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• Samuel Emersson Aguilar Huaman

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• Matlab
• Integral
• Análisis
• Cognición
• Sicología y ciencia cognitiva

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1 INTRODUCCION

El presente trabajo muestra el desarrollo de ejercicios de integrales dobles y triples en el programa Matlab. Este programa es un avanzado software de trabajo matemático, ideado con la finalidad de mejorar las habilidades científico- técnicas del estudiante. Es importante agregar además que Matlab es un potente lenguaje industrial, orientado a la resolución de problemas del mundo real, pertenecientes al entorno de la ingeniería y a la investigación básica. En este sentido, usando el programa Matlab, se presentará la solución de diez ejercicios diversos sobre integrales dobles y triples, demostrando así la gran utilidad de dicho programa para solucionar problemas del curso de Análisis Matemático III.

2 OBJETIVOS 

Afianzar los conocimientos sobre el tema de integrales dobles y triples.



Mostrar métodos para calcular integrales dobles y triples en Matlab



Profundizar en el conocimiento y uso de Matlab

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EJERCICIOS DE INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES USANDO MATLAB I.

INTEGRALES DOBLES

1. Calcular la integral ∬ 18𝑥 + 𝑦 + 36 𝑑𝑥 Donde R: 𝑥 2 + 18𝑦² = 1 ; 36𝑥 2 + 𝑦 2 = 1

Graficos clear clc x= -4:0.1:4; y=-5:0.1:5; [X,Y] = meshgrid(x,y); f1= (X.^2)+(18*Y.^2)-1; plot3(X,Y,f1); surf (X,Y,f1); hold on x1= -4:0.1:4; y1=-5:0.1:5; [X1,Y1] = meshgrid(x1,y1); f1= (36*X1.^2)+ (Y1.^2)-1; plot3(X1,Y1,f1); surf (X1,Y1,f1);

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Solucion

clear clc syms x y;

5 f= input ('Digite función a integrar='); F= inline (char(f))

;

a = input ('desde (y):'); b = input ('hasta (y): '); a1 = input ('desde (x): '); b1 = input ('hasta (x):'); F = int (int(f,y,a,b),x,a1,b1)

1

√𝑥

2. Calcular la integral doble ∫0 ∫𝑥 𝑥 3 + 𝑦 3 dydx Grafica clear clc x= -4:0.1:4; y=-5:0.1:5; [X,Y] = meshgrid(x,y); f1= (X.^3)+(Y.^3); plot3(X,Y,f1); hold on

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Solución clear clc syms x y; f= input ('Digite función a integrar='); F= inline (char(f))

;

a = input ('desde (y):'); b = input ('hasta (y): '); a1 = input ('desde (x): '); b1 = input ('hasta (x):'); F = int (int(f,y,a,b),x,a1,b1)

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3. Calcular el área bajo la curva 2y= x² ; x+y = 3, y=0 Gráfico x = -4:0.01:4; f1=(x.^2)./2; plot(x,f1) hold on f2=(3-x); plot(x,f2) f3=0; plot(x,f3) hold on

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Solucion clear clc syms x y; f= input ('Digite función a integrar='); F= inline (char(f))

;

a = input ('desde (y):'); b = input ('hasta (y): '); a1 = input ('desde (x): '); b1 = input ('hasta (x):'); F = int (int(f,y,a,b),x,a1,b1)

9

Simplificando F= 12.3468

4. Calcular el área bajo la curva 𝐲 = 𝐱 𝟐 + 𝟒; 𝐲 = 𝟖;

Gráfico Clc Clear x = 0:0.1:4; f1=x.^2+a; plot(x,f1) hold on f2=8; plot(x,f2) x = 0:0.1:5; f3=0; plot(f3,x)

𝐱=𝟎

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Solucion clear clc syms x y; f= input ('Digite función a integrar='); F= inline (char(f))

;

a = input ('desde (y):'); b = input ('hasta (y): '); a1 = input ('desde (x): '); b1 = input ('hasta (x):');

F = int (int(f,y,a,b),x,a1,b1)

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5. Calcular la integral definida por ∭ 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 , sabiendo que 0> cylinder (1,40); axis square; colormap([.0 1.0 .0])

Solucion Pasando a coordenadas cilíndricas X= rcos(Ɵ) Y= rsen(Ɵ) Z=z J(r,Ɵ,z) =r  D : { (r,Ɵ,z)/ 0≤ r≤1 ; 0 ≤ Ɵ≤2pi ; -1≤z≤1} Calculando la integral usando Matlab

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Simplificando: F= 3.675 8. Encontrar el momento de inercia respecto al eje Z del sólido homogéneo dentro del paraboloide x²+y²= z², p es la densidad del volumen constante K slug/p³ Iz = ∭ 𝑘 (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

Transformando a coordenadas cilíndricas X= rcos(Ɵ) Y= rsen(Ɵ) Z=z J(r,Ɵ,z) =r Iz = ∭ 𝑘𝑟³𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑Ɵ Donde:

R> cylinder (3,40); axis square; colormap ([.0 .5 .0])

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Solución Pasando a coordenadas cilíndricas

y= rcos(Ɵ) z= rsen(Ɵ) x=x J(r,Ɵ,z) =r

La integral nueva sería ∭ exp(𝑥) 𝑟²𝑑𝑥drdƟ

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Conclusiones Después de resueltos los ejercicios, se puede observar la versatilidad del software Matlab ya que los problemas aquí resueltos se han tratado tanto por ventanas de script ejecutables en función como por función directamente (en general, para los gráficos). Igualmente, se puede agregar que se ha aprendido más sobre cómo gráficar funciones en 2D y 3D. Por ejemplo, se observa que para graficar funciones en tres dimensiones se utiliza el comando ‘plot3’ y para graficar funciones en 2D se emplea solamente ‘plot’. Por otro lado, también se ha podido observar ciertas limitaciones de Matlab en el comando ‘int’ de integración, ya que ciertas integrales no arrojaban un resultado cuando se digitaban en el programa. Por este motivo, se recurrió a la transformación a coordenadas cilíndricas, afianzando así los conocimientos del curso Analisis Matemático III.