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TAREA 2 UNIDADD 1 VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES

POR: ALIRIO DE JESÚS PARRA CC. 15489744

GRUPO:

AREA: ALGEBRA LINEAL

2

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA SEPTIEMBRE 2020

1. Ejercicio 1: conceptualización de matrices, vectores y determinantes. Después de haber realizado la lectura de los contenidos indicados, presentar de forma individual en el foro un mapa mental que ilustre los siguientes conceptos: A. Expresión algebraica de un vector, norma, ángulos directores y vectores unitarios. 2. Ejercicio 2: resolución de problemas básicos de vectores en ℝ3. Dados los vectores 𝒗⃗⃗y 𝒘⃗⃗, calcule: 2.1 La suma 𝒖⃗⃗= 𝒗⃗⃗+ 𝒘⃗⃗. Dados dos vectores: ⃗v =( 4 ,−4,5 ) w =( 1.5,0 ) ⃗ Para sumar estos dos vectores se debe realizar la operación aritmética que resultan las componentes del primer vector y su similar del otro vector y el resultado es otro vector. v⃗ + ⃗ w =( 4+1 ,−4+5,5+ 0) ⃗v + ⃗ w =(5,1,5) Rultado. 2.2 La magnitud de 𝒖⃗⃗. Teniendo como base que la magnitud de un vector es su tamaño, denominado también como norma; para hallar la magnitud de un vector se utiliza el teorema de Pitágoras. Donde: h=√ a2 +b2 +c 2 w =⃗u Sabiendo que ⃗v + ⃗ Entonces u⃗ =(5,1,5) Su magnitud está dada por u⃗ =√ a2 +b2 +c 2 esto es: u⃗ =√ 5 2+12 +52 u⃗ =√ 25+ 1+ 25 ⃗v √ 51 = 7,14 R/. 2.3 La dirección de 𝒖⃗.⃗

2

En el espacio bidimensional R2 conocer el ángulo que un vector forma con el eje (X) es suficiente para que éste determine o se configure como dirección, pero para el espacio tridimensional no es suficiente ya que a quí se pueden encontrar varios vectores que tienen el mismo ángulo con el eje (X), entonces para conocer la dirección en R3 se precisa de otros ángulos adicionales a saber: α =alfa ángulo que el vector forma con el eje (x), β : Beta el ángulo que el vector forma con el eje (y), γ =Gamma el ángulo que el vector forma con el eje (Z) estos ángulos se conocen como ángulos directores. Lo que quiere decir que para encontrar la dirección de un vector en R3 se deben encontrar los tres ángulos. La dirección se puede hallar de tres modos: senθ, Cosenoθ, Tangenteθ siendo θ el ángulo uno de los ángulos que se buscan para hallar la dirección.

w donde Siendo u⃗ =⃗v +⃗ ⃗v =( 4 ,−4,5 ) ⃗ w =(1,5,0) u⃗ =(5,1,5)

Hallar su dirección.

Se utiliza la siguiente fórmula: cos α=

Az Ax Ay cos γ = cos β= ⃗ ⃗ |⃗ A| [A] [ A]

Siendo α , β , γ los ángulos directores.

Es necesario calcular la longitud o norma del vector u⃗ Teniendo que u⃗ = (5, 1,5) Entonces se tiene: |⃗v|= √52 +12 +52 =√ 51 esta es su norma

cos α=

5 √ 51

=

5 3,1414

α =cos−1 0,7001 cos β=

1 √ 51

=

= 0, 7001

= 45,5649°

1 7,1414

= 0,14

β=cos−1 0.14=81,9521° cos γ =

5 5 = =0,7001 √ 51 7,1414

γ =cos−1 0,7001=45,5649°

2.4 El ángulo formado por 𝒗⃗⃗y 𝒘⃗⃗ A. 𝒗⃗⃗=(4,−4,5) y 𝒘⃗⃗=(1 ,5 ,0).

2

w se usa la siguiente fórmula. Para hallar el ángulo formado por los vectores ⃗v y ⃗ ⃗v . ⃗ w cos θ= ⃗ |v||⃗ w|

Producto punto que da como resultado un escalar ó un número.

⃗v . ⃗ w =( 4∗1+ (−4 )∗5+ 5∗0) ⃗ v.⃗ w =( 4 ,−20,0 )=−16Resultado del producto punto.

Ahora se calcula la norma de cada vector:

|⃗ v|= √4 2 +(−4)2 +52

|⃗v|= √16+16+ 25 |⃗v|= √57 |⃗ w|= √ 12 +52 +02 = √ 1+25 = √ 26

Ahora se reemplazan los datos y se opera: ⃗v . ⃗ w cos θ= ⃗ |v||⃗ w| cos θ=

−16 −16 = √57 . √ 26 7,5498∗5,0990

cos θ=

−16 −16 = =−0,4156 √1482 38,4967

θ=cos−1 (−0,4156 )=65,4428 ° Este sería el ángulo que forman los dos vectores. 3. Ejercicio 3: Operaciones básicas entre vectores en ℝ3 Determine el producto cruz de los vectores 𝒖⃗ = (−7, 9, −8); ⃗𝒗 = (9, 3, −8) y luego, desarrollar las operaciones que se indiquen en el literal seleccionado. A. (4𝒖⃗+ 2⃗𝒗 ) ∙ ( 1 2 𝒖⃗− ⃗𝒗 )

2

Para hallar el producto cruz se procede teniendo como base determinantes 2x2

a1 a2 a3 b b b b b b b 1 b2 b3 = a 1 2 3 −a2 1 2 +a 3 1 2 c2 c 3 c1 c3 c1 c2 c1 c 2 c 3

| |

| | | | | |

𝒖⃗= (−7, 9, −8); ⃗𝒗 = (9, 3, −8) En términos de vectores unitarios se tiene: i j k ⃗ vx ⃗ w = −7 9 −8 = 9 3 −8

|

|

⃗v x ⃗ w =¿ i(9∗−8−(−8∗3))− j(−7∗−8−(−8∗9))+ k (−7∗3− ( 9∗9 ))

=i−72− (−24 ) − j ¿ =i−24− j+128−k 102 =−48i−128 j−102 k v⃗ x ⃗ w =−48 ,−128 j−102 k Producto cruz entre los dos vectores que da como resultado otro vector. A. (4𝒖⃗+ 2⃗𝒗 ) ∙ ( 1 /2 𝒖⃗− ⃗𝒗 ) Dado que 𝒖⃗= (−7, 9, −8); ⃗𝒗 = (9, 3, −8)

1 ( 4 (−7+9−8 )+2 ( 9+3−8 ) ) .( (−7+ 9−8 )−9+3−8) ¿ 2

¿−28+36−36 ¿+(18+ 6−16)∗¿-9+3-8))) ¿(−28+18+36+6−32(−16))∗(

−7 9 3 8 8 − − − − ) 2 1 1 2 1

(−252 + 32 −12 )−( 9+3−8)

¿ (−10+ 42−48 )∗

¿ (−10+ 42−48 )∗¿ 7 3 ¿ (−10+ 42−48 )∗( − −4) 2 2

2

¿(−35−63−44 ) ¿−142 Resultado del producto punto/.

4. Ejercicio 4: Operaciones con matrices y determinantes. Dada las matrices: −2 1 −1 3 −2 0 3 1 0 A= 5 4 −5 B= −4 2 5 C= −5 2 5 4 −3 1 3 5 −3 5 −3 4

(

) (

) (

)

Calcular el determinante de la matriz que resulta de la operación 𝑨 ∗ 𝑩. Luego, desarrolle las operaciones según su literal. −2 1 −1 3 −2 0 A= 5 B= 4 −5 −4 2 5 4 −3 1 3 5 −3

(

) (

)

Para multiplicar la matriz (A) por la matriz (B) se procede multiplicando cada fila de (A) por cada columna de (B), cada término con su similar.

Tabla 01: operaciones filas y columnas matrices Ay B. C11

-6-4-3=-13

C21

15-16-15=-16

C31

12+12+3=27

C12

4+2-5=1

C22

-10+8-25=-27

C32

-8-6+5=9

C13

5+3=8

C23

20+15=35

C33

-15-3=-18

−13 1 8 | A∗B|= −16 −27 35 Este es el producto de las matrices A*B 27 9 −18

|

|

Se halla el determinante en términos de determinantes 2x2

2

Teniendo la matriz. A*B

−13 1 8 | A∗B|= −16 −27 35 27 9 −18

|

|

¿−13

|−279

35 −16 35 −16 −27 −1 8 −18 27 −18 27 9

| |

||

|

¿−13 ( 486−315 )−1 ( 288−945 ) 8 (−144 +729 ) ¿−13 (171 ) −1 (−657 ) 8 ( 585 )=−2223+657+ 4680 ¿ 3114 Determinante de | A∗B| A. AT*BT+C Se llama matriz traspuesta de (A) y se designa A T a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente sus filas por sus columnas. Dadas las matrices.

−2 1 −1 3 −2 0 A= 5 B= 4 −5 −4 2 5 4 −3 1 3 5 −3

(

) (

)

−2 5 4 3 −4 3 T AT = 1 4 −3 B = −2 2 5 −1 −5 1 0 5 −3

|

| |

|

AT ∗BT +C 3 1 0 −2 5 4 3 −4 3 T C= AT = 1 B = −5 2 5 4 −3 −2 2 5 5 −3 4 −1 −5 1 0 5 −3

|

| | |

| (

)

−2 5 4 3 −4 3 −2 38 7 AT . BT = 1 4 −3 −2 2 5 = −22 −11 32 −1 5 1 0 5 −3 −13 19 19

|

||

|

2

Tabla N°2 Multiplicación filas y columnas de las matrices traspuestas. C11

-6+4=-2

C21

3-16-9=-22

C31

-3-10=-13

C12

8+10+20=38

C22

-4+8-15=-11

C32

4+10+5=19

C13

-6+25-12=7

C23

3+20+9=32

C33

-3+25-3=19

Ahora

−2 38 7 3 1 0 A . B −22 −11 32 C= −5 2 5 −13 19 19 5 −3 4 T

T

|

| (

)

A. AT*BT+C Tabla N° 3 Operaciones filas y columnas AT*BT+C -2+3=1 -22-5=-27 -13+5=-8

38+1=39 -11+2=-9 19-3=16

7+0=7 32+5=37 19+4

1 39 7 AT . BT +C= −27 −9 37 R/. −8 16 23

|

|

5. Ejercicio 5: resolución de problemas básicos sobre matrices y Determinantes. En cada caso halle la matriz inversa mediante los siguientes métodos: 5.1 Matriz Inversa por el método de Gauss-Jordán. 1 0 3 A= 1 0 2 4 −1 6

|

|

Matriz inversa por el método de Gauss Jordan: Se precisa de una matriz identidad, la cual tiene como característica que su diagonal principal tiene como elementos el N° (1) y el resto son (0). La idea es hacer una serie de transformaciones lineales que permitan convertir la matriz A en la matiz identidad. Los renglones se denotan como F1. F2, F3 1 0 31 0 0 A= 1 0 2 0 1 0 4 −1 6 0 0 1

⟨

2

2 F 26 F 2

| ⟩

( 8 −2 12|0 0 0 ) =( 2,−2 , 0|0,0 , 2 ) (−6 0 −12|0 0 0 )

1 0 31 0 0 A= 2 −2 0 0 0 2 4 −1 6 0 0 1

⟨

| ⟩

F 3 F 1+(−4 F 1)

( ⟨−4 0 −12|−4 0 0 ⟩ ) = { 0,0,6|4,0,0 } ( 4 −1 6|0 0 1 )

1 0 31 0 0 A= 2 −4 0 0 0 2 0 0 64 0 0

⟨

| ⟩

3 F 2−6 F 1

( 6 −12 0|0 0 8 ) = ( 0 ,−12 ,−18|0,0 ,8 ) (−6 0 −18|0 0 0 )

1 0 3 1 0 0 A= 0 −12 −18 0 0 8 0 0 6 4 0 0

⟨

| ⟩

−6 F 1+3 F 3

(−6 0 −18|−6 0 0 ) =( (−6 , 0,0|6 , 0,0 ) ) ( 0 0 18|12 0 0 )

−6 0 0 6 0 0 A= 0 −12 −18 0 0 8 0 0 6 4 0 0

⟨

F 2+3 F 3

| ⟩

( 0 −12 −18|0 0 8 ) =⟨ 0 −12 0|12 0 8 ⟩ ( 0 0 18|12 0 0 )

−6 0 0 6 0 0 A= 0 −12 0 12 0 8 0 0 6 4 0 0

2

(

F 1 F2 F 3 −6 −12 6

|

)

−1 0 0 1 0 0 −1 0 −2 A−1= 0 1 0 3 Esta sería la matriz inversa de A. 0 0 1 2 0 0 3

( | )

5.2 Matriz Inversa por método de los determinantes. −1

A =

1

| A|

T

(Adj )

Para hallar la matriz inversa por este método se necesita tener los datos del determinante de la matriz, halla la matriz traspuesta y a esa matriz hallarle la matriz adjunta. Dada la matriz A 1 0 3 | A|= 1 0 2 Hallar el determinante por el método de Sarrus. 4 −1 6

(

)

1 1 4 | A|= 1 1

0 0 −1 0 0

3 2 6 = -3-(-2)= -3+2= -1 Este es el determinante de la matriz | A|. 3 2

( )

Hallar la matriz traspuesta | AT | de | A| Sea la Matriz A:

(

1

0 3 0 2 4 −1 6

| A|= 1

1 1 4 0 −1 3 2 6

) |

| AT |= 0

|

2

Hallar la matriz adjunta de | AT | ¿

−¿

( 0−0 )=0 −( 6−8 ) =−(−2 )=2

( 6−12 )=−6 ( 6−12 )=−(−1 ) =1 (−1−0 )=−1 −(−1−0 )=1 (0-0)=0 −3 0 −6 1 −1 1 0

|

2

|

Adj ( AT )= 0

Ahora se reemplazan los datos obtenidos. 2 −3 0 0 2 −6 1 −2 3 = Esta sería la Matriz inversa. −1 1 0 −2 6 −1 1 −1 T 1 −1 0 A = (Adj ) = −1 | A|

2

|

||

|