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Tecnológico Nacional de México Instituto Tecnológico de Cerro Azul

Carrera: Ingeniería Petrolera.

Asignatura: Análisis numérico.

Docente: I.S.C. María del Carmen Baca Gutiérrez.

Trabajo: Investigación: Unidad 4. Interpolación.

Alumno

No. De control

Díaz Altamirano Luis Antonio

17500614

Periodo Agosto – Diciembre, 2018.

Unidad 4. Interpolación. Introducción: En ciertos casos el usuario conoce el valor de una función f(x) en una serie de puntos x1, x2, · · ·, xN, pero no se conoce una expresión analítica de f(x) que permita calcular el valor de la función para un punto arbitrario. Un ejemplo claro son las mediciones de laboratorio, donde se mide cada minuto un valor, pero se requiere el valor en otro punto que no ha sido medido. Otro ejemplo son mediciones de temperatura en la superficie de la Tierra, que se realizan en equipos o estaciones meteorológicas y se necesita calcular la temperatura en un punto cercano, pero distinto al punto de medida.

4.1 Interpolación. En el subcampo matemático del análisis numérico, se denomina interpolación a la obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos. En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir una función que los ajuste. Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos una función cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función más simple.

En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores evaluando la función obtenida que si evaluamos la función original, si bien dependiendo de las características del problema y del método de interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido. En todo caso, se trata de, a partir de n parejas de puntos (xk, yk), obtener una función f que verifique:

A la que se denomina función interpolante de dichos puntos. A los puntos xk se les llama nodos. Algunas formas de interpolación que se utilizan con frecuencia son la interpolación lineal, la interpolación polinómica (de la cual la anterior es un caso particular), la interpolación por medio de spline o la interpolación polinómica de Hermite. Interpolación Lineal La interpolación lineal es el método más simple en uso. Es el método usado por los programas de generación de gráficas, donde se interpola con líneas rectas entre una serie de puntos que el usuario quiere graficar. La idea básica es conectar los 2 puntos dados en xi, es decir (x0, y0) y (x1, y1). La función interpolante es una línea recta entre los dos puntos. Para cualquier punto entre los dos valores de x0 y x1 se debe seguir la ecuación de la línea que se puede derivar geométricamente.

En lo anterior, el único valor desconocido es y, que representa el valor desconocido para x, despejando queda:

Donde se asume que x0 < x < x1, de otra forma esto se conocería como extrapolación. Si se tienen más de dos puntos para la interpolación, es decir N > 2, con puntos x0, x1, · · ·, xN, simplemente se conecta la interpolación lineal entre pares de puntos continuos.

La interpolación lineal es un caso particular de la interpolación general de Newton. Con el polinomio de interpolación de Newton se logra aproximar un valor de la función f(x) en un valor desconocido de x. El caso particular, para que una interpolación sea lineal es en el que se utiliza un polinomio de interpolación de grado 1, que se ajusta a los valores en los puntos x1 y x2 . Se denota de la siguiente manera:

En una tabla se representan algunos valores de la función, pero no todos. En ocasiones, nos interesa el valor de la función para un valor de la variable independiente distinto de los que figuran en la tabla; en este caso, podemos tomar el más próximo al buscado o aproximarnos un poco más por interpolación. La interpolación casi siempre nos dará un pequeño error respecto al valor de la función verdadero, pero siempre será menor que tomar el valor más próximo de los que figuran en la tabla. Veamos cómo se calcula al valor de la función para un valor de la variable independiente que se encuentre entre dos valores de la tabla por interpolación lineal.

Por la tabla sabemos que:

Y:

Queremos, pues, saber: Siendo: La interpolación lineal consiste en trazar una recta que pasa por (x1, y1) y (x2, y2), y = r(x) y calcular los valores intermedios según esta recta en lugar de la función y = f(x) Para ello nos basamos en la semejanza de triángulos

esto es:

Interpolación polinomial. En análisis numérico, la interpolación polinómica (o polinomial) es una técnica de interpolación de un conjunto de datos o de una función por un polinomio. Es decir, dado cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento se pretende encontrar un polinomio que pase por todos los puntos. Cuando se tienen dos puntos, estos pueden ser unidos con una línea recta. Dos puntos cualquiera en un plano (x0, y0) and (x1, y1), donde x0 ≠ x1, determinan un polinomio de primer grado en x, donde la función pasa por ambos puntos.

Una generalización de lo anterior sugiere que dados N puntos en un plano (xk, yk) con k = 1, 2, · · ·, N y distintos xk, existe un único polinomio en x de grado menor a N cuya función pasa por todos los puntos. Este tipo de polinomio se le conoce como polinomio de interpolación ya que reproduce los datos exactamente:

La forma de describir este tipo de polinomios es con la forma Lagrangiana:

Donde hay N términos en la suma y N − 1 en los productos, de tal manera que esta expresión describe un polinomio de grado hasta N −1. Si P(x) es evaluado en los puntos x = xk, todos los productos excepto el k son ceros. Además el producto k es igual a 1, así que la suma es igual a yk y las condiciones de interpolación (puntos xk exactos) son cumplidas. Una forma más común de representar un polinomio, diferente a la Lagrangiana es de la forma:

Esta expresión se puede generalizar para polinomios de interpolación así:

Donde cn son los coeficientes, que deben ser estimados o encontrados. Este sistema de ecuaciones lineales se puede resolver con métodos de teoría de inversión y estimación paramétrica que más adelante se discutirán. En la práctica, se pude utilizar la ecuación para estimar el polinomio de interpolación para los datos disponibles. Existen ciertas desventajas del uso de polinomios ya que puede tener mucha oscilación entre los puntos xk. En ocasiones se plantea el problema de que se conoce una tabla de valores de una función desconocida o difícil de manejar, y nos interesaría sustituirla por otra más sencilla (por ejemplo, un polinomio) que verifique la tabla de valores. Este es el problema de interpolación polinómica:

Problema General de Interpolación (P.G.I.) Sea L un espacio vectorial de dimensión N sobre R. Sean F1,. . ., FN ∈ L ∗, esto es, N aplicaciones lineales Fi: L −→ R, i = 1,. . ., N. Entonces, dados w1,. . ., wN ∈ R, encontrar f ∈ L tal que: Fi (f) = wi, ∀i = 1,. . ., N. Teorema 1: (Existencia y unicidad de solución del P.G.I.) Son equivalentes:    

Existe un único elemento f ∈ L tal que Fi (f) = wi , ∀i = 1, . . . , N. 0 es el único elemento de L tal que Fi (f) = 0, ∀i = 1,. . ., N. Para cualquier base {f1,. . ., fN} de L se tiene que det(Fi(fj)) 6= 0. Existe, al menos, una base {f1,. . ., f N} de L tal que det(Fi(fj)) 6= 0.

En caso de que el P.G.I. tenga solución ´única, esta puede caracterizarse mediante el siguiente resultado: Teorema 2: Representación de Lagrange:   

Sea L un espacio vectorial de dimensión N sobre R. Sea {F1, . . . , FN} una base de L ∗ Sea {f ∗ 1 , . . . , f ∗ N} su base dual, es decir: Fi (f ∗ j) = δij, ∀i, j = 1,. . ., N

Cálculo del polinomio interpolador Se dispone de varios métodos generales de interpolación polinómica que permiten aproximar una función por un polinomio de grado m. El primero de estos es el método de las diferencias divididas de Newton. Otro de los métodos es la interpolación de Lagrange, y por último, la interpolación de Hermite. Método de las diferencias divididas de Newton Sea fn una variable discreta de n elementos y sea xn otra variable discreta de elementos los cuales corresponden, por parejas, a la imagen u ordenada y abscisa de los datos que se quieran interpolar, respectivamente, tales que:

Este método es algorítmico y resulta sumamente cómodo en determinados casos, sobre todo cuando se quiere calcular un polinomio interpolador de grado elevado. El polinomio de grado n – 1 resultante tendrá la forma:

Definiendo como:

Y definiendo como:

Los coeficientes aj son las llamadas diferencias divididas. Una vez se hayan realizado todos los cálculos, nótese que hay (muchas) más diferencias divididas que coeficientes aj . El cálculo de todos los términos intermedios debe realizarse simplemente porque son necesarios para poder formar todos los términos finales. Sin embargo, los términos usados en la construcción del polinomio interpolador son todos aquellos que involucren a x0. Estos coeficientes se calculan mediante los datos que se conocen de la función f, quedando definido, como:

Interpolación de Lagrange El polinomio de interpolación de Lagrange, simplemente es una reformulación del polinomio de Newton que evita los cálculos de las diferencias divididas. Este se puede representar concretamente como:

En donde:

En donde

denota el "producto de". Ejemplo: la versión lineal (n = 1) es:

Y la versión de segundo orden es:

Al igual que en el método de Newton, la versión de Lagrange tiene un error aproximado dado por:

La ecuación anterior se deriva directamente del polinomio de Newton. Sin embargo, la razón fundamental de la formulación de Lagrange se puede comprender directamente notando que cada término Li(X) será 1 en X=Xi y 0 en todos los demás puntos. Por lo tanto, cada producto Li(X) f(Xi) toma un valor de f(Xi) en el punto Xi. Por consiguiente la sumatoria de todos los productos, dada por la ecuación es el único polinomio de n-ésimo orden que pasa exactamente por los n+1 puntos. Ejemplo: Úsese un polinomio de interpolación de Lagrange de primer y segundo orden para evaluar ln 2 en base a los datos:

i

X

f(X)

0

1.0

0.000 0000

1

4.0

1.386 2944

2

6.0

1.791 7595

Solución: El polinomio de primer orden es:

Y, por lo tanto, la aproximación en X = 2 es

De manera similar, el polinomio de segundo orden se desarrolla como:

Como se expresaba, ambos resultados son similares a los que se obtuvieron previamente usando la interpolación polinomial de Newton. Para los casos en donde el orden del polinomio se desconozca, el método de Newton tiene ventajas debido a que profundiza en el comportamiento de las diferentes fórmulas de orden superior, en general puede integrarse fácilmente en los cálculos de Newton ya que la aproximación usa una diferencia dividida. De esta forma.

Cuando se va a llevar a cabo sólo una interpolación, ambos métodos, el de Newton y el de Lagrange requieren de un esfuerzo de cálculo similar. Sin embargo, la versión de Lagrange es un poco más fácil de programar. También existen casos en donde la forma de Newton es más susceptible a los errores de redondeo. Debido a esto y a que no se requiere calcular y almacenar diferencias divididas, la forma de Lagrange se usa, a menudo, cuando el orden del polinomio se conoce a priori. Interpolación de Hermite El polinomio de Hermite es aquel que interpola una colección de puntos y el valor de sus derivadas en los puntos que deseamos. Es decir, supongamos que tenemos (xk, fk) y (xk, f´k). Entonces construimos la misma tabla que en el método de Newton, poniendo en la primera columna los xk, escribiendo dos veces el mismo punto si conocemos el valor de la derivada en ese punto, y en la segunda columna los valores de f correspondiente al x e la misma fila. Es decir, si conocemos el valor f de en x0 y el de su derivada también, escribiremos dos veces y al lado de cada uno f0. Ejemplo:

A partir de aquí procedemos de la misma forma, pero con la diferencia que tenemos que definir f(xi, xi) = f´i, el valor de la derivada en xi.

Por lo tanto, si disponemos de n+1 valores de la función y valores de n+1 las derivadas, el polinomio de Hermite tendrá grado 2n+1. Consideremos un ejemplo: Supongamos que queremos calcular f (1/8) donde f(x) = tanπx a partir de interpolación de Hermite en 0, (1/4). Para conseguirlo, escribimos una tabla como en interpolación de Newton pero repitiendo cada dato del que conozcamos su derivada. Es decir:

Procediendo de la misma forma que en interpolación de Newton, obtenemos:

Interpolación segmentaria o splines En el subcampo matemático del análisis numérico, un spline es una curva diferenciable definida en porciones mediante polinomios.

En los problemas de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado, evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayoría de las aplicaciones, encontradas al interpolar mediante polinomios de grado elevado. Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formas complicadas. La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen populares para la representación de curvas en informática, particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador. El término "spline" hace referencia a una amplia clase de funciones que son utilizadas en aplicaciones que requieren la interpolación de datos, o un suavizado de curvas. Los splines son utilizados para trabajar tanto en una como en varias dimensiones. Las funciones para la interpolación por splines normalmente se determinan como minimizadores de la aspereza sometidas a una serie de restricciones. Tipos:  Interpolación con splines de grado 1 - Spline lineal  Interpolación con splines de grado 2 - Spline cuadrática  Interpolación con splines de grado 3 - Spline cúbica Spline Lineal Los splines de grado 1 son funciones polinomiales de grado 1 (Rectas de la forma f(x)=ax+b) que se encargan de unir cada par de coordenadas mediante una recta. Dados los n+1 puntos:

Una función spline de grado 1 que interpole los datos es simplemente unir cada uno de los puntos (Par coordenados) mediante segmentos de recta, como se ilustra en las siguientes figuras:

Claramente esta función cumple con las condiciones de la spline de grado 1. Así, se tiene que para este caso:

Spline cuadrática. Los polinomios P(x) a través de los que construimos el Spline tienen grado 2. Esto quiere decir, que va a tener la forma P(x) = ax² + bx + c

Como en la interpolación segmentaria lineal, vamos a tener N-1 ecuaciones (donde N son los puntos sobre los que se define la función). La interpolación cuadrática nos va a asegurar que la función que nosotros generemos a trozos con los distintos P(x) va a ser continua, ya que para sacar las condiciones que ajusten el polinomio, vamos a determinar cómo condiciones: 

Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Es decir, que las dos Pn(x) que rodean al f(x) que queremos aproximar, sean igual a f(x) en cada uno de estos puntos.



Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común.



Esto sin embargo no es suficiente, y necesitamos una condición más. Tenemos 3 incógnitas por cada P(x). En un caso sencillo con f(x) definida en tres puntos y dos ecuaciones P(x) para aproximarla, vamos a tener seis incógnitas en total. Para resolver esto necesitaríamos seis ecuaciones, pero vamos a tener tan sólo cinco: cuatro que igualan el P(x) con el valor de f(x) en ese punto (dos por cada intervalo), y la quinta al igualar la derivada en el punto común a las dos P(x).

Se necesita una sexta ecuación. Esto suele hacerse con el valor de la derivada en algún punto, al que se fuerza uno de los P(x). Spline Cubica Cada polinomio P(x) a través del que construimos los Splines en [m,n] tiene grado 3. Esto quiere decir, que va a tener la forma P(x) = ax³ + bx² + cx + d En este caso vamos a tener cuatro variables por cada intervalo (a,b,c,d), y una nueva condición para cada punto común a dos intervalos, respecto a la derivada segunda:



Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Es decir, que las dos Pn(x) que rodean al f(x) que queremos aproximar, sean igual a f(x) en cada uno de estos puntos.



Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común. Que la derivada segunda en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común.



Como puede deducirse al compararlo con el caso de splines cuadráticos, ahora no nos va a faltar una sino dos ecuaciones (condiciones) para el número de incógnitas que tenemos.

La forma de solucionar esto, determina el carácter de los splines cúbicos. Así, podemos usar: Splines cúbicos naturales: La forma más típica. La derivada segunda de P se hace 0 para el primer y último punto sobre el que está definido el conjunto de Splines, esto son, los puntos m y n en el intervalo [m,n]. Dar los valores de la derivada segunda de m y n de forma "manual", en el conjunto de splines definidos en el intervalo [m,n]. Hacer iguales los valores de la derivada segunda de m y n en el conjunto de splines definidos en el intervalo [m,n]. Splines cúbicos sujetos: La derivada primera de P debe tener el mismo valor que las derivada primera de la función para el primer y último punto sobre el que está definido el conjunto de Splines, esto son, los puntos m y n en el intervalo [m,n].

Definición: Proceso de cálculo del polinomio s(x): 1) Determinar los hi= xi-xi-1. 2) Hallar los coeficientes ai con la expresión (1) (incluido an+1).

3) Plantear el sistema de ecuaciones en ci con la expresión (6), al que añadimos la ecuación que contiene cn+1(i = 2, 3,…, n). 4) Plantear las 2 ecuaciones adicionales en ci con las expresiones (7a), (7b), (8a) u (8b) según corresponda. 5) Resolver el sistema y hallar los coeficientes ci (incluido cn+1). 6) Hallar los coeficientes di con la expresión (4). 7) Hallar los coeficientes bi con la expresión (2). 8) Hallar el polinomio interpolador s(x) definido a trozos (un sí (x) para cada intervalo Ii)

Interpolación racional. Una Función racional r, de grado N, es un cociente de polinomios cuyos grados suman N.

La primera forma de obtener esta función racional se parece más a una interpolación que a una aproximación, propiamente dicha. Supongamos que x1, x2,…, xN son puntos, ninguno de los cuales es igual al punto x0, en torno al cual se obtiene la interpolación. Queremos que f(x) y r(x) coincidan en el conjunto x0, x1, x2,…, xN. Para que exista en x0, debe ser q0≠0 y podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que q0=1. Por otra parte, al sustituir x por x0, se obtiene p0=f(x0). Así pues, el punto ya ha sido utilizado y no intervendrá en los cálculos siguientes.

Si sustituimos en r(x), cada uno de los puntos x0, x1, x2,…, xN y exigimos que el resultado sea, en cada caso, el valor de f(x) en dichos puntos, obtendremos el sistema de ecuaciones:

Interpolación cuadrática Cuando el polinomio que conviene es de 2º grado la interpolación recibe el nombre de cuadrática. El polinomio interpolador es único, luego como se encuentre da igual., sin embargo, a veces los cálculos son muy laboriosos y es preferible utilizar un método que otro. A la vista de los datos se decide. También podemos utilizar la expresión del polinomio interpolador.

Lagrange dio una manera simplificada de calcular los polinomios interpoladores de grado 𝒏 Para el caso de un polinomio de 2º grado. Con frecuencia se tienen que estimar valores intermedios entre valores conocidos. El método más común empleado para este propósito es la interpolación polinomial. La fórmula general de un polinomio de n-ésimo orden es:

4.2 Aplicaciones Interpolación en la ingeniería. El método de interpolación ya sea lineal o cuadrático se emplea de la misma forma en todas las áreas de ingeniería debido a que este método sirve para calcular valores “intermedios” respecto a una función establecida, estos valores mencionados como intermedios también son considerados inexistentes debido a que no se ven reflejados en la tabla elaborada previamente o no son puntos especiales considerados dentro de la misma ecuación. Los métodos son los mismos para todas las áreas ya que se deben tomar esos valores no existentes y aplicar el tipo de interpolación deseada a partir de los datos que ya se tienen o que forman parte de una ecuación o tabla.

Interpolación en la termodinámica. Determinar un parámetro intermedio en el coeficiente de dilatación lineal de un metal a una temperatura constante, aquí podemos tomar un valor conocido “X“ en conjunto a otro “Y” y determinar el valor o parámetro intermedio en ambos valores con un margen de error reducido, de esta forma nos evitamos el realizar un elevado número de iteraciones para llegar a este valor medio. Este mismo método es aplicable en la termodinámica al momento de calcular diferencias medias en las tablas de Presión vs temperatura o Volumen vs presión, aplicando la regresión lineal podemos saber el parámetro intermedio y determinar el punto en el cuál ambos valores convergen.

Interpolación en la dinámica. Al igual que la termodinámica y la física aplicada a metales, se puede aplicar en el campo del análisis de mecanismos y la dinámica para poder calcular puntos

intermedios en el desplazamiento y/o aceleración de un mecanismo eslabonado de 4 barras.

Otras aplicaciones:

Conclusión: La interpolación es una herramienta útil y práctica, ya que nos ofrece diversos métodos para encontrar puntos dentro de un conjunto de puntos ya dados. Pero la diversidad de métodos que existen pueden confundir al usuario al momento de utilizarlos, puesto que algunos son muy sencillos pero su resultado no es aproximado al verdadero, y otros que al contrario su resultado es muy certero pero el camino para llegar a él es bastante complicado. Por lo tanto, se debe de manejar con mucho cuidado y se tiene que tener un conocimiento amplio del tema para usarlos correctamente.

Bibliografía:      

http://wwwprof.uniandes.edu.co/~gprieto/classes/compufis/interpolacion.pdf http://www.dma.uvigo.es/~lino/Tema5.pdf http://aniei.org.mx/paginas/uam/CursoMN/curso_mn_07.html https://www.sangakoo.com/es/temas/interpolacion-de-hermite http://interpolacion.wikidot.com/spline-teoria https://prezi.com/ypylnxr-clpo/interpolacion/