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• Luis Latouche

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POLINOMIO DE LARANGE

El polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es una forma de presentar el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado. Lagrange publicó este resultado en 1795, pero lo descubrió Edward Waring en 1779 y fue redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783. Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo engañoso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más apropiado es interpolación polinómica en la forma de Lagrange.

Definición: Dado un conjunto de k + 1 puntos

Donde todos los xj se asumen distintos, el polinomio interpolador en la forma de Lagrange es la combinación lineal

de bases polinómicas de Lagrange

Demostración: La función que estamos buscando es una función polinómica L(x) de grado k. El problema de interpolación puede tener tan solo una solución, pues la diferencia entre dos tales soluciones, sería otro polinomio de grado k a lo sumo, con k+1 ceros. Por lo tanto, L(x) es el único polinomio interpolador.

Ejemplo: Se desea interpolar

en los puntos

Con cinco puntos, el polinomio interpolador tendrá, como máximo, grado cuatro (es decir, la máxima potencia será cuatro), al igual que cada componente de la base polinómica. La base polinómica es:

Así, el polinomio interpolador se obtiene simplemente como la combinación lineal entre los

y los valores de las abscisas:

DIFERENCIA DIVIDIDAS DE NEWTON HACIA ADELANTE Y HACIA ATRÁS

Las diferencias de Newton se subdividen en: Diferencias Finitas Divididas Al asumir que los valores de una función f(x) son aproximadamente lineales, dentro de un rango de valores, es equivalente a decir que la razón Es aproximadamente independiente de x0 y x1 en el rango. Esta razón se conoce con el nombre de primera diferencia dividida de f(x), relativa a x1 y x0, y se designa por medio de f[x1 ,x0]. Se puede inferir de la ecuación que f[x1 ,x0] = f[x0 ,x1]. Por tanto, la linealidad aproximada se puede expresar en la forma f[x0 ,x] f[x1 ,x0] lo que nos lleva a la ecuación de interpolación f(x) f(x0)+ (x -x0).f[x0 ,x1] o o la fórmula equivalente, Las diferencias divididas de orden 0, 1, 2,…, n se pueden deducir recursivamente por medio de las relaciones siguientes: Diferencias hacia adelante Suponga que tiene la tabla de valores siguientes: x f(x) 0.0 0.0 0.2 0.4 0.4 1.9 La tabla de diferencias divididas es: x f(x) 0.0 0.0 0.2 0.4 0.5 1.9 y, renumerando i x f(x) 0 0.0 0.0 1 0.2 0.4 2 2 0.5 1.9 5 6 Donde y son la primera y segunda diferencia dividida. Newton establece que se puede generar un polinomio a partir de una tabla de diferencias divididas (como la que se presentó anteriormente). Para ello se utiliza la ecuación

Así que para construir el polinomio que representa el grupo de datos solo se necesitará los tres primeros términos de la ecuación anterior, quedando así: lo que resulta en un polinomio de segundo grado. La característica de este polinomio es que se construyó utilizando la numeración del índice i en sentido ascendente o de conteo hacia adelante. Este conteo hacia adelante indica que las diferencias están definidas hacia adelante o más bien, utilizando la terminología de Newton, sería una tabla de diferencias finitas “hacia adelante” de Newton. Diferencias hacia atrás Diferencias centrales Interpolación por diferencias divididas de Newton El caso más sencillo se presenta cuando queremos interpolar dos puntos, obteniéndose la muy conocida función lineal que une dos puntos: Si los puntos pertenecen a la gráfica de una función, la pendiente, que tiene una forma de diferencias divididas, representa una aproximación muy global de la primera derivada de, con variando en el intervalo. En el caso de tres puntos, en principio se busca el polinomio de interpolación de grado dos de la forma Al evaluar el polinomio en cada uno de los tres puntos y despejando, y , se obtiene: Una forma sencilla de hacer los cálculos anteriores es determinando sucesivamente las entradas de un arreglo triangular: Donde para En la diagonal de este arreglo triangular aparecen los valores, y . A manera de ejemplo con una cantidad mayor de puntos, determinemos por el método de diferencias divididas de Newton el polinomio interpol ante que pasa por los puntos, y . El arreglo triangular en este caso toma la forma específica:

Sea una variable discreta de elementos y sea otra variable discreta de elementos los cuales corresponden, por parejas, a la imagen u ordenada y abscisa de los datos que se quieran interpolar, respectivamente, tales que:

Este método es muy algorítmico y resulta sumamente cómodo en determinados casos, sobre todo cuando se quiere calcular un polinomio interpolador de grado elevado. El polinomio de grado

Definiendo

y definiendo

resultante tendrá la forma

como

como

Los coeficientes

son las llamadas diferencias divididas.

Una vez se hayan realizado todos los cálculos, nótese que hay (muchas) más diferencias divididas que coeficientes . El cálculo de todos los términos intermedios debe realizarse simplemente porque son necesarios para poder formar todos los términos finales. Sin embargo, los términos usados en la construcción del polinomio interpolador son todos aquellos que involucren a . Estos coeficientes se calculan mediante los datos que se conocen de la función . Queda definido, como:

Cualquier polinomio de