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Darío Sánchez H

ALGEBRA LINEAL

1 .

Algebra Lineal José Darío Sánchez Hernández Bogotá-Colombia, Junio del 2005

[email protected] [email protected]

El objeto de estas notas es brindar al lector un modelo de aprendizaje. A continuación encontrará más de cien resultados básicos, entre los cuales se hallan definiciones, teoremas, corolarios y algunos ejemplos, es posible que encuentre la manera de volver a redactar algunos, entonces hágalo de forma que los pueda recordar después. Para las demostraciones es indispensable el uso de una biblioteca con un buen número de textos de Algebra Lineal, en esta forma el estudiante utiliza tácticas de investigación y emplea la biblioteca. Luego encontrará resultados en donde se ha dado una posible demostración, la cual se supone es correcta, sin descartar la posibilidad de que haya algunos errores, el lector deberá revisarlas analizando cual de los resultados básicos se han utilizado en la prueba.

§1. RESULTADOS BASICOS

1.ÞUn

ANILLO es un conjunto O , junto con dos operaciones

Bß C È B  C

y

Bß C È BC, las cuales satisfacen los siguientes axiomas: E"Þ O es un grupo conmutativo bajo la operación Bß C È B  C ( O es un grupo conmutativo bajo la adición). E#Þ BC D œ B CD es multiplicativamente asociativo . E$Þ B C  D œ BC  BDß C  D B œ CB  DB Ðse tienen las dos leyes distributivas). ì Si BC œ CB para todo B, C en Oß se dice que el anillo O es conmutativo. ì Si existe un elemento " en O tal que "B œ B" œ B para todo Bß O se dice un anillo con unidad y a " se le llama identidad de OÞ

2.Sea O

un anillo con elemento unidad, 8 un número entero y sea H una función que asocia a cada 8 ‚ 8 -matriz E sobre O , un escalar H E en O . Se dice que H es "8-lineal " si para cada 3, " Ÿ 3 Ÿ 8 H, es una función lineal en la 3-ésima fila cuando las otras 8  " filas se dejan fijas.

3.Una combinación lineal de funciones 8-lineales, es 8-lineal. 4.Sea H una función 8  lineal. Decimos que H es alternada

si las siguientes

condiciones son equivalentes: EP"Þ H E œ ! siempre que E, tenga dos filas iguales EP#Þ Si Ew es una matriz obtenida de E por intercambiar dos filas, entonces

H Ew œ  H E Þ

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5.Sea O

un anillo con elemento unidad, 8 un número entero y sea H una función que asocia a cada 8 ‚ 8 -matriz E sobre O , un escalar H E en O . Se dice que H es una función determinante si H es 8-lineal, alternada y H M œ "Þ

6. Sea H una función #-lineal con la propiedad de que H

E œ ! para toda E matriz # ‚ # sobre O teniendo dos filas iguales. Entonces H es alternada.

7. Sea H una función 8-lineal en las matrices 8 ‚ 8 sobre O . Supóngase que H tiene

la propiedad de que H E œ ! siempre que dos filas adyacentes de E son iguales. Entonces H es alternada.

8.Si

8  " y E es una matriz 8 ‚ 8 sobre O , denotemos por E 3l4 la matriz 8  " ‚ 8  " obtenida suprimiendo la 3-ésima fila y la 4-ésima columna de E. Si H34 es una función 8  " -lineal y E es una matriz 8 ‚ 8, se denota H34 E œ HÒE 3l4 Ó

9.Sea

8  " y sea H una función 8  " -lineal alternada en las matrices 8  " ‚ 8  " sobre O . Para cada 4, " Ÿ 4 Ÿ 8 la función I4 definida por 8

I4 E œ

" 3œ"

34

E34 H34 E , es una función 8-lineal alternada en el conjunto de E

las matrices 8 ‚ 8 sobre O . Si H es una función determinante, también lo es cada una de las I4 Þ

10.

Sea O un anillo conmutativo con elemento unidad y 8 un número entero positivo. Existe al menos una función determinante en el conjunto de las matrices 8 ‚ 8 sobre O .

11. Sea

Æ œ Ö5 À Ö"ß #ß á ß 8× Ö"ß #ß á ß 8×Î5 es una permutación×, definimos la "ß si 5 es par función =31 5 œ œ  "ß si 5 es impar ì Denotando por ./> la función determinante en las matrices 8 ‚ 8 sobre O dada por ./> E œ =31 5 E "ß 5 " âE 8ß 5 8 donde E œ E 3ß 4 Þ

5−Æ

12. Sea

O un anillo conmutativo con unidad y sea 8 un número entero positivo. Existe exactamente una función determinante en el conjunto de las matrices 8 ‚ 8 sobre O y es la función definida por ./> E œ =31 5 E "ß 5 " âE 8ß 5 8 5−Æ

ñ Si H es cualquier función 8-lineal, alternada en el conjunto de las matrices 8 ‚ 8 sobre O , entonces para cada una de tales matrices E, se tiene H E œ ./> E H M .

13. Sean

O un anillo conmutativo con unidad, E y F matrices 8 ‚ 8 sobre O . Entonces ./> EF œ ./>E ./>F , ./> E> œ ./> E

14.

Una fórmula muy práctica de hallar el determinante de una matriz 8 ‚ 8ß debida a Cramer es dada por: Si fijamos cualquier columna 4

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8

./> E œ Al escalar  "

15.Si

./> E œ

"

34

E34 ./>E 3l4

3œ"

34

./>E 3l4 es usualmente llamado el 3ß 4 cofactor de EÞ

tomamos -34 œ  " 8

3

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34

./>E 3l4 entonces la anterior fórmula toma la forma;

E34 -34 ß para cada 4Þ La matriz 8 ‚ 8, +.4Eß que es la transpuesta de la

3œ"

matriz de cofactores de Eß es llamada adjunta clásica de E, así +.4 E

16. Sea E

34

œ -34 œ  "

34

./> E 4l3 Þ

una matriz 8 ‚ 8 sobre O . Entonces E es invertible sobre O si y sólo si ./> E es invertible en O . Cuando E es invertible, el único inverso para E es E" œ ./> E " +.4 EÞ En particular, una matriz 8 ‚ 8 sobre un cuerpo es invertible si y sólo si, su determinante es diferente de cero.

17.

Sean [" ß [# ß á ß [5 subespacios de un espacio vectorial Z . Diremos que [" ß [# ß á ß [5 son linealmente independientes si α"  α#  â  α5 œ !ß α3 − [3 ß entonces α3 œ !ß a3Þ

18.Sea Z

un espacio vectorial sobre un cuerpo J Þ Sean [" ß [# ß á ß [5 subespacios de Z y sea [ œ ["  [#  â  [5 . Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 3 [" ß [# ß á ß [5 son linealmente independientes. 33 Cada vector α de [ puede ser únicamente expresado en la forma α œ α"  α#  â  α5 con α3 en [3 , 3 œ "ß #ß á ß 5 . 333 Para cada 4ß # Ÿ 4 Ÿ 5 , el subespacio [4 es disyunto con la suma [" +[# +â+[4" 3/ß [4 ∩ ["  [#  â  [ 4  " œ Ö!× Þ

19.Sea

Z un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo J y sean [" ß [# ß á ß [5 subespacios de Z . Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 3 Z œ [" Š [ # Š â Š [ 5 . 5 33 Si "3 es una base de [3 ß 3 œ "ß #ß á ß 5 entonces µ= ∪ "3 es una base de Z Þ

20. Si Z

3œ"

œ [" Š [# Š â Š [5 , entonces .37Z œ .37["  â  .37[5 . Sea 8 un entero positivo y J un subcuerpo de los números complejos y sea Z el espacio de las matrices 8 ‚ 8 sobre J . Sea [" el subespacio de las matrices simétricas, 3/ß matrices tales que E> œ E. Sea [# el subespacio de las matrices 8 ‚ 8 anti-simétricasß 3/ß matrices E tales que E> œ  EÞ Entonces Z œ [" Š [# . ì Si E es cualquier matriz 8 ‚ 8 en Z , la única expresión de E como suma directa, en [" y la otra en [# ß es E œ E"  E# donde E" œ "# E  E> ß E# œ "# E  E> .

21.

Sea Z un espacio vectorial y X una transformación lineal en Z . Si [ es un subespacio de Z , diremos que [ es invariante bajo X , si para cada vector α en [ , el vector X α está en [ ,3/ß X [ está contenido en [ .

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22.Si

Z œ [" Š [# Š â Š [5 , entonces existen 5 operadores lineales I" ß I# ß á ß I5 en Z tales que + Cada I3 es una proyección o un proyectorß 3/ß I3# œ I3 , I3 I4 œ !ß si 3 Á 4 - El rango de I3 es [3 . Inversamente, si I" ß á ß I5 son 5 operadores lineales en Z que satisfacen las condiciones + ß , y - , y si [3 es el rango de I3 ß entonces Z œ [" Š [# Š â Š [5 .

23.Sea X

un operador lineal en un espacio vectorial Z , sean [" ß á ß [5 y I" ß á ß I5 como en ##Þ Entonces una condición necesaria y suficiente para que cada subespacio [3 sea invariante bajo X es que X conmute con cada proyector I3 ß 3/ß X I3 œ I3 X ß 3 œ "ß á ß 5 .

24.

Sea X un operador lineal en un espacio vectorial de dimensión 8 sobre un cuerpo J . Un valor característico o valor propio, o autovalor de X es un escalar - en J tal que existe un vector no nulo α en Z tal que X α œ - α. Si - es un valor característico de X entonces cada α tal que X α œ - α es llamado vector característico o vector propio o autovector de X asociado con el valor característico - .

25.Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

3 - es un valor característico de X Þ 33 El operador X  -M es singular no invertible 333 ./> X  -M œ !Þ

26. Si E es una matriz 8 ‚ 8 sobre J , un valor característico de E es un escalar - en

J tal que la matriz E  -M es singular

no inversible .

27. Para hallar los valores característicos se considera la matriz polinomial

BM  E de donde se obtiene el polinomio 0 B œ ./> BM  E . Claramente los valores propios de E son aquellos escalares - − J tales que 0 - œ !Þ Por esta razón 0 es llamado polinomio característico de E. Es de notar que 0 es un polinomio mónico que tiene grado exactamente 8. ì Las matrices similares tienen el mismo polinomio característico. Pues " F œ T ET ß entonces E µ F ./> BM  F œ ./> BM  T " ET œ ./> T " BME T œ ./>T " ./> BME † ./>T œ ./> BME

28.TEOREMA

Sea X un operador lineal en el espacio vectorial Z de dimensión 8 Òóß sea E una matriz 8 ‚ 8 sobre el cuerpo J Ó y sea 0 el polinomio característico de X o, E Entonces 0 X œ ! Òoß 0 E œ !Ó.

29.

DE CAYLEY-HAMILTON.

Sea X un operador lineal en el espacio vectorial Z de dimensión 8Þ Existe un polinomio 1 de grado no mayor que 8# tal que 1 X œ !. En el espacio ¿ Z ß Z de # dimensión 8# los operadores Mß X ß á ß X 8 deben ser linealmente dependientes. ì El conjunto de todos los polinomios 1 en J ÒBÓ tal que 1 X œ ! es un ideal. Además este ideal contiene un polinomio mónico de grado 8ß el polinomio característico de X . Así existe un único polinomio mónico : que genera al ideal de

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todos los 1 en J ÒBÓ tales que 1 X œ !Þ Este polinomio : es llamado polinomio minimal de X . ñ Del teorema de Cayley-Hamilton se sigue que: El polinomio característico de X es divisible por el polinomio minimal de X . Se sigue también que los valores característicos de X son precisamente las raíces del polinomio minimal, y del polinomio característico. Así estos dos polinomios tienen exactamente las mismas raíces.

30. Sea X

un operador lineal en un espacio de dimensión finita Z . Diremos que X es diagonalizable si existe una base para Z cuyos componentes son los vectores característicos de X .

31.

Sea X cualquier operador lineal en un espacio de dimensión finita Z , sean -" ß á ß -5 valores característicos distintos de X y sea [3 el núcleo de X  -3 M . Entonces los espacios [" ß á ß [5 son linealmente independientes.

32.Si

X es un operador diagonalizable en el espacio de dimensión finita Z y -" ß á ß -5 son valores característicos distintos de X , entonces existen operadores lineales I" ß á ß I5 en Z tales que + X œ -" I"  â  - 5 I 5 , M œ I"  â  I 5 - I3 I4 œ !ß 3Á4 # . I3 œ I 3 / El recorrido de I3 es el espacio de vectores característicos de X asociado con el valor propio -3 Vea el teorema Espectral

33. Sea

X un operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita Z . Supóngase que existen 5 escalares distintos -" ß á ß -5 y 5 operadores lineales no nulos I" ß á ß I5 en Z que satisfacen las propiedades + ß , ß - del numeral $#. Entonces X es diagonalizable, -" ß á ß -5 son precisamente los valores característicos de X y los I3 también satisfacen las condiciones . y / del numeral $#Þ

34. Sea X un operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita Z sobre un cuerpo J Þ Entonces una condición necesaria y suficiente para que X sea diagonalizable es que el polinomio minimal de X sea de la forma : œ B  -" â B  -5 donde -" ß á ß -5 son escalares distintos de J . 35.Sea E una matriz 8 ‚ 8 sobre un cuerpo J . Entonces E es similar sobre J

a una matriz diagonal si y solamente si el polinomio minimal : de E es de la forma: : œ B  -" â B  -5 donde -" ß á ß -5 son escalares distintos de J . ñ Para hallar T tal que T " ET sea diagonal, donde E œ ÒX Óµ , se hace uso de los 3 polinomios de Lagrange T4 œ # -Bde donde se hallan los I4 œ T4 X y con los 4 -3 3Á4 ß

vectores de las bases de los I4 s se obtiene T .

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36.Para

un operador diagonalizable X , la dimensión del espacio de los vectores característicos asociados a cada valor propio -3 es la multiplicidad como raíz del polinomio característico de X .

37.

Sean X y Y operadores lineales diagonalizables en un espacio de dimensión finita Z . Si X y Y conmutan, entonces ellos son simultáneamente diagonalizables; esto es, existe una base para Z ß en la cual cada uno de sus vectores, es vector característico de X y también vector característico de Y .

38.Sean E y F matrices 8 ‚ 8 sobre un cuerpo J , cada una de las cuales es similar

sobre J a una matriz diagonal. Si E y B conmutan, existe una matriz T inversible 8 ‚ 8 sobre J tal que ambas T " ET y T " FT son diagonales.

39.TEOREMA DE DESCOMPOSICION PRIMARIA. Sea X

un operador lineal en un espacio vectorial Z de dimensión finita sobre un cuerpo J . Sea : el polinomio minimal para X , : œ :" T donde T es una 8 ‚ 8-matriz invertible con elementos reales. ì Una 8 ‚ 8-matriz E es positiva si y solamente si \ß ] œ ] ‡ E\ ì El criterio de positividad es basado en dos observaciones: 3 Si E es una matriz positiva, entonces ./>E  ! Ô E"" E"# â E"5 × E## â E#5 Ù ÖE 33 Si E es una matriz positiva y " Ÿ 5 Ÿ 8, la matriz E 5 œ Ö #" Ù ã ã ä ã Õ E5" E5# â E55 Ø es una 5 ‚ 5 -matriz positiva. Para ver 3 basta observar que ./> E œ ./> T ‡ T œ ./> T ‡ ./> T œ ./> T † ./> T  !

85.Sea

E una 8 ‚ 8-matriz. Los menores principales de E son los 8 escalares definidos por ./>E 5 ß 5 œ "ß #ß á ß 8. ì Sea E una 8 ‚ 8-matriz sobre el cuerpo de los números complejos y supongamos que E es auto-adjunta hermitiana , entonces E es positiva si y solamente si los menores principales de E son todos positivos. ì Si E es una 8 ‚ 8-matriz sobre el cuerpo de los números complejos las siguientes afirmaciones son equivalentes: 3 A es positiva, esto es, E54 B4 B5  ! siempre que B" ß á ß B8 son números 4

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complejos no todos nulos. 33 \ß ] œ ] ‡ E\ es un producto interno sobre el espacio de las 8 ‚ "-matrices complejas. 333 En relación al producto interno canónico \ß ] œ ] ‡ \ sobre las 8 ‚ "-matrices el operador lineal \ È E\ es positivo 3@ E œ T ‡ T para alguna 8 ‚ 8-matriz invertible T sobre ‚. @ E œ E‡ y los menores principales de E son positivos. ì Si todo elemento de E es real, estas afirmaciones son equivalentes a: @3 E œ E> y E54 B4 B5  ! siempre que B" ß á ß B8 sean números reales no 4

5

todos nulos. @33 \ß ] œ ] > E\ es un producto interno sobre el espacio de las 8 ‚ "-matrices reales. @333 En relación al producto interno canónico \ß ] œ ] > \ sobre las 8 ‚ "matrices reales, el operador lineal \ È E\ es positivo. B3 Existe una matriz invertible T con elementos reales, tal que E œ T > T .

86.Sean Z

y [ espacios con producto interno sobre el mismo cuerpo y sea X una transformación lineal de Z en [ . Decimos que X conserva productos internos si X αß X " œ αß " para todo α, " en Z . Un isomorfismo de Z en [ es un

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isomorfismo X del espacio vectorial Z en [ que también conserva productos internos.

87.Sean Z

y [ espacios de dimensión finita con producto interno sobre el mismo cuerpo, que tengan la misma dimensión. Si X es una transformación lineal de Z en [ las siguientes afirmaciones son equivalentes: 3 X conserva productos internos, 33 X es un isomorfismo de espacios con producto interno , 333 X lleva toda base ortonormal de Z en una base ortonormal de [ . 3@ X lleva alguna base ortonormal de Z en alguna base ortonormal de [ Þ ì Sean Z y [ espacios de dimensión finita con producto interno sobre el mismo cuerpo. Entonces Z y [ son isomorfos si y solamente si tienen la misma dimensión. ì Notese que si la dimensión de Z no es finita todas las afirmaciones de este numeral no son verdaderas como se puede ver tomando " Z œ Ö0 À Ò!ß "Ó ‘Î0 es continua× con 0 ß 1 œ '! ># 0 > 1 > .> como producto interno " [ œ Z ß Ò ß Ó donde Ò0 ß 1Ó œ '! 0 > 1 > .> y X À Z [ dada por X 0 > œ >0 > aquí 0 ß 1 œ ÒX 0 ß X 1Ó y Z no es isomorfo a [ .

88.Sean Z

y [ espacios con producto interno sobre el mismo cuerpo y sea X una transformación lineal de Z en [ . Entonces X conserva producto interno si y solamente si mX αm œ mαm para todo α en Z Þ ì Un operador unitario sobre un espacio con producto interno es un

isomorfismo del espacio en si mismo. ì Sea Y un operador lineal sobre un espacio Z con producto interno. Entonces Y es unitario si y solamente si el adjunto Y ‡ de Y existe y Y Y ‡ œ Y ‡ Y œ M . ì Una 8 ‚ 8-matriz E compleja se dice unitaria si E‡ E œ M . ì Sea Z un espacio vectorial de dimensión finita con producto interno y sea Y un operador lineal sobre Z . Entonces Y es unitario si y solamente si la matriz de Y en alguna toda base ortonormal ordenada es una matriz unitaria. ì Una 8 ‚ 8-matriz E real o compleja se dice ortogonal si E‡ E œ M ì Sean E y F 8 ‚ 8-matrices complejas. Se dice que F es unitariamente equivalente a E si existe una 8 ‚ 8-matriz unitaria T tal que F œ T ‡ ET . ì Decimos que F es ortogonalmente equivalente a E si existe una 8 ‚ 8-matriz T ortogonal tal que F œ T ‡ ET . 89. Sea Z un espacio de dimensión finita con producto interno y X un operador lineal sobre Z Þ Decimos que X es normal si conmuta con su adjunta, esto es, X ‡X œ X X ‡Þ ì Todo operador auto-adjunto es normal, como también lo es todo operador unitario.

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ì Sea Z un espacio con producto interno y X un operador lineal auto-adjunto sobre Z . Todo valor característico de X es real. Los vectores característicos de X asociados a valores característicos distintos son ortogonales.

90.En un espacio de dimensión finita positiva con producto interno, todo operador

auto-adjunto posee un vector característico no nulo . ì Es necesario que Z sea de dimensión finita, pues un operador auto-adjunto sobre un espacio de dimensión infinita con producto interno puede no tener valores característicos, por ejemplo; sea Z el espacio vectorial de las funciones complejas o reales continuas, definidas sobre el intervalo unitario ! Ÿ > Ÿ " con el " producto interno 0 ß 1 œ '! 0 > 1 > .>. El operador X 0 > œ >0 > es auto-adjunto y no posee valores característicos. ì Sea Z un espacio de dimensión finita con producto interno y sea X un operador lineal arbitrario sobre Z . Supongamos que [ sea un subespacio de Z que sea invariante bajo X Þ Entonces el suplemento ortogonal de [ es invariante bajo X .

91.Sea Z

un espacio de dimensión finita con producto interno y sea X un operador auto-adjunto sobre Z . Entonces existe una base ortonormal de Z cuyos vectores son vectores característicos de X . divídase Z œ [ Š [ ¼ y muéstrese el resultado por inducción ì Sea E una 8 ‚ 8 matriz hermitiana auto-adjunta . Entonces existe una matriz unitaria T tal que T ‡ ET sea diagonal (E es unitariamente equivalente a una matriz diagonal). Si E es una matriz simétrica real, existe una matriz ortogonal real T tal que T > ET sea diagonal. ì Sea Z un espacio de dimensión finita con producto interno y X un operador normal sobre Z . Entonces todo vector característico de X también es un vector característico de X * . ì Sea Z un espacio complejo de dimensión finita con producto interno y sea X un operador normal sobre Z . Entonces Z posee una base ortonormal, donde cada vector es un vector característico de X . ì Una matriz 8 ‚ 8 compleja E se dice normal si EE‡ œ E‡ E. ì Sea E una matriz 8 ‚ 8 con elementos complejos. Existe una matriz unitaria T tal que T ‡ ET sea diagonal si y solamente si EE‡ œ E‡ E. En otras palabras, E es unitariamente equivalente a una matriz diagonal si y solamente si E es normal.

92.Sea I una proyección, I # œ I . Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 3 I es normal, II ‡ œ I ‡ I . 33 I es auto-adjunta, I œ I ‡ 333 I es la proyección ortogonal sobre su imagen.

93.

Sean [" ß [# ß á ß [5 subespacios de Z y sea I4 la proyección sobre [4 , 4 œ "ß á ß 5. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 3 Z œ [" Š â Š [5 y esta es una suma directa ortogonal 33 M œ I"  â  I5 y I3 I4 œ ! para 3 Á 4 333 Si µ4 es una base ortonormal de [4 , 4 œ "ß á ß 5ß entonces la reunión de las µ4 es una base ortonormal de Z .

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ì Sea X un operador normal y α un vector tal que X # α œ !, entonces X α œ !. En otras palabras, la imagen y el núcleo de un operador normal son disyuntos. ì Sea X un operador normal y 0 un polinomio con coeficientes complejos. Entonces el operador 0 X es normal. ì El polinomio minimal de un operador normal posee raíces distintas.

94.TEOREMA

Sea X un operador normal sobre el espacio complejo Z de dimensión finita con producto interno. Sea -" ß á ß -5 los valores característicos distintos de X y sea I4 la proyección ortogonal sobre el espacio de los vectores característicos asociados al valor propio -4 . Entonces + X œ -" I"  â  - 5 I 5 , , M œ I"  â  I 5 , - I3 I4 œ ! si 3 Á 4. Además, la descomposición en la parte + es única, en el siguiente sentido: Supongamos que -" ß á ß -5 sean números complejos distintos y I" ß I# ß á ß I5 operadores lineales no nulos sobre Z tales que las condiciones + ß , y - sean satisfechas, entonces -" ß á ß - 5 son exactamente los valores característicos distintos de X y para cada 3, I3 es la proyección ortogonal de Z sobre el espacio de los vectores característicos de X asociados al valor característico -3 . ì Se denominará a la descompoción X œ -" I"  â  -5 I5 resolución espectral de X . Es de resaltar que si X es un operador lineal arbitrario que tiene una resolución X œ -" I"  â  -5 I5 tal que I4 œ I4‡ y I3 I4 œ ! para 3 Á 4, entonces X es normal. ì Si X es un operador normal, entonces Z posee una base ortonornal formada de vectores característicos de X . ì Sea X un operador lineal sobre Z . Entonces X es normal si y solamente si el adjunto X ‡ es un polinomio en X . ì Si X es un operador normal con resolución espectral X œ -" I"  â  -5 I5 entonces X ‡ œ - " I"  â  - 5 I5 . ñ Decir que X es auto-adjunto es decir que X œ X ‡ , o sea -"  - " I "  â  - 5  - 5 I 5 œ ! . Usando el hecho de que I3 I4 œ ! para 3 Á 4 y el hecho de que ningún I4 es el operador nulo, vemos que X es auto-adjunto si y solamente si -4 œ - 4 .

95.Sea X

ESPECTRAL.

un operador normal sobre el espacio complejo Z de dimensión finita con producto interno. Entonces, X es auto-adjunto positivo o unitario siempre que todo valor característico de X sea real, positivo o de valor absoluto ". ñ Note que si X es un operador lineal cualquiera sobre Z que tiene valores propios reales no implica necesariamente que X sea auto-adjunto pues X debe ser normal para que tal afirmación acontezca. ì Sea X un operador lineal sobre un espacio complejo Z con producto interno. Decimos que X es no negativo si X αß α   ! para todo α en Z . ì Sea Z un espacio complejo de dimensión finita con producto interno y sea X un operador no negativo sobre Z . Entonces X posee una única raíz cuadrada no

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negativa, esto es, existe uno y sólo un operador no negativo R sobre Z tal que R# œ XÞ ì Sea Z un espacio complejo de dimensión finita con producto interno y sea X un operador lineal arbitrario sobre Z . Entonces existe un operador unitario Y y un operador no negativo R sobre Z tal que X œ Y R . El operador no negativo R es único. Si X es invertible, el operador Y también es único. (Tómese R # œ X ‡ X y Y œ X R " cuando X sea inversible, en caso contrario sea [ la imagen de R , existe un isomorfismo Y! de [ ¼ en X Z ¼ y se toma entonces Yα œ X "  Y! # ß α œ R "  # ). La descomposición X œ R Y se denomina descomposición polar de X .

96.Sean

X y Y operadores normales sobre Z que conmutan. Entonces existe un operador normal W sobre Z con estas propiedades: 3 Tanto X como Y son polinomios en WÞ 33 W conmuta con todo operador lineal sobre Z que conmute con X y Y . ì Sean X" ß á ß X8 un número finito de operadores normales sobre Z tales que X3 conmuta con X4 para todos los 3ß 4. Entonces existe un operador normal X sobre Z tal que X4 sea un polinomio en X . ì Sea ¹ una familia arbitraria de operadores normales sobre Z , todos los cuales conmutan. Entonces existe un operador normal X sobre Z tal que todo operador de la familia ¹ sea un polinomio en X . ì Si ¹ es una familia arbitraria de operadores normales sobre Z los cuales conmutan, existe una base ortonormal ordenada µ de Z tal que todo operador en ¹ sea representado por una matriz diagonal en relación a la base µ.

97. Sea Z

un espacio vectorial sobre un cuerpo J . Una forma bilineal sobre Z es una función 0 que asocia a cada par ordenado de vectores α," en Z un escalar 0 αß " en J y que satisface 0 - α"  α# ß " œ -0 α" ß "  0 α# ß " 0 αß - ""  "# œ -0 αß ""  0 αß "# . ì Sea Z un espacio vectorial de dimensión finita y sea µ œ Öα" ß α# ß á ß α8 × una base ordenada de Z . Si 0 es una forma bilineal sobre Z , la matriz de 0 en relación a la base ordenada µ es la 8 ‚ 8-matriz E con elementos E34 œ 0 α3 ß α4 . A veces, indicaremos esta matriz por Ò0 Óµ ì Sea Z un espacio vectorial de dimensión finita sobre el cuerpo J . Para cada base ordenada µ de Z , la función que asocia a cada forma bilineal sobre Z su matriz en relación a la base ordenada µ es un isomorfismo del espacio P Z ß Z ß J en el espacio de las 8 ‚ 8-matrices sobre el cuerpo J . P Z ß Z ß J œ Ö0 À Z ‚ Z J Î0 es forma bilineal× . ì Si µ œ Öα" ß á ß α8 × es una base ordenada de Z y U‡ œ ÖP" ß á ß P8 × es la base dual de Z ‡ , entonces las 8# formas bilineales 034 αß " œ P3 α P4 " ß " Ÿ 3 Ÿ 8ß " Ÿ 4 Ÿ 8, α," − Z forman una base del espacio P Z ß Z ß J . En particular, la dimensión de P Z ß Z ß J es 8# .

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ì Sea P0 À Z Z ‡ dada por P0 À α È P0 αß de manera semejante, 0 determina una transformación lineal V0 de Z en Z ‡ . Para cada " fijo en Z , 0 αß " es lineal en α. V0 À Z Z ‡ ß " È V 0 " œ 0 ß " . ì Sea 0 una forma bilineal sobre un espacio vectorial Z de dimensión finita. Sean P0 y V0 las transformaciones lineales de Z en Z ‡ definidas por P0 α " œ 0 αß " œ V0 " α , entonces , Z  œ  Ö"3 −  "4  œ Z à 0 "3 ß "3 œ "×  el número .37Z   .37Z  es llamado signatura de 0 . ì Sea Z un espacio vectorial 8 dimensional sobre el cuerpo de los números complejos y sea 0 una forma bilineal simétrica no degenerada sobre Z . Entonces el grupo que conserva 0 es isomorfo al grupo ortogonal complejo b 8ß ‚ Þ ì Sea Z un espacio vectorial 8 dimensional sobre el cuerpo de los números reales y sea 0 una forma bilineal simétrica no degenerada sobre Z . Entonces, el grupo que conserva 0 es isomorfo a un 8 ‚ 8-grupo seudo-ortogonal. ì Sea 0 una forma bilineal simétrica sobre ‘% con forma cuadrática ; Bß Cß Dß > œ >#  B#  C#  D # . Un operador lineal X sobre ‘% que conserva esta forma bilineal (o cuadrática) particular es denominada una transformación de Lorentz y el grupo que conserva 0 se dice el grupo de Lorentz.

§#Þ RESULTADOS PROBADOS

1.Sea Z

un espacio vectorial de dimensión 8, [" ß á ß [5 subespacios vectoriales de Z tales que Z œ ["  [#  â  [5 y .37Z œ

O

.37[3 .

3œ"

Probar que Z œ [" Š [# Š â Š [5 . SOLUCIÓN. En efecto, sea µ3 œ Öα34 × una base para [3 ß " Ÿ 3 Ÿ 5ß " Ÿ 4 Ÿ .37[3 œ $3 , 5

mostremos que si µ= ∪ µ3 es una base para Z entonces Z œ [" Š [# Š â Š [5 3œ"

Sea @ − ["  [#  â  [5 entonces existen +3 − [3 " Ÿ 3 Ÿ 5 donde +3 − [3 Ê +3 œ

$3

-34 α34 entonces @ œ

4œ"

3ß4

tal que @ œ

5

+3 ß 3œ"

-34 α34 por lo tanto µ genera Z .

5 $3 Ê #µ œ .37Z . Como #µ œ .37Z , µ œ ∪ µ3 genera Z y µ es 3œ" 3œ" una base de Z por tanto Z œ [" Š [# Š â Š [5 . Ahora .37Z œ …

5

Darío Sánchez H

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2. Sea V un espacio vectorial sobre J

y 0 − J ÒBÓ. Si [ œ Öα − Z Î0 > α œ !× donde X es un endomorfismo lineal de Z entonces [ es invariante por X . SOLUCIÓN.-Usaremos el hecho fácilmente verificable de que si X À Z Z es lineal, 0 − J ÒBÓ entonces X 0 X œ 0 X X . Así α − [ Ê 0 X α œ !, 0 X Xα œ 0 X † X α œ X0 X α œ X 0 X α œ X ! œ ! 0 X Xα œ ! Ê Xα − [. Luego X [ § [ o sea [ es invariante por X . … 3.Si Z es un espacio vectorial real y I es un operador lineal indenpotente en Z , esto es una proyección, entonces M  I es invertible. Determine M  I " . SOLUCIÓN.- +Ñ Supongamos que Z sea un espacio vectorial real cualquiera. Mostremos que M  I es inyectivo α − 5/< M  I Ê M  I α œ ! Í α  I α œ ! I α  I α œ ! Ê #I α œ ! Ê I α œ ! entonces α − 5/ .> no

Muestre que el endomorfismo lineal X À Z posee valores característicos. SOLUCIÓN.-Por absurdo, supongamos que existe - valor propio de X , entonces B existe 0 − Z ß 0 Á ! tal que X 0 œ -0 entonces X 0 B œ '! 0 > .> œ -0 B entonces 0 es diferenciable por tanto 0 B œ -0 w B . Si - œ ! entonces 0 B œ !ß aB o sea 0 ´ ! lo cual es contradictorio (pues 0 Á !) C Si - Á ! la solución de la ecuación 0 B  -0 w B œ ! es 0 B œ 5/ - ß 5 Á ! de donde se B tiene que X 0 B œ '! 5/>Î- .> œ 5/>Î- lB! œ 5-Ò/BÎ-  "Ó Á -0 B lo cual es contradictorio. Observese que si 5-/BÎ-  5- œ -/BÎ- entonces haciendo B œ ! tenemos ! œ 5-  5- œ - Ê - œ !ß - es supuesto diferente de cero. … 7. Muestre que si - es un valor característico de la matriz E sobre el cuerpo J entonces 1 - es un valor característico de 1 E donde 1 − J ÒBÓ. SOLUCIÓN.-Si - − J valor propio de E entonces existe @ Á ! tal que E@ œ -@. Tenemos que E8 @ œ - 8 @ a8   ". Por que para 8 œ " E@ œ -@ (por la hipótesis) supongamos que E8" @ œ - 8" @ entonces tenemos E8 @ œ E E8" @ œ E - 8" @ œ - 8" E@ œ - 8" -@ œ - 8 @ Así, si 1 E œ +8 E8  â  +" E  +! M , entonces 1 E @ œ +8 E8 @  â  +" E@  +! M@ œ +8 - 8 @  â  +" -@  +! @ œ +8 - 8  â  + " -  + ! @ œ 1 - @ o sea @ Á ! y 1 E @ œ 1 - @. Luego 1 - es un valor propio de 1 E . … 8.Las matrices Ô! " ! !×  $  #× Ô$ "  "× Ô' Ö! ! " !Ù E œ # #  " ßF œ %  "  # ß G œ Ö Ù ! ! ! " Õ# # Õ "!  &  $ Ø ! Ø Õ" ! ! !Ø ¿Son ‘-similares a matrices diagonales? ¿Son ‚-similares a matrices diagonales? SOLUCIÓN.-Se aplica el resultado: Si E es una matriz 8 ‚ 8 en el cuerpo J entonces E en J es similar a una matriz diagonal si y sólo si el polinomio minimal : de E es de la forma : œ B  - â B  -5 , -" ß á ß -5 − J son distintos. Ô$ "  "× +Ñ E œ # #  " el polinomio característico de E es B  " B  # # Õ# # ! Ø Como E  M E  #M Á !, el polinomio minimal de E es B  " B  # # entonces E no es ni ‘-similar, ni ‚-similar a una matriz diagonal.

Darío Sánchez H

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 $  #× Ô' ,Ñ F œ %  "  # tiene :- œ B  # B#  " œ :3 , B#  " es irreducible en ‘ Õ "!  &  $ Ø :3 œ B  # B  3 B  3 en ‚, luego F es ‚-similar a una matriz diagonal pero no es ‘-similar. Ô! " ! !× Ö! ! " !Ù -Ñ G œ Ö Ù, :- œ B%  " œ B  " B  " B#  " œ :3 ! ! ! " Õ" ! ! !Ø B#  " es irreducible en ‘. Luego la matriz G no es ‘-similar pero es ‚-similar a una matriz diagonal. …

9.Sea X

À ‘$ ‘$ el operador lineal representado en relación a la base canónica de ! × Ô# ! ! . Pruebe que X no posee vector cíclico. ¿Cual es el espacio ‘$ , por ! # Õ! !  "Ø X -cíclico de ‘$ generado por el vector "ß  "ß $ ? ! × Ô# ! $ $ ! ‘ ß ÒX Óµ- œ ! # el polinomio característico de X es SOLUCIÓN.-+Ñ X À ‘ Õ! !  "Ø B  # # B  " y el polinomio minimal de X es B  # B  " , si existiese @ − ‘$ cíclico, entonces .37‘$ œ $ Á 1 BM  R" † ./>T œ ./> BM  R" œ ! É Ñ Supongamos ahora que R" ß R# tienen el mismo polinomio característico. R" C R# entonces existen 1 > .> +Ñ Determine el complemento ortogonal de los polinomios escalares ,ÑDetermine una base ortogonal de Z a partir de la base Ö"ß Bß B# ß B$ ß á × aplicando el procedimiento de Gran-Schmidt. SOLUCIÓN.-+Ñ Sea [ el conjunto de los polinomios escalares [ ¼ œ Ö: − Z à  :ß 5  œ ! donde 5 es un escalar real× " : − [ ¼ Í  :ß 5  œ ! a5 − ‘ Í '! 5 +!  +" B  +# B#  +$ B$ .B œ ! Í 5Ò+!  +#"  +$#  +%$ Ó œ !, a5 − ‘ Í +!  +#"  +$#  +%$ œ ! Una base para [ ¼ puede ser: Ö "  #> ß "  $># ß "  %>$ × ya que .37[ ¼ œ $ pues .37[ œ "

Darío Sánchez H

,Ñ α" œ " α# œ "#  α$ œ "$ 

"# ßα"  mα" m# α" "$ ßα#  mα# m α#

Bß" > " '" " " œ B  ! >.> œ D  # l! Ê α# " "$ ßα"  " # 1# ˆ α œ B   B  "# ‰ Ê α$ œ " # " mα" m $ "#

32.Sea

" #

œB

œB



B#  B 

"% ßα"  "% ßα#  mα" m α"  mα# m# α# " B$  $# B#  $& B  #! Þ

α% œ "%  Ê α% œ …

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

 " % ß α$  mα$ m# α$

œ B$ 

" %



$ %! " "#

ˆB  "# ‰ 

" "#! " )!

" '

ˆB#  B 

" ‰ "'

Z un espacio vectorial de dimensión finita 8 con producto interno   .

Sea I À Z Z un operador tal que I # œ I . Demostrar que I es auto-adjunto Í II ‡ œ I ‡ I . SOLUCIÓN.- Ê ) I es auto-adjunto Ê I œ I ‡ entonces II ‡ œ II œ I ‡ I É ) II ‡ œ I ‡ I Ê mI αm œ mI ‡ αm. Por consiguiente I α œ ! Í I ‡ α œ !. Sea α − Z à entonces I α œ I # α Í I α  I # α œ ! entonces I α  I α œ ! Í I ‡ α  I α œ ! de donde I ‡ α  I ‡ I α œ ! Ê I ‡ α œ I ‡ I αß aα entonces I ‡ œ I ‡ I " " ‡ ‡ ‡ " ‡ ‡ ‡ Ahora Iœ I œ I I œI IœI … 33.Sea Z un espacio vectorial de dimensión finita 8 con producto interno  ,  . Sea X À Z Z un operador positivo. Sea :X À Z ‚ Z ‘ definida por :X αß " œ  X αß "  . Sea Y un operador lineal sobre Z y Y ‡ el operador adjunto. Probar que Y es unitario si y sólo si X œ Y ‡ X Y . SOLUCIÓN. Ê ) Y unitario Ê :X Y αß Y α œ :X αß α œ  X αß α  . Ahora :X Y αß Y α œ  X Y αß Y α  œ  Y αß X Y α  œ  αß Y ‡ X Y α  Entonces  αß X α  œ  αß Y ‡ X Y α  , aα Ê X œ Y ‡ X Y ‡ É Ñ X œ Y X Y ß entonces  α,X α  œ  αß Y ‡ X Y α  Ê :X αß α œ :X Y αß Y α ß aα entonces Y es unitario. … 34. Sea X un operador lineal normal en un espacio vectorial complejo Z de dimensión finita, dotado de un producto interno. Pruebe que ÒX Ó‡µ œ ÒX ‡ Óµ donde µ es una base ortogonal de Z . SOLUCIÓN.-"Þ Sea Öα" ß α# ß á ß α8 × la base ortogonal de Z , sea ÒX Óµ œ ÒE34 Ó la matriz de X en esa baseÞ #Þ X α3 ß α4 œ Œ

8

8

E53 α5 ß α4 5œ"

œ

E53  α5 ß α4  œ E43 puesto que  α5 ß α4  œ $54 ,

5œ"

así E43 œ  X α3 ß α4  $Þ Sea ÒX ‡ Óµ œ ÒF34 Ó la matriz de X ‡ es la base µ. En este caso siguiendo el mismo raciocinio de #Þ recibimos  X ‡ α3 ß α4  œ F43 .

Darío Sánchez H

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%Þ Pero F43 œ  X ‡ α3 ß α4  œ  α3 ß X α4  œ  X α4 ß α3  œ E34 ß así F43 œ E34 implica que ÒF43 Ó es la transpuesta conjugada de ÒE34 Ó así: ÒX ‡ Óµ œ ÒF34 Ó œ ÒE34 Ó‡ œ ÒX Ó‡µ …

lo cual

35.

Sea X un operador lineal normal en un espacio vectorial complejo Z de dimensión finita dotado de un producto interno y [ un subespacio de Z Þ Puebe que X l[ es normal. SOLUCIÓN. "ÞCon § I indicaremos a los subespacios de un espacio vectorial dado. Sea Z w § I Z entonces X Z w § I Z w Í X ‡ Z w ¼ § I Z w ¼ . En efecto, sean α," tales que α − Z w y " − Z w ¼ ß en este caso −Z w ‡ X α − Z w , aα − Z w Ê  X αß "  œ ! Š aa"α−Z w ¼ ‹ Ê  αß X "  œ ! −Z ‡ w¼ Ê X ‡Z w¼ § Z w¼ Š aa"α−Z w¼ ‹ Ê X " − Z w

#Þ Por otra parte

¼

X[¼ § [¼ Ê X‡ [¼ Å "

§ [¼

¼

œ [ Ê X ‡[ § [

$Þ Sean entonces X" y X# las restricciones de X y X ‡ a [ respectivamente, aα − [ ß a" − [ tenemos " −[ X" αß" α−[ œ X αß" œαßX ‡ "  œ αßX# " ÊX"‡ œX# o sea X"‡ œÒX |‡[ œX ‡ |[ œX#

%Þ Así para todo α − [ se tiene X" X"‡ α α œ X X‡ α −[ " œ

X"‡ X

X ‡X α œ Å

X ‡ l[ X α

X X ‡ œ X ‡X X α −[ ‡ X" X l[ α œ X"‡ X" α

X" X"‡ œ X"‡ X" .

Entonces X l[ X l [

36.Sea

α œ Å

XX‡ α œ Å

α−[

Luego

…

œ

X‡ α − [

‡

œ X l[

‡

X l[ Ê X l[ es normal.

X operador lineal sobre el espacio complejo Z de dimensión finita con

producto interno. Pruebe que X es normal si y sólo si X œ R Y , donde R es no negativo, Y unitario y R conmuta con Y . SOLUCIÓN. ". Si existen Y y R tal que X œ Y R donde Y es unitario y R positivo luego auto-adjunto tenemos además que: X ‡ œ Y R ‡ œ R ‡ Y ‡ œ R Y " X ‡ X œ R Y " Y R œ R # ‡ #. X X es un operador positivo por que  X ‡ X α ß α  œ  X αß X α  œ mX αm   ! y mX αm  ! si X α Á ! como X es un operador no singular tenemos que: X α œ ! Í α œ ! o sea α Á ! Ê X α Á ! Así,

Darío Sánchez H

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α Á ! Ê X α Á ! Ê mX α m  ! entonces  X ‡ X αß α   ! Ê X ‡ X es un operador positivo $. X ‡ X es un operador positivo luego no negativo y normal. Siendo Z un espacio complejo esto asegura la existencia de una raíz cuadrada no negativa de X ‡ X . Vamos a probar que esa raíz cuadrada es de hecho positiva ya que X ‡ X lo es . Sea -" I"  â  -5 I5 la resolución espectral de X ‡ X donde -3 − ‘ y -3  !, 3 œ "ß á ß 5 , una vez que X ‡ X es positivo. En el caso su raíz cuadrada no negativa R tendrá como resolución espectral ˆÈ - 3   ! ‰ È -" I"  â  È - 5 I 5 como -3  ! , a3 Ê R será un operador positivo. %) Si X es no singular R œ ÈX ‡ X también lo es por que: X α œ ! Í mX α m œ ! Í  X α ß X α  œ ! Í  X ‡ X α ß α  œ ! Í  R # αß α  œ !

Å X ‡X œ R #

Í

Å R es positivo luego autoadjunto

 R αß R α  œ ! Í mR α m œ ! Í R α œ !.

Entonces α œ ! Í X α œ ! Í R α œ ! Ê R es no singular inversible . &) Si X œ Y R entonces Y œ X R " . Resta probar que X R " es un operador unitario puesto que R autoadjunto Ê R " autoadjunto

Æ ‡ Y Y ‡ œ X R " X R " œ X R " R " X ‡ œ X R " R " X ‡ œ . " X R # X ‡ œ X R # X ‡ œ X X ‡ X " X ‡ œ X X " X ‡ " X ‡ œ M † M œ M Å R # œ X ‡X

así Y œ Y . Luego Y es operador unitario. ') Así tenemos que : Si X es un operador lineal no singular normal sobre un espacio vectorial complejo con producto interno entonces  unitario Y œ X œ Y R donde œ  R œ positivo ‡ siendo R œ raíz cuadrada positiva de X X ß y Y œ X R " . … ‡

37.Sea J

"

un cuerpo, 8 un entero positivo y sea Z el espacio de las matrices 8 ‚ 8 sobre J Þ Si F es una matriz 8 ‚ 8 fija sobre J , sea XF el operador lineal sobre Z definido por XF E œ EF  FE. Consideremos la familia de los operadores lineales XF obtenido haciendo que F recorra el conjunto de las matrices diagonales. Demostrar que los operadores de esta familia son simultaneamente diagonalizables. SOLUCIÓN. Sea Ô! â ! 4 â ! × Ô" ! â !× Öã ä ã ä ã Ù Ö! ! â !Ù Ö Ù /"" œ Ö Ù /34 œ Ö ! â " â ! 3 Ù ã ã ä ã Ö Ù ã ä ã ä ã Õ! ! â !Ø Õ! â ! â ! Ø

Darío Sánchez H

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Ò/34 Ó"Ÿ3ß4Ÿ8 genera una base para Z œ Q 8 . Supóngase F diagonalizable entonces Ô ," â ! × F œ ã ä ã . Vamos a determinar la matriz de XF en la base Ò/34 Ó3ß4 . Õ ! â ,8 Ø Basta notar que XF /34 œ /34 F  F/34 œ Ô! â ! 4 â ! × Ô! â ! 4 â ! × Öã ä ã ä ã ÙÔ ," â ! × Ô ," â ! ×Ö ã ä ã ä ã Ù Ö Ù Ö Ù œ Ö! â " â ! 3 Ù ã ä ã  ã ä ã Ö! â " â ! 3 Ù Ö ÙÕ Ö Ù ã ä ã ä ã ! â ,8 Ø Õ ! â , 8 Ø ã ä ã ä ã Õ! â ! â ! Ø Õ! â ! â ! Ø !4 â ! × Ô! â ! 4 â ! × Ô! â ! 4 â ! × Ô! â ã ä ã Ù Öã ä ã ä ã Ù Öã ä ã ä ã Ù Öã ä Ö Ù Ö Ù Ö Ù œ Ö ! â ,4 â ! 3 Ù  Ö ! â ,3 â ! 3 Ù œ Ö ! â , 4  , 3 â ! 3 Ù œ Ö Ù Ö Ù Ö Ù ã ä ã ä ã ã ä ã ä ã ã ä ã ä ã Õ! â ! â ! Ø Õ! â ! â ! Ø Õ! â ! â ! Ø œ ,4  ,3 /34 Ô ," â ! × Ô -" â ! × Vamos a probar ahora que si E − Z y F œ ã ä ã ß G œ ã ä ã , Õ ! â ,8 Ø Õ ! â -8 Ø entonces XF XG E œ XG XF E esto es cualquier dos elementos de la familia conmutan y entonces son diagonalizables 8

E−Z ÊEœ y

8

3œ"

XF XG E œ X F Œ 8

œ

E#3 /#3  â  3œ"

8 3œ"

E"3 XF XG /"3

8

â

E"3 XF -3  -" /"3

E83 XG /83

E"3 -3  -" XF /"3 3œ" 8

œ

E83 XF XG /83 3œ"

œ

8

â

E83 XF -3  -8 /83 œ 3œ" 8

â

E83 -3  -8 XF /83 3œ"

E"3 -3  -" ,3  ," /"3  â  3œ"

œ

3œ"

3œ" 8

œ

E83 /83

3œ"

8

E"3 XG /"3  â 

3œ" 8

œ

8

E"3 /"3 

œ

8

E83 -3  -8 ,3  ,8 /83 œ XG XF E 3œ"

…

38.Sea J

un cuerpo, 8 un entero positivo y sea Z el espacio de las matrices 8 ‚ 8 8 sobre J . Mostrar que +Ñ T " ET œ T " E8 T , a8 − ß aE − Z siendo T cualquier matriz no singular de Z ,Ñ Sea 1 B œ +!  +" B  +# B#  â  +8 B8 un polinomio con coeficientes en J entonces 1 T " ET œ T " 1 E T , aE − Z siendo T cualquier matriz no singular de Z Þ SOLUCIÓN. +Ñ

Darío Sánchez H

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T " E8 T œ T " E † E † E † â † E † T œ Å

T " ET † T " ET â T " ET œ T " ET

T " T œ M

"

#

8

,Ñ 1 T ET œ +!  +" T ET  +# T " ET  â  +8 T " ET œ œ +!  +" T " ET  +# T " E# T  â  +8 T " E8 T œ T " +!  +" E  +# E#  â  +8 E8 T œ T " 1 E T Þ …

39. Sea

"

8

E una matriz 8 ‚ 8

triangular sobre un cuerpo J . Demostrar que los valores característicos de E son los elementos de la diagonal, esto es los escalares de la forma +33 Þ SOLUCIÓN. Primero hallemos el determinante de una matriz triangular E œ +34 . Denotaremos con 5 3 una permutación cualesquiera del conjunto Ö"ß #ß á ß 8×, entonces det E œ

8

3œ"

=385 3 +"5 " +#5 # á +85 8

Tenemos si 5 " Á " entonces hay dos posibilidades 5 "  " o 5 "  ". Si 5 "  ", entonces +"5 " œ ! en esta forma +"5 " +#5 # á +85 8 œ !. Si 5 "  "ß entonces +"5 " Á ! y +"5 " +#5 # á +85 8 no aparece como sumando. Si 5 # Á #, entonces 5 #  # o 5 #  #. Si 5 #  #ß por ser E triangular +#5 # œ ! entonces +"5 " +#5 # á +85 8 œ !. Si 5 #  # , algún +35 3 estará por debajo de la diagonal y en ese caso +"5 " +#5 # á +85 8 œ !. Continuando en esta forma llegamos a la conclusión de que el determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal. Como conclusión, dado que la matriz E  -M es triangular tenemos que 8 ./> E  -M œ # +33  - œ !, luego los valores característicos de E son los 3œ"

elementos de la diagonal de E. …

40.Sea Z

un espacio vectorial de dimensión 8 y sea X un operador lineal sobre Z . Supongamos que X sea diagonalizable. +Ñ Si X posee un vector cíclico, mostrar que X posee 8 valores característicos distintos. ,Ñ Si X posee 8 vectores característicos distintos y si Öα" ß α# ß á ß α8 × es una base formada de vectores característicos de X , mostrar que α œ α"  â  α8 es un vector cíclico de X Þ SOLUCIÓN. +Ñ Siendo X diagonalizable entonces su polinomio característico será dado por 0 B œ B  - " ." â B  - 5 .5 y el polinomio mínimo será : B œ B  -" â B  -5 donde -3 Á -4 si 3 Á 4. Si X tiene un vector cíclico α, entonces ^ αà X œ Z y 1 BM  E œ B  " , también X M X M œ!Ê: B œ B" # En la descomposición de X ß el primer vector α" tiene a : como X -anulador (α3 es dado por el teorema de la forma racional); como 1/ 1 > .>. Sea [ el subespacio de las funciones impares, esto es, funciones que satisfacen 0  > œ  0 > . Determinar el suplemento ortogonal de [ . SOLUCIÓN. Se tiene que Z œ Ö0 À Ò  "ß "Ó ‘Î0 es continua×, y [ œ Ö0 − Z à 0  > œ  0 > ×. Nótese que si 0 es impar tenemos: " " " " '" 0 > .> œ  '"  0 > .> œ  '" 0  > .> œ '" 0  > .  > œ ! " " '" '"! 0 > .>  '!" 0 > .> œ '"" 0 > .> œ  '" 0  > .  >  '! 0  > .  > œ 0 > .> Å " De donde se deduce que '" 0 > .> œ ! Afirmamos que [ ¼ œ Ö1 − Z à 1  > œ 1 > ×, en efecto si 1 es impar y 0 es par tenemos 0  > † 1  > œ  0 > 1 > luego 10 es impar entonces tenemos >œ >

Darío Sánchez H

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0 ß 1 œ '" ðñò 0 > 1 > .> œ !. "

impar

…

63.Sea

Z el espacio ‚# ß con el producto interno canónico. Sea X un operador

definido por X%" œ "ß  # ß X%# œ 3ß  " . Si α œ B" ß B# , determinar X ‡ αÞ ‚# œ Ö +ß , Î+ß , − ‚× œ Ö +"  3+# ß ,"  3,# Î+" ß +# ß ," ß ,# − ‘× SOLUCIÓN. Aquí X%" œ X "ß! œ "ß !  !ß  # œ

"ß !  #î !ß " î œ %"

œ %#

X%# œ X !ß" œ 3 "ß !  " !ß " œ 3%"  "%# En esta forma la matriz asociada será dada por " œ” #

3 " 3 " 3 " # ÒX Óµ ÒX Ó‡µ œ ” œ” œ”  "•  #  "•  #  "•  3  "• " # B" X ‡ B" ß B# œ ” œ B"  #B# ß  3B"  B# • ” 3 " B# • " 3 B"  X αß "  œ  ” ß C ß C  œ  B"  3B# ß  #B"  B# ß C" ß C#  œ  #  " •” B# • " # œ B"  3B# C"  #B"  B# C# " "  # C"  αß X ‡ "  œ  B " ß B # ß ”  œ  B" ß B# ß C"  #C# ß  3C"  C#  œ  3  " •” C# • œ B" C"  #C#  B#  3C"  C# œ B" C"  #B" C#  B# 3C "  B# C # œ œ B"  3B# C"  #B"  B# C# # De " y # se sigue que  X αß "  œ  αß X ‡ "  …

64.Sea

¼

¼

X un operador lineal sobre ‚# definido por X %" œ "  3ß # , X %# œ 3ß 3 Þ

Usando el producto interno canónico, determinar la matriz de X ‡ en relación a la base canónica. ¿X conmuta con X ‡ ? X "ß ! œ "  3 "ß !  # !ß " ß X !ß " œ 3 "ß !  3 !ß " SOLUCIÓN. entonces tenemos que ¼ "3 3 "3 3 ¼ "3 3 "3 # ‡ ÒX Óµ œ ” y ÒX Óµ œ ” œ” œ” • • • # 3 # 3 # 3  3  3• "  3 3 B"  X αß "  œ  X B " ß B # ß C " ß C #  œ  ” ß C ßC  œ # 3 •” B# • " #  "  3 B"  3B# ß #B"  3B# ß C" ß C#  œ "  3 B"  3B# C "  #B"  3B# C # "3 # C"  αß X ‡ "  œ  B " ß B # ß ”  œ  3  3 •” C# • œ  B" ß B# ß "  3 C"  #C# ß  3C"  3C#  œ B" "  3 C"  #C#  B#  3C"  3C# œ œ B" "  3 C"  #C# B"  B# C" 3  B# C# 3 œ "  3 B"  3B# C "  #B"  3B# C # . Ahora veamos la conmutatividad entre X C X ‡ "3 3 "3 # "  3#  3# #  #3  3# $ $  #3 XX‡ œ ” œ • œ ” $  #3 # 3 • ”  3  3 • ” #  #3  3# & • %  3#

Darío Sánchez H

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"3 # "3 3 "  3#  % X ‡X œ ” œ  3  3 •” # 3 • ”  3  3#  #3 Luego X ‡ X Á X X ‡ …

3  3#  #3 ' $3  " # # • œ ” "  $3 # • 3 3

65.Supongamos

que Z sea ‚$ con el producto interno canónico. Sea X un operador lineal sobre Z cuya matriz en relación a la base ordenada canónica es definida por E45 œ 345 ß 3# œ  " . Determinar una base del núcleo de X ‡ . # $ % " × Ô E"" E"# E"$ × Ô 3 3 3 × Ô  "  3 3 " 3 SOLUCIÓN. ÒX Óµ œ E#" E## E#$ œ 3$ 3% 3& œ Õ E$" E$# E$$ Ø Õ 3% 3& 3' Ø Õ " 3  "Ø Ô "  3 ‡ " ÒX Óµ œ  3 Õ " 3 Así tenemos que

" × Ô " 3 3 œ Õ "  "Ø ¼

‡

X B" ß B# ß B$

3 " 3

Ô " 3 œ Õ "

" × Ô " 3 3 œ Õ "  "Ø ¼

3 " 3

3 " 3

" × 3  "Ø

" × Ô B" × Ô ! ×  3 † B# œ !  " Ø Õ B$ Ø Õ ! Ø

de donde el sistema  B"  3B#  B$ œ ! 3B"  B#  B$ œ ! Ê B# œ "3 B"  B$ B"  3B#  B$ œ ! tomando " B" œ 3ß B$ œ !ß Ê B# œ "3 3 œ " # Bw" œ !ß Bw$ œ  3 Ê Bw# œ "3 3 œ ". Luego KerX ‡ œ  3ß "ß ! ß !ß "ß  3  . …

66.Sea

Z un espacio de dimensión finita con producto interno y X un operador

lineal sobre Z . Si X es inversible, mostrar que X ‡ es inversible y X ‡ " œ X " Þ SOLUCIÓN. Por hipótesis existe X " tal que X X " œ X " X œ M entonces ‡ ‡ X X " œ X " X œ M ‡ œ M ‡ ‡ Ê X ‡ X " œ X " X ‡ œ M œ " ‡ ‡ " ‡ ‡ X X œX X œM œM ‡ ‡ Luego X es inversible y su inverso es tal que X " œ X ‡ " . … 67. Sea Z un espacio de dimensión finita y " ,# vectores fijos en Z . Mostrar que X α œ αß " # define un operador lineal sobre Z . Mostrar que X posee un adjunto y describir X ‡ explícitamente. Supongamos ahora que Z sea ‚8 con el producto interno canónico, " œ C" ß á ß C8 y # œ B" ß á ß B8 . ¿Cual es el elemento 4ß 5 de la matriz de X en relación a la base ordenada canónica? ‡

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EPKIFVE PMR IEP

SOLUCIÓN. Por hipótesis sea X À Z

Z α È X α œ αß " # 3 α œ α" Ê αß " œ α " ß " en efectoß α  α" œ ! • α  α" ß " œ !ß " œ ! Í αß "  α" ß " œ ! Í αß " œ α" ß " Ahora α ß "  α " ß " œ ! Ê α ß "  α " ß " # œ ! , a # Í αß " #  α " ß " # œ ! , entonces αß " # œ α " ß " # Í X α œ X α " 33 X es lineal X - α  α " œ - α  α " ß " # œ - α ß "  α " ß " # œ - αß "  α " ß " # œ œ - αß " #  α" ß " # œ - αß " #  α" ß " # œ -X α  X α" . Luego X es un operador lineal. Como no se sabe si .37Z es finita, no podemos aplicar el resultado (*. Debemos entonces hallar X ‡ tal que  X α" ß α#  œ  α" ß X ‡ α#  para todo α" ß α# − Z  X α" ß α "  œ  α " ß " # ß α #  œ  α " ß "  # ß α # œ # ß α #  α " ß "  œ α " ß  # ß α #  " œ  α" ß α # ß # "  Entonces basta definir X ‡ α œ αß # " y tenemos  X α" ß α #  œ  α " ß "  # ß α # Ê  X α" ß α #  œ  α " ß X ‡ α #  . œ  α ß X ‡ α  œ #ß α  α ß "  " # # " 333 Z œ ‚8 por hipótesis X α œ αß " # , sea entonces ÒX Óµ œ E34 . Para la determinación de los E34 sabemos que E34 œ  X /4 ß /3  œ  /4 ß " # ß /3  œ /4 ß "  #ß /3  œ Œ/4 ß 8

5œ"

…

8

C5 /4 ß /5

B5  / 5 ß / 3  5œ"

œ Å

 /5 ß /3  œ /5 ß /3 œ $53 œ œ

8

8

C5 /5 5œ"



B5 /5 ß /3  œ 5œ"

C 4 B3 œ B3 C 4 Þ "ß !ß

=3 5 œ 3 =3 5 Á 3

68.Mostrar que el producto de dos operadores auto-adjuntos es auto-adjunto, si y

solamente si los dos operadores conmutan. R œ R ‡ y X œ X ‡ , así, si suponemos R X œ X R SOLUCIÓN. 3 Hipótesis general tenemos R X ‡ œ X R ‡ œ R ‡X ‡ œ R X ß de donde R X es auto-adjunto 33 Ahora la hipótesis es R X ‡ œ R X X R œ X ‡ R ‡ œ R X ‡ œ R X ß Ê ß X y R conmutan. … 69.Sea Z el espacio vectorial de los operadores sobre ‘ de grado menor o igual a " $, con el producto interno 0 ß 1 œ '! 0 > 1 > .>. Si > es un número real, determinar el polinomio 1> en Z tal que 0 ß 1> œ 0 > Þ

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SOLUCIÓN. Definamos J À Z

‘ . J es una función lineal y .37Z œ %, usando 0 ÈJ > œ0 > el resultado básico () existe un único 1> − Z tal que J 0 œ 0 ß 1> , 1> es obtenido de la siguiente manera. Tómese Ö0" ß 0# ß 0$ ß 0% × una base ortonormal de Z y calculando se tiene %

1> œ

%

J 04 04 œ 4œ"

%

04 > 04 œ 4œ"

y por el resultado () tenemos 0 > œ J > œ 0 ß 1> . …

04 > 04 4œ"

70.Sea

el espacio con producto interno y X un operador lineal sobre Z . Mostrar que la imagen de X ‡ es el suplemento ortogonal del núcleo de X . ¼ donde SOLUCIÓN. Debemos mostrar que X ‡ Z œ KerX X ‡ Z œ ÖX ‡ @à @ − Z × y KerX ¼ œ Ö? − Z à  ?ß @  œ !, a@ − KerX × œ Ö? − Z à  ?ß @  œ ! y X @ œ !× α œ X ‡" − X ‡Z y Notemos primeramente que X ‡ Z § KerX ¼ , en efecto ‡ ‡ # − KerX tenemos  α,#  =  X " ,#  œ  # ß X "  œ  X # ß "  œ ! Å por lo tanto

# − 5/< T " E T F ‡ œ >< T F ‡ T " E Å ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ œ > E œ ” 3) •” 3) • œ ” ! / ! / ! /#3) • luego E> E Á M eso indica que E no es ortogonal. , Sean + œ

É"È& È#



È#

É"È&

3ß , œ "  3, entonces +#  , # œ "  #3  #3 œ "

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Consideremos la matriz E œ ”

+ , y tenemos , +• + , + , +#  , # +,  ,+ " ! E> E œ ” œ” •” • # # • œ ”! "• œ M , + , + +,  ,+ ,  + Luego E es ortogonal, ahora + , + , ++  ,, +,  ,+ E‡ E œ ” •”  , + • œ ” •œ , + ,+  +, +#  , # Ô œÖ

"

É"È&

Õ +619 Así E no es unitaria. …

74.Sea

È#



È#

É"È&

3

"3  "3 "

É"È& È#



È#

É"È&

3

× ÙÁM Ø

Z œ Ömatrices

complejas 8 ‚ 8× con producto interno dado por  Eß F  œ >< EF ‡ . Para cada Q − Z ß sea XQ el operador lineal definido por XQ E œ Q E. Mostrar que XQ es unitaria si y sólo si Q es una matriz unitaria. " SOLUCIÓN. Ê )  XQ Eß XQ F  œ  Eß F  œ >< EF ‡ , aEß F − Z  XQ Eß XQ F  œ  Q Eß Q F  œ >< Q E Q F ‡ œ >< Q E † F ‡ Q ‡ "

œ >< Q ‡ Q † EF ‡ œ >< EF ‡ Ê Q ‡ Q œ M así Q es unitaria. É ) Supongamos que Q es unitaria, es decir Q ‡ Q œ M , entonces  Eß F  œ >< EF ‡ œ >< M † EF ‡ œ >< Q ‡ Q † EF ‡ œ >< EF ‡ † Q ‡ Q œ >< Q EF ‡ Q ‡ œ >< Q E † Q F ‡ œ  Q Eß Q F  œ  XQ Eß XQ F  Ê XQ es unitario. Å …

75.Sea

Hipótesis

Z el espacio ‘# con el producto interno canónico. Si Y es un operador

unitario sobre Z , mostrar que la matriz de Y en relación a la base ordenada canónica es -9= )  =/8 ) -9= ) =/8 ) ,o, ” ” =/8 ) • -9= ) =/8 )  -9= ) • para algún ), ! Ÿ )  #1. Sea Y) el operador lineal correspondiente a la primera matriz, esto es, Y) es una rotación de un ángulo ). Ahora es posible convencerse de que todo operador unitario sobre Z es una rotación o una reflección al eje "" seguida de una rotación. +Ñ ¿Qué es Y) Y 9? ,Ñ Mostrar que Y)‡ œ Y) -Ñ Sea 9 un número real fijo e µ œ Öα" ß α# × la base ortonormal obtenida girando Ö%" ß %# × un ángulo 9, esto es, α4 œ Y9 %4 . Si ) es otro número real, ¿cuál es la matriz de Y) en relación a la base ordenada µ?

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SOLUCIÓN. Z œ ‘# , Y À Z

unitario Y ‡ Y œ M . Como Z es real, Y va a ser que hallar Y tal que Y > Y œ M ,o E tal que E> E œ M . + , Eœ ” donde +#  , # œ ". Entonces existe ) , , +• , œ =/8 )ß luego  =/8 ) -9= ) =/8 ) ,o, ” • -9= ) =/8 )  -9= ) • -9= )  =/8 ) " Y) /" œ ” † ” • œ -9= )ß =/8 ) • =/8 ) -9= ) ! -9= )  =/8 ) ! Y) /# œ ” † ” • œ -9= )ß =/8 ) • =/8 ) -9= ) " donde Y) da una rotación de un ángulo ) con los ejes -9= ) =/8 ) " Y) /" œ ” † ” • œ -9= )ß =/8 ) • =/8 ) --9= ) ! Y) /# œ =/8 )ß  -9= ) " ! Luego Y) es la reflección ” en relación a /" y la !  "• -9= )  =/8 ) rotación ” œ Y) de donde =/8 ) -9= ) • -9= )  =/8 ) " ! Y ) œ ” œ Y ) ‰ Y ) •” =/8 ) -9= ) !  "• -9= )  =/8 ) -9= 9  =/8 9 +Ñ Y) Y9 œ ” œ =/8 ) -9= ) •” =/8 9 -9= 9 • -9= )-9=9  =/8)=/89  -9=)=/89  =/8)-9=9 œ” œ =/8)-9=9  -9=)=/89  =/8)=/89  -9=)-9=9 • -9= )  9  =/8 )  9 œ” œ Y ) 9 =/8 )  9 -9= )  9 • ,Ñ Y)‡ œ Y) , Y)‡ Y) œ Y) Y)‡ œ M de donde " ! Y ) Y ) œ Y )  ) œ Y ! œ ” œM ! "• -Ñ 9 − ‘ß sea µ œ Öα" ß α# × una base donde α" œ Y9 /" ß α# œ Y 9 /# siendo % œ Ö/" ß /# × la base canónica, entonces -9= 9  =/8 9 , ahora ÒY) Óµ œ T " ÒY9 Ó% T , donde ÒY9 Ó% œ ” =/8 9 -9= 9 •

Z ortogonal, esto es tenemos + , Tomemos E œ ” , o , +• ! Ÿ ) Ÿ #1 tal que + œ -9= ), -9= ) ” =/8 )

#

α" œ Y9 /" œ -9=9 /"  =/89 /# œ

T3" /3 3œ" #

α# œ Y9 /# œ  =/89 /"  -9=9 /# œ Por lo tanto …

T3# /3 3œ"

T œ T34 œ ”

-9=9 =/8 9

 =/8 9 -9= 9 y T " œ ” -9= 9 •  =/8 9

=/8 9 -9= 9 •

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76.Sea

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Z un espacio de dimensión finita con producto interno y sea [ un

subespacio de Z Þ Entonces Z œ [ Š [ ¼ , esto es, cada α en Z puede ser expresado de una única manera bajo la forma α œ "  # , con " en [ y # en [ ¼ Þ Definamos un operador lineal Y por Yα œ "  # . + Demostrar que Y es auto-adjunto y unitario. , Si Z es ‘$ con el producto interno canónico y [ es el subespacio generado por "ß !ß " ß encontrar la matriz de Y en relación a la base ordenada canónica. SOLUCIÓN. + Notemos que Y " α œ "  # œ Yα pues Y Yα œ Y "  # œ "   # œ "  # œ α Sean α" œ ""  #" y α# œ "#  ## , entonces tenemos  Y α " ß α #  œ  ""  # " ß " #  # #  œ  " " ß " #    # " ß " #    " " ß # #    #" ß ##  œ  "" ß " #    # " ß # #  Å  "3 ß #3  œ ! •  #3 ß "3  œ !

Análogamente  α " ß Y α #  œ  ""  # " ß " #  # #  œ  " " ß " #    # " ß # #  Luego  Y α" ß α #  œ  α " ß Y α #  Ê Y œ Y ‡ " Pero Y œ Y de donde Y ‡ œ Y " y entonces Y ‡ Y œ Y Y ‡ œ M , o sea Y es unitario. , [ œ Ò "ß !ß " Ó œ Ò/"  /$ Ó [ ¼ œ Ò !ß "ß ! ß "ß !ß  " Ó œ Ò/# ß /"  /$ Ó α œ B" /"  B# /#  B$ /$ œ -" /"  /$  -# /#  -$ /"  /$ œ - "  - $ /"  - # / #  - "  - $ / $ por lo tanto, B" B$ $ $ -"  -$ œ B" ß -# œ B# ß -"  -$ œ B$ Ê -" œ B" B œ B" B # ß -# œ B # ß -$ œ B "  # # Entonces −[ − [¼ èëëëëëëéëëëëëëê èëëëëëëëëëëéëëëëëëëëëëê B" B$ B" B# α œ Ò # ðóñóò /"  /$ Ó  ðóóóóóóóóóóñóóóóóóóóóóò ÒB# /#  # /"  /$ Ó , así

luego

ˆ B#" 

B$ #

$ $ Yα œ "  # œ B" B /"  /$  B# /#  B" B /"  /$ œ # # B$ ‰ B B B" B B $ $ " "‰ ˆ  #  # /"  B # / #  #  #  #  # / $ œ B $ / "  B # / #  B " / $ Y /" œ /$ ß Y /# œ  / # ß Y /$ œ /"

ÒY Óµ œ …

77.Sea Z

œ#

œ"

Ô! ! Õ"

! " !

"× ! !Ø

un espacio complejo interno con producto interno y X un operador lineal auto-adjunto sobre Z . Mostrar que + mα  3X αm œ mα  3X αm para todo α en Z Þ

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, α  3X α œ "  3X " ß si y solamente si, α œ " . - M  3X es no singular.

. M  3X es no singular.

/ Supongamos que Z sea de dimensión finita; demostrar que Y œ M  3X M  3X

es un operador unitario; Y es denominado una transformada de Cayley de X . En cierto sentido, Y œ 0 > , donde 0 B œ "3B "3B Þ # SOLUCIÓN. + mα  3X αm œ  α  3X αß α  3X α  œ œ  αß α   3  αß X α   3  αß X α   33  X αß X α  œ œ  αß α   3  αß X α   3  αß X α    X αß X α  œ œ  αß α    X αß X α  " # mα  3X αm œ  α  3X αß α  3X α  œ œ  αß α   3  αß X α   33  X αß X α   3  αß X α  œ œ  αß α   3  αß X α   3  αß X α    3 3  X αß X α  œ œ  αß α    X αß X α  # De " y # tenemos + , α  3X α œ "  3X " Ê α  " œ 3X "  3X α œ 3X "  α ß y ß α  "  3X α  " œ ! Por la parte + tenemos ! œ mα  "  3X α  " m# œ  α  "  3X α  " ß α  "  3X α  "  œ " œ  α  " ß α  "    3X α  " ß 3X α  "  œ mα  " m#  m3X α  " m# œ œ mα  " m#  mX α  " m# Í α œ " - Por , tenemos α  3X α œ "  3X " Í α œ " por lo tanto α  3X " œ !  3X ! Í α œ ! y entonces M  3X es no singular (ya que es inyectiva) + . m M  3X αm œ mα  3X αm œ mα  3X αm œ m M  3X αm œ ! Í α œ ! Luego M  3X es singular. / Notemos que Y ‡ œ Ò M  3X " Ó‡ M  3X ‡ œ M  3X " M  3X y que M  3X M  3X œ M  X # Ê M  3X M  3X œ M  3X M  3X œ M  3X M  3X œ M  X # luego Y ‡ Y œ M  3X " M  3X M  3X M  3X " œ M  3X " M  3X M  3X M  3X " œ MÞ … 78.Si ) un espacio real, demostrar que las matrices siguientes son unitariamente equivalente. -9= )  =/8 ) /3) ! , ” =/8 ) • ” -3) • -9= ) ! / 3) G" œ / G# œ /3) SOLUCIÓN. Tenemos -9= )  =/8 ) B E α œ G" α Ê ” œ /3) Bß C =/8 ) -9= ) •” C • Ê B-9= )  C=/8 ) œ /3) B œ -9= ) † B  3=/8 ) † B B=/8 )  C-9= ) œ /3) C œ -9= ) † C  3=/8 ) † C

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ʜ

 C=/8 ) œ 3B=/8 ) Ê B œ 3C Ê Z" œ Ò "ß  3 Ó B =/8 ) œ 3C =/8 ) Ê C œ  3B -9= )  =/8 ) B E α œ G# α Ê ” œ /3) Bß C =/8 ) -9= ) •” C • B-9= )  C=/8 ) œ B/3) œ B -9= )  3B =/8 ) Êœ B =/8 )  C -9=) œ C/3) œ C-9= )  3C =/8) C =/8 ) œ 3B =/8 ) Ê C œ 3B Êœ Ê Z# œ Ò "ß 3 Ó B =/8 ) œ  3C=/8 ) Ê B œ  3C " " entonces T w œ ” como l+l#  l,l# œ " entonces 3 3• T œ T‡ œ

È# " # ”"

3 ,  3•

Ô Õ

È# # È  3 ##

È# # È# 3 #

× Ø

œ

È# # ”

" T ‡ T œ "# ” 3

" 3

" 3•

" " 3 •” "

3 # ! œ "# ” œM • 3 ! #•

luego T es unitaria. " 3 -9= )  =/8 ) " " T ‡ ET œ "# ” œ •” • ” "  3 =/8 ) -9= )  3 3• -9= )  3=/8)  =/8 )  3-9=) " " œ "# ” œ -9=)  3=/8 )  =/8 )  3-9= ) •”  3 3 • -9= )  3=/8)  3=/8)  -9=) -9=)  3=/8)  3=/8 )  -9=) œ "# ” œ -9=)  3=/8 )  3=/8)  -9=) -9=)  3=/8)  3=/8 )  -9= ) • # -9=)  3=/8) ! /3) ! œ "# ” œ œF ! # -9=)  3=/8) • ” ! /3) • …

79.Sea

Z un espacio de dimensión finita con producto interno y X un operador

lineal positivo sobre Z . Sea TX el producto interno sobre Z definido por TX αß " œ X αß " . Sea Y un operador lineal sobre Z y Y ‡ su adjunto en relación a ß . Demostrar que Y es unitario en relación al producto interno TX si y solamente si X œ Y ‡ X Y Þ SOLUCIÓN. Ê ) Si Y es unitario entonces TX œ  Yα ß Yα  œ TX αß α ß en efecto, TX  Yα ß Yα  œ  X Yα ß Yα  œ  Yα ß X Yα  œ  αß Y ‡ X Yα  ðóóóóóñóóóóóò Å ll

X /= :9=3>3@9

TX αß α œ  X αß α  œ  αß X α  Ê  αß X α  œ  αß Y ‡ X Y α  ß aα − Z Ê X œ Y ‡ X Y ‡ ‡ É ) Si X œ Y X Y entonces  α,Y X Y α  œ  αß X α  , aα − Y o sea TX  Y αß Y α  œ TX  αß α  , aα − Z Luego Y es unitario. …

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80. Sea Z

un espacio de dimensión finita con producto interno. Para cada par α, " en Z . Sea Xαß" el operador lineal sobre Z definido por Xαß" # œ # ß " αÞ Mostrar que + Xα‡ß" œ X"ßα à , > œ

" " È# ” "

" " •

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" T >T œ ” !

! œ M , de donde T es ortogonal y "• " " " " " " ! ! ! ! T > ET œ È"# È"# ” œ " œ œ HÞ " " •” " " •”  " " • # ” ! % • ” ! # • " # , Eœ” œ E> , ÒX Ó% œ E # "• B" # ./> BM  E œ º œ B#  #B  "  % œ B#  #B  $ œ B  $ B  "  # B  "º " # B -" œ  "ß - # œ $, X "" œ -" "" Ê ” œ  Bß C # " •” C • luego B  #C œ  B œ #B  C œ  C Ê B œ  C así "" œ ",  " , α" œ m"""" m œ È"# "ß  " de donde

" X "# œ -# "# Ê ” #

# B B  #C œ $B œ $ Bß C Ê œ " •” C • #B  C œ $C

"# œ "ß "

,

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œ

" È#

"ß "

" ! œH ! $• " " " " y para T œ È"# ” , T > œ È"# ” , tenemos • " " " " • " " " # " " " " " " # ! " ! T > ET œ "# ” œ " œ " œ " " •” # " •”  " " • # ” $ $ •”  " " • # ” ! '• ” ! $• -9= ) =/8 ) - Eœ” =/8 )  -9= ) • B  -9= )  =/8 ) aquí E œ E> , ÒX Ó% œ Eß ./> BM  E œ º  =/8 ) B  -9= ) º œ B#  -9=# )  =/8# ) œ B#  " œ B  " B  " Ê -" œ "ß -# œ  ". Ahora -9= ) =/8 ) B -9= ) † B  =/8 ) † C œ B ” =/8 )  -9= ) •” C •= Bß C Ê œ =/8 ) † B  -9= ) † C œ C 3 Si =/8 ) œ !, tenemos -9= ) œ " y entonces en la segunda ecuación tendríamos  C œ C Ê C œ ! y entonces "" œ "ß ! œ α" =/8 ) ) =/8) ‰ ˆnote que "-9= 33 Si =/8 ) Á ! Ê -9= ) Á „ " entonces C œ "-9= y )B =/8) œ "-9=) " =/8 ) " tenemos "" œ ˆ"ß "-9=) ‰ , α" œ m"" m -9= ) =/8 ) B -9= ) † B  =/8 ) † C œ  B X "# œ -# "# Ê ” =  Bß C Ê œ =/8 )  -9= ) •” C • =/8 ) † B  -9= ) † C œ  C 333 Si =/8) œ ! entonces -9=) œ " y en la primera ecuación tenemos B œ  B Ê B œ ! en esta forma "# œ !ß " œ α" =/8) 3@ Si =/8) Á ! entonces -9= ) Á „ " y entonces C œ -9= )" Tomando µ œ Öα" ß α# × y entonces

ÒX Óµ œ ”

"# m"# m

ÊBœC

Darío Sánchez H

ˆnote que

72

EPKIFVE PMR IEP

=/8) -9=)"

œ 

-9=)" ‰ =/8)

=/8) ‰ y entonces "# œ ˆ"ß -9= )" , α# œ

"# m"# m

Combinando 3 y 333 tenemos µ œ Ö "ß ! ß !ß " × ,o, µ œ Ö !ß " ß "ß ! × Considerando 33 y 3@ tenemos µ œ Öα" ß α# × donde α" œ m"""" m ß α# œ m""## m ß siendo =/8) ‰ =/8) ‰ "" œ ˆ"ß "-9= "# œ ˆ"ß -9= ) , )" . …

82.¿ Una matriz simétrica compleja es autoadjunta? ¿Es normal? SOLUCIÓN.

+ Una matriz compleja simétrica puede no ser autoadjunta, como en el 3 ! siguiente caso de la matriz E œ ” œ E> y sin embargo ! 3• 3 ! E‡ œ ” ÁE !  3• , Una matriz compleja simétrica puede no ser normal pues si tomamos 3 " 3 " Eœ” œ E> y E‡ œ ” tenemos • " ! " !• Ú Ý Ý E‡ E œ ”  3 " •” 3 " • œ ” #  3 • " ! " ! 3 " Ê E‡ E Á EE‡ Û 3 "  3 " # 3 Ý Ý EE‡ œ ” œ Ü " ! •” " !• ”  3 !• … Ô" # $× 83.Para E œ # $ % existe una matriz ortogonal real T tal que T > ET œ H sea Õ$ % &Ø diagonal. Determinar esta matriz diagonal. SOLUCIÓN.-Notemos primero que E œ E> Þ Entonces existe T ortogonal tal que T > ET œ H es diagonal. Sea 0 œ Ö/" ß /# ß /$ × la base canónica para la cual ÒX Ó0 œ E. Ô -" ! ! × Hallemos µ œ Öα" ß α# ß α$ × base ortonormal tal que ÒX Óµ œ ! -# ! Õ ! ! -$ Ø â â # $ â âB  " â â  % â œ B  " B  $ B  &  "'  #  # B  &  "# ./> BM  E œ â  # B  $ â â  % B  &â â $ $ )$ B$

Luego …

84. Sea

œ B$  *B#  'B œ B B#  *B  ' œ BŠB 

Ô! Ö H œ Ö! Õ!

!

!

!

*È"!& #

*È"!& #

!

× Ù Ù

*È"!& ‹ŠB #



*È"!& ‹ #

Ø

Z el espacio ‚# con el producto interno canónico. Sea X un espacio

vectorial sobre Z que es representado en relación a la base ordenada canónica por

Darío Sánchez H

EPKIFVE PMR IEP

73

la matriz E œ ”

" 3 . Mostrar que X es normal y determinar una base ortonormal 3 "• de Z constituida de vectores característicos de X Þ " 3 " 3 ÒX Ó0 œ ” œ Eß E‡ œ ” , SOLUCIÓN. • 3 " 3 " • teniéndose " 3 " 3 # ! E‡ E œ ” œ 3 " •” 3 " • ” ! # • " 3 " 3 # ! EE‡ œ ” œ” , •” • 3 " 3 " ! #• entonces E es normal, de donde X es normal. Hallemos µ œ Öα" ß α# × base ortonormal de ‚# tal que X α3 œ -3 α3 esto es cada α3 es un vector característico de X . È B" 3 ./> BM  E œ º œ B#  #B  # œ ! entonces B œ #„ #%) œ " „ 3 º 3 B" de donde -" œ "  3ß -# œ "  3 " 3 B X "" œ -" "" Ê ” œ "  3 Bß C 3 " •” C • de donde se obtiene el siguiente sistema B  3C œ B  3B "" " œ 3B  C œ C  3C Ê B œ C de donde "" œ "ß " y α" œ m"" m œ È# "ß " " 3 B X "# œ -# "# Ê ” œ "  3 Bß C , 3 " •” C • por lo tanto B  3C œ B  3B "# " œ 3B  C œ C  3C Ê B œ  C, de donde "# œ "ß  " y α# œ m"# m œ È# "ß  " luego µ œ Ö È"# "ß " ß È"# "ß  " ×Þ …

85.Sea

X un operador normal sobre un espacio complejo de dimensión finita con

producto interno. Demostrar que X es autoadjunto positiva o unitaria según que todo valor característico de X sea real positivo o de valor absoluto uno. SOLUCIÓN. + Todo valor característico de X es real, entonces X œ X ‡ . Como X es normal, existe µ œ Öα" ß á ß α8 × base ortonormal de Z donde cada vector Ô -" á ! × característico de X o sea ÒX Óµ œ ã ä ã donde cada -3 es un valor Õ ! á -8 Ø característico de X Þ Por el resultado % del numeral *" de los resultados básicos, todo vector característico α3 de X corresponde a un valor característico -3 , es también vector característico de X‡ correspondiente al valor característico -3 ‡ X α3 œ - 3 α3 Ê X α 3 œ - 3 α 3 . Entonces

Darío Sánchez H

74

EPKIFVE PMR IEP

Ô -" ÒX Óµ œ ã Õ!

á ä á

‡

!× ã , pero -3 − ‘ Ê - 3 œ -3 -8 Ø

luego X ‡ œ X . , -3  ! Ê X es positivo. Falta apenas mostrar que  X αß α   !ß aα − Z 8

αœ

B3 α3 ß entonces  X αß α  œ  X

3œ" 8

œ

B3 3œ"

8

8

B4  X α3 ß α4  œ 4œ"

8

8

B3 α3 ß 3œ"

4œ"

8

B3 3œ"

8

B 3 X α3 ß 3œ"

8

B4  - 3 α3 ß α4  œ

4œ"

pues -3  !. - Si l-3 l œ " entonces l-3 l# œ ", entonces # Ô - " á ! ×Ô -" á ! × Ô l-" l ã ä ã œ ã ÒX ‡ X Óµ œ ã ä ã Õ ! á - 8 ØÕ ! á -8 Ø Õ ! Luego X es unitario. …

86.Sea

8

B 4 α4  œ 

á ä á

B 4 α4  œ 4œ" 8

B3 B3  -3 α3 ß α3  œ 3œ"

! × Ô" á ã œ ã ä Õ! á #Ø l-8 l

-3 lB3 l#  !

3œ"

!× ã œM "Ø

X un operador lineal sobre un espacio de dimensión finita con producto

interno y supongamos que X sea positivo y unitario. Demostrar que X œ MÞ SOLUCIÓN. Por ser X positivo entonces X es autoadjunto, por el primer enunciado del numeral *" de los resultados básicos, existe una base µ œ Öα" ß á ß α8 × ortonormal tal que X α3 œ -3 α3 entonces Ô -" á ! × ÒX Óµ œ ã ä ã œ ÒX ‡ Óµ ß pues X œ X ‡ . Õ ! á -8 Ø Por ser X œ X ‡ unitario tenemos X X ‡ œ X ‡ X œ M y entonces # Ô -" á ! × Ô " á ! × ã ä ã œ ã ä ã ß o sea -3# œ " Ê -3 œ „ " , a3Þ Õ ! á -# Ø Õ ! á " Ø 8 Ahora por ser X positivo  X α3 ß α3   !, a3, o sea  -3 α3 ß α3   ! ß 0, -3  α3 ß α3  œ -3 † "  !. Entonces -3 œ ", a3, luego Ô" á !× ÒX Óµ œ ã ä ã Õ! á "Ø y entonces X œ M . … 87.Dar un ejemplo de una matriz # ‚ # E tal que E# sea normal pero E no sea normal. SOLUCIÓN. ¼ ! ! ! ! ! 3 ‡ Eœ” ß E œ” œ” • • 3 ! 3 ! ! ! •

Darío Sánchez H

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EPKIFVE PMR IEP

E‡ E œ ”

entonces Ahora

! 3 ! ! " ! œ” •” • ! ! 3 ! ! !• ! ! ! 3 ! ! EE‡ œ ” œ 3 ! •” ! ! • ”! "• EE‡ Á E‡ E y en esta forma E no es normal. ! E# œ ” !

En esta forma Luego E# es normal. …

88.Demostrar que

E#

! Ê E# !• ‡

‡

œ”

E# œ E# E#

! !

! !•

‡

X es normal si y solamente si X œ X"  3X# donde X" y X# son

operadores autoadjuntos que conmutan. SOLUCIÓN. X ‡ X œ X"  3X# ‡ X"  3X# œ X"‡  3X#‡ X"  3X# œ X"‡ X"  3X#‡ X"  3X# X"‡  X#‡ X# œ œ X"#  3X# X"  3X" X#  X## œ X"#  X## . X X ‡ œ X"  3X# X"  3X# ‡ œ X"  3X# X"‡  3X#‡ œ X" X"‡  3X# X"‡  3X#‡ X"  X# X#‡ œ œ X"#  3X# X"  3X# X"  X## œ X"#  X## . Luego X ‡ X œ X X ‡ y X es normal. Escribimos ahora X œ X"  3X# , donde X" œ "# X  X ‡ , X# œ #3" X  X ‡ Tenemos X"‡ œ "# X ‡  X œ X" X#‡ œ  #3"  X  X ‡ œ #3" X  X ‡ œ X# luego X" y X# son autoadjuntos. X" X# œ %3" X  X ‡ X  X ‡ œ %3" ˆX #  X ‡ X  X X ‡  X ‡ # ‰ œ %3" ˆX #  X ‡ # ‰ X# X" œ %3" X  X ‡ X  X ‡ œ %3" ˆX #  X X ‡  X ‡ X  X ‡ # ‰ œ %3" ˆX #  X ‡ # ‰ En esta forma X" y X# conmutan. … 89.Demostrar que una matriz simétrica real posee una raíz cúbica simétrica real; esto es, si E es simétrica real, existe una matriz F simétrica real tal que F $ œ EÞ SOLUCIÓN. Por el numeral *"Þde los resultados básicos, tenemos que existe una matriz real T unitaria T > T œ M tal que Ô -" á ! × T > ET œ ã ä ã œ diagonal, donde -3 − ‘Þ Õ ! á -8 Ø Entonces " E œ T > HT " " Tomemos

Darío Sánchez H

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EPKIFVE PMR IEP $ -" ÔÈ Ö ã Iœ Õ !

! × ã Ù Ê I$ œ H $ È -8 Ø

á ä á

#

Tómese F œ T > IT " , entonces " " " " F # œ T > IT " T > IT " œ T > I T > T IT " œ T > Ahora # " " " F $ œ T > I $ T " œ T > HT " œ E … "

"

I # T "

90.Demostrar que toda matriz positiva es el cuadrado de una matriz positiva.

SOLUCIÓN. Si E es positiva, entonces E œ E‡ y resulta normal. Entonces estudiando

el numeral *" de los resultados básicos Ô -" á unitaria T ‡ tal que T ‡ ET œ H œ ã ä Õ! á Ahora

se sigue la existencia de una matriz !× ã œ diagonal. -8 Ø

E œ E‡ Å

H œ T ET œ T E T œ T ‡ ET œ H Ê - 3 œ -3 , a3 y entonces -3 − ‘, a3Þ Pero si E es positiva, H también es positiva, dado que si α Á ! entonces T α Á ! así ‡

‡

‡

‡

‡

Tα Á ! Æ

 Hαß α  œ  T ET αß α  œ  ET αß T α   !. ‡

Luego

8 Ô -" á ! ×Ô B" × Ô B" × Ô -" B" × Ô B" × ã ß ã ã  ã ä ã  œ  ß ã  œ - 3 B3 B3  ! 3œ" Õ ! á -8 ØÕ B8 Ø Õ B8 Ø Õ -8 B8 Ø Õ B8 Ø para todo B" ß á ß B8 − ‚8 con algún B3 Á !. Tenemos !ß á ß "ß á ß ! − ‚8 y entonces -3 " † "  ! de donde -3  !, a3 . Luego È-3 existe y entonces tenemos la matriz ! × Ô È -" á " Ö ã ä ã Ù Ê I# œ H Iœ y tomando F œ T > IT " tenemos Õ ! á È -8 Ø

F # œ T > I # T " œ T > HT " œ E. F es positiva puesto que T > FT œ I es positiva. … "

91ÞDemostrar nulo.

"

que si un operador es normal y nilpotente entonces es el operador

Darío Sánchez H

EPKIFVE PMR IEP

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SOLUCIÓN. Como X es normal entonces existe una base µ={α" ß á ß α8 } ortonormal

Ô -" á ! × donde X α3 œ -3 α3 y ÒX Óµ œ ã ä ã . Si X es nilpotente entonces X 8 œ ! y Õ ! á -8 Ø 8 Ô -" á ! × también H8 œ !ß o sea ã ä ã œ ! Ê -38 œ !a3, de donde -3 œ ! a3 ß Õ ! á -8 Ø 8 así ÒX Óµ œ ! Í X œ !. …

92ÞSi

X es un operador normal, demostrar que los vectores característicos de X

asociados a valores característicos distintos son ortogonales. X α œ -3 α SOLUCIÓN. œ X " œ - " con -3 Á -4 . Si X es normal entonces existe una base 4 Ô -" á ! × ortonormal µ tal que ÒX Óµ œ H œ ã ä ã . Õ ! á -8 Ø Si α Á !ß " Á ! y X -3 M α œ ! respectivamente X -4 M " œ ! , α − Ker X  -3 M œ  α3  respectivamente " − Ker X  -4 M œ  α4  Í α œ -3 α3 respectivamente " œ -4 α4 y entonces  α,"  œ  -3 α3 ß -4 α4  œ -3 -4  α3 ß α4  œ !. … 93Þ Sea X un operador normal sobre un espacio complejo de dimensión finita con producto interno. Demostrar que existe un polinomio 0 , con coeficientes complejos, tales que X ‡ œ 0 X . SOLUCIÓN. Como X es normal, existe una base µ œ Öα" ß á ß α8 × ortonormal tal que Ô -" á ! × ÒX Óµ œ ã ä ã , donde, X α3 œ -3 α3 y X ‡ α3 œ - 3 α3 Õ ! á -8 Ø Supóngase que 0 œ +!  +" B  â  +5 B5 y que además 0 X œ +! M  + " X  â  + 5 X 5 œ X ‡ Þ Entonces debemos tener 0 X α3 œ X ‡ α3 , o sea + ! α3  + " X α 3  â  + 5 X 5 α 3 œ - 3 α 3 y entonces +! α3  +" -3 α3  â  +5 -35 α3 œ - 3 α3 Í ˆ+!  +" -3  â  +5 -35 ‰α3 œ - 3 α3 ß a α3 − µ , de donde +!  +" -3  â  +5 -35 œ - 3 ß 3 œ "ß #ß á ß 8. Luego 0 œ

8

03 3œ"

donde

03 -3 œ - 3 y 03 -4 œ ! ß 3 Á 4.

Darío Sánchez H

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EPKIFVE PMR IEP

Por consiguiente 03 œ

Comprobación:

s 3 â B-8 B-" â Bs 3 â -3 -8 -3 -" â -3 -

8

0 X α4 œ

8

0 3 X α4 œ 3œ"

- 3 œ # -3 -44 - 3 y 0 œ

8

B-

4Á3

03 3œ"

0 3 - 4 α4 œ 0 4 - 4 α4 œ - 4 α 4 œ X ‡ α 4

3œ"

Luego …

X‡ œ 0 X .

SOLUCIÓN.

Lema: Si Y X œ X Y y Y , X son normales, entonces X ‡ Y œ Y X ‡ y

94.Si dos operadores normales conmutan, demostrar que su producto es normal. Y ‡X œ X Y ‡Þ Por el resultado anterior tenemos X ‡ œ 0 X ß Y ‡ œ 1 Y , entonces X ‡Y œ 0 X Y œ Y 0 X œ Y X ‡ Y ‡X œ 1 Y X œ X 1 Y œ X Y ‡ Entonces ‡

‡

X ‡X œ X X ‡ Æ

‡

‡

P/7+ Æ

‡

P/7+ ‡ Æ

‡

Y ‡Y œ Y Y ‡ ‡ Æ

X Y X Y œ Y X X Y œ Y X X Y œ Y X Y X œ X Y Y X œ X Y Y ‡X ‡ œ X Y X Y Luego X Y es normal. En forma análoga Y X resulta normal. …

95.Sea

‡

‡

Z un espacio de dimensión finita con producto interno. Si X y Y son

operadores positivos sobre Z , entonces X  Y es también un operador positivo. Dar un ejemplo en el cual se muestre que X Y no necesariamente es positivo. sea α Á ! entonces, SOLUCIÓN. + Por hipótesis X ‡ œ X y Y ‡ œ Y ,  X  Y αß α  œ  X α  Y αß α  œ  X αß α    Y αß α   ! Además X  Y ‡ œ X ‡  Y ‡ œ X  Y Ú Ý ÝX œ ”# #• Ê X‡ œ X # # , Sea Û ß pero X Y ‡ œ Y ‡ X ‡ œ Y X Á X Y 3 Ý ÝY œ ” " Ê Y‡ œ Y Ü  3 "• además X Y no es positivo. … 96.La suma de dos operadores normales puede no ser normal. X Bß C œ Bß ! y Y Bß C œ  Cß B ß entonces X y Y son SOLUCIÓN. Tomemos normalesß pues X "ß ! œ "ß ! œ " † "ß !  ! † !ß " " ! Ê ÒX Óµ œ ” œ ÒX ‡ Óµ œ X !ß " œ !ß ! œ ! † "ß !  ! † !ß " ! !• " ! Además X ‡ X œ X X ‡ œ ” ! !• Y "ß ! œ !ß " œ ! † "ß !  " † !ß " ! " ! " Ê ÒY Óµ œ ” y ÒY ‡ Óµ œ ” œ Y !ß " œ  "ß ! œ  " † "ß !  ! † !ß " • " ! " !• teniéndose

Darío Sánchez H

EPKIFVE PMR IEP

! " ! " " ! ! " ! Y ‡Y œ ” œ” , y , YY‡ œ ” •” • • •” " ! " ! ! " " ! " ‡ ‡ así Y Y œ Y Y . Ahora " " " " X Y œ” , y, X Y ‡ œ” • " !  " !• " " " " # " X Y X Y ‡ œ” œ " ! •”  " ! • ” " " • " " " " # " X Y ‡ X Y œ” œ” •” • " ! " ! " " • Se sigue entonces que X  Y no es normal. …

97.Sea

79

" " ! œ” • ! ! "•

Z un espacio con producto interno. Una proyección I sobre Z se dice

perpendicular si y solamente si V I y R I son subespacios ortogonales. Demostrar que I es perpendicular si y sólo si I œ I ‡ SOLUCIÓN. É Ñ α − V I ß " − R I Ê I α œ α  αß "  œ  I αß "  œ  αß I ‡ "  œ  αß I "  œ  αß !  œ ! Ê Ñ  I αß "  œ  I αß I "  M  I "  œ  I αß I "  œ  αß I "  Ê I œ I ‡Þ … Ô" ! !× 98.Dada la matriz E œ " " ! Þ Mostrar que existe F tal que F# œ EÞ Õ! " "Ø SOLUCIÓN. Ô" ! !× Ô" ! !× Ô! ! !× E œ " " ! œ ! " !  " ! ! œ M  R donde R es nilpotente, entonces Õ! " "Ø Õ! ! "Ø Õ! " !Ø ! !× Ô " " " # " ! ! ß yß F # œ E. F œ M  #R  )R œ " " Õ "Ø

…

)

#

99.Cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles falsas, justifique

sucintamente las respuestas falsas. + En un espacio vectorial complejo de dimensión finita con producto interno los operadores diagonalizables coinciden con los operadores normales. , En un espacio vectorial complejo de dimensión finita con producto interno, sea X un operador lineal en Z y µ una base de Z . Entonces ÒX ‡ Óµ œ ÒX Ó‡µ . - En un espacio vectorial complejo de dimensión finita y X ß W dos operadores lineales en Z . Entonces X y W son semejantes si y sólo si tienen los mismos polinomios característicos y mínimos.

Darío Sánchez H

80

EPKIFVE PMR IEP

. En un espacio vectorial complejo de dimensión finita con producto internoß Un

operador lineal Z en Z es normal si y sólo si X œ : X ‡ , donde : es el polinomio minimal. / En un espacio vectorial complejo de dimensión finita con producto interno, dos operadores normales X y W conmutan si y sólo si existen un tercer operador normal Y y dos polinomios > y = tales que X œ > Y ß W œ = Y SOLUCIÓN. + Falso - Pueden existir operadores lineales diagonalizables según bases ortonormales lo cual ocasiona que ellos no sean normales. Por ejemplo sea Z œ ‚# con el producto interno canónico y con la base µ œ Ö "ß ! ß "ß " ×. Sean [ ß ^ los subespacios generados por "ß ! y "ß " respectivamente, sea I la proyección sobre [ de ^ . I no es proyección ortogonal luego es no normal y además " ! o sea I es diagonal. Iµ œ ” ! !• , Falso - La igualdad sólo es válida para bases ortogonales. - Falso - Dos operadores X y W pueden tener los mismos polinomios característicos y minimal, no obstante presentan formas canónicas de Jordan diferentes. Por ejemplo sean X y Y operadores lineales tales que sus formas canónicas de Jordan son Ô ” -" ! • × Ô ” -" ! • × ! ! Ö " -" Ù Ö " -" Ù ÒX Óµ œ Ö Ù, y, ÒY Óµ œ Ö Ù -" ! -" ! ! ! ” ! - •Ø ” " - •Ø Õ Õ " " Teniéndose que

:96Þ-+ÞX œ B  -" % y :96Þ738ÞX œ B  -" # :96Þ-+ÞY œ B  -" % y :96Þ738ÞY œ B  -" # X y Y no son semejantes por presentar formas canónicas de Jordan distintas sin embargo tienen los mismos polinomios característicos y minimales. . Verdadero lea los resultados básicos numeral *"Þ / Verdadero lea los resultados básicos numeral *"Þ …

100.Sea X

un operador lineal en un espacio vectorial Z de dimensión finita sobre un cuerpo J algebraicamente cerrado. En este caso su polinomio característico se escribe 0 B œ B  -" ." â B  -5 .5 con -" ß á -5 distintos, pertenecientes a J y ."  .#  â  .5 œ .37Z . Entonces el número de bloques elementales de dimensión < con -3 en la diagonal de su forma de Jordan y dado por 3

7< œ #.37a Ò X  -3 M < Ó  .37a Ò X  -3 M