ (𝟐𝟗𝟖 − 𝟑𝟕𝟑)𝑲 = −𝟏𝟗𝟓𝟎𝟎𝟎 𝒋𝒐𝒖𝒍𝒔 Kg

Si el calor intercambiado por la pieza de plomo es de 150000 Joule Determine la temperatura inicial si al final la pieza resultó en 260°Kelvin 𝑸 𝑪𝒆 ∗ 𝒎 Asumiendo que la transferencia de calor es desde la barra de plomo hacia el exterior entonces el calor tiene signo negativo. 𝑸 = 𝑪𝒆 ∗ 𝒎 ∗ (𝑻𝟐 − 𝑻𝟏) → 𝑻𝟏 = 𝑻𝟐 −

𝑻𝟏 = 𝟐𝟔𝟎 𝑲 −

−𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑱 = 𝟑𝟏𝟕. 𝟔𝟗 𝑲 Jouls 130 Kg ∗ 𝟐𝟎 𝑲𝒈

Tipo de ejercicios 4 – Aplicaciones de las integrales en general. Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Segura, V. A. (2014). Matemáticas aplicadas a las ciencias económicoadministrativas: simplicidad matemática. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 170 – 200). Alvarado, M. (2017) Cálculo integral en competencias. Grupo Editorial Patria. (pp. 193 - 209). Desarrollar el ejercicio seleccionado: Ejercicio a. Un condensador eléctrico es un dispositivo, que tiene la propiedad de almacenar y entregar energía eléctrica; la siguiente expresión relaciona la corriente y el voltaje presentes en los condensadores:

𝐼(𝑡) = 𝐶 ∗

𝑑∗𝑉(𝑡) 𝑑𝑡

, donde C es la capacitancia del dispositivo que se

expresa en Faradios [F]. i. Determinar el voltaje de alimentación de un condensador que tiene una capacitancia de C=0,02 [F], sabiendo que la corriente que circula es: 𝐼(𝑡) = 𝑆𝑒𝑛(𝑡) + 𝑡 [Amper] ii. Determinar el valor de la potencia instantánea en el condensador, para un valor de t=0,1 [s] sabiendo que 𝑃(𝑡) = 𝐼(𝑡) ∗ 𝑉(𝑡) Ejercicio b. Se recibe un cargamento de 22.000 kg de arroz que se consumirán en un período de 6 meses a razón de 3.000 kg por mes. Si el costo de almacenamiento mensual por cada kilogramo es $500, i. ¿cuánto se debe pagar en costos de almacenamiento en los próximos 6 meses? ii. Considere C (t) como el costo total de almacenamiento durante t meses, además se sabe que en el momento en que llega el cargamento (cuando t = 0), no hay costos de almacenamiento; es decir, C (0) = 0.

Ejercicio c. Dentro de los tipos de software existentes están los compiladores. Los cuales dentro de su función principal es convertir las líneas de código de un lenguaje de programación de alto nivel a uno de más bajo nivel. Un software compilador X realiza dicha función a una velocidad dada por la expresión 𝑣(𝑡) = ln(𝑥 2 + 1), donde 𝑣(𝑡) es la velocidad de conversión en líneas por segundo y t es el tiempo. i.

Calcule la ecuación general que describa las líneas transformadas por el compilador X, en cualquier intervalo de tiempo.

ii.

Calcule la cantidad de líneas transformadas por el compilador X, entre 5 y 7 segundos.

Ejercicio e. Una compañía de ingeniería de sistemas decide crear un aplicativo Mesa de Ayuda, para la gestión automatizada de incidentes, argumentando que una de las acciones más importante en un sistema de gestión de servicios es la gestión de incidentes y problemas relacionados con los elementos de la infraestructura tecnológica, con el fin de realizar un seguimiento, análisis y registro de solución del caso y cierre de la situación. El aplicativo es implementado en la empresa W, en donde el comportamiento de incidente reportados en Mesa de Ayuda es aproximada por la función 𝑓(𝑡) = 𝑥𝑙𝑛(𝑥 + 1) + 1en donde t son días desde la implementación de la aplicación. i. Hallar la ecuación general que describe el número de reportes en los primeros 10 días de funcionamiento de la aplicación de Mesa de Ayuda. Integramos par el intervalo [0,10] 10

𝐹(𝑡) = ∫ 𝑡𝑙𝑛(𝑡 + 1) + 1 𝑑𝑡 0

∫ 𝑡𝑙𝑛(𝑡 + 1) 𝑑𝑡

𝑢 = 𝑡 + 1 → 𝑑𝑢 = 𝑑 ∫(𝑢 − 1)𝑙𝑛𝑢 𝑑𝑢

𝑢 = 𝐿𝑛𝑢 → 𝑑𝑢 =

𝑑𝑢 𝑢

𝑢2 𝑑𝑣 = (𝑢 − 1) → 𝑣 = −𝑢 2 𝑢2 𝑢 ∫(𝑢 − 1)𝑙𝑛𝑢 𝑑𝑢 = [ − 𝑢] 𝐿𝑛𝑢 − ∫ − 1𝑑𝑢 2 2 ∫(𝑢 − 1)𝑙𝑛𝑢 𝑑𝑢 = [

𝑢2 𝑢2 − 𝑢] 𝐿𝑛𝑢 − + 𝑢 2 4

Luego, ∫ 𝑡𝑙𝑛(𝑡 + 1) + 1𝑑𝑡 =[

( 𝑡 + 1) 2

− (𝑡 + 1)] 𝐿𝑛(𝑡 + 1) −

2

∫ 𝑡𝑙𝑛(𝑡 + 1) + 1𝑑𝑡 = [

( 𝑡 + 1) 2

4

( 𝑡 + 1) 2 𝑡2 − 1 ( ) ] 𝐿𝑛 𝑡 + 1 − + 2𝑡 + 1 2 4

10

𝐹(𝑡) = ∫ 𝑡𝑙𝑛(𝑡 + 1) + 1 𝑑𝑡 = 108.7 0

+𝑡+1+𝑡

ii. Hallar el número de reportes en entre el día 8 y el día 12. 12

𝐹(𝑡) = ∫ 𝑡𝑙𝑛(𝑡 + 1) + 1 𝑑𝑡 = 100.18 8

Los ejercicios deben ser presentados utilizando el editor de ecuaciones de Word y deben ser publicados en el foro.