• Author / Uploaded
• Fercho Comezaquira

Citation preview

TAREA 1 VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES APROPIAR CONCEPTOS Y SOLUCIONAR PROBLEMAS UNIDAD 1

NOMBRE TUTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ALGEBRA LINEAL

Ejercicio 2: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3 a) Dados los vectores representados en el siguiente gráfico, realizar los siguientes pasos:



Nombrar cada uno de los vectores y encontrar la magnitud y dirección de los mismos.

→= (−4.1) 𝑈

→= (3.5) 𝑉

Magnitud y dirección de los vectores ‖→‖ 𝑦 ‖→‖ 𝑈

‖→‖ = √−42 + 12 𝑈

‖→‖ = √16 + 1 𝑈

‖→‖ = √17 𝑈

‖→‖ = 4,16 𝑈

tan 𝜃 =

1 −4

tan 𝜃 = −0.25

𝑉

𝜃 = tan−1 −0.25 𝜃 = −14,03° 𝜃 = 165,97° ‖→‖ = √32 + 52 𝑉

‖→‖ = √9 + 25 𝑉

‖→‖ = √34 𝑉

‖→‖ = 5.830 𝑉

tan 𝜃 =

5 3

tan 𝜃 = 1,66 𝜃 = tan−1 1,66 𝜃 = 58,93°



Encontrar el ángulo entre los vectores cos 𝜃 = 𝑈. 𝑉/ ‖→‖ ‖→‖ 𝑈

𝑉

𝑈. 𝑉 = (−4,1)(3,5) = −12 + 5 = −7

cos 𝜃 =

−7 7 =− = −0,2886 4,16.5,83 24,2528

cos 𝜃 = −02886 𝜃 = cos −1 −0,2886 𝜃 =106,77°



Sumar los vectores y encontrar la magnitud y dirección del vector resultante.

→= (−4.1) 𝑈

→= (3.5) 𝑉

→ + →= (-4,1) + (3,5) = (-1 ,6) 𝑈

𝑉

‖→ + →‖ = √−12 + 62 𝑈

𝑉

‖→ + →‖ = √1 + 36 𝑈

𝑉

‖→ + →‖ = √37 𝑈

𝑉

‖→ + →‖ = 6,0827 𝑈

𝑉

6

tan 𝜃 = −1 = -6 θ = tan−1 −6 = −80,56° 𝜃 = 99,44° 

Encontrar el área del paralelogramo formado por los vectores representados, con teoría vectorial. 𝐴 =→×→ 𝑈

𝐼 𝐽 →×→= [−4 1 𝑈 𝑉 3 5

𝐾 0 ]=𝐼((0) − (0)) − 𝐽((0) − (0)) + 𝐾((−20) − (3)) 0 = (0)𝐼 − (0)𝐽 + (−23)𝐾

‖→×→‖ = √232 = 4,795 𝑈

𝑉

𝐴 = 4,795

Magnitudes

𝑉

b) Dados los vectores 𝑣⃗ = 3𝑖 − 4𝑗 + 2𝑘 

𝑤 ⃗⃗⃗ = 2𝑖 + 5𝑗 + 4𝑘 calcular:

−3𝑣⃗ + 2𝑤 ⃗⃗⃗ −3𝑣⃗ = (−3.3𝑖, −3. −4𝑗, −3.2𝑘) = (−9𝑖, 12𝑗, −16𝑘)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2𝑤 = (2.2𝑖, 2.5𝑗, 2.4𝑘) = (4𝑖, 10𝑗, 8𝑘) −3𝑣⃗ + 2𝑤 ⃗⃗⃗ = (-9+4,12+10,-16+8) −3𝑣⃗ + 2𝑤 ⃗⃗⃗ = (−5𝑖, 22𝑗, −8𝑘)



6(𝑣⃗. 𝑤 ⃗⃗⃗)

6(𝑣⃗. 𝑤 ⃗⃗⃗) = 6(3𝑖 − 4𝑗 + 2𝑘)(2𝑖 + 5𝑗 + 4𝑘) 6(𝑣⃗. 𝑤 ⃗⃗⃗) = 6(6𝑖 − 20𝑖 + 8𝑘) 6(𝑣⃗. 𝑤 ⃗⃗⃗) =(36i-120j+40k)



Calcular los cosenos directores de cada uno de los vectores. 𝐴𝑋 |𝐴| 𝐴𝑌 𝑐𝑜𝑠𝛽 = |𝐴| 𝐴𝑍 𝑐𝑜𝑠𝛾 = |𝐴| 𝑐𝑜𝑠 ∝ =

|→| = √32 + (−42 ) + 22 𝑉

|→| = √9 + 16 + 4 𝑉

|→| = √29 = 5.385 𝑉

3 5.385 −4 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 5.385 𝑐𝑜𝑠 ∝ =

𝑐𝑜𝑠𝛾 =

2 5.385

|→| = √22 + 52 + 42 𝑊

|→| = √4 + 25 + 16 𝑊

|→| = √45 = 6.70 𝑊

2 6.70 5 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 6.70 𝑐𝑜𝑠 ∝ =

𝑐𝑜𝑠𝛾 = 

4 6.70

Calcular el producto cruz y el producto punto 𝑣⃗ = 3𝑖 − 4𝑗 + 2𝑘

𝑤 ⃗⃗⃗ = 2𝑖 + 5𝑗 + 4𝑘

𝐼 𝐽 𝐾 𝑣⃗ × 𝑤 ⃗⃗⃗ = [3 −4 2 ] 2 5 4

−4 2 3 2 3 −4 𝑣⃗ × 𝑤 ⃗⃗⃗ = [ ]𝐼 − [ ]𝐽 + [ ] 5 4 2 5 2 4 𝑣⃗ × 𝑤 ⃗⃗⃗ = [(−4)(4) − (2)(5)]𝐼 − [(3)(4) − (2)(2)]𝐽 + [(3)(5) − (−4)(2)]𝐾 𝑣⃗ × 𝑤 ⃗⃗⃗ = [−16 − 10 ]𝐼 − [12 − 4]𝐽 + [15 + 8]𝐾 𝑣⃗ × 𝑤 ⃗⃗⃗ = −26𝐼 − 8𝐽 + 23𝐾

𝑣⃗. 𝑤 ⃗⃗⃗ = 〈3, −4, 2〉. 〈 2,5,4〉 𝑣⃗. 𝑤 ⃗⃗⃗ = (3)(2) + (−4)(5) + (2)(4) 𝑣⃗. 𝑤 ⃗⃗⃗ = 6 − 20 + 8 𝑣⃗. 𝑤 ⃗⃗⃗ = −6

Ejercicio 3: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3 Descripción del ejercicio 3

La velocidad de un cuerpo tiene inicialmente el valor V1 = (5,-3) m/s, al instante t1 = 25. Después de transcurridos 4 segundos, la velocidad ha cambiado al valor V2 = (-4,8) m/s



⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ? ¿Cuánto vale el cambio de velocidad ∆𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑉 = V1 − V2

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (5, −3) − (-4,8) ∆𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (9, −11) ∆𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (9, −11) m/s ∆𝑉

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = √92 + (−11)2 ∆𝑉

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = √92 + (−11)2 ∆𝑉

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑉 = √81 + 121

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = √202 = 14.212𝑚/𝑠 ∆𝑉



¿Cuál es la variación de la velocidad por unidad de tiempo?

t1 = 25.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑉 9, −11 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 4𝑠 − 25 ∆𝑇



Hallar módulo, dirección, y sentido del siguiente vector.



Dados: = (5, 12) y

= (1, k), donde k es un escalar, encuentre (k) tal que la medida en

radianes del ángulo

y

sea

.

Ejercicio 4: Resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes. Desarrolla los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 1, referentes a matrices, operaciones con matrices y determinantes. Presentar la solución con editor de ecuaciones. Sean las siguientes matrices:

Realizar las siguientes operaciones, si es posible: a) b) c) d) e) f) g) h) i)

a) A.B.C

𝑎11 𝑎21 =[𝑎 31 𝑎41

×

𝑎11 = 0 + (−20) + (−6) = −26 𝑎12 = −18 + (−15) + 0 = −33 𝑎13 = 27 + (−25) + (−54) = −52

𝑎12 𝑎22 𝑎32 𝑎42

𝑎13 𝑎23 𝑎33 𝑎43

𝑎14 𝑎24 𝑎34 ] 𝑎44

𝑎14 = 45 + (−20) + 0 = 73 𝑎21 = 0 + 12 + (−6) = 6 𝑎22 =

(−2) + 9 + 0 = 7

𝑎23 = 3 + 15 + (−54) = (−36) 𝑎24 = 5 + 12 + 48 = 65 𝑎31 = 0 + (−4) + (−3) = −7 𝑎32 = 0 + (−3) + 0 = −3 𝑎33 =0 + (−5) + (−27) = −32 𝑎34 = 0 + (−4) + 24 = 20 𝑎41 =0 + 28 + 5 = 33 𝑎42 =(−10) + 21 + 0 = 11 𝑎43 =15 + 35 + 45 = 95 𝑎44 =25 + 28 + (−40)

−𝟐𝟔 −𝟑𝟑 −𝟓𝟐 𝟕𝟑 𝟏 𝟎 𝟐 𝟑 −𝟐 𝟓 𝟔 𝟑 𝟔 𝟕 −𝟑𝟔 𝟔𝟓 BC= [ −𝟕 ] × A= [ 𝟏 𝟎 𝟑 𝟖] −𝟑 −𝟑𝟐 𝟐𝟎 𝟓 𝟐 −𝟑 𝟎 𝟑𝟑 𝟏𝟏 𝟗𝟓 𝟏𝟑

en esta multiplicación coloco

directamente la respuesta de de cada valor en la siguiente matriz

𝟑𝟓𝟑 −𝟏𝟗 𝟐𝟖𝟏 𝟏𝟔𝟓 BC𝑨 = [ 𝟔𝟕 𝟐𝟓 𝟏𝟕𝟏 𝟖𝟏

b. 𝟒𝑩. 𝟐𝑨

−𝟔𝟐𝟓 − 𝟓𝟗𝟑 −𝟐𝟒𝟗 − 𝟐𝟒𝟗 ] resultado de la multiplicación −𝟏𝟖𝟖 − 𝟐𝟖𝟔 𝟑𝟕𝟖 𝟖𝟗𝟐

36 4 4𝐵 = [ 0 20

2 −4 2𝐴 = [ 2 10

−20 24 12 24 ] −4 12 28 −20

0 4 10 12 0 6 4 −6

192 2𝐴 × 4𝐵 = [ 16 392 376

6 6] 16 0

112 −24 320 168 ] 384 −200 −128 264

c.

𝟎 −𝟔 𝟗 𝟏𝟓 𝟑𝒄 = [ 𝟏𝟐 𝟗 𝟏𝟓 𝟏𝟐 ] −𝟑 𝟎 𝟐𝟕 𝟐𝟒 −𝟔𝟑 𝟑𝟓 −𝟒𝟐 −𝟕 −𝟐𝟏 −𝟒𝟐 −𝟕𝑩 = [ ] 𝟎 𝟕 −𝟐𝟏 −𝟑𝟓 −𝟒𝟗 𝟑𝟓

−𝟒𝟖𝟑 −𝟓𝟒𝟔 𝟓𝟖𝟖 𝟑𝑪 × (−𝟕𝑩) = [−𝟏𝟐𝟑𝟗 −𝟐𝟓𝟐 −𝟕𝟕𝟕] −𝟔𝟓𝟏 −𝟏𝟎𝟗𝟐 𝟑𝟗𝟗

d.

𝟗𝒙𝟐 − 𝟐 𝑫𝟐 = [ 𝟔𝒚 + 𝟑 𝒙+𝒚

𝟔𝒙𝟐 𝒚 𝟗𝒙𝟐 − 𝟐(𝒙 + 𝒚) 𝟗𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 𝟗𝒚 + 𝟑𝒙 − 𝟔] 𝟑𝒙𝟐 (𝒙 +𝒚)𝟐 − 𝟐

j)

(𝟏𝟐𝑿𝟐 + 𝟐) (𝟗𝑿𝟐 ) (𝟏𝟓𝑿𝟐 + 𝟏𝟖) (𝟏𝟐𝑿𝟐 − 𝟏𝟔) 𝑫𝑪 = [ (𝟒𝒚𝟐 − 𝟑) (𝟑𝒚𝟐 − 𝟔) (𝟓𝒚𝟐 − 𝟏𝟖) (𝟒𝒚𝟐 + 𝟑𝟗) ] −(𝒙 + 𝒚) (−𝟐) (−𝟗(𝒙 + 𝒚) + 𝟑) (𝟖(𝒙 + 𝒚) + 𝟓)

f.

𝐶

𝟏𝟏 𝑪𝑻 . 𝑫 = 𝟗 𝟔 [𝟐𝟎

𝑇

0 4 −1 −2 3 0 =( ) 3 5 −9 5 4 8

𝟒𝒚𝟐 𝟏𝟐 − 𝒙 − 𝒚 𝟑𝒚𝟐 − 𝟔𝒙𝟐 𝟏𝟑 𝟗𝒙𝟐 + 𝟓𝒚𝟐 𝟗 − 𝟗𝒙 − 𝟗𝒚 𝟏𝟓𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 𝟖𝒙 + 𝟖𝒚 + 𝟐]

g. 9 −5 6 6 3 𝐵 = [1 0 −1 3 ] 5 7 −5 𝐷𝑒𝑡𝐵 = 𝑁𝑂 𝑆𝐸 𝑃𝑈𝐸𝐷𝐸 𝐷𝐸𝑆𝐴𝑅𝑅𝑂𝐿𝐿𝐴𝑅

𝐻. 𝐷𝑒𝑡(𝐷)

0 3𝑥 2 𝐷 = [ 3 𝑦2 1 0

−2 3 ] (𝑥 + 𝑦)

𝑫𝒆𝒕𝑫 = 𝟎 × 𝑫𝒆𝒕 [

𝒚𝟐 𝟎

𝟑 𝟑 𝟑 ] − 𝟑𝒙𝟐 × 𝑫𝒆𝒕 [ ] − 𝟐 × 𝑫𝒆𝒕 [𝟑 𝟏 (𝒙 + 𝒚 (𝒙 + 𝒚 𝟏

𝒚𝟐 ] 𝟎

𝑫𝒆𝒕 = 𝟎 × 𝒚𝟐 (𝒙 + 𝒚) − 𝟑𝒙𝟐 (𝟑(𝒙 + 𝒚) − 𝟑) − 𝟐(−𝒚𝟐 )

𝑫𝒆𝒕 = −𝟐𝒚𝟐 − 𝟑𝒙𝟐 (𝟑(𝒙 + 𝒚) − 𝟑)

𝑖 (𝐵𝑇 − 𝐶)𝑇

9 −5 6 0 −2 3 5 6 1 3 𝐵 = [0 −1 3 ] 𝐶 = [ 4 3 5 4 ] −1 0 −9 8 5 7 −5

𝟗 𝟏 𝟎 𝟓 𝑩𝑻 = [−𝟓 𝟑 −𝟏 𝟕] 𝟔 𝟔 𝟑 −𝟓

𝟗 𝟑 −𝟑 𝟎 𝟎 −𝟔 𝟑 ] 𝑩𝑻 − 𝑪 = [−𝟗 𝟕 𝟔 𝟏𝟐 −𝟏𝟑

Ejercicio 5: Resolución de problemas básicos sobre matrices Descripción del ejercicio 5 Uno de los campos de mayor aplicación del algebra lineal es en la Robótica en el Modelado de la Cinemática de Robots. Para representar la posición y la orientación de un giro, se utilizan matrices y vectores. Sea el siguiente sistema de coordenadas tridimensional. En él se pueden hacer tres rotaciones: Rotación

, Rotación en

, Rotación en

.

Haciendo la rotación, tomando al eje rotación que se obtiene es:

como eje de giro, la matriz de

Teniendo en cuenta que:

a) Encontrar el vector con respecto al eje

, cuando el punto

,

.

b) Encontrar el vector con respecto a eje

, con

, cuando el punto

, con

,

.

Ejercicio 6: Resolución de problemas básicos sobre matrices Descripción del ejercicio 6 Desarrolla los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 1, referentes a matrices, operaciones con matrices y determinantes. Presentar la solución con editor de ecuaciones. ELIMINACION GAUSSIANA: Es un procedimiento sistemático para resolver sistemas de ecuaciones lineales; se basa en la idea de reducir la matriz aumentada a una forma que sea lo suficientemente simple como para que el sistema de ecuaciones se pueda resolver por observación. Un nutricionista desarrolla una dieta para pacientes con bajo nivel de peso basándose en 3 materias primas cuyos contenidos se relacionan a continuación:

Materia Prima A B C 

Costo $/Kg 2,35 2 1,7

% % % % Azúcares Grasas Proteínas Inertes 12 10 60 18 10 10 50 30 8 6 44 42

Cuánto deberán mezclar de cada una de las tres (3) materias primas si se desea minimizar el costo de preparar un (1) kg de alimento cuyo contenido de azúcar no sea menor al 10%, su contenido de grasa no se mayor del 95% y su contenido de proteínas no sea menor al 52%.

● Calcular la inversa de la matriz aumentada por el método de la Adjunta. fórmula ● Comprobar que la inversa de la matriz calculada en el inciso anterior multiplicada por la matriz aumentada (inicial u original) es igual a la matriz identidad de la matriz identidad. ● Compruebe todas las respuestas en Geogebra. ●

alimento:

Materia Prima A B C

Costo $/Kg 2,35 2 1,7

% Azúcares 12 10 8 ≥ 10

% Grasas 10 10 6 ≤ 95

% Proteínas 60 50 44 ≥ 52

% Inertes 18 30 42

Sean:

𝑥 = cantidad de materia prima A, que se requiere para preparar el alimento 𝑦 = cantidad de materia prima B, que se requiere para preparar el alimento 𝑧 = cantidad de materia prima C, que se requiere para preparar el alimento Función objetivo (para minimizar costos): 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2.35𝑥 + 2𝑦 + 1.7𝑧 Dado que, para la preparación del alimento, no importa el contenido de inertes, no se tienen en cuenta para las restricciones. Escribimos entonces las restricciones: 12𝑥 + 10𝑦 + 8𝑧 ≥ 10 10𝑥 + 10𝑦 + 6𝑧 ≤ 95 60𝑥 + 50𝑦 + 44𝑧 ≥ 52 Como la inversa solo se puede calcular para matrices cuadradas, armamos la matriz cuadrada con los coeficientes de los porcentajes que se requieren para los alimentos A, B y C: 12 𝐴 = [10 60

10 8 10 6 ] 50 44



Calcular la inversa de la matriz aumentada por el método de la Adjunta.

𝐴−1 =

1 ∙ (𝐴𝑑𝑗(𝐴𝑇 )) |𝐴|

ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 |𝐴| = 12 × 𝐷𝑒𝑡 [10

6 ] − 10 × 𝐷𝑒𝑡 [10 6 ] + 8 × 𝐷𝑒𝑡 [10 10] 50 44 60 44 60 50

10 𝐷𝑒𝑡 [ 50

6 ] = 140 44

10 𝐷𝑒𝑡 [ 60

6 ] = 80 44

10 𝐷𝑒𝑡 [ 60

10 ] = −100 50

|𝐴| = 12 × 140 − 10 × 80 + 8(−100) |𝐴| = 1680 − 800 − 800 |𝐴| = 80

𝐴𝑑𝑗𝐴 = 𝐶 𝑇 12 𝐴 = [10 60

10 8 10 6 ] 50 44

Sacar cofactor Para sacarlo se realizaran los siguientes pasos Ocultamos la primera fila y columna de la matriz y sacamos el determinante el resultado seria el cofactor 𝑎11 y así con todos 𝑎11 = (10 × 44) − (50 × 6) 𝑎11 = 440 − 300 = 140 Si la suma de la fila y la columna da par se conserva el signo si da impar se cambia 140 −80 −100 48 0 ] 𝐴𝑑𝑗𝐴 = [−40 −20 8 20

140 (𝐴𝑑𝑗𝐴)𝑇 [ −80 −100

−40 −20 48 8 ] 0 20

140 −40 −20 48 8 ] (𝐴𝑑𝑗𝐴)𝑇 = [ −80 −100 0 20

𝐴−1 =

𝐴−1 =

1 ∙ (𝐴𝑑𝑗(𝐴𝑇 )) |𝐴|

140 1 ∙ [ −80 80

−40 −20 48 8 ] −100 0 20