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• Holman Gonzalez

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Ánalisis numérico Marcos Alejo Sandoval Serrano

Propósito de formación Comprender y aplicar las técnicas básicas de los Métodos Numéricos para la solución de problemas en los que no es posible hallar soluciones en forma analítica o exacta, con un sentido práctico de aplicación en ingeniería.

Contenido 1. Introducción. Teoría de errores. Teoremas 2. Solución de ecuaciones 3. Solución de sistemas de ecuaciones 4. Interpolación extrapolación 5. Integración numérica

TIPOS DE ERRORES? Clasificación Medición

Definición de error Los errores numéricos se pueden clasificar como Errores de truncamiento: resultan del empleo de aproximaciones con cálculos exactos.

Errores de redondeo: por utilizar números que tienen un límite de cifras significativas. Error verdadero = Et = valor verdadero – valor aproximado Esta definición no toma en cuenta la magnitud de las cantidades involucradas. Error relativo fraccional verdadero = error verdadero / valor verdadero El error relativo porcentual verdadero se define como e t = error verdadero / valor verdadero x 100% El error aproximado se utiliza cuando no se conoce el valor verdadero. Se define por e a = error aproximado / valor aproximado x 100% El error en los métodos iterativos con las aproximaciones actual y anterior. e a = (aproximación actual – aproximación anterior) / aproximación actual x 100%

CONVERGENCIA 



La convergencia es la aproximación numérica a la solución de un modelo matemático, hasta un cierto número de cifras, considerando un rango o tolerancia. En un método numérico para encontrar la respuesta “X” más adecuada a un problema representado a través de un modelo matemático se producen “n” términos de una sucesión X1, X2, X3, ..., X n, (soluciones aproximadas), para determinar la convergencia de la respuesta.

Ejercicio a) Evalúe el polinomio y = x3 – 7x2 + 8x + 0.35 En x = 1.37, utilizando aritmética de 3 dígitos con truncamiento (corte). Evalúe el error relativo porcentual. b) Repita a) con y calculada con y = ((x – 7)x + 8)x + 0.35

Evalúe el error y compárelo con el de a)

Ejercicio Escriba un programa en C que imprima una tabla con valores calculados de ex, para x = 0.5 utilizando la expansión siguiente 2

3

x x e  1 x    2! 3! x

Imprima el número de términos (comenzando en 1), el resultado de la suma y el error relativo porcentual. Termine el proceso cuando el error relativo porcentual sea menor a 0.004 %. El valor exacto determínelo con la función exp() de C.

Ejemplo 1 n

La serie:

i i 1

4

Converge al valor f(n) = p4/90, conforme n tiende a infinito. Escriba un programa de precisión sencilla para calcular para n =10000 por medio de calcular la suma desde i = 1 hasta 10000. Después repita el cálculo pero en sentido inverso, es decir, desde i = 10000 a 1, con incrementos de -1. En cada caso, calcule el error relativo porcentual verdadero.

PI = 3.141592653589793238

Polinomios de Taylor Concretemos los conceptos: Si f es una función n veces derivable en a  R , entonces llamamos polinomio de Taylor de f, de orden n (o grado n) y en el punto a, que denotamos por Tn (f,a)(x) (o bien Tn (x) ), al polinomio

f´´(a) f´´´(a) f n) (a) 2 3 (x-a) + (x-a) +...+ (x-a)n Tn (f,a)(x) =f(a)+f´(a)(x-a)+ 2 3! n! Teorema Si f admite polinomio de Taylor de grado n en el punto a entonces: Tn (a)=f(a), Tn ´(a)=f´(a), Tn ´´(a)=f´´(a),...,Tn n) (a)=f n) (a).

Por tanto f y Tn(x) tienen un contacto de orden n en el punto a. Al sustituir la función f por su polinomio de Taylor se comete un error, que en valor absoluto, viene dado por |f(x)-Tn (x)| . Llamamos resto o termino complementario a la diferencia f(x)-Tn (x) , que simbolizamos por Rn (f, a)(x) , o bien Rn (x) , luego Rn (f, a)(x) = f(x)-Tn (x)

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Orden de contacto

f(x) = ex y T0 (x) = 1,tienen un contacto de orden cero el punto P(0, 1). f(0) = T0 (0) =1

f(x) = ex y T1(x) = 1+x,tienen un contacto de orden uno el punto P(0, 1).

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Orden de contacto

f(x) = ex y T2(x) = 1+x+x2/2,tienen un contacto de orden dos en el punto P(0, 1)

f(0) = T2(0) = 1 f´(0) = T2´(0) = 1 f´´(0) = T2´´(0) =1

f(x) = ex y T3(x) = 1+x+x2/2+x3/6, tienen un contacto de orden tres en elf(0) punto = T3(0) = 1 P(0, 1) f´(0) = T ´(0) = 1 3

f´´(0) = T3´´(0) = 1 f´´´(0) = T3´´´(0) =1

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Orden de contacto Representamos conjuntamente las funciones anteriores:

y = 1+x+x2/2

y = ex

y = 1+x

y=1

y = 1+x+x2/2+x3/6

Recuerda consultar en el texto quía sobre solución de ecuaciones Método de Punto fijo, Bisección, Netwon Rapson, Secante,…) Se recomienda trabajar el texto interactivo