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A. Sea f(x) = 5x2 - 4x +5

1  2 1    A   5 1  3  3 1  1   .Hallar f(A).

y la matriz

F(x)= 5 x2 -4x+5 = 5A2 -4A +5 identidad 1 5A2 =(5 3 5 =(25 15

−2 1 5 1 −3)=(25 1 −1 15

−10 5 5 −15) 5 −5

−10 5 5 5 −15) 𝑥 (25 5 −5 15

−10 5 5 −15) 5 −5

=25-250+75=-150

-50-50+25=-75

25+150-25= 150

125+125-225= 25

-250+25-75= -300

125-75+75= 125

75+125-75= 125

-150+25-25= -150

75-75+25= 25

−150 = ( 25 125

−75 −300 −150

150 125) 25

1 −2 1 4 4A= 4 = (5 1 −3)= (20 3 1 −1 12

−8 4 4 −12) 4 −4

1 0 5 identidad= 5(0 1 0 0

0 0 5 0) 0 5

−150 F(A)= ( 25 125

0 5 0)=(0 1 0

−4 8 −4 −149 −75 150 5 0 0 −300 125)+(−20 −4 12 )+(0 5 0)= ( 5 −12 −4 4 113 −150 25 0 0 5

−67 146 −299 137) −154 34

B. Para cada una de las matrices siguientes, evalúe el determinante y obtenga la inversa, si existe. Emplee matrices particionadas para verificar resultados. 1 6 1.   0 1

1 0 2.   0 1

0 1 3.   1 0

0 1 4.   1 6

2 3 5.   4 6

 2 2 6.   4 4

1 3 7.    2 7

1 1 8.   1 1

Solución: 

1 1)[ 0

6 ]= 1x1-0(6)= 1

1 2) [ 0

0 ]= 1x1=1 , 0x0=0 1

Determinante= 1-0= 1 A-1

1 𝑥[ 0

= 1

1

0 3) [ 1

0 1 0 ]=[ ] 1 0 1

1 ]=0x0=0, 1x1=1 0

Determinante= 0-1= -1 A-1

= 1

−1

0 4)[ 1

x[

0 1 0 −1 ]=[ ] 1 0 −1 0

1 6 −1 ]=[ ] 6 −1 0

6x0-(-1)x(-1)=-1 A-1

= 1

−1

2 5) [ 4

[

6 −1 −6 1 ]=[ ] −1 0 1 0

−3 −6 3 ]= [ ]= -6x2-(-4)3=0 −6 −4 2

Determinate=0 2 6) [ −4

2 −4 −2 ]=[ ]= -4x2-(4)(-2)=0 −4 4 2

Determinate=0 −1 7) [ 2

3 7 −3 ]=[ ]=-1(7)-(-2)(-3) 7 −2 −1 -7-(6)=-13

7 1 7 A-1 = −13 [ −2

−3 −13 ]=[ −2 −1 −13

−3

7

3

−13 −13 −1 ]=[ 2

13 1]

−13

13

13

−1 −1 −1 1 8) [ ]=[ ]=-1x (-1)-(1)x(1) −1 −1 1 −1 1-1=0 Determinante=0

 0 2 3   C. Encontrar la inversa, si existe, de la matriz  1 3 3 , por cofactores y por  1 2 2 

0 −2 −3 0 −2 −3 1 Gauss. ( 1 3 3 )= ( 1 3 3 |0 −1 −2 −2 −1 −2 −2  0

0 0 0 −2 −3 1 1 0)F1+F2 ( 1 3 3 |0 0 1 −1 −2 −2 0

1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 =( 1 | )=( 3 3 0 1 0 0 1 1 | 0 1 1 ) (0 −1 −2 −2 0 0 1 −1 −2 −2 0 0 1 0 1 =(0 0

0 −1 1 0 1 1 |0 1 −1 −2 1 1

1 0 1 1 1 1 |0 1 −1 −2 1 1

−1 1 0 −1 1 0 −1 1 0 1 )F3x-1 (0 1 1 |0 1 1 )=(0 1 1 0 0 −1 1 0 0 0 0

D. Sean

a) ¿Qué clase de matrices son? b) Calcular: - A - B + C. A + B - C. 3A + C/2. c) Calcular: (A · B) /C.

−1 1 0 1 |0 1 1 1 0

0 0 1 0) 0 1

0 1)F1 F2 1 −1 1) 0

a) Las tres matrices son cuadradas y de orden tres. A su vez, B es una matriz triangular, ya que todas las entradas debajo de la diagonal principal son ceros, y C es antisimétrica porque los elementos simétricos son opuestos entre sí.

b)

c)

 Puesto que (A B) /C = A B C-1, calcularemos primero la inversa de C y luego haremos el producto.

 Dividimos la primera fila entre -6, la segunda entre 3 y la tercera entre -3 para que en la mitad izquierda quede la matriz identidad,

 Por lo tanto, la matriz inversa de C es:

 A continuación, se calcula el producto de las matrices A y B,

 Por último, calculamos (AB)C-1.

=

.

 Sacando factor común 1/3, el resultado puede escribirse como:

E. Calcular los siguientes determinantes:

= 2(-6-24+16+2)+ 5(-4-24+6)-1(4+12-16-3) = -24-110+3 = -131.

= 1·(16+0+24-(-4)-(-30)-0) -2·(-128-2+30-(-40)-12-(-16)) = 74-2·(-56) = = 74+112 = 186.