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• Esteban Andrés Salgado Valenzuela

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´ lica de Chile Pontificia Universidad Cato ´ ticas Facultad de Matema Escuela de Ingenier´ıa

An´ alisis Real (MAT251I) Tarea 2

Esteban Andr´es Salgado Valenzuela [email protected]

Primer semestre 2013

Problema 1. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Demostrar que K ⊂ X es compacto si y solo si todo recubrimiento abierto de K en X tiene un subrecubrimiento finito. (Recordar que definimos K ⊂ X como compacto si el subespacio m´etrico (K, d|K×K ) es un espacio m´etrico compacto).

Demostraci´ on. [⇒] Sea {Θα }α∈A un recubrimiento abierto de K en X, entonces [ K⊂ Θα α∈A

Sabemos que ∀ U abierto en K, existe V abierto en X tal que U = V ∩ K, luego sea {Ωα }α∈A una familia de abiertos en K se tiene que existe Θα tal que Ωα = Θα ∩ K Luego K ⊂

[

Θα

α∈A

K ∩K ⊂ K ∩

[

Θα

α∈A

K ⊂

[

(Θα ∩ K)

α∈A

K ⊂

[

Ωα

α∈A

Como K es compacto, este recubrimiento abierto tiene un subrecubrimiento finito, i.e. existe I ⊂ A, con |I| < ∞ tal que [ K ⊂ Ωα α∈I

[

=

(Θα ∩ K)

α∈I

= K∩

[ α∈I

[

⊂

α∈I

Por la arbitrariedad de {Ωα }α∈A concluimos.

1

Θα

Θα

[⇐] Sea Ωα un recubrimiento abierto de K en (K, d|K×K ). Existen Θα abiertos en X tales que Ωα = Θα ∩ K, luego [ K = Ωα α∈A

[

=

(Θα ∩ K)

α∈A

= K∩

[

Θα

α∈A

[

⊂

Θα

α∈A

Luego {Θα }α∈A es un recubrimiento abierto de K en X, por lo que admite un subrecubrimiento finito, i.e. existe I ⊂ A, con |I| < ∞ tal que [ K ⊂ Θα α∈I

[

K ∩K ⊂ K ∩

Θα

α∈I

K ⊂

[

(Θα ∩ K)

α∈I

=

[

Ωα

α∈I

Luego todo recubrimiento abierto de K en (K, d|K×K ) admite un subrecubrimiento finito, por lo tanto es K es compacto.

Problema 2. Sea (X, d) un espacio m´etrico y F ⊂ X. Demostrar que (i) F compacto ⇒ F totalmente acotado. (ii) F totalmente acotado ⇒ F acotado.

Demostraci´ on. (i) Sea ε > 0, entonces {B(x, ε)}x∈F es un recubrimiento abierto de F en X, pues para todo x ∈ F se tiene x ⊂ B(x, ε). 1 Como F es compacto, este recubrimiento tiene un subrecubrimiento finito, entonces existe F ⊂ F con |F| < ∞ tal que [ F ⊂ B(x, ε) x∈F

Como es ∀ ε > 0 se tiene que F es totalmente acotado. 1

Ya que d(x, x) = 0 < ε.

2

(ii) Como F es totalmente acotado, existe {xi }ni=1 ⊂ F con n ∈ N tal que ∀ ε > 0 n [

F ⊂

B(xi , ε)

i=1

Sean r = m´ ax {d(x1 , xi )} y R = r + ε, entonces i=1,...,n

n [

B(xi , ε) ⊂ B(x1 , R)

i=1

Pues, si x ∈

n [

B(xi , ε), entonces existe j ∈ {1, . . . , n} tal que d(xj , x) < ε. Luego

i=1

d(x1 , x) ≤ d(x1 , xj ) + d(xj , x) ≤ r+ε = R Por lo que x ∈ B(x1 , R). Con esto concluimos que F ⊂ B(x1 , R) Entonces, F es acotado.

Problema 3. Demuestre que el conjunto

l2

 :=

P

(xn )n∈N : xn ∈ R, ∀ n ∈ N ∧

x2n