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• Julio Giovanni

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Analisis Real III Renato Benazic November 6, 2016

Prefacio

Renato Benazic

Introducci´ on

Contenido 1 Integrales M´ ultiples 1.1 La Definici´on de Integral sobre m-bloques . . . . . . . . . . . . 1.2 Propiedades B´asicas de la Integral sobre m-Bloques Compactos 1.3 Conjuntos de Medida Cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Caracterizaci´on de las Funciones Riemann Integrables . . . . . 1.5 Integraci´ on Iterada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Integrales sobre Conjuntos J-medibles . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Cambio de Variables en la Integral M´ ultiple . . . . . . . . . . .

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1 1 9 15 21 24 27 33

2 Espacios de Medida 2.1 Limitaciones y desventajas de la Integral de Riemann 2.2 Espacios medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Caracterizaci´on de una medida. Unicidad . . . . . . . 2.5 Medidas exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Medida de Lebesgue en Rn . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Algunos Propiedades de la medida de Lebesgue en Rn 2.8 Algunos aspectos te´oricos de la medida de Lebesgue en

. . . . . . . . . . . . . . Rn

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35 35 38 42 46 49 54 60 62

3 Integraci´ on Abstracta 3.1 Funciones medibles . . . . . . . . 3.2 Funciones simples . . . . . . . . . 3.3 Integraci´ on de funciones medibles 3.4 Integraci´ on de funciones medibles 3.5 Conjuntos de medida nula . . . .

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65 65 69 74 82 86

4 Los Espacios Lp 4.1 Los espacios Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Los espacios Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89 89 93

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . no negativas . . . reales o complejas . . . . . . . . . . .

3

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4.3 4.4

Completitud de los espacios Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aproximaci´ on por funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95 97

5 Producto de espacios de medida 98 5.1 Producto de σ-´ algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.2 Producto de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.3 El Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Cap´ıtulo 1

Integrales M´ ultiples 1.1

La Definici´ on de Integral sobre m-bloques

Primeramente introducimos la notaci´on necesaria. Si I ⊆ R es un intervalo acotado (es decir, del tipo [a, b], ]a, b[, ]a, b], [a, b[ o inclusive [a] = [a, a]), el volumen unidimensional o longitud de I, se define por vol (I) = b − a. Decimos que B ⊆ Rm es un bloque m-dimensional o simplemente m-bloque si y s´olo si B es producto cartesiano de m intervalos I1 , . . . , Im , es decir B = I1 × I2 × · · · × Im =

m ∏

Ii .

i=1

Si todo los intervalos Ii son abiertos (resp. cerrados, acotados, compactos, etc.), diremos que el m-bloque m ∏ B= Ii es abierto (resp. cerrado, acotado, compacto, etc.). Si todos los intervalos Ii tienen la misma i=1

longitud, entonces B =

m ∏

Ii es llamado m- cubo.

i=1

Para prop´ositos posteriores, vamos a admitir que uno o m´as de los intervalos Ii pueda constar de un m ∏ s´olo punto. En este caso, decimos que B = Ii es un m-bloque degenerado. i=1

Si B =

m ∏

Ii es un m-bloque acotado, el volumen m-dimensional o simplemente volumen de B,

i=1

denotado por vol (B), se define como el producto de las longitudes de los intervalos Ii , es decir vol (B) =

m ∏ i=1

1

vol (Ii ).

An´ alisis Real II

2

Observaciones: 1. El volumen de un m-bloque degenerado es cero. 2. Si m = 1, 2, 3 entonces el m-bloque B se denomina respectivamente intervalo, rect´angulo, paralelep´ıpedo y su volumen vol (B) pasa a ser llamado longitud, ´area y volumen, respectivamente.

Sea B =

m ∏

Ii un m-bloque acotado, donde Ii es un intervalo de extremos ai , bi . Una cara (m − 1)-

i=1

dimensional o simplemente (m − 1)-cara de B es un producto cartesiano del tipo I1 × · · · × Ik−1 × {ak } × Ik+1 × · · · × Im

´o I1 × · · · × Ik−1 × {bk } × Ik+1 × · · · × Im

donde k = 1, 2, . . . m. Para m = 1, 2, 3, una (m − 1)-cara es un extremo del intervalo, un lado del rect´angulo o una cara del paralelep´ıpedo. Es claro que toda (m − 1)-cara de un m-bloque, tiene volumen (m-dimensional) cero. De manera an´aloga se definen las (m − k)-caras (k = 2, . . . , m) de un m-bloque. Las 0-caras son llamadas v´ertices del m-bloque. Definici´ on 1.1.1 Sea B =

m ∏

[a1 , bi ] un m-bloque compacto.

i=1

on P de B es un producto cartesiano P = P1 × · · · × Pm donde Pi ∈ P([ai , bi ]), 1. Una partici´ ∀ 1 ≤ i ≤ m. Denotaremos por P(B) al conjunto de todas las particiones del m-bloque compacto B. 2. Sea P = P1 × · · · × Pm ∈ P(B). La norma de P , denotada por ∥P ∥ es definida como ∥P ∥ = max{∥Pi ∥; 1 ≤ i ≤ m} 3. Sean P = P1 × · · · × Pm , Q = Q1 × · · · × Qm ∈ P(B). Decimos que Q es un refinamiento de P si y s´olo si Pi ⊆ Qi , ∀ 1 ≤ i ≤ m. Observaciones: 1. Sea P = P1 × · · · × Pm ∈ P(B) donde Pi = {ai = ti0 < ti1 < · · · < tiki = bi } ∈ P([ai , bi ]),

(1 ≤ i ≤ m)

Si denotamos por Ijii = [tiji −1 , tiji ] (1 ≤ ji ≤ ki ) al ji -´esimo intervalo generado por Pi ∈ P([ai , bi ]) entonces Ij11 × Ij22 × · · · × Ijmm es un m-bloque contenido en B, al cual denotaremos por Bj1 ,...,jm y llamaremos m-subbloque generado por P ∈ P(B). En muchas ocasiones es conveniente enumerar consecutivamente a estos

An´ alisis Real II

3

subbloques y denotarlos por Bi , con 1 ≤ i ≤ k = k1 · · · km . En cualquier caso, escribiremos P = {Bj1 ,...,jm } ´ o P = {Bi } ∈ P(B) para decir que los Bj1 ,...,jm (o los Bi ) son los subbloques generados por la partici´on P . Es claro que vol (B) =

k ∑

vol (Bi ).

i=1

2. Si P, Q ∈ P(B) entonces P ∪ Q no necesariamente es una partici´on de B. En efecto, considere P = {0, 1}×{0, 1/2, 1} y Q = {0, 1/2, 1}×{0, 1}. Es claro que P y Q son particiones de [0, 1]×[0, 1], sin embargo P ∪ Q no es una partici´on de [0, 1] × [0, 1]. 3. Sean P = P1 × · · · × Pm , Q = Q1 × · · · × Qm ∈ P(B), denotaremos P + Q = (P1 ∪ Q1 ) × (P2 ∪ Q2 ) × · · · × (Pm ∪ Qm ) Es claro que P + Q ∈ P(B) y P + Q es un refinamiento com´ un de P y Q, (es decir P ⊆ P + Q y Q ⊆ P + Q). Sea B =

m ∏

[a1 , bi ] un m-bloque compacto y f : B → R una funci´on acotada, denotemos

i=1

m(f ) = inf{f (x); x ∈ B} y M (f ) = sup{f (x); x ∈ B} Es claro que m(f ) ≤ f (x) ≤ M (f ), ∀ x ∈ B. Si P = {Bi } ∈ P(B), denotamos mi (f ) = inf{f (x); x ∈ Bi } y

Mi (f ) = sup{f (x); x ∈ Bi }

Se cumple m(f ) ≤ mi (f ) ≤ f (x) ≤ Mi (f ) ≤ M (f ),

∀ x ∈ Bi ,

∀i

La suma inferior y la suma superior de f relativa a la partici´on P se definen respectivamente como ∑ ∑ L(f, P ) = mi (f ) vol (Bi ) y U (f, P ) = Mi (f ) vol (Bi ) i

i

Es claro que m(f ) vol (B) ≤ L(f, P ) ≤ U (f, P ) ≤ M (f ) vol (B),

∀ P ∈ P(B)

La Integral Superior y la Integral Inferior de una funci´on acotada f : B → R se definen respectivamente como ∫ f (x)dx = inf{U (f, P ); P ∈ P(B)} ∫B f (x)dx = sup{L(f, P ); P ∈ P(B)} B

∫

∫

En muchas ocasiones, denotaremos

∫

f y B

∫

f en vez de B

f (x)dx y B

f (x)dx, respectivamente. B

An´ alisis Real II

4

Teorema 1.1.1 Sea B un m-bloque compacto, P, Q ∈ P(B) y f : B → R una funci´on acotada. Si Q es un refinamiento de P entonces L(f, P ) ≤ L(f, Q) y U (f, Q) ≤ U (f, P ). Demostraci´ on. Sean P = P1 × · · · × Pm , Q = Q1 × · · · × Qm ∈ P(B) donde Q es un refinamiento de P , luego P1 ⊆ Q1 , . . . , Pm ⊆ Qm . Es suficiente considerar el caso en que Q1 = P1 ∪ {t∗ }, P2 = Q2 , . . . , Pm = Qm . Sabemos que un m-subbloque de la partici´on P es del tipo Bi1 ,i2 ,...,im = Ii1 × Ii2 × · · · × Iim = Ii1 × Bi2 ,...,im = Ii1 × BJ donde J = (i2 , . . . , im ). Si P1 = {a1 = t0 < . . . < tk1 = b1 } entonces existe i ∈ {1, . . . , k1 } tal que ti−1 < t∗ < ti , luego Q1 = {a1 = t0 < t1 < . . . < ti−1 < t∗ < ti < · · · < tkn = b1 }. De esta manera tenemos P Q

= {Ii1 × BJ ; 1 ≤ i1 ≤ k1 , ∀ J} ∗ ∗∗ = {Ii1 × BJ ; 1 ≤ i1 ̸= i ≤ k1 , ∀ J} ∪ {Bi,J = [ti−1 , t∗ ] × BJ , Bi,J = [t∗ , ti ] × BJ ; ∀ J}

Si denotamos ∗∗ ∗ } y m∗∗ m∗i,J (f ) = inf{f (x); x ∈ Bi,J i,J (f ) = inf{f (x); x ∈ Bi,J }

es claro que se cumplen las siguientes desigualdades mi,J (f ) ≤ m∗i,J (f ), m∗∗ i,J (f ) y de aqu´ı mi,J (f ) vol (Bi,J )

∗ ∗∗ = mi,J (f ) vol (Bi,J ) + mi,J (f ) vol (Bi,J ) ∗ ∗ ∗∗ ∗∗ ≤ mi,J (f ) vol (Bi,J ) + mi,J (f ) vol (Bi,J )

Luego: L(f, P )

=

∑∑ i1

=

∑ J

≤

∑ J

mi1 ,J (f ) vol (Bi1 ,J )

J

   

∑ i1 ̸=i

∑

 mi1 ,J (f ) vol (Bi1 ,J ) +  mi1 ,J (f ) vol (Bi1 ,J ) +

∑

mi,J (f ) vol (Bi,J )

J

∑[ ] ∗ ∗∗ m∗i,J (f ) vol (Bi,J ) + m∗∗ i,J (f ) vol (Bi,J )

i1 ̸=i

J

= L(f, Q) La otra desigualdad se demuestra de manera an´aloga. Corolario 1. Sean B un m-bloque compacto y f : B → R una funci´on acotada. Se cumple L(f, P ) ≤ U (f, Q) ∀ P, Q ∈ P(B).



An´ alisis Real II

5

Demostraci´ on. Sean P, Q ∈ P(B), sabemos que P + Q ∈ P(B) es un refinamiento com´ un de P y Q. Del teorema anterior se tiene: L(f, P ) ≤ L(f, P + Q) ≤ U (f, P + Q) ≤ U (f, Q)



Corolario 2. Sean B un m-bloque compacto, f : B → R una funci´on acotada y fijemos P0 ∈ P(B). Entonces ∫ f = inf{U (f, P ); P ∈ P(B) y P es refinamiento de P0 } B ∫ f = sup{L(f, P ); P ∈ P(B) y P es refinamiento de P0 } B

Demostraci´ on. Probaremos s´olo la segunda igualdad, la demostraci´on de la primera es similar. Es claro que A = {L(f, P ); P ∈ P(B) y P es refinamiento de P0 } ⊆ {L(f, P ); P ∈ P(B)} Luego

∫ sup A ≤

f B

∫

f (Hip. Aux.) luego existe P1 ∈ P(B) tal que sup A < L(f, P1 ). Pero

Supongamos que sup A < B

P0 + P1 ∈ P(B) es un refinamiento de P0 , luego L(f, P0 + P1 ) ≤ sup A < L(f, P1 ) ≤ L(f, P0 + P1 ) lo cual es absurdo. Esta contradicci´ on prueba el resultado.  Corolario 3. Sean B un m-bloque compacto y f : B → R una funci´on acotada. Se cumple: ∫ ∫ f≤ f ≤ U (f, P ), ∀ P ∈ P(B) L(f, P ) ≤ B

B

∫

∫ f ≤

Demostraci´ on. Es suficiente probar que ∀ P, Q ∈ P(B). Luego

B

f . Del Corolario 1 tenemos L(f, P ) ≤ U (f, Q), B

∫ f = sup{L(f, P ); P ∈ P(B)} ≤ U (f, Q),

∀ Q ∈ P(B)

B

De aqu´ı se sigue el resultado.



Del Corolario ∫ ∫ anterior, surge de manera natural la siguiente interrogante ¿Existe f : B → R acotada tal que f ? Veamos un par de ejemplos. f< B

B

Ejemplo 1.1.1 Sea B = [0, 1] × [0, 1] y definamos f : B → R mediante { 1, si (x, y) = (0, 0) f (x, y) = 0, en otro caso

An´ alisis Real II ∫

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∫

Vamos a hallar

f y B

f , para ello, tomemos B

P = {0 = t0 < t1 < · · · < tm = 1} × {0 = s0 < s1 < · · · < sn = 1} ∈ P(B) y denotemos Bij = [ti−1 , ti ] × [sj−1 , sj ], 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. Por definici´on de f se tiene que { 1, si i = j = 1 mij = 0, y Mij (f ) = 0, en otro caso luego L(f, P ) =

m ∑ n ∑

mij (f ) vol (Bij ) = 0. Se sigue que

i=1 j=1

∫ f = sup {L(f, P ); P ∈ P(B)} = 0 B

Por otro lado U (f, P ) =

n m ∑ ∑

Mij (f ) vol (Bij ) = vol (B11 ) = t1 s1

i=1 j=1

De aqu´ı se sigue que la integral superior tambi´en es cero, en efecto, sea ϵ > 0, existe n ∈ N tal que √ 1 < ϵ. Consideremos entonces la partici´on n 1 1 Pϵ = {0, , 1} × {0, , 1} ∈ P(B) n n ∫ ∫ ∫ 1 f = 0. Por tanto, f = 0.  Por lo anterior U (f, Pϵ ) = 2 < ϵ y de aqu´ı f= n B B B Ejemplo 1.1.2 Sea B = [0, 1] × [0, 1] y definamos f : B → R mediante { 1, si (x, y) ∈ Q2 f (x, y) = 0, en otro caso ∫ ∫ Para hallar f y f , tomemos B

B

P = {0 = t0 < t1 < · · · < tm = 1} × {0 = s0 < s1 < · · · < sn = 1} ∈ P(B) y denotemos Bij = [ti−1 , ti ] × [sj−1 , sj ], 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. Por definici´on de f se sigue que mij = 0,

y Mij (f ) = 1, ∀ i, j

luego L(f, P )

U (f, P )

=

=

m ∑ n ∑ i=1 j=1 m ∑ n ∑ i=1 j=1

mij (f ) vol (Bij ) = 0 Mij (f ) vol (Bij ) =

m ∑ n ∑ i=1 j=1

vol (Bij ) = vol (B) = 1

An´ alisis Real II

7

Se sigue que ∫ ∫

f

= sup {L(f, P ); P ∈ P(B)} = 0

f

= inf {U (f, P ); P ∈ P(B)} = 1

B

B

∫

∫

De esta manera

f
0, existe P = P (ϵ) ∈ P(B) tal que U (f, P ) − L(f, P ) < ϵ. Demostraci´ on. (⇒) Por hip´otesis

∫

∫

∫

f= B

luego

f= B

f B

∫ f = inf{U (f, P ); P ∈ P(B)} = sup{L(f, P ); P ∈ P(B)} B

An´ alisis Real II ∫ Dado ϵ > 0, existe P1 ∈ P(B) tal que U (f, P1 ) < B

Tomando P = P1 + P2 tenemos U (f, P ) −

f+

ϵ ϵ ≤ U (f, P1 ) − < 2 2

ϵ y existe P2 ∈ P(B) tal que 2

∫ f < L(f, P2 ) + B

∫ f− B

8

ϵ < L(f, P2 ). 2

ϵ ϵ ≤ L(f, P ) + 2 2

As´ı, existe P ∈ P(B) tal que U (f, P ) − L(f, P ) < ϵ. (⇐) Dado ϵ > 0, por hip´otesis existe P = P (ϵ) ∈ P(B) tal que U (f, P ) − L(f, P ) < ϵ. Por el Corolario 3 al Teorema 1.1.1 tenemos que ∫ ∫ 0≤ f − f ≤ U (f, P ) − L(f, P ) < ϵ B

∫ Se sigue que

∫ f=

B

B



f. B

Existe otra caracterizaci´on de funci´on Riemann integrable, la cual usa el concepto de oscilaci´on. Definici´ on 1.1.3 Sea X ⊆ Rm y f : X → R una funci´on acotada. La oscilaci´ on de f sobre el conjunto X, denotada por ω(f, X) es definida como ω(f, X) = sup{|f (x) − f (y)|; x, y ∈ X} Proposici´ on 1.1.3 Sea X ⊆ Rm y f : X → R una funci´on acotada, se cumple: 1. Si mX (f ) = inf{f (x); x ∈ X} y MX (f ) = sup{f (x); x ∈ X} entonces ω(f, X) = MX (f ) − mX (f ) 2. Si Y ⊆ X entonces ω(f, Y ) ≤ ω(f, X). 3. Si X = B es un m-bloque compacto y P = {Bi } ∈ P(B) entonces ∑ U (f, P ) − L(f, P ) = ω(f, Bi ) vol (Bi ) i

Demostraci´ on. 1.) Sean x, y ∈ X, cosideremos dos casos: Si f (x) ≥ f (y) entonces |f (x) − f (y)| = f (x) − f (y) ≤ MX (f ) − mX (f ). Si f (x) < f (y) entonces |f (x) − f (y)| = f (y) − f (x) ≤ MX (f ) − mX (f ). En cualquier caso se tiene que |f (x) − f (y)| ≤ MX (f ) − mX (f ), ∀ x, y ∈ X, es decir ω(f, X) ≤ MX (f ) − mX (f ). Supongamos que ω(f, X) < MX (f ) − mX (f ) (Hip. Aux.) entonces ω(f, X) + mX (f ) < MX (f ), luego existe un x0 ∈ X tal que ω(f, X) + mX (f ) < f (x0 ), se sigue que mX (f ) < f (x0 ) − ω(f, X), luego existe un y0 ∈ X tal que f (y0 ) < f (x0 ) − ω(f, X). As´ı ω(f, X) < f (x0 ) − f (y0 ) ≤ |f (x0 ) − f (y0 )| ≤ ω(f, X)

An´ alisis Real II

9

lo cual es una contradicci´ on. La parte 2.) es evidente. 3.) De la definici´on y la parte 1, tenemos ∑ ∑ ∑ U (f, P ) − L(f, P ) = Mi (f ) vol (Bi ) − mi (f ) vol (Bi ) = [Mi (f ) − mi (f )] vol (Bi ) i

i

=

∑

i

ω(f, Bi ) vol (Bi )

i



lo cual prueba el resultado.

Corolario. Sea B un m-bloque compacto, f : B → R una∑ funci´on acotada. Se cumple f ∈ R(B) si y s´olo si dado ϵ > 0, existe P = P (ϵ) = {Bi } ∈ P(B) tal que ω(f, Bi ) vol (Bi ) < ϵ. i

Demostraci´ on. Consecuencia directa del Teorema 1.1.2 y la parte 3 de la proposici´on anterior.



Teorema 1.1.4 Si B un m-bloque compacto entonces C(B) ⊆ R(B). Demostraci´ on. Sea f ∈ C(B) entonces f es u. c. en B, luego dado ϵ > 0 ∃ δ > 0 tal que si x, y ∈ B y ϵ ∥x − y∥ < δ entonces |f (x) − f (y)| < . 2 vol (B) δ Si tomamos P = {Bi } ∈ P(B) con ∥P ∥ < √ , para x, y ∈ Bi se cumple m ∥x − y∥2 =

m ∑

|xj − yj |2 ≤

j=1

m ∑

∥Pj ∥2 ≤ m∥P ∥2 < δ 2

j=1

ϵ ϵ Luego |f (x) − f (y)| < , ∀ x, y ∈ Bi lo cual implica que ω(f, Bi ) < y por lo tanto 2 vol (B) vol (B) ∑ ω(f, Bi ) vol (Bi ) < ϵ. De esta manera f ∈ R(B).  i

1.2

Propiedades B´ asicas de la Integral sobre m-Bloques Compactos

Teorema 1.2.1 Si B es un m-bloque compacto y f: B x entonces f ∈ R(B) y

→ 7 →

R f (x) = 1

∫ 1 = vol (B) B

Demostraci´ on. Como f = 1 ∈ C(B), se sigue que f = 1 ∈ R(B).

An´ alisis Real II

10

Por otro lado, dado P = {Bi } ∈ P(B), se cumple ∑ L(1, P ) = vol (Bi ) = vol (B). i

∫ Se sigue que



1 = vol (B). B

Teorema 1.2.2 Si B es un m-bloque compacto, f ∈ R(B) y c ∈ R, entonces cf ∈ R(B) y ∫ ∫ cf = c f B

B

Demostraci´ on. Sea P = {Bi } ∈ P(B). Si c ≥ 0 entonces mi (cf ) = inf{(cf )(x); x ∈ Bi } = c · inf{f (x); x ∈ Bi } = c · mi (f ) An´alogamente Mi (cf ) = c · Mi (f ). Luego ∑ ∑ L(cf, P ) = mi (cf ) vol (Bi ) = c mi (f ) vol (Bi ) = c L(f, P ) i

i

An´alogamente U (cf, P ) = c U (f, P ). Por lo tanto ∫ ∫ ∫ cf = sup{L(cf, P ); P ∈ P(B)} = c · sup{L(f, P ); P ∈ P(B)} = c f = c f B

B

∫

∫

An´alogamente

∫ f . Se sigue que cf ∈ R(B) y

cf = c B

B

B

∫ cf = c B



f. B

Lema 1.2.1 Si B es un m-bloque compacto y f, g : B → R son funciones acotadas entonces se cumple ∫ ∫ ∫ 1. (f + g) ≥ f + g. B

B

∫ (f + g) ≤

2.

B

∫

B

∫ f+

B

g. B

Demostraci´ on. 1.) Sea P = {Bi } ∈ P(B). Dado x ∈ Bi se cumple mi (f ) + mi (g) ≤ f (x) + g(x) = (f + g)(x) luego mi (f ) + mi (g) ≤ mi (f + g),

∀i

Por tanto L(f + g, P )

=

∑

mi (f + g) vol (Bi ) ≥

i

= L(f, P ) + L(g, P ),

k ∑

mi (f ) vol (Bi ) +

i

∀ P ∈ P(B)

∑ i

mi (g) vol (Bi )

An´ alisis Real II Sean P1 , P2 ∈ P(B) y P = P1 + P2 , luego

11

∫

L(f, P1 ) + L(g, P2 ) ≤ L(f, P ) + L(g, P ) ≤ L(f + g, P ) ≤

(f + g) B

∫

∫

∫

(f + g) ≥

Se sigue que

f+

B



g.

B

B

Teorema 1.2.3 Si B es un m-bloque compacto y f, g ∈ R(B) entonces f + g ∈ R(B) y ∫ ∫ ∫ (f + g) = f+ g B

B

B

Demostraci´ on. Por hip´otesis y el lema anterior ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ f+ g= f+ g≤ (f + g) ≤ (f + g) ≤ f+ g= f+ g B

B

B

B

B

B

∫

∫

Se sigue que f + g ∈ R(B) y

B

B

B

∫

(f + g) = B

B

f+ B



g. B

Observaci´ on: Los resultados anteriores nos dice que R(B) es un R-espacio vectorial y el operador Γ:

R(B)

→

R

f

7→

Γ(f ) =

∫ f B

es un funcional lineal. Teorema 1.2.4 Si B es un m-bloque compacto y f, g ∈ R(B) tales que f (x) ≤ g(x), ∀ x ∈ B entonces ∫ ∫ f≤ g B

B

Demostraci´ on. Sea P = {Bi } ∈ P(B). Para x ∈ Bi se cumple que mi (f ) ≤ f (x) ≤ g(x), luego mi (f ) ≤ mi (g). Se sigue que ∫ ∫ ∑ ∑ L(f, P ) = g= g, ∀ P ∈ P(B) mi (f ) vol (Bi ) ≤ mi (g) vol (Bi ) = L(g, P ) ≤ i

i

∫ B

B

∫ f≤

esto implica que

B



g. B

Observaciones: ∫ 1. Si B un m-bloque compacto y f ∈ R(B) es tal que f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ B entonces

f ≥ 0. B

2. El operador Γ : R(B) → R es mon´otono, es decir si f, g ∈ R(B) con f ≤ g entonces Γ(f ) ≤ Γ(g).

An´ alisis Real II

12

Definici´ on 1.2.1 Sea X ⊆ Rm y f, g : X → R 1. El m´ aximo de f y g, y el m´ınimo de f y g son las funciones max{f, g}, min{f, g} : X → R definidas por max{f, g}(x) = max{f (x), g(x)} y min{f, g}(x) = min{f (x), g(x)}, ∀ x ∈ X 2. La parte positiva de f y la parte negativa de f , denotadas respectivamente por f + , f − son las funciones f + , f − : X → R definidas por f + = max{f, 0} y

f − = − min{f, 0}

Observaciones: 1. De las definiciones de m´aximo y m´ınimo se sigue directamente que: max{f, g} =

1 (f + g + |f − g|) y 2

min{f, g} =

1 (f + g − |f − g|) 2

luego f+ =

1 (f + |f |) y 2

f− =

1 (|f | − f ) 2

2. f + y f − son funciones no negativas. 3. f = f + − f − . 4. |f | = f + + f − . 5. f ≥ 0 ⇒ f + = f y f − = 0. 6. f ≤ 0 ⇒ f + = 0 y f − = −f . 7. f + · f − = 0. Lema 1.2.2 Si B es un m-bloque compacto y f : B → R una funci´on acotada entonces se cumple U (f, P ) − L(f, P ) = [U (f + , P ) − L(f + , P )] + [U (f − , P ) − L(f − , P )], ∀ P ∈ P(B) Demostraci´ on. Sea P = {Bi } ∈ P(B). Afirmo que Mi (f ) − mi (f ) = Mi (f + ) − mi (f + ) + Mi (f − ) − mi (f − ) En efecto, consideremos tres casos: Caso 1: mi (f ) ≥ 0. En este caso tenemos que f + = f y f − = 0 y por tanto la igualdad se cumple trivialmente. Caso 2: Mi (f ) ≤ 0. En este caso tenemos que f + = 0 y f − = −f , por tanto nuevamente la igualdad se cumple trivialmente.

An´ alisis Real II

13

Caso 3: mi (f ) < 0 < Mi (f ). En este caso Mi (f + ) = Mi (f ), mi (f + ) = 0, Mi (f − ) = −mi (f ) y mi (f − ) = 0, luego Mi (f ) − mi (f ) = Mi (f + ) + Mi (f − ) = Mi (f + ) − mi (f + ) + Mi (f − ) − mi (f − ) lo cual prueba la afirmaci´on. Multiplicando la igualdad por vol (Bi ) y sumando sobre i, el lema se sigue.



Teorema 1.2.5 Si B es un m-bloque compacto y f : B → R es una funci´on acotada, se tiene f ∈ R(B) ⇐⇒ f + , f − ∈ R(B) Demostraci´ on. (⇒) Dado ϵ > 0, existe un P ∈ P(B) tal que U (f, P ) − L(f, P ) < ϵ. Por el lema anterior y U (f − , P ) − L(f − , P ) ≤ U (f, P ) − L(f, P ) < ϵ

U (f + , P ) − L(f + , P ) ≤ U (f, P ) − L(f, P ) < ϵ Luego f + , f − ∈ R(B).

(⇐) Si f + , f − ∈ R(B) entonces f = f + − f − ∈ R(B).



Corolario. Si B es un m-bloque compacto y f, g ∈ R(B) entonces 1. |f | ∈ R(B) y

∫ ∫ f ≤ |f | B

B

2. max{f, g}, min{f, g} ∈ R(B) y {∫ ∫ ∫ } max{f, g} ≥ max f, g , B

B

B

{∫

∫ B

}

∫

min{f, g} ≤ min

f, B

g B

Demostraci´ on. Como f ∈ R(B) entonces f + , f − ∈ R(B), luego |f | = f + + f − ∈ R(B). Por otro lado, desde que −|f | ≤ f ≤ |f |, se tiene que ∫ ∫ ∫ − |f | ≤ f≤ |f | B

B

B



De aqu´ı, el resultado se sigue. La prueba de 2) es similar. Teorema 1.2.6 Sea B un m-bloque compacto y f ∈ R(B) entonces f 2 ∈ R(B).

Demostraci´ on. Primeramente, consideremos el caso en que f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ B. Sea P = {Bi } ∈ P(B), dado x ∈ Bi , se cumple f (x) ≤ Mi (f ), luego f 2 (x) ≤ Mi (f )2 y por tanto Mi (f 2 ) ≤ Mi (f )2 . An´alogamente mi (f 2 ) ≥ mi (f )2 . Por lo tanto ∑ ∑ U (f 2 , P ) − L(f 2 , P ) = [Mi (f )2 − mi (f 2 )] vol (Bi ) = [Mi (f ) + mi (f )][Mi (f ) − mi (f )] vol (Bi ) i

i

∑ ≤ 2M (f ) [Mi (f ) − mi (f )] vol (Bi ) = 2M [U (f, P ) − L(f, P )], i

∀ P ∈ P(B)

An´ alisis Real II Dado ϵ > 0, como f ∈ R(B), existe P ∈ P(B) tal que U (f, P ) − L(f, P )
0, existe una familia numerable {Ck }k∈N de m-cubos abiertos y acotados tales que 1. X ⊆

∞ ∪

Ck .

k=1

2.

∞ ∑

vol (Ck ) < ϵ.

k=1

Observaciones: 1. Todo conjunto unitario de Rm tiene m-medida cero. 2. Todo subconjunto finito de puntos de Rm tiene m-medida cero. 3. Todo subconjunto de un conjunto de m-medida cero tiene m-medida cero. 4. La uni´on de una familia finita de conjuntos de m-medida cero tiene m-medida cero. 5. En la definici´on anterior podemos reemplazar m-cubos abiertos por m-cubos cerrados, m-bloques cerrados, m-bloques abiertos.

An´ alisis Real II

16

Proposici´ on 1.3.1 Si {Xk }k∈N es una familia numerable de subconjuntos de Rm que tienen m-medida ∞ ∪ cero, entonces X = Xk tiene m-medida cero. k=1

Demostraci´ on. Sea ϵ > 0, dado j ∈ Z+ (fijo, arbitrario), existe {Cj,k }k∈N colecci´on numerable de ∞ ∪ Cj,k y m-cubos abiertos tales que Xj = k=1 ∞ ∑

vol (Cj,k )
0 para j ∈ N, consideramos ] ϵ′ ϵ′ ′ ′ Bj = B × a − j , a + j , (con ϵ > 0 dependiente de ϵ a elegir). Claramente {Bj }j∈N es una colecci´on 2 2 ∪ de m-bloques cerrados tales que B ⊆ Bj y j∈N ∞ ∑ j=1

Si tomamos ϵ′
0.

n=1

Etapa 1: Del intervalo [0, 1] retiramos el intervalo abierto J1 = Ia/2 (1/2) de centro 1/2 y longitud a, y nos quedamos con [0, 1] − J1 el cual es uni´on de dos intervalos cerrados, disjuntos, cada uno de longitud 1−a . Observe que vol (J1 ) = a. 2 Etapa 2: Sean b2,1 , b2,2 los puntos medios de los dos intervalos de la Etapa 1. Consideramos J2,1 = Ia2 /4 (b2,1 ) y J2,2 = Ia2 /4 (b2,2 ) y denotemos J2 = J2,1 ∪ J2,2 y nos quedamos con [0, 1] − J1 − J2 = [0, 1] − (J1 ∪ J2 ) 1 − a − a2 . Si denotamos por 22 y J2,2 , entonces tenemos vol (J2 ) = a2 .

que es la uni´on de 4 intervalos cerrados, disjuntos, cada uno de longitud vol (J2 ) a la suma de las longitudes de los dos intervalos J2,1

An´ alisis Real II

19

Prosiguiendo inductivamente, en la etapa k tenemos el conjunto k ∪

[0, 1] − J1 − · · · − Jk = [0, 1] −

Jj

j=1

el cual el la uni´on de 2k intervalos cerrados, disjuntos, cada uno de longitud Observe que Jk = Jk,1 ∪ · · · ∪ Jk,2k−1 , siendo la uni´on disjunta y cada Js,i tiene longitud dada por vol (Jk ) = ak . Definimos X = [0, 1] −

∪

1 − a − a2 − · · · − ak . 2k

ak , luego su suma, denotada por vol (Jk ), viene 2k−1

Js . Por construcci´on X es compacto, no puede contener ning´ un intervalo

s∈N

(es decir int (X) = ∅) y adem´as, afirmo que X no tiene 1-medida cero. En efecto, en primer lugar observe que ∞ ∞ ∑ ∑ vol (Js ) = as = 1 − δ. s=1

s=1

Si X tuviera 1-medida cero (Hip. Aux.) entonces existir´ıa {Cj } familia numerable de intervalos abiertos ∞ ∪ ∑ tal que X ⊆ Cj y vol (Cj ) < δ. Pero j∈N

j=1

[0, 1] = X

∪

 ([0, 1] − X) ⊆ 

∪ j∈N

 Cj 

∪

(

∪

) Js

s∈N

Por el Lema 1.3.1: 1 = vol ([0, 1]) ≤

∞ ∑ j=1

vol (Cj ) +

∞ ∑

vol (Js ) < δ + (1 − δ) = 1

s=1

lo cual es una contradicci´ on. Sea X un conjunto de m-medida cero y f : X → Rm ¿Bajo qu´e condiciones f (X) tiene m-medida cero? Para responder esta interrogante, necesitamos una definici´on. Definici´ on 1.3.2 Sea X ⊆ Rm y f : X → Rn . Decimos que f es localmente Lipschitz en X si y s´olo si para todo x ∈ X existe Vx ⊆ Rm vecindad abierta de x tal que la restricci´on f X∩Vx : X ∩ Vx → Rn es Lipschitz en X ∩ Vx . Proposici´ on 1.3.3 Si X ⊆ Rm tiene m-medida cero y f : X → Rm es localmente Lipschitz en X entonces f (X) tiene m-medida cero.

An´ alisis Real II

20

Demostraci´ on. Primeramente, consideremos el caso en que f es Lipschitz en X. Luego existe K > 0 tal que si x, y ∈ X entonces ∥f (x) − f (y)∥ ≤ K∥x − y∥. Como X tiene m-medida cero, dado ϵ > 0 existe una familia numerable {Ck }k∈N de m-cubos tales que ∞ ∞ ∪ ∑ ϵ X⊆ Ck y vol (Ck ) < √ . Si ℓk es la longitud de la arista del m-cubo Ck entonces dados ( mK)m k=1 k=1 y1 , y2 ∈ f (X ∩ Ck ), existen x1 , x2 ∈ X ∩ Ck tales que f (x1 ) = y1 y f (x2 ) = y2 , luego para 1 ≤ i ≤ m tenemos √ |πi (y1 ) − πi (y2 )| ≤ ∥y1 − y2 ∥ = ∥f (x1 ) − f (x2 )∥ ≤ K∥x1 − x2 ∥ ≤ K mℓk √ Se sigue que y1 , y2 ∈ Dk donde Dk es un m-cubo cuya arista tiene longitud K mℓk , es decir f (X ∩ Ck ) ⊆ Dk , ∀ k ∈ N, luego ( ) (∞ ) ∞ ∞ ∞ ∪ ∪ ∪ ∪ f (X) = f X ∩ Ck = f X ∩ Ck = f (X ∩ Ck ) ⊆ Dk k=1

Adem´as

∞ ∑

k=1

k=1

∞ ∑ √ √ m vol (Dk ) = ( mK)m ℓm k = ( mK)

k=1

k=1

(

∞ ∑

k=1

) vol (Ck )

0 tal que Bϵ [x] ⊆ U . Denotemos Kx = sup{∥f ′ (y)∥ : y ∈ Bϵ [x]} Por la desigualdad del valor medio ∥f (y) − f (x)∥ ≤ Kx ∥y − z∥ es decir, f es localmente Lipschitz.

∀ y, z ∈ Bϵ [x] 

Proposici´ on 1.3.4 Sea U ⊆ Rm abierto y f ∈ C 1 (U, Rn ) donde m < n entonces f (U ) tiene n-medida cero.

An´ alisis Real II

21

Demostraci´ on. Sea W = U × Rn−m ⊆ Rn y defino g:

W (x, y)

→ 7→

Rn g(x, y) = f (x)

Se sigue que g ∈ C 1 (U, Rn ) y g(U × {0}) = f (U ). Por el corolario al Teorema 1.3.2 tenemos que U × {0} tiene n-medida cero luego f (U ) = g(U × {0}) tiene n-medida cero.  Observaci´ on: Si I ⊆ R es un intervalo abierto tal que [0, 1] ⊆ I y f ∈ C 1 (I, Rn ) entonces f ([0, 1]) tiene n-medida cero, luego int (f ([0, 1])) = ∅. Se deduce que en clase C 1 no existen curvas de Peano.

1.4

Caracterizaci´ on de las Funciones Riemann Integrables

En la presente secci´on, daremos condiciones necesarias y suficientes para que una funci´on acotada f : B → R, en donde B es un m-bloque compacto, sea Riemann integrable sobre B. Para ello, necesitamos algunos resultados previos. Sea X ⊆ Rm y f : X → R funci´on acotada. Recordemos que la oscilaci´on de f en X se defini´o como ω(f, X) = sup{|f (x) − f (y)|; x, y ∈ X} y satisfac´ıa las siguientes propiedades: 1. Si MX (f ) = sup{f (x); x ∈ X} y mX (f ) = {f (x) : x ∈ X} entonces ω(f, X) = MX (f ) − mX (f ). 2. Si Y ⊆ X entonces ω(f, Y ) ≤ ω(f, X). 3. f ∈ R(B) si y s´olo si dado ϵ > 0, existe P = Pϵ = {Bi } ∈ P(B) tal que ∑ U (f, P ) − L(f, P ) = ω(f ; Bi ) vol (Bi ) < ϵ i

Nos proponemos definir la oscilaci´on de una funci´on en un punto x ∈ X Dado x ∈ X, definimos Ωx : ]0, +∞[ → δ 7→

R Ωx (δ) = ω(f, X ∩ Bδ (x))

Esta funci´on satisface las siguientes propiedades: 1. Ωx es acotada. En efecto, dado δ > 0 se tiene Ωx (δ) = ω(f, X ∩ Bδ (x)) ≤ ω(f, X) = MX (f ) − mX (f ) 2. Ωx es una funci´on mon´otona creciente. En efecto dados δ1 < δ2 entonces Ωx (δ1 ) = ω(f, X ∩ Bδ1 (x)) ≤ ω(f, X ∩ Bδ2 (x)) = Ωx (δ2 ).

An´ alisis Real II

22

Como 0 es punto de acumulaci´ on a derecha de ]0, +∞[ , tenemos lim Ωx (δ) = inf{Ωx (δ); δ > 0} = inf{ω(f, X ∩ Bδ (x)); δ > 0}

δ→0+

Definici´ on 1.4.1 Sea X ⊆ Rm y f : X → R una funci´on acotada. La oscilaci´ on de f en el punto x, denotada por ω(f, x), se define como ω(f, x) = inf{ω(f, X ∩ Bδ (x)); δ > 0} Teorema 1.4.1 Sea X ⊆ Rm y f : X → R una funci´on acotada. Se cumplen las siguientes propiedades: 1. ω(f, x) ≥ 0, ∀ x ∈ X. 2. ω(f, x0 ) = 0 si y s´olo si f es continua en x0 . 3. Si x ∈ int (Y ) e Y ⊆ X entonces ω(f, x) ≤ ω(f, Y ). En particular, si x ∈ int (X) entonces ω(f, x) ≤ ω(f, X). 4. Si ω(f, x0 ) < c entonces ∃ δ > 0 tal que ω(f, x) < c, ∀ x ∈ X ∩ Bδ (x0 ). 5. Si X ⊆ Rm es cerrado (respectivamente compacto) entonces el conjunto {x ∈ X; ω(f, x) ≥ c} es cerrado (respectivamente compacto), para todo c ≥ 0. Demostraci´ on. 2.) (⇒) Si ω(f, x0 ) = 0 entonces inf{ω(f, X ∩ Bδ (x0 )); δ > 0} = 0, luego dado ϵ > 0 existe un δ > 0 tal que ω(f, X ∩ Bδ (x0 )) < ϵ, luego |f (x) − f (y)| < ϵ, ∀ x, y ∈ X ∩ Bδ (x0 ). En particular si x ∈ X y ∥x − x0 ∥ < δ entonces |f (x) − f (x0 )| < ϵ. Es decir, f es continua en x0 . ϵ (⇐) Dado ϵ > 0 existe un δ > 0 tal que si x ∈ X y ∥x − x0 ∥ < δ entonces |f (x) − f (x0 )| < . Sean 3 x, y ∈ X ∩ Bδ (x0 ) entonces |f (x) − f (y)| ≤ |f (x) − f (x0 )| + |f (x0 ) − f (y)| < Luego ω(f, X ∩ Bδ (x0 )) ≤

2ϵ 3

2ϵ < ϵ y esto prueba que ω(f, x0 ) = 0. 3

3.) Si x ∈ int (Y ) entonces ∃ δ > 0 tal que Bδ (x) ⊆ Y , luego ω(f, x) ≤ ω(f, X ∩ Bδ (x)) = ω(f, Bδ (x)) ≤ ω(f, Y ).



Observaci´ on: La propiedad 3.) no necesariamente se cumple si retiramos la hip´otesis x ∈ int (Y ). En efecto, sean X = R2 , Y = ] − ∞, 0] × R y f : R2 → R definida por { 0, si x ≤ 0 f (x, y) = 1, si x > 0 Como ω(f, Bδ (0)) = sup{f (x, y); (x, y) ∈ Bδ (0)} − inf{f (x, y); (x, y) ∈ Bδ (0)} = 1, ω(f, 0) = inf{ω(f, Bδ (0)); δ > 0} = 1

∀ δ > 0, se cumple

An´ alisis Real II

23

Por otro lado ω(f, Y ) = sup{f (x, y); (x, y) ∈ Y } − inf{f (x, y); (x, y) ∈ Y } = 0 De esta manera ω(f, Y ) < ω(f, 0). Teorema 1.4.2 (Lebesgue) Sea B un m-bloque compacto, f : B → R una funci´on acotada y denotemos Df = {x ∈ B; f es discontinua en x} Entonces f ∈ R(B) si y s´olo si Df tiene m-medida cero. Demostraci´ on. (⇐) Sea K = ω(f, B). Dado ϵ > 0, existe una colecci´on numerable de m-cubos abiertos ∞ ∞ ∪ ∑ ϵ ′ ′ {Cj } tales que Df ⊆ . Cj y vol (Cj′ ) < 2K j=1 j=1 Sea x ∈ B − Df . Afirmo que existe Cx′′ m-cubo abierto tal que x ∈ Cx′′ y ω(f, Cx′′ ∩ B)
0 tal que ω(f, Bδ (x) ∩ B) < ϵ . Tomando Cx′′ un m-cubo abierto, centrado en x, tal que Cx′′ ⊆ Bδ (x), se prueba la afirmaci´on. 2 vol (B) Observe que     ∞ ∪ ∪ ∪ Cx′′  B = Df ∪ (B − Df ) ⊆  Cj′   j=1

x∈B−Df

Como B es compacto se tiene que  B⊆



r ∪

Cj′ 

j=1

∪

(

s ∪

) Cx′′k

k=1

Consideremos P = {Bi } ∈ P(B) tal que cumple por lo menos una de las dos alternativas siguientes: Bi ⊆ Cj′ ´o Bi ⊆ Cx′′k . Denotando por I = {i; Bi ⊆ Cj′ } y J = {i; Bi ⊆ Cx′′k }, se cumple: ∑

ω(f, Bi ) vol (Bi ) ≤

i

∑

ω(f, Bi ) vol (Bi ) +

i∈I

< K

∑ i∈I


0, por hip´otesis, existe P = {Bi } ∈ P(B) tal que ∑ ϵ ω(f, Bi ) vol (Bi ) < . j i Sea I = {i; Dj ∩ int (Bi ) ̸= ∅}. Si x ∈ Dj ∩ int (Bi ) entonces

1 ≤ ω(f, x) ≤ ω(f, Bi ), luego j

∑ ∑ 1∑ ϵ vol (Bi ) ≤ ω(f, Bi ) vol (Bi ) ≤ ω(f, Bi ) vol (Bi ) < j j i i∈I

i∈I

∑

es decir

vol (Bi ) < ϵ

i∈I

Por otro lado Dj ⊆ en donde Y =

∪

∪

(int (Bi ) ∩ Dj ) ∪

∪

(∂Bi ∩ Dj ) ⊆

i

i∈I

∪

int (Bi ) ∪ Y,

i∈I



∂Bi tiene m-medida cero.

i

1.5

Integraci´ on Iterada

Sean B1 ⊆ Rm y B2 ⊆ Rn dos bloques compactos y f : B1 × B2 → R una funci´on acotada. Dado x ∈ B1 , definimos fx : B2 → R y 7→ fx (y) = f (x, y) Observe que fx es la restricci´on de f al (m + n)-bloque degenerado {x} × B2 ¿Si f ∈ R(B1 × B2 ) entonces fx ∈ R(B2 ), ∀ x ∈ B1 ? Ejemplo 1.5.1 Consideremos la funci´on f:

[0, 1] × [0, 1] → (x, y)

7→

R

  0, 1, f (x, y) =  0,

si x ̸= 1/2 si x = 1/2, y ∈ Q si x = 1/2, y ∈ I

Claramente Df = {1/2} × [0, 1]. Como Df tiene 2-medida cero, concluimos que f ∈ R([0, 1] × [0, 1]), pero f1/2 : [0, 1] → R { 1, si y ∈ Q y 7→ f1/2 (y) = 0, si y ∈ I se sigue que Df1/2 = [0, 1], luego f1/2 ∈ / R([0, 1]).

An´ alisis Real II

25

Observaci´ on: Se puede probar que si f ∈ R(B1 × B2 ) entonces el conjunto {x ∈ B1 ; fx ∈ / R(B2 )} tiene m-medida nula. Este resultado es parte importante del Teorema de Fubini. Un caso especial es el siguiente: on Iterada) Sean B1 ⊆ Rm , B2 ⊆ Rn bloques compactos y f ∈ R(B1 ×B2 ). Teorema 1.5.1 (Integraci´ Para cada x ∈ B1 denotamos fx : B2 → R y 7→ fx (y) = f (x, y) Si definimos las funciones L y U como L : B1

→

R

x

7→

L(x) =

∫

U : B1

→

R

x

7→

U(x) =

fx (y)dy B2

∫ fx (y)dy B2

entonces L, U ∈ R(B1 ) y adem´as ∫

(∫

∫

)

L(x)dx = B1

B1

∫

∫

f (x, y)dy dx = (∫

∫

f B1 ×B2

B2

U(x)dx =

)

∫

f (x, y)dy dx =

B1

B1

f B1 ×B2

B2

{ } { } { } Demostraci´ on. Sean P1 = Bi1 ∈ P(B1 ) y P2 = Bj2 ∈ P(B2 ) entonces P = P1 × P2 = Bi1 × Bj2 ∈ P(B1 × B2 ). Se cumple ∑ ∑ L(f, P ) = mi,j (f ) vol (Bi1 × Bj2 ) = mi,j (f ) vol (Bi1 ) · vol (Bj2 ) i,j

=

i,j

  ∑ ∑  mi,j (f ) vol (Bj2 ) vol (Bi1 ) i

(1.1)

j

Por otro lado, si x ∈ Bi1 entonces mi,j (f ) = inf{f (x, y); (x, y) ∈ Bi1 × Bj2 } ≤ inf{fx (y); y ∈ Bj2 } = mj (fx ) Luego ∑

mi,j (f ) vol

j

es decir

(Bj2 )

≤

∑

∫ mj (fx ) vol

= L(fx , P2 ) ≤

fx (y)dy = L(x),

∀ x ∈ Bi1

B2

j

∑

(Bj2 )

mi,j (f ) vol (Bj2 ) ≤ mi (L), ∀ x ∈ Bi1 . Reemplazando en (1.1)

j

L(f, P ) ≤

∑ i

mi (L) vol (Bi1 ) = L(L, P1 )

(1.2)

An´ alisis Real II

26

An´alogamente U (U, P1 ) ≤ U (f, P )

(1.3)

De (1.2) y (1.3) L(f, P ) ≤ L(L, P1 ) ≤ U (L, P1 ) ≤ U (U, P1 ) ≤ U (f, P ),

∀ P = P1 × P2 ∈ P(B1 × B2 )

Como f ∈ R(B1 × B2 ), dado ϵ > 0, existe P = Pϵ = P1 × P2 ∈ P(B1 × B2 ) tal que U (f, P ) − L(f, P ) < ϵ, luego existe P1 ∈ P(B1 ) tal que U (L, P1 )−L(L, P1 ) < ϵ y esto implica que que L ∈ R(B1 ). An´alogamente, se demuestra que U ∈ R(B1 ). Finalmente, usando la propiedad: Sean A, B ⊆ R conjuntos acotados tales que, dado a ∈ A, existe b = ba ∈ B tal quwe a ≤ b, entonces sup(A) ≤ sup(B). En nuestro caso, para A = {L(f, P ); P ∈ P(B1 × B2 )}

B = {L(L, P1 ); P1 ∈ P(B1 )} ,

y

Por (1.2) se cumple la condici´on anterior, luego ∫ ∫ ∫ f= f = sup(A) ≤ sup(B) = B1 ×B2

B1 ×B2

B1

An´alogamente. se prueba que

∫

∫ B1 ×B2

f≥

B1

U(x)dx, B1

∫

L(x)dx =

f=

L(x)dx B1

∫

B1 ×B2

∫

y de aqu´ı se sigue que

∫ L(x)dx =

U(x)dx.



B1

Observaciones: 1. Una demostraci´on an´aloga muestra que ∫ ∫ (∫ f= B1 ×B2

)

(∫

∫

f (x, y)dx dy = B2

B1

f (x, y)dx dy B2

2. Si f ∈ C(B1 × B2 ) entonces fx ∈ R(B2 ), ∀ x ∈ B1 , luego ∫ ∫ ∫ fx (y)dy = fx (y) = B2

Por lo tanto

B2

(∫

∫

B1

fx (y)dy B2

)

∫

f (x, y)dy dx = B1

An´alogamente

)

(∫

∫ B2

B1

f B1 ×B2

B2

) ∫ f (x, y)dx dy =

f B1 ×B2

An´ alisis Real II

3. Si B =

m ∏

27

[ai , bi ] y f ∈ C(B) entonces

i=1

∫

∫

bn

f= B

an

(

(∫ ···

)

b1

f (x1 , . . . , xn )dx1

) · · · dxn

a1

Este resultado es u ´til para calcular integrales de funciones continuas sobre m-bloques compactos. √

Ejemplo 1.5.2 Sea B = [−1, 1] × [1, 4] y f : B → R definida por f (x, y) = xe y , como f ∈ C(B), por la observaci´on anterior: ) (∫ 1 ) ∫ 4 ∫ ∫ 4 (∫ 1 √ √ y y e xdx dy = 0 f= xe dx dy = B

1.6

1

−1

−1

1

Integrales sobre Conjuntos J-medibles

Hasta ahora s´olo sabemos integrar sobre m-bloques compactos, en la presente secci´on vamos a ver que se puede integrar sobre conjuntos m´as generales. Definici´ on 1.6.1 Sea X ⊆ Rm un conjunto acotado. 1. Decimos que X es Jordan medible o simplemente J-medible en Rm si y s´olo si existe un m-bloque compacto B con X ⊆ int (B) tal que 1X ∈ R(B). 2. Sea X un conjunto J-medible en Rm , el volumen m-dimensional de X o simplemente volumen de X, denotado por vol (X), se define como ∫ vol (X) = 1X B

en donde B es un m-bloque compacto tal que X ⊆ int (B). Observaciones: 1. No es dif´ıcil probar que la definici´on de conjunto J-medible as´ı como de su volumen no dependen de la elecci´on del m-bloque B con la propiedad X ⊆ int (B). 2. La parte 2 de la definici´on anterior es una generalizaci´on del Teorema 1.2.7. 3. Denotaremos por J (Rm ) a la colecci´on de todos los subconjuntos acotados J-medibles en Rm . Teorema 1.6.1 Sea X ⊆ Rm un conjunto acotado. X ∈ J (Rm ) si y s´olo si su frontera ∂X tiene m-medida cero.

An´ alisis Real II

28

Demostraci´ on. Sea B un m-bloque compacto tal que X ⊆ int (B). Denotemos D1X = {x ∈ B; 1X es discontinua en x} Se sigue que D1X = ∂X, por lo tanto X ∈ J (Rm ) si y s´olo si 1X ∈ R(B) si y s´olo si D1X = ∂X tiene m-medida cero.  Observaciones: 1. Como la frontera de un m-bloque acotado es uni´on (finita) de m-bloques degenerados, concluimos que los m-bloques acotados son J-medibles en Rm . 2. Las bolas abiertas y cerradas son conjuntos J-medibles en Rm . 3. Hasta ahora s´olo sab´ıamos calcular el volumen de m-bloques acotados, la definici´on anterior extiende el c´alculo del volumen a conjuntos J-medibles. Los Teoremas 1.2.7 y 1.6.1 establecen que esta es una buena extensi´on. M´as a´ un, si denotamos por F a la familia de todos los m-bloques compactos, hemos extendido vol : F → [0, +∞[ a vol : J (Rm ) → [0, +∞[. Proposici´ on 1.6.2 Sea X ⊆ Rm un conjunto acotado. X ∈ J (Rm ) si y s´olo si ∂X ∈ J (Rm ) y vol (∂X) = 0. Demostraci´ on. (⇒) Como ∂X es cerrado se tiene que ∂(∂X) ⊆ ∂X, de la hip´otesis se sigue que ∂(∂X) tiene m-medida cero y por tanto ∂X ∈ J (Rm ). Por otro lado, sea ϵ > 0, como ∂X tiene m-medida cero, ∞ ∪ ∑ existe {Cj } colecci´on numerable de m-cubos abiertos acotados tales que ∂X ⊆ Cj y vol (Cj ) < ϵ. j∈N

j=1

Como ∂X es compacto, ∂X ⊆ C1 ∪ · · · ∪ Cs . Sea B un m-bloque compacto cuyo interior contenga a la clausura de C1 ∪ · · · ∪ Cs , se cumple ∫ ∫ s ∫ s ∑ ∑ vol (∂X) = 1∂X ≤ 1C1 ∪···∪Cs ≤ 1Cj = vol (Cj ) < ϵ B

B

j=1

B

j=1

Se sigue que vol (∂X) = 0. (⇐) Sea B un m-bloque compacto tal que X ⊆ int (B). Por hip´otesis ∫ 0 = vol (∂X) = 1∂X = inf {U (1∂X , P ); P ∈ P(B)} B

Dado ϵ > 0, existe P = {Bi } ∈ P(B) tal que U (1∂X , P ) < ϵ. Denotemos I = {i; ∂X ∩ Bi ̸= ∅} claramente ∂X ⊆

∪

Bi y adem´as

i∈I

ϵ>

∑ i

Mi (1∂X ) vol (Bi ) =

∑ i∈I

vol (Bi )

An´ alisis Real II Se sigue que ∂X tiene m-medida cero y por tanto X ∈ J (Rm ).

29 

Ejercicio: Sea X ∈ J (Rm ), pruebe que vol (X) = 0 ⇐⇒ int (X) = ∅. Pruebe que el resultado es falso si retiramos la hip´otesis de ser X J-medible. Teorema 1.6.3 Si X, Y ∈ J (Rm ) entonces 1. X ∪ Y , X ∩ Y , X − Y ∈ J (Rm ). 2. Si X ⊆ Y entonces vol (X) ≤ vol (Y ). 3. vol (X ∪ Y ) = vol (X) + vol (Y ) − vol (X ∩ Y ). Demostraci´ on. Por hip´otesis ∂X y ∂Y tienen m-medida cero. 1. Como ∂(X∪Y ) ⊆ ∂X∪∂Y , se sigue que ∂(X∪Y ) tiene m-medida cero y por lo tanto X∪Y ∈ J (Rm ). 2. Ejercicio. 3. Sea B un m-bloque compacto tal que X, Y ⊆ int (B). Sabemos que 1X∪Y + 1X∩Y = 1X + 1Y , luego ∫ ∫ ∫ vol (X ∪ Y ) + vol (X ∩ Y ) = (1X∪Y + 1X∩Y ) = 1X + 1X = vol (X) + vol (Y )  B

B

B

A continuaci´ on, definiremos la integral de una funci´on acotada sobre un conjunto J-medible. Sea X ∈ J (Rm ) y f : X → R una funci´on acotada, consideremos B un m-bloque compacto tal que X ⊆ int (B). Definimos la funci´on 1X f = fX : B

→

R

x

7→

fX (x) =

{

f (x), x ∈ X 0, x∈B−X

Definici´ on 1.6.2 Sea X ∈ J (Rm ) y f : X → R una funci´on acotada. Decimos que f es Riemann Integrable sobre X, lo que denotamos f ∈ R(X) si y s´olo si 1X f = fX ∈ R(B), en donde B es un m-bloque compacto tal que X ⊆ int (B). En caso afirmativo definimos ∫ ∫ f= fX X

B

Teorema 1.6.4 Sea X ∈ J (Rm ), f : X → R una funci´on acotada y denotemos Df = {x ∈ X; f es discontinua en x} Se cumple f ∈ R(X) si y s´olo si Df tiene m-medida cero. Demostraci´ on. En primer lugar afirmo que Df ⊆ DfX ⊆ Df ∪ ∂X. En efecto: Supongamos que Df ∩ (Rm − DfX ) ̸= ∅ (Hip. Aux.) y tomemos x ∈ Df con x ∈ / DfX entonces ∃ (xk ) ⊆ X tal que lim xk = x y lim f (xk ) ̸= f (x). Como fX es continua en x entonces lim fX (xk ) = fX (x), luego

k→∞

k→∞

k→∞

lim f (xk ) = f (x) contradicci´ on! esto prueba que x ∈ DfX . El otro contenido es an´alogo, y as´ı la

k→∞

afirmaci´on est´a probada. Como X ∈ J (Rm ), ∂X tiene m- medida cero, luego f ∈ R(X) si y s´olo si fX ∈ R(B) si y s´olo si DfX tiene m-medida cero si y s´olo si Df tiene m-medida cero. 

An´ alisis Real II Teorema 1.6.5 Dado X ∈ J (Rm ), se cumple

∫

∫

1. Si f ∈ R(X) y c ∈ R entonces cf ∈ R(X) y

cf = c X

∫ 2. Si f, g ∈ R(X) entonces f + g ∈ R(X) y

f. ∫

X

(f + g) = X

∫

∫ f+

X

∫

f ≤

3. Si f, g ∈ R(X) y f (x) ≤ g(x), ∀ x ∈ X entonces ∀ x ∈ X entonces

30

X

∫ m · vol (X) ≤

g. X

g. En particular, si m ≤ f (x) ≤ M , X

f ≤ M · vol (X) X

4. Si f, g ∈ R(X) entonces max{f, g}, min{f, g} ∈ R(X). 5. f ∈ R(X) si y s´olo si f + , f − ∈ R(X). ∫ ∫ ∫ |f |. En particular f ≤ M (f ) · vol (X), donde 6. Si f ∈ R(X) entonces |f | ∈ R(X) y f ≤ X X X M (f ) = sup{|f (x)|; x ∈ X}. 7. Si f ∈ R(X) entonces f 2 ∈ R(X). 8. Si f, g ∈ R(X) entonces f g ∈ R(X).

∫

9. Si f ∈ R(X) y vol (X) = 0 entonces

f = 0. X

Demostraci´ on. Sea B un m-bloque compacto tal que X ⊆ int (B). Desde que (f + g)X = fX + gX (¡Ejercicio!) se sigue que si f, g ∈ R(X) entonces fX , gX ∈ R(B), luego (f + g)X = fX + gX ∈ R(B), es decir f + g ∈ R(X). Adem´as ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (f + g) = (f + g)X = (fX + gX ) = fX + gX = f+ g X

B

B

B

B

X

X



Las dem´as son an´alogas. Observaci´ on: Si X ∈ J (R ), entonces R(X) es una R-´algebra. m

Teorema 1.6.6 (Teorema del Valor Medio para Integrales) Si X ∈ J (Rm ) es conexo y f ∈ C(X) entonces existe un x0 ∈ X tal que ∫ f = f (x0 ) · vol (X) X

Demostraci´ on. Si vol (X) = 0, por la parte 9 del teorema anterior, la igualdad es inmediata. Consideremos el caso en que vol (X) > 0. Como f ∈ C(X) y X es conexo entonces f (X) es un intervalo cuyos extremos lo denotamos por m y M , luego m ≤ f (x) ≤ M , ∀ x ∈ X, as´ı ∫ ∫ ∫ m · vol (X) = m≤ f≤ M = M · vol (X) X

X

X

An´ alisis Real II

Se sigue que

1 vol (X)

∫ f ∈ f (X) luego existe un x0 ∈ X tal que f (x0 ) = X

1 vol (X)

31

∫ f.



X

m ∈ R(X) y Teorema 1.6.7 Sean X, Y ∈ J (R ). Se cumple que f ∈ R(X ∪ Y ) si y s´ o lo si f X f Y ∈ R(Y ). En caso afirmativo ∫ ∫ ∫ ∫ f+ f= f+ f X∪Y

X∩Y

En particular, si int (X ∩ Y ) = ∅ entonces ∫

X

∫

∫

f= X∪Y

Y

f+ X

f Y

Demostraci´ on. Se cumple que D ∪ D ⊆ Df ⊆ D ∪ D ∪ ∂X ∪ ∂Y f f f f X

Y

X

Y

Como X, Y ∈ J (R ) se tiene que ∂X y ∂Y tienen m-medida cero, luego f ∈ R(X ∪ Y ) si y s´olo si Df tiene m-medida cero si y s´olo si D y D tienen m-medida si y s´olo si f X ∈ R(X) y f Y ∈ R(Y ). f f m

X

Y

Sea B un m-bloque compacto tal que X ∪ Y ⊆ int (B) y consideremos las funciones fX∪Y , fX∩Y : B → R, se cumple fX∪Y + fX∩Y = fX + fY , luego ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ f+ f= fX∪Y + fX∩Y = fX + fY = f+ f X∪Y

X∩Y

B

B

B

B

X

Y

Finalmente como X, Y ∈ J (Rm ) e int (X ∩ Y ) = ∅ entonces por el ejercicio vol (X ∩ Y ) = 0, luego ∫ f = 0 y por la parte 9 del Teorema 1.6.5 el resultado se sigue.  X∩Y

Corolario 1. Si X, Y ∈ J (Rm ), Y ⊆ X, f ∈ R(X) e int (X − Y ) = ∅ entonces ∫ ∫ f= f X

Y

Demostraci´ on. Como X = (X − Y ) ∪ Y , (X − Y ) ∩ Y = ∅ y X − Y ∈ J (Rm ) entonces ∫ ∫ ∫ f= f+ f X

X−Y

Y

Adem´as como int (X − Y ) = ∅, por el ejercicio vol (X − Y ) = 0, luego ∫ ∫ ∫ ∫ f= f+ f= f  X

X−Y

Y

Y

Corolario 2. Sean X ∈ J (Rm ) y f ∈ R(X). Si U = int (X) entonces ∫ ∫ f= f X

U

An´ alisis Real II

32

m Demostraci´ on. Como U = ∫ int (X) ∫ entonces ∂U ⊆ ∂X luego U ∈ J (R ) e int (X − U ) = int (∂X) = ∅. Luego, por el Corolario 1: f= f.  X

U

Observaci´ on: En virtud del corolario anterior, de ahora en adelante podemos suponer que las integrales se realizan sobre conjuntos abiertos J-medibles. ∫ Sea X ∈ J (Rm ), se puede usar el Teorema 1.6.1 para calcular f , puesto que, por definici´on X ∫ ∫ f= fX , en donde B es un m-bloque tal que X ⊆ int (B). X

B

Ejemplo 1.6.1 Sea X = [−1, 1] × [−1, 1] − B1 (0) ∈ J (R2 ) y considero f : R2 → R definida por ∫ √ 2 2 y +1 f , para . Como f ∈ C(R ) entonces f ∈ C(X) ⊆ R(X), nos proponemos hallar f (x, y) = xe X

ello consideremos el 2-bloque B = [−2, 2] × [−2, 2] y la funci´on fX :

→ R

B (x, y)

es decir

{

√ xe 0,

fX (x, y) =

y 2 +1

,

∫

∫

f= X

fX = B

1

−1

si (x, y) ∈ X si (x, y) ∈ B − X

f (x, y), 0,

√ √ si − 1 ≤ x < − 1 − y 2 ´o 1 − y 2 < x < 1, (x, y) ∈ B − X

De esta manera ∫

{

7→ fX (x, y) =

[∫

−

√

1−y 2

−1

∫ 1 √ 2 y +1 xe dx + √

−1 ≤ y ≤ 1

] √ 2 y +1 xe dx dy = 0



1−y 2

Para finalizar la secci´on, probaremos que existen abiertos acotados que no son J-medibles. En efecto, sea X el conjunto de Cantor de medida positiva y denotamos Y = X × [0, 1]. Supongamos que Y tiene 2-medida cero (Hip. Aux.) denotemos B = [0, 1] × [0, 1] ⊇ Y , como ∂Y ⊆ Y , por la hip´otesis auxiliar concluimos que f = 1Y ∈ R(B). Por el teorema de la integraci´on iterada, la funci´on L : [0, 1] → R x

∫

7→ L(x) =

1

fx (y)dy 0

es Riemann integrable sobre [0, 1]. Observe que para x ∈ X tenemos fx = 1 (puesto que si y ∈ [0, 1] entonces (x, y) ∈ Y , luego 1 = fx (y) = 1Y (x, y)). An´alogamente, si x ∈ / X entonces fx = 0. Luego { ∫ 1 1, si x ∈ X L(x) = fx (y)dy = 0, si x ∈ /X 0 es decir L = 1X , concluimos que 1X ∈ R([0, 1]) y por tanto X = ∂X tiene 1-medida cero lo cual es una contradicci´on. De esta manera Y = X × [0, 1] tiene 2-medida cero. Ahora es f´acil construir un abierto

An´ alisis Real II

33

de R2 cuya frontera no tiene 2-medida cero. En efecto, sea B cualquier 2-bloque abierto que contenga a [0, 1] × [0, 1] y sea U = B − Y . Como Y es cerrado tenemos que U es abierto y como Y ⊆ ∂U (¡Ejercicio!) deducimos que ∂U no tiene 2-medida cero. La existencia de abiertos acotados que no sean J-medibles es mala para la teor´ıa de la integraci´ on ∫ puesto que si U es uno de tales abiertos, con la teor´ıa estudiada hasta el momento la integral necesariamente estar´ıa definida, a´ un suponiendo que f ∈ C(U ).

1.7

f no U

Cambio de Variables en la Integral M´ ultiple

Del An´alisis en una variable real, tenemos el siguiente resultado: Sea f ∈ C([a, b]) y g : [c, d] → R tal que g ′ ∈ R([c, d]) y g([c, d]) ⊆ [a, b]. Entonces ∫

∫

g(d)

d

f (x)dx = g(c)

f (g(t))g ′ (t)dt

c

No es dif´ıcil probar que si g es inyectiva e I = ]c, d[ , entonces ∫ ∫ f = (f ◦ g) · |g ′ |. g(I)

I

La generalizaci´on de este resultado a integrales m´ ultiples es la siguiente: Teorema 1.7.1 (Cambio de coordenadas) Sea U ⊆ Rm un abierto acotado y g ∈ C 1 (U ; Rm ) inyectiva tal que g(U ) sea acotado y det[Jg(x)] ̸= 0, ∀ x ∈ U . Si f ∈ R(g(U )) entonces ∫ ∫ f= (f ◦ g) · | det Jg|. g(U )

U

La demostraci´on del teorema anterior, usando solo integral de Riemann, es muy complicada y ser´a pospuesta hacia el final, en donde ya tendremos a mano la integral de Lebesgue. Se debe observar que en el Teorema de Cambio de variables, el abierto no necesariamente es J-medible. ESto se debe al hecho que es posible definir la integral de Riemann de una funci´on definida sobre un abierto no necesariamente J-medible, pero para ello se requiere el manejo de particiones de la unidad. En el c´alculo, los cambios de variables m´as usados son: 1. Coordenadas polares: Es la funci´on (x, y) = g(r, θ) = (r cos θ, rsen θ), en cuyo caso se tiene ∫ ∫ f (x, y)dxdy = f (r cos θ, rsen θ)r drdθ. g(U )

U

2. Coordenadas cil´ındricas: Es la funci´on (x, y, z) = g(r, θ, z) = (r cos θ, rsen θ, z), en cuyo caso se tiene ∫ ∫ f (x, y, z)dxdydz = f (r cos θ, rsen θ, z)r drdθdz. g(U )

U

An´ alisis Real II

34

3. Coordenadas esf´ericas: Es la funci´on (x, y, z) = g(ρ, θ, φ) = (ρ cos θsen φ, rsen θsen φ, ρ cos φ), en cuyo caso se tiene ∫ ∫ f (x, y, z)dxdydz = f (ρ cos θsen φ, rsen θsen φ, ρ cos φ)ρ2 sen φ dρdθdφ. g(U )

U

Cap´ıtulo 2

Espacios de Medida 2.1

Limitaciones y desventajas de la Integral de Riemann

La integral de Rieman tiene muchas desventajas, tantos te´oricas como pr´acticas. El primer inconveniente que podemos nombrar es la existencia de conjuntos abiertos acotados que no son J-medibles. Como hemos observado en el Cap´ıtulo anterior,∫si U es un conjunto abierto acotado que f a pesar de que f ∈ C(U ).

no es J-medible entonces no podemos asegurar la existencia de U

La segunda desventaja es el hecho que funciones muy discontinuas no sean integrables. Esta desventaja consiste en que es f´acil encontrar una funci´on muy discontinua que coincida, salvo un conjunto de medida cero, con una funci´on continua y, sin embargo una y otra no son equivalentes en el sentido de la integral de Riemann. Por ejemplo, consideremos f, g : [0, 1] → R definidas por { 1, x ∈ [0, 1] ∩ Q f (x) = y g(x) = 0 0, x ∈ [0, 1] ∩ I Se tiene que f = g salvo en [0, 1] ∩ Q, el cual tiene medida cero, y sin embargo g ∈ R([0, 1]) pero f∈ / R([0, 1]). Un tercer inconveniente, es que necesitamos integrar funciones acotadas sobre conjuntos acotados. No podemos integrar sobre Rm . Un cuarto inconveniente de la integral de Riemann, y quiz´a uno de los m´as importantes, es que ella no se comporta bien con respecto al proceso del “paso al l´ımite”, esto significa que puede existir una sucesi´on de funciones Riemann-integrables cuyo l´ımite puntual no lo es. Veamos m´as detalladamente estos conceptos. Sea X ⊆ Rm , denotaremos por F(X; Rn ) al conjunto de todas las funciones definidas en X y con valores en Rn . Con las operaciones usuales de suma de funciones y producto de un n´ umero real por una funci´on, el conjunto F(X; Rn ) se torna un R-espacio vectorial. on de funciones en F(X; Rn ) es una funci´on f : N → F(X; Rn ) tal que a Definici´ on 2.1.1 Una sucesi´ cada n´ umero natural k le asocia una funci´on f (k) = fk ∈ F(X; Rn ), llamada el k-´esimo t´ermino de la sucesi´on. 35

An´ alisis Real III

36

Notaci´ on. En sucesivo el s´ımbolo (fk ) ⊆ F(X; Rn ) significar´a que “(fk ) es una sucesi´on de funciones en F(X; Rn )” Sea (fk ) ⊆ F(X; Rn ), para cada x ∈ X se tiene que fk (x) ∈ Rn , para todo k ∈ N, luego (fk (x)) es una sucesi´on en Rn . Si la sucesi´on (fk (x)) ⊆ Rn es convergente para cada x ∈ X entonces existe un vector (que depende de x ∈ X) f (x) ∈ Rn tal que lim fk (x) = f (x). De esta manera podemos definir la k→∞

funci´on f: X x

→ Rn 7 → f (x) = lim fk (x) k→∞

es decir f ∈ F (X; Rn ). Definici´ on 2.1.2 Sea (fk ) ⊆ F (X; Rn ) y f ∈ F(X; Rn ). Decimos que la sucesi´on de funciones (fk ) converge puntualmente a f , lo que escribimos fk → f si y s´olo si se cumplen las dos condiciones siguientes: 1. (fk (x)) ⊆ Rn es convergente, para todo x ∈ X. 2. lim fk (x) = f (x), para todo x ∈ X. k→∞

Ejemplo 2.1.1 Sea X el intervalo cerrado [0, 1] y consideremos la sucesi´on (fk ) ⊆ F(X; R) definida por fk : X x

→ R 7 → fk (x) = xk

Observe que

{ lim fk (x) = lim xk =

k→∞

Si definimos

k→∞

f : [0, 1] → R x

7→ f (x) =

{

0, si 0 ≤ x < 1 1, si x = 1

0, si 0 ≤ x < 1 1, si x = 1

tenemos que lim fk (x) = f (x), para todo x ∈ X, es decir fk → f . k→∞



Ejemplo 2.1.2 Sea X el intervalo cerrado [0, 1]. Como Q ∩ X es numerable, podemos escribir Q ∩ X = {q1 , q2 , . . . , qk , . . .}. Consideremos la sucesi´on (fk ) ⊆ F(X; R) y la funci´on f ∈ F (X; R) definidas por { { 1, si x ∈ {q1 , . . . , qk } 1, si x ∈ Q ∩ X fk (x) = y f (x) = 0, si x ∈ X − {q1 , . . . , qk } 0, si x ∈ I ∩ X Afirmo que fk → f . En efecto, sea x ∈ X. Se presentan dos casos: Caso 1: x ∈ Q ∩ X. En este caso, existe k0 ∈ N tal que x = qk0 . Luego la sucesi´on (fk (x)) ⊆ R viene dada por { 0, si k < k0 fk (x) = 1, si k ≥ k0

An´ alisis Real III

37

De esta manera lim fk (x) = 1 = f (x)

k→∞

Caso 2: x ∈ I ∩ X. En este caso fk (x) = 0, ∀ k ∈ N, luego lim fk (x) = 0 = f (x)

k→∞

De los dos casos anteriores, se deduce la afirmaci´on. Por otro lado, es claro que (fk ) ⊆ R(X) pero f∈ / R(X).  Este mal comportamiento de la integral de Riemann con respecto al proceso del paso al l´ımite, fue una de las razones para extender el concepto de funci´on integrable. Recordemos que para definir funci´on Riemann integrable f : B → R, primero tom´abamos una partici´on del m-bloque B. La idea novedosa de Lebesgue fue la de tomar una partici´on del intervalo imagen c = y0 < y1 < · · · < yn−1 < yn = d

∫

f mediante

y aproximar el valor de B

n ∑ yj−1 + yj j=1

∫

2

( ) vol f −1 ([yj−1 , yj ])

√ xdx por ´este m´etodo. 0 √ Para ello, observamos que el integrando f (x) = x cumple f ([0, 1]) = [0, 1], luego, consideramos la partici´on (regular) 1

Como ejemplo, vamos hallar

y0 = 0, se tiene

y1 =

1 , n

y2 =

2 n−1 , . . . , yn−1 = , n n

2 f −1 ([yj−1 , yj ]) = [yj−1 , yj2 ],

yn = 1

(n ∈ N)

∀1≤j≤n

luego

( ) j2 (j − 1)2 2j − 1 2 vol f −1 ([yj−1 , yj ]) = yj2 − yj−1 = 2− = n n2 n2 Las ´´alturas” de los rect´angulos, ser´ıan yj−1 + yj 2j − 1 = 2 2n As´ı n ∑ yj−1 + yj j=1

2

( ) vol f −1 ([yj−1 , yj ])

n n ∑ 2j − 1 2j − 1 1 ∑ 2 · = (4j − 4j + 1) 2n n2 2n3 j=1 j=1 ( )( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1+ 2+ − 1+ + 2 = 3 n n n n 2n

=

An´ alisis Real III

As´ı

∫

1 0

38

n ∑ ( ) 1 √ yj−1 + yj xdx = lim vol f −1 ([yj−1 , yj ]) = n→∞ 2 3 j=1

El cual coincide con el valor calculado usando particiones y sumas de Riemann. Volviendo al caso general, se puede apreciar que la principal dificultad para calcular la suma n ∑ yj−1 + yj j=1

2

( ) vol f −1 ([yj−1 , yj ])

reside en el hecho de que los conjuntos f −1 ([yj−1 , yj ]) pueden ser muy complicados y en general no se le pueden asignar un volumen (o m´as generalmente, una medida). El primer paso para solucionar este problema ser´ıa detectar aquellos conjuntos a los cuales se les pueda asignar una medida (los cuales ser´an llamados conjuntos medibles) y luego estudiar aquellas funciones para las cuales las preim´agenes de intervalos siempre sean conjuntos medibles (estas funciones ser´an llamadas funciones medibles).

2.2

Espacios medibles

Definici´ on 2.2.1 Sea X un conjunto no vac´ıo. Una colecci´on A de subconjuntos de X es llamada σ-´ algebra en X si y s´olo si satisface las siguientes propiedades: 1. X ∈ A. 2. Si A, B ∈ A entonces A − B ∈ A. 3. Si {Ak }k∈N ⊆ A entonces

∞ ∪

Ak ∈ A.

k=1

Si A es una σ-´algebra en X entonces los elementos de A son llamados conjuntos medibles. Decimos que el par (X, A) es un espacio medible si y s´olo si X es un conjunto no vac´ıo y A es una σ-´algebra en X. Observaciones: 1. El prefijo σ se refiere al hecho de que la condici´on 3) de la definici´on anterior se cumpla para todas las uniones numerables de conjuntos de la colecci´on A. 2. Si cambiamos la condici´on 3) por “A, B ∈ A implica que A ∪ B ∈ A” entonces A es llamada ´ algebra Booleana o simplemente ´ algebra en X. 3. Toda σ-´ algebra es un ´algebra, pero el rec´ıproco no necesariamente es cierto. Ejemplo 2.2.1 Sea X un conjunto no vac´ıo. Si A = {∅, X} entonces (X, A) es un espacio medible. Por otro lado si denotamos por P(X) al conjunto potencia de X entonces (X, P(X)) es tambi´en un espacio medible. Concluimos que todo conjunto no vac´ıo X admite dos σ-´algebras triviales.

An´ alisis Real III

39

Ejemplo 2.2.2 Si X = {a, b, c} y A = {∅, {a}, {b, c}, {a, b, c}} entonces (X, A) es un espacio medible. Ejemplo 2.2.3 Sea X un conjunto no vac´ıo, ∅ ̸= A ⊆ X y consideremos A = {∅, A, Ac , X} entonces (X, A) es un espacio medible. M´as a´ un, A es la m´as peque˜ na σ-´algebra que contiene al subconjunto A. Ejemplo 2.2.4 Los subconjuntos de R que son reuniones finitas de intervalos de la forma [a, b[, [a, +∞[ ´o ] − ∞, b[, es un ´algebra pero no una σ-´algebra de R. Proposici´ on 2.2.1 Sea (X, A) un espacio medible. Se cumple: 1. ∅ ∈ A 2. A ∈ A entonces Ac = X − A ∈ A. 3. Si A, B ∈ A entonces A ∩ B ∈ A. 4. Si A, B ∈ A entonces A∆B = (A − B) ∪ (B − A) ∈ A. 5. Si {Ak }k∈N ⊆ A entonces

∞ ∩

Ak ∈ A.

k=1

( Demostraci´ on. 5). X − Ak ∈ A, ∀ k ∈ N, luego X − ∞ ∩

∞ ∩ k=1

) Ak

∞ ∪

=

(X − Ak ) ∈ A. Se sigue que

k=1

Ak ∈ A.



k=1

Observaciones: 1. Una manera equivalente de definir σ-´algebra en X es la siguiente: Decimos que A es una σ-´algebra en X si y s´olo si satisface las siguientes propiedades: (a) X, ∅ ∈ A. (b) Si A ∈ A entonces Ac = X − A ∈ A. ∞ ∪ (c) Si {Ak }k∈N ⊆ A entonces Ak ∈ A. k=1

Queda como ejercicio para el lector mostrar la equivalencia de ambas definiciones. 2. Toda σ-´ algebra es una colecci´on de conjuntos que es cerrada con respecto al complemento, diferencia, uniones (finitas y numerables) e intersecciones (finitas y numerables). Existen otras operaciones entre conjuntos que ser´an de inter´es en lo sucesivo.

An´ alisis Real III

40

Definici´ on 2.2.2 Sea X un conjunto no vac´ıo y {Ak }k∈N una colecci´on numerable de subconjuntos de X. 1. El l´ımite superior y el l´ımite inferior de {Ak }, denotados respectivamente por lim sup{Ak } y lim inf{Ak } se definen como     ∞ ∞ ∞ ∞ ∩ ∪ ∪ ∩   lim sup{Ak } = Aj  y lim inf{Ak } = Aj  k=1

j=k

k=1

j=k

2. Decimos que la colecci´on {Ak } tiene l´ımite si y s´olo si el l´ımite superior y el l´ımite inferior de {Ak }k∈N coinciden. En este caso, denotamos por lim{Ak } al valor com´ un. Ejemplo 2.2.5 Sea X = N y Ak = {n ∈ N; n ≥ k}, desde que Ak+1 ⊆ Ak , se cumple:     ∞ ∞ ∞ ∞ ∩ ∪ ∩ ∪   lim sup{Ak } = Aj  = ∅ y lim inf{Ak } = Aj  = ∅ k=1

j=k

k=1

j=k

Conclu´ımos que la sucesi´on de conjuntos dada tiene l´ımite y lim{Ak } = ∅.



Proposici´ on 2.2.2 Sea X un conjunto no vac´ıo y {Ak }k∈N una colecci´on numerable de subconjuntos de X. 1. Si A1 ⊆ A2 ⊆ A3 ⊆ · · · entonces la colecci´on {Ak } tiene l´ımite y ∞ ∪

lim{Ak } =

Ak

k=1

2. Si A1 ⊇ A2 ⊇ A3 ⊇ · · · entonces la colecci´on {Ak } tiene l´ımite y ∞ ∩

lim{Ak } =

Ak

k=1

Demostraci´ on. 1) Se cumple lim inf{Ak } =



∞ ∩



k=1

∞ ∪

 Aj  =

j=k

Por otro lado, como A1 ⊆ A2 ⊂ A3 ⊆ · · ·, entonces

∞ ∪

lim sup{Ak } =

k=1

 

∞ ∪ j=k

 Aj  =

Ak .

k=1 ∞ ∪

Aj =

∞ ∩ k=1

Aj , luego

j=1

j=k ∞ ∩

∞ ∪

 

∞ ∪ j=1

 Aj  =

∞ ∪ j=1

Aj

An´ alisis Real III

Conclu´ımos que la sucesi´on de conjuntos dada tiene l´ımite y lim{Ak } =

∞ ∪

Aj .

41



j=1

Corolario 1. Sea ıo y {Ak }k∈N una colecci´on numerable de subconjuntos de X.  X unconjunto   no vac´ ∞ ∞ ∪  ∩  Las colecciones Aj Aj y tienen l´ımite y     j=k

lim

k∈N

 ∞ ∪ 

Aj

j=k

Demostraci´ on. Sea Bk =

∞ ∪

j=k

  

k∈N

= lim sup{Ak }

y

lim

 ∞ ∩ 

j=k

  Aj



= lim inf{Ak }

Aj . Se sigue que B1 ⊇ B2 ⊇ B3 ⊇ · · ·. Por la proposici´on anterior {Bk }

j=k

tiene l´ımite y lim{Bk } =

∞ ∩ k=1

Bk =

∞ ∩ k=1

 

∞ ∪

 Aj  = lim sup{Ak }



j=k

Corolario 2. Sea (X, A) un espacio medible y {Ak }k∈N ⊆ A entonces lim sup{Ak } ∈ A, lim inf{Ak } ∈ A y en caso que exista lim{Ak } ∈ A. 

Demostraci´ on. ¡Ejercicio!

Proposici´ on ∩2.2.3 Si X es un conjunto no vac´ıo y {Ai }i∈I es una colecci´on arbitraria de σ-´algebras en X entonces Ai es una σ-´algebra de X. i∈I



Demostraci´ on. ¡Ejercicio!

Para finalizar la secci´on, sea X un conjunto no vac´ıo y consideremos F una familia cualquiera de subconjuntos de X. Vamos a probar que existe una m´ınima σ-´algebra de X que contiene a F. En efecto, definamos B = {A; A es una σ-´algebra de X y F ⊆ A} Claramente B = ̸ ∅. Consideremos σ(F) =

∩

A

A∈B

De la Proposici´on 2.2.3 se tiene que σ(F) es una σ-´algebra de X y F ⊆ σ(F), adem´as, si A′ es cualquier σ-´algebra de X que contiene a F entonces por definici´on A′ ∈ B, luego σ(F) ⊆ A′ , por tanto σ(F) es la m´ınima σ-´algebra de X que contiene a F. σ(F) se llama σ-´ algebra de X generada por la familia F. Si (X, τ ) es un espacio topol´ogico, entonces σ(τ ) es llamada σ-´ algebra de Borel y sus elementos son llamados boreleanos o conjuntos de Borel. En particular, todo conjunto abierto y todo conjunto cerrado es un boreleano. Tambi´en lo est´an las uniones numerables de conjuntos cerrados (Fσ ), las intersecciones numerables de conjuntos abiertos (Gδ ) y as´ı sucesivamente. Denotaremos por B(X) al σ-´algebra de Borel del espacio topol´ogico (X, τ ).

An´ alisis Real III

2.3

42

Medidas

Definici´ on 2.3.1 Sea (X, A) un espacio medible. Decimos que la funci´on µ : A → [0, ∞] es una medida positiva o simplemente medida si y s´olo si µ es completamente significa que para toda colecci´on ( ∞aditiva, ) esto ∞ ∪ ∑ numerable y disjunta dos a dos {Ak }k∈N ⊆ A se tiene µ Ak = µ(Ak ). k=1

k=1

Decimos que la terna (X, A, µ) es un espacio de medida si y s´olo si X es un conjunto no vac´ıo y A es una σ-´algebra en X y µ : A → [0, +∞] es una medida. Observaciones: 1. En la definici´on anterior consideramos

∞ ∑

µ(Ak ) ∈ [0, +∞], es decir la suma de la serie puede ser

k=1

un n´ umero real no negativo o incluso el infinito. 2. Para evitar casos triviales, haremos siempre la suposici´on que existe A ∈ A tal que µ(A) < ∞. 3. Si µ(X) < ∞ decimos que µ es una medida finita. 4. Si µ(X) = 1, decimos que µ es una probabilidad sobre X. 5. Si existe una familia numerable {Xk } ⊆ A tales que X =

∞ ∪

Xk y µ(Xk ) < ∞ entonces decimos

k=1

que µ es una medida σ-finita. Ejemplo 2.3.1 Sea (X, A) un espacio medible, si µ : A → [0, +∞] se define como µ(A) = 0, ∀ A ∈ A entonces µ es una medida, la cual es llamada medida nula. Ejemplo 2.3.2 Sea (X, A) un espacio medible, si µ : A → [0, +∞] se define como µ(∅) = 0 y µ(A) = ∞, ∀ A ∈ A, A ̸= ∅ entonces µ es una medida. Ejemplo 2.3.3 Sea X un conjunto no vac´ıo y P(X) su conjunto potencia. Ya sabemos que (X, P(X)) es un espacio medible. Si definimos µ : P(X) → [0, +∞] por { card (A), si A es finito µ(A) = ∞, caso contrario entonces (X, P(X), µ) es un espacio de medida. La medida µ es llamada medida de conteo. Ejemplo 2.3.4 Sea (X, A) un espacio medible y fijemos un a ∈ X. Definimos δa : A → [0, +∞] como { 1, si a ∈ A δa (A) = 0, si a ∈ /A entonces (X, A, δa ) es un espacio de medida. La medida δa es llamada medida de Dirac centrada en a.

An´ alisis Real III

43

Ejemplo 2.3.5 Sea (X, A, µ) un espacio de medida y fijemos un E ∈ A. Consideramos µE : A → [0, +∞] definida por µE (A) = µ(A ∩ E). Entonces (X, un, si µ(E) ∈]0, ∞[, A, µE ) es un espacio de medida. M´as a´ µ(A ∩ E) . Se sigue que µ es una medida, la cual podemos definir µ : A → [0, +∞] como µ (A) = µ(E) E E E es llamada medida condicional. Ejemplo 2.3.6 (X, A, µ) es un espacio de medida y fijemos un E ∈ A. Consideramos AE = {E ∩ A; A ∈ A} y µE = µ A : AE → [0, +∞]. Entonces (E, AE , µE ) es un espacio de medida. E

Observaci´ on: Por el momento, vamos a aceptar las siguientes reglas aritm´eticas al operar con el infinito: 1. a + ∞ = ∞, ∀ a ∈ R 2. ∞ + ∞ = ∞ No est´a definido el valor de ∞ − ∞ Teorema 2.3.1 Sea (X, A, µ) un espacio de medida. Se cumple: 1. µ(∅) = 0. ( 2. Si A1 , . . . , An ∈ A son disjuntos dos a dos entonces µ

n ∪ k=1

) Ak

=

n ∑

µ(Ak ).

k=1

3. Si A, B ∈ A y A ⊆ B entonces µ(A) ≤ µ(B). 4. Si A, B ∈ A, A ⊆ B y µ(A) < ∞ entonces µ(B − A) = µ(B) − µ(A). 5. µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B) = µ(A) + µ(B), ∀ A, B ∈ A Demostraci´ on. 1) Sea A ∈ A tal que µ(A) < ∞, consideramos A1 = A, A2 = A3 = · · · = ∅ entonces {Ak } ⊆ A es una familia disjunta dos a dos y (∞ ) ∞ ∞ ∪ ∑ ∑ Ak = µ(Ak ) = µ(A) + µ(∅) µ(A) = µ(A ∪ ∅) = µ k=1

Luego

∑

k=1

k=2

µ(∅) converge a cero y por tanto µ(∅) = 0.

k,2

2) Sean An+1 = An+2 = · · · = ∅, entonces {Ak } ⊆ A es una familia disjunta dos a dos y ( n ) (∞ ) ∞ n ∞ n ∪ ∪ ∑ ∑ ∑ ∑ µ Ak = µ Ak = µ(Ak ) = µ(Ak ) + µ(Ak ) = µ(Ak ) k=1

k=1

k=1

k=1

k=n+1

k=1

An´ alisis Real III

44

3) Como B = A ∪ (B − A), por la parte 2) se tiene µ(B) = µ(A ∪ (B − A)) = µ(A) + µ(B − A) ≥ µ(A) 4) De la parte anterior µ(B) = µ(A) + µ(B − A) y como µ(A) < ∞ entonces µ(B − A) = µ(B) − µ(A). 5) Si µ(A ∩ B) = ∞ entonces, por 3), µ(A) = µ(B) = µ(A ∪ B) = ∞ y la igualdad se cumple trivialmente. Consideremos entonces µ(A ∩ B) < ∞. Como se tiene la uni´on disjunta A ∪ B = [A − (A ∩ B)] ∪ (A ∩ B) ∪ [B − (A ∩ B)] las parte 2) y 4) implican µ(A ∪ B)

µ(A − (A ∩ B)) + µ(A ∩ B) + µ(B − (A ∩ B))

=

= µ(A) − µ(A ∩ B) + µ(A ∩ B) + µ(B) − µ(A ∩ B) 

un simple despeje conduce al resultado. Teorema 2.3.2 Sea (X, A, µ) un espacio de medida y {Ak } ⊆ A entonces (∞ ) ∞ ∪ ∑ Ak ≤ µ µ(Ak ) (µ es completamente subaditiva) k=1

k=1

Demostraci´ on. Sea B1 = A1 , B2 = A2 − A1 , B3 = A3 − (A1 ∪ A2 ), . . . , Bk = Ak − sigue que {Bk } ⊆ A es disjunta dos a dos, Bk ⊆ Ak y

∞ ∪

Bk =

k=1

( µ

∞ ∪

) Ak

( =µ

k=1

∞ ∪

) Bk

=

k=1

∞ ∑

∞ ∪

k−1 ∪

Aj , . . . . Se

j=1

Ak , luego

k=1

µ(Bk ) ≤

k=1

∞ ∑

µ(Ak )



k=1

( Corolario. Sea (X, A, µ) un espacio de medida y {Ak } ⊆ A tales que µ(Ak ) = 0 entonces µ

∞ ∪ k=1

0. Teorema 2.3.3 Sea (X, A, µ) un espacio de medida y {Ak } ⊆ A, se cumplen: 1. Si A1 ⊆ A2 ⊆ · · · ⊆ Ak ⊆ · · · entonces lim µ(Ak ) = µ

k→∞

(

∞ ∪ k=1

) Ak

= µ (lim{Ak })

) Ak

=

An´ alisis Real III

45

2. Si A1 ⊇ A2 ⊇ · · · ⊇ Ak ⊇ · · · y µ(A1 ) < ∞ entonces ) (∞ ∩ Ak = µ (lim{Ak }) lim µ(Ak ) = µ k→∞

k=1

Demostraci´ on. 1. Consideramos B1 = A1 y Bn = An − An−1 , ∀ n ≥ 2. Se sigue que {Bn } es una colecci´on disjunta dos a dos de conjuntos medibles. No es dif´ıcil demostrar que se cumplen: An =

n ∪

Bk ,

∀n≥1

∞ ∪

y

An =

n=1

k=1

∞ ∪

Bk

k=1

luego (∞ ) (∞ ) ( n ) n ∞ ∪ ∑ ∪ ∑ ∪ µ An = µ Bk = µ(Bk ) = lim µ(Bk ) = lim µ Bk = lim µ(An ) n=1

k=1

n→∞

k=1

n→∞

k=1

k=1

n→∞

2. De la hip´otesis se sigue que {A1 − An } ⊆ A y A1 − A2 ⊆ A1 − A3 ⊆ · · ·, de la parte 1) se sigue que (∞ ) ∪ (A1 − Ak ) lim µ(A1 − Ak ) = µ k→∞

k=1

Por otro lado, como µ(A1 ) < ∞ entonces µ(Ak ) < ∞, ∀ k ≥ 1, luego µ(A1 − Ak ) = µ(A1 ) − µ(Ak ),

∀k≥1

Adem´as, por teor´ıa de conjuntos: ∞ ∪

(A1 − Ak ) = A1 −

k=1

∞ ∩

Ak

k=1

Reemplazando las dos u ´ltimas igualdades en la primera y teniendo en cuenta que la intersecci´on tiene medida finita, llegamos a: ( µ(A1 ) − lim µ(Ak ) = lim [µ(A1 ) − µ(Ak )] = µ A1 − k→∞

k→∞

∞ ∩

) Ak

( = µ(A1 ) − µ

k=1

∞ ∩

) Ak

k=1



de donde se sigue el resultado.

Observaci´ on: Sea X = {1, 2, 3, . . .} A = P(X) y µ : A → [0, ∞] la medida de conteo. Si Ak = ∞ ∩ {k, k + 1, k + 2, . . .} entonces {Ak } ⊆ A, A1 ⊇ A2 ⊇ · · · ⊇ Ak ⊇ · · ·, Ak = ∅ y µ(Ak ) = ∞, ∀ k ∈ N. k=1

Esto muestra que la hip´otesis µ(A1 ) es necesaria en la parte 2) del teorema anterior.

An´ alisis Real III

2.4

46

Caracterizaci´ on de una medida. Unicidad

Las σ-´algebras, en particular los borelianos, son familias que tienen muchos elementos y es imposible describir todos ellos. Por ejemplo, ya hemos visto que si (X, τ ) es un espacio topol´ogico, su σ-´algebra de borel σ(τ ) contiene no solamente a los abiertos y los cerrados, sino que tambi´en a las intersecciones numerables de abiertos (los Gδ ), las uniones numerables de cerrados (los Fδ ), las uniones e intersecciones numerables de tales conjuntos, etc. De esta manera, verificar que dos medidas, definidas sobre una σ-´algebra, son iguales ser´ıa una tarea muy dif´ıcil si es que no contamos con algunos resultados de caracterizaci´on. En esta secci´on, estudiamos algunos de estos resultados. Definici´ on 2.4.1 Sea X un conjunto no vac´ıo. Una colecci´on Λ de subconjuntos de X es llamada λ-sistema en X si y s´olo si satisface las siguientes propiedades: 1. ∅ ∈ Λ. 2. Si {Ak }k∈N ⊆ Λ es una sucesi´on creciente, es decir A1 ⊆ A2 ⊆ · · · entonces

∞ ∪

Ak ∈ Λ. (Estabilidad

k=1

por uniones numerables crecientes) 3. Si A, B ∈ Λ y A ⊆ B entonces B − A ∈ Λ. (Estabilidad por diferencia propia) Proposici´ on 2.4.1 Sea X un conjunto no vac´ıo y F ⊆ P(X), existe un m´ınimo λ-sistema Λ(F) que contiene a F Demostraci´ on. Definimos B = {Λ; Λ es una λ-sistema de X y F ⊆ Λ} Claramente P(X) ∈ B y por tanto B = ̸ ∅. Consideremos ∩ Λ(F) = Λ Λ∈B

No es dif´ıcil demostrar que Λ(F) cumple las condiciones de la Proposici´on.



Notaci´ on: Λ(F) se llama λ-sistema de X generado por la familia F. ¿Qu´e relaci´on existe entre un λ-sistema y una σ-´algebra? En primer lugar, observamos que toda σ-´algebra es un λ-sistema (¡Ejercicio!), pero el rec´ıproco no es cierto (¡Ejercicio!). Sin embargo, asumiendo algunas condiciones adicionales, el λ-sistema se torna una σ-´algebra Proposici´ on 2.4.2 Sea X un conjunto no vac´ıo y Λ ⊆ P(X) un λ-sistema de X. Si se cumple 1. X ∈ Λ.

An´ alisis Real III

47

2. Si A, B ∈ Λ entonces A ∩ B ∈ Λ. (Estabilidad por intersecciones finitas) Entonces Λ es una σ-´ algebra de X. Demostraci´ on. Por i) se tiene que X ∈ Λ. Sea A ∈ Λ entonces Ac = X − A ∈ Λ. Antes de considerar familias numerables, primeramente veamos el caso finito. Sean A, B ∈ Λ, entonces c

A ∪ B = (Ac ∩ B c ) ∈ Λ Se sigue que si A1 , . . . , An ∈ Λ entonces

n ∪

Ak ∈ Λ.

k=1

Finalmente, sea {Ak }k∈N ⊆ Λ, consideremos Bn =

n ∪

Ak . Se sigue que {Bn }n∈N ⊆ Λ, B1 ⊆ B2 ⊆

k=1

B3 ⊆ . . .. Por la estabilidad de los λ-sistemas con relaci´on a uniones numerables crecientes, se tiene que ∞ ∪ k=1

Ak =

∞ ∪

Bn ∈ Λ

n=1

Se sigue que Λ es una σ-´ algebra de X.



Observaci´ on: Una familia F ⊆ P(X) que satisface las dos condiciones siguientes 1. X ∈ F . 2. Si A, B ∈ F entonces A ∩ B ∈ F . (Estabilidad por intersecciones finitas) es llamada π-sistema. Teorema 2.4.3 Sea X un conjunto no vac´ıo, si F ⊆ P(X) es un π-sistema, entonces Λ(F) = σ(F) Demostraci´ on. Como F ⊆ σ(F) y σ(F) es un λ-sistema entonces Λ(F) ⊆ σ(F). Rec´ıprocamente, como Λ(F) es un λ-sistema tal que X ∈ F ⊆ Λ(F), por la Proposici´on 2.4.2, para demostrar que Λ(F) es una σ-´algebra, es suficiente probar que Λ(F) es estable por intersecciones finitas. Afirmaci´ on: Si F ∈ F y A ∈ Λ(F) entonces F ∩ A ∈ Λ(F). En efecto, dado F ∈ F, definimos el conjunto ΛF = {A ∈ Λ(F); A ∩ F ∈ Λ(F)} No es dif´ıcil probar que ΛF es un λ-sistema (¡Ejercicio!). Si E ∈ F entonces E ∩ F ∈ F ⊆ Λ(F), luego E ∈ ΛF . De esta manera F ⊆ ΛF y por la minimalidad Λ(F) ⊆ ΛF , ∀ F ∈ F. De aqu´ı se sigue inmediatamente la Afirmaci´on. Fijemos ahora B ∈ Λ(F) y consideremos el conjunto ΛB = {A ∈ Λ(F); A ∩ B ∈ Λ(F)}

An´ alisis Real III

48

Se sigue que ΛB es un λ-sistema (¡Ejercicio!) Observe que si F ∈ F, por la Afirmaci´on anterior F ∩ B ⊆ Λ(F), luego F ∈ ΛB . De esta manera F ⊆ ΛB y por la minimalidad Λ(F) ⊆ ΛB , ∀ B ∈ Λ(F). Finalmente, si A, B ∈ Λ(F) entonces A ∈ ΛB y por tanto A ∩ B ∈ Λ(F).  Corolario 1. Sea (X, A) un espacio medible y µ, ν dos medidas finitas sobre (X, A). Suponga que existe un π-sistema F ⊆ P(X) tal que A = σ(F). Si µ(F ) = ν(F ), ∀ F ∈ F entonces µ = ν. Demostraci´ on. Definimos Λ = {A ∈ A; µ(A) = ν(A)} ⊆ A Afirmaci´ on: Λ es un λ-sistema. En efecto, es claro que ∅ ∈ Λ. Sea {Ak }k∈N ⊆ Λ tal que A1 ⊆ A2 ⊆ · · ·. Se cumple: (∞ ) (∞ ) ∪ ∪ µ Ak = µ(lim{Ak }) = lim µ(Ak ) = lim ν(Ak ) = ν Ak k→∞

k=1

Entonces

∞ ∪

k→∞

k=1

Ak ∈ Λ.

k=1

Finalmente, sean A, B ∈ Λ con A ⊆ B, por la finitud de las medidas se cumple µ(B − A) = µ(B) − µ(A) = ν(B) − ν(A) = ν(B − A) luego B − A ∈ Λ. La Afirmaci´on est´a probada. Como por hip´otesis F ⊆ Λ, se tiene que Λ(F) ⊆ Λ. Por el Teorema 2.4.3 y la hip´otesis A = σ(F) = Λ(F) ⊆ Λ. Por tanto Λ = A.



Corolario 2. Sea (X, A) un espacio medible y µ, ν dos medidas sobre (X, A). Suponga que existe una familia F ⊆ A que verifica las tres condiciones siguientes: 1. F es un π-sistema y σ(F) = A. 2. µ(F ) = ν(F ), ∀ F ∈ F . 3. Existe {Fn }n∈N ⊆ F tal que F1 ⊆ F2 ⊆ · · ·, X =

∞ ∪

Fn y µ(Fn ) = ν(Fn ) < ∞.

n=1

Entonces µ = ν. Demostraci´ on. Fijemos n ∈ N y consideremos µn , νn : A → [0, +∞] definidas por µn (A) = µ(A ∩ Fn ),

νn (A) = ν(A ∩ Fn ),

∀A∈A

An´ alisis Real III

49

Se sigue que µn y νn son medidas finitas sobre A. Sea F ∈ F , como F ∩ Fn ∈ F, por la hip. 2. tenemos µn (F ) = µ(F ∩ Fn ) = ν(F ∩ Fn ) = νn (F ) Por el Corolario 1 µn = νn sobre A, ∀ n ∈ N. ∞ ∪ Sea A ∈ A, entonces A = (A ∩ Fn ), se tiene que A ∩ F1 ⊆ A ∩ F2 ⊆ · · ·, luego n=1

µ(A) =

µ(lim{A ∩ Fn }) = lim µ(A ∩ Fn ) = lim µn (A) = lim νn (A) = lim ν(A ∩ Fn ) n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

= ν(lim{A ∩ Fn }) = ν(A) 

Por tanto µ = ν.

2.5

Medidas exteriores

Definici´ on 2.5.1 Sea X ̸= ∅ y consideremos su conjunto potencia P(X). Una medida exterior en X es una funci´on µe : P(X) → [0, +∞] que verifica las tres condiciones siguientes: 1. µe (∅) = 0. 2. P ⊆ Q ⇒ µe (P ) ≤ µe (Q). 3. Si {Pk }k∈N ⊆ P(X) entonces µe

(

∞ ∪ k=1

) Pk

≤

∞ ∑

µe (Pk ).

k=1

Observaciones: 1. Sea (X, A) un espacio medible, toda medida µ : A → [0, +∞] satisface las tres condiciones de la definici´on anterior, sin embargo ella no es una medida exterior a menos que A = P(X). 2. Una medida exterior no necesariamente es una medida puesto que las medidas exteriores no son necesariamente completamente aditivas. El teorema siguiente nos dice que a toda medida se le puede asociar de manera natural una medida exterior. Teorema 2.5.1 Dado un espacio de medida (X, A, µ), definimos la funci´on µ∗ : P(X) → [0, +∞] como µ∗ (P ) = inf {µ(A); A ∈ A y P ⊆ A} , Entonces µ∗ es una medida exterior en X.

∀ P ∈ P(X)

An´ alisis Real III

50

Demostraci´ on. No es dif´ıcil probar que µ∗ satisface las dos primeras condiciones de la Definici´on 2.5.1. Para demostrar la tercera condici´on, consideremos {Pk }k∈N ⊆ P(X), dado ϵ > 0 para cada k ∈ N tenemos que µ∗ (Pk ) < µ∗ (Pk ) + 2−k ϵ, luego, por la definici´on de ´ınfimo, tenemos que existe Ak ∈ A con Pk ⊆ Ak tal que µ(Ak ) < µ∗ (Pk ) + 2−k ϵ. ∪ ∪ ∪ Como Ak ∈ A y Pk ⊆ Ak entonces k∈N

k∈N

( ∗

µ

∞ ∪

) ≤µ

Pk

k=1

k∈N

(

∞ ∪

) ≤

Ak

k=1

∞ ∑

µ(Ak ) ≤

k=1

∞ ∑

[µ∗ (Pk ) + 2−k ϵ] =

k=1

∞ ∑

µ∗ (Pk ) + ϵ

k=1



Como el ϵ > 0 fue arbitrario, la condici´on 3. se sigue. Observaci´ on: µ∗ es llamada medida exterior asociada a la medida µ.

Teorema 2.5.2 Sea (X, A, µ) un espacio de medida, sea µ∗ : P(X) → [0, +∞] su medida exterior asociada y sea {Pk }k∈N ⊆ P(X). 1. Si P1 ⊆ P2 ⊆ P3 ⊆ · · · entonces µ∗ (lim{Pk }) = lim µ∗ (Pk ) k→∞

∗

∗

2. µ (lim inf{Pk }) ≤ lim inf{µ (Pk )} Demostraci´ on. 1. Por la parte 1 de la Proposici´on 2.2.2 tenemos Pk ⊆

∞ ∪

Pj = lim{Pk },

∀k∈N

j=1

luego µ∗ (Pk ) ≤ µ∗ (lim{Pk }), ∀ k ∈ N y por tanto lim µ∗ (Pk ) ≤ µ∗ (lim{Pk })

k→∞

Para probar la otra desigualdad, para cada k ∈ N, por definici´on de ´ınfimo tenemos que existe Ak ∈ A 1 con Pk ⊆ Ak tal que µ(Ak ) < µ∗ (Pk ) + . k ∞ ∞ ∩ ∩ Observe que Pk = Pj ⊆ Aj , ∀ k ∈ N, luego j=k

j=k

lim{Pk } =

∞ ∪ k=1

Pk ⊆

∞ ∪ k=1

 

∞ ∩

 Aj  = lim inf{Ak } ∈ A,

j=k

Por lo anterior, el Corolario 1 a la Proposici´on 2.2.2 y la parte 1 del Teorema 2.3.3, tenemos      ∞ ∞ ∩  ∩ µ∗ (lim{Pk }) ≤ µ (lim inf{Ak }) = µ lim Aj  = lim µ  Aj    k→∞ j=k

j=k

An´ alisis Real III  Por otro lado, µ 

∞ ∩ j=k

51

  ∞ ∩ 1 Aj  ≤ lim µ∗ (Pk ) y por Aj  ≤ µ(Ak ) < µ∗ (Pk ) + , ∀ k ∈ N, luego lim µ  k→∞ k→∞ k 

j=k

tanto

µ∗ (lim{Pk }) ≤ lim µ∗ (Pk ) k→∞

2. Sea {Pk }k∈N ⊆ P(X) familia numerable arbitraria y denotemos α = lim inf µ∗ (Pk ). Si α = +∞ entonces no hay nada que demostrar. Consideremos el caso en que α < +∞. Dado ϵ > 0 se tiene que { } α + ϵ > sup inf {µ∗ (Pj )} ≥ inf {µ∗ (Pj )} , ∀ k ∈ N k≥1

j≥k

j≥k

Luego, dado k ∈ N, existe jk ≥ k tal que µ∗ (Pjk ) < α + ϵ. De otro lado, por el Corolario 1 a la Proposici´on 2.2.2 y la parte 1), tenemos      ∞ ∞ ∩  ∩ ∗ ∗ ∗ µ (lim inf{Pk }) = µ lim Pj  = lim µ  Pj    k→∞ j=k

Observe que, para cada k ∈ N se tiene que

∞ ∩

j=k

Pj ⊆ Pjk luego

j=k

 µ∗ 

∞ ∩

 Pj  ≤ µ∗ (Pjk ) < α + ϵ,

∀k∈N

j=k

y por tanto µ∗ (lim inf{Pk }) ≤ α + ϵ, ∀ ϵ > 0. De aqu´ı, la desigualdad se sigue.



Definici´ on 2.5.2 Sea (X, A, µ) un espacio de medida. Decimos que µ es una medida completa si y solo si para todo A ∈ A con µ(A) = 0 se tiene que N ⊆ A entonces N ∈ A. El siguiente teorema nos proporciona un procedimiento para construir un espacio de medida completa a partir de una medida exterior. Teorema 2.5.3 (Caratheodory) Sea X ̸= ∅ y sea µe : P(X) → [0, +∞] una medida exterior en X. Definimos A = {A ⊆ X; µe (A ∩ P ) + µe (Ac ∩ P ) ≤ µe (P ), ∀ P ⊆ X} y µ = µe A

Entonces (X, A, µ) es un espacio de medida y µ es completa. Demostraci´ on. Vamos a empezar demostrando que A es una σ-´algebra en X. Es claro que X ∈ A y que si A ∈ A entonces Ac ∈ A. Afirmaci´ on 1: A, B ∈ A entonces A ∩ B ∈ A. En efecto, sea P ⊆ X, por definici´on de A tenemos:

An´ alisis Real III

µe (P ) ≥ µe (A ∩ P ) + µe (Ac ∩ P )

y

52

µe (P ) ≥ µe (B ∩ P ) + µe (B c ∩ P )

Sumando: 2µe (P ) ≥ µe (A ∩ P ) + µe (Ac ∩ P ) + µe (B ∩ P ) + µe (B c ∩ P )

(2.1)

Por otro lado µe (A ∩ P ) µe (Ac ∩ P ) µe (B ∩ P ) µe (B c ∩ P )

≥ µe (B ∩ A ∩ P ) + µe (B c ∩ A ∩ P ) ≥ µe (B ∩ Ac ∩ P ) + µe (B c ∩ Ac ∩ P ) ≥ µe (A ∩ B ∩ P ) + µe (Ac ∩ B ∩ P ) ≥ µe (A ∩ B c ∩ P ) + µe (Ac ∩ B c ∩ P )

Sumando las 4 desigualdades anteriores, reemplazando en (2.1) y simplificando, llegamos a µe (P ) ≥ µe (A ∩ B ∩ P ) + µe (Ac ∩ B ∩ P ) + µe (A ∩ B c ∩ P ) + µe (Ac ∩ B c ∩ P )

(2.2)

Pero (A ∩ B)c = Ac ∪ B c = (Ac ∩ B) ∪ (B c ∩ A) ∪ (Ac ∩ B c ) en donde la uni´ on anterior es disjunta. De aqu´ı se tiene que µe ((A ∩ B)c ∩ P ) ≤ µe ((Ac ∩ B) ∩ P ) + µe ((B c ∩ A) ∩ P ) + µe ((Ac ∩ B c ) ∩ P ) Finalmente, reemplazando en (2.2) tenemos µe (P ) ≥ µe (A ∩ B ∩ P ) + µe ((A ∩ B)c ∩ P ) Como P ⊆ X fue arbitrario, la Afirmaci´on 1 est´a probada. De la Afirmaci´on 1 se sigue inmediatamente que si A, B ∈ A entonces A ∪ B ∈ A. De aqu´ı se sigue que la familia A es cerrada por intersecciones finitas y uniones finitas. Afirmaci´ on 2: Si A, B ∈ A son disjuntos entonces µe ((A ∪ B) ∩ P ) ≥ µe (A ∩ P ) + µe (B ∩ P ), ∀ P ⊆ X. En efecto, sea P ⊆ X, como A ∈ A, se tiene que µe (Q) ≥ µe (A ∩ Q) + µe (Ac ∩ Q),

∀Q⊆X

Tomando Q = (A ∪ B) ∩ P y teniendo en cuenta que A ∩ B = ∅, tenemos µe ((A ∪ B) ∩ P )

≥ µe (A ∩ (A ∪ B) ∩ P ) + µe (Ac ∩ (A ∪ B) ∩ P ) ≥ µe (A ∩ P ) + µe (Ac ∩ B ∩ P ) = µe (A ∩ P ) + µe (B ∩ P )

lo cual prueba la Afirmaci´on 2. Sea {A1 , . . . , An } ⊆ A familia disjunta dos a dos, aplicando inducci´on a la Afirmaci´on 2 se llega a (( n ) ) n ∪ ∑ µe Ak ∩ P ≥ µe (Ak ∩ P ), ∀ P ⊆ X k=1

k=1

An´ alisis Real III ∞ ∪

Sea {Ak }k∈N ⊆ A familia disjunta dos a dos y denotemos A = n ∪

53

Ak . Dados P ⊆ X y n ∈ N, como

k=1

Ak ∈ A, tenemos

k=1

(( µe (P ) ≥ µe

)

n ∪

Ak

) ∩P

(( + µe

k=1

Como

n ∪

)c

n ∪

) ∩P

Ak

≥

k=1

( Ak ⊆ A entonces Ac ∩ P ⊆

k=1

n ∑

(( µe (Ak ∩ P ) + µe

k=1

n ∪

)c Ak

) ∩P

k=1

)c

n ∪

∩ P , tomando medida y reemplazando en la

Ak

k=1

desigualdad anterior µe (P ) ≥

n ∑

µe (Ak ∩ P ) + µe (Ac ∩ P ),

∀n∈N

(2.3)

k=1

Tomando l´ımite cuando n → ∞ y usando la subaditividad de la medida exterior se llega a (∞ ) ∞ ∑ ∪ c µe (P ) ≥ µe (Ak ∩ P ) + µe (A ∩ P ) ≥ µe Ak ∩ P + µe (Ac ∩ P ) k=1

k=1

= µe (A ∩ P ) + µe (Ac ∩ P ), Esto prueba que A =

∞ ∪

∀P ⊆X

Ak ∈ A.

k=1

Finalmente, si {Ak }k∈N ⊆ A es una familia arbitraria, entonces podemos construir una familia ∞ ∞ ∪ ∪ {Bk }k∈N ⊆ A familia disjunta dos a dos tal que Bk = Ak . Aplicando la parte anterior a la k=1

familia disjunta, se tiene que su uni´on es´a en A y por tanto

k=1 ∞ ∪

Ak ∈ A. Esto prueba que A es una

k=1

σ-´algebra.

Para probar que µ = µe : A → [0, +∞] es una medida, sea {Ak }k∈N ⊆ A familia disjunta dos a dos A ∞ ∪ y denotemos A = Ak . Se cumple: k=1

( µ(A) = µe (A) = µe

∞ ∪

) Ak

k=1

≤

∞ ∑ k=1

µe (Ak ) =

∞ ∑

µ(Ak )

k=1

Para demostrar la otra desigualdad, ya sabemos (por 2.3) que µe (P ) ≥ ∀ P ⊆ X. Tomando P = A ∈ A, tenemos µ(A) ≥

∞ ∑ k=1

medida.

∞ ∑

µe (Ak ∩ P ) + µe (Ac ∩ P ),

k=1

µ(Ak ). De esta manera (X, A, µ) es un espacio de

An´ alisis Real III

54

Falta probar que µ es medida completa. Sea A ∈ A con µ(A) = 0. Si N ⊆ A entonces µe (N ) ≤ µe (A) = µ(A), luego, para cualquier P ⊆ X tenemos µe (N ∩ P ) + µe (N c ∩ P ) ≤ µe (N ) + µe (P ) = µe (P ), de donde N ∈ A.

2.6



Medida de Lebesgue en Rn

En Rn vamos a construir una σ-´algebra L y una medida completa y σ-finita λ : L → [0, +∞] que tenga las siguientes propiedades: 1. L contiene a los boreleanos de Rn , es decir B(Rn ) ⊆ L. 2. λ(B) = vol (B), ∀ B n-bloque. 3. Si K ⊆ Rn es compacto, entonces λ(K) < +∞. El proceso que seguiremos es construir una medida exterior en Rn que “respete el volumen” y luego aplicar el Teorema de Caratheodory. n ∏ Sea F la familia de todos los n-bloques del tipo B = ]ai , bi ], ya sabemos que i=1

vol (B) = (b1 − a1 ) · · · (bn − an ) Denotemos por C a la familia formada por uniones finitas de miembros de F. No es dif´ıcil probar que si C, D ∈ C entonces C ∪ D, C ∩ D, C − D ∈ C. Observaci´ on: C ∪ {Rn } es un ´algebra en Rn . Sea C ∈ C, por definici´on existen {B1 , . . . , Bm } ⊆ F tales que C =

m ∪

Bk . Sin p´erdida de generalidad,

k=1

podemos tomar {B1 , . . . , Bm } ⊆ F disjuntos dos a dos y de esta manera podemos definir el volumen de C como m ∑ vol (C) = vol (Bk ) k=1

Se puede demostrar que el volumen de C est´a bien definido, es decir, si {B1′ , . . . , Br′ } ⊆ F es otra r m r ∪ ∑ ∑ colecci´on disjunta dos a dos tal que C = Bk′ entonces vol (Bk ) = vol (Bk′ ). k=1

k=1

k=1

Queda como ejercicio para el lector demostrar las siguientes propiedades del volumen: Sean C1 , C2 ∈ C, 1. Si C1 ⊆ C2 entonces vol (C1 ) ≤ vol (C2 ). 2. vol (C1 ∪ C2 ) + vol (C1 ∩ C2 ) = vol (C1 ) + vol (C2 ).

An´ alisis Real III

55

3. vol (C1 ∪ C2 ) ≤ vol (C1 ) + vol (C2 ) Lema 2.6.1 Sea {Ck }k∈N ⊆ C tal que C1 ⊇ C2 ⊇ C3 ⊇ · · · y lim{Ck } = ∅. Entonces lim vol (Ck ) = 0. k→∞

Demostraci´ on. Por definici´on Ck =

∪

Bjk , donde Jk es un conjunto finito de ´ındices y {Bjk }j∈Jk ⊆ F

j∈Jk

es disjunta dos a dos. ′ Para cada k ∈ N, denotemos por Bjk al transformado de Bjk por la homotecia Hk de centro el de Bjk y de raz´on ρk , donde 0 < ρk < 1. (M´as espec´ıficamente, denotando Iϵ ]a] = ]a − ϵ, a + ϵ], entonces n n ∏ ∏ B= Iϵm ]am ] ∈ F , luego B ′ = Hk [B] = Iρk ϵm ]am ] ∈ F ). Note que lim Hk [B] = B. m=1

Sea Ck′ =

∪

ρk →1−

m=1

′ Bjk , es claro que Ck′ ⊆ Ck pero no necesariamente se cumple C1′ ⊇ C2′ ⊇ C3′ ⊇ · · ·.

j∈Jk

Para seguir trabajando con sucesiones encajantes de conjuntos, definimos Dk = C1′ ∩ C2′ ∩ · · · ∩ Ck′ ,

∀k∈N

La sucesi´on {Dk } ⊆ C satisface: 1. D1 ⊇ D2 ⊇ D3 ⊇ · · · 2. Dk ⊆ Ck , ∀ k ∈ N. 3. Ck − Dk ⊆ (C1 − C1′ ) ∪ · · · ∪ (Ck − Ck′ ) ϵ Dado ϵ > 0, para cada k ∈ N, elegimos ρk suficientemente pr´oximo a 1 tal que vol (Ck − Ck′ ) < k , 2 luego k k ∑ ∑ ϵ vol (Ck − Dk ) ≤ vol (Cj − Cj′ ) < 0 tal que Br (x) ⊆ U . 1 r Existe k ∈ N tal que k < √ . 2 2 Existen α, β ∈ N tales que α < 2k x1 ≤ α + 1 y β < 2k x2 ≤ β + 1. Se sigue que ] ] ] ] β β+1 α α+1 × k, k ∈ Fk x ∈ Bk = k , k 2 2 2 2

An´ alisis Real III

57

Sea y = (y1 , y2 ) ∈ Bk , entonces ∥y − x∥2 = (y1 − x1 )2 + (y2 − x2 )2
0, existe C = Cϵ ∈ C tal que vol (U ) < vol (C)+ϵ. ) (∞ ∞ ∑ ∪ n 4. Si {Uk } es una colecci´on numerable de abiertos de R entonces vol Uk ≤ vol (Uk ). k=1

k=1

Aprovechando el volumen de abiertos en Rn , podemos definir una medida exterior en Rn . Teorema 2.6.2 La funci´on µe : P(Rn ) → [0, +∞] definida por µe (P ) = inf { vol (U ); U ⊆ Rn es abierto tal que P ⊆ U } es una medida exterior en Rn . Demostraci´ on. Es claro que µe (∅) = 0 y si P ⊆ Q entonces µe (P ) ≤ µe (Q), solo falta probar la subaditividad. {Pk)} ⊆ P(Rn ), si existe k ∈ N tal que µe (Pk ) = ∞ entonces se cumple trivialmente que (Sea ∞ ∞ ∪ ∑ µe Pk ≤ µe (Pk ). Consideremos el caso en que µe (Pk ) < ∞, ∀ k ∈ N. k=1

k=1

ϵ Dado ϵ > 0, existe Uk ⊆ Rn abierto con Pk ⊆ Uk tal que vol (Uk ) < µe (Pk ) + k . 2 (∞ ) ∞ ∞ ∞ ∞ ∪ ∪ ∪ ∪ ∑ n Como Uk ⊆ R es abierto, Pk ⊆ Uk y desde que vol Uk ≤ vol (Uk ), entonces k=1

k=1

( µe

∞ ∪

) Pk

k=1

( ≤ vol

k=1

∞ ∪

k=1

k=1

) Uk

≤

∞ ∑

vol (Uk ) ≤

k=1

∞ ∑

k=1

µe (Pk ) + ϵ

k=1



Como el ϵ > 0 fue arbitrario, se tiene la subaditividad.

Observaci´ on: No es dif´ıcil probar que si B ∈ F entonces µe (B) = vol (B). Adem´as es claro que µe (U ) = vol (U ), ∀ U ⊆ Rn abierto. De esta manera la funci´on µϵ extiende al volumen. Teorema 2.6.3 Sean L = {A ⊆ R ; µe (A ∩ P ) + µe (A ∩ P ) ≤ µe (P ), ∀ P ⊆ R } y λ = µe entonces n

c

n

L

1. (Rn , L, λ) es un espacio de medida σ-finita y completa. 2. F ⊆ L y λ(B) = vol (B), ∀ B ∈ F 3. U ⊆ Rn es abierto, entonces U ∈ L y λ(U ) = vol (U ).

An´ alisis Real III

59

Demostraci´ on. 1. Por el Teorema de Caratheodory (Rn , L, λ) es un espacio de medida completa. Despues de demostrar la parte 2, probaremos que λ es σ-finita. 2. Sea B ∈ F, debemos probar que µe (B ∩ P ) + µe (B c ∩ P ) ≤ µe (P ), ∀ P ⊆ Rn . Seal P ⊆ Rn , si µe (P ) = ∞ entonces no hay nada que probar. Consideremos entonces el caso en que µe (P ) < ∞. Dado ϵ > 0, existe U ⊆ Rn abierto, con P ⊆ U tal que vol (U ) < µe (P ) +

ϵ 2

Por otro lado, como B ∈ F , existen B1 n-bloque cerrado y B2 n-bloque abierto tales que B1 ⊆ B ⊆ B2 y vol (B2 − B1 ) < ϵ/2. Sean U1 = U ∩ B1c , U2 = U ∩ B2 , se tiene que U1 , U2 ⊆ Rn son abiertos que cumplen: U ∩ B ⊆ U2 ⊆ U U ∩ B c ⊆ U1 ⊆ U vol (U1 ∩ U2 ) ≤ vol (B2 − B1 )
0 fue arbitrario, tenemos que B ∈ L y por tanto λ(B) = µe (B) = vol (B), ∀ B ⊆ F . Ahora podemos probar que la medida λ es σ-finita, para ello basta considerar los n-cubos Bk =] − k, k] × · · · ×] − k, k] ∈ F , ∀ k ∈ N ∪ Es claro que {Bk } ⊆ L es tal que Rn = Bk y vol (Bk ) = (2k)n . k∈N

3. Sea U ⊆ Rn abierto, existe {Bk } ⊆ F ⊆ L tal que U =

∪

Bk , luego U ∈ L y, por la observaci´on

k∈N

λ(U ) = µe (U ) = vol (U ).



Notaci´ on: L es llamada la σ-´ algebra de Lebesgue de Rn , sus elementos son llamados conjunto Lebesguen medibles de R o simplemente medibles y λ es llamada la medida de Lebesgue en Rn . Algunas interrogantes sobre la medida de Lebesgue: 1. ¿L contiene estrictamente a los boreleanos B(Rn )’ 2. ¿Existen subconjuntos de Rn que no son Lebesgue-medibles. 3. ¿K ⊆ Rn es compacto entonces λ(K) < +∞? La respuesta a esta interrogantes ser´an dadas en las dos secciones siguientes.

An´ alisis Real III

2.7

60

Algunos Propiedades de la medida de Lebesgue en Rn

Teorema 2.7.1 Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. Sea A ⊆ Rn es medible. 2. Para todo ϵ > 0, existe U = Uϵ ⊆ Rn abierto tal que A ⊆ U y µe (U − A) < ϵ. 3. Para todo ϵ > 0, existe F = Fϵ ⊆ Rn cerrado tal que F ⊆ A y µe (A − F ) < ϵ. Demostraci´ on. (1. ⇒ 2.) Si λ(A) < ∞ entonces existe U ⊆ Rn abierto, con A ⊆ U , tal que λ(U ) < λ(A) + ϵ. Por la parte 4 del Teorema 2.3.1 tenemos que µe (U − A) = λ(U − A) = λ(U ) − λ(A) < ϵ Consideremos ahora el caso en que λ(A) = ∞, existe {Ak }k∈N ⊆ L, con λ(Ak ) < ∞ tal que A =

∞ ∪

Ak .

k=1

Sea ϵ > 0, para cada k ∈ N existe Uk ⊆ Rn abierto, con Ak ⊆ Uk , tal que λ(Uk ) < λ(Ak ) + Sea U =

∞ ∪

Uk , se tiene que U ⊆ Rn es abierto, A ⊆ U y U − A ⊆

k=1

(

µe (U − A) = λ(U − A) ≤ λ

∞ ∪ k=1

(Uk − Ak ), luego

k=1

) (Uk − Ak )

∞ ∪

ϵ . 2k

≤

∞ ∑

λ(Uk − Ak ) =

k=1

∞ ∑

[λ(Uk ) − λ(Ak )] < ϵ

k=1

1 (2. ⇒ 1.) Dado k ∈ N, existe Uk ⊆ Rn abierto tal que A ⊆ Uk y µe (Uk − A) < . k (∞ ) ∞ ∞ ∩ ∩ ∩ Uk − A ⊆ Uk − A, ∀ k ∈ N, luego Consideremos Uk ∈ L, se tiene que A ⊆ Uk . Sea Z = k=1

k=1

k=1

µe (Z) ≤ µe (Uk − A)
0 existe F ⊆ A cerrado tal que λ(A − F )
0, existe U ∈ U(Rn ), con E ⊆ U tal que vol (U ) < ϵ. Por otro lado, como U ∈ Rn abierto, existe {Bk }k∈N ⊆ F , colecci´on disjunta dos a dos, tal que ∞ ∪ U= Bk , y por tanto: k=1

E⊆

∞ ∪ k=1

Bk

y

∞ ∑

vol (Bk ) = vol (U ) < ϵ

k=1

Luego E tiene n-medida cero. Rec´ıprocamente, sea E conjunto de n-medida cero, dado ϵ > 0, existe {Bk }k∈N colecci´on de n-bloques ∞ ∞ ∞ ∪ ∑ ∪ abiertos, tales que E ⊆ Bk y vol (Bk ) < ϵ. Denotando U = Bk , tenemos que U ∈ U(Rn ) y E ⊆ U , luego

k=1

k=1

k=1

0 ≤ µe (E) ≤ vol (U ) < ϵ

Como el ϵ > 0 fue arbitrario, se tiene que µe (E) = 0. Se sigue que E ∈ L y λ(E) = 0. De esta manera, los dos conceptos coinciden. Por otro lado, como L contiene la familia de abiertos de Rn , se sigue que B(Rn ) ⊆ L. Vamos a demostrar que el contenido es estricto, inclusive en dimensi´on 1. En efecto, Rn tiene base numerable de abiertos, como B(Rn ) es generada por esta base, se puede demostrar que card (B(Rn )) = 2ℵ0 = ℵ1 . Por otro lado, el conjunto ternario de Cantor C ⊆ R es un conjunto no numerable que tiene 1-medida cero, luego C es medible y λ(C) = 0. Como la medida de Lebesgue es completa, se tiene que P(C) ⊆ L y como card (P(C)) = 2card (C) = 2ℵ1 = ℵ2 Conclu´ımos que la mayor´ıa de subconjuntos de C no son boreleanos. Otra pregunta interesante, ser´ıa ¿Existen subconjuntos de Rn que no son medibles? El siguiente Teorema responde a la interrogante planteada. Teorema 2.8.1 Si A ⊆ R es tal que P(A) ⊆ L entonces λ(A) = 0 Demostraci´ on: En R definimos la siguiente relaci´on: x ∼ y si y solo si x − y ∈ Q. No es dif´ıcil verificar que “∼” es una relaci´on de equivalencia en R (¡Ejercicio!) Denotemos por E al conjunto obtenido de la elecci´on de un elemento de cada clase del conjunto cociente R/ ∼. Afirmaci´ on 1: (E + r) ∩ (E + s) = ∅, ∀ r, s ∈ Q, r ̸= s. En efecto, puesto que si suponemos que x ∈ (E + r) ∩ (E + s) entonces existen y, z ∈ E tales que x = y + r y x = z + s, se sigue que

An´ alisis Real III

64

y − z = s − r ∈ Q, luego y − z ∈ Q, es decir y ∼ z. Por construcci´on del conjunto E se debe cumplir que y = z y por tanto s − r = 0 lo cual es una contradicci´on. ∪ Afirmaci´ on 2: R = (E + r). En efecto, sea x ∈ R entonces [x] ∈ R/ ∼, sea y ∈ E el representante r∈Q

elegido de la clase [x], entonces r = x − y ∈ Q. Por tanto x = y + r ∈ E + r. Consideremos A ⊆ R tal que P(A) ⊆ L. Para t ∈ Q, definimos At = A ∩ (E + t) ⊆ A. Por hip´otesis At ∈ L. Afirmaci´ on 3: λ(At ) = 0, ∀ t ∈ Q. En efecto, sea K ⊆ At compacto, denotemos Q ∩ [0, 1] = {qj }j∈N y ∞ ∪ sea H = (K + qj ) (uni´on disjunta). Como K ⊆ At ⊆ A entonces K ∈ L, luego K + qj ∈ L, ∀ j ∈ N y j=1

por tanto H =

∞ ∪

(K + qj ) ∈ L. Adem´as H es acotado y por tanto λ(H) < ∞.

j=1

Por otro lado, como K ⊆ At ⊆ E + t entonces {K + qj }j∈N ⊆ L es una familia disjunta dos a dos, luego, por la invarianza de λ con respecto a las traslaciones: λ(H) =

∞ ∑

λ(K + qj ) =

j=1

∞ ∑

λ(K)

j=1

Se sigue que λ(K) = 0. Como K ⊆ At fue cualquier compacto, del Teorema 2.7.2 conclu´ımos que λ(At ) = 0, ∀ t ∈ Q.   ∪ ∪ ∪ Finalmente, A = A ∩ R = A ∩  (E + t) = [A ∩ (E + t)] = At . Se sigue que λ(A) = 0.  t∈Q

t∈Q

t∈Q

Ahora es f´acil demostrar que existe subconjuntos de R que no son Lebesgue medibles. En efecto, caso contrario tendr´ıamos que L = P(R) (Hip. Aux.) entonces, por el Teorema anterior λ(R) = 0, lo cual es una contradicci´ on.

Cap´ıtulo 3

Integraci´ on Abstracta 3.1

Funciones medibles

Definici´ on 3.1.1 Sean (X, A) e (Y, B) dos espacios medibles. Decimos que f : X → Y es una funci´ on (A, B)-medible o simplemente, funci´ on medible si y s´olo si para todo B ∈ B se tiene que f −1 (B) ∈ A. Ejemplo 3.1.1 Sean (X, A) e (Y, B) dos espacios medibles. La funci´on constante f : X → Y f (x) = c, es una funci´on medible. Observaciones: 1. Una manera equivalente de definir funci´on medible es usando el concepto de preimagen de una σ-´algebra. En efecto, sean X ̸= ∅, (Y, B) un espacio de medida y f : X → Y entonces, puede demostrarse (¡Ejercicio!) que la familia { } f −1 [B] = f −1 [B]; B ∈ B es una σ-´ algebra sobre X, llamada σ-´ algebra pre-imagen de f . No es dif´ıcil probar (¡Ejercicio!) que “f : X → Y es una funci´on medible si y s´olo si f −1 (B) ⊆ A” 2. Sean X e Y dos espacios topol´ogicos y consideremos sus σ-´algebras de Borel B(X) y B(Y ). En este caso, una funci´on medible f : (X, B(X)) → (Y, B(Y )) es llamada funci´ on boreliana. 3. En la mayor´ıa de aplicaciones, Y = R, C, R o Rm est´an dotados de sus respectivas σ-´algebras de Borel. 4. Es necesario recordar las siguientes propiedades de la preimagen, las cuales ser´an frecuentemente usadas en el cap´ıtulo. Sea f : X → Y , se cumplen las siguientes propiedades: 65

An´ alisis Real III

66

(a) f −1 [A ∪ B] = f −1 [A] ∪ f −1 [B], ∀ A, B ⊆ Y . (b) f −1 [A ∩ B] = f −1 [A] ∩ f −1 [B], ∀ A, B ⊆ Y . (c) f −1 [Y − A] = X − f −1 [A], ∀ A ⊆ Y . [ ] ∪ ∪ −1 (d) f Bλ = f −1 [Bλ ], ∀ {Bλ } ⊆ Y . λ

(e) f −1

[ ∩ λ

] Bλ =

λ

∩

f −1 [Bλ ], ∀ {Bλ } ⊆ Y .

λ

Teorema 3.1.1 Sea (X, A) un espacio medible, Y un conjunto no vac´ıo, F una familia arbitraria de subconjuntos de Y y consideremos el espacio medible (Y, σ(F)). Son equivalentes las siguientes afirmaciones: 1. f : (X, A) → (Y, σ(F)) es una funci´on medible. 2. Si F ∈ F entonces f −1 (F ) ∈ A Demostraci´ on. 1) ⇒ 2) es evidente. ( ) 2) ⇒ 1) Por hip´otesis f −1 (F) ⊆ A, luego σ f −1 (F) ⊆ A ( ) Afirmaci´ on: f −1 (σ(F)) ⊆ σ f −1 (F) . En efecto, definimos la familia { ( )} B = B ∈ P(Y ); f −1 (B) ∈ σ f −1 (F) No es dif´ıcil probra (¡Ejercicio!) que B es una σ-´algebra de Y . Por otro lado, observe que ( ) f −1 (B) ⊆ σ f −1 (F)

(3.1)

−1 En efecto, si A (∈ f −1 (B) ) entonces existe B ∈ B tal que A = f (B) y como B ∈ B, se tiene que −1 −1 A = f (B) ∈ σ f (F) . Adem´as

F ⊆B ( ) En efecto, si F ∈ F entonces f −1 (F ) ∈ f −1 [F] ⊆ σ f −1 (F) , luego F ∈ B. De (3.2) tenemos que σ(F) ⊆ B y por (3.1) ( ) f −1 (σ(F)) ⊆ f −1 [B] ⊆ σ f −1 (F) lo cual demuestra la Afirmaci´on y el Teorema.

(3.2)



Aplicaci´ on: Veamos las aplicaciones m´as frecuentes del teorema anterior: Sea (X, A) un espacio medible y f : X → Y una funci´on.

An´ alisis Real III

67

1. Sea Y un espacio topol´ogico, denotemos por τ a la colecci´on de sus conjuntos abiertos (topolog´ıa) y consideramos su σ-´ algebra de Borel B(X) = σ(τ ). En este caso f : X → Y una funci´on nedible si y s´olo si U ⊆ Y es abierto implica que f −1 (U ) ∈ A. M´as a´ un, si la topolog´ıa τ de Y admite base numerable V ⊆ τ entonces f : X → Y es una funci´on medible si y s´olo si V ∈ V implica que f −1 (V ) ∈ A. 2. Si Y = R es considerado con su topolog´ıa usual, entonces f : (X, A) → R es una funci´on medible si y s´olo si f −1 (] − ∞, a[) ∈ A, ∀ a ∈ R. En efecto, recordemos que la base de la topolog´ıa usual de R son los intervalos abiertos ]a, b[, luego f ser´a medible si y s´olo si f −1 (]a, b[) ∈ A, ∀ a < b ∈ R. Pero (∞ ] [) c ∩ 1 c ]a, b[ = ] − ∞, b[ ∩ ]a, +∞[= ] − ∞, b[ ∩ ] − ∞, a] = ] − ∞, b[ ∩ −∞, a + n n=1 (

de donde f

−1

(]a, b[) = f

−1

(] − ∞, b[) ∩

∞ ∩ n=1

f

−1

(]

1 −∞, a + n

[))c ∈A

3. Si Y = R = [−∞, +∞], entonces su topolog´ıa tiene como base a intervalos del tipo ]a, b[, [−∞, b[ y ]a, +∞]. Entonces se puede demostrar que f : X → R es una funci´on medible si y s´olo si f −1 ([−∞, a[) ∈ A, ∀ a ∈ R (¡Ejercicio!). 4. Sean (X, τ1 ) e (Y, τ2 ) dos espacios topol´ogicos. Si f : (X, τ1 ) → (Y, τ2 ) es una funci´on continua entonces f : (X, σ(τ1 )) → (Y, σ(τ2 )) es medible. Teorema 3.1.2 Sea (X, A) un espacio medible. Si f : X → Rn es medible y ϕ : Rn → Rm es continua entonces ϕ ◦ f : X → Rm es medible. Demostraci´ on. Sea U ⊆ Rm abierto entonces ϕ−1 (U ) es abierto, luego (ϕ◦f )−1 (U ) = f −1 (ϕ−1 (U )) ∈ A. Se sigue que ϕ ◦ f : X → Rm es medible.  Teorema 3.1.3 Sea (X, A) un espacio medible. Si f, g : X → R son funciones medibles y ϕ : R2 → R es continua entonces la funci´on h : X → R definida por h(x) = ϕ(f (x), g(x)) es medible. Demostraci´ on. Sea ψ : X → R2 definida por ψ(x) = (f (x), g(x)). Observe que h = ϕ◦ψ. Por el teorema anterior, basta probar que ψ es medible. Sean π1 , π2 : R2 → R las proyecciones can´onicas π1 (x1 , x2 ) = x1 y π2 (x1 , y1 ) = x2 . Observe que π1 ◦ ψ = f y π2 ◦ ψ = g. Sea U ⊆ R2 abierto entonces π1 (U ) y π2 (U ) son abiertos y por tanto f −1 (π1 (U )), g −1 (π2 (U )) ∈ A. Como ψ −1 (U ) = f −1 (π1 (U )) ∩ g −1 (π2 (U )), se sigue que ψ −1 (U ) ∈ A. Esto prueba que ψ es medible.  Corolario 1. Sea (X, A) un espacio medible. Si f, g : X → R son funciones medibles y c ∈ R entonces f + g, f g, cf y |f | son funciones medibles. Demostraci´ on. Sea ϕ : R2 → R definida por ϕ(x1 , x2 ) = x1 + x2 , claramente ϕ es continua. Se sigue que h : X → R definida por h(x) = ϕ(f (x), g(x)) es medible. Pero h(x) = f (x) + g(x) = (f + g)(x), ∀ x ∈ X, luego f + g es medible. An´alogamente se prueba que f g es medible. Finalmente, sea ψ : R → R definida

An´ alisis Real III

68

por ψ(x) = cx. Claramente ψ es continua. Como (ψ ◦ f )(x) = ψ(f (x)) = cf (x) = (cf )(x), ∀ x ∈ X se sigue cf es medible.  Corolario 2. Sea (X, A) un espacio medible. Si f, g : X → R son funciones medibles entonces max{f, g}, min{f, g}, f + y f − son funciones medibles. 

Demostraci´ on. ¡Ejercicio! Corolario 3. Sea (X, A) un espacio medible. 1A : X → R es medible si y s´olo si A ∈ A.



Demostraci´ on. ¡Ejercicio!

Sea (X, A) un espacio medible y sea (fn ) una sucesi´on de funciones medibles de (X, A) Teorema 3.1.4 ( ) en R, B(R) . Se cumple: 1. inf fn y sup fn son medibles. 2. lim sup fn y lim inf fn son medibles. 3. Si fn → f en X entonces f es medible. Demostraci´ on. 1. Se deduce de las igualdades: sup(fn ) = − inf(−fn )

y

(inf fn )−1 ([−∞, a[) =

∞ ∪

fn−1 ([−∞, a[), ∀ a ∈ R

n=1

2. Se deduce del ´ıtem anterior, puesto que lim sup fn = inf (sup(fk )) n≥1 k≥n

y

lim inf fn = sup( inf (fk )) n≥1 k≥n

3. Como (fn ) converge puntualmente, entonces lim sup fn = lim inf fn = f . Por el ´ıtem anterior, f es medible.  Observaci´ on: La parte (c) del teorema anterior nos dice que el l´ımite puntual de una sucesi´on de funciones medibles, es medible. Ejemplo 3.1.2 Sea f : I → R una funci´on diferenciable en el intervalo I, definimos la sucesi´on (fn ) ⊆ F(I, R) como ( ( ) ) ( ) f (x + n1 ) − f (x) 1 fn (x) = =n f x+ − f (x) = n f ◦ T1/n − f (x), 1 n n 1 (traslaci´on). La continuidad de f implica que (fn ) es una sucesi´on de funciones n medibles, adem´as (fn ) converge puntualmente hacia f ′ en I, se sigue que f ′ es medible (m´as precisamente, es boreliana). donde T1/n (x) = x +

An´ alisis Real III

3.2

69

Funciones simples

Definici´ on 3.2.1 Sea (X, A) un espacio medible, decimos que s : X → R es una funci´ on simple si y s´olo si es de la forma k ∑ ci 1Ai s= i=1

donde ci ∈ R y {Ai } ⊆ A es una partici´on de X (es decir, la sucesi´on es disjunta dos a dos y

k ∪

Ai = X).

i=1

Observaciones: 1. Toda funci´on simple es una funci´on medible. 2. Cuando A es medible, la funci´on caracter´ıstica de A es una funci´on simple. En efecto, basta considerar 1A = 1 · 1A + 0 · 1X−A 3. Denotaremos por S(X, A) o, simplemente S(X), al conjunto de todas las funciones simples en el espacio medible (X, A). 4. Sea s =

k ∑

ci 1Ai ∈ S(X), decimos que s es no negativa si y s´olo si s ≥ 0 (es decir, s(x) ≥ 0, ∀ x ∈

i=1

X). Es f´acil verificar que s ≥ 0 si y s´olos si ci ≥ 0, ∀ 1 ≤ i ≤ k. Existen dos razones fundamentales para estudiar las funciones simples: (a) Es f´acil intuir como se define la integral de las funciones simples no negativas. (b) Toda funci´on medible no negativa es el l´ımite puntual de una sucesi´on creciente de funciones simples no negativas.

Definici´ on 3.2.2 Sea (X, A, µ) un espacio de medida y s ∈ S(X) no negativa de la forma s =

k ∑ i=1

La integral de s en X se define como

∫ sdµ = X

k ∑

ci µ(Ai )

i=1

Observaciones: 1. En el caso que ci = 0 y µ(Ai ) = ∞ usamos el convenio 0 · ∞ = 0. ∫ 2. sdµ ∈ [0, ∞]. X

ci 1Ai .

An´ alisis Real III

70

3. De la definici´on, se observa la importancia de la medida considerada sobre el espacio medible (X, A). 4. La definici´on anterior coincide con nuestra idea intuitiva de “volumen de una regi´on” Ejemplo 3.2.1 Sea (X, A, µ) un espacio de medida y considere la funci´on constante f : X → R definida por f (x) = c. Si c ≥ 0 entonces f es una funci´on simple, no negativa y f = c1X , luego ∫ f dµ = cµ(X) X

∫ 0 dµ = 0.

En particular, por el convenio: X

Ejemplo 3.2.2 Sea (X, P(X), δa ) un espacio de medida, donde δa es la medida de Dirac concentrada k ∑ en a ∈ X. Sea s = ci 1Ai ∈ S(X) no negativa, luego existe un u ´nico i0 ∈ {1, . . . , k} tal que a ∈ Ai0 , i=1

luego s(a) = ci0 Por otro lado

∫ sdδa = X

k ∑

ci δa (Ai ) = ci0

i=1

De las dos igualdades anteriores, se llega a ∫ sdδa = s(a) X

Teorema 3.2.1 Sea (X, A, µ) un espacio de medida, s, t ∈ S(X) no negativas y c ≥ 0. Se cumplen las siguientes propiedades: ∫ ∫ ∫ 1. s + t ∈ S(X) y (s + t)dµ = sdµ + tdµ. X

∫

2. Si s ≤ t entonces ∫ 3. cs ∈ S(X) y

X

∫ sdµ ≤ X

∫

tdµ. X

(cs)dµ = c X

Demostraci´ on. Sean s =

X

sdµ X

k ∑ i=1

αi 1Ai y t =

r ∑ j=1

βj 1Bj

An´ alisis Real III

71

1. No es dif´ıcil probar (¡Ejercicio!) que s+t=

k ∑ r ∑ (αi + βj ) · 1Ai ∩Bj i=1 j=1

de aqu´ı se sigue que s + t ∈ S(X) y es no negativa. Adem´as: ∫

k ∑ r k r r k ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (s + t)dµ = (αi + βj )µ(Ai ∩ Bj ) = αi µ(Ai ∩ Bj ) + βj µ(Ai ∩ Bj )

X

i=1 j=1

=

=

k ∑



αi µ Ai ∩

r ∪

i=1

j=1

k ∑

r ∑

αi µ (Ai ) +

i=1

i=1

 Bj  +

r ∑

(

j=1

βj µ Bj ∩

j=1

)

j=1

i=1

Ai

i=1

∫

∫ βj µ (Bj ) =

sdµ + X

j=1

k ∪

tdµ X

2. Se tiene que t−s=

k ∑ r ∑ (βj − αi ) · 1Ai ∩Bj i=1 j=1

Se sigue que t − s ∈ S(X) es no negativa, y como t = s + (t − s), por el ´ıtem anterior ∫ ∫ ∫ ∫ tdµ = sdµ + (t − s)dµ ≥ sdµ X

X

X

X

k ∑ (cαi )1Ai , luego cs ∈ S(X) es no negativa y 3. Se sigue que cs = i=1

∫ (cs)dµ = X

∫ k k ∑ ∑ (cαi )µ(Ai ) = c αi µ(Ai ) = c sdµ i=1



X

i=1

Observaciones: 1. Sea (X, A, µ) un espacio de medida y fijemos E ∈ A entonces (E, AE , µE ) es un espacio de medida, k ∑ luego s ∈ S(E) si y solo si s = ci 1Ei , donde {E1 , . . . , Ek } ⊆ AE es colecci´on disjunta dos a dos, i=1 k ∪

Ei = E y c1 , . . . , ck ∈ R.

i=1

Si s =

k ∑

ci 1Ei ∈ S(E) es no negativa, entonces podemos definir su integral como

i=1

∫ sdµE = E

k ∑ i=1

ci µE (Ei ) =

k ∑ i=1

ci µ(Ei )

An´ alisis Real III ∫

∫

Se acostumbra a denotar

sdµ en vez de E

2. Sea s =

k ∑

72

sdµE . E

ci 1Ei ∈ S(E) no negativa. Recordemos que 1E s : X → R se define como

i=1

{

s(x), x ∈ E 0, x∈X −E

1E s(x) =

luego 1E s =

k ∑

ci 1Ei + 01X−E ∈ S(X) es no negativa, luego

i=1

∫ 1E sdµ = X

k ∑

∫ ci µ(Ei ) + 0 · µ(X − E) =

sdµ E

i=1

3. Sea (X, A, µ) un espacio de medida y sea E ∈ A. Dada s = ∫ integral sdµ.

k ∑

ci 1Ai ∈ S(X), vamos a definir la

i=1

E

En primer lugar, observe que la colecci´on {A1 ∩ E, . . . , Ak ∩ E} ⊆ AE es disjunta dos a dos y k ∪ (Ai ∩ E) = E. Luego i=1

k ∑ s = s = ci 1Ai ∩E ∈ S(E) E

y por tanto

i=1

∫ sdµ = E

k ∑

ci µ(Ai ∩ E)

i=1

Teorema 3.2.2 Sean (X, A, µ) un espacio de medida y A, B ∈ A. Se cumplen las siguientes propiedades: ∫ ∫ 1. Si A ⊆ B entonces sdµ ≤ sdµ. A

B

∫

2. Si µ(A) = 0 entonces

sdµ = 0. A

∫ 3. Si A ∩ B = ∅ entonces

A∪B

Demostraci´ on. Sea s =

k ∑ i=1

∫

∫

sdµ =

sdµ + A

sdµ B

ci 1Ei ∈ S(X) no negativa

An´ alisis Real III

73

1. Como A ⊆ B entonces A ∩ Ei ⊆ B ∩ Ei , ∀ 1 ≤ i ≤ k, luego µ(A ∩ Ei ) ⊆ µ(B ∩ Ei ), ∀ 1 ≤ i ≤ k y, por tanto ∫ ∫ k k ∑ ∑ ci µ(A ∩ Ei ) ≤ ci µ(B ∩ Ei ) = sdµ = sdµ A

i=1

B

i=1

2. Como Ei ∩ A ⊆ A, ∀ 1 ≤ i ≤ k entonces 0 ≤ µ(Ei ∩ A) ≤ µ(A) = 0, ∀ 1 ≤ i ≤ k. Se sigue que ∫ sdµ = A

k ∑

ci µ(A ∩ Ei ) = 0

i=1

3. Como A ∩ B = ∅, tenemos: ∫ sdµ

=

A∪B

k ∑

ci µ((A ∪ B) ∩ Ei ) =

i=1

=

k ∑

k ∑

ci µ((A ∩ Ei ) ∪ (B ∩ Ei ))

i=1

ci µ(A ∩ Ei ) +

k ∑

i=1

∫

∫

ci µ(B ∩ Ei ) =

sdµ + A

i=1

sdµ B



lo que concluye con la demostraci´on.

Teorema 3.2.3 Sea (X, A, µ) un espacio de medida y s : X → [0, ∞[ una funci´on simple. Entonces la funci´on µs : A → [0, ∞] definida por ∫ µs (A) = sdµ, A∈A A

es una medida sobre X.

Demostraci´ on. Sea s =

k ∑

ci 1Ei donde E1 , . . . , Ek ∈ A son disjuntos dos a dos y X =

i=1

k ∪

Ei .

i=1

Sea {Aj } ⊆ A disjunta dos a dos y denotemos A =

∞ ∪

Aj , se cumple

j=1

∫ µs (A)

=

sdµ = A

=

∞ ∑ k ∑

k ∑

k ∑

ci µ(Ei ∩ A) =

i=1

ci µ(Ei ∩ Aj ) =

j=1 i=1

 ci µ 

i=1 ∞ ∫ ∑ j=1

Aj

sdµ =

∞ ∪

 (Ei ∩ Aj ) =

j=1 ∞ ∑

k ∑ i=1

ci

∞ ∑

µ(Ei ∩ Aj )

j=1

µs (Aj )

j=1

Como µs (∅) = 0, µs es no trivial. Ahora, veamos la segunda utilidad de las funciones simples.



An´ alisis Real III

74

Teorema 3.2.4 Sea (X, A) un espacio medible y f : X → [0, +∞] una funci´on medible. Entonces existe una sucesi´on (sn ) ⊆ S(X) tales que 1. 0 ≤ s1 (x) ≤ s2 (x) ≤ · · · ≤ sn (x) ≤ · · · ≤ f (x), ∀ x ∈ X. 2. sn → f , en X. Demostraci´ on. Para cada n ∈ N definamos sn : X → R como n2 ∑ i−1 n

sn =

i=1

2n

· 1En,i + n · 1Fn

[) i−1 i , donde En,i = f , 1 ≤ i ≤ 2n n y Fn = f −1 ([n, ∞]). 2n 2n Es claro que (sn ) es una sucesi´on de funciones medibles simples y 0 ≤ sn (x) ≤ f (x), ∀ x ∈ E. Observe que En+1,2i−1 ∪ En+1,2i = En,i , ∀ 1 ≤ i ≤ n2n −1

([

En+1,n2n+1 +1 ∪ · · · ∪ En+1,(n+1)2n+1 ∪ Fn+1 = Fn Luego

(sn+1 − sn )(x) =

 0,        1     2n+1 ,

x ∈ En+1,1 ∪ · · · ∪ En+1,n2n+1 −1 x ∈ En+1,2 ∪ · · · ∪ En+1,n2n+1

  i−1   , x ∈ En+1,n2n+1 +i , 1 ≤ i ≤ 2n+1  n+1  2      1, x ∈ Fn+1

se sigue que sn ≤ sn+1 , ∀ n ∈ N. Por u ´ltimo, no es dif´ıcil ver que lim sn (x) = f (x), ∀ x ∈ X. n→∞



Observaci´ on: El teorema anterior asegura que las “sumas de Lebesgue” se aproximan a la “integral de Lebesgue”

3.3

Integraci´ on de funciones medibles no negativas

Sea f : X → [0, ∞] una funci´on medible, denotemos Sf = {s ∈ S(X) ; 0 ≤ s ≤ f } Por el Teorema 2.6.1, Sf ̸= ∅. Definici´ on 3.3.1 Sea (X, A, µ) un espacio de medida, y f : X → [0, ∞] una funci´on medible. La integral de f en X con respecto a la medida µ se define como ∫ ∫ sdµ f dµ = sup X

s∈Sf

X

An´ alisis Real III

Observaciones:

∫

75

∫ f dµ ∈ [0, ∞]. En el caso que

1. Por definici´on X

f dµ ∈ R se dice que f es integrable en X respecto X

a la medida µ. En este cas, denotaremos { } ∫ 1 L[0,∞] (X, µ) = f : X → [0, +∞]; f es medible y f dµ < +∞ X

2. La definici´on anterior, geom´etricamente, nos dice que la integral de una funci´on medible f es el supremo de las ´areas de los ”rect´angulos” inscritos a la gr´afica de f . 3. Cuando s es una funci´on simple, aparentemente tendr´ıamos dos definiciones distintas para la integral, sin embargo, como es f´acil demostrar, ambas definiciones coinciden. Teorema∫ 3.3.1 Sea ∫ (X, A, µ) un espacio de medida, f, g : X → [0, ∞] funciones medibles. Si f ≤ g entonces f dµ ≤ gdµ. X

X

Demostraci´ on. Como f ≤ g entonces Sf ⊆ Sg , luego ∫ ∫ ∫ ∫ f dµ = sup sdµ ≤ sup sdµ = gdµ. s∈Sf

X

s∈Sg

X

X



X

Sea (X, A, µ) un espacio de medida y E ∈ A. En el espacio de medida (E, AE , µE ), la integral sobre E de la funci´on medible f : E → [0, ∞] se define como {∫ } ∫ f dµ = sup sdµ; s ∈ S(E) y 0 ≤ s(x) ≤ f (x), ∀ x ∈ E E

E

Teorema 3.3.2 Sea (X, A, µ) un espacio de medida y E ∈ A. Si f : E → [0, ∞] es una funci´on medible, entonces 1E f : X → [0, ∞] es una funci´on medible y ∫ ∫ f dµ = 1E f dµ. E

X

Demostraci´ on. Sea s ∈ S(E) tal que 0 ≤ s(x) ≤ f (x), ∀ x ∈ E luego 1E s : X → [0, ∞] es medible simple y 0 ≤ 1E s(x) ≤ 1E f (x), ∀ x ∈ X. Luego ∫ ∫ ∫ sdµ = 1E sdµ ≤ 1E f dµ ∫

E

∫

X

X

f dµ ≤

1E f dµ. Por otro lado, sea s ∈ S(X) tal que 0 ≤ s(x) ≤ 1E f (x), ∀ x ∈ X. Se sigue que s(x) = 0, ∀ x ∈ X − E y 0 ≤ s(x) ≤ f (x), ∀ x ∈ E. Luego s = s ∈ S(E) con 0 ≤ s(x) ≤ f (x),

Se sigue que

E

∀ x ∈ E; y se tiene

X

E

∫

∫ sdµ =

X

∫ sdµ +

E

∫ sdµ ≤

sdµ = X−E

∫

E

f dµ E

An´ alisis Real III ∫

76

∫ 1E f dµ ≤

Luego X



f dµ. E

Teorema 3.3.3 Sean (X, A, µ) un espacio de medida, f : X → [0, +∞] una funci´on medible y A, B ∈ A. Se cumplen las siguientes propiedades: ∫ ∫ 1. Si A ⊆ B entonces f dµ ≤ f dµ. A

B

∫

f dµ = 0.

2. Si µ(A) = 0 entonces A

Demostraci´ on. An´aloga a la del Teorema 2.6.2. Queda como ejercicio para el lector.



Teorema 3.3.4 (Teorema de la convergencia mon´ otona de Lebesgue) Sea (X, A, µ) un espacio de medida y sea (fn ) una sucesi´on de funciones medibles en X tales que (a) 0 ≤ f1 (x) ≤ f2 (x) ≤ f3 (x) ≤ · · · ≤ ∞, ∀ x ∈ X. (b) fn → f en X. Entonces f es medible y

∫

∫

lim

n→∞

fn dµ = X

f dµ X

Demostraci´ on. Del Teorema 3.1.4, se sigue ∫ que f es ∫medible. Como fn ≤ fn+1 en X, se cumple que fn dµ ≤ fn+1 dµ, ∀ n ∈ N. De esta manera, la sucesi´on X X (∫ ) fn dµ ⊆ [0, ∞] es mon´otona creciente, y por tanto, es convergente, m´as a´ un X

{∫

∫ lim

n→∞

fn dµ = α = sup X

} fn dµ; n ≥ 1 ∈ [0, ∞]

X

∫ Adem´as, como fn ≤ f en X entonces

∫ fn dµ ≤

X

∫

∫

fn dµ = α ≤

lim

n→∞

f dµ, ∀ n ∈ N, luego X

X

f dµ X

Para probar la desigualdad contraria, observe que si α = ∞ entonces no hay nada que probar. Trabajemos entonces con la condici´on de que α < +∞. Sea s ∈ S(X) tal que 0 ≤ s ≤ f en X y fijemos c ∈]0, 1[. Definimos An = {x ∈ X; fn (x) ≥ cs(x)} , ∀ n ∈ N Observe que An = (fn − cs)−1 ([0, ∞]) y como fn y s son medibles, entonces {An }n∈N ⊆ A. Adem´as, como (fn ) es creciente, se tiene que A1 ⊆ A2 ⊆ A3 ⊆ · · ·

An´ alisis Real III

Afirmaci´ on: X =

∞ ∪

77

An . En efecto, sea x ∈ X, si f (x) > 0 entonces f (x) > cs(x). Como lim fn (x) = n→∞

n=1

f (x), se tiene que existe n0 ∈ N tal que fn0 (x) > cs(x), luego x ∈ An0 . Cuando f (x) = 0, se tiene que fn (x) = 0, ∀ n ∈ N y s(x) = 0, y por tanto x ∈ An , ∀ n ∈ N. La afirmaci´on est´a probada. Por otro lado, se tiene que ∫ ∫ ∫ ∫ fn dµ ≥ fn dµ ≥ csdµ = c sdµ = cµs (An ), ∀ n ∈ N X

An

An

An

y por tanto, usando el Teorema 3.3.3, tenemos ∫ ∫ α = lim fn dµ ≥ c lim n→∞

n→∞

X

sdµ = c lim µs (An ) n→∞

An

y, por el Teorema 2.3.3 y la afirmaci´on anterior: (∞ ) ∫ ∪ sdµ α ≥ cµs An = cµs (X) = c X

n=1

y como 0 < c < 1 fue arbitrario, se tiene que ∫ α≥ sdµ, ∀ s ∈ S(X) tal que 0 ≤ s ≤ f X

∫ De esta manera α ≥



f. X

Veamos como se aplica el teorema de la convergencia dominada para demostrar propiedades de la integral. Teorema 3.3.5 Sea (X, A, µ) un espacio de medida. Si f, g : X → [0, ∞] son funciones medibles y c ≥ 0. Se cumplen: ∫ ∫ ∫ 1. (f + g)dµ = f dµ + gdµ X

∫

∫ (cf )dµ = c

2. X

X

X

f dµ. X

Demostraci´ on. 1. Por el Teorema 3.2.4, existen (sn ), (tn ) ⊆ S(X) tales que 0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ · · · ≤ f,

sn → f,

0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ · · · ≤ g

y

Por el teorema de la convergencia mon´otona, se tiene que ∫ ∫ ∫ ∫ lim sn dµ = f dµ y lim tn dµ = gdµ n→∞

X

X

n→∞

X

X

tn → g

An´ alisis Real III

78

Por otro lado, tenemos que (sn + tn ) ⊆ S(X) es tal que 0 ≤ s1 + t1 ≤ s2 + t2 ≤ · · · ≤ f + g

sn + tn → f + g

y

usando nuevamente el teorema de la convergencia mon´otona, tenemos ∫

[∫

∫ (f + g)dµ = lim X

n→∞

(sn + tn )dµ = lim

n→∞

X

]

∫ sn dµ + X

∫

∫

tn dµ = X

f dµ +

gdµ

X

X



La demostraci´on de 2) es an´aloga y queda como ejercicio. Corolario Sean (X, A, µ) un espacio de medida, f : X → [0, +∞] una funci´on medible y A, B ∈ A. ∫ ∫ ∫ f dµ = f dµ + f dµ Si A ∩ B = ∅ entonces A∪B

A

B



Demostraci´ on. ¡Ejercicio! Podemos generalizar el Teorema 3.3.5 a series.

Teorema 3.3.6 Sea (X, A, µ) un espacio de medida y sea (fn ) una sucesi´on de funciones medibles, no negativas en X tales que ∞ ∑ fn (x) = f (x), ∀ x ∈ X n=1

Entonces f : X → [0, ∞] es medible y ∫ f dµ = X n ∑

Demostraci´ on. Denotemos σn =

∞ ∫ ∑ n=1

fn dµ X

fk (sucesi´on de sumas parciales) Por hip´otesis se sigue que (σn )

k=1

es una sucesi´on de funciones medibles en X tales que 0 ≤ σ1 ≤ σ2 ≤ · · · ≤ f

σn → f

y

Por el teorema de la convergencia mon´otona y el Teorema 3.3.5, tenemos: ) ∫ ∫ ∫ (∑ n n ∫ ∞ ∫ ∑ ∑ fn dµ = lim fn dµ = fk dµ f dµ = lim σn dµ = lim X

n→∞

n→∞

X

X

k=1

n→∞

k=1

X

k=1



X

Teorema 3.3.7 (Lema de Fatou) Sea (X, A, µ) un espacio de medida y sea (fn ) una sucesi´on de funciones medibles en X, no negativas. Entonces (∫ ) ∫ (lim inf fn ) dµ ≤ lim inf fn dµ X

X

Demostraci´ on. Denotemos gk = inf {fn }. Por el Teorema 3.1.4 se tiene que (gk ) es una sucesi´on de n≥k

funciones medibles no negativas tales que 0 ≤ g1 ≤ g2 ≤ g3 ≤ · · ·.

An´ alisis Real III

79

Como lim gk = sup{gk } = sup{ inf {fn }} = lim inf fn , por el teorema de la convergencia mon´otona k→∞

k≥1 n≥k

k≥1

∫

∫ (lim inf fn ) dµ = lim

gk dµ

k→∞

X

X

Por otro lado, se tiene que ∫

∫

0≤

g2 dµ ≤

X

)

(∫

∫

g1 dµ ≤

g3 dµ ≤ · · ·

X

X

{∫

∫

} gk dµ .

⊆ [0, ∞] es convergente y lim gk dµ = sup k→∞ X k≥1 X ∫ ∫ Adem´as, como gk ≤ fn , ∀ n ≥ k entonces gk dµ ≤ fn dµ, ∀ n ≥ k y por tanto gk dµ

luego

X

X

X

{∫

∫

}

gk dµ ≤ inf

∀k≥1

fn dµ ,

n≥k

X

X

Se sigue que {∫

∫ lim

k→∞

}

gk dµ = sup k≥1

X

{ ≤ sup

gk dµ

n≥k

k≥1

X

{∫ inf

}} fn dµ

X

(lim inf fn ) dµ ≤ lim inf X

) fn dµ

X

(∫

∫ y por tanto

(∫ = lim inf

) fn dµ .



X

Teorema 3.3.8 Sea (X, A, µ) un espacio medible y f : X → [0, ∞] una funci´on medible. Entonces la funci´on µf : A → [0, ∞] definida por ∫ µf (A) = f dµ, A∈A A

es una medida sobre X y adem´as

∫

∫ gdµf =

X

gf dµ X

Demostraci´ on. Sea {An }n∈N ⊆ A colecci´on disjunta dos a dos, y denotemos A =

∞ ∪

An . No es dif´ıcil

n=1

probar (¡Ejercicio!) que (1A · f ) (x) =

∞ ∑

(1An · f ) (x),

∀x∈X

n=1

Por otro lado, como (1An · f ) es una sucesi´on de funciones medibles en X no negativas, por el Teorema 3.3.6 tenemos ∫ ∫ ∞ ∞ ∫ ∞ ∫ ∑ ∑ ∑ f dµ = µf (An ) 1An · f dµ = µf (A) = f dµ = 1A · f dµ = A

X

n=1

X

n=1

An

n=1

An´ alisis Real III

80

luego µf es una medida, y como µf (∅) = 0 < ∞, la medida es no trivial. n ∑ Por otro lado sea s = αi 1Ai ∈ S(X) no negativa, se cumple i=1

∫ sdµf ∫

=

X

sf dµ

=

X

∫ De esta manera

n ∑

αi µf (Ai ) =

i=1 n ∫ ∑ i=1

sf dµ =

∫ αi

f dµ = Ai

i=1 n ∫ ∑

Ai

i=1

n ∫ ∑ i=1

αi f dµ Ai

αi f dµ Ai

∫ sdµf =

X

n ∑

sf dµ,

∀ s ∈ S(X) no negativa.

X

Sea g : X → [0, ∞] medible, entonces existe (sn ) ⊆ S(X), tales que 0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ · · · ≤ g

y

sn → g

Por el Teorema de la convergencia mon´otona: ∫ ∫ ∫ gdµf = lim sn dµf = lim sn f dµ n→∞

X

X

n→∞

X

Como f es medible no negativa, (sn f ) es una sucesi´on de funciones medibles en X tales que 0 ≤ s1 f ≤ s2 f ≤ · · · ≤ gf

y

sn f → gf

Nuevamente, por el Teorema de la convergencia mon´otona, tenemos ∫ ∫ lim sn f dµ = gf dµ n→∞

X

X



El teorema se deduce de las dos u ´ltimas igualdades.

Teorema 3.3.9 (Desigualdad de Markov) Sea (X, A, µ) un espacio de medida y sea f : X → [0, ∞] medible. Se cumple ∫ 1 µ([f ≥ C]) ≤ f dµ, ∀ C > 0 C X donde [f ≥ C] = {x ∈ X; f (x) ≥ C}. Demostraci´ on. Como f es medible, se tiene que [f ≥ C] = f −1 ([c, ∞]) ∈ A,

∀C>0

Adem´as, es claro que f ≥ C · 1{f ≥C} , luego ∫ ∫ f dµ ≥ C · 1{f ≥C} dµ = Cµ({f ≥ C}). X

X



An´ alisis Real III

81

Corolario. Sea (X, A, µ) un espacio de medida y sea f ∈ L1[0,∞] (X, µ), entonces µ([f = +∞]) = 0

Demostraci´ on. En primer lugar, se verifica que [f = +∞] =

∞ ∩

[f ≥ n].

n=1

Por otro lado, como {[f ≥ n]} ⊆ A satisface [f ≥ 1] ⊇ [f ≥ 2] ⊇ [f ≥ 3] ⊃ · · · y por la desigualdad de Markov ∫ f dµ < +∞ µ ([f ≥ 1]) ≤ X

Luego, por el Teorema 2.3.3 y nuevamente por la desigualdad de Markov, tenemos: (∞ ) ∫ ∩ 1 f dµ = 0 µ ([f = +∞]) = µ [f ≥ n] = lim µ ([f ≥ n]) ≤ lim n→∞ n→∞ n X n=1



Observaci´ on: El rec´ıproco del Corolario anterior es falso. A manera de aplicaci´on, consideremos el espacio de medida (N, P(N), µ), en donde µ es la medida de conteo. Se sigue que cualquier funci´on x : N → [0, +∞] es medible, conclu´ımos que las funciones medibles en N, no negativas son las sucesiones de n´ umeros reales (extendido) no negativas ∫ ∞ ∑ Afirmaci´ on: xdµ = xn . En efecto, dado k ∈ N, definimos sk : N → [0, +∞] como N

n=1

{ sk (n) =

xn , n ≤ k 0, n>k

Observe que sk =

k ∑

xn 1{n} + 0 · 1[n>k] ,

∀k∈N

n=1

luego (sk ) ⊆ S(N) y se cumple 0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ s3 ≤ · · · ≤ x en N

y

lim sk = x en N

k→∞

Por el teorema de la convergencia mon´otona de Lebesgue: [ k ] ∫ ∫ ∞ ∑ ∑ xn µ({n}) + 0 · µ([n > k]) = xn xdµ = lim sk dµ = lim N

k→∞

N

k→∞

n=1

n=1

lo que prueba la afirmaci´on. Finalmente, se tiene que x = (xn ) ∈ L1[0,+∞] (N, µ) si y solo si

∞ ∑ n=1

xn ∈ [0, +∞[.

An´ alisis Real III

3.4

82

Integraci´ on de funciones medibles reales o complejas

Dada f : X → [−∞, +∞], sabemos que |f | = f + + f −

f = f+ − f−

y

Estas observaciones nos permiten definir la integral de una funci´on en t´erminos de las integrales de su parte positiva y negativa. Definici´ on 3.4.1 Sea (X, A, µ) un espacio de medida, f : X → [−∞, ∞] una funci´on medible y A ∈ A. 1. Decimos que f es integrable en A (con respecto a la medida µ) si y s´olo si f + o f − son integrables en A con respecto a la medida µ. 2. Si f es integrable en A, la integral de f en A (con respecto a la medida µ) se define como ∫ ∫ ∫ + f dµ = f dµ − f − dµ A

A

A

Observaciones: 1. Si f + y f − no son integrables en A entonces raz´on que exclu´ımos este caso de la definici´on.

∫

∫ f + dµ −

A

f − dµ no estar´ıa definido, es por esta

A

∫ 2. Si f : X → [−∞, +∞] es integrable en A entonces f dµ ∈ [−∞, +∞]. Aquellas funciones A ∫ integrables f tales que f dµ ∈ R son de especial inter´es en la teor´ıa. X

Definici´ on 3.4.2 Sea (X, A, µ) un espacio de medida. Definimos el conjunto { } ∫ 1 LR (X, µ) = f : X → [−∞, +∞]; f es medible y |f |dµ < ∞ X

Observaciones: 1. Como f es medible entonces |f | = f + + f − es medible, no negativa y tiene sentido hablar de su integral. 2. Los elementos de L1R (A, µ) son llamados funciones finito-integrables. 1 (A, µ) si y s´olo si f + , f − ∈ L1[0,∞] (A, µ) si y s´olo si 3. Se puede demostrar que f ∈ LR

∫ f dµ ∈ R. A

Teorema 3.4.1 Sea (X, A, µ) un espacio de medida y A ∈ A, se cumplen las siguientes propiedades:

An´ alisis Real III

83

1. L1R (A, µ) es un R-espacio vectorial. ∫ ∫ ∫ 2. (f + g)dµ = f dµ + gdµ, ∀ f, g ∈ L1R (A, µ) A

∫

A

∫ (cf )dµ = c

3. A

4. Si f, g ∈

A

A

1 f dµ, ∀ f ∈ LR (A, µ), ∀ c ∈ R.

L1R (A, µ)

∫ son tales que f ≤ g en A, entonces

∫ f dµ ≤

gdµ

A

∫ ∫ |f |dµ, ∀ f ∈ L1R (A, µ). 5. f dµ ≤ A A ∫ 6. Si µ(A) = 0 entonces f dµ = 0.

A

A

Demostraci´ on. 1. Sean α, β ∈ R y f, g ∈ L1R (A, µ), como |αf + βg| ≤ |α||f | + |β||g|, entonces, por el Teorema 3.3.1: ∫ ∫ ∫ ∫ |αf + βg|dµ ≤ [|α||f | + |β||g|] dµ = |α| |f |dµ + |β| |g|dµ < ∞ A

A

A

A

Por tanto αf + βg ∈ L1R (A, µ). 2. Sean f, g ∈ L1R (A, µ), no es dif´ıcil probar que f + + g + − (f + g)+ = f − + g − − (f + g)− ≥ 0 Denotando h = f + + g + − (f + g)+ = f − + g − − (f + g)− , tenemos h + (f + g)+ = f + + g +

y

h + (f + g)− = f − + g −

y como todas las funciones son no negativas, tenemos ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ hdµ + (f + g)+ dµ = f + dµ + g + dµ y hdµ + (f + g)− dµ = f − dµ + g − dµ A

A

A

A

A

A

A

Restando t´ermino a t´ermino ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ + − + − + (f + g) dµ − (f + g) dµ = f dµ − f dµ + g dµ − g − dµ A

A

A

A

A

de donde se obtiene el resultado. 3. Sean f ∈ L1R (A, µ) y c ∈ R, no es dif´ıcil probar que: Si c ≥ 0 entonces (cf )+ = cf + y (cf )− = cf − Si c < 0 entonces (cf )+ = −cf − y (cf )− = −cf + .

A

A

An´ alisis Real III

84

Considerando el caso c < 0 (el otro es an´alogo), tenemos ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (cf )+ dµ − (cf )− dµ = (−cf − )dµ − (−cf + )dµ = c f + dµ − c f − dµ A

A

A

A

A

A

de donde se deduce el resultado. ∫ ∫ ∫ 4. Como g − f ≥ 0, se tiene gdµ − f dµ = (g − f )dµ ≥ 0. A

A

A

5. Se sigue del ´ıtem anterior y del hecho que −|f | ≤ f ≤ |f |. ∫ ∫ ∫ f dµ = f + dµ − f − dµ = 0 6. Como µ(A) = 0, por el Teorema 3.3.3 tenemos A

A



A

∫ 1 Observaci´ on: Del teorema anterior, se tiene que la funci´on I : LR (A, µ) → R definida por I(f ) =

es una funcional lineal mon´otono.

f dµ, A

A continuaci´ on, extendemos el concepto de integraci´on a funciones complejos valoradas. Definici´ on 3.4.3 Sea (X, A, µ) un espacio de medida, f = u+iv : X → C una funci´on medible y A ∈ A. 1. Decimos que f es finito-integrable en A (con respecto a la medida µ) si y s´olo si u y v son finitointegrables en A con respecto a la medida µ. 2. Si f es finito-integrable en A, la integral de f en A (con respecto a la medida µ) se define como ∫ ∫ ∫ f dµ = udµ + i vdµ A

A

A

3. Definimos el conjunto { L1C (A, µ) =

}

∫ f : A → C; f es medible y

|f |dµ < ∞ A

Teorema 3.4.2 Sea (X, A, µ) un espacio de medida y A ∈ A, se cumplen las siguientes propiedades: 1. L1C (A, µ) es un C-espacio vectorial. ∫ ∫ ∫ 2. (f + g)dµ = f dµ + gdµ, ∀ f, g ∈ L1C (A, µ) A

∫

A

∫ (cf )dµ = c

3. A

A

A

f dµ, ∀ f ∈ L1C (A, µ), ∀ c ∈ R.

∫ ∫ 4. f dµ ≤ |f |dµ, ∀ f ∈ L1C (A, µ). A

A

An´ alisis Real III

85

∫ 5. Si µ(A) = 0 entonces A

f dµ = 0, ∀ f ∈ L1C (A, µ).

Demostraci´ on. 3. Sea c = α + iβ ∈ C y f = u + iv ∈ L1C (A, µ), se cumple cf = (αu − βv) + i(αv + βu), luego ∫ ∫ ∫ (cf )dµ = (αu − βv)dµ + i (αv + βu)dµ A A (A ∫ ) ( ∫ ) ∫ ∫ = α udµ − β vdµ + i α vdµ + β udµ A A A (∫ ) A∫ ∫ = (α + iβ) udµ + i vdµ = c f dµ A

A

A

∫ f dµ ∈ C, luego existe α ∈ C, con |α| = 1, tal que αz = |z|, luego

4. Denotemos z = A

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ f dµ = |z| = α f dµ = αf dµ = Re(αf )dµ + i Im(αf )dµ = Re(αf )dµ A A A A A ∫ ∫A ∫ ≤ |Re(αf )|dµ ≤ |αf |dµ = |f |dµ A

A

A

 Teorema 3.4.3 (Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue) Sea (X, A, µ) un espacio de medida y sea (fn ) una sucesi´on de funciones medibles sobre X a valores complejos que satisface las dos condiciones siguientes: (a) fn → f en X. (b) Existe g ∈ L1[0,∞] (X, µ) tal que |fn (x)| ≤ g(x), ∀ x ∈ X Entonces f ∈ L1C (X, µ) tal que ∫ lim |fn − f |dµ = 0 n→∞

∫ y

∫

lim

n→∞

X

fn dµ = X

f dµ X

Demostraci´ on. Aplicando el Teorema 3.1.4 la parte real e imaginaria de f , se concluye que f es medible. Adem´as, de la hip´ otesis (a) se tiene |fn | → |f | y por (b) se concluye que |f | ≤ g, luego ∫ ∫ |f |dµ ≤ gdµ < ∞ X

De esta manera, hemos probado que f ∈

L1C (X, µ).

X

An´ alisis Real III

86

Por otro lado, de (b) se tiene que |fn − f | ≤ |fn | + |f | ≤ 2g y de esta manera (2g − |fn − f |) es un sucesi´on de funciones medibles en X no negativas. Por Fatou: ∫ ∫ lim inf (2g − |fn − f |) dµ ≤ lim inf (2g − |fn − f |) dµ (3.3) X

X

Pero por (a) tambi´en se tiene que |fn − f | → 0, luego lim inf (2g − |fn − f |) = lim (2g − |fn − f |) = 2g Adem´as ∫ lim inf

( ∫ ) ∫ (2g − |fn − f |) dµ = lim inf 2 gdµ − |fn − f |dµ X X ∫ ∫ X = 2 gdµ − lim sup |fn − f |dµ X

X

Reemplazando las dos u ´ltimas igualdades en (3.3), llegamos a ∫ ∫ ∫ 2gdµ ≤ 2 gdµ − lim sup |fn − f |dµ X

X

por tanto

X

∫ |fn − f |dµ ≤ 0

lim sup X

y como |fn − f | ≥ 0 se llega a que {∫ } {∫ } 0 ≤ lim inf |fn − f |dµ ≤ lim sup |fn − f |dµ ≤ 0 X

X

∫ |fn − f |dµ = 0. ∫ ∫ ∫ Finalmente, como 0 ≤ fn dµ − f dµ ≤ |fn − f |dµ, ∀ n ∈ N, se tiene que X X X ∫ ∫ lim fn dµ = f dµ.

luego lim

n→∞

X

n→∞

3.5

X



X

Conjuntos de medida nula

En lo que sigue, emplearemos la siguiente notaci´on. Sea (X, A, µ) un espacio de medida, decimos que una propiedad P (x) se cumple en casi todo punto de X (lo que denotamos c.t.p. de X) si y s´olo si existe un conjunto N ∈ A con µ(N ) = 0 tal que P (x) se cumple para todo x ∈ X − N . Por ejemplo decimos que la sucesi´on (fk ) ⊆ F(Rm ; Rn ) converge en casi todo punto de X hacia una funci´on f ∈ F (Rm ; Rn ), lo que denotamos fk → f c.t.p. de X si y s´olo si existe N ⊆ B(Rm ) conjunto de medida cero tal que lim fk (x) = f (x), ∀ x ∈ Rm − N .

k→∞

An´ alisis Real III

87

Teorema 3.5.1 Sea (X, A, µ) un∫espacio de ∫ medida y f, g : X → C funciones medibles tales que f = g c.t.p. de X. Si A ∈ A entonces f dµ = gdµ. A

A

Demostraci´ on. Por hip´otesis, existe N ∈ A con µ(N ) = 0, tal que f (x) = g(x), ∀ x ∈ X − N . Dado A ∈ A, se cumple ∫ ∫ ∫ ∫ f dµ = f dµ + f dµ = f dµ A

A−N

An´alogamente

N

∫

A−N

∫ gdµ = A

gdµ A−N

y como f = g en A − N , de las dos igualdades anteriores el resultado se sigue.



Sea (X, A, µ) un espacio de medida y sea N ∈ A con µ(N ) = 0. Si ∅ ̸= M ⊆ N , ser´ıa dable que µ(M ) = 0, sin embargo puede ocurrir que M ∈ / A. De esta manera, necesitamos extender la medida µ a un σ-´algebra que contenga a A y tal que esta σ-´algebra contenga a todos los subconjuntos de N ∈ A tales que µ(N ) = 0. Pero ¿siempre es posible construir esta extensi´on? La respuesta es afirmativa (ver lista de ejercicios). Esta extensi´on, se llama completamiento de la medida µ y la nueva medida obtenida es llamada completa. Como toda medida se puede extender a una medida completa, de ahora en adelante vamos a suponer que todas las medidas son completas. Teorema 3.5.2 Sea (X, A, µ) un espacio de medida, f : X → [0, ∞] funci´on medible y A ∈ A. Si ∫ f dµ = 0 entonces f = 0 en c.t.p. de A. A

Demostraci´ on. Defino Sn =

{ } 1 x ∈ A; f (x) ≥ , ∀ n ∈ N y N = {x ∈ A; f (x) > 0}. Es claro que n N=

∞ ∪

Sn

n=1

Por otro lado, para n ∈ N, tenemos ∫ ∫ 0= f dµ ≥ A

Sn

∫ f dµ ≥ Sn

1 1 dµ = µ(Sn ) n n

de donde µ(Sn ) = 0, ∀ n ∈ N. Se sigue que µ(N ) = 0 y por tanto f = 0 c.t.p. de A.  ∫ Corolario. Sea (X, A, µ) un espacio de medida y sea f ∈ L1C (X, µ). Si f dµ = 0, ∀ A ∈ A entonces f = 0 c.t.p. de X.

A

Demostraci´ on. ¡Ejercicio! ∫ ∫ Teorema 3.5.3 Sea (X, A, µ) un espacio de medida y sea f ∈ L1C (X, µ). Si f dµ = |f |dµ entonces X X existe α ∈ C tal que αf = |f | c.t.p. de X.

An´ alisis Real III

88

∫ f dµ ∈ C, luego existe α ∈ C, con |α| = 1, tal que αz = |z|, luego

Demostraci´ on. Denotemos z = X

∫ X

∫ ∫ ∫ ∫ |f |dµ = f dµ = |z| = α f dµ = αf dµ = Re(αf )dµ X

X

X

X

∫ Se sigue que X [|f | − Re(αf )] dµ = 0, luego |f | − Re(αf ) = 0 c.t.p. de X, por tanto |αf | = Re(αf ) = 0 c.t.p. de X, de esta manera αf ∈ R c.t.p. de X. Luego |f | = |αf | = Re(αf ) = αf c.t.p. de X. 

Cap´ıtulo 4

Los Espacios Lp 4.1

Los espacios Lp

En lo sucesivo K denotar´ a a R o a C. Definici´ on 4.1.1 Sea (X, A, µ) un espacio de medida y p ≥ 1. 1. Definimos el conjunto LpK (X, µ)

{ } ∫ p = f : X → K; f es medible y |f | dµ < ∞ X

2. Si f ∈ LpK (X, µ), entonces denotaremos (∫ ∥f ∥p =

|f | dµ p

) p1

X

Observaci´ on: f ∈ LpK (X, µ) si y s´olo si |f |p ∈ L1R (X, µ). Definici´ on 4.1.2 Sea (X, A, µ) un espacio de medida. 1. Decimos que la funci´on medible f : X → K es esencialmente acotada si y s´olo si existe una constante C = C(f ) > 0 tal que |f (x)| < C, c.t.p. de X. 2. Definimos el conjunto L∞ K (X, µ) = {f : X → K; f es medible y esencialmente acotadas} 3. Si f ∈ L∞ K (X, µ), entonces denotamos ∥f ∥∞ = inf {C > 0; |f (x)| < C c.t.p. de X} 89

An´ alisis Real III

90

Teorema 4.1.1 Si f, g ∈ L∞ K (X, µ) y α ∈ K entonces 1. f + g ∈ L∞ K (X, µ) y ∥f + g∥∞ ≤ ∥f ∥ + ∥g∥∞ . 2. αf ∈ L∞ K (X, µ) y ∥αf ∥∞ = |α| · ∥f ∥∞ . Demostraci´ on. 1.) Como f, g ∈ L∞ K (X, µ) entonces |f (x)| < ∥f ∥∞ c.t.p. de E y |g(x)| < ∥g∥∞ c.t.p. de E, luego |(f + g)(x)| ≤ |f (x)| + |g(x)| ≤ ∥f ∥∞ + ∥g∥∞

c.t.p. de E

De esta manera f + g ∈ L∞ (E) y ∥f + g∥∞ ≤ ∥f ∥ + ∥g∥∞ .



Observaci´ on: L∞ K (X, µ) es un K-espacio vectorial. Podemos probar tambi´en que los conjuntos LpK (X, µ) (p ≥ 1) son espacios vectoriales, sin embargo nosotros lo obtendremos como consecuencia de algunas propiedades sumamente u ´tiles. Lema 4.1.1 Si a, b > 0 y 0 < t < 1 se cumple at b1−t ≤ at + b(1 − t) Demostraci´ on. Supongamos que 0 < a ≤ b, observe que b at b1−t ≤ at + b(1 − t) ⇔ at−1 b1−t ≤ t + (1 − t) ⇔ a con

( )1−t b b ≤ t + (1 − t) a a

b ≥ 1. Lo anterior nos lleva a considerar la funci´on ϕ : [1, +∞[ → R definida por a ϕ(x) = t + x(1 − t) − x1−t

donde t ∈ ]0, 1[ fijo. Como ϕ′ (x) = 1 − t − (1 − t)x−t = (1 − t)(1 − x−t ) y x ≥ 1 tenemos que ϕ′ (x) ≥ 0 luego ϕ es creciente, por tanto si 1 ≤ x entonces 0 = ϕ(1) ≤ ϕ(x) = t + x(1 − t) − x1−t y por tanto x1−t ≤ t + x(1 − t),

∀x≥1

b ≥ 1, el lema se sigue, bajo la hip´otesis que 0 < a ≤ b y 0 < t < 1. a En el caso que 0 < b ≤ a, como 1 − t ∈ ]0, 1[ , usando la parte anterior (para 1 − t en vez de t) tenemos

Tomando x =

b1−t a1−(1−t) ≤ b(1 − t) + a(1 − (1 − t)) es decir at b1−t ≤ at + b(1 − t) y el Lema est´ a probado.



An´ alisis Real III

91

Definici´ on 4.1.3 Sea 1 < p < +∞. Decimos que q ∈ R es el conjugado de p si y s´olo si 1 1 + = 1. p q Observaciones: 1. Si q es conjugado de p entonces q = llamados conjugados.

p . Se sigue que 1 < q < ∞. Los n´ umeros p y q son p−1

2. El u ´nico n´ umero p > 1 que es conjugado consigo mismo es p = 2. En efecto: p es conjugado a p si 1 1 y s´olo si + = 1 si y s´olo si p = 2. p p 3. Sean p y q conjugados entonces q =

p . Observe que p−1 lim q = lim+

p→1+

p→1

p =∞ p−1

Por esta raz´on se adoptar´a el convenio que 1 e ∞ son conjugados. Lema 4.1.2 (Desigualdad de Young) Si p y q son conjugados, 1 < p, q < +∞, entonces 1

1

ap bq ≤

a b + , p q

∀ a, b ≥ 0

Demostraci´ on. Si a = 0 ´o b = 0, la desigualdad es obvia. Trabajemos entonces con el caso a, b > 0. 1 1 Como 1 < p < +∞ se tiene que 0 < < 1. Aplicando el Lema 4.1.1 para t = , se tiene p p ( ) 1 1 1 1 1− p p a b ≤a +b 1− p p 

De aqu´ı la desigualdad se sigue.

Teorema 4.1.2 (Desigualdad de H¨ older) Sean p, q ∈ [1, ∞] conjugados. Si f ∈ LpK (X, µ) y g ∈ q 1 LK (X, µ) entonces f g ∈ LK (X, µ) y ∥f g∥1 ≤ ∥f ∥p · ∥g∥q . Demostraci´ on. Primeramente consideremos el caso p = 1 y q = ∞. Como |(f g)(x)| = |f (x)| · |g(x)| ≤ |f (x)| · ∥g∥∞ c.t.p. de X se tiene que

∫

(∫

∫ |f g|dµ ≤

X

Se sigue que f g ∈

L1K (X, µ)

) |f |dµ ∥g∥∞ = ∥f ∥1 · ∥g∥∞

|f | · ∥g∥∞ dµ = X

y ∥f g∥1 ≤ ∥f ∥1 · ∥g∥∞ .

X

An´ alisis Real III

92

Sea ahora 1 < p, q < ∞. Observe que si f = 0 c.t.p. de X ´o g = 0 c.t.p. de X, la desigualdad es trivial. Trabajemos entonces con el caso f ̸= 0 c.t.p. de X y g ̸= 0 c.t.p. de X. Se sigue que ∥f ∥p > 0 |g(x)|q |f (x)|p en la desigualdad de Young tenemos y ∥g∥q > 0. Para x ∈ X, tomando a = p y b= ∥f ∥p ∥g∥qq |f (x)| |g(x)| 1 1 p |g(x)|q · ≤ p |f (x)| + ∥f ∥p ∥g∥q p∥f ∥p q∥g∥qq luego

∫ X

1 |f g| dµ ≤ ∥f ∥p ∥g∥q p∥f ∥pp

es decir

1 ∥f ∥p ∥g∥q

por tanto

∫ |f |p dµ + X

∫ |f g|dµ ≤ X

1 q∥g∥qq

∫ |g|q dµ X

1 1 + =1 p q

∫ |f g|dµ ≤ ∥f ∥p ∥g∥q X

As´ı, f g ∈ L1K (X, µ) y ∥f g∥1 ≤ ∥f ∥p · ∥g∥q .



Un caso particular de este resultado, ocurre cuando p = q = 2. Corolario. (Desigualdad de Cauchy-Schwartz) Si f, g ∈ L2K (X, µ) entonces f g ∈ L1K (X, µ) y ∥f g∥1 ≤ ∥f ∥2 · ∥g∥2 . Teorema 4.1.3 (Desigualdad de Minkowski) Si 1 ≤ p < ∞ y f, g ∈ LpK (X, µ) entonces f + g ∈ LpK (X, µ) y ∥f + g∥p ≤ ∥f ∥p + ∥g∥p . Demostraci´ on. Primeramente consideremos el caso p = 1. Se cumple ∫ ∫ ∫ ∫ |f + g|dµ ≤ [|f | + |g|]dµ = |f |dµ + |g|dµ = ∥f ∥1 + ∥g∥1 X

X

X

X

Hemos probado que f + g ∈ L1K (X, µ) y ∥f + g∥1 ≤ ∥f ∥1 + ∥g∥1 . En el caso que 1 < p < ∞, se cumple ∫ ∫ ∫ ∫ p p p |f + g| dµ = |f + g| dµ + |f + g| dµ ≤ [f ≥g]

X

(∫

≤ 2

∫ |f | dµ +

p

[f 0 existe n0 ∈ N tal que si n, m ≥ n0 entonces ∥fn − fm ∥p < . Para m ≥ n0 (fijo) y nk ≥ n0 2 ϵ se tiene que ∥fnk − fm ∥p < . De esta manera tenemos la sucesi´on (|fnk − fm |p )k∈N ⊆ L1R (X, µ). Por 2 Fatou ) ∫ ∫ ( ∫ ∥f − fm ∥pp = |f − fm |p dµ = lim |fnk − fm |p dµ = (lim sup |fnk − fm |p ) dµ k→∞ X X X (∫ ) ( ϵ )p p |fnk − fm | dµ = lim inf(∥fn−k − fm ∥pp ) ≤ ≤ lim inf 2 X Por tanto f − fm ∈ LpK (X, µ) y como fm ∈ LpK (X, µ) se tiene que f ∈ LpK (X, µ), m´as a´ un ∥f − fm ∥p ≤ ϵ < ϵ. Esto prueba que lim ∥f − fm ∥p = 0. m→∞ 2 1 1 b) p = ∞: Dado k ∈ N, existe nk ∈ N tal que si n, m ≥ nk entonces ∥fn − fm ∥∞ < , luego |fn − fm | < k k c.t.p. de X. ∞ ∪ 1 Sea Ak ∈ A, de medida cero, tal que |fn (x) − fm (x)| < , ∀ x ∈ X − Ak . Considero A = Ak , k k=1 1 claramente A ∈ A y A tiene medida cero. Si x ∈ X − A y ϵ > 0 entonces k0 ∈ N tal que < ϵ, luego, si k0 m, n ≥ nk0 entonces |fn (x)−fm (x)| < ϵ. De esta manera (fn (x)) ⊆ K es Cauchy y por tanto convergente, ∀ x ∈ X − A. Sea f : X → K tal que lim fn (x) = f (x), ∀ x ∈ X − A. Como |fn (x) − fn1 (x)| < 1, ∀ n ≥ n1 , n→∞ ∀ x ∈ X − A entonces |f (x) − fn1 (x)| = lim |fn (x) − fn1 (x)| ≤ 1, c.t.p. de X n→∞

∞ Se sigue que f − fn1 ∈ L∞ K (X, µ) y por tanto f ∈ LK (X, µ). Finalmente, dado ϵ > 0, existe k0 ∈ N tal 1 ϵ ϵ ϵ que < , luego, si n, m ≥ nk0 entonces |fn (x) − fm (x)| < y tomando l´ımite |f (x) − fm (x)| ≤ k0 2 2 2 c.t.p. de X, es decir ∥f − fm ∥∞ < ϵ. Esto prueba que lim ∥f − fm ∥∞ = 0.  m→∞

Teorema 4.3.2 Sea (X, A, µ) un espacio de medida y 1 ≤ p ≤ ∞. Si (fn ) ⊆ LpK (X, µ) es Cauchy entonces existe f ∈ LpK (X, µ) y existe (fkn ) ⊆ (fn ) tal que lim fkn (x) = f (x) c.t.p. de X. n→∞

Demostraci´ on. ¡Ejercicio!



Observaci´ on. Aquellos espacios normados en el que toda sucesi´on de Cauchy es convergente, son llamados espacios de Banach. El Teorema 4.3.1 muestra que (LpK (X, µ), ∥ ∥) es un espacio de Banach.

An´ alisis Real III

4.4

97

Aproximaci´ on por funciones continuas

En la presente secci´on, probaremos que cualquier elemento de Lp (X, µ) (1 ≤ p < ∞) puede ser aproximado, en la norma de Lp (X, µ), por una funci´on continua de soporte compacto. Empezamos con el siguiente resultado. Teorema 4.4.1 (Densidad de las funciones simples medibles en LpK (X, µ)) Sea 1 ≤ p ≤ ∞ y f ∈ LpK (X, µ). Dado ϵ > 0 existe s = s(ϵ) : X → C una funci´on simple medible tal que 1. µ ({x ∈ X; s(x) ̸= 0}) < ∞. 2. ∥f − s∥p < ϵ. Demostraci´ on. En primer lugar, consideremos el caso en que f ≥ 0. Por el Teorema 3.2.4 existe una sucesi´on de funciones simples medibles (sn ) tal que 0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ · · · ≤ sn ≤ · · · ≤ f y lim sn (x) = f (x), n→∞ ∀ x ∈ X. Como ∫ ∫ spn dµ ≤ f p dµ X

X

se sigue que (sn ) ⊆ Lp (X, µ). Afirmo que µ ({x ∈ X; sn (x) ̸= 0}) < ∞, ∀ n ∈ N. En efecto, supongamos que existe n0 ∈ N tal que k ∑ µ ({x ∈ X; sn0 (x) ̸= 0}) = ∞ (Hip. Aux.) Como sn0 = ci χEi (uni´on disjunta), podemos suponer que i=1

ck = 0, luego µ ({x ∈ E; sn0 (x) ̸= 0}) = E1 ∪ · · · ∪ Ek−1 y por tanto ∫

∫ E

spn0

= (E1 ∪···∪Ek−1 )

spn0

=

k−1 ∑∫ i=1

Ei

spn0

=

k−1 ∑∫ i=1

cpi

=

Ei

k−1 ∑

cpi µ(Ei ) ≥ cp µ ({x ∈ E; sn0 (x) ̸= 0}) = ∞

i=1

lo cual es una contradicci´ on por que sn ∈ Lp (E). Esto prueba la afirmaci´on. Tenemos que 0 ≤ (f − sn )p ≤ f p , ∀ n ∈ N y f p ∈ L(E). Adem´as, como limn→∞ (f − sn )p (x) = 0, ∀ x ∈ E, por el Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue tenemos que ∫ ( ∫ ) 0= lim (f − sn )p = lim (f − sn )p ≥ 0 E

n→∞

n→∞

E

se sigue que lim ∥f − sn ∥p = 0.

n→∞

Luego dado ϵ > 0 existe n0 ∈ N tal que ∥f − sn0 ∥p < ϵ.



Cap´ıtulo 5

Producto de espacios de medida 5.1

Producto de σ-´ algebras

Sean (X, A) e (Y, B) dos espacios medibles, no es dif´ıcil ver que la familia A × B = {A × B; A ∈ A, B ∈ B} no es una σ-´algebra sobre X × Y , sin embargo, la familia A × B genera una σ-´algebra sobre X × Y . Definici´ on 5.1.1 Sean (X, A) e (Y, B) dos espacios medibles, la σ-´ algebra producto de A y B se define como A ⊗ B = σ (A × B) Observaciones: 1. La familia A×B es un π-sistema. En efecto, es claro que X ×Y ∈ A×B, adem´as si A1 ×B1 , A2 ×B2 ∈ A × B, entonces (A1 × B1 ) ∩ (A2 × B2 ) = (A1 ∩ A2 ) × (B1 ∩ B2 ) ∈ A × B es decir la familia A × B es estable por intersecciones finitas. 2. Por la Proposici´on 2.4.1 sabemos que la familia A × B genera un λ-sistema Λ(A × B) y como A × B es un π-sistema, el Teorema 2.4.3 nos dice que Λ(A × B) = σ(A × B) = A ⊗ B Definici´ on 5.1.2 Sean (X, A) e (Y, B) dos espacios medibles y C ∈ A ⊗ B. Dados x ∈ X e y ∈ Y , la secci´ on vertical Cx y la secci´ on horizontal C y de C se definen como Cx = {y ∈ Y ; (x, y) ∈ C}

y 98

C y = {x ∈ X; (x, y) ∈ C}

An´ alisis Real III

99

Proposici´ on 5.1.1 Sean (X, A) e (Y, B) dos espacios medibles y C ∈ A ⊗ B, se tiene que Cx ∈ B, ∀ x ∈ X

y

C y ∈ A, ∀ y ∈ Y

Demostraci´ on. Dado x ∈ X, consideremos la familia Fx = {C ∈ A ⊕ B; Cx ∈ B} Debemos probar que Fx = A ⊗ B. Afirmaci´on 1: Fx es una σ-´ algebra de X × Y . En efecto, es claro que ∅x = ∅ ∈ B, luego ∅ ∈ Fx Sea C ∈ A ⊗ B, se cumple y ∈ (X × Y − C)x ⇐⇒ (x, y) ∈ X × Y − C ⇐⇒ (x, y) ∈ / C ⇐⇒ y ∈ / Cx ⇐⇒ y ∈ Y − Cx luego (X × Y − C)x = Y − Cx ∈ B y, por tanto, X × Y − C ∈ Fx Finlamente, sea {Ck }k∈N ⊆ Fx , se cumple: (∞ ) ∞ ∪ ∪ y∈ Ck ⇐⇒ (x, y) ∈ Ck ⇐⇒ ∃ k ∈ N tal que (x, y) ∈ Ck ⇐⇒ ∃ k ∈ N tal que y ∈ (Cx )k k=1

k=1

x

⇐⇒ y ∈ ( luego

∞ ∪ k=1

∞ ∪

(Ck )x

k=1

) =

Ck x

∞ ∪ k=1

(Ck )x ∈ B, por tanto

∞ ∪

Ck ∈ Fx . Esto prueba la Afirmaci´on 1.

k=1

Afirmaci´on 2: Fx = A ⊗ B. En efecto, en primer lugar Fx ⊆ A ⊗ B. Por otro lado, si A × B ∈ A × B, entonces { ∅, si x ∈ /A (A × B)x = B; si x ∈ A En cualquier caso (A × B)x ∈ B y, por tanto A × B ∈ Fx , luego A ⊗ B = σ(A × B) ⊆ Fx . Esto prueba la Afirmaci´on 2. La demostraci´on respecto a C y es an´aloga.  Proposici´ on 5.1.2 Sean (X, A) e (Y, B) dos espacios medibles y f : (X × Y, A ⊗ B) → R medible. Dados x ∈ X, y ∈ Y , definimos fx : Y → R y f y : X → R como fx (y) = f (x, y), ∀ y ∈ Y

y

f y (x) = f (x, y), ∀ x ∈ X

Se cumple que fx : Y → R es medible, ∀ x ∈ X y f y : X → R es medible, ∀ y ∈ Y . Demostraci´ on. Sea x ∈ X, para α ∈ R, tenemos y ∈ fx−1 (] − ∞, α[) ⇐⇒ f (x, y) < α ⇐⇒ (x, y) ∈ f −1 (] − ∞, α[) ⇐⇒ y ∈ f −1 (] − ∞, α[)x luego fx−1 (] − ∞, α[) = f −1 (] − ∞, α[)x . Por hip´otesis f −1 (] − ∞, α[) ∈ A ⊗ B, ∀ α ∈ R, por la Proposici´on 5.1.1, tenemos fx−1 (] − ∞, α[) = f −1 (] − ∞, α[)x ∈ B, ∀ α ∈ R luego fx : Y → R es medible, ∀ x ∈ X. An´alogamente se procede con f y .



An´ alisis Real III

5.2

100

Producto de medidas

Sean (X, A, µ) e (Y, B, ν) dos espacios de medida, ya sabemos que (X × Y, A ⊗ B) es un espacio medible. Vamos a probar que, bajo hip´otesis bien generales, es posible construir el producto de las medidas µ y ν. Esta medida producto es una generalizaci´on de como se construye el ´area en R2 a partir de la longitud de R. Teorema 5.2.1 Sean (X, A, µ) e (Y, B, ν) dos espacios de medida σ-finita. Existe una u ´nica medida σ-finita sobre (X × Y, A ⊗ B) que verifica las dos condiciones siguientes: 1. m(A × B) = µ(A)ν(B), ∀ A ∈ A, ∀ B ∈ B ∫ ∫ ν(Cx )dµ = µ(C y )dν, ∀ C ∈ A ⊗ B 2. X

Y

Demostraci´ on. Existencia: Dado C ∈ A ⊗ B, se tiene que Cx ∈ B, ∀ x ∈ X, luego ν(Cx ) ∈ [0, +∞], ∀ x ∈ X. Podemos definir fC : X → [0, +∞] como fC (x) = ν(Cx ). Con el objetivo de probar que fC es medible, ∀ C ∈ A ⊗ B; definimos la familia Λ = {C ∈ A ⊗ B; fC : X → [0, +∞] es medible} Afirmaci´ on 1: Si ν es medida finita, Λ es un λ-sistema. En efecto: Como f∅ (x) = ν(∅x ) = ν(∅) = 0, ∀ x ∈ X, luego f∅ es medible. ∞ ∪ Sea {Ck }k∈N ⊆ Λ tal que C1 ⊆ C2 ⊆ C3 ⊆ · · · y denotemos C = Ck ∈ A ⊗ B. Dado x ∈ X, k=1

tomando las secciones verticales tenemos que {(Ck )x }k∈N ⊆ B es tal que (C1 )x ⊆ (C2 )x ⊆ (C3 )x ⊆ . . . ⊆ Cx , lo cual implica que 0 ≤ fC1 ≤ fC2 ≤ fC3 ≤ · · · ≤ fC y (∞ ) ∪ (Ck )x = ν(Cx ) = fC (x) lim fCk (x) = lim ν ((Ck )x ) = ν k→∞

k→∞

k=1

Se sigue que fC es medible y, por tanto C ∈ Λ Finalmente, sean A, B ∈ Λ, con A ⊆ B, suponiendo inicialmente que ν es medida finita, tenemos: fB−A (x) = ν ((B − A)x ) = ν (Bx ) − ν (Ax ) = fB (x) − fA (x) = (fB − fA )(x) Como fB , fA son medibles, se sigue que fB−A tambi´en lo es, y por tanto B − A ∈ Λ. Esto prueba que Λ es un λ-sistema siempre que ν es finita. La Afirmaci´on 1 est´a probada. En el caso que ν es σ-finita, existe {Yn }n∈N ⊆ B, las cual podemos suponer creciente, tales que ∞ ∪ Y = Yn y ν(Bn ) < +∞, ∀ n ∈ N. Consideramos νn = ν , ∀ n ∈ N y como νn es finita, tenemos Yn

n=1

que, dado C ∈ A ⊗ B, la funci´on fn : X → [0, +∞], definida por fn (x) = νn (Cx ) es medible. Pero lim fn (x) = lim νn (Cx ) = lim ν(Cx ∩ Yn ) = ν (lim{Cx ∩ Yn )) = ν(Cx ) = fC (x)

n→∞

n→∞

n→∞

An´ alisis Real III

101

Se sigue que fC es medible, ∀ C ∈ A ⊗ B. Como A × B ⊆ Λ y A × B es un π-sistema, por el Teorema 2.4.3 tenemos A ⊗ B = σ(A × B) = Λ(A × B) ⊆ Λ ⊆ A ⊗ B Por tanto fC es medible, ∀ C ∈ A ⊗ B. Podemos definir m : A ⊗ B → [0, +∞] por ∫ ∫ fC dµ = ν(Cx )dµ m(C) = X

X

Afirmaci´ on 2: m es una medida sbre A ⊗ B. En efecto, sea {Ck }k∈N ⊆ A ⊗ B familia disjunta ( ∞dos a)dos, ∪ dado x ∈ X, se tiene que {(Ck )x }k∈N ⊆ B es una familia disjunta dos a dos y se cumple Ck = ∞ ∪

k=1

x

(Ck )x , luego, por el Teorema 3.3.6 tenemos:

k=1

( m

∞ ∪

) Ck

((

∫ =

ν X

k=1

=

∞ ∪ k=1

∞ ∫ ∑

Ck

(

∫ dµ =

ν X

x

ν ((Ck )x ) dµ = X

k=1

) )

∞ ∑

∞ ∪

) (Ck )x

dµ =

k=1

∫ (∑ ∞ X

) ν ((Ck )x ) µ

k=1

m(Ck )

k=1

La Afirmaci´on 2 est´a probada. Afirmaci´ on 3: m(A × B) = µ(A)ν(B), ∀ A ∈ A, ∀ B ∈ B. En efecto, dados A ∈ A, B ∈ B, denotemos C = A × B. Para x ∈ X, sabemos que { B, si x ∈ A Cx = ∅, si x ∈ /A De esta manera ν(Cx ) = 1A (x)ν(B), y por tanto ∫ ∫ m(C) = ν(Cx )dµ = 1A (x)ν(B)dµ = µ(A)ν(B) X

X

lo cual demuestra la Afirmaci´on 3. Unicidad: Sean m y m′ dos medidas sobre (X ×Y, A⊗B), tales que m(A×B) = µ(A)ν(B) y m′ (A×B) = µ(A)ν(B), ∀ A ∈ A, ∀ B ∈ B. Para probar que ellas son iguales, usaremos el Corolario 2. del Teorema 2.4.3. Ya sabemos que A × B es un π-sistema tal que σ(A × B) = A ⊗ B y m(A × B) = m′ (A × B),

∀ A ∈ A, ∀ B ∈ B

Como µ y ν son σ-finitas, existen {An }n∈N ⊆ A y {Bn }n∈N ⊆ B, las cuales podemos suponer crecientes, ∞ ∞ ∪ ∪ tales que X = An , Y = Bn y µ(An ) < +∞, ν(Bn ) < +∞, ∀ n ∈ N. n=1

n=1

An´ alisis Real III

102

Consideremos En = An × Bn , ∀ n ∈ N. Se cumple que {En }n∈N ⊆ A × B es tal que E1 ⊆ E2 ⊆ · · ·, ∞ ∪ X ×Y = En y m(En ) = ν(En ) < +∞, ∀ n ∈ N. De esta manera, por el el Corolario 2. del Teorema n=1

2.4.3, conclu´ımos que m = m′ Finalmente, procediendo an´alogamente, se prueba que m′ (C) =

∫ µ(C y )dν es una medida que Y

satisface la condici´on 1. Por unicidad, se sigue que m′ = m.



Observaciones: 1. La medida m del teorma anterior es llamada medida producto de µ y ν y se denota por µ ⊗ ν 2. Si µ o ν no son σ-finitas, el teorema anterior es falso.

5.3

El Teorema de Fubini

Teorema 5.3.1 (Fubini-Tonelli) Sean (X, A, µ) e (Y, B, ν) dos espacios de medida σ-finita y sea f : (X × Y, A ⊗ B) → [0, +∞] medible. Se cumple: 1. Las funciones ϕ : (X, A) → [0, +∞] y ψ : (Y, B) → [0, +∞] definidas por ∫ ∫ ϕ(x) = f (x, y)dν y ψ(y) = f (x, y)dν Y

X

son medibles. ) ) ∫ ∫ (∫ ∫ (∫ 2. f d(µ ⊗ ν) = f (x, y)dν dµ = f (x, y)dµ dν X×Y

X

Y

Y

X

∫ Demostraci´ on. 1.) Dado x ∈ X, sabemos que fx : Y → [0, +∞] es medible, luego existe fx (y)dν ∈ Y ∫ [0, +∞] y por tanto , la funci´on ϕ : X → [0, +∞] definida por ϕ(x) = f (x, y)dν est´a bien definida. Y

Probaremos que es medible.

Caso 1: f = 1C , donde C ∈ A ⊗ B. Se verifica que (1C )x = 1Cx , ∀ x ∈ X, luego ∫ ∫ ϕ(x) = (1C )x (y)dν = 1Cx (y)dν = ν(Cx ) Y

Y

la cual, como vimos en la demostraci´on del teorema anterior, es medible. Caso 2: f simple. Entonces existen c1 , . . . , ck ≥ 0 y existe {C1 , . . . , Ck } ⊆ A × B colecci´on disjunta dos k k ∪ ∑ a dos, con Ci = X × Y tal que f = ci 1Ci , luego i=1

i=1

∫ ϕ(x) =

f (x, y)dν = Y

∫ (∑ k Y

i=1

) ci 1Ci

(x, y)dν =

k ∑ i=1

∫ ci

1Ci (x, y)dν Y

An´ alisis Real III

103

luego, por el Caso 1, ϕ es medible. Caso 3: f medible. En este caso, existe (sn ) sucesi´on de funciones simples tales que 0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ · · · y lim sn (x, y) = f (x, y). Por el Teorema de la Convergencia Mon´otona: n→∞

∫

∫ (

ϕ(x) =

f (x, y)dν = Y

∫ ) lim sn (x, y) dν = lim sn (x, y)dν

n→∞

Y

n→∞

Y

∫

Por el Caso 2, la funci´on ϕn : X → [0, +∞] definida por ϕn (x) =

sn (x, y)dν es medible, luego Y

ϕ = lim ϕn es medible. n→∞

An´alogamente se prueba que ψ : (Y, B) → [0, +∞] es medible. 2. ) Consideremos tres casos: Caso 1: f = 1C , donde C ∈ A ⊗ B. En este caso tenemos: ) ∫ (∫ ∫ ∫ 1C (x, y)dν dµ = ν(Cx )dµ = (µ ⊗ ν)(C) = X

y

Y

∫ (∫ Y

X

1C d(µ ⊗ ν) X×Y

) ∫ ∫ 1C (x, y)dµ dν = ν(C y )dν = (µ ⊗ ν)(C) = X

Y

1C d(µ ⊗ ν) X×Y

lo cual prueba la igualdad. Caso 2: f simple. En este caso existen c1 , . . . , ck ≥ 0 y existe {C1 , . . . , Ck } ⊆ A × B colecci´on disjunta k k ∪ ∑ dos a dos, con Ci = X × Y tal que f = ci 1Ci , luego i=1

∫ (∫

i=1

) f (x, y)dν dµ =

X

Y

∫ (∫ [∑ k X

=

k ∑

Y

∫ (∫ ci

i=1

∫ (∫

X

Y

) f (x, y)dν dµ =

X

Y

k ∑ i=1

)

ci 1Ci (x, y)dν

dµ =

∫ (∑ k X

)

∫ ci

1Ci (x, y)dν

dµ

Y

i=1

) ) ∫ (∫ k ∑ 1Ci (x, y)dν dµ = ci 1Ci (x, y)dµ dν

Y

i=1

) f (x, y)dµ dν

= Adem´as: ∫ (∫

i=1

]

Y

X

X

∫ (∫ ci

) 1Ci (x, y)dν dµ =

X

Y

k ∑ i=1

∫ ci (µ ⊗ ν)(Ci ) =

f d(µ ⊗ ν) X×Y

Caso 3: f medible. En este caso, existe (sn ) sucesi´on de funciones simples en X × Y tales que 0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ · · · y lim sn (x, y) = f (x, y). n→∞

Dado x ∈ X, se tiene que ((sn )x ) es una sucesi´on de funciones simples en Y , tales que 0 ≤ (s1 )x ≤ (s2 )x ≤ · · · y lim (sn )x (y) = fx (y). n→∞

An´ alisis Real III

104

∫ Por otro lado, para n ∈ N, consideramos la funci´on ϕn : X → [0, +∞] definida por ϕn (x) = sn (x, y)dν. Se sigue que (ϕn ) es una sucesi´on de funciones medibles en X que cumple 0 ≤ ϕ1 ≤ ϕ2 ≤ · · · Y y ∫ ∫ ( ∫ ) lim ϕn (x) = lim sn (x, y)dν = lim sn (x, y) dν = f (x, y)dν n→∞

n→∞

Y

n→∞

Y

Y

Por el Teorema de la Convergencia Dominada, el Caso 2 y lo anterior, tenemos ) ∫ ∫ (∫ ∫ ∫ f d(µ ⊗ ν) = lim sn d(µ ⊗ ν) = lim sn (x, y)dν dµ = lim ϕn (x)dµ n→∞ X×Y n→∞ X n→∞ X X×Y Y ) (∫ ∫ ( ∫ ) f (x, y)dν dµ = lim ϕn (x) dµ = X

n→∞

X

Y

Y

X

∫ (∫

∫ f d(µ ⊗ ν) =

An´alogamente, se prueba que X×Y

) 

f (x, y)dµ dν.

De la Proposici´on 5.1.2, sabemos que si f : (X ×Y ) → A×B) → K es medible entonces fx : (Y, B) → K y f y : (X, A) → K son medibles, ∀ x ∈ X, ∀ y ∈ Y . El siguiente resultado, debido a Fubini, nos dice que ocurre si f ∈ L1K (X × Y, A ⊗ B)) Teorema 5.3.2 (Fubini) Sean (X, A, µ) e (Y, B, ν) dos espacios de medida σ-finita y sea f ∈ L1K (X × Y, µ ⊗ ν). Se cumple: 1. fx ∈ L1K (Y, ν), c.t.p. de X y f y ∈ L1K (X, µ), c.t.p. de Y . ∫ ∫ 2. Las funciones ϕ(x) = f (x, y)dν y ψ(y) = f (x, y)dν est´an definidas en c.t.p. de X y de Y , Y

X

respectivamente y adem´as ϕ ∈ L1 (X, µ) y ψ ∈ L1 (Y, ν) ) ) ∫ ∫ (∫ ∫ (∫ 3. f d(µ ⊗ ν) = f (x, y)dν dµ = f (x, y)dµ dν X×Y

X

Y

Y

X

Demostraci´ on. Solo haremos la demostraci´on para el caso K = R. ∫ 1.) Debemos probar que |fx |dν < ∞ c.t.p. de X ´o, equivalentemente: Y

({ µ

})

∫ x ∈ X;

|fx |dν = +∞

=0

Y

Para ello, usaremos el siguiente resultado:

∫

Sea (X, A, µ) un espacio de medida y g : X → [0, +∞] medible. Si

gdµ < +∞ entonces µ([g = X

+∞]) = 0. Como f ∈ L1K (X × Y, µ ⊗ ν) entonces f es medible y, por tanto f + y f − son medibles. Por el Teorema de Fubini-Tonelli: ] ∫ [∫ ∫ ∫ f + (x, y)dν dµ = f + d(µ ⊗ ν) ≤ |f |d(µ ⊗ ν) < +∞ X

Y

X×Y

X×Y

An´ alisis Real III

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({ }) ∫ x ∈ X; f + (x, y)dν = ∞ = 0. Y ({ }) ∫ An´alogamente µ x ∈ X; f − (x, y)dν = ∞ = 0 y de aqu´ı se sigue el resultado.

Esto muestra que µ

Y

2.) Como fx ∈ L1R (Y, ν) c.t.p. de X, la funci´on ϕ : X → R est´a definida c.t.p. de X. Adem´as ∫ ∫ ∫ ∫ + |ϕ(x)| = f (x, y)dν ≤ |f |(x, y)dν = f (x, y)dν + f − (x, y)dν c.t.p. de X Y

luego

Y

Y

∫ [∫

∫

]

|ϕ(x)|dµ ≤ X

Y

∫ [∫

−

+

f (x, y)dν dµ + X

Y

]

f (x, y)dν dµ < +∞ X

Y

De esta manera ϕ ∈ L1 (X, µ). De manera an´aloga se prueba que ψ ∈ L1 (Y, ν). 3.) Por el Teorema de Fubini-Tonelli: ∫ ∫ ∫ f d(µ ⊗ ν) = f + d(µ ⊗ ν) − f − d(µ ⊗ ν) X×Y X×Y X×Y ) ) ) ∫ (∫ ∫ (∫ ∫ (∫ + − = f (x, y)dν dµ − f (x, y)dν dµ = f (x, y)dν dµ X

Y

De manera an´aloga se prueba la otra igualdad.

X

Y

X

Y