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  “Análisis numérico y la relación con  las Ingenierías”   INgeniería eléctrica electrónica            Fuentes Vargas Sagrario Berenice  Lara García Guadalupe Michael         Análisis numérico   2017-2     

 

fecha de entrega 17 de abril 2017

 

Objetivos:    ● Buscar  problemas  relacionados  con  Ingeniería  Eléctrica  Electrónica  con  la  finalidad  de  poder  ser  solucionados  con  la  utilización  de  los  primeros  cuatro  temas  del  curso  de  Análisis  Numérico  excluyendo  el  subtema 4.4 Integración numérica.  ● Explorar  los  distintos  campos  de  la  ingeniería,  en  este  caso  Electrica  Electronica  para  aplicar  conocimientos  relacionados  con  la  asignatura. 

Introducción    El  análisis  numérico  es  una  rama de las matemáticas que mediante el uso de  algoritmos  iterativos,  obtiene  soluciones  numéricas  a  problemas  en  los  cuales  la  matemática  simbolica  (o  analitica)  resulta  poco  eficiente  y  en  consecuencia no puede ofrecer una solución.1    Lo  anterior  mencionado  es  la  definición  del  análisis  numérico  que  nos  lleva  al  tema  principal,  “​la  solución  de  problemas  relacionados  a  la  Ingeniería  Eléctrica  Electrónica​”  con  la  finalidad  de  la  aplicación  de  los conocimientos  adquiridos en la clase de esta rama matemática.     El  propósito  de  este  proyecto  es  relacionar  el  Análisis  numérico  con  las  diferentes  ingenierías,  pero  en  este  documento  solo  se  manejan  problemas  relacionados con la ingeniería ya antes mencionada.     Por  consiguiente  el  objetivo  general  de  este  tema  es  saber  aplicar  y detectar  el  método  numérico  para  la  solución  de  temas  de  ingeniería  o  en  cualquier  otro  problema  matemático  y así poder relacionar diferentes algoritmos para  la solución estos, con la finalidad de poder encontrar el algoritmo más eficaz  en tiempo y desarrollo.    Por  último  el  desarrollo  de  este  tema  se  conformará  por  medio  de  la  utilización  de  herramientas  de  software  como  Excel  y  Matlab  y  alguno  que  otro  ejercicio  con  cálculos  a  lápiz, consigo una breve explicación del método  a utilizar.  1

Cortés Jesús, González Miguel, etc. at. (2006) “Introducción al Análisis numérico y tratamiento de errores”. Extraida el 15 de Abril 2017 desde http://www.ingenieria.unam.mx/~pinilla/Intro/Introduccion.pdf

Argumentación     En  este  trabajo  decidimos  enfocarnos  en  circuitos  eléctricos  y  cómo  se  pueden resolver ciertos problemas de éstos utilizando métodos numéricos.    Se  eligió  este  tema  ya  que  gran  parte  de  nuestra  carrera  y  vida  profesional  vamos  a  estar  trabajando  con  circuitos y debemos tener distintas soluciones  para cualquier inconveniente que se nos pueda presentar.    Nos  dimos  cuenta  la  elección  de  circuitos  eléctricos  fue  en  realidad  de  gran  conveniencia  ya  que  los  problemas  abarcan  una  gran  cantidad  de  aspectos  vistos  en  clase,  sin  embargo,  es  importante  resaltar  que  para  el  trabajo  en  cuestión  tuvimos  que  analizar  varios  sistemas  pues,  algunos  eran  bastante  simples como para utilizar todos los puntos que se nos pedía desarrollar.    Desglosamos  el  tema  hasta  llegar al gasto económico de la energía eléctrica,  cosa  que  parecería  no  tener  nada  que  ver  con  el  tema  elegido,  sin  embargo  creemos  que  en  los antecedentes y el desarrollo se podrá entender mejor por  qué decidimos esto. 

  Antecedentes:    

La  determinación  de  corrientes  y  voltajes  en  algunos puntos de los circuitos  con  resistores.  Tales  problemas  se  resuelven  utilizando  las  reglas  para  corrientes  y  voltajes  de  Kirchhoff.  La  regla  para  las  corrientes  establece  la  suma algebraica de todas las corrientes que entran a un nodo debe ser cero.  

Σi = 0   donde  todas  las  corrientes  que  entran  al  nodo  se  consideran  de  signo  positivo.  La  regla  de  las  corrientes  es  una  aplicación  del  principio  de  la  conservación de la carga.    La  regla  para  los  voltajes  (o  mallas)  especifica  que  la  suma  algebraica de las  diferencias  de  potencial  (es  decir,  cambios  de  voltaje)  en  cualquier  malla  debe ser igual a cero. Para un circuito con resistores, esto se expresa como: 

Σξ − ΣiR = 0    

donde  ξ   es  la  fem  (fuerza  electromotriz)  de  las  fuentes  de  voltaje,  y  R  es  la  resistencia  de cualquier resistor en la malla. Observe que el segundo término  se  obtiene  de  la  ley  de  Ohm,  la  cual  establece  que  la  caída  de voltaje a través  de  un  resistor  ideal  es  igual  al  producto  de  la  corriente  por la resistencia. La  regla  de  Kirchhoff  para  el  voltaje  es  una  expresión  de  la  conservación  de  la  energía.    Se  emplean  las  leyes  de  Kirchhoff  para  estudiar  el  comportamiento  de  los  circuitos  eléctricos  en  estado  estacionario  (que  no varía con el tiempo). Esto  pasa  cuando  se  cierra  el  interruptor  de  un  circuito, en donde hay un periodo  de  ajuste;  la  longitud  de  este  periodo  de  ajuste  está  relacionada  con  las  propiedades  de  almacenamiento  de  energía,  tanto  del  capacitor  como  del  inductor.  La  energía  almacenada  puede  oscilar  entre  estos  dos  elementos  durante  un  periodo  transitorio.  Sin  embargo,  la  resistencia  en  el  circuito  disipará  la  magnitud  de  las  oscilaciones.  El  flujo  de  corriente  a  través  del  resistor  provoca  una  caída  de  voltaje  (VR),  dada  por  VR  =  iR  donde  i  =  la  corriente y R = la resistencia del resistor.  Un  inductor  se  opone  a  cambios  de  corriente  tales  que  la  caída  del  voltaje  a  través  del  inductor  VL  es  VL=  L di/ dt, donde L es la inductancia. La caída del  voltaje  a  través  del  capacitor  (VC)  depende  de  la  carga  (q) sobre éste: V=q /C  donde C es la capacitancia.  A  partir  de  la  segunda  ley  de  Kirchhoff y de la relación con la carga, se tiene:  L   

2

d q dt2

dq

+ R dt + C1 q = 0  

cuya solución está dada por: f(R)= eRt/(2L) cos[

√

1 LC

2

q

R − ( 2L ) t ]- q   0

   Otro  circuito  simple  muy  utilizado es el circuito de Chua con el cual se puede  estudiar  la  dinámica  no  lineal  en  circuitos  eléctricos.  Éste  circuito-  por  su  simplicidad- también ayuda al estudio de sistemas dinámicos.   Este  circuito  consta  de  una  resistencia,  dos  capacitores,  un  inductor  y  un  elemento no lineal. El elemento no lineal tiene una función de respuesta. 

 

Esquema eléctrico del circuito de Chua   

  Función de respuesta del elemento no lineal    Existen  diferentes  tipos  de  circuitos,  unos  más  complejos  que  otros.  A  su  vez,  hay  circuitos  conectados  a  otros  circuitos,  formando  así  un  sistema  cada  vez  más  complejo  y  más  grande.  Estos  sistemas  complejos  son  los  que  son  utilizados  por  empresas  gubernamentales, como es la CFE, para proveer  de  energía  eléctrica  a  todo  México.  Esto  se  puede  lograr  gracias  a  los  diferentes  circuitos  eléctricos  interconectados.  A  esta  conexión  se  le  llama  red.    Hay  diferentes  tipos  de  redes  que  brindan  energía  al  país,  está  la  red  municipal  que  conecta  con  otra  más  grande  que  es  la  red  estatal  o  regional  que  a  su  vez  está  conectada  con  una  aún  más  grande  que  es  la  red  federal.  Gracias  a  estas  redes  es  posible  brindar  servicios  eléctricos  a  muchas  regiones de México. 

  Desarrollo  

Temas de utilización:    1. Aproximación numérica y errores.  2. Solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales y trascendentes.  3. Solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales.  4. Interpolación, derivación numéricas.    Problema 1.    Métodos numéricos de utilización:    1. Aproximación numérica y errores. 

2. Solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales.    Un circuito con resistores para resolverse usando ecuaciones algebraicas  lineales simultáneas.   

  Circuito con resistores. (figura 1) 

   Corrientes supuestas. (figura 2)  Solución:  La  aplicación  de  estas  reglas  da  como  resultado  un  sistema  de  ecuaciones  algebraicas  lineales  simultáneas,  ya  que  las  mallas  que  forman  un  circuito  están  conectadas.  Las  corrientes  asociadas  con  este  circuito  son  desconocidas  (figura  1),  tanto  en  magnitud  como  en  dirección.  Esto  no  presenta  gran  dificultad,  ya  que  tan  sólo  se  supone  una  dirección  para  cada  corriente.  Si  la  solución  resultante  a  partir  de  las  leyes  de  Kirchhoff  es  negativa,  entonces  la  dirección  supuesta  fue  incorrecta.  Por  ejemplo,  la  figura 2 muestra direcciones supuestas para las corrientes.     Dadas  estas  suposiciones,  la  regla  de  la  corriente  de  Kirchhoff  se  aplica  a  cada nodo para obtener:  i12 + i52 + i32 = 0 Ecuación 1  i65 − i52 − i54 = 0 Ecuación 2  i43 − i52 = 0

Ecuación 3 

i54 − i43 = 0

Ecuación 4 

   Nota: se calculan por medio del circuito, por divisiones de este mismo.    La aplicación de la regla de voltajes en cada una de las mallas da:    − i54 R54 − i43 R43 − i32 R32 − i52 R52 = 0     − i65 R65 − i52 R52 + i12 R12 − 200 = 0       sustituyendo  el  valor  de  las  resistencias  de  la  figura  1  y  pasamos  las  constantes al lado derecho,    − 5i54 − 2i43 − 15i32 − 5i52 = 0 Ecuación 5  − 25i65 − 5i52 + 10i12 = 200 Ecuación 6    Por  lo  tanto  el  problema  consiste  en  la  solución  del  siguiente  conjunto  de  seis ecuaciones con seis corrientes como incógnitas:             

  La solución obtenida para las corrientes y voltajes (figura 3)    Las soluciones:     i12 = 5.1184   i52 = − 4.1706   i32 = − 0.9478  

i65 = − 5.1184   i54 = − 0.9478   i43 = − 0.9478     para  comprobar  los  resultados  se  debe  de  utilizar  las  tres  figuras  sustituyendo  los  valores  de  las  resistencias  y  las  corrientes  la  suma  de  ellas  debe dar 200 y la resta de ellas menos 200 debe dar 0. (véase en los cálculos)    200 − 10i12 − 15i32 − 2i43 − 5i54 − 25i65 = 0         Problema 2 (Uso de errores)    Pero existe un error en estos resultados de:    Er = 0.0044 Ep = 1 %    ¿Por qué? ¿Que pasa si hay un error?    En  la  realización  de  este  problema  se  utilizaron  valores  truncados  o  sea que  solo  se  tomaron  ciertas  numeros  después  del  punto,  por  lo tanto los valores  que se mostraron anteriormente tienen un error de tipo truncamiento.    ¿Que pasa si utilizo los valores con error tipo Truncamiento?    Puede  traer  consecuencias,  quizá  el  sistema  tendrá  una  fuga  de  corriente  o  tal  vez  no  funcione  y  se queme el sistema, al no detectar este error y realizar  el  cálculo  y  el  ensamblado  de  este  sistema  con  esos valores pueden contraer  consecuencias, si fuera un profesional tuviera consecuencias muy graves.     Por otra parte se recomienda que se utilice valores de redondeo, pero al igual  que  utilizar  valores  truncados,  esté  también  trae  consigo  errores  de  tipo  Redondeo, pero es menor.    Er = 0.000036 Ep = 1 %    Valores:    i52 = − 4.170617   i32 = − 0.947868   i65 = − 5.118484  

i54 = − 0.947868   i43 = − 0.947868     es un error menor y puede ser más eficaz y tener menos consecuencias.     Los  valores  reales  que  se  calcularon  con  ayuda  de  herramientas  de software  son:    i12 = 5.118483412   i52 = − 4.170616114   i32 = − 0.947867299   i65 = − 5.118483412   i54 = − 0.947867299   i43 = − 0.947867299     Comprobación:    200 − 10i12 − 15i32 − 2i43 − 5i54 − 25i65 = 0      

  Er = 0 y Ep = 0    por lo tanto es más eficaz el uso de herramientas de software 

  Problema 3 

  Métodos numéricos de utilización:    5. Solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales y trascendentes.  Determinación del resistor apropiado para disipar energía. 

    Solución:    Se despeja R de la ecuación: L

2

d q dt2

dq

+ R dt + C1 q = 0  

Se tiene que usar una técnica de aproximación numérica, en este caso, es  conveniente el método de bisección, ya que R es una variable implícita en la  Rt/(2L)

ecuación q(t) = e queda:  f(R)= eRt/(2L) cos[  

√

1 LC

cos[

√ 2

1 LC

2

q

R − ( 2L ) t ]- q . Reordenando esta ecuación nos  0

q

R − ( 2L ) t ]- q   0

Utilizando los valores dados: f(R)= e−0.05R cos

[√2000 − 0.01R (0.05)] − 0.01   2

Se  sugiere  para  R  un  rango  desde  0  hasta  400Ω  ya  que  2  000  –  0.01R2  debe  ser  mayor  que  cero  sino  habría  un  número  imaginario  y  no  estamos  buscando eso en este circuito.  Se deben conocer los valores q, q0, L y C.   Al  hacer  veintiún  iteraciones  con  el  método  de  bisección  se  obtiene una raíz  aproximada R = 399.99981 Ω, con un error del 0.00019%.  Así,  se  utiliza  un  resistor  con  el  valor  de  399.99981  Ω  para  el  circuito  con  una discipación que satisfaga las condiciones del sistema dado.        Problema 4:    Métodos numéricos de utilización:  6.- Derivación numérica    Derivación numérica de las ecuaciones del circuito de Chua. 

    Al  aplicar  las  leyes  de  Kirchhoff  al  circuito,  se  obtienen  las  siguientes  ecuaciones que describen su comportamiento:  C 1 dVdt1 = R1 (V 2 − V 1) − f (V 1) Ecuación 1  dV 2 1 C 2 dt = R (V 1 − V 2) + iL Ecuación 2  L diL dt =− V 2 − r 0iL f (V 1) = GV 1 +

1 2 (Ga

ECuación 3  − Gb){|V 1 + B p| − |V 1 − B p|} Ecuación 4 

  Donde f (V 1) es la función de respuesta del elemento no lineal.    Las  variables  que  surgen  de  estas  ecuaciones  son:  la  tensión  V1  que  aparece  en  los  bornes  del  condensador  de  la  derecha,  la  tensión  V2  que  aparece  en  los  bornes  del  condensador  izquierdo  e  iL  que  es  la  intensidad  que  circula  por  la  bobina.  Las  constantes  que  aparecen  son  las  capacitancias  C1  y  C2  de  los  dos  condensadores,  la  inductancia,  la  resistencia  interna  y  la resistencia  variable R.    Se  trabajará  con  la  forma  adimensional  del  sistema  de  ecuaciones  que  se  obtiene con los cambios de variables:  iL x = VBp1 y = VBp2 z = R Bp t = t/RC2      Se resuelve para la ecuación 1: 

Se resuelve para la ecuación 2: 

Se resuelve para la ecuación 3: 

Con lo que se simulará el siguiente sistema de ecuaciones:  dx 1 ​Ecuación 5  dt = α((y − x) + bx + 2 (a − b){|x + 1| − |x − 1|}) dy dt

=x−y+z

​Ecuación 6 

dz dt

=− β y − γ z

​Ecuación 7 

Cuyos valore vienen determinados por las siguientes expresiones:  x= α=

V1 Bp C2 C1

y=

V2 Bp

β=

R C2 L

2

iL z = R Bp t = t/RC2  

γ=

r0RC2 BL

a =− RGa b =− RGb  

Problema 5    Métodos numéricos de utilización:  7.- Interpolación numérica    La  energía  que  se  brinda  al  país  gracias  a  las  redes  está  dada  por  servicios  como  son  el  alumbrado  público,  b​ombeo  de  aguas  potables  o  negras,  etc​.  Y 

cada  uno  de  estos  servicios  tiene  un  costo  que  es  conveniente  saber  al  igual  que su aumento durante un periodo de tiempo.    Para  fines  de  este  problema  decidimos  concentrarnos  en  el  total  de  gastos  en  energía  eléctrica  por  año  (desde  2010  hasta  enero  de  2017).  Y  como  el  costo  es  diferente  por  estado,  decidimos concentrarnos en el de la Ciudad de  México.   TABLA2 Año

Precio

2010/01

1597378

2011/01

1849199

2012/01

2240032

2013/01

2246629

2014/01

2350732

2015/01

2232338

2016

1991203

2017

2394921

Cálculos.    Problema 1    Existen  varias  formas  y  varios  paquetes  de  software  para  resolver  ecuaciones  algebraicas  lineales  pero  existen  dos  formas  para  la  solución  en  Excel:  1.  por  medio  de  la  herramienta  Solver.  2.  usando  la  inversión  de  matrices y las funciones de multiplicación.    Para determinar la solución de ecuaciones algebraicas lineales es:    [A] {X} = {B}    2

La tabla utilizada es un pedazo de una tabla que se encuentra en la página de la Comisión Federal de Electricidad (CFE).

{X} = [A]-1{B}    Excel  tiene  funciones  predeterminadas  para  obtener  la  inversa  de  una  matriz  como  =MINVERSA(matriz)  y  la  multiplicación  de  matrices  =MMULT(Matriz1, Matriz 2)                        Uso de Excel    Matriz A[6x6]:   

    Matriz B[6x 1]: 

    Matriz Inversa de A:   

    Multiplicación de matriz A-1[6x6] x B[6x1]:   

  Solución:    {X} = [A]-1{B}   

    Problema 2    Ep =

|V C − V T | VC

x 100 

Er = | V C − V T |      Error de truncamiento    − 0| Ep = | 0.0044 x 100 = 1 %  0.0044

Er = 0.0044     Error de Redondeo    − 0| Ep = | 0.000036 x 100 = 1%  0.000036 Er = 0.000036   

Error  Ep = | 0 0− 0| x 100 = 0% 

Er = 0    Problema 3    Se utilizó el método de bisección pero también se pudieron utilizar otros  métodos como es el Newton-Raphson, aunque éste tiene el inconveniente  Rt/(2L)

de que la derivada de la ecuación q(t) = e

cos[

√

1 LC

2

q

R − ( 2L ) t ]- q es difícil  0

de resolver con este método. La utilización del método de bisección fue  porque resultó ser el más fácil y conveniente de hacer.  Por medio de MATLAB se resolvió este problema.  Código: 

 

 

 

   

Solución:  c=399.99981  f(c)=-0.01000  error= 0.00019    Problema 4    Se modificará los elementos del circuito mientras que los otros se  mantienen fijos, en este caso se variará el resistor R y el condensador C2.  Debido a que, aunque el circuito de Chua es uno de los más sencillos, el  estudio y análisis de éste el largo, por lo que para fines de este trabajo, sólo  se estudiarán los cambios en la ecuación 1.     Se utilizará MATLAB para la simulación del circuito.  Código:  

 

 

 

    Las gráfica queda: 

 

 

  Problema 5    La herramienta que se utilizó fue MATLAB. 

Código: 

 

 

   

 

   

 

Análisis de resultados    La  utilización  de  métodos  numéricos  para  resolver  algunos  problemas  relacionados  con  la  Ingeniería  Eléctrica  Electrónica,  puede  ser  en  algunos  casos  muy  eficaz  como  en  el  caso  del  problema  1,  el  uso  de  métodos  numéricos  para  la  solución  numérica  de  sistemas  de  ecuaciones  lineales  es  muy  rápido  pero  se  hace  tediosos  cuando  son  más  de  4  ecuaciones,  cabe  decir  que  para  esto  el  sistema  debe ser determinado ya que debe de consistir  de  4  incógnitas  y  por  consiguiente  4  ecuaciones  con  soluciones  independientes  osea  que  cada  incógnita  debe  tener  una  única  solución.  Se  puede  afirmar  lo  mismo  del  experimento  3  en  donde  resultó  conveniente  la  utilización  del  método  de  Newton-Raphson.  Y  en  el  ejemplo 5, el método de  interpolación fue útil para saber el precio de la energía eléctrica entre un año  y  otro;  siempre  y  cuando  se  tome  en  cuenta  que  se  trabaja  con  valores  discretos ya que en la vida real es difícil encontrar valores continuos.  En  tanto  que  en  el  experimento  4  se  puede  notar  que  por  medio  de  la  derivación  numérica  es  más  fácil  la  resoluciòn  del  circuito  de  Chua  por  lo  que  es  más  sencillo  graficar  las  bifurcaciones  y  sus  diferentes  resultados  al  cambiar los valores de algunas variables como R y C2.     En  segunda  parte  podemos  decir  que  los  resultados  de  los  problemas  en  parte  gracias  a  la  utilización  de  herramientas  de  software  es  más  rápido  su  proceso,  por  otra  lado  podemos  decir  que  el  uso  de  estos  tienen  ciertos  errores pero a veces son errores humanos por algún dato mal o algoritmo.     Los  errores  se  pueden  dar  en  cualquier  cálculo  ya  que  tenemos  cierta  costumbre  de  utilizar  valores  truncados  o  de  redondeo  ya  sea  por  eficiencia  o por pereza del uso de todos los dígitos.     

Conclusiones Por persona.    Fuentes Vargas Sagrario Berenice    

Este  proyecto  tenía  como  objetivo  el  que  supiéramos  aplicar  los  distintos  métodos  numéricos  que  hemos  visto.  Requería  el  conocimiento  necesario  para  poder  desarrollar  de  manera  práctica  cada  uno  de  los  puntos  y  esto 

fomentaba  la  creatividad  y  el  ingenio  sobre  cómo  relacionar  los  temas  de  análisis  numérico  a la ingeniería, concretamente la que estamos estudiando.  Creo  que  el  objetivo  se  alcanzó.  Nos  dimos  cuenta  que  varios  de  los  problemas  que  tienen  que  ver  con  circuitos  están  altamente  relacionados  con el análisis numérico.    Aunque  los  métodos  y  resultados  no  son  completamente  idóneos,  pues  también  se pudo comprobar que hubo errores en los cálculos (mínimos claro  está)  y  que  en  cuestiones  prácticas  y  laborales  éstos  se  tienen  que  tomar  en  cuenta.  Una  cuestión  importante  a  resaltar  es  que  el  propio  análisis  numérico  tiene  métodos  para  calcular  el  error,  lo  cual  es  muy  conveniente,  por lo que sirve incluso para eso.    También  fue  de  gran  ayuda  la  utilización  de  herramientas  computacionales  como  EXCEL  y  MATLAB  para  la  graficación  de  algunos  ejemplos.  Fue  obvio  que  resultó  más  sencillo  encontrar  los  resultados,  pues  en  algunos  problemas  la  resolución  de  sistemas  de  ecuaciones  o la realización de varias  iteraciones  no  resultaba  tan  fácil  de  hacer  a  mano,  mientras  que  con  las  herramientas  mencionadas  fue  bastante  sencillo  la  resolución  de  los  problemas presentados.  

    Lara García Guadalupe Michael    En  este  proyecto  se  puede  concluir  que  el  uso  de  métodos  numéricos  en  algunos  cálculos  de  ingeniería  son  prácticos,  ya  que  se  pueden  obtener  soluciones  con  menos  error  porque  en  cada  iteración  se  considera  un  error  para  su  cálculo,  aunque  de  cierta  manera  es  tedioso  el  uso  de  estos  a  lapiz,  osea  que  los  cálculos  a  mano  y  calculadora,  se  puede  contar  con  herramientas  de  software  como  Excel  y  matlab,  aunque  cada  una  tiene  un  métodos o librerías específicas.     Por  otro  lado  puedo  tener  en  cuenta  que  en  cualquier  algoritmo  que  se  utilice  para  la  solución  de  algún  o  algunos  problemas  siempre  tendrá  un  error  ya  sea,  error  inherente  que  es  el  causado  por  la  incertidumbre  de  las  mediciones,  errores  de  truncamiento  que  son  errores  que  se  presentan  por  truncar  valores  como 3.1415 (valor de PI) este dato puede desarrollar en todo  un  problema  un  error  de  truncamiento  por  no  usar  todos  los  dígitos,  pero  a  veces  es  necesario  esto,  pero  se  utilizan  errores  de  tipo  redondeo  que  se  presenta  cuando  redondeamos  una  cifra  a  valor  más  aproximado  ya  sea 

menor  o  mayo  como  PI  =  3.1416  en  todo  problema  que  se  resuelva  con  este  valor tendrá un error de tipo redondeo.     En  este  proyecto  se  este  proyecto  se  explica  el  uso  de  estos  errores  como  también  el  funcionamiento  de  las  herramientas  de  software  y  se  explica  el  proceso  de  estos  métodos  numéricos  usados  para  problemas  relacionados  con Ingeniería Eléctrica Electrónica especialmente en circuitos.    

Bibliografía   

1. ​Cortés Jesús, González Miguel, etc. at.

(2006) “Introducción al Análisis  numérico y tratamiento de errores”. Extraida el 15 de Abril 2017 desde  http://www.ingenieria.unam.mx/~pinilla/Intro/Introduccion.pdf    2.  Chapra  Steven  C.  (2007),  “Métodos  numéricos  para  ingenieros”,  México,  The MCGRaw-Hill Companies.    3.  Martínez  Verd​ú​,  Jaime.(2011).  “Derivación  Numérica  de  Ecuaciones  Diferenciales Ordinarias”. Extraída el 15 de Abril 2017 desde  https://es.slideshare.net/balzasbravas/derivacin-numrica-de-ecuacionesdiferenciales-ordinarias    4. Instituto Nacional de Estadística y Geografía (INEGI).(2017).Extraída el 16  de abril 2017 desde http://www.inegi.org.mx/sistemas/bie/