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TABLA DE CONTENIDO AGRADECIMIENTOS...............................................................................................ii ACERCA DEL AUTOR.............................................................................................iii INTRODUCCIÓN......................................................................................................1 METODOLOGÍA.......................................................................................................2 COMPUTADORAS Y PROGRAMAS.......................................................................3 PRESENTACIÓN DE NUMERICALS 1.0................................................................5 TABLA DE CONTENIDO.........................................................................................6 BIENVENIDA..........................................................................................................10 CAPÍTULO UNO MODELOS MATEMÁTICOS..................................................................................11 1.1. MODELAMIENTO MATEMÁTICO...............................................................12 1.2. CASO DE ESTUDIO....................................................................................12 1.2.1. Solución analítica.........................................................................................14 1.2.2. Solución numérica........................................................................................14 1.3. Modelos matemáticos que describen sistemas físicos................................17 CAPÍTULO DOS APROXIMACIONES Y ERRORES.........................................................................20 2.1. INTRODUCCIÓN TEÓRICA............................................................................21 2.1.1 CIFRAS SIGNIFICATIVAS............................................................................22 2.1.2. EXACTITUD Y PRECISIÓN.........................................................................22 2.3. ERRORRES DE TRUNCAMIENTO.................................................................23 2.2.1. Uso de la serie de Taylor para estimar los errores de truncamiento............23 2.4.2. Estabilidad y condición.................................................................................25 2.3. ERROR NUMÉRICO TOTAL..........................................................................25 2.3.1. Errores por equivocación..............................................................................26 2.3.2. Errores de formulación.................................................................................26 2.3.3. Incertidumbre de los resultados...................................................................27 2.4. EJERCICIOS RESUELTOS............................................................................27 CAPÍTULO TRES DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA.............................................................................31 3.1. INTRODUCCIÓN TEÓRICA............................................................................32 3.2. APROXIMACIÓN A LA PRIMERA DERIVADA CON DERIVADA HACIA ATRAS....................................................................................................................32 3.3. APROXIMACIONES A LA PRIMERA DERIVADA CON DIFERENCIAS CENTRALES..........................................................................................................33 3.4. APROXIMACIONES POR DIFERENCIAS FINITAS DE DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR...............................................................................................34 3.5. EJERCICIO RESUELTO.................................................................................35 CAPÍTULO CUATRO RAÍCES DE ECUACIONES...................................................................................37

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4.1. OBJETIVOS.....................................................................................................38 4.2. TEMAS PARA CONSULTA.............................................................................38 4.2.1. Métodos que usan incrementos: procedimientos gráficos, método de la bisección, método de la regla falsa, búsqueda de intervalos determinando una aproximación...........................................................................................................38 4.2.2. Métodos iterativos: iteración de punto fijo, método de Newton-Raphson, método de la secante, raíz de un polinomio. 4.3. INTRODUCCIÓN TEÓRICA............................................................................38 4.3.1. Algoritmo de Bisección.................................................................................39 4.3.2. Método de Newton-Raphson........................................................................39 4.3.3. Método de la Secante...................................................................................39 4.4. RELACIÓN DE FORMULAS IMPORTANTES.................................................40 4.5. LOCALIZACIÓN DE RAÍCES USANDO NUMERICALS 1.0...........................40 4.5.1. Enunuciado de problema (Newton-Raphson)...............................................40 4.5.2. Enunciado del problema (Regla falsa)..........................................................41 4.6. EJERCICIOS PROPUESTOS.........................................................................42 AUTOEVALUACIÓN I ............................................................................ .............43 CAPÍTULO CINCO INTEGRACIÓN NUMÉRICA............................................. ....................................44 5.1. OBJETIVOS.................................................................................... ................45 5.2. TEMAS PARA CONSULTA 5.2.1 Formulas de cotas de Newton: regla del trapecio, reglas de Simpson, integración con intervalos desiguales, formulas de integración abierta..................45 5.2.2. Integración de Romber y cuadratura gaussiana: algoritmo de Romberg, cuadratura gaussiana.............................................................................................45 5.3. DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA.........................................45 5.4. DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA......................................................................46 5.4.1. Formula de tres puntos.................................................................................46 5.4.2. Formula de cinco puntos...............................................................................46 5.5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA............................................................................46 5.5.1. Regla del trapecio.........................................................................................47 5.5.2. La regla de Simpson.....................................................................................47 5.6. RELACIONES Y FORMULAS IMPORTANTES..............................................47 5.7. INTEGRACIÓN USANDO NUMERICALS 1.0.................................................48 5.7.1. Enunciado del problema (Reglas de Simpson)............................................48 5.7.2. Enunciado del problema (Cuadratura de Gauss).........................................49 5.8. EJERCICIOS PROPUESTOS.........................................................................50 AUTOEVALUCIÓN II ............................................................................................52 CAPÍTULO SEIS AJUSTE DE CURVAS............................................................................................53 6.1. OBJETIVOS.....................................................................................................54 6.2. TEMAS PARA CONSULTA.............................................................................54

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6.2.1. Regresión: regresión lineal, ajuste de curvas no lineales con una función de potencia, ajuste de curvas con un polinomio de orden superior, ajuste de curvas con una combinación lineal de funciones conocidas..............................................54 6.2.2. Polinomios interpolantes: polinomio de interpolación con diferencias divididas de Newton, polinomios de interpolación de Lagrange, otros métodos....54 6.3. INTRODUCCIÓN TEÓRICA............................................................................54 6.4. REGRESIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS..................................................55 6.4.1. Criterios para un mejor ajuste.......................................................................55 6.4.2. Ajuste por mínimos cuadrados de una línea recta........................................56 6.5. LINEARIZACIÓN DE RELACIONES NO LINEALES.......................................57 6.6. INTERPOLACIÓN Y APROXIMACIÓN POLINOMICA....................................57 6.6.1. Polinomios de Taylor....................................................................................59 6.6.2. polinomios de Lagrange...............................................................................59 6.6.3. Diferencias divididas.....................................................................................60 6.6.4. Interpolación de Hermite...............................................................................60 6.6.5. Interpolación del trazador cúbico..................................................................61 6.7. RELACIONES Y FORMULAS IMPORTANTES..............................................62 6.8. EJERCICIOS RESUELTOS.............................................................................63 6.8.1. Enunciado del problema (Linearización de una ecuación de potencias)......63 6.8.2. Enunciado del problema (Ajuste por mínimos cuadrados)...........................63 6.8.3. Enunciado del problema (Ajuste de curvas).................................................65 6.9. AJUSTE DE CURVAS USANDO NUMERICALS 1.0......................................66 6.9.1. Enunciado del problema (Interpolación).......................................................66 6.9.2. Enunciado del problema (Regresión lineal múltiple).....................................67 6.9.3. Enunciado del problema (Regresion polinomial)..........................................68 6.10. EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................................70 AUTOEVALUCIÓN III ............................................................................................72 CAPÍTULO SIETE SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES LINEALES SIMULTÁNEAS............74 7.1. OBJETIVOS.....................................................................................................75 7.2. TEMAS PARA CONSULTA.............................................................................75 7.2.1. Eliminación de Gauss: solución de pocas ecauciones, eliminación gaussiana simple, inconvenientes de los métodos de eliminación, técnicas de mejoramiento en las soluciones....................................................................................................75 7.2.2. Gauss-jordan e inversión de matrices y Gauss-Seidel: método de GaussJordan, inversión de matrices, iteración de Gauss-Seidel......................................75 7.3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES......................................................75 7.3.1. Eliminación Gaussiana.................................................................................76 7.3.2. Método de la inversión de una matriz...........................................................77 7.3.3. Método del determnante de una matriz........................................................77 7.4. SISTEMAS NO LINEALES DE ECUACIONES...............................................78 7.4.1. Método de Newton........................................................................................79 7.4.2. Método de Broyden.......................................................................................79

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7.4.3. Técnicas de descenso rápido.......................................................................79 7.5. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS LINEALES Y NO LINEALES POR NUMERICALS 1.0.......................................................................81 7.5.1. Enunciado del problema (Gauss-Jorda).......................................................81 7.5.2. Enunciado del problema (Ecuaciones no lineales).......................................82 7.6. RELACIONES Y FORMULAS IMPORTANTES..............................................83 7.7. EJERCICIOS PROPUESTOS.........................................................................83 AUTOEVALUACIÓN IV.........................................................................................84 CAPÍTULO OCHO ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS..................................................86 8.1. OBJETIVOS.....................................................................................................87 8.2. TEMAS PARA CONSULTA.............................................................................87 8.2.1. Métodos de un paso: método de Euler, método de Euler modificado, método e Runge-Kutta, Sistemas de ecuaciones................................................................87 8.2.2. Métodos de pasos múltiples: un enfoque de pasos múltiples, formulas de integración..............................................................................................................87 8.3. INTRODUCCIÓN TEÓRICA............................................................................88 8.3.1. Método para resolver EDO sin el uso de computadora................................88 8.3.2. EDO y práctica de la ingeniería....................................................................89 8.4. ANTECEDENTES MATEMÁTICOS................................................................91 8.5. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS............................................91 8.5.1. Método de Euler............................................................................................92 8.5.2. Método de Runge-Kutta................................................................................92 8.6. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS USANDO NUMERICALS 1.0..................................................................................................93 8.7. EJERCICIOS PROPUESTOS.........................................................................96 AUTOEVALUACIÓN V ..........................................................................................98 9. BIBLIOIGRAFÍA...............................................................................................101 ANEXOS ACTIVIDADES PRELIMINARES..........................................................................102 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS.......................................................................103 EJERCICIOS RESUELTOS..................................................................................108 APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS EN DISTINTOS CASOS DE LA INGENIERÍA.........................................................................................................114 Diseño y desarrollo de un simulador para un sistema de pateurización controlado automáticamente...........................................................................115 Determinación del factor de condición múltiple KM para verificar el estado de una población ictica de sábalo........................................................................122 Estandarización de grasa en la carne empleada para laborar productos cárnicos embutidos..........................................................................................126 Modelación matemática y simulación computacional de cristalizadores por enfriamiento para la producción de azúcar de caña........................................129

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INTRODUCCIÓN Los ingenieros y técnicos en general se plantean, en algún momento de su vida profesional, problemas cuya formulación matemática no siempre conduce a una solución analítica. Las soluciones analíticas tienen valor práctico limitado, ya que buena parte de los problemas reales no son lineales, e implican formas y procesos complejos, son problemas que han de resolverse por Análisis Numérico. Los métodos numéricos son técnicas algebraicas utilizadas para permitir replantear problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse mediante operaciones aritméticas prácticas. Los cálculos numéricos son herramientas muy útiles para plantear la solución de problemas matemáticos. Tienen capacidad para manipular sistemas de ecuaciones considerables, no lineales y geométricamente complejos que son comunes en la práctica de la ingeniería, y que regularmente, son difíciles de resolver analíticamente, por lo tanto, incrementan la habilidad de quien los estudia para solucionar modelos matemáticos. Estos procedimientos conducen a un buen número de cálculos aritméticos, por esto el empleo de al computadora o la calculadora programable tiene una gran influencia en el proceso de solución de problemas de ingeniería. Antes del uso de la computadora, se empleaba demasiada energía en la técnica misma de solución, en vez de aplicarla sobre la definición del problema y su interpretación. Actualmente, las computadoras y los métodos numéricos proporcionan una alternativa para muchos cálculos complicados (véase la figura No. 1). Es probable que el ingeniero en el transcurso de sus estudios, tenga la oportunidad de usar software disponible comercialmente que contenga métodos numéricos. El empleo racional de estos programas esta supeditado al discernimiento de la teoría básica en la que se basan los procedimientos numéricos. El Análisis Numérico es un medio para fortalecer la comprensión de las matemáticas, puesto que su objetivo finalmente es reducir las matemáticas superiores a operaciones aritméticas básicas. Conceptualizar los métodos numéricos e identificarlos como una alternativa de solución de problemas que involucren el modelamiento de fenómenos para tener la capacidad de visualizar las aplicaciones de estos métodos en todos los campos de la ingeniería, así como desarrollar habilidades de diseño en la simulación de fenómenos, mediante el reconocimiento de las técnicas algebraicas, y emplear racionalmente la programación de computadoras reconociendo la teoría básica en la que se basan los procedimientos numéricos, constituyen los principales objetivos de este curso de Análisis Numérico con aplicaciones a problemas de ingeniería.

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METODOLOGÍA De conformidad con la doctrina de la Universidad de Educación a Distancia, se seguirá una modalidad semi-escolarizada con eventos presenciales concentrados, de acuerdo al calendario académico, para ello se cuenta con ayudas didácticas, módulos de estudio, sistemas modernos de búsqueda como el Internet, que permitan al estudiante acercarse a grados avanzados de conocimiento sin marcharse de su centro de actividad productiva. El tutor será un facilitador del proceso de enseñanza-aprendizaje, el sujeto de formación será un sujeto participativo de su propio proceso. El recurso principal será el material instructivo específico, bibliografía especializada, actualizada y demás medios que se consideren necesarios para el desarrollo de la asignatura que contribuyan a reforzar el proceso de enseñanzaaprendizaje. Las piezas fundamentales en todo proceso de enseñanzaaprendizaje: discente, tutor, conocimiento y método de transmisión, coinciden con esta programación académica, obviando la intermediación permanente del tutor, considerando que la percepción del conocimiento se puede realizar mediante el uso de múltiples procedimientos. El estudiante puede interactuar persistentemente las diversas fuentes de conocimiento por medio de: La tutoría de carácter formativa que puede ser presencial, o a distancia, vía correo electrónico. La abstracción con los elementos que constituyen su entorno interdisciplinario y el núcleo laboral propio. Los métodos y procedimientos modernos de comunicación (motores de búsqueda en Internet, entre otros). La equiparación de las nociones teóricas con la realidad práctica de su medio de trabajo. Eventos específicos. Con el propósito de que el estudiante adquiera un aprendizaje verdaderamente significativo en la medida que sea capaz de relacionar la teoría estudiada con la realidad que lo rodea y ante todo aplicar y transferir los conocimientos en la solución de problemas que tengan que ver con su entorno, se implementará la evaluación por proceso mediante la asignación de proyectos personalizados específicos para cada disciplina profesional.

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A través de esta evaluación el estudiante, necesariamente deberá despertar su espíritu investigativo que implica el desarrollo de habilidades de pensamiento como: el análisis, la inducción, la deducción, que lo conducirán a la identificación y a la solución de un problema real relacionado con su estudio. Un ingeniero es un solucionador de problemas, generalmente su incertidumbre se inicia con la necesidad no satisfecha que se puede solucionar mediante una nueva metodología, un artefacto mecánico o un nuevo proceso, entonces, su objetivo es convertir un aproximado enunciado de lo que se necesita en una amalgama de especificaciones concretas. Desarrollar estas habilidades es lo que se pretende con la evaluación.

COMPUTADORAS Y PROGRAMAS Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Aunque hay muchos tipos de métodos numéricos, comparten una característica común: invariantemente se debe realizar un buen número de tediosos cálculos aritméticos. No es raro que con el desarrollo de computadoras digitales eficientes y rápidas, el papel de los métodos numéricos en la solución de problemas de ingeniería haya aumentado en forma considerable en los últimos años. Además de proporcionar un aumento en la potencia de cálculo, la disponibilidad general de las computadoras y su asociación con los métodos numéricos ha influido de manera muy significativa en el proceso de la solución de problemas de ingeniería. Aunque las soluciones analíticas aún son muy valiosas, tanto para resolver problemas como para proporcionar una mayor comprensión, los métodos numéricos representan alternativas que aumentan en forma considerable la capacidad de confrontar y resolver los problemas; como resultado se dispone de más tiempo para aprovechar las capacidades creativas personales. Por consiguiente, es posible dar más importancia a la formulación de un problema, a la interpretación de la solución y a su incorporación al sistema total, o conciencia “holística”. Los métodos numéricos son un medio para reforzar su comprensión de las matemáticas, ya que una de sus funciones es convertir las matemáticas

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superiores a operaciones aritméticas básicas, porque profundizan en los temas que de otro modo resultarían oscuros. Finalmente, esta alternativa aumenta su capacidad de comprensión y entendimiento en la materia. FORMULACIÓN Principios explicados sencillamente (Leyes) FASES EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE INGENIERÍA

SOLUCIÓN Métodos muy elaborados y habitualmente complicados para hacer manejable el problema

INTERPRETACIÓN Análisis profundo limitado por una solución que consume tiempo

a) antes del uso de las computadoras

FORMULACIÓN Deducción intensa de la relación del problema con los principios fundamentales SOLUCIÓN Software sencillo implementar

FASES EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE INGENIERÍA

de

INTERPRETACIÓN La rapidez del cálculo permite un análisis profundo de los resultados.

b) actualmente con el uso de las computadoras

Figura 1. Fases en la solución de problemas de ingeniería: (a) Era antes del uso de las computadoras, (b) Actualmente con el uso de las computadoras.

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PRESENTACIÓN DE NUMERICALS 1.0

Figura 2. Ventana de bienvenida del software tutorial Numericals 1.0. Se recomienda por las razones expuestas utilizar el Software Tutorial: Numericals en su versión 1.0. En su manual de usuario se presenta y explica la función de cálculos científicos para algunos métodos básicos del análisis numérico. Se sugiere que desde novatos hasta los expertos en programación de computadoras, se familiaricen con el nombre y función de cada parte de la interfaz de usuario antes de intentar la operación. Una función de almacenamiento de fórmulas provee cálculos de fórmula simplificados y cálculos de tasa, además una función de banco de datos incorporada cuenta con un utilitario científico que suministra un total de 116 utilitarios de software para aplicaciones estadísticas, matemáticas y científicas.

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CONTENIDO PROGRAMÁTICO PRIMERA UNIDAD ANTECEDENTES MATEMÁTICOS OBJETIVO GENERAL Al completar la primera unidad el estudiante deberá estar capacitado para reconocer técnicas numéricas, así como en la identificación de modelos matemáticos de uso general en las ciencias alimentarias. En general, habrá adquirido una idea de la importancia básica de las computadoras y el papel de las aproximaciones y la estimación de errores en la implementación y desarrollo de los métodos numéricos. CAPITULO UNO: Conceptos fundamentales Teorema Binomial, Teorema de Taylor, Teorema de Maclaurin, Teorema del Residuo, Serie de Taylor. División Sintética (Regla de Ruffini), Derivadas por División Sintética. CAPITULO DOS: Algoritmos para la resolución de problemas numéricos Modelo Matemático Caso de Estudio Solución Analítica del problema (Caso de Estudio) Solución Numérica del problema (Caso de Estudio) Un sistema de computación Programación, soporte y equipo (Software y Hardware). Diseño de algoritmos CAPITULO TRES: Aproximaciones y errores de redondeo Conceptos fundamentales Cifras significativas, Exactitud y precisión, Definiciones de error, Errores de redondeo, Errores de truncamiento, Error numérico total, Errores por equivocación, del planteamiento e incertidumbre de los datos. Diferenciación Numérica Diferencias divididas finitas Aproximación a la primera derivada con diferencias hacia atrás Aproximaciones a la primera derivada con diferencias centrales Aproximaciones a derivadas de orden más alto usando diferencias finitas Fórmulas de exactitud para diferencias de orden superior

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SEGUNDA UNIDAD AJUSTE DE CURVAS OBJETIVO GENERAL Al completar la cuarta unidad, el estudiante habrá refinado en gran forma su competencia para ajustar curvas con datos reportados. En general, manejará las técnicas, habrá aprendido a avalar la confiabilidad de sus resultados y será capaz de seleccionar el método (o métodos) para cualquier problema particular que involucre un ajuste de curvas. CAPITULO CUATRO: Regresión. Regresión lineal. Ajuste de curvas no lineales con una función de potencia. Ajuste de curvas con un polinomio de orden superior. Ajuste de curvas con una combinación lineal de funciones conocidas. CAPITULO CINCO: Polinomios e interpolación. Polinomios de interpolación con diferencias divididas de Newton. Polinomio de interpolación de Lagrange. Otros métodos. TERCERA UNIDAD INTEGRACIÓN NUMÉRICA OBJETIVO GENERAL Al completar la quinta unidad, el estudiante estará en capacidad de reconocer y resolver situaciones que involucren problemas de integración numérica y valorará su aplicación para solucionar problemas de ingeniería aplicados en la agroindustria alimentaria. CAPITULO SEIS: Fórmulas de cotas de Newton Regla del trapecio. Regla de Simpson. Integración con intervalos desiguales. Fórmulas de integración abierta. CAPITULO SIETE: Integración de Romberg y cuadratura gaussiana Algoritmo de Romberg. Cuadratura gaussiana.

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CUARTA UNIDAD RAÍCES DE ECUACIONES OBJETIVO GENERAL Al completar la segunda unidad el estudiante debe tener la suficiente información para aplicar convenientemente una amplia variedad de problemas de ingeniería, que se relacionan con las raíces de ecuaciones. En general, se dominarán los métodos, se habrá aprendido a evaluar su confiabilidad y se tendrá la capacidad de optar por el mejor método (o métodos) para cualquier problema en particular. CAPITULO OCHO: Métodos que usan incrementos Procedimientos gráficos Método de bisección Método de la regla falsa Búsquedas con intervalos determinando una aproximación inicial CAPITULO NUEVE: Métodos iterativos Iteración de punto fijo Método de Newton-Raphson Método de la secante Raíz de un polinomio QUINTA UNIDAD SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES LINEALES SIMULTÁNEAS OBJETIVO GENERAL Al completar la tercera unidad el estudiante será capaz de resolver problemas que involucran ecuaciones algebraicas lineales y valorará la aplicación de esas ecuaciones en muchos campos de la ingeniería. CAPITULO DIEZ: Eliminación de gauss Solución de pocas ecuaciones Eliminación gaussiana simple Inconvenientes de los métodos de eliminación Técnicas de mejoramiento en las soluciones CAPITULO ONCE: Gauss-Jordan e inversión de matrices y Gauss-Seidel Método de Gauss-Jordan Inversión de Matrices Iteración de Gauss-Seidel

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SEXTA UNIDAD ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS OBJETIVO GENERAL Al completar la sexta unidad, el estudiante debe aumentar de manera notoria su capacidad para enfrentar y resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y problemas de valores propios. Las metas de estudio en general deberían incluir el poder seleccionar el mejor método (o métodos) para cualquier problema en particular de aplicación en ingeniería. CAPITULO DOCE: Métodos de un paso. Método de Euler. Método de Euler modificado. Métodos de Runge-Kutta. Sistemas de ecuaciones. CAPITULO TRECE: Métodos de pasos múltiples. Un enfoque simple de pasos múltiples. Fórmulas de integración.

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BIENVENIDA

Señorita o Señora Estudiante Señor Estudiante mutuamente como apoyo de las experiencias en su manejo.

En calidad de Docente-Tutor de la asignatura “Análisis Numérico”, le presento un cordial saludo de bienvenida a este curso que su Universidad le ofrece para atender su formación continuada mediante procesos metodológicos innovadores que deberán redundar en la conformación de la Comunidad Universidad Nacional abierta y a distancia.

Cualquiera que sea su inquietud antes de empezar la audioconferencia, le pido tranquilidad y buenas intenciones para colaborar al éxito del mismo: estoy confiado que va a ser una experiencia motivadora. Al finalizar el curso, seguramente Usted habrá desarrollado habilidades de diseño en el modelado matemático de fenómenos, mediante el reconocimiento de las técnicas matemáticas y el empleo racional de la programación de computadoras, aprendiendo la teoría básica en la que se basan los cálculos numéricos.

Durante este semestre, vamos a trabajar a distancia sobre el empleo de los cálculos numéricos y, en vez de limitarnos a teorizar, vamos a visualizar las aplicaciones de estos métodos en distintos campos de la ingeniería.

Le agradezco su valioso tiempo, comprensión y paciencia para el éxito de este curso.

Quizás, algunos de sus compañero(a)s en el centro regional donde va a asistir, ya tienen conocimiento de la utilidad del análisis numérico y pueden servirse

El autor

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HYPATIA (370 – 415 D.C.) Nacida en Alejandría, una excepcional mujer, hija de Teón (filósofo y matemático). Se hizo célebre por su saber, por su argumentación y por su belleza, viaja a Atenas donde realiza estudios; al regresar a Alejandría funda una escuela deonde enseña las doctrinas de Platón y Aristóteles y se pone al frente del pensamiento neoplatónico. Hypatia escribió un libro titulado: “Sobre las conicas de Apolonio”. Es una de los últimos matemáticos griegos. Su muerte marca el final de los grandes descubrimiemtos matemáticos en Europa por varios siglos. Se distinguió por los comentarios a las obras de Apolonio y Diofanto.

CAPITULO UNO

MODELOS MATEMÁTICOS

El mundo real, puede parecer impredecible, tradicionalmente la tarea de los científicos ha sido la de plantear hipótesis, reconocer las variables y expedir leyes que gobiernen este caos. Aplicaremos el concepto de modelos matemáticos para ayudar a la comprensión de un método numérico y así ilustrar como facilita la resolución de problemas. Para esto, se desarrolla aquí un modelo matemático de un proceso físico real que se resuelve con un método numérico sencillo.

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1.1.

MODELAMIENTO MATEMÁTICO

Sobre las bases de sus observaciones varios científicos a lo largo de a historia nos han reportado teorías que no son mas que modelos empíricos abstraídos de nuestra realidad física. Es así como Newton formuló la segunda ley del movimiento, esta se usa rutinariamente por los ingenieros en el diseño de elementos tales como armaduras, dispositivos, circuitos, entre otros. Desde la perspectiva del diseño de ingeniería, estos conocimientos son muy útiles cuando se expresan en forma de un modelo matemático. Un modelo matemático se define como una formulación o ecuación que expresa las características fundamentales de un sistema o proceso físico en términos matemáticos. Para nuestro caso: F = ma (1.1) Donde, F es la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo, m es la masa del objeto y a es su aceleración. La ecuación (1.1) reúne varias características habituales de los modelos matemáticos del mundo físico: • Describe un sistema o proceso natural en términos matemáticos. • Representa una idealización y una simplificación de la realidad. • Conduce a resultados predecibles. Por ejemplo, si se conocen la fuerza aplicada y la masa, entonces puede usarse la ecuación para estimar la aceleración. Sin embargo, los modelos matemáticos de otros fenómenos físicos pueden ser mucho más complejos y no pueden resolverse exactamente o requieren técnicas matemáticas más avanzadas que la simple álgebra para su solución. Para ilustrar el modelo de este tipo per más complicado, se puede usar la segunda ley de Newton para determinar la velocidad de un cuerpo en caída libre. 1.2.

CASO DE ESTUDIO

El cuerpo en descenso será un esquiador como se muestra en la figura 3. Para este caso recordemos que la aceleración es la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo (dV/dt) y sustituir en la ecuación (1.1) para dar: m

dV =F dt

(1.2)

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V es la velocidad, entonces la masa multiplicada por la razón de cambio de la velocidad es igual a la suma de fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Para un cuerpo que cae la fuerza total la conforman dos fuerzas contrarias: la fuerza gravitatoria (hacia abajo) y la fuerza de resistencia del aire (hacia arriba), es decir: F = FR + Fg (1.3). Si a la fuerza hacia abajo se le asigna un signo positivo, se puede usar la segunda ley para formular la fuerza debida a la gravedad como: Fg = mg. Donde g es la constante gravitacional, aproximadamente 980 cm/seg2. Supondremos que la resistencia del aire es linealmente proporcional a la velocidad, como en: FR = - CV, donde C es una constante de proporcionalidad, llamada coeficiente de arrastre. FR

Fg Figura 3. Representación de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en descenso. La fuerza total es la diferencia entre las fuerzas hacia abajo y hacia arriba. Por tanto, combinando las ecuaciones obtenemos: dV m( ) = mg − CV dt dividiendo a cada lado por m encontramos: dV C =g− V dt m

(1.4)

La ecuación (1.4) es un modelo que relaciona la aceleración de un cuerpo que cae a las fuerzas que actúan sobre él. La solución de ecuación anterior no puede obtenerse usando simples manipulaciones algebraicas y operaciones aritméticas.

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Suponiendo que el esquiador se lanzo desde un aeroplano y en el instante t=0 (inicialmente) esta en reposo v=0, se puede usar el cálculo para resolver la ecuación (1.4), así: gm (1.5) v(t ) = (1 − e−(c / m)t ) c

1.2.1. Solución analítica

¢

Un esquiador con una masa de 68100 gramos salta de un aeroplano. Aplíquese la ecuación (1.5) para calcular la velocidad antes de abrir el paracaídas de seguridad. El coeficiente de arrastre c es aproximadamente igual a 12500 g/seg. Solución: al sustituir los valores de los parámetros en la ecuación (1.5) se obtiene: v(t) = 5339[1- e-0,18355t]

(1.6)

al dar varios valores de t se obtienen las velocidades para dicho tiempo: los resultados se presentan a continuación: t, seg. 0 2 4 6 8 10 12 ∝

V, cm/seg. 0 1640,5 2776,9 3564,2 4109,5 4487,3 4749,0 5339,0

A la ecuación (1.6) se le llama solución analítica o exacta porque satisface exactamente la ecuación diferencial original.

1.2.2. Solución numérica Como se menciono con anterioridad, los métodos numéricos son aquellos en los que se reformula el problema matemático para que se pueda resolver mediante

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operaciones aritméticas. Para nuestro caso, la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo puede aproximarse de la siguiente manera: dV ∆V v(ti +1 ) − v(ti ) ≅ = (1.7) dt ∆t ti +1 − ti donde ∆v y ∆t son diferencias en la velocidad y el tiempo calculadas sobre intervalos finitos, v(ti) es la velocidad en el tiempo inicial ti, y v(ti+1) es la velocidad algún tiempo más tarde ti+1. La ecuación (1.7) es una diferencia finita dividida en el tiempo ti. Puede sustituirse en la ecuación (1.2.4) para dar: v(ti +1 ) − v(ti ) C = g − v(ti ) t i + 1 − ti m

(1.8)

Esta ecuación puede ordenarse otra vez para dar: C   v(ti +1 ) = v(ti ) +  g − v(ti ) (ti +1 − ti ) m  

(1.9)

Y así, la ecuación diferencial (1.4) se transforma en una ecuación que puede resolverse algebraicamente para v(ti+1). Si se da un valor inicial para la velocidad en un tiempo ti, se puede calcular fácilmente v en ti+1. Este nuevo valor de v en ti+1 puede emplearse para extender el cálculo de v en ti+2 y así sucesivamente. Por lo tanto, en cualquier tiempo de la trayectoria, Nuevo valor = Valor anterior de v + Valor estimado de × incremento del tiempo de v la pendiente Efectuando el mismo cálculo que en el ejercicio anterior, pero usando la ecuación (1.8) para calcular v(t) con un incremento de tiempo igual a 2 segundos, se obtiene: Al principio de los cálculos (t1=0), la velocidad del esquiador v(ti) es igual a cero. Con esta información y los valores de los parámetros del ejemplo anterior, la ecuación 2.8. se puede usar para estimar v(ti+1) en ti+1 = 2seg. 12500   v(2) = 0 + 980 − (0) 2 = 1960cm / s 68100   Para el siguiente intervalo (de t = 2 a 4 seg.), se repite el cálculo con el resultado,

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12500   v(4) = 1960 + 980 − (0) 2 = 3200.5cm / s 68100   Siguiendo con los cálculos de la misma manera para obtener valores adicionales, como se muestra en la siguiente tabla: t, segundos 0 2 4 6 8 10 12 ∝

v, cm/seg. 0 1960.0 3200.5 3985.6 4482.5 4796.9 4995.9 5339,0

v, m/s

Como se notará, debe pagarse un tributo al usar la calculadora por un resultado numérico más preciso. Cada partición a la mitad del incremento para lograr más precisión, nos lleva a duplicar el número de cálculos. Por consiguiente, vemos que existe un trueque entre la exactitud y la cantidad de operaciones y tiempo de procesamiento.

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Velocidad terminal

Solución analítica, exacta

20

40

Solución numérica aproximada

0

4

8

12

t, m

Figura 4. Comparación de las soluciones numérica y analítica para el problema del paracaidista.

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1.3 MODELOS MATEMÁTICOS QUE DESCRIBEN SISTEMAS FÍSICOS Ecuación Barométrica

Ã

Se aplica en el estudio de gases para establecer la relación de presiones. La presión y la densidad de un gas ideal se relacionan por la siguiente ecuación: PM ρ= , reemplazando ρ, en las dos ecuaciones anteriores y derivando y RT dP Mg separando variables, se encuentra: = dh , con T constante e integrando P RT entre dos estados obtenemos: P gM (h2 − h1 ) Ln 2 = − P1 RT R = constante de los gases ideales, Análisis dimensional atm⋅m3⋅kmol-1⋅°K-1 T = temperatura, °K H = altura, m Variable independiente: altura h g = constante gravitacional, m⋅s-2 Variable dependiente : presión P M = peso molecular, kg⋅kmol-1 P = presión, kg⋅s-2⋅m-1 ó atm Periodo de velocidad de secado



Durante este periodo la velocidad con que desaparece agua de la superficie del producto es igual a la velocidad con que llega desde el interior del mismo. La transmisión de calor tiene lugar solamente por convección, la temperatura de la superficie del sólido permanece constante e igual a la temperatura húmeda del aire de secado. La velocidad de secado es la de evaporación del agua, que es la transferencia de materia y es proporcional al flujo de calor: dw Q = Gw = dt Awλi Análisis dimensional T = tiempo de secado, s Q = calor de transferencia, J⋅s-1 dw/dt =velocidad de evaporación, kg⋅m-2 s-1 Aw =superficie de evaporación, m2 w =agua evaporada por unidad de área, kg⋅m-2 Gw =velocidad de transferencia de materia, kg⋅s-1⋅m-2 λi = calor latente de vaporización a la temperatura de interface, J⋅kg-1

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Variable independiente Variable independiente Parámetros

: tiempo, t :agua evaporada, w : propiedades fisicoquímicas y geométricas del secar, coeficiente de transferencia

Transferencia de masa para lixiviación

material a

Á

dM K ' A(Cs − C ) = dt b Para un proceso discontinuo, en el cual el volumen total de la solución es VdC K ' A(Cs − C ) constante dM = VdC, entonces: = , ordenando, se dt b dC K'A = dt , integrando entre Co, C1, para t=0 y t, se obtiene: encuentra: Cs − C Vb Cs − C K ' A Ln = t . Cuando se agrega disolvente puro Co = 0 y haciendo Cs − Co Vb α − t  α = K’A/b, resulta: C = Cs 1 − e V    Análisis dimensional t = tiempo, s K’ = coeficiente de difusión, m2⋅s-1 A = área de interface sólido-líquido, m2 C = concentración del soluto en la solución, kg⋅m-3 Cs = Concentración de la solución saturada en contacto con el sólido, kg⋅m-3 b = espesor de la película de líquido adyacente al sólido, m Variable independiente Variable dependiente Parámetros

: tiempo, t : concentración del soluto C : coeficiente de transferencia de masa y geometría del sistema.

Esterilización por calor

…

Representa un cinética de primer orden para la extinción de microorganismos de la siguiente manera: dN = −κ d N dt

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κd se puede expresar de manera análoga a la ley de Arrhenius, en función de la temperatura: κ d = ae

−

E RT

.

De las ecuaciones anteriores se tiene: t

E − dN = −κ d N = − aNe RT dt

t

E − No RT integrando, ∇ = Ln = κ d dt = a ∫ e dt , en donde, ∇ = reducción fraccional N ∫0 0 de microorganismos.

Análisis dimensional t = tiempo, s N = número de microorganismos κd = constante de extinción térmica, s-1 T = temperatura, °K E = energía de activación, cal/gmol A = constante de Arrhenius R = constante universal de los gases, cal/gmol°K Variable independiente Variable dependiente Parámetros

: tiempo t : número de microorganismos, N : constantes térmicas de resistencia de los microorganismos, constantes fisicoquímicas del medio, propiedades geométricas del sistema.

M

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KARL WILHELM THEODOR WIERSTRASS (1815 – 1897) Matemático alemán. Estudió leyes en la Universidad de Bonn, pero fracasó en conseguir un grado (en parte por sus extravagancias de bebedor de cerveza). Fue maestro de escuela durante 15 años, mientras estudiaba matemáticas en la noche, los pocos resultados que publicó le atrajeron una invitación a enseñar, primero en el Instituto Técnico de Berlín, más tarde como profesor de la Universidad de Berlín. Considerado el padre del Análisis Moderno. En sus primeras investigaciones abordó el problema de los números irracionales. Luego se dedico al estudio de las funciones de variables complejas y de variables reales. Desarrolló una teoría completa de series de funciones y estableció la legitimidad de operaciones tales como la integración y la derivación. Su nombre es inseparable del de su discípula Sonia Kowalewski, valiosa matemática rusa.

CAPÍTULO DOS APROXIMACIONES Y ERRORES

Debido a que los errores son parte intrínseca en el entendimiento y uso efectivo de los métodos numéricos, se ha escogido este capítulo para desarrollar este tema. La mayor parte de las técnicas desarrolladas en este módulo tienen la característica de poseer errores. Esto puede parecer contradictorio a primera vista ya que no coincide con la imagen que se tiene de un buen mecanismo de ingeniería.

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2.1. INTRODUCCIÓN TEÓRICA En la práctica profesional los errores pueden resultar costosos y hasta catastróficos. Se puede perder la vida si un dispositivo o una estructura llega a fallar. En general, si algún modelo presenta pequeñas variaciones en sus resultados, que no alteren totalmente sus predicciones, bastará con formular un nuevo modelo. Sin embargo, si su distribución es aleatoria pero se agrupa muy próxima alrededor de la predicción, entonces las desviaciones pueden calificarse como insignificantes y el modelo nuevamente se considerará adecuado. Las aproximaciones numéricas pueden introducir errores similares en el análisis. Pero la pregunta aquí es: ¿qué error puede considerarse tolerable? Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las aproximaciones y cantidades matemáticas. Éstos incluyen errores de trucamiento, que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo que se producen cuando los números tienen un límite de cifras significativas que se usan para representar números exactos. Para los dos tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado está dada por: Valor verdadero = aproximación + error

(2.1)

Reordenando la ecuación 2.1 se encuentra que el error numérico es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, esto es: Et = valor verdadero – aproximación

(2.2)

Donde Et se usa para denotar el valor exacto del error. Se incluye el subíndice t para denotar que se trata del error “verdadero”. Como ya se mencionó brevemente, esto contrasta con los otros casos, donde se debe emplear una estimación “aproximada” de error. Un defecto en esta definición es que no toma en consideración el orden de magnitud del valor que se está probando. Por ejemplo, un error de un centímetro es mucho mas significativo si se está midiendo un remache que un puente. Una manera de medir las magnitudes de las cantidades que se está evaluando es normalizar el error respecto al valor verdadero, como en: Error relativo fraccional = error verdadero/valor verdadero Donde, como ya se dijo aproximado.

en la ecuación 2.2, error = valor verdadero – valor

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El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como:

εt = (error verdadero/valor verdadero) × 100% donde εt denota el error relativo porcentual verdadero. Este capítulo busca cubrir varios aspectos que identifican, cuantifican y minimizan estos errores. 2.1.1. Cifras Significativas Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. El concepto de cifra o dígitos significativos se han desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico. Las cifras significativas de un número son aquellas que pueden ser usadas en forma confiable. Es convencional estimar el conjunto de dígitos de la medianía de la división de la escala más pequeña de un aparato de medición. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos: 1. Como se dijo en el problema de la caída del paracaidista, los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos. Una manera de hacerlo es en términos de cifras significativas. Por ejemplo, se puede decidir que la aproximación es aceptable siempre y cuando sea correcta para cuatro cifras significativas. 2. Aunque ciertas cantidades tales como π, e, o 3 5 representan números específicos, no se pueden expresar exactamente con un número finito de dígitos. Por ejemplo, π = 3.141592653589793238462643.... hasta el infinito. Debido a que las computadoras retienen sólo un número finito de cifras significativas, tales números jamás se podrán representar con exactitud. A la omisión del resto de cifras significativas se le conoce como error de redondeo. 2.1.2. Exactitud y Precisión Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su exactitud y precisión. La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido con el valor verdadero. La precisión se refiere a

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qué tan cercano está un valor individual medido o calculado con respecto a los otros. Estos conceptos se pueden ilustrar gráficamente usando una analogía de una diana de prácticas para tiro. Los agujeros en cada blanco de la figura 5 se pueden imaginar como las predicciones en una técnica numérica, mientras que el centro del blanco representa la verdad. La inexactitud se define como un alejamiento sistemático de la verdad, la imprecisión (también llamada incertidumbre), se refiere a la magnitud del esparcimiento de los disparos. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin inexactitudes para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería. También deben ser lo suficientemente precisos para el diseño en la ingeniería. Usaremos el término error para representar la inexactitud y la imprecisión de las predicciones.

2.2. ERRORES DE TRUNCAMIENTO Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Por ejemplo en el problema del paracaidista aproximamos la derivada de la velocidad de caída de un paracaidista mediante la ecuación de diferencia finita dividida de la forma: dv ∆v v(ti +1 ) − v(ti ) ≅ = (1.7) dt ∆t ti +1 − ti Se introdujo un error de truncamiento en la solución, ya que la ecuación de diferencias sólo aproxima el valor verdadero de la derivada. Además, para obtener conocimiento de las características de estos errores se regresará a la formulación matemática usada ampliamente en los métodos numéricos para expresar funciones en forma polinomial: las series de Taylor. 2.2.1 Uso de la serie de Taylor para estimar los errores de truncamiento. Aunque la serie de Taylor es en extremo útil en la estimación de errores de truncamiento a lo largo algunas veces no es claro su empleo. Examinemos el caso del paracaidista, v(t) se puede expandir en la serie de Taylor del siguiente modo: v ''(ti ) v(ti +1 ) = v(ti ) + v '(ti )(ti +1 − ti ) + (ti +1 − ti ) 2 + ⋅⋅⋅ + Rn (2.3) 2! Ahora, truncando la serie después del término con la primera derivada, se obtiene: v(ti +1 ) = v(ti ) + v '(ti )(ti +1 − ti ) + R1 La ecuación 2.4 se puede resolver para

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(2.4)

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v '(ti ) =

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v(ti +1 ) − v(ti ) R1 Error de − ti +1 − ti ti +1 − ti truncamiento

(2.5)

Aproximación a primer orden

Aumenta la precisión

Aumenta la exactitud

a)

c)

b)

d)

Figura 5. Un ejemplo de un buen tirador ilustra el concepto de exactitud y precisión a) inexacto e impreciso; b) exacto e impreciso; c) inexacto y preciso, d) exacto y preciso. La primera parte de la ecuación 2.5 es exactamente la misma relación que se uso para aproximar la derivada del ejemplo del paracaidista. Sin embargo con el esquema de la serie de Taylor, se ha obtenido una estimación del error de truncamiento asociado con esta aproximación de la derivada. En otras palabras, el error en la aproximación usando derivadas debería ser proporcional al tamaño del paso. Por lo tanto, si éste se divide a la mitad, entonces se espera que el error de la derivada se reduzca a la mitad.

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2.2.2 Estabilidad y condición La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en los datos de entrada. Puede decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumentan considerablemente por el método numérico. Estas ideas pueden estudiarse usando la serie de Taylor de primer orden: f ( x) = f ( x% ) + f '( x% )( x − x% )

(2.6)

Esta relación puede emplearse para estimar el error relativo de f(x) como en: f ( x) − f ( x% ) f '( x% )( x − x% ) ≅ f ( x) f ( x% ) el error relativo de x esta dado por:

(2.7)

x − x% . x%

Un número condicionado puede definirse como la razón de estos errores relativos % '( x% ) xf Número condicionado = . f ( x% ) El número condicionado proporciona una medida de hasta qué punto la incertidumbre de x aumentada por f(x). Un valor de 1 nos indica que el error relativo de la función es idéntico al error relativo de x. Un valor mayor que 1 nos indica que el error relativo es amplificado, mientras que para un valor menor que 1 decimos que está disminuido. Funciones con valores muy grandes nos dicen que están mal condicionados. Cualquier combinación de factores de la ecuación ¿???, al incrementarse el valor numérico del número condicionado, tiene tendencia a aumentar la incertidumbre en el cálculo de f(x).

2.3. ERROR NUMERICO TOTAL El error numérico total es la suma de los errores de truncamiento y redondeo. En general, el único camino para minimizar los errores de redondeo es incrementando el número de cifras significativas en la computadora. Adicionalmente, se notará que un error de redondeo se incrementará tanto por la cancelación por resta como porque en el análisis exista un incremento en el número de cálculos. En contraste, en el calculo, se podría disminuir el tamaño del paso aproximado para un cálculo

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en particular. Se debería seleccionar un tamaño del paso largo a fin de disminuir la cantidad de cálculos y errores de redondeo sin incurrir en la penalización de grandes errores de redondeo.

Log error

Error total

Error de redondeo Error de truncamiento

Log tamaño del paso Figura 6. Representación gráfica de elementos de juicio entre el error de redondeo y error de truncamiento que algunas veces son inseparables en el papel que juegan en un método numérico. El punto de retorno disminuido es presentado, donde el error de redondeo empieza a negar los beneficios de la reducción del tamaño del paso. 2.3.1 Errores por equivocación A todos les son familiares los errores por negligencia o por equivocación. En los primeros años de la computadoras, los resultados numéricos erróneos fueron atribuidos algunas veces al mal funcionamiento de la propia computadora. En la actualidad esta fuente de error es muy improbable y la mayor parte de las equivocaciones se pueden atribuir a errores humanos. Las equivocaciones ocurren a cualquier nivel del proceso de modelación matemática y pueden contribuir con todos los otros componentes del error. Se pueden evitar únicamente con un sólido conocimiento de los principios fundamentales y con el cuidado del método y diseño de la solución del problema. 2.3.2 Errores de formulación Los errores de formulación o errores de modelamiento pueden ser atribuidos a lo que se podría considerar como un modelo matemático incompleto. Un ejemplo de error de formulación imperceptible es el hecho de que la segunda ley de Newton no toma en cuenta los efectos relativísticos. Esto no desvirtúa la validez de la solución del ejemplo del paracaidista, ya que estos errores son mínimos en las

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escalas del tiempo y espacio asociadas con el problema de la caída del paracaidista. Se debe estar consciente de estos problemas y darse cuenta que si se está usando un modelo deficiente, ningún método numérico generará los resultados adecuados. 2.3.3 Incertidumbre de los resultados Algunas veces se introducen errores en un análisis debido a la incertidumbre en los datos físicos sobre los que se basa el modelo cuando se realizan varias corridas o cálculos, estos errores pueden mostrar inexactitud e imprecisión. Si los instrumentos constantemente subestiman o sobrestiman las mediciones se estará tratando con un instrumento inexacto o desviado. Los errores de medición se pueden cuantificar sumando los datos con una o más técnicas estadísticas bien conocidas, que generen tanta información como sea posible, observando las características específicas de los datos. Esta estadística descriptiva es a menudo seleccionada para presentar 1) la posición del centro de distribución de los datos y 2) el grado de esparcimiento de los datos. Como tales, dan una medida de la desviación e imprecisión, respectivamente.

  2.4. EJERCICIOS RESUELTOS

Encontrar el número de cifras significativas de las cantidades siguientes: Solución 74,24 S(4) 13258 S(5) 8200,02 S(6) 0,35 S(2) 0,005 S(1) 1200 S(4) -1863,000 S(7) -0,00743 S(3) 750,0000 S(7) Expresar las cantidades anteriores en formato de coma flotante normalizada con exponente o notación científica. Solución

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74,24 13258 8200,02 0,35 0,005 1200 -1863,000 -0,00743 750,0000

0,7424x102 0,13258x105 0,820002x104 0,35x100 0,5x10-2 0,1200x104 -0,1863000x104 -0,743x10-2 0,7500000x103

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S(4) S(5) S(6) S(2) S(1) S(4) S(7) S(3) S(7)

Redondear simétricamente a tres o dos cifras decimales, las cantidades que se indican Solución 23,65487 23,655 D(3) 0,004563 0,005 D(3) -1238,83421 -1238,83 D(2) 77,235 77,24 D(2) -5,8765 -5,877 D(3) 23,4899 23,490 D(3) Al estudiar el fenómeno diario de la variación que experimentan las condiciones meteorológicas, se suprimen muchas variables que deberían de intervenir en los cálculos. A qué tipo de errores pertenecen tales simplificaciones. Solución Corresponderían a errores del modelo. Considerando las cantidades 28294 y -13485 y sus respectivas cantidades redondeadas a cuatro y tres cifras significativas, 28290(4S) y -13500(3S), encontrar las cotas de los errores absoluto y relativo de tales redondeos. Solución x = 28294 x = 28290 ∆x = 5 = 0,5x101 δx = 5/28290 ≈ 0,00088 2 y = -13485 y = -13500 ∆y = 50 = 0,5x10 δy = 5/28290 ≈ 0,0037 Si x = 1,414 es una aproximación obtenida redondeando a tres cifras decimales una cantidad exacta x, indicar en qué intervalo está contenido el valor exacto. Solución x ∈ [ 1,4135 1,4145 )

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Otra forma de llegar al mismo resultado: si x está redondeada, la cota del error absoluto de ese redondeo, será: ∆x =0,5x10-3 = 0,0005 y, por consiguiente, el valor exacto estará comprendido entre los valores x = 1.414 ± 0,0005, es decir, entre: 1,4115 y 1,4135 Cómo se catalogaría el error cometido al transcribir mal una cantidad desde un documento original a otro cualquiera. Solución Se tratará de un error grosero o bien de una verdadera equivocación. La cantidad exacta x = 5,342 se redondea a dos cifras decimales. Encontrar el error absoluto cometido. Solución La cantidad aproximada obtenida por el redondeo será x = 5,34 por lo que el módulo del error absoluto cometido será ex  = 5,342 - 5,34  = 0,002 A una cinta métrica defectuosa le falta el primer centímetro. Después de medir una longitud con la misma, se obtienen 15 cm. Determinar la verdadera longitud de la magnitud medida, el error absoluto de la medición, el relativo y el porcentaje. Solución x = 15 cm. y x = 14 cm. ex  = x - x  = 1 cm. = ∆x rx = ex /x = 1/14 = 0,071 o bien 1/15 = 0,067 Porcentaje del error = 0,071x100 = 7,1% o bien 0,067x100 = 6,7% Un voltímetro maraca las lecturas con un error de +0,05V. Se toma una lectura de 60V. Calcular los errores absoluto, relarivo y porcentaje del error. Solución V = 60 V = 59,95 ev  = 60 - 59,95  = 0,05V rv = 0,05/60 = 0,00081 Porcentaje = 0,00081x100 = 0,081%

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El peso de 1 dm3 de agua a 0°C está contenido entre los valores indicados por p = 999,847 gr ± 0,001 gr Determinar la cota o límite máximo del error relativo del resultado del peso del agua. Solución p = 999,847 y ∆p = 0,001 con lo que será : δp = 0,001/999,847 = 0,1x10-4 = 10-4 Deducir los dígitos correctos de la cantidad aproximada 48,361 que tiene un error relativo máximo del 1%. Solución a = 48,361 δa = 1% = 1/100 = 0,01 δa = ∆a/a con lo que, entonces ∆a = δa ⋅ a = 0,01x48,361 = 0,48661 < 0,5 = 0,5x100 luego, no existe ninguna cifra decimal correcta, es decir, la última cifra correcta será la de las unidades. Ello equivale a asegurar que las cifras correctas son las que forman la parte entera: la 4 y la 8 Como aproximación de π = 3,141592... se toma el valor 3,14. Cuáles son sus cifras exactas y cuáles las correctas? Solución eπ = 3,141592 - 3,14  = 0,001592 = 0,1592x10-2 < 0,5x10-2 es decir, tiene correctas dos cifras decimales : el 1 y el 4 y, por tanto, también la entera 3. Otra forma, más laboriosa pero basada en la propia definición de dígito correcto, de llegar al mismo resultado, es la que sigue. Según el resultado anterior, una cota del error absoluto es ∆π = 0,0016. Entonces, 0,0016 < 0,5 ⇒ el 3 es correcto 0,0016 < 0,05 ⇒ el 1 es correcto 0,0016 < 0,05 ⇒ el 4 es correcto En cualquier caso, las cifras exactas, es decir, coincidentes con las que forman el verdadero valor de π, son, en este caso, también las tres : 3, 1 y 4.

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BLAISE PASCAL (1623 - 1662 D. C.) Matemático, físico, filósofo y escritor, nació en Clermont, Francia. A los doce años, comenzó a estudiar geometría, en este campo fue donde hizo sus máximas contribuciones matemáticas, demostrando las 32 proporciones de Euclides,. Al sostener correspondencia con su coterráneo Pierre Fermat, Pascal echa las bases de la Teoría de las Probabilidades. Se da el nombre de 'triangulo de Pascal' al arreglo de números que contiene los coeficientes del teorema del binomio. Sus ideas influyeron sobre Leibniz y, a través de él, sobre la fundación del Cálculo. Se le deben las leyes del equilibrio de los líquidos y otros importantes descubrimientos. A la edad de 19 años inventó la primera máquina de sumar. Este dispositivo, con sus ruedas movidas a mano, es el ancestro primitivo de las calculadoras y computadoras electrónicas de hoy. Y este moderno artificio de cálculo es lo que convierte en especialmente útiles y prácticos los métodos numéricos.

CAPITULO TRES DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA Como se menciono con anterioridad, los métodos numéricos son aquellos en los que se reformula el problema matemático para que se pueda resolver mediante operaciones aritméticas sencillas. Para nuestro caso, la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo puede aproximarse de la siguiente manera: dV ∆V v(ti +1 ) − v(ti ) ≅ = (1.7) ∆t dt ti +1 − ti

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3.1. INTRODUCCIÓN TEÓRICA La ecuación (1.7) se conoce con un nombre especial en el análisis numérico: se le llama diferencia finita dividida. Se puede representar generalmente como: ∆f f ( xi + ) − f ( xi ) f ' ( xi ) = + O( xi + − x) ó f ' ( xi ) = i + O(h) h xi + − xi

(3.1)

donde ∆fi se le conoce como la primera diferencia hacia delante y a h se le llama tamaño del paso; esto es, la longitud del intervalo sobre el cual se hace la aproximación. Se le llama “hacia delante”, ya que se usa los datos i e i+1 para estimar la derivada (véase figura 7a). Al término completo ∆fi/h se le conoce como la primera diferencia finita dividida. Esta diferencia dividida hacia adelante no es sino una de tantas que se puede desarrollar mediante la serie de Taylor para la aproximación de derivadas numéricas. Por ejemplo, las aproximaciones a primeras derivadas utilizando las diferencias hacia atrás o diferencias centrales se pueden desarrollar de una manera similar a la de la ecuación (1.7). Las primeras usan valores en xi-1 y xi (véase figura 7b), mientras que las segundas usan valores igualmente espaciados alrededor del punto donde está estimada la derivada (véase figura 7c). Las aproximaciones más exactas de la primera derivada se pueden desarrollar incluyendo en la serie de Taylor términos de orden más alto. Finalmente, todas las versiones anteriores se pueden desarrollar para derivadas de segundo orden, tercer orden y órdenes superiores. Las siguientes secciones analizan brevemente estos casos, ilustrando cómo se desarrollan cada uno de ellos.

3.2. APROXIMACIÓN A LA PRIMERA DERIVADA CON DERIVADAS HACIA ATRÁS La serie de Taylor se puede expandir hacia atrás para calcular un valor anterior sobre el valor actual, como en: f ' ' ( xi ) 2 f ( xi −1 ) = f ( xi ) − f ' ( xi )h + h − ⋅⋅⋅ (3.2) 2! Truncando la ecuación después de la primera derivada y ordenando los términos se obtiene

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f ' ( xi ) ≅

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f ( xi ) − f ( xi −1 ) ∇f1 = h h

(3.3)

donde el error es de O(h) y ∇f1 indica la primera diferencia dividida hacia atrás. Véase la figura 7b para una representación gráfica.

3.3. APROXIMACIONES A LA PRIMERA DERIVADA CON DIFERENCIAS CENTRALES Una tercera forma de aproximar la primera derivada es restando la ecuación (4.19) de la expansión en serie de Taylor hacia delante: f ( xi +1 ) = f ( xi ) + f ' ( xi )h +

f ' ' ( xi ) 2 h − ⋅⋅⋅ 2!

(3.4)

para obtener: f ( xi +1 ) = f ( xi −1 ) + 2 f ' ( xi )h +

f ( 3) ( x i ) 3 h − ⋅⋅⋅ 3!

(3.5)

que se puede resolver para: f ' ( xi ) =

f ( xi +1 ) − f ( xi −1 ) f ( xi +1 ) − f ( xi −1 ) f ( 3) ( xi ) 2 h + ⋅ ⋅ ⋅ ó f ' ( xi ) = − − O(h 2 ) (3.6) 2h 2h 6

La ecuación 3.6 es una representación de las diferencias centrales de la primera derivada. Obsérvese que el error de truncamiento es del orden de h2 en contraste con las diferencias divididas hacia delante y hacia atrás, las cuales fueron de orden h. Por lo tanto, el análisis de la serie de Taylor ha llevado a la información práctica de que la diferencia central es la representación más exacta de la derivada (véase figura 7c). Por ejemplo, si reducimos el tamaño del paso a la mitad, usando diferencias hacia atrás o hacia delante, el error se reducirá aproximadamente a la mitad, mientras que para diferencias centrales el error se reducirá a la cuarta parte.

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3.4. APROXIMACIONES POR DIFERENCIAS FINITAS DE DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Además de las primeras derivadas, la expansión en serie de Taylor, puede ser usada para desarrollar estimaciones numéricas de las derivadas de orden superior. Para esto, se escribe la expansión en serie de Taylor hacia adelante para f(xi+2) en términos de f(xi): f ' ' ( xi ) ( 2 h) 2 + L (3.7) 2! La ecuación (4.21) se puede multiplicar por 2 y restarse de la ecuación (4.23) f ( xi + 2 ) = f ( xi ) + f ' ( xi )(2h) +

f ( xi + 2 ) − 2 f ( xi +1 ) = − f ( xi ) + f ' ' ( xi )h 2 + L

(3.8)

la cual puede resolverse para: f ' ' ( xi ) =

f ( xi + 2 ) − 2 f ( xi +1 ) + f ( xi ) + O ( h) h2

(3.9)

Esta relación es llamada la segunda diferencia dividida hacia delante Con manipulaciones similares puede emplearse la versión de derivada hacia atrás, f ' ' ( xi ) =

f ( xi ) − 2 f ( xi −1 ) + f ( xi − 2 ) + O ( h) h2

(3.10)

f ( xi +1 ) − 2 f ( xi ) + f ( xi −1 ) + O(h 2 ) h2

(3.11)

y la versión central, f ' ' ( xi ) =

Como fue el caso con la aproximación de la primera derivada, el caso central tiene mejor aproximación. Obsérvese también que la versión central puede ser alternativamente expresada como f ( xi +1 ) − f ( xi ) f ( xi ) − f ( xi −1 ) − h h f ' ' ( xi ) ≅ (3.12) h Así, justo como la segunda derivada es una derivada de la derivada, la aproximación de la segunda diferencia finita dividida es una diferencia de dos primeras diferencias divididas.

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Derivada verdadera

aproximación

a)

h xi

xi+1

x

Derivada verdadera

b)

aproximación

h xi

xi-1

x

Derivada verdadera

c) aproximación

2h x xi xi+1 xi-1 Figura 7. Gráfica de aproximaciones con diferencias divididas finitas de la primera derivada: a) hacia delante, b) hacia atrás, c) centrales. 3.5. EJERCICIO RESUELTO. Enunciado del problema. Use las diferencias finitas hacia delante y hacia atrás con aproximación de O(h) y diferencias centrales con aproximación de O(h2) para estimar la primera derivada de: f(x) = -0.14x4 – 0.15x3 – 0.5x2 – 0.25x + 1.2

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En x = 0.5 usando un tamaño de paso h = 0.5. Repita el cálculo usando h = 0.25. Obsérvese que la derivada puede ser calculada directamente como: f’(x) = -0.4x3 – 0.45x2 – 1.0x – 0.25 y se puede usar para calcular el valor verdadero como f’(0.5) = -0.9125. Solución. Para h = 0.5, la función puede ser empleada para determinar xi-1 = 0 f(xi-1) = 1.2 xi = 0.5 f(xi) = 0.925 xi+1 = 1.0 f(xi+1) = 0.2 Esos valores pueden ser usados para calcular las diferencias divididas hacia delante, 0.2 − 0.925 f ' (0.5) ≅ = −1.45 ε t = 58.9% 0.5 con las diferencias divididas hacia atrás: 0.925 − 1.2 f ' (0.5) ≅ = −0.55 ε t = 39.7% 0.5 y las diferencias divididas centrales: 0.2 − 1.2 f ' (0.5) ≅ = −1.0 ε t = 9.6% 1.0 Para h = 0.25, xi-1 = 0.25 f(xi-1) = 1.10351563 xi = 0.5 f(xi) = 0.925 xi+1 = 0.75 f(xi+1) = 0.63632813 Las cuales pueden ser usadas para calcular las diferencias divididas hacia delante, 0.63632813 − 0.925 f ' (0.5) ≅ = −1.155 ε t = 26.5% 0.25 las diferencias divididas hacia atrás, 0.925 − 1.10351563 f ' (0.5) ≅ = −0.714 ε t = 21.7% 0.25 y las diferencias divididas centrales, 0.63632813 − 1.10351563 f ' (0.5) ≅ = −0.934 ε t = 2.4% 0.5 Para ambos tamaños de paso, la aproximación de diferencias centrales es más exacta que las diferencias hacia delante y hacia atrás. También como se pronosticó con el análisis de la serie de Taylor, dividiendo a la mitad el tamaño del paso, se tiene aproximadamente la mitad del error de las diferencias hacia atrás y hacia adelante y una cuarta parte de error de las diferencias centrales.

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Augustin Louis Cauchy (1789-1857) Matemático francés, considerado uno de los impulsores del análisis en el siglo XIX. Nació en París y estudió en la Escuela Politécnica de esta ciudad. Fue profesor simultáneamente en el Colegio de Francia, en la Escuela Politécnica y en la Universidad de París. En 1848 fue nombrado profesor de astronomía matemática de esa universidad. Cauchy verificó la existencia de funciones elípticas recurrentes, dio el primer impulso a la teoría general de funciones y sentó las bases para el tratamiento moderno de la convergencia de series infinitas. También perfeccionó el método de integración de las ecuaciones diferenciales de primer grado (véase Cálculo). En el campo de la física se interesó por la propagación de la luz y la teoría de la elasticidad.

CAPÍTULO CUATRO

RAÍCES DE ECUACIONES

Y

RAÍCES DE ECUACIONES Y = f(x)

Raíz

Encontrar x para f(x) = 0.

x

Estos problemas están relacionados con el valor de una variable o de un parámetro que satisface una ecuación. Son especialmente valiosos en proyectos de ingeniería, donde con frecuencia resulta imposible despejar de manera analítica los parámetros de ecuaciones de diseño.

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4.1. OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Al completar la segunda unidad el estudiante debe tener la suficiente información para aplicar convenientemente una amplia variedad de problemas de ingeniería, que se relacionan con las raíces de ecuaciones. En general, se dominarán los métodos, se habrá aprendido a evaluar su confiabilidad y se tendrá la capacidad de optar por el mejor método (o métodos) para cualquier problema en particular. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Conocer la interpretación gráfica de una raíz. Reconocer las diferencias entre los métodos que usan intervalos y los métodos abiertos para la localización de raíces Entender el concepto de convergencia lineal y cuadrática y sus implicancia en la eficiencia de los métodos de iteraciones de punto fijo y de Newton Raphson.

4.2. TEMAS PARA CONSULTA 4.2.1. Métodos que usan incrementos Procedimientos gráficos Método de bisección Método de la regla falsa Búsquedas con intervalos determinando una aproximación inicial 4.2.2. Métodos iterativos Iteración de punto fijo Método de Newton-Raphson Método de la secante Raíz de un polinomio

4.3. INTRODUCCIÓN TEORICA Los sistemas de ecuaciones de una variable es uno de los problemas más básicos del análisis numérico y también es conocido como el problema de búsqueda de raíces. El problema consiste en encontrar los valores de la variable x que satisfacen la ecuación f(x)=0 para una función f dada. A una solución de este problema se le llama cero o raíz de f(x).

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4.3.1. Algoritmo de Bisección Condiciones: a) Una función continua f definida en un intervalo [a,b]. b) f(a) y f(b) de signos opuestos. c) Existe un punto p intermedio aa

¦ a

¦ ξ

¦ x

¦ ¦ x ξ Otra forma de ver el problema es decir que:

¦ a

si x