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TOPOLOGIA GENERAL José Darío Sánchez Hernández Bogotá-Colombia, Junio del 2005

[email protected] [email protected] El objeto de estas notas es brindar al lector un modelo de aprendizaje. A continuación encontrará más de cien resultados básicos, entre los cuales se hallan definiciones, teoremas, corolarios y algunos ejemplos, es posible que encuentre la manera de volver a redactar algunos, entonces hágalo de forma que los pueda recordar después. Para las demostraciones es indispensable el uso de una biblioteca con un buen número de textos de topología general, en esta forma el estudiante utiliza tácticas de investigación y empleará la biblioteca. Luego encontrará resultados en donde se ha dado una posible demostración, la cual se supone es correcta, sin descartar la posibilidad de que haya algunos errores; el lector deberá revisarlas analizando cual de los resultados básicos se han utilizado en la prueba.

§1. RESULTADOS BASICOS 1Þ Una

métrica en un conjunto Q es una función . À Q ‚ Q d que asocia a cada par de puntos Bß C − Q un número real . Bß C llamado la distancia del punto B al punto C de tal modo que: ESM" . . Bß B œ !ß . Bß C  !ß si B Á C ESM# . . Bß C œ . Cß B ESM$ . . Bß D Ÿ . Bß C  . Cß D à cualquiera que sean Bß Cß D − Q Þ ì Un espacio METRICO es un par Q ß . formado por un conjunto Q y una métrica . en Q . ì Todo subconjunto \ de un espacio métrico Q posee una estructura natural de espacio métrico. Basta definir la distancia entre dos puntos Bß C − \ como la misma distancia entre ellos considerados como puntos de Q . La métrica así definida en \ se llama la METRICA INDUCIDA en \ por Q . ì Sea Q ß . un espacio métrico y E § Q no vacío, B − Q se define la distancia de B a E por . Bß E œ 380 Ö. Bß + à + − E× si B − E entonces . Bß E œ !Þ

2. Sea E un subconjunto no vacío de un espacio métrico Q . Cualesquiera que sean

se tiene l. Bß E  . Cß E l Ÿ . Bß C ì Cualesquiera sean Bß Cß D − Q , se tiene l. Bß D  . Cß D l Ÿ . Bß C ì Si E, F son dos subconjuntos no vacíos de Q , se define la distancia entre ellos por

Bß C − Q

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. Eß F œ 380 Ö. +ß , à + − Eß , − F× ì Una aplicación 0 À Q R de un espacio métrico Q en un espacio métrico R , se llama una inmersión isométrica cuando . 0 B ß 0 C œ . Bß C cualesquiera sean Bß C − Q . Si además, 0 es una aplicación de Q sobre R , entonces se dice que 0 es una isometría de Q sobre R , o una isometría entre Q y R .

ì En un espacio métrico Q ß . se denomina bola abierta con centro α − Q y radio <  !ß al siguiente subconjunto de Q U αß < œ ÖB − Q Î. +ß B  œ "> . ì Sean 0 ß 1 À Q d funciones reales continuas en un espacio métrico Q Þ La suma 0  1, la diferencia 0  1, y el producto 0 † 1 son funciones reales continuas en Q . Además de eso si \ § Q es el conjunto de los puntos B − Q tales que 1 B Á !, el cociente 01 es una función continua. ì Una aplicación 0 À \ Q" ‚ â ‚ Q8 de un conjunto \ en el producto cartesiano de los conjuntos Q" ß á ß Q8 equivale a dar 8 aplicaciones 0" À \ Q" ß á ß 08 À \ Q8 tales que 0 B œ 0" B ß á ß 08 B , B − \Þ Las aplicaciones 03 À \ Q3 se llaman las aplicaciones coordenadas de 0 .

4 . Sean

Q ß Q" ß Q# ß á ß Q8 espacios métricos. Una aplicación 0 À Q Q" ‚ Q# ‚ â ‚ Q8 es continua en el punto + − Q si y solamente si, cada una de las coordenadas 03 À Q Q3 es continua en el punto +. ì Sean 0 À Q T ß 1 À R U aplicaciones continuas. Entonces, la aplicación : À Q ‚ R T ‚ U definida por : Bß C œ 0 B ß 1 C es continua. ì Un HOMEOMORFISMO es una aplicación continua y biunívoca 0 À Q R de un espacio métrico Q sobre un espacio métrico R , tal que su aplicación inversa 0 " À R Q también es continua. En este caso, 0 " es un homeomorfismo. ì La compuesta de homeomorfismos también es un homeomorfismo. ì Si existe un homeomorfismo de Q sobre R , los espacios Q y R se dicen homeomorfos. ì La bola F +ß < de d 8 es homeomorfa a todo d 8 . Como la translación y las homotecias son homeomorfismos, basta observar que la bola F !ß " es B homeomorfa a d 8 , tomando 0 À F !ß " d 8 como 0 B œ "lBl ; la cual tiene a 1 À d8

F !ß " , donde 1 C œ

C "lCl ,

como inversa y 0 ß 1 son continuas. Lo mismo es

verdadero en un espacio vectorial normado I . ì Sea 0 À Q R una aplicación, el gráfico de 0 es K 0 œ Ö Bß 0 B à B − Q ×. Con la métrica inducida por Q ‚ R el gráfico K 0 es homeomorfo a Q Þ

5.Sean

. y . w métricas definidas en el mismo conjunto Q . Decimos que . es más fina que . w notamos este hecho por . ¢ . w cuando la aplicación 3. À Q ß . Q ß .w es continua. ì Sean . y . w métricas definidas en el mismo conjunto Q , . ¢ . w si y sólo si, para cada + − Q ß cualquier bola abierta de centro en + según . w contiene alguna bola abierta de centro + según .Þ ì Dos métricas .ß . w en el mismo conjunto Q se dicen equivalentes . µ . w cuando . ¢ . w y . w ¢ . . En otras palabras cuando la aplicación identidad

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3. À Q ß . Q ß .w es un homeomorfismo. ì Las métricas . y . w son equivalentes si y sólo si, toda bola abierta según una cualesquiera de esas métricas contiene otra bola de mismo centro según la otra métrica. ì Si existen números reales 7ß 8  ! tales que . Bß C Ÿ 8. w Bß C y . w Bß C Ÿ 7. Bß C cualesquiera sean los puntos Bß C − Q entonces las métricas . y . w son equivalentes. La recíproca de esta afirmación es falsa, para eso tome en d la métrica . w Bß C œ lB$  C$ lß . w es equivalente a la métrica usual de d y no existen 7ß 8 tales que . Bß C Ÿ 8. w Bß C y . w Bß C Ÿ 7. Bß C . ì Sean Q ß . y R ß ." espacios métricos y 0 À Q R una aplicación biunívoca. Sea . w la métrica inducida por 0 en Q , esto es, . w Bß C œ ." 0 B ß 0 C , Bß C − Q Þ Entonces . y . w son equivalentes si y sólo si, 0 es un homeomorfismo de Q sobre 0 Q . ì Sean Q ß . y R ß ." espacios métricos y 0 À Q R una aplicación biunívoca. La métrica definida en Q por 3 Bß C œ . Bß C  ." 0 B ß 0 C es equivalente a .Þ . BßC ì Sea Q ß . un espacio métrico. La métrica . w w Bß C œ ". nos da una prueba BßC de que todo espacio métrico es homeomorfo a un espacio métrico acotado, pues . w w Bß C  " cualquiera que sean Bß C − Q .

6. Sean

Iß J espacios vectoriales normados y 0 À I J una aplicación lineal. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 3) 0 es continua 33) 0 es continua en el punto ! − I 333) existe un número 7  ! tal que l0 B l Ÿ 7lBlß aB − I ì Una aplicación lineal biunívoca 0 À I J de I sobre J es un homeomorfismo si y sólo si, existen números reales 7  !ß 8  !, tales que 8lBl Ÿ l0 B l Ÿ 7lBl para todo B − IÞ ì Dos normas l l y l l" en un espacio vectorial I son equivalentes si y sólo si, existen números reales 7ß 8  ! tales que lBl Ÿ 8 † lBl" y lBl" Ÿ 7 † lBl cualquiera que sea B − I .

7. Un subconjunto E de un espacio métrico Q

se dice abierto si para cada + − E existe %  ! tal que si B − Q y . Bß +  % , entonces B − E. ì Toda bola abierta F +à < en un espacio métrico Q es un subconjunto abierto de Q . ì Indicaremos con µÐ\à Q Ñ œ Ö0 À \ Q à 0 \ es un conjunto acotado× con la métrica . 0 ß 1 œ supÞÖ. 0 B ß 1 B à B − Q ×ß siendo Q ß . un espacio métrico. ì Sean Q ß R espacios métricos, las aplicaciones de Q en R que estan a una distancia finita de 0 y que son discontinuas en un punto dado + − Q , forman un subconjunto abierto del espacio µ0 Q à R . ì Las aplicaciones discontinuas pertenecientes a µ0 Q à R forman un subconjunto abierto de este espacio.

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ì Sean Q un espacio métrico y \ § Q un subespacio. Un subconjunto Ew § \ es abierto en \ si y sólo si, Ew œ E ∩ \ß donde E es un subconjunto abierto de Q . ì Sea \ § Q abierto. Un subconjunto Ew § \ es abierto en \ si y sólo si Ew es abierto en Q .

8. Sean Q ß R espacios métricos. Para que una aplicación 0 À Q

R sea continua, es E de todo subconjunto abierto

necesario y suficiente que la imagen inversa 0 Ew § R , sea un subconjunto abierto de Q . ì Para que la aplicación 0 À Q R sea continua en un punto + − Q es necesario y suficiente que para cada abierto Ew § R , con 0 + − Ew , exista un abierto E § Q ß con + − Q tal que 0 E § Ew Þ ì Sean Q" ß á ß Q8 espacios métricos y E" § Q" ß á ß E8 § Q8 subconjuntos abiertos. Entonces E" ‚ E# ‚ â ‚ E8 es un subconjunto abierto del producto cartesiano Q" ‚ Q# ‚ â ‚ Q8 Þ ì Sean 0" ß á ß 08 À Q R aplicaciones continuas y +" ß á ß +8 − R . El conjunto de los puntos B − Q tales que 0" B Á +" ß á ß 08 B Á +8 es abierto en Q . Si 0" ß á ß 08 À Q d son funciones reales continuas el ÖB − Q à 0" B  !ß á ß 08 B  !× es aún un subconjunto abierto Q . ì Una aplicación 0 À Q R que transforma cada subconjunto abierto E § Q en un subconjunto abierto 0 E § R es llamada una aplicación abierta. ì Sean Q y R espacios métricos y 2 À Q R una aplicación biunívoca de Q sobre R . La condición necesaria y suficiente para que 2 sea un homeomorfismo de Q sobre R es: Para cada \ § Q ß 2 \ es abierto en R si y sólo si, \ es abierto en Q . ì Sean . y . w métricas en el mismo conjunto Q . Para que . y . w sean equivalentes es necesario y suficiente que los espacios métricos Q ß . y Q ß . w posean los mismos subconjuntos abiertos. ì Sea Q œ Q" ‚ â ‚ Q8 un producto cartesiano de espacios métricos. Cada proyección :3< À Q Q3 3 œ "ß #ß á ß 8 es una aplicación continua abierta. "

9.

w

Una topología en un conjunto \ es una colección T de subconjuntos de \

llamados abiertos (según la topología) satisfaciendo las siguientes condiciones ET" : \ y el subconjunto vacío ø son abiertos ET# : La reunión de una familia cualquiera de subconjuntos abiertos es un subconjunto abierto. ET$ : La intersección de una familia finita de subconjuntos abiertos es un subconjunto abierto. ì Un espacio topológico es una pareja \ß T donde \ es un conjunto y T es una topología en \ . ì Una aplicación 0 À \ ] de un espacio topológico \ en un espacio topológico ] , de dice continua cuando la imagen inversa 0 " F de todo abierto F § ] es un subconjunto abierto de \ . ì Sean \ y ] espacios topológicos. Una aplicación 0 À \ ] es continua, si y sólo si, 0 es continua en cada punto D − \ .

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ì Un homeomorfismo 2 À \ ] , de un espacio topológico \ sobre un espacio topológico ] es una aplicación continua y biunívoca de \ sobre ] cuya inversa 2 " À ] \ es también continua. ì Un espacio topológico \ se dice metrizable cuando es posible definir una métrica . en \ tal que los abiertos definidos por .ß de acuerdo con la métrica, coincidan con los abiertos de la topología de \ . Nota. No todo espacio topológico es metrizable, por ejemplo \ß T con T œ Ö\ß ø× no es metrizable.

10.

Sean T y Tw dos topologías en el mismo conjunto \Þ Diremos que T es más fina que Tw cuando T ¨ Tw esto es cuando todo abierto según Tw es necesariamente abierto según T. ì Dadas las topologías T y Tw en un conjunto \ , para que T sea más fina que Tw es necesario y suficiente que la aplicación identidad 3 À \ß T \ß Tw sea continua. ì Para que dos métricas . y . w en el mismo conjunto Q definan la misma topología es necesario y suficiente que ellas sean equivalentes. ì Una aplicación 0 À \ ] , de un espacio topológico \ en un espacio topólogico ] se dice abierta cuando, para cada abierto E § \ß 0 E es abierto en ] . ì Una aplicación biunívoca 0 À \ ] , de un espacio topológico \ sobre el espacio topológico ] es un homeomorfismo si y sólo si, es continua y abierta. ì EH. Un espacio topológico \ es llamado un espacio de Hausdorff o espacio separado cuando, dados dos puntos arbitrarios B Á C en \ , existen abiertos E, F § \ tales que B − Eß C − Fß y , E ∩ F œ ø. ì Un espacio métrico es un espacio de Hausdorff, por tanto todo espacio metrizable es un espacio de Hausdorff, la recíproca es falsa. ì Resulta de la definición EH que en un espacio de Hausdorff \ , para cada punto de B − \ , el conjunto \  ÖB× es un abierto de \ . La recíproca es falsa, por ejemplo, tome \ , un conjunto infinito con la topólogia de los complementos de los subconjuntos finitos de \ , aquí \  ÖB× es abierto y \ß T no es Hausdorff ni metrizable.

11.

Sea 0 À W \ una aplicación de un conjunto arbitrario W en un espacio topólogico \ . La colección T de las imágenes inversas 0 " E de los abiertos E § \ por la aplicación 0 es una topología en W . La topología T así construida es llamada, topología inducida en W por la aplicación 0 À W \Þ ì La topología inducida por 0 À W \ es la menos fina dentro de todas las topologías en W que dejan a la aplicación 0 À W \ continua. ì Sea W § \ , la inclusión 3 À W \ es tal que, si E § \ es un abierto, se tiene que 3" E œ E ∩ W ; de modo que la topología inducida por 3 en W tiene por abiertos las intersecciones E ∩ W de los abiertos E § \ con el subconjunto W . W con ésta topología es llamado un subespacio del espacio topológico \ . ì Sean \ un espacio topológico, U un conjunto cualquiera y : À \ U una aplicación de \ en U. Indiquemos por T la colección de los subconjuntos F § U tales que :" F es abierto en \ . T es una topológia en U llamada co-inducida por la aplicación :.

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ì La topología co-inducida es la más fina topología en U con la propiedad de dejar la aplicación : À \ U continua. ì Sean \ß ^ espacios topológicos 1 À U ^ß 0 À \ U donde U posee la topología co-inducida por 0 . Entonces 1 À U ^ es una aplicación continua si sólo si, 1 ‰ 0 À \ ^ es continua. ì Sean : À \ U y U con la topología co-inducida. Entonces con respecto a la topología co-inducida U  : \ es un subespacio discreto, esto es, los puntos son abiertos.

12.

Sea \ un espacio topológico y : À \ U una aplicación de \ sobre un " conjunto U. Para todo X § U se tiene :Ò: X Ó œ X , pero dado W § \ en general cuando : no es sobre, apenas se tiene :" Ò: = Ó ¨ W . ì Un subconjunto W § \ se dice saturado relativamente a : cuando " : Ò: W Ó œ W . ì El menor conjunto saturado que contiene a W es llamado el saturamiento de W . ì Supongamos ahora que U tiene la topología co-inducida por : À \ U. Entonces, para todo W § \ , el conjunto : W es abierto en U si y sólo si, su saturamiento :" Ò: W Ó es abierto en \ . ì Sea \ un espacio topológico y I una relación de equivalencia en \ . En el conjunto U œ \ÎI cociente de \ por la relación I , consideremos la topología coinicial dada por la aplicación canónica : À \ \ÎI , que asocia a cada B − \ la clase de equivalencia que lo contiene. Esta es la topología cociente en \ÎI . El espacio topológico \ÎI es el espacio cociente de \ por la relación I . : es llamada aplicación cociente. ì Sean \ , ] espacios topológicos y 0 À \ ] una aplicación continua sobre ] . Se define la relación I por: BIBw Í 0 B œ 0 Bw . Consideremos la aplicación cociente : À \ \ÎI , existe una única aplicación 0 À \ÎI ] tal que 0 : B œ 0 B . No siempre 0 À \ÎI ] es un homeomorfismo. Para que eso se tenga es necesario y suficiente que la topología de ] sea co-inducida por 0 . ì Si 0 À \ ] es una aplicación continua y abierta de \ sobre ] , entonces la topología de ] es co-inducida por 0 . ì Una aplicación 0 À \ ] es un homeomorfismo local cuando todo punto B − \ pertenece a un abierto Y tal que 0 Y œ Z es abierto en ] y 0 es un homeomorfismo de Y sobre Z . ì Dada una relación de equivalencia I en un espacio topológico \ , la aplicación cociente : À \ \ÎI es abierta si y sólo si, el saturamiento :" Ò: E Ó de todo subconjunto abierto E § \ , es aún abierto. ì Cuando : À \ \ÎI es una aplicación abierta, la relación de equivalencia I se dice una relación abierta.

13. Una base

de abiertos, o simplemente, una base en un espacio topológico \ es una colección µ de subconjuntos abiertos de \ llamados abiertos básicos con la siguiente propiedad: Todo subconjunto E § \ se expresa como reunión de abiertos F- ŠE œ ∪ F- ‹ pertenecientes a µ. -

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ì Sea \ un espacio topológico. Una colección µ de abiertos de \ constituyen una base de \ si y sólo si, para cada abierto E § \ y cada punto B − E existe un conjunto FB − µ tal que B − FB § E. ì Sea µ una colección de subconjuntos de un conjunto \ , para que µ sea una base de una topológia sobre \ es necesario y suficiente que se cumplan las siguientes condiciones: " para cada B − \ , existe F − µ tal que B − F # si B − F" ∩ F# donde F" ß F# − µ entonces existe F − µ tal que B − F § F" ∩ F# (esta condición se cumple en particular cuando F" ∩ F# − µ)Þ ì Sean \" ß \# ß á ß \8 espacios topológicos. En el conjunto \ œ \" ‚ â ‚ \8 producto de los \3 , consideremos la colección µ, formado por los abiertos elementales E œ E" ‚ â ‚ E8 donde E" § \" ß á ß E8 § \8 son abiertos. Como E" ‚ â ‚ E8 ∩ F" ‚ â ‚ F8 œ E" ‚ F" ∩ â ∩ E8 ‚ F8 se sigue que µ es base de una topología en \ , llamada topología producto. ì La topología producto en \ œ \" ‚ â ‚ \8 tiene las siguientes propiedades: + Las proyecciones son continuas y abiertas. , Dado un espacio topológico ^ , una aplicación 0 À ^ \ con 0 D œ 0" D ß á ß 08 D , es continua en el punto , − ^ si y sólo si, cada coordenada 03 œ :3< ‰ 0 À ^ \3 es continua en el punto ,. - Si \" ß á ß \8 son metrizables, entonces \ es metrizable y su topología puede ser determinada por cualquiera de las tres metricas usuales en el producto.

14.

Sea W un subconjunto de un espacio topológico \ . Un punto B − W se llama punto interior de W cuando existe un abierto E de \ tal que B − E § W . ‰ ì El interior de W es el conjunto 38> W œ W formado de todos los puntos interiores de W . ì El interior de un conjunto W , en un espacio topológico \ , es la reunión de todos los subconjuntos abiertos de \ que estan contenidos en W . En particular, 38> W es abierto en \ . ì W es abierto si y solamente si W œ 38> W . ì Un punto B − \ tiene interior vacío si y sólo si, B es un punto aislado. ì Todo subespacio vectorial P de un espacio vectorial normado I , con P Á I , tiene interior vacío. ì En un espacio topológico \ se dice que un conjunto Z es una vecindad de un ‰ punto B − \ cuando B − 38> Z œ Z . Esto quiere decir naturalmente que Z contiene un abierto que contiene a B como elemento. ì + Un conjunto E es abierto en un espacio topológico \ si y sólo si, es una vecindad de cada uno de sus puntos. , Sean \ , ] espacios topológicos. Una aplicación 0 À \ ] es continua en el punto + − \ si y sólo si, para cada vecindad Z del punto 0 + en ] existe una vecindad Y del punto + en \ tal que 0 Y § Z .

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ì La frontera de un subconjunto W de un espacio topológico \ es un conjunto fr W formado por todos los puntos B − \ tales que toda vecindad de B contiene puntos de W y del complementario \  W , esto es, fr W œ ÖB − \à B  38> \  W • B  38>W× œ W ∩ C\ W . ì Si 38> W œ ø entonces W § fr W . ì Sea ] un espacio topológico, \ un subespacio de ] y B un punto de \ . Las vecindades de B son las intersecciones Z ∩ \ donde Z es una vecindad de B en ] .

15.

Un subconjunto J de un espacio topológico \ se dice cerrado cuando su complementario \  J es abierto. ì A fin de que J sea un subconjunto cerrado de \ , es necesario y suficiente que para cada B − \  J exista un abierto YB con B − YB § \  J , esto es, B − YB y YB ∩ J œ ø . ì Los subconjuntos cerrados de un espacio topológico \ gozan de las siguientes propiedades: " El conjunto vacío ø y el espacio entero \ son cerrados. # La intersección J œ ∩ J- de una familia cualquiera ÖJ- ×-−A -

finita o infinita de subconjuntos cerrados J- § \ es un subconjunto cerrado de \ . $ La reunión J œ J" ∪ â ∪ J8 de un número finito de subconjuntos cerrados J" ß á ß J8 § \ es un subconjunto cerrado de \ . ì Sean \ y ] espacios topológicos. Para que una aplicación 0 À \ ] sea continua es necesario y suficiente que la imagen inversa 0 " J w de todo subconjunto cerrado J w § ] sea un subconjunto cerrado en \ . ì Sea 0 À \ ] una aplicación biunívoca de \ sobre ] . A fin de que 0 sea un homeomorfismo es necesario y suficiente que la siguiente condición sea satisfecha: Dado T § \ , 0 T es cerrado en ] si y sólo si, T es cerrado en \ . ì En un espacio de Hausdorff \ , todo punto B es un subconjunto cerrado de \ . La recíproca es falsa, como ejemplo tome la topología de los complementos finitos sobre un espacio infinito \ . ì Una aplicación 0 À \ ] \ß ] espacios topológicos se dice cerrada cuando la imagen 0 J de todo subconjunto cerrado J § \ es un subconjunto cerrado de ]. ì Sean \ , ] espacios topológicos, ] un espacio de Hausdorff. El gráfico de una aplicación continua 0 À \ ] es un subconjunto cerrado G J œ Ö Bß 0 B − \ ‚ ] à B − \× del espacio producto \ ‚ ] . ì Sea \ un espacio topológico y Q un espacio métrico. Dada 0 À \ Q , las aplicaciones que estan a una distancia finita de 0 y son continuas en un punto dado + − \ forman un subconjunto cerrado del espacio µ0 \à Q .

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ì Las aplicaciones continuas forman un subconjunto cerrado de µ0 \à Q . En particular, las aplicaciones continuas acotadas forman un subconjunto cerrado de µ \à Q .

16.

Sea W un subconjunto de un espacio topológico \ , un punto B − \ se dice adherente a W cuando toda vecindad de B en \ contiene por lo menos un punto de W . ì El conjunto de los puntos de \ que son adherentes a W es llamado la cerradura o adherencia de W y es indicado por W . ì Así B − W si y sólo si, para todo abierto E del espacio \ con B − E implica E ∩ W Á ø. ì Evidentemente, W § W cualquiera que sea W § \ . ì La adherencia de un subconjunto W en un espacio topológico \ , es la intersección de todos los subconjuntos cerrados de \ que contienen a W . ì J § \ es cerrado si y solamente si J œ J . ì La adherencia de un conjunto W en un espacio topológico \ es el menor subconjunto cerrado de \ que contiene a W . Más exactamente " W es cerrado en \ # W¨W $ si J es un subconjunto cerrado de \ que contiene a W , entonces J ¨ W . ì Sea \ un subespacio de un espacio topológico ] . La adherencia relativamente a \ de un subconjunto W § \ es la intersección de \ con la \ ] adherencia de W en ] ŠW œ \ ∩ W ‹. ì Sea W un subconjunto de un espacio métrico Q ß . . Entonces B − W si y sólo si, . Bß W œ !. ì Para que un subconjunto J de un espacio métrico Q ß . sea cerrado es condición necesaria y suficiente que . Bß J œ ! implique que B − J .

17.

Dados dos subespacios cerrados distintos J ß K en un espacio métrico Q ß . , !ß si B − J existe una función real continua : À Q Ò!ß "Ó tal que : B œ œ "ß si B − K ŠBasta definir : B œ

. BßJ . BßJ . BßK

‹

ì Sean J ß K subconjuntos cerrados disyuntos en un espacio métrico Q ß . . Existen abiertos Y ß Z en Q tales que J § Y ß K § Z y Y ∩ Z œ ø. ì Un espacio topológico \ se llama normal cuando dados dos cerrados J , K § \ , con J ∩ K œ ø existen abiertos Y ß Z § \ con J § Y , K § Z y Y ∩ Z œ ø. ì Todo espacio topológico métrizable es un espacio normal. ì TEOREMA DE URYSOHN: En todo espacio normal \ , dados dos cerrados disyuntos J ß K, existe siempre una función real continua : À \ Ò!ß "Ó tal que !ß si B − J : B œœ "ß si B − K

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ì Sean J ß K subconjuntos cerrados disyuntos en un espacio topológico \ . Una función continua : À \ Ò!ß "Ó con : J œ !, : K œ " es llamada una función de Urysohn del par J ß K . ì W § \ es cerrado si y solamente si W ¨ fr W .

18. Sea W

un subconjunto de un espacio topológico \ . Un punto B − \ es llamado un punto de acumulación de W cuando toda vecindad Z de B en \ contiene algún punto = − W , distinto del punto B. El conjunto de todos los puntos de acumulación de W se llama derivado y es indicado con W w . ì Sea \ un espacio topológico. Para todo subconjunto W § \ß se tiene W œ W ∪ W w . ì Un conjunto J § \ es cerrado si y sólo si, contiene todos sus puntos de acumulación. ì Si W § \ no posee puntos de acumulación, entonces, todo subconjunto de W es cerrado en \ . ì Sea \ un espacio de Hausdorff. Para que un punto B − \ sea de acumulación de un subconjunto W § \ es necesario y suficiente que toda vecindad de B contenga una infinidad de puntos de W . ì En un espacio de Hausdorff, todo conjunto finito tiene derivado vacío. ì En un espacio de Hausdorff \ , el derivado de cualquier subconjunto W es cerrado, esto es, W w ¨ W ww .

19.

Un espacio topológico \ se llama conexo cuando \ y ø son los únicos subconjuntos simultáneamente abiertos y cerrados. ì Un espacio topológico \ es conexo si y solamente si, no puede ser expresado como reunión de dos subconjuntos abiertos, disyuntos y no vacíos. ì Un conjunto W es abierto y cerrado simultáneamente si y sólo si, su frontera es vacía. ì Todo intervalo de la recta es un espacio conexo. ì Todo subconjunto conexo de la recta es un intervalo. ì La imagen de un conjunto conexo W por una aplicación continua 0 À \ ] , es un conjunto conexo 0 W Þ ì Sean \ un espacio topológico conexo y 0 À \ d una función real continua. La imagen 0 \ es un intervalo. ì Sea 0 À Ò+ß ,Ó d una función real continua definida en el intervalo Ò+ß ,Ó. Si 0 +  -  0 , entonces existe B − Ò+ß ,Ó tal que 0 B œ - . ì Un camino en un espacio topológico \ es una aplicación 0 À M \ , donde M es el intervalo cerrado Ò!ß "Ó. Los puntos + œ 0 ! y , œ 0 " son llamados los extremos del camino 0 , + œ 0 ! es el punto inicial y , œ 0 " el punto final. ì Un espacio topológico \ se dice conexo por camino o por arcos, cuando dados dos puntos cualesquiera +ß , − \ existe siempre un camino 0 À M \ con 0 ! œ + y 0 " œ ,. ì Sea I un espacio vectorial normado, un subconjunto W § I se dice convexo cuando, dados dos puntos cualesquiera +ß , − W el segmento de recta Ò+ß ,Ó œ Ö "  > +  >,à ! Ÿ > Ÿ "× está enteramente contenida en W .

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20. Si los caminos 0 ß 1 À M \ en el mismo espacio topológico \ son tales que 0 " œ 1 ! , se puede definir un camino yuxtapuesto, 0 ” 1 À M \ del siguiente modo 0 #> ß si ! Ÿ > Ÿ "# 0 ”1 > œ 1 #>  " ß si "# Ÿ > Ÿ "

ì Todo espacio topológico conexo por arcos, es conexo. ì La recíproca de la afirmación anterior es falsa, tome como ejemplo el llamado espacio peinilla, esto es, la reunión en d # de los siguientes conjuntos: "Ñ El segmento unitario N œ Ö Bß ! à ! Ÿ B Ÿ "× del eje de las abscisas, #Ñ segmentos verticales unitarios N8 œ Öˆ 8" ß C‰à ! Ÿ C Ÿ "×, levantados sobre los puntos de N los cuales tienen abscisa de la forma 8" ß 8 − ß $Ñ el punto + œ ˆ!ß "# ‰ ì Sea \ un espacio topológico y W un subconjunto de \ se dice denso cuando W œ \ . Si W es además conexo, también \ es conexo. ì Sea W un subconjunto conexo del espacio topológico \ . Si W § X § W entonces X es conexo. ì Si W § d , 2 À W d # es un homeomorfismo de W sobre 0 W entonces 0 W tiene interior vacío en d # . Procediendo por absurdo se llega a que un intervalo es homeomorfo a un disco, lo cual es po contradictorio. ì Sea N § d un intervalo. Una función continua 0 À N d es un homeomorfismo de N sobre 0 N si y solamente si 0 es estrictamente monótona. ì Sea ÖW- ×- una familia de subconjuntos conexos de un espacio topológico. Si existe un punto B! , común a todos los W- , entonces W œ ∪ W- es conexo. -

ì La reunión de todos los subconjuntos conexos de un espacio topológico \ que contienen un punto B − \ es un conjunto conexo GB el cual llamaremos componente conexa de B en el espacio. ì La componente conexa GB es un subconjunto conexo maximal de \ . ì Toda componente conexa GB es un conjunto cerrado. ì \ es conexo, si y solamente si, es la componente conexa de cada uno de sus puntos. ì Nótese que el conjunto de los números racionales  es un espacio no discreto.

21.

Un espacio topológico \ se dice totalmente disconexo cuando sus únicos subconjuntos conexos son ø y sus puntos. Esto equivale a decir que sus componentes conexas son puntos. ì Un espacio topológico \ se dice localmente conexo cuando para todo B − \ y toda vecindad Y de B, existe una vecindad conexa Z de B tal que Z § Y . ì El conjunto de los números racionales no es conexo ni localmente conexo. ì Todo espacio vectorial normado es localmente conexo, pues toda bola es conexa. ì Un espacio conexo puede no ser localmente conexo, tome por ejemplo el espacio peinilla.

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TOPOLOGIA GENERAL

ì A fin de que un espacio topológico \ sea localmente conexo es necesario y suficiente que para cada abierto E § \ , las componentes conexas de E sean subconjuntos abiertos de \ . ì Una componente conexa por caminos de un punto B en un espacio topológico \ es la reunión de todos los subconjuntos conexos por caminos de \ que contienen a B. ì Un espacio topológico \ se dice localmente conexo por caminos cuando para todo B − \ y toda vecindad Y de B existe una vecindad Z de B conexa por caminos con Z § Y . ì Sea \ un espacio localmente conexo por caminos. Si por otra parte \ es conexo entonces también es conexo por caminos. ì Sea G un subconjunto conexo de un espacio topológico \ . Si para algún W § \ , ‰ se tiene que G ∩ W Á ø y G ∩ \  W Á ø entonces G ∩ fr W Á ø. O sea si un conjunto conexo G contiene un punto interior de W y un punto fuera de W , entonces G contiene algún punto de la frontera de W .

22. Límites: En

un espacio métrico Q para una sucesión ÖB8 ×8 § Q , se tiene que B œ lim B8 si y solamente si, para todo subconjunto abierto E conteniendo al punto 8Ä∞

B, existe un índice 8! tal que si 8  8! implica que B8 − E. En este caso se dice que la sucesión ÖB8 ×8 es convergente y que converge a B. ì En un espacio métrico \ , lim B8 œ B si y solamente si para cada vecindad Z del 8Ä∞

punto B existe un indice 8! tal que B8 − Z para todo 8  8! . ì En un espacio métrico Q , una sucesión convergente posee un único límite. ì Para que una sucesión ÖB" ß B# ß á ß B8ßá × en un espacio métrico Q , posea una subsucesión convergente para un punto + − Q es necesario y suficiente que toda vecindad de + contenga términos B8 con índices 8 arbitrariamente grandes. ì Si B8 +, entonces toda subsucesión de ÖB8 ×8− converge para +. ì Sea + − Q un punto aislado. Entonces B8 + si y sólo si, existe 8! −  tal que B8 œ + para todo 8  8! . ì Toda sucesión convergente en un espacio métrico Q es acotada. La recíproca es falsa. ì Dado un subconjunto no vacío acotado E, de un espacio métrico Q , existen sucesiones de puntos B8 ß C8 − E tales que lim . B8 ß C8 œ $ E . (Nótese que 8Ä∞

ÖB8 ×8 ß ÖC8 ×8 no necesariamente son sucesiones convergentes). Análogamente, dado + − Q existe una sucesión de puntos +8 − E con lim . +8 ß + œ . +ß E . 8Ä∞

Finalmente, dados Eß F § Q , existen sucesiones de puntos +8 − Eß ,8 − F con . + 8 ß ,8 . Eß F . ‡ ì Sea T œ Ö!ß "ß "# ß á ß 8" ß á × con la métrica inducida de la recta. Dada una sucesión ÖB8 ×8 en un espacio métrico Q , se tiene lim B8 œ B − Q si y sólo si, la aplicación

0 ÀT Q ß definida por 0 ˆ 8" ‰ œ B8 ß 0 ! œ B es continua. ì Sea Q œ Q" ‚ â ‚ Q5 un producto de espacios métricos. Dar una sucesión ÖB8 ×8 en Q equivale a dar 5 sucesiones coordenadas ÖB8" ×8− en Q" ,á ,ÖB85 ×8− en 8Ä∞

‡

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TOPOLOGIA GENERAL

Q5 de modo que B8 œ B8" ß B8# ß á ß B85 . Sea + œ +" ß +# ß á ß +5 − Q , lim B8 œ + si y sólo si, para cada 3 œ "ß #ß á ß 5 se tiene lim B83 œ +3 .

8Ä∞

23. Sean Q

se tiene

8Ä∞

y R espacios métricos. Para que una aplicación 0 À Q R sea continua en el punto + − Q es necesario y suficiente que si B8 + en Q entonces 0 B8 0 + en R Þ ì Para que 0 À Q R sea continua en el punto + − Q es suficiente que si B8 + en Q implique que Ö0 B8 ×8− sea convergente en R . ì Para que 0 À Q R sea continua es necesario y suficiente que la imagen Ö0 B8 ×8− de toda sucesión convergente ÖB8 ×8− en Q , sea convergente en R . ì A fin de que 0 À Q R sea continua en el punto + − Q es suficiente que para toda sucesión ÖB8 ×8− en Q convergente para +, entonces la sucesión imagen Ö0 B8 ×8− admita una subsucesión convergente a 0 + . ì Sea W un subconjunto de un espacio métrico Q . Para que B − W en Q es necesario y suficiente que B sea límite de una sucesión de puntos B8 − W . ì Un punto B − Q pertenece a la frontera de W si y sólo si, B œ lim B8, B8 − W y B œ lim C8 ß C8 − Q  W .

8Ä∞

8Ä∞

ì Sean 0 ß 1 À Q R aplicaciones continuas. Dado W § Q si 0 B œ 1 B para todo B − W entonces 0 B œ 1 B para todo B − W . ì Para que un subconjunto J de un espacio métrico Q sea cerrado es necesario y suficiente que él contenga el límite de toda sucesión de puntos B8 − J . ì Sea Q un espacio métrico. Para que un subconjunto E § Q sea abierto es necesario y suficiente que si toda sucesión ÖB8 ×8− que converge para un punto + − E, se tenga que B8 − E para todo 8 suficientemente grande. ì Sea Q un espacio métrico. Para que B − Q sea punto de acumulación de un subconjunto W § Q es necesario y suficiente que exista una sucesión de puntos B8 − W con B8 Ä B y B7 Á B8 para 7 Á 8.

24.Sucesiones de funciones.

Sea \ un conjunto cualquiera y Q un espacio métrico. Se dice que una sucesión de aplicaciones 08 À \ Q converge simplemente para una aplicación 0 À\ Q cuando, para cada B − \, la sucesión Ö0" B ß 0# B ß á ß 08 B ß á × de puntos 08 B − Q converge para el punto 0 B − Q . ì Así 08 Ä 0 simplemente, si y solamente si, para cada B − \ y cada %  ! existe un número positivo 8! œ 8! Bß % tal que 8  8! Bß % implica . 08 B ß 0 B  %. ì Se dice que 08 Ä 0 uniformemente, si y sólo si, cuando dado %  ! es posible obtener 8! œ 8! % (dependiendo sólo de %) tal que 8  8! implica . 08 B ß 0 B  %ß para todo B − \ . ì Si 08 Ä 0 uniformemente, entonces 08 Ä 0 simplemente, la recíproca es falsa. ì Si 08 Ä 0 uniformemente, entonces para todo 8 suficientemente grande, 08 está a una distancia finita de 0 y 08 Ä 0 en el espacio µ0 \à Q . Recíprocamente si 08 Ä 0 en µ0 \à Q entonces 08 converge uniformemente para 0 . ì El límite de una sucesión uniformemente convergente de aplicaciones 08 À \ Q es una aplicación acotada 0 À \ Q

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TOPOLOGIA GENERAL

ì Se tiene que 08 Ä 0 uniformemente si y sólo si, 08 Ä 0 como puntos del espacio µ \à Q . ì Si 08 Ä 0 simplemente, entonces se puede tener cada 08 acotada sin que 0 lo sea. Tome para cada 8 − , 08 À d d la función dada por ! para lBl Ÿ 8 08 œ œ Ê 08 Ä 0 À d d dada por 0 B œ B. Cada 08 es acotada,0 no. 8 para lBl>8 ì Sean \ un espacio topológico, Q un espacio métrico y Ö08 ×8− una sucesión de funciones de \ en Q convergiendo uniformemente para una aplicación 0 À \ Q . Si cada 08 es continua en un punto dado + − \ entonces 0 es continua en el punto +. ì Dados un conjunto \ y un espacio métrico Q , fijamos una colección G de partes de \ . Se dice que una sucesión de aplicaciones 08 À \ Q converge para una aplicación 0 À \ Q uniformemente en los subconjuntos de G cuando, para cada W − G, la sucesión de las restricciones 08 lW À W Q converge uniformemente para la restricción 0 lW À W Q . Esto significa que para cada W − G y cada %  ! existe un entero 8! œ 8! Wß % tal que 8  8! implica . 08 B ß 0 B  % para todo B − W. ì Dada una sucesión de aplicaciones continuas 08 À Q R y una aplicación 0 À Q R , supongamos que cada punto B − Q posea una vecindad Z tal que 08 lZ converge uniformemente (esto es, 08 converge uniformemente para 0 , localmente) entonces 0 À Q R es continua. ì Sea 0 À d d una función y - un número real. Se dice que 0 tiene límite - en infinito cuando, para cada %  !, existe 5  ! tal que lBl  5 implica l0 B  -l  %. Se escribe entonces lim 0 B œ - . lBlÄ∞

ì

Si 08 Ä 0 uniformemente en cada uno de los subconjuntos W" ß á ß W5 § \

entonces 08 Ä 0 uniformemente en W œ

5

∪ W3 . 3œ"

ì Si 08 Ä 0 uniformemente en W , entonces 08 Ä 0 uniformemente en cualquier parte de W .

25.Límite de una función.- Sea

0 À Q R una aplicación del espacio métrico Q en el espacio métrico R . Dado un punto + − R se dice que el punto , − R es el límite de 0 B cuando B tiende para +, y escribimos , œ lim 0 B cuando todo %  ! existe BÄ+

$  ! tal que . Bß +  $ implica . 0 B ß ,  %. ì Sean E un subconjunto del espacio topológico \ , 0 À E ] una aplicación definida en E y tomando valores en un espacio topológico ] y + − E un punto de \ , adherente al conjunto E. Diremos que el punto , − ] es límite de 0 B cuando B tiende para + si para cualquier Z − µ , ß bY − µ B tal que B − Y ∩ E implica 0 B − Z . Se escribe entonces , œ lim 0 B . BÄ+

ì Cuando el espacio ] es Hausdorff, se tiene unicidad cuando el límite existe.

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TOPOLOGIA GENERAL

ì Sean Q ß R espacios métricos, E § Q , 0 À E R y + − E. Para que exista , œ lim 0 B es necesario que lim 0 B8 œ , para toda sucesión de puntos B8 − E BÄ+

BÄ∞

con B8 Ä + y es suficiente que Ö0 B8 ×8− sea convergente en R , siempre que B8 − E, B8 Ä +Þ ì Sean Q ß R espacios métricos, E un subespacio de Q y 0 À E R una aplicación continua. Si para cada + − E existe el límite lim 0 B entonces la aplicación J À E BÄ+

R definida por J + œ 0 + para + − E y J + œ lim 0 B

26.

BÄ+

para + − E  E, es continua.

Un sistema fundamental de vecindades de un punto B en un espacio topológico \ es una colección µ B de vecindades de B con la siguiente propiedad: Dada cualquier vecindad Y de B en el espacio \ , existe una vecindad Z − µ B tal que Z § Y . ì El sistema se dice sistema fundamental enumerable cuando µ B es un conjunto enumerable. ì + Sea µ B un sistema fundamental de vecindades de un punto B en un espacio topológico \ . A fin de que B pertenezca al interior de un conjunto W § \ es necesario y suficiente que exista Z − µ B tal que Z § WÞ Análogamente B − W si y sólo si, para toda Z − µ B se tiene Z ∩ W Á ø. , Sean \ , ] espacios topológicos 0 À \ ] una aplicación, µ + un sistema fundamental de vecindades de un punto + − \ y À , un sistema fundamental de vecindades del punto , œ 0 + − ] . Para que 0 sea continua en el punto + es necesario y suficiente que para cualquier [ − À , existe Z − µ + tal que 0 Z § [. ì En un espacio métrico todo punto B posee un sistema fundamental de vecindades enumerable. ì Sean >" ß ># ß á ß >8 − dß N" ß N# ß á ß N8 § d , 8 intervalos y constrúyase los conjuntos E >" ß á ß >8 ß N" ß á ß N8 œ Ö0 À d dà 0 >" − N" ß á ß 0 >8 − N8 × En esta forma toda función 0 − ¹ dß d œ \ pertenece a alguno de los conjunto de la forma E >" ß á ß >8 ß N" ß á ß N8 . Se sigue entonces que estos conjuntos E >" ß á ß >8 ß N" ß á ß N8 forman una base de una topología para \ llamada topología

de la convergencia simple.

ì La topología así definida brinda un ejemplo de un espacio topológico donde los puntos no admiten un sistema fundamental de vecindades enumerables. ì Un espacio topológico \ es un espacio I" cuando todo punto B − \ posee un sistema fundamental de vecindades enumerable. ì En un espacio de Hausdorff, una sucesión convergente posee un único límite. Recíprocamente, si \ es un espacio I" en el cual toda sucesión convergente posee un único límite, entonces \ es un espacio de Hausdorff. ì En un espacio topológico \ para que una sucesión ÖB8 ×8− posea una subsucesión convergente para un punto D − \ es necesario que toda vecindad de D contenga términos B8 con índices arbitrariamente grande. Si \ es un espacio I" , esta condición es también suficiente.

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TOPOLOGIA GENERAL

ì Sean \ y ] espacios topológicos, ] de Hausdorff. Para que una aplicación 0 À \ ] sea continua en el punto + − \ es necesario que B8 Ä + implique 0 B8 Ä 0 + en ] . Cuando \ es un espacio I" esta condición también es suficiente (aunque ] no sea I" ) . ì Sea W un subconjunto de un espacio topológico \ . Para que B − W es suficiente que exista una sucesión de puntos B8 − W con B œ lim B8 . Cuando \ es un espacio 8Ä∞

I" esta condición también es necesaria. ì Un espacio topológico \ se dice regular si todo punto posee un sistema fundamental de vecindades cerradas. ì Sea 0 À E ] una aplicación continua, definida en un subespacio E de un espacio topológico \ y tomando valores en un espacio de Hausdorff regular ] . Si para cada + − E existe el límite lim 0 B entonces la aplicación J À E ] definida BÄ+

por J + œ lim 0 B , + − E es continua.

27.Sean

BÄ+

Q , R espacios métricos. Una aplicación 0 À Q R se dice uniformemente continua cuando, para todo %  ! dado arbitrariamente se puede obtener un $  ! tal qu Bß C  $ implica que . 0 B ß 0 C  %, cualesquiera sean Bß C − Q . ì Sean Q ß R ß T espacios métricos. Si 0 À Q R y 1 À R T son funciones uniformemente continuas entonces 1 ‰ 0 À Q T es uniformemente continua. ì Si 0 À Q R es uniformemente continua y E § Q entonces la restricción 0 lE es uniformemente continua. .. ì Decimos que una aplicación 0 À Q R satisface a una condición de Ho lder de orden α, cuando para cualquier Bß C − Q , se tiene . 0 B ß 0 C Ÿ - † . Bß C α donde - y α son constantes. Si esto ocurreß 0 es uniformemente continua. ì 1Àd d , 0 À d d son homeomorfismos uniformemente continuos $ B È ÈB B È ÈB cuyos inversos no son uniformemente continuos. También nos brindan un ejemplo de funciones que son uniformemente continuas y no cumplen la condición de Lipschitz.

28.

Sean . y . w respectivamente ." y ."w métricas uniformemente equivalentes en un espacio métrico Q resp. un espacio métrico R . Si 0 À Q ß . R ß ." es w w uniformemente continua, entonces 0 À Q ß . R ß ." también lo es. ì Sean Q ß R espacios métricos y \ un conjunto. Para que una aplicación : À Q R induzca una aplicación continua :‡ À ¹ \à Q ¹ \à R definida por :‡ 0 œ : ‰ 0 , es suficiente que : sea uniformemente continua. Si \ es infinito, esta condición también es necesaria. ì Si una secuencia de aplicaciones 08 À \ Q converge uniformemente para 0 À \ Q y si : À Q R es uniformemente continua, entonces : ‰ 08 À \ R converge uniformemente para : ‰ 0 À \ R . ì Si : À Q R es un homeomorfismo uniforme, entonces :‡ À ¹ \à Q ¹ \à R es " un homeomorfismo cuyo inverso es dado por : ‡ À ¹ \à R ¹ \à Q .

Darío Sánchez H.

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ì Si : À Q R a más de ser uniformemente continua es una aplicación acotada en particular, si la métrica de R es acotada entonces :‡ ¹ \à Q § µ \à R y una restricción de :‡ a cada µα \à Q es una aplicación uniformemente continua µα \à Q µ \à R . ì Dos métricas uniformemente equivalente en un espacio métrica Q definen la misma topología en ¹ \à Q . Si ambas métricas son acotadas, ellas definen en ¹ \à Q œ µ \à Q métricas uniformemente equivalentes. ì Sean cuales fueren el conjunto \ y el espacio métrico Q , el espacio topológico ¹ \à Q es métrizable. ì Dado un espacio métrico Q ß . , las métricas . w y . ww definidas por . BßC . w œ 738Ö"ß . Bß C × y . ww œ ". son uniformemente equivalentes a . . BßC

29. Sea

R œ R" ‚ â ‚ R5 el producto cartesiano de los espacios métricos R3 con la métrica dada por . ww Bß C œ 7+BÖ. B" ß C" ß á ß . B5 ß C5 ÎB œ B" ß á ß B5 ß C œ C" ß á ß C5 ×. Sea Q otro espacio métrico, una aplicación 0 À Q R es uniformemente continua si y sólo si, las aplicaciones coordenadas 03 À Q R3 definidas por 0 B œ 0" B ß á ß 05 B ß B − Q son uniformemente continuas. ì Se dice que un espacio topológico ] es suma topológica de una familia de subespacios Ö]α ×α−E ß cuando ] œ ∪ ]α los ]α son dos a dos disyuntos y cada uno de ellos es abierto y por lo tanto cerrado en ] . ì Un ejemplo es ¹ \à Q œ w∪ µαw \à Q , α Áα

α − E œ Örepresentante α:\

30. Una sucesión si lim $ \8 8Ä∞

Q de los µ0 \à Q ×

ÖB8 ×8− en un espacio métrico Q es de Cauchy œ ! donde \8 œ ÖB8 ß B8" ß á ×.

si y solamente

ì Toda sucesión de Cauchy es acotada. ì En un espacio métrico: + Toda subsucesión de una sucesión de Cauchy es también una sucesión de Cauchy. , Toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy. - La imagen de una sucesión de Cauchy, por una aplicación uniformemente continua, es una sucesión de Cauchy. ì Dos métricas uniformemente equivalentes en el mismo espacio métrico Q determinan las mismas sucesiones de Cauchy en Q . ì Sean T œ Ö"ß "# ß "$ ß á ß 8" ß á ×, Q œ Q" ‚ â ‚ Q5 el producto cartesiano de 5 espacios métricos, 0 À T Q una función definida por "‰ ˆ 0 8 œ B8 œ B8" ß B8# ß á ß B85 . Se tiene que ÖB8 ×8− es una sucesión de Cauchy si cada una de las sucesiones ÖB"3 ß B#3 ß á ß B83 ß á × es de Cauchy para cada 3 œ "ß #ß á ß 5 . Además tenemos que las siguientes afirmaciones son equivalentes: 3 ÖB8 ×8− es una sucesión de Cauchy en el espacio métrico Q . 33 0 À T Q es uniformemente continua. 333 Para cada 03 À T Q3 , determinada por 03 ˆ 8" ‰ œ B83 , es uniformemente continua. 3@ Cada sucesión de coordenadas ÖB83 ×8− es de Cauchy en Q3 .

Darío Sánchez H.

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31.Sea

ÖB8 ×8− una sucesión de Cauchy en un espacio métrico Q . Si alguna subsucesión ÖB85 ×5− converge para un punto B − Q entonces ÖB8 ×8− también converge para el punto B. ì Se dice que un espacio métrico Q es completo cuando toda sucesión de Cauchy en Q es convergente. ì El producto cartesiano Q œ Q" ‚ â ‚ Q5 es completo, si y solamente si, cada uno de los factores Q" ß Q# ß á ß Q5 es un espacio métrico completo. ì El espacio euclidiano d 8 es completo. ì Dado α À \ Q , sea ¶α \à Q el conjunto de las aplicaciones continuas 0 À \ Q tales que . 0 ß α  ∞. Si Q es completo, ¶α \à Q también es completo en relación a la métrica uniforme . 0 ß 1 œ supÞÖ. 0 B ß 1 B à B − \×.

32.Llámase

espacio de Hilbert a todo espacio vectorial I , provisto de un producto interno y completo relativamente a la norma lBl œ È  Bß B  . ì El espacio de Hilbert de las sucesiones de cuadrado sumable. Sea H el conjunto de las sucesiones B œ ÖB" ß B# ß á ß B8ßá × de números reales tales que ∞

8œ"

B#8  ∞.

ì

Dados B œ ÖB3 ×ß C œ ÖC8 × en H

absolutamente convergente y l

la serie de números reales

B3 C3 l Ÿ

B3 C 3 3

es

lB3 C3 l Ÿ lBl † lCl.

s ß 0 ‰, donde 0 À Q Q s es de un espacio métrico Q es un par ˆQ s es completo y 0 Q es denso en Q s. una inmersión isometrica, Q µ s ß 0 ‰ y Š Q ß 1‹ completados del mismo espacio métrico Q . Existe una ì Sean ˆQ µ s única isometría : À Q Q tal que : ‰ 0 œ 1. ì Todo subconjunto abierto E de un espacio métrico completo Q , es homeomorfo a un espacio métrico completo. Tómese 0 À Q d función continua que se anula en Q  E 0 B œ . Bß Q  E . : À E d ; : B œ 0 "B

33. Un completado

3

3

ì Teorema de Cauchy: El conjunto d de los números reales con la métrica usual . Bß C œ lB  Cl es un espacio métrico completo. ì Todo subespacio cerrado de un espacio métrico completo es también completo. Recíprocamente, un subespacio completo de cualquier espacio métrico es cerrado.

34.

Sea \ un conjunto cualquiera y Q un espacio métrico completo. Dada cualquier aplicación α À \ Q , el espacio µα \à Q œ Ö0 À \ Q à . 0 ß α  ∞× es completo relativamente a la métrica . 0 ß 1 œ supÞÖ. 0 B ß 1 B à B − \×. ì Todo subconjunto abierto E de un espacio métrico completo Q es homeomorfo a un espacio métrico completo. ì Sea W un subconjunto denso de un espacio métrico Q y 0 À W R una aplicación uniformemente continua, donde R es un espacio métrico completo. Existe una única extensión continua 0 À Q R la cual es uniformemente continua. ì Todo espacio métrico Q posee un completado.

Darío Sánchez H.

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35.Un

subconjunto W de un espacio topológico \ se dice magro cuando es una reunión enumerable W œ ∪ W8 tal que para cada 8, 38>ˆW 8 ‰ œ ø ì Llámase espacio de Baire un espacio topológico en el cual todo subconjunto magro tiene interior vacío. ì Para que un espacio topológico \ sea un espacio de Baire es necesario y suficiente que toda intersección W œ ∩ E8 de una familia enumerable de abiertos E8 densos en \ sea un subconjunto denso de \ . ì Se dice que una familia de cerrados J8 tiene la propiedad del interior vacío si 38> J8 œ ø para todo 8. ì Un espacio topológico \ es un espacio de Baire si ¹ œ ÖJ- ×-−A es una familia de cerrados con la propiedad del interior vacío entonces X œ ∪ J8 tiene la 8−

propiedad de interior vacío. ì Teorema de Baire: Todo espacio métrico completo es un espacio de Baire. ì Todo subconjunto abierto E de un espacio de Baire \ es un espacio de Baire. ì Si todo punto B − \ posee una vecindad que es un espacio de Baire, entonces \ es un espacio de Baire. ì El complemento de un subconjunto magro de un espacio de Baire es un espacio de Baire. ì Dados los espacios métricos Q y R , siendo Q completo y una sucesión de aplicaciones continuas 08 À Q R la cual converge simplemente para una aplicación 0 À Q R ß entonces el conjunto de los puntos de discontinuidad de 0 es un conjunto magro de Q .

36.

Toda contracción 0 À Q Q de un espacio métrico completo Q , posee un único punto fijo. Dado cualquier punto B! − Q ß la sucesión 0 B! ß 0 # B! ß á ß 0 8 B! ß á converge para el punto fijo de 0 . ì Sea E un subconjunto abierto del espacio euclidiano d 8 . Sea 0 À E d 8 una aplicación de la forma 0 B œ B  : B , donde : À E d 8 es una contracción. Entonces 0 es un homeomorfismo de E sobre un subconjunto abierto de d 8 . ì Ser espacio de Baire es una propiedad topológica, luego se sigue del teorema de Baire que todo espacio topológico homeomorfo a un espacio métrico completo es un espacio de Baire. ì El conjunto  de los números racionales es un conjunto magro de la recta pero no es magro en sí mismo. ì Todo subconjunto cerrado enumerable del espacio euclidiano d 8 posee una infinidad de puntos aislados. ì El teorema de Baire proporciona también una demostración del hecho de que el conjunto de los números reales no es enumerable, por ser un espacio métrico completo sin puntos aislados. ì Sea ^ el conjunto de Cantor: ^ es un conjunto magro en la recta, esto es, 38> ^ œ ø , pero no es magro en sí mismo, es un espacio de Baire que no posee puntos aislados luego no es numerable. Todo homeomorfismo de ^ sobre ^ tiene puntos fijos. ^ µ  Ö!ß #× , ^ no posee puntos aislados, por tanto ^ es compacto.

Darío Sánchez H.

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TOPOLOGIA GENERAL

37.

Teorema de Bolzano-Weierstrass : Todo conjunto infinito y acotado de números reales posee un punto de acumulación. ì Teorema de Borel-Lebesgue: Sea ÖM- ×-−A una familia de intervalos abiertos M- tal que todo punto del intervalo cerrado Ò+ß ,Ó pertenece a uno de los M- , esto es, Ò+ß ,Ó § ∪ M- . En estas condiciones es posible escoger un número finito de -−A

intervalos M- de tal forma que Ò+ß ,Ó § M-" ∪ M-# ∪ â ∪ M-8 . ì Un espacio topológico \ se dice compacto cuando todo recubrimiento abierto de \ posee un subrecubrimiento con un número finito de abiertos. ì Un espacio topológico \ es compacto si y sólo si ÖJ- ×-−A es una colección de cerrados con la propiedad de la intersección finita entonces ∩ J- Á ø. -−A

ì En un espacio compacto todo subconjunto infinito posee un punto de acumulación. ì En un espacio compacto \ todo subconjunto cerrado J es compacto. ì Se dice que un subconjunto W de un espacio topológico es relativamente compacto cuando W es un subconjunto compacto de \ . ì Sea \ un espacio de Hausdorff. Todo subconjunto compacto O § \ es cerrado en \ . En particular la intersección cualquiera de compactos es compacta. ì La imagen de un conjunto compacto por una aplicación continua es un conjunto compacto. ì Toda aplicación continua 0 À O ] de un espacio compacto O en un espacio de Hausdorff ] es cerrada. ì Toda aplicación 0 À O ] continua y biunívoca, de un espacio compacto O sobre espacios Hausdorff ] es un homeomorfismo. ì Toda función real continua 0 À O d , definida en un espacio compacto O , es acotada y alcanza sus extremos. Esto es, existen B! ß B" − O tales que 0 B! œ infÞÖ0 B à B − \× y 0 B" œ supÞÖ0 B à B − O×. ì Sea \ ‚ O el producto cartesiano de un espacio topológico arbitrario \ por un espacio compacto O . Dado un punto B − \ y sea Y § \ ‚ O un abierto tal que B ‚ O § Y . Entonces existe un abierto E en \ con B − E y E ‚ O § Y . ì Sea \ un espacio topológico cualquiera. Si O es compacto, entonces la proyección :"< À \ ‚ O \ es una aplicación cerrada. ì Para que una función 0 À \ O de un espacio topológico arbitrario \ en un espacio compacto O , sea continua es suficiente que su gráfico K 0 sea un subconjunto cerrado del producto \ ‚ O . Si además \ es un espacio de Hausdorff, la condición también es necesaria. ì El producto cartesiano \ ‚ ] es compacto si y sólo si, \ y ] son espacios compactos.

38.

Se dice que una familia ÖJ- ×-−A tiene la propiedad de la intersección finita cuando cualquier subfamilia finita ÖJ-" ß J-# ß á ß J-8 × tiene intersección no vacía.

Darío Sánchez H.

TOPOLOGIA GENERAL

22

ì Un espacio topológico \ es compacto si y sólo si una familia ÖJ- ×-−A de subconjuntos cerrados en \ posee la propiedad de la intersección finita entonces

∩

J- Á ø.

-−A

ì El producto cartesiano \" ‚ \# ‚ â ‚ \8 es compacto si y sólo si cada uno de los factores \" ß \ # ß á ß \8 es compacto.

39.

Un espacio topológico \ se dice normal cuando dados dos cerrados J ß K § \ con J ∩ K œ øß existen abiertos Y ß Z § \ con J § Y ß K § Z y Y ∩ Z œ ø ì Todo espacio de Hausdorff compacto es normal. ì Un espacio topológico \ sea normal si y sólo si, dados en \ un cerrado J y un abierto E con J § E, existe un abierto Y en \ , tal que J § Y y Y § E.

40. Si la topología de ]

es co-inducida (esto es, F § ] es un abierto Í :" F es un abierto es \ ) por una aplicación : À \ ] , entonces dado cualquier espacio topológico ^ , una aplicación 0 À ] ^ es continua si y sólo si, la aplicación 0 ‰ : À \ ^ es continua. ì Diremos que una aplicación : À \ ] de un espacio topológico \ sobre un espacio topológico ] , es una aplicación cociente cuando la topología de ] es co-inducida por :. ì Sean \ß ] dos espacios topológicos, toda aplicación sobre, continua y cerrada o abierta : À \ ] es una aplicación cociente. ì Cuando \ es un espacio compacto y ] es un espacio de Hausdorff , toda aplicación sobre y continua : À \ ] es una aplicación cociente.

41.

Todo subconjunto compacto convexo O § d 8 tal 38> O Á ø es homeomorfo a una bola cerrada H § d 8 . ì Teorema de Borel-Lebesgue: Un subconjunto W del espacio euclidiano d 8 es compacto si y sólo si, es cerrado y acotado. ì Un subconjunto de un espacio euclidiano d 8 es relativamente compacto si y sólo si, es acotado. ì Si I y J son espacios vectoriales normados un isomorfismo 0 À I J es una aplicación lineal continua, biunívoca y sobreyectiva, cuya inversa 0 " À J I es continua (y es necesariamente lineal). ì Todo espacio vectorial normado I de dimensión finita 8 es isomorfo al espacio euclidiano d 8 Þ ì Sean I y J espacios vectoriales normados. Si I tiene dimensión finita entonces toda aplicación lineal 0 À I J es continua. ì Dos normas cualesquiera de un espacio vectorial de dimensión finita I son siempre equivalentes y I es completo en relación a cualquiera de ellas. ì Todo subespacio de dimensión finita I , de un espacio vectorial normado J , es cerrado. ì Un espacio métrico Q se dice totalmente acotado cuando para todo %  ! se puede expresar Q œ W" ∪ W# ∪ â ∪ W8 como una reunión de un número finito de subconjuntos, cada uno de los cuales tiene diámetro menor que %.

Darío Sánchez H.

TOPOLOGIA GENERAL

23

ì Si un subconjunto W de un espacio métrico Q es totalmente acotado, su adherencia (o cerradura) W también lo es. ì En un espacio métrico Q el diámetro de un conjunto W es igual al diámetro de su cerradura W . ì Las siguientes afirmaciones son equivalentes en un espacio métrico Q : 3 Q es compacto. 33 Todo subconjunto infinito de Q posee un punto de acumulación. 333 Toda sucesión en Q posee una subsucesión convergente. 3@ Q es completo y totalmente acotado.

42.

Un espacio topológico \ es llamado secuencialmente compacto cuando toda sucesión en \ posee una subsucesión convergente. Þ ì Existen espacios topológicos que no son secuencialmente compactos como Ò!ß "ÓÒ!ß"Ó esto es el conjunto de todas las funciones 0 À Ò!ß "Ó Ò!ß "Ó es compacto y no es secuencialmente compacto. ì Para que un espacio métrico Q sea totalmente acotado es necesario y suficiente s sea compacto. que su completado Q ì Un subconjunto de un espacio métrico completo es totalmente acotado si y sólo si, es relativamente compacto. ì Sea G œ ÖG- ×-−A un recubrimiento de un espacio métrico Q . Se dice que un número %  ! es un número de Lebesgue del recubrimiento G cuando se cumple la siguiente afirmación: Para todo subconjunto W § Q con $ W  %, existe un - − A tal que W § G- . ì Todo recubrimiento abierto G œ ÖY- ×-−A de un espacio métrico compacto Q posee un número de Lebesgue.

43.

Sean Q ß R espacios métricos. Si Q es compacto, entonces toda aplicación continua 0 À Q R es uniformemente continua. ì Un espacio topológico \ se dice localmente compacto cuando todo punto B − \ posee una vecindad compacta. ì Para que un espacio métrico Q sea localmente compacto es necesario y suficiente que todo punto B − Q sea el centro de una bola cerrada compacta. ì Para que un espacio de Hausdorff \ sea localmente compacto es necesario y suficiente que todo punto B − \ este contenido en un abierto E cuya adherencia E es compacto. ì En un espacio de Hausdorff localmente compacto \ , las vecindades compactas de cada punto constituyen un sistema fundamental vea numeral 26 . ì En un espacio de Hausdorff localmente compacto \ , las vecindades compactas de un subconjunto compacto O constituyen un sistema fundamental de vecindades de O .

44.

Un subconjunto W de un espacio topológico \ se dice localmente cerrado en \ cuando todo B − W posee una vecindad Y en \ tal que Y ∩ W es cerrado en Y . Esto significa que existe un subconjunto cerrado J en \ tal que Y ∩ J œ Y ∩ W .

Darío Sánchez H.

TOPOLOGIA GENERAL

24

ì W es localmente cerrado en \ si y sólo si, W es un subconjunto cerrado de un conjunto E abierto en \ . ì En un espacio de Hausdorff localmente compacto \ todo subespacio cerrado W es localmente compacto. Recíprocamente en cualquier espacio de Hausdorff, todo subconjunto localmente compacto W , es localmente cerrado en \ . ì Todo subconjunto localmente compacto W denso de un espacio Hausdorff \ es abierto en \ . ì Todo espacio métrico localmente compacto es homeomorfo a un espacio métrico completo Ðo sea su topología puede ser definida por una métrica en relación a la cual el espacio es completoÑ. ì Todo espacio localmente compacto Q es un subconjunto abierto de su s. completado Q

45.Teorema de Riesz:

Todo espacio vectorial normado localmente compacto tiene dimensión finita. ì Todo espacio de Hausdorff locamente compacto es un espacio de Baire. ì Si un espacio vectorial normado I no es localmente compacto, entonces todo subconjunto compacto de I tiene interior vacío (ver 35). ì El producto cartesiano \ ‚ ] es localmente compacto, si y sólo si, cada uno de los factores \ß ] es localmente compacto. ì El producto cartesiano \" ‚ \# ‚ â ‚ \8 es localmente compacto, si y sólo si, cada uno de los factores \" ß \# ß á ß \8 es localmente compacto.

46.Una

compactificación del espacio topológico \ es una aplicación continua : À \ ] tal que ] es compacto, : \ es denso en ] y : es un homeomorfismo de \ sobre : \ . ì Una compactificación de Alexandroff de un espacio topológico \ es una aplicación : À \ \ ‡ tal que 3 \ ‡ es un espacio compacto de Hausdorff 33 : es un homeomorfismo de \ sobre : \ 333 \ ‡ œ : \ ∪ ÖA×, donde A  : \ . ì Todo espacio de Hausdorff localmente compacto posee una compactificación de Alexandroff. ì Solamente los espacios de Hausdorff localmente compactos poseen compactificación de Alexandroff. ì Si : À \ \ ‡ y < À \ \ # son campactificaciones de Alexandroff del mismo espacio de Hausdorff localmente compacto \ , con \ ‡ œ \ ∪ ÖA‡ × y \ # œ \ ∪ ÖA# ×, entonces existe un homeomorfismo 2 À \ ‡ \ # tal que 2 ‰ : œ < y 2 A‡ œ A# . ì Sean : À \ \‡ y − M tal que B − Y > . En este último caso, se tiene 0 B œ infÞÖ> − Mà B − Y > × ì Sean \ un espacio topológico y H un subconjunto denso del intervalo M œ Ò!ß "Ó supongamos dado, para cada < − H, un subconjunto Y < § \ , de tal modo que 3 Cada Y < es abierto en \ 33 Si <  = entonces Y < § Y = . Definamos una función 0 À \ M , tomando infÞÖ< − Hà B − Y < × si B − Y < 0 B œœ " si B  Y < para algún Y < esta función es continua. ì Lema de Urysohn: Sea \ un espacio normal. Todo par de subconjuntos cerrados en \ posee una función de Urysohn.

Darío Sánchez H.

TOPOLOGIA GENERAL

28

ì Sea J un subconjunto cerrado y Y un subconjunto abierto de un espacio normal \ , con J § Y . Existe una función continua 0 À \ Ò!ß "Ó tal que " si B − J 0 B œœ . ! si B − \  Y

53.

Sea µ una base de abiertos en un espacio de Hausdorff normal \ . Dados F − µ y un punto B − Fß existe F" − µ tal que B − F" y F" § F . ì Para que un espacio topológico \ sea normal, es necesario y suficiente que se cumpla la siguiente condición: Dados en \ un cerrado J y un abierto E, con J § Eß existe un abierto Y en \ , tal que J § Y y Y § E. ì Todo espacio de Hausdorff compacto es normal. ì Teorema de metrización de Urysohn: Todo espacio de Hausdorff normal \ , con base enumerable, es homeomorfo a un subespacio del cubo de Hilbert G . En consecuencia, \ es metrizable. ì Sea µ œ ÖF8 ×8− una base enumerable de un espacio topológico \ . Diremos que una pareja T œ F7 ß F8 es admisible cuando F7 § F8 . El conjunto de las parejas admisibles es enumerable. ì Para que un espacio compacto de Hausdorff sea metrizable es condición necesaria y suficiente que \ tenga una base enumerable.

54.Un

espacio topológico \ se llama regular cuando todo B − \ posee un sistema fundamental de vecindades cerradas. Esto es equivalente a decir que para todo cerrado J en \ y todo punto B  J , existe un abierto Y tal que B − Y y Y ∩ J œ ø. ì Todo espacio de Hausdorff localmente compacto es regular. ì Todo espacio regular \ con base enumerable es normal. ì Forma fuerte del teorema de metrización de Urysohn: Todo espacio de Hausdorff regular con base numerable es homeomorfo a un subespacio del cubo de Hilbert y por lo tanto es metrizable. ì Todo espacio de Hausdorff localmente compacto con base numerable es metrizable. ì Es falso en general que un espacio de Hausdorff localmente compacto con base numerable pueda ser normal, pues en general un espacio localmente compacto puede no ser normal, aun que se satisfaga el axioma de Hausdorff, como se ve en el contraejemplo que sigue. ì Sea \ œ Òαß HÓ con su topología del orden bien conocida. \ y \ ‚ \ son espacios de Hausdorff normales. Pero el subconjunto abierto ] œ \ ‚ \  Ö Hß H × del producto cartesiano \ ‚ \ no es normal. En efecto los subconjuntos disyuntos J œ \ ‚ ÖH× ∩ ] , K œ ÖH× ‚ \ ∩ ] son cerrados en ] pero no estan contenidos en abiertos disyuntos. ì El ejemplo anterior también muestra que un espacio regular en general no es normal. ì No es verdad que un subespacio de un espacio normal sea normal, ni aún cuando \ sea de Hausdorff compacto.

Darío Sánchez H.

29

TOPOLOGIA GENERAL

55. Sea A un conjunto

y Ö\- ×-−A una familia de espacios topológicos con índices en Aß esto significa que a cada - − A corresponde un espacio topológico \- . Consideremos el conjunto \ œ # \- el producto cartesiano de los \- . Los - −A

elementos de \ son todos familias B- -−A œ Bß tales que para cada - − A, B- − \- . En otras palabras un punto B − \ es una función B À A ∪ \- expuesto a las -−A

condiciones de que para cualquier - − A, B - œ B- − \- son llamadas las coordenadas del punto B. ì En el producto cartesiano \ œ #\- se destacan las proyecciones sobre los ejes -

\- . Cada proyección es una aplicación de \ sobre \- , :-< À \ \- definida por < :- B œ B- œ --ésima coordenada de B. Dados Bß C − \ß B œ C Í :-< B œ :-< C cualquiera que sea - − A. ì Una topología definida en \ œ # \- debe ser tal que por lo menos las - −A

proyecciones sean continuas. Sea Y. un abierto en \. , para que :.< sea continua es necesario y suficiente que :. − F +ß 5 ß a>w − F +ß 5 ß . w 0 > ß 0 >w Ÿ . w 0 > ß 0 +  . w 0 >w ß 0 + Entonces $ 0 F +ß 5 œ sup Þ . w 0 > ß 0 >w Ÿ #% a%  ! . w

Ÿ #%Þ

>ß > − F +ß 5

Ahora

b8  !, tal que 5  8"  !ß • ß $ ˆ0 ˆF ˆ+ß 8" ‰‰‰ Ÿ #%, entonces Ö8 − Î$ ˆ0 ˆF ˆ+ß 8" ‰‰‰  #%× Á ø, entonces existe infÞ Ö8 − Î$ ˆ0 ˆF ˆ+à 8" ‰‰‰ Ÿ #%× Ÿ #% 8−

por lo tanto A 0 à + œ ! É Ñ Si A0 B œ ! entonces dado %  ! existe <  ! tal que supÞ . w 0 > ß 0 >w  % Ê . w 0 > ß 0 >w  % a>ß a>w − F +ß < w >ß > − F +ß
− F +ß < , . w 0 > ß 0 +  % Ê 0 es continua. # , Tomemos B8 œ 81 , 8 œ "ß $ß &ß (ß á una sucesión de números reales tendientes para cero, tenemos "ß 8 œ "ß &ß *à á 0 B8 œ =/8 ˆ "# ‰ œ =/8 1# 8 œ œ  "ß 8 œ $ß (ß ""ß á 81 " Así sea F ˆ!ß 8 ‰ 8 œ "ß $ß &ß (ß á entonces " $ ˆ0 ÒF ˆ!ß 8 ‰Ó‰ œ supÞ " l0 B  0 C l œ supÞ " l=/8 B"  =/8 C" l œ # Cß B − F ˆ!ß 8 ‰

Ahora

A 0ß ! œ

infÞ

8 − Ö"ß $ß &ß á ×

$ ˆ0 ˆF ˆ!ß

Bß C − F ˆ!ß 8 ‰

" ‰‰‰ 8

œ #.

…

5.Establecer los siguientes homeomorfismos:

+ Entre d 8"  Ö+× y W 8 ‚ d donde + − d 8"

, Entre el semi-espacio superior abierto L œ ÖB − d 8 à B8  !× y el espacio entero

d 8 ; entre L œ Ö< − d 8 à B8   !× y - Entre

d 8" ‚ Ò!ß ∞Ñ.

T œ ÖB − d 8 à B"   !ß á ß B8   !× y d 8" ‚ Ò!ß ∞Ñ. SOLUCIÓN. + Sea : À d 8  Ö!× W 8 ‚ d definida así: Ú B Š lBl ß lBl  "‹ ß si lBl   " : B œÛ B lBl" si lBl  " Ü Š lBl ß lBl ‹ ß como B Á ! entonces |Bl Á !, además lBl" lBl

œ"

" lBl

B lBl

B − W 8 ya que ¹ lBl ¹ œ " por otra parte

Ä  ∞ cuando lBl Ä ! ß y ß lBl  " Ä +∞ cuando lBl Ä  ∞ por lo

tanto : está bien definida.

Darío Sánchez H.

49

TOPOLOGIA GENERAL

Ahora sea 1 À W 8 ‚ d

d 8"  Ö!× definida porß

1 Cß D œ œ

"  D Cß si D   ! " si D  ! "D Cß

es claro que 1 está bien definida además se tiene que 3) Ú "D C Š "D ß "  D  "‹à l"  DllCl œ "  D  " : "  D C , si D  ! : 1 Cß D œ œ ˆ " ‰ œ Û "D C " " " : "D C , si D Ÿ ! " ‰ ‹à ¹ "D C ¹ œ "D  " Ü Š "D ß "  ˆ "D o sea que : ‰ 1 Cß D œ œ

Cß D Cß D

si "  D  " " si "D "

de donde : ‰ 1 œ M.W 8 ‚d o sea que : es 33) Por otra parte Ú B 1Š lBl ß lBl  "‹, si lBl  " 1‰: B œÛ B " Ü 1Š lBll ß "  lBl ‹, si lBl Ÿ "

œ Cß D

inyectiva.

Ú Ý lBl  "  " ßœÛ " " à Ý " " Š Ü lBl ‹ Þ

B lBl , B lBl ,

si lBl  "  ! si " 

" lBl

œ

lBl" lBl

Ÿ!

œœ

B, si lBl  " œ B, B, si lBl Ÿ " o sea que 1 ‰ : œ M.d8" Ö!× . Así : es sobre, por lo tanto : es biyectiva y se tiene :" œ 1Þ 333) : es continua: En efecto : œ :" ß :# donde :" À d 8"  Ö!× d 8"  Ö!× B B È lBl es continua,

:# À d 8"  Ö!× BÈ

Como lim ÖlBl  "× œ lim

lBl" lBlÄ" lBl

lBlÄ"

d lBl  "ß si lBl  " lBl" si |Bl Ÿ " lBl ß

œ!

entonces :# es continua.

Luego := :" ß :# es continua ya que cada una de sus componentes lo es. 3@) : es abierta: Para lo cual basta ver que :" es continua donde "  D Cß D  ! :" Cß D œ œ " DŸ! "D Cß Se sabe que la multiplicación por un escalar es una operación continua en un espacio métrico, ahora como " lim :" Cß D œ lim "  D C œ C, lim :" Cß D œ lim "D CœC o sea

DÄ!

DÄ!

lim :" Cß D œ lim :" Cß D œ C,

DÄ!

DÄ!

es abierta. Luego : es un homeomorfismo. (,) 3) Se define

DÄ!

DÄ!

entonces :" es continua, por lo tanto :

Darío Sánchez H.

TOPOLOGIA GENERAL

50

: À L œ ÖB − d 8 à B8  !× d8 ß " # 8 B ß B ß á ß B È B" ß B# ß á ß B8" ß log B8 así : œ 3.d ß á ß 3.d ß log como B8  ! entonces log B8 − d está bien definido por lo tanto : queda bien definida. Ahora 1 À d 8 L œ ÖB − d 8 à B8  !× 8 B" ß á ß B8" ß B8 È ˆB" ß á ß B8" ß /B ‰ es también bien definida y además 8 1 ‰ : B" ß á ß B8 œ 1 B" ß á ß log B8 œ ˆB" ß á ß B8" ß /log B ‰ œ B" ß á ß B8" ß B8 o sea 1 ‰ : œ M.L y 8 8 : ‰ 1 B" ß á ß B8 œ :ˆB" ß á ß /B ‰ œ ˆB" ß á ß B8" ß logÞ/B ‰ œ B" ß á ß B8 o sea : ‰ 1 œ M.d8 Por lo tanto : es biyectiva y tiene por inversa :" œ 1. Como : y :" son continuas entonces : es un homeomorfismo. 33) Ahora L À ÖB − d 8 à B8   !× d 8" ‚ Ö!ß ∞Ñ B" ß á ß B8 È B" ß á ß B8 es claramente continua y un homeomorfismo. (- ) Tomemos : À T œ ÖB − d 8 à B"   !ß B#   !ß á ß B8   !× d 8" ‚ Ò!ß ∞Ñ B" ß á ß B8" ß B8 œ Bß C È lBl#  C# ß #BC donde B œ B" ß B# ß á ß B8" ß C œ B8 . Es claro que : está bien definida ya que : Bß C œ lBl#  C# ß #BC œ ˆl B" ß á ß B8" l#  B8 # ß #B" B8 ß á ß #B3 B8 ß á ß #B8"B8 ‰ y se tiene que #B8" B8 − Ò!ß ∞Ñ. Para mostrar que : es un homeomorfismo basta probarlo para dos dimensiones o sea considerar : À T œ ÖB − d # à B"   !ß B#   !× d ‚ Ò!ß ∞Ñ : es inyectiva À : Bß C œ : B" ß C# Í B#  C# ß #BC œ B#"  C"# ß #B" C" o sea que B#  C# œ B#"  C"# , • , #BC œ #B" C" de donde tenemos B#  #BC3  C# œ B#"  #B" C" 3  C# Í B  3C # œ B3  3C" # Í Bß C # œ B" ß C" # de donde B œ „ B" ß • ß C œ „ C" pero B œ  B" • C œ  C" no se puede presentar ya que el punto  B" ß C"  T por lo tanto B œ B" • C œ C" , o sea Bß C œ B" ß C" . : es sobreyectiva: Sea A − d ‚ Ò!ß ∞Ñ tal que A œ A" ß A# , A" Á !ß A# Á ! para hallar Bß C − T utilizamos métodos elementales B#  C# ß #BC œ A" ß A# Ê B#  C# œ A" • #BC œ A# entonces se tiene que B#  C# œ A" • ŠB œ A#C# ” C œ A#B# ‹ de donde se debe tener o sea que

A## %C #

 C # œ A" ” B# 

A## %B#

œ A"

Darío Sánchez H.

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TOPOLOGIA GENERAL

%A" „É"'A"# "'A##

A „ÈA# A#

%B%  A## œ %A" B# Ê B# œ Í B# œ " # " # . ) Como A"  ÈA#"  A##  ! , entonces debe tomarse A"  ÈA#"  A##  ! , por lo tanto B œ „ É A" lAl œ É A" lAl , •, C œ # #

Luego dado A œ A" ß A#

A# #B

œ

A#

A lAl #É " #

œ

A# È# A" lAl

.

con A" Á !ß A# Á !ß tómese

Bß C œ ŒÉ A" lAl , È# AA#lAl # "

.

Si A œ A" ß ! con A"  !, tómese B œ ÈA" ß C œ !, en ese caso Si

A œ A" ß !

: Bß !

œ ŠˆÈA" ‰  !ß #ÈA" † !‹ œ A" ß ! Þ

: !ß C

œ Š!  ˆÈ  A" ‰ ß !‹ œ A" ß !

#

con A"  ! , tómese B œ !, C œ È  A"

en ese caso

#

Si A œ !ß A# œ Š!  ˆÈ  A" ‰ ß !‹ œ A" ß ! Þ #

Si A œ !ß A# , nótese que A#   !, en ese caso tómese B œ È A## ß C œ È A## y se tiene :ˆˆÈ A## ß È A## ‰‰ œ ˆ A##  A## ß #È A## È A## ‰ œ !ß A# . Así : es sobre. : es continua: Ya que : œ :" ß :# donde :" À T d es continua y :# À8 T d 8"8 es continua, # Bß B8

È lBl# 

È #B † B

Bß B

B8

por lo tanto : es continua. : es abierto: Con tal fin se define la función inversa de : la cual obtenemos como una conclusión de los cálculos realizados para mostrar que : es sobre Ú Ý A" lAl ˆA# ßA ßáßA8 ‰ ŒÉ # ß È# A$" lAl ß si A" Á ! " : A œÛ ݈ È si A8 œ !ß A"  ! Ü !ß  A" ‰ ß donde A œ A" ß á ß A8" ß A8 . En dos dimensiones tendríamos Ú Ý A" lAl A ŒÉ # ß È# A"#lAl " : A œÛ ݈ È Ü !ß  A" ‰ß y se tiene : :" A œŠ

œ :ŒÉ A" lAl ß #

ˆA# ßA ßáßA8 ‰ $ È# A" lAl

A"# #A" lAlA"# A## âA8# A## âA8# ß # A" lAl

œ Š A" lAl  #

ß

si A" Á ! si A# œ !ß A"  !

ÈA lAl A ßáßA A## A$# âA8# ß # È"#È#ÈA# lAl8 #ˆA" lAl ‰ "

" lAl A# ß A$ ß á ß A8 ‹ œ Š #A# "AA" lAl ß A# ß A$ ß á A 8 ‹

œ A" ß A# ß á ß A8 A œA

si A" Á !ß

o sea :‰: " : es continua. Cuando A" Á !ß A#  ! es claro que :" œ # ß á ß >8 − E. Como E es

Darío Sánchez H.

56

TOPOLOGIA GENERAL

p abierto entonces existe <  ! tal que F< Š > ‹ § Eß donde F< > es una bola abierta de Á p centro en > y radio <  ! entonces la bola cerrada F #< Š > ‹ § E. Á

Para cada >3 , 3 œ "ß #ß ß á ß 8 sabemos que existe una sucesión Ö;3 × de números racionales que convergen hacia >3 , esto es, sea %< #< ß %  ! y suficientemente pequeño entonces existe R3 tal que si 7  R3 entonces 7 l;3  >3 l  È%8 " 7

Sea R œ maxÖR3 à 3 œ "ß #ß á ß 8× entonces la desigualdad " se tiene para 7  R , 3 œ "ß #ß á ß 8 o sea si 7  R entonces 7 l;3  >3 l  È%8  #< # Entonces para 7 suficientemente grande y 7  R p 7 7 7 ; œ Š;" ß ;# ß á ß ;8 ‹ − F #< Š > ‹, en efecto;

tenemos que el punto

l >" ß ># ß á ß >8  Š;" ß ;# ß á Þ;8 ‹l œ lŠ>"  ;" ß >#  ;# ß á ß >8  ;8 ‹l œ 7

7

œË

7

8 5œ"

7

Š>5  ;5 ‹ Ÿ Ë Å 7

#

#

8 5œ"

7

7

Š È%8 ‹ œ É8 8% # œ #

#

% È8



< #

Esto muestra que p ; œ Š;" ß ;# ß á ß ;8 ‹ es un punto de coordenadas racionales ya p 7 7 7 7 que ;3 −  y p ; − F #< Š > ‹ Ê p ; − F< > , de donde p ; œ Š;" ß ;# ß á ß ;8 ‹ − E. 7

7

7

33) Mostremos ahora que si ¶ es una colección de abiertos dos a dos disyuntos no vacíos de d 8 entonces ¶ es enumerable. Basta observar que esto es una generalización de: "Sea f una colección de abiertos dos a dos disyuntos de d no vacíos entonces f es enumerable". Veamos esta afirmación, sea  œ ÖB" ß B# ß á ß B8 ß á × el conjunto de los números racionales el cual es un conjunto bien ordenado. Sea E − f ß entonces podemos hablar de 1 (E œ minÖ8 − à B8 − Eß B8 − × entonces la correspondencia E È (E es biunívoca (esta bien definida porque si E Á F Ê (E Á (F , puesto que si (E œ (F entonces existe B(EßF − E ∩ F enpocontradicción con el hecho de que E ∩ F œ ø), en forma análoga se muestra que 1 es biunívoca, ya que si (E œ (F entonces minÖ8 − ÎB8 − E× œ minÖ8 − ÎB8 − F× o sea que existe un B(EßF − E y B(EßF − F como E ∩ F œ ø por lo tanto E œ FÞ Entonces f es equipotente a un subconjunto de . Para el caso general sea ¶ œ ÖE3 ×3−M una colección de abiertos de d 8 dos a dos disyuntos, por la primera parte sabemos que en cada E3 existe por lo menos un puntos con coordenadas racionales; consideremos entonces p œ B ß B ß á ß B ÎB − ß ! Ÿ 3 Ÿ 8×. 8 œ  ‚  ‚ â ‚  œ ÖB " # 8 3 Como 8 es enumerable entonces puede bien ordenarse como 8 œ ÖBp8 Î8 − ß Bp8 − 8 ×. La correspondencia

Darío Sánchez H.

TOPOLOGIA GENERAL

3

M

57



È ( 3 œ minÖ8 − ÎBp8 − E3 ×

establece una correspondencia biunívoca entre M y un subconjunto de , entonces M es enumerable. La correspondencia esta bien definida, pues si 3 Á 4 Ê (3 Á (4 porque si (3 œ (4 entonces E3 ∩ E4 Á ø, contra la hipótesis de ser la colección ¶ disyunta dos a dos. Por lo tanto ¶ es enumerable. 333Ñ Sea M § d un intervalo 0 À M d es una función monótona entonces el conjunto de los puntos B − M en los cuales 0 es discontinua, es enumerable. En efecto supogamos, sin perder generalidad, que 0 es creciente y sea I el conjunto de los puntos de discontinuidad de 0 I § M . Con cada punto B de I asociamos un número racional < B tal que 0 B   < B  0 B  . Si B"  B# entonces por la monotonía; 0 B"  Ÿ 0 B#  o sea que si B" Á B# entonces < B" Á < B# . Para B − I , existen :ß ; −  tales que ;  B  :. Sea HB œ ÖB − MÎ0 B  ß 0 B  existen y 0 B   < B  0 B  × ∩ ∩ ÖB − MÎ0 >  < > ß aC − ;ß B × ∩ ÖB − MÎ0 >  < B ß a> − Bß : × w Si Bß B − HB entonces a> − Bß Bw ß 0 >  < B • 0 >  < B esto es imposible e implica que B œ Bw o sea que HB œ ÖB×. Así M puede ser considerado como una colección Mde subintervalos tales que 0 es continua en M- y además M- ∩ M. œ ø para - Á .. Es de notar que M- es abierto, así M" ß M# ß á ß M8 es una colección de abiertos dos a dos disyuntos, en cada M- hay un número racional ver la parte 33 por lo tanto ÖM- ×- es enumerable. Como las discontinuidades de 0 ocurren cuando se pasa de M3 a M3" se sigue que el conjunto I de las discontinuidades de 0 es enumerable. …

9.

Sea M œ Ò+ß ,Ó indicaremos con ¶ " M el espacio vectorial de las funciones continuas acotadas 0 À M d que posean derivadas continuas en todos los puntos B − M . Muestre que l0 l‡ œ supÖl0 B l  l0 w B là B − M× es una norma en ¶ " y que la aplicación lineal H À ¶ " M ¶! Ò+ß ,Óß d definida por H 0 œ 0 w (la derivada de 0 ), es continua. Dado B! − M ¿es abierto el conjunto E œ Ö0 − ¶ " M à 0 w B!  !×?. ¿Es continua la función : À ¶ " M d definida por , w : 0 œ '+ 0 B .B?. ¿Serían H continua y E abierto si tomamos en ¶ " M la norma l0 l œ supÖl0 B là B − M×?. SOLUCIÓN. 3) l0 l‡ œ sup Öl0 B l  l0 w B l× es una norma en ¶ " M . B−M

+ Como l0 B l   !ß aB − Mß l0 w B l   !ß aB − M , entonces l0 l‡ œ sup Öl0 B l  l0 w B l×   !ß B−M

, l0 l‡ œ sup Öl0 B l  l0 w B l× œ ! Í l0 B  0 w B l œ !ß aB − M B−M

 ! • 0 w B œ !ß aB − Mß Í l0 B l œ ! • l0 w B l œ !ß aB − M Í 0 œ o sea 0 œ !.

Darío Sánchez H.

TOPOLOGIA GENERAL

58

- l-0 l‡ œ sup Öl -0 B l  l -0 w B l× œ sup Öl-ll0 B l  l-ll0 w B l × œ B−M

B−M

sup l-lÖl0 B l  l0 w B l × œ l-l sup Öl0 B l  l0 w B l × œ l-ll0 l‡

B−M

B−M

. Sabemos que l0 B  1 B l Ÿ l0 B l  l1 B l aB − M w w w w l0 B  1 B l Ÿ l0 B l  l1 B l aB − Mß de donde se tiene que l0 B  1 B l  l0 w B  1w B l Ÿ l0 B l  l0 w B l  l1 B l  l1 w B l aB − M . Por lo tanto l sup Öl 0  1 B l  l 0 +1 w B l× Ÿ sup Ö l0 B l  l0 w B l  l1 B l  l1 w B l × Ÿ B−M

B−M

Ÿ sup Öl0 B l  l0 w B l×  sup Öl1 B l  l1w B l× B−M

B−M

o sea que l0  1l‡ Ÿ l0 l‡  l1l‡ . 33) La aplicación H À ¶ " M ¶! Ò+ß ,Óß d es continua. Basta probar que H es una contracción débil, en efecto l0 w B  1w B l Ÿ l0 B  1 B l  l0 w B  1w B l, aB − M por lo tanto sup l0 w B  1w B l Ÿ sup Öl0 B  1 B l  l0 w B  1w B l× o sea que

B−M

B−M

llH 0  H 1 ll Ÿ l0  1l‡ Luego H es una aplicación continua, ya que H es una contracción débil. 333) El conjunto E œ Ö0 − ¶ " M à 0 w B!  !× es abierto. En efecto, sea F œ Ö1 − ¶! Mà d à 1 B!  !×, F es abierto, ya que si F œ ø entonces F es abierto por definición. Si F Á øß sea 2 − F, entonces 2 B!  !. Sea $ œ 2 B! y R 2ß $ una bola de centro 2 y radio $, y sea 0 − R 2Þ$ Ê sup Öl0 B  2 B l× œ ll0  2ll  $ ß B−M

o sea l0 B  2 B l  $ para todo B − M œ Ò+ß ,Ó, en particular para B œ B! se tiene l0 B!  2 B! l  $ Í  $  0 B!  2 B!  $ o sea  $  2 B!  0 B! ß como $ œ 2 B! se sigue que 0 B!  !, de donde 0 − F y R 2ß $ § F . Se sabe que la aplicación H À ¶ " M ¶! Mà d es continua, por lo tanto H" F 0

ÈH0

œ 0w

es abierto, como E œ Ö0 − ¶ M à 0 B!  !× œ H" F ß se sigue que E es abierto. 3@) : À ¶ " M d es continua , 0 È'+ 0 w B .B : se puede obtener como la composición de α ‰ H donde ¶ " M H ¶! Mß d α d 0 È 0 w B È' , + 2 B .B 2 B Ya hemos probado que H es continua para que : ‰ H sea continua debemos simplemente probar que α es continua, en efecto dados 0! − ¶! Mß d y %  ! existe % $ œ ,+ tal que si |l0  0! ll  $ entonces "

w

Darío Sánchez H.

59

TOPOLOGIA GENERAL

lα 0  α 0! l œ l'+ 0 B .B  '+ 0! B .Bl œ ¹'+ 0 B  0! B .B¹ Ÿ '+ l0 B  0! B l.B Ÿ ,

,

,

Ÿ sup l0 B  0! l'+ .B

,

,

o sea

B−M

lα 0  α 0! l Ÿ ll0  0! ll ,  +  $ ,  + œ Luego : es continua. @) Si l0 l œ sup l0 B l es la normal de ¶ " M , H no es continua. B−M

Tomando Ò+ß ,Ó œ Ò!ß "Ó œ M • 08 B œ 8 B8" 8

B8 8. 8"

% ,+

† ,  + œ %Þ

Ahora 08 B tiende para cero cuando B Ä !,

H 08 œ œB Si H es continua se debe tener H 08 H ! . Pero w lH 0  H ! l œ l07 l œ sup l08w l œ sup l08w B l œ sup lB8" l œ ". B−M

B−M

B−M

E œ Ö0 − ¶ " à 0 w ÐB! Ñ  ! con B! − M× no es abierto . " Sea ¶ " ÐMÑ con la norma del supremo, M œ Ò!ß "Ó. Sea ! œ y sea $  !.  0 − ¶ ÐMÑ " B8 Entonces existe 8 − R tal que 8  $ y tomemos la función 08 B œ 8 Þ Tenemos que . 08 ß 0 œ 8"  $ y sin embargo se tiene . H 08 ß H 0 œ . 08w ß 0 w œ "Þ Luego H no es continua en 0 œ  !Þ Sea ahora 0 B œ Bß 0 − ¶ " ÐMÑ donde M œ Ò!ß #1Ó y sea %  !. Entonces existe 8 −  tal " que #8"  % y sea B! œ 1 − M . Tómese ahora la función " 08 B œ B  #8" =/8 #8  " B ; 08 − ¶ " ÐMÑ y

" . 08 ß 0 œ supÞ¹ #8" =/8 #8  " B ¹ œ

" #8"

%

y por consiguiente 08 − FÐ0 à %Ñ.

Tenemos que 0 w B! œ 0 w 1 œ "  ! mientras que consiguiente 08  E y E no es abierto. …

10.Sea

08w B! œ 08w 1 œ "  " œ !Þ Por

\ un espacio topológico y K una colección de homeomorfismos la cual

forma un grupo en relación a la composición. La órbita de un punto B − \ relativamente al grupo K es el conjunto K B œ Ö1 B à 1 − K× § \ . Defina en \ una relación de equivalencia cuyas clases son las orbitas de los puntos de \ según K. Indique por \ÎK el espacio cociente. + Muestre que la aplicación cociente : À \ \ÎK es abierta. , Supongamos que K es un grupo propiamente discontinuo esto es, para todo B − \ , existe un abierto Y ® B con Y ∩ 1 Y œ ø para todo 1 − K, 1 Á identidad. es SOLUCIÓN. + Basta mostrar que si E es una órbita en \ entonces :" : E abierto, lo cual se tiene ya que :" : E œ ∪ 1 E " 1−K

como 1 − Kß 1 es un homeomorfismo entonces 1 E es abierto por lo tanto :" : E es reunión de abiertos, por lo tanto, es abierto. Nos resta probar la

Darío Sánchez H.

60

TOPOLOGIA GENERAL

igualdad "ß veámoslo: sea C − :" : E Í: C œ : E o sea que K C − : E œ ∪ K B ß esto equivale a afirmar que existe B − E tal que K C œ K B B−E

o sea existe B − E tal que K C œ Ö1 C Î1 − K× œ Ö0 B Î0 − K× œ K B como K es un grupo + C œ C − Ö0 B Î0 − K×, entonces existe 1 − K tal que C œ 1 B ß B − E. Entonces C − 1 E para algún 1 − K Í C − ∪ 1 E . Recíprocamente

1−K

sea

C− ∪ 1 E 1−K

Í b1 − Kß C − 1 E

de

donde

1 − K • B − E tal que C œ 1 B Í bB − E tal que C − K B entonces C −

donde :" C § :" Š

∪

K B ‹ pero C − :" C

C − :" C § :" Š B−E

∪

B−E

por lo tanto

∪

B−E

existe

K B

de

K B ‹ œ :" : E ,

entonces C − :" : E Þ Luego : es abierta. , Supongamos que K es un grupo propiamente discontinuo esto es, para todo B − \ , existe un abierto Y ® B con Y ∩ 1 Y œ ø para todo 1 − K,

1 Á identidad.

Esto implica que 1 Y y 2 Y son disyuntos siempre que 1 Á 2ß 1ß 2 − KÞ SOLUCIÓN. Supongamos que 1 Y ∩ 2 Y Á ø entonces existe C − 1 Y ∩ 2 Y ß se sigue la existencia de B! ß B" − Y tal que 1 B! œ Cß 2 B" œ C , como 1ß 2 son homeomorfismos entonces B! œ 1" C • B" œ 2 " C y siendo K un grupo tenemos que 1 Á 2, por lo tanto 2 " ‰ 1 B! œ 2 " C œ B" Ê B" − Y • B" − 2 " ‰ 1 Y entonces Y ∩ 2 " ‰ 1 Y Á ø lo cual po es una contradicción con el hecho de ser K un grupo propiamente discontinuo y 2 " ‰ 1 − K con 2 " ‰ 1 Á 3.. Luego si 1 Á 2ß 1 Y ∩ 2 Y œ ø. - En estas condiciones la aplicación cociente : À \ \ÎK es un homeomorfismo local. SOLUCIÓN. : es claramente sobreyectiva y continua. Mostremos que : es local e inyectiva. Siendo K un grupo propiamente discontinuo para todo B − \ existe un abierto Y ® B con Y ∩ 1 Y œ ø para todo 1 − KÞ Sea :Y À Y : Y donde :Y œ :lY , sean Bß C − Y tales que : B œ : C Í : B œ K B œ Ö1 B à 1 − K× œ Ö1 C à 1 − K× œ K C œ : C entonces 1 B − K B Ê b0 − KÎ0 C œ 1 B por lo tanto B œ 1" ‰ 0 B œ 2 C ß 2 œ 1" ‰ 0 − K Ê Y ∩ 2 Y Á ø entonces por la parte , , se tiene 0 œ 1 o se a que B œ C ya que 2 œ 3.Þ " :" À \ÎK \ es continua si para todo abierto E de \ :" E œ: E es abierto en \ÎK ß pero esto es verdad pues : es una aplicación abierta luego : À \ \ÎK es un homeomorfismo local.

Darío Sánchez H.

TOPOLOGIA GENERAL

61

. Los toros X 8 , el espacio proyectivo 8 y el cilindro W " ‚ d son casos particulares

del caso , p p C ™8 Í p B p C − ™8 o sea SOLUCIÓN. X 8 œ d 8 Ι8 donde B œ p p p p p p p B  C œ 8 Í B œ C  8ß 8 − ™8 Þ 8 Sea K œ Ö7p8 À d d 8 à 7p8 B œ p B p 8 ßp 8 − ™8 ×ß 7p8 es un homeomorfismo de d 8 por ser 7p8 œ 78" ß 78# ß á ß 788 y cada una de las componentes es una translación por lo tanto un homeomorfismo. K es un grupo con la composición. p p p − ™ × por lo tanto X 8 œ d 8 ÎK y se Ahora K œ Ö7p8 B œ p B p 8 Î7p8 − K× œ ÖB 8Î8 tiene que el toro es un caso particular del problema en consideración. 8 œ W 8 Î µ donde B µ C Í C œ B. Sea K œ Ö1" ß 1# × dadas por 1" À W 8 W 8 , 1 # À W 8 W8 , BÈ B B ÈB 1" y 1# son claramente homeomorfismos. K es un grupo con la composición pues 1" ‰ 1" œ 1 " ß 1# ‰ 1# œ 1" ß 1" ‰ 1# œ 1# œ 1# ‰ 1". Ahora K B œ Ö1" B ß 1# B × œ ÖBß  B×. 8 8 Luego W ÎK œ W Î µ œ 8 obteniendose que el plano proyectivo 8 es un caso particular del problema considerado. d El cilindro W " ‚ d µ d , 8 − ™ la µ ™ ‚ d œ Ö B  8ß C à Bß C − dß 8 − ™×Þ Sea 78 À d BÈ B  8 translación, por lo tanto 78 es un homeomorfismo de d . Sea K œ Ö1 œ 78 ß 3. À d ‚ d dÎ1 Bß C œ B  8ß C ß 8 − ™×. Como 78 e 3. son homeomorfismos entonces 1 œ 78 ß 3. es un homeomorfismo. Si definimos en K la ley de composición 1 ‰ 1" œ 78 ß 3. ‰ 77 ß 3. œ 78 ‰ 77 ß 3. se obtiene que K es un grupo. Consideremos las órbitas de cada p B − d ‚ dß p B œ Bß C K B œ Ö1ˆp B ‰ œ 1 Bß C œ B  8ß C Î1 − K× œ Ö B  8ß C Î8 − ™× Por lo tanto d‚d d µ " K œ ™ ‚d µ W ‚d Teniéndose que el cilindro también es un caso particular del presente problema. …

11. Sean 0 ß 1 À \

] aplicaciones continuas del espacio topológico \ en el espacio

de Hausdorff ] . El conjunto de los puntos B − \ tales que 0 B œ 1 B es cerrado en \ . ¿Es esencial en ] que sea Hausdorff ? SOLUCIÓN. 3) Sea I œ ÖB − \à 0 B œ 1 B ×. I es cerrada Í CI es abierto, donde CI œ ÖB − \à 0 B Á 1 B ×Þ Sea B − CI ß entonces, 0 B Á 1 B , ] siendo de Hausdorff, existen E" ß E# abiertos de ] tales que 0 B − E" ß 1 B − E# y E" ∩ E# œ ø.

Darío Sánchez H.

TOPOLOGIA GENERAL

62

Como 0 ß 1 À \ ] son aplicaciones continuas, se sigue que 0 " E" y 1" E# son abiertos en \ por ser imagenes recíprocas de abiertos por aplicaciones continuas. Sea F œ 0 " E" ∩ 1" E# , F Á ø pues B − F y F es abierto por ser la intersección de dos abiertos. Veamos que F § CI , en efecto para todo D − F entonces 0 D − E" y 1 D − E# como E" ∩ E# œ ø se sigue que 0 D Á 1 D esto implica que D − CI Þ Luego para todo B − CI ß existe F abierto en \ tal que B − F § CI entonces CI es abierto por lo tanto I es cerrado. 33) Veamos que la condición de ser ] Hausdorff no puede eliminarse. Basta dar un ejemplo, sea ] œ Ö!ß "ß #× y \ œ dß 7] œ Ö] ß øß Ö!×× una topología en ] . Se definen ! ß si B  ! !ß si B  ! 0 À\ œd ] ß0 B œœ ß 1À\ ], 1 B œœ "ß si B Ÿ ! #ß si B Ÿ ! " " 0 y 1 son continuas, ya que 0 Ö!× œ !ß  ∞ ß 0 ] œ d œ \ß 0 " ø œ ø y 1" Ö!× œ !ß  ∞ ß 1" ] œ \ß 1" ø œ ø, que son abiertos. Sea E œ ÖB − d œ \Î0 B œ 1 B × œ !ß  ∞ que es abierto en \ . Obsérvese que ] con esa topología no es Hausdorff. Si la hipótesis de ] ser Hausdorff no fuese esencial, deberíamos tener E cerrado en \ ya que 0 ß 1 À \ ] son continuas y como se vió E es abierto, pero esto es una contradicciónpo pues d no puede tener subconjuntos propios que sean abiertos y cerrados a la vez ya que d es conexo . …

12. Primera parte:La adherencia de un conjunto en un espacio topológico \ goza de las siguientes propiedades:

"Ñ ø œ ø, #Ñ W § Wß $Ñ W œ Wß %Ñ W ∪ X œ W ∪ X SOLUCIÓN. ")Þ Sea \ un espacio topológico entonces \ es un abierto de la topología, C\ su complemento es un cerrado de la topología, así, ø œ C\ es cerrado. Sabemos que si J § \ es cerrado entonces J œ J y recíprocamente, por lo tanto como ø § \ y ø es cerrado entonces ø œ ø. #)Þ Sea B − W § \ , como \ es abierto, existe Y B vecindad de B tal que Y B § \ y B − Y B ; como B − W se sigue que B − Y B ß y, W ∩ Y B Á øß por lo tanto B − W , o sea W § W . $)Þ Sabemos que W es el menor cerrado que contiene a W por lo tanto W es cerrado, además W § \ por lo tanto por un resultado básico ¿cuál? se sigue que W œ WÞ %)ÞSea B − W ∪ X entonces existe Z vecindad de B en \ tal que B − Z y Z ∩ W ∪ X Á ø, ahora Z ∩ W ∪ X œ Z ∩ W ∪ Z ∩ X Á ø, esto impica que B − Z y, Z ∩ W Á ø , ” , Z ∩ X Á øß o sea B − Z • Z ∩ W Á ø ” B − Z • Z ∩ X Á ø de donde B − W ” B − X Í B − W ∪ XÞ Recíprocamente que B − W ∪ X Í B − W ” B − X entonces para toda Z" vecindad de B y Z# vecindad de B en \ , se tiene que B − Z" • Z " ∩ W Á ø ” B − Z # • Z # ∩ X Á ø . Esto es equivalente a B − Z œ Z" ∩ Z# • Z ∩ W Á ø ” Z ∩ X Á ø

Darío Sánchez H.

63

TOPOLOGIA GENERAL

o sea que

B−Z • Z ∩W ∪ Z ∩X Á ø ÍB−Z •Z ∩ W ∪X Á ø Luego B − W ∪ X . De donde se concluye que W ∪ X œ W ∪ X Þ … Segunda parte: Estas propiedades implican sin retomar la defición que si W § X

entonces W § X y que W ∩ X § W ∩ X . Recíprocamente, sea \ un conjunto, supongamos definida entre las partes de \ una aplicación W W gozando de las siguientes cuatro propiedades de la primera parte. Defina un subconjunto E § \ como si \  E œ \  E. Muéstrese que se obtiene así una topología en \ , relativamente a la cual la adherencia de un subconjunto W coincide con el subconjunto W dado inicialmente. SOLUCIÓN. 3). Como W § X entonces W ∪ X œ X por lo tanto W ∪ X œ X pero W ∪ X œ W ∪ X entonces W ∪ X œ X ß luego W § W ∪ X œ X . 33). Ú ÚW ∩ X § W W ∩X §W • ÊÛ Ê W ∩ X ∩ W ∩ X § W ∩ X , o sea que W ∩ X § W ∩ X . Û W ∩X §X Å Ü 3 ÜW ∩ X § X 333)Þ Sea : À P \ P \ . Sea 7 œ eE § \à : \  E œ : CE œ CEf, 7 W È W es una topología en \ , en efecto, + Como : ø œ Cø œ \ œ \ œ \ø œ Cø • ø § \ entonces ø − 7 . : \ œ C\ œ ø œ ø œ C\ Ê \ − 7 . Å "

, Sea ÖE3 ×3−M una familia de elementos de ∪ E3 § \

3−M

Luego

:Š\ ∪ E3 ‹ œ C ∪ E3 œ ∩ 3−M

3−M

:Š\ ∪ E3 ‹ §

3−M

3−M

7

o sea E3 § \ ß a3 − M ; por lo tanto

C E3 § C E3 œ CE3 ß a3 − M

E3 ‹ ∩ CE3 œ CŠ3 ∪ −M

3−M

M

Recíprocamente por la condición # tenemos que CŠ ∪ E3 ‹ œ \ ∪ E3 § \ ∪ E3 œ :Š\ de M

MM tenemos que :Š\ 3−M

3−M

E3 ‹ ∪ E3 ‹ œ CŠ3 ∪ −M 3−M

3−M

- Sean E" ß E# ß á ß E8 , 8 elementos en a3 œ "ß #ß á ß 8 entonces :Œ\ ∩ E3 8

3œ"

Luego

œ CŒ

8

∩

•

MM

∪ E3 − 7

3−M

7 , entonces

8

∩ E3 − 7 3œ"

ya que E3 § \ ,

E3 § \ y

3œ"

8

∪ E3 ‹

3−M

∩ E3 3œ"

œ

8

∪ CE3 3œ"

œ Å %

CE3 œ CŒ ∩ E3 ∪ CE3 œÅ 3 ∪ 3œ" œ" 3œ" 8

8

E3 − 7

8

.

Darío Sánchez H.

64

TOPOLOGIA GENERAL

: Œ\ 

8

∩ E3 3œ"

œ CŒ

8

∩ E3 3œ"

Ê

8

∩ E3 − 7 . 3œ"

Por lo tanto 7 es una topología sobre \Þ . Para todo E § \ , : E es cerrado en \ , porque C: E es abierto ya que :Ò\  C: E Ó œ C C : E œ : E œ ˆE‰ œ E œ: E Å $

Como E § : E entonces E § : E , por ser : E cerrado contenido en E (E es intersección de todos los cerrados que contienen a E). Siempre E es cerrado, en consecuencia CE es abierto en \ß entonces por la definición de 7 entonces :ÒCˆCˆE‰‰Ó œ CCE œ E entonces :ˆE‰ œ EÞ Como E § E Ê : E § :ˆE‰ œ Eß entonces : E § E. Por lo tanto tenemos que : E œ E. …

13. Sea 0 À \

] una aplicación continua de \ sobre ] . Con el objeto de que 0 sea

cerrado es necesario y suficiente que para cada C − ] y todo Y en \ con 0 " C § Y , existe un abierto Z en ] tal que C − Z y 0 " Z § Y . SOLUCIÓN. Ê Ñ Supóngase 0 cerrado y sea C − ] cualquiera para todo abierto Y de \ con 0 " C § Y tenemos que C\ Y es cerrado en \ , de donde 0 C\ Y es cerrado en ] ß y , C  0 C\ Y , entonces C] 0 C\ Y es abierto en ] . Por lo tanto tomando Z œ C] 0 C\ Y ß C − Z y además ‡

0 Z œ 0 C ] 0 C\ Y œ C\ 0 0 C\ Y §  C\ C\ Y œ Y " " C\ Y § 0 0 C\ Y Ê C\ 0 0 C\ Y § C\ C\ Y Luego para todo C − ] , y todo Y − 7\ con 0 " C § Y , basta tomar Z œ C ] 0 C\ Y . É ) Recíprocamente, sea J cerrado en \ de donde 0 J § ] , queremos probar que 0 J es cerrado, vemos por consiguiente que C] 0 J es abierto. Sea C − C] 0 J § ] entonces 0 " C § 0 " C] 0 J œ C\ 0 " 0 J " Como 0 " 0 J ¨ C\ J es abierto así  J entonces 0 C § C\ J como J es cerrado " por la condición (de la hipótesis) existe Z tal que C − Z y 0 Z § C\ J o sea que 0 " Z ∩ J œ øÞ Se afirma que Z ∩ 0 J œ ø, porque si Z ∩ 0 J Á ø entonces b- − Z ∩ 0 J Í - − Z ß • ß - − 0 J o sea que bB − J tal que - œ 0 B − Z • B − J entonces bB − J tal que B − 0 " Z • B − J o sea que 0 " Z ∩ J Á ø, lo cualpo es contradictorio así Z ∩ 0 J œ ø, en total se tiene C −Z •Z §  C] 0 J así que C] 0 J es abierto. Luego 0 es cerrado. ÐVer otra demostración por un método diferente en el problema 87) "

‡

"

"

Darío Sánchez H.

TOPOLOGIA GENERAL

65

…

14. Sea 0 À \

] un homeomorfismo local. La imagen inversa 0 " C de cada punto

C − ] , es un subconjunto discreto de \Þ Dadas aplicaciones continuas 1ß 0 À ^

\

tales que 0 ‰ 1 œ 0 ‰ 2, entonces ÖD − ^à 1 D œ 2 D × es un subconjunto abierto de ^ . Un levantamiento de una aplicación continua 1 À ^ ] es una aplicacción continua µ 1 À ^ \ tal que 0 ‰ µ 1 œ 1. Concluya que si ^ es conexo y \ de Hausdorff, dos levantamientos de 1 À ^ ] los cuales coinciden en un punto D! − ^ß coinciden en todos los puntos de ^Þ 0 " C ß aC − ] , es un subconjunto discreto de \ . Como C − ] y 0 SOLUCIÓN. + es un homeomorfismo local existe un abierto Y de \ tal que 0 lY À Y 0 Y es un homeomorfismo, y C − 0 Y . Ahora 0 " C ∩ Y œ ÖB× porque si existiera otro B" Á B tal que B" − 0 " C ∩ Y entonces B" − Y • B" − 0 " C Ê B" − Y • 0 B" œ C por otra parte B − Y ∩ 0 " C Ê B − Y • 0 B œ C o sea B" ß B − Y ß B Á B" • 0 B" œ 0 B œ C entonces 0 no es un homeomorfismo de 0 lY À Y 0 Y , lo cual po es contradictorio. Por lo tanto 0 " C es un subespacio discreto de \Þ , Dadas 1ß 2 À ^ \ tales que 0 ‰ 1 œ 0 ‰ 2 entonces ÖD − ^à 1 D œ 2 D × es abierto en ^ . Sea : − ÖD − ^à 1 D œ 2 D × œ ^" , se debe hallar un abierto Z de ^ tal que

: − Z § ^" Þ Con tal fin, se aplica a :ß 0 ‰ 1 para obtener 0 1 : − ] ß como 0 es un homeomorfismo local existe un abierto Y de \ tal que 1 : − Y y 0 lY À Y 0 Y es un homeomorfismo. Como 2 : œ 1 : ya que : − ^" , así que 2 " Y ∩ 1" Y Á ø • : − 2 " Y ∩ 1" Y Como 2ß 1 son aplicaciones continuas y Y abierto en \ entonces 2 " Y ß 1" Y son abiertos en ^ (se supone que \ß ] ß ^ son espacios topológicos) por lo cual "2 " Y ∩ 1" Y es abierto en ^ ". Veamos finalmente que 2 " Y ∩ 1" Y § ^" , en efecto sea D − 2 " Y ∩ 1" Y ß entonces 2 D − Y • 1 D − Y ß ahora 0 2 D −0 Y •0 1 D −0 Y y 0 ‰2 œ0 ‰1 así que 0 2 D œ 0 1 D y como 0 es un homeomorfismo se tiene que 2 D œ 1 D Ê D − ^" Basta por lo tanto tomar Z œ 2 " Y ∩ 1" Y Þ  2. - Si 1ß 2 À ^ ] son levantamientos tales que 1 D! œ 2 D! entonces 1 œ

Darío Sánchez H.

TOPOLOGIA GENERAL

66

Sea ^" œ ÖDÎ2 D œ 1 D ×, ^# œ ÖDÎ2 D Á 1 D ×. Se tiene: ") Þ ^" Á ø puesß D! − ^" Þ µ #)Þ ^" es abierto, ya que, ^" œ ÖDÎ 0 ‰ µ 1 D œ Š0 ‰ 2 ‹ D × µ Sea : − ^" Í 0 µ 1 : œ 0 Š 2 : ‹, como 0 es un homeomorfismo local existe Y abierto en \ tal que µ 1 : − Y y 0l À Y 0 Y es un homeomorfismo, tomando como en ,

se obtiene que

Y

µ " Z œ2 Y ∩µ 1 " Y

µ " :−2 Y ∩µ 1 " Y § ^" $)Þ Sea ^# œ ÖD − ^Î1 D Á 2 D ×, ^# es abierto µ Sea D − ^# Í 1 D Á 2 D de donde se tiene que 0 µ 1 D Á 0 Š 2 D ‹, como \ es µ un espacio de Hausdorff existen [" ® µ 1 D y [2 ® 2 D tales que [" ∩ [# œ ø. Ahora como 0 es un homeomorfismo local se sigue que 0 l[" À [" 0 [" • 0 l[# À [# 0 [# son homeomorfismo por lo tanto 0 [" ∩ 0 [# œ ø y µ 0 µ 1 D œ 1 D − 0 [" • 0 Š 2 D ‹ œ 2 D − 0 [ # tomando

Z œ 1" 0 ["

∩ 2 " 0 [#

se tiene: 3) Z es abierto, ya que 1ß 2 son continuas, 0 [" ß 0 [# son abiertos en ] y la intersección de dos abiertos en ^ es abierto. 33) Como 1 D − 0 [" • 2 D œ 0 [# se sigue que D − 1" 0 [" ∩ 2 " 0 [# œ Z 333) Z § ^# en efecto; sea : − Z œ 1" 0 [" ∩ 2 " 0 [# , entonces : − 1" 0 [" • : − 2 " 0 [# Í 1 : − 0 [" • 2 : − 0 [# como 0 [" ∩ 0 [# œ ø entonces 1 : Á 2 : Í : − ^# . %)Þ ^ œ ^" ∪ ^# , ^" Á øß ^" ß ^# son abiertos disyuntos. Como ^ es conexo se sigue  2. que ^# œ ø. Por lo tanto ^ œ ÖDÎ1 D œ 2 D × o sea 1 œ …

15.Para

que \ sea un espacio de Hausdorff, es necesario y suficiente que la diagonal ? œ Ö Bß C − \ ‚ \ÎB œ C× sea un subconjunto cerrado de \ ‚ \ . Otra condición equivalente es que cada punto B − \ sea la intersección de todas las vecindades cerradas de B.

Darío Sánchez H.

67

TOPOLOGIA GENERAL

SOLUCIÓN.

+ Ê Ñ \ es espacio de Hausdorff entonces aB − \ , aC − ] con B Á C existen Z − µ B , b[ − µ C tales que Z ∩ [ œ ø Ê Z ‚ [ œ ø de donde Z ‚[ ∩?œø porque si Z ‚ [ ∩ ? Á ø, existe Bß C − Z ‚ [ • Bß C − ? entonces B − Z , C − [ • Bß C − ? Ê B − Z • B œ C − [ Ê B − Z ∩ [ lo cual po es contradictorio ya que Z ∩ [ œ ø. Como Z ‚ [ es una vecindad de Bß C en \ ‚ \ y Z ‚ [ § C?, entonces C? es abierto por lo tanto ? es cerrado en \ ‚ \ . É Ñ Supongamos que ? es cerrado, sean Bß C − \ tales que B Á C así que Bß C  ? ‰ entonces Bß C − C? œ Cs? entonces existe un abierto Q tal que Bß C − Q § C?, Q puede ser elegido como un abierto elemental o sea bZ − µ B ß b[ − µ C tales que Q œ Z ‚ [ así ZB ‚ [C § C? Í Z ‚ [ ∩ ? œ ø entonces Z ∩ [ œ ø, así, bZ − µ B • b[ − µ C tal que Z ∩ [ œ ø de donde \ es un espacio de Hausdorff. , Supóngase \ espacio de Hausdorff, Bß C − \ tales que B Á C por consiguiente existen Z ® B abierto y [ ® C abierto tales que ZB ∩ [C œ øß entonces ZB § C[C como ZB es el menor cerrado que contiene a ZB se sigue que ZB §  ZB § C[C entonces C  ZB ß aC Á Bß así C  ∩ ZB ß B Á C Ê ∩ ZB œ ÖB× B − ZB

porque si

∩

B−Z

entonces

B−Z

ZB œ ÖB,B" × y B Á B" Ê bZB ß bZB" ÎZB ∩ ZB" œ ø

ZB § ZB § CZB" Ê bZB ÎB" Â ZB • B" −

∩

B − ZB

ZB

esto po es contradictorio. É Ñ Recíprocamente sea B Á C en \ entonces existe ZB vecindad tal que C Â ∩ ZB ß o sea cŠC − ∩ ZB ‹ Í cˆaZB ß C − ZB ‰ Í bZB tal que C Â ZB B−Z

entonces,

B−Z

bZB tal que C − CZB . Como CZB es abierto entonces b[C abierto tal que C − [ § CZB Þ Así. bZB ß b[C tal que ZB ∩ [C §  ZB ∩ CZB œ ø, o sea bZB ß b[C tal que ZB ∩ [C œ ø. De donde \ es un espacio de Hausdorff. …

Darío Sánchez H.

16.Sea Q

TOPOLOGIA GENERAL

68

8 el conjunto de las matrices cuadradas reales con 8 filas y 8 columnas.

Establezca una correspondencia biunívoca entre Q 8 y el espacio euclidiano d 8 . Por medio de esa correspondencia, vuelva a Q 8 un espacio métrico. Las aplicaciones ./> À Q 8 d ,y, 7 À Q 8 ‚ Q 8 Q 8 , definidas por ./> \ œ determinante de la matriz \ y 7 \ † ] œ \ † ] œ producto matricial de \ por ] , son continuas. El conjunto K 8 de las matrices 8 ‚ 8 las cuales poseen inversa es abierto en Q 8 . La aplicación < À K 8 K 8 definida por < \ œ \ " ß es continua. El conjunto b 8 de las matrices ortogonales (esto es, matrices cuya inversa es igual a la transpuesta) es acotada en Q 8 . El conjunto K 8 de las matrices cuyo determinante es  ! es abierto y cerrado en K 8 Þ ¿Será K 8 cerrado en Q 8 ? SOLUCIÓN. + Construcción de la correspondencia biunívoca. Q 8 es espacio métrico. Sea Ô +"" + "# á +"8 × Ö +#" +## á +#8 Ù Ö Ù +34 œ E œ Ö +$" +$# á +$8 Ù Ö Ù ã ã ä ã Õ +8" +8# á +88 Ø #

Se define # 0 ÀQ 8 d8 E È Ð"E Á !, así ./> À Q 8 d es una aplicación continua y ./>" d  Ö!× œ K 8 . Siendo d  Ö!× abierto en d y K 8 la imagen recíproca de un abierto en d por la continuidad de la función ./> se sigue que K 8 es un abierto en Q 8 . . La aplicación < À K 8 K 8 definida por < \ œ \ " es continua. Sabemos que < \ œ \ " œ Š

"

34

./> \34 ./> \

‹

>

donde \34 es la matriz obtenida de \ excluyendo la 3-ésima fila y la 4-ésima columna. Sean >ÀK 8 K 8 , T- À K 8 K 8 ß -−d \ È \> \ È -\ La aplicación > que lleva \ en su transpuesta es continua (más abajo en / se puede apreciar mejor este hecho) T- la aplicación que lleva \ en la multiplicación por un escalar -\ es continua, pues es una homotecia. Sea \34 ‡ la matriz cofactor 34 de \ , tenemos la siguiente descomposición 8#  @/-/= èëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëéëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëê K 8 K 8" ‚K 8" ‚â ‚K 8" ‚â‚K 8" \ È \"" ß \#" ß á ß \34 ß á ß \88 p ./>ß ./>ß á ß ./>ß á ß ./> œ ./> #

d ‚ d ‚ â ‚ d ‚ â ‚ d œ d8 ./>\"" ß ./>\#" ß á ./>\34 ß á ß ./>\88 p =31ß =31ß á ß =31ß á ß =31 œ =31 # d ‚ d ‚ â ‚ d ‚ â ‚ d œ d8

Darío Sánchez H.

ˆ "

""

./>\"" ß  "

#"

./>\#" ß á ß  "

0 " K 8 ˆ  " 34 ./>\34 ‰ " " T ./>\ œ T- ß - œ ./>\ > K 8 K 8

" ˆ ./>\ ‡

70

TOPOLOGIA GENERAL

"

\34 − K 8  " Entonces

34

./>\34 ‰È Š

"

a3ß a4Þ

./>\34 ‹ ./>\ 34

< œ>‰T

" ./>\

34

./>\34 ß á ß  "

88

./>\88 ‰

>

p p ‰ ./> ‰ 0 " ‰ =31 ‰=

< es por tanto continua, ya que es una composición de aplicaciones continuas. / El conjunto b 8 de matrices ortogonales es acotado y cerrado en Q 8 . Sea R − b 8 entonces R † R > œ M , o sea Ô 8"" á 834 á 8"8 × 8 á 83" á 88" × ä ã ä ã Ù Ô "" Ö ã 8 Ö Ù Ö 8"# á 83# á 88# Ù 834 † 834 Ö 83" á 834 á 838 Ù † Ö Ùœ ã ä ã ä ã Ö Ù 4œ" ã ä ã ä ã Õ 8"8 á 838 á 888 Ø Õ 88" á 884 á 888 Ø Ô" Öã Ö œ Ö! Ö ã Õ!

entonces

á ä á ä á

! ã " ã !

á ä á ä á

!× ãÙ Ù !Ù Ù ã "Ø

8

8

8#34

# 834 œ!

œ "ß 3 œ "ß #ß á ß 8 •

4œ"

4œ" 3Á4

de donde se recibe: l834 l Ÿ "ß 3ß 4 œ "ß #ß á ß 8 Entonces si Q œ 734 ß R œ 834 son matrices de b 8 se debe tener l734 l Ÿ " y l834 l Ÿ " para 3ß 4 œ "ß #ß á ß 8 de donde se tiene que . w Q ß R œ supÖl734  834 lß 3ß 4 œ "ß #ß á ß 8× Ÿ #Þ Como Q y R son elementos arbitrarios de b 8 se sigue que b 8 es acotado. Observemos ahora que la aplicación Q 8 > R 8 R È R>

Darío Sánchez H.

71

TOPOLOGIA GENERAL

es continua; ya que, dado %  !ß existe $ œ %  ! tal que para todo Q − Q 8 con . w Q ß R  $ Ê . w Q > ß R >  %, pues lQ l œ lQ > lß aQ − Q 8 Þ Sea ahora 7 Q 8 X Q 8 ‚Q 8 Q 8 > ˆ ‰ È Rß R R È R † R>

Sea M la matriz identidad. Como X œ 3.ß > y 3.ß > son funciones continuas se sigue que X es continua. ÖM× es un conjunto cerrado en Q 8 ß ahora 7 ‰ X " ÖM× œ b 8 Þ Siendo 7 y X funciones continuas se sigue que 7 ‰ X es continua, luego b 8 es cerrado ya que es la imagen recíproca de un cerrado por una aplicación continua. 0 El conjunto K 8 de las matrices cuyo determinante es  ! es abierto y cerrado en K 8 Þ E − K 8 Í ./> E  ! Sea ./> À K 8 d  Ö!× œ  ∞ß ! ∪ !ß  ∞ una función continua, pues es la restricción de ./> À Q 8 d a K 8 § Q 8 y esta aplicación es continua. Ahora ./>" !ß  ∞ œ K 8 y siendo !ß  ∞ un subconjunto abierto y cerrado de d  Ö!×ß y la aplicación ./> continuaß entonces se sigue que K 8 es un subconjunto abierto y cerrado de K 8 . 1 ¿Será K 8 cerrado en Q 8 ? No, pues ./> À Q 8 d es continua y K 8 œ ./>" !ß  ∞ , como !ß  ∞ es abierto en d y K 8 es la imagen inversa por una aplicación continua de un abierto de d , se sigue que K 8 es un abierto de Q 8 . K 8 Á ø pues M − K 8 . Q 8  K 8 Á ø ya que K 8 § Q 8 y K 8 ∩ K 8 œ øÞ Si K 8 fuera cerrado en Q 8 tendríamos en Q 8 un subconjunto abierto y cerrado diferente del vacío esto implicaría que Q 8 no es conexo, esto es absurdo # ya que Q 8 es homeomorfo a d 8 que es conexo por tanto Q 8 es conexo. Recuérdese que en la parte + se mostró que la correspondencia biunívoca 0 es una isometría ya que . w Eß F œ . 0 E ß 0 F por lo tanto 0 es un homeomorfismo. …

17.Para

todo subconjunto no vacío W de un espacio métrico Q y todo + − Q entonces . +ß W œ . ˆ+ß W ‰. . +ß W œ ! œ . ˆ+ß W ‰ se tendría trivialmente la SOLUCIÓN. Si + − W § W entonces igualdad. Si +  W , sabemos de la propiedad triangular de la métrica . que . +ß C Ÿ . +ß B  . Bß C ß por lo tanto

aB − Wß aC − W

Darío Sánchez H.

72

TOPOLOGIA GENERAL

inf . +ß C Ÿ . +ß B  inf . Bß C ß aB − W

C−W

C−W

o sea que . +ß W Ÿ . +ß B  . Bß W ß

aB − W

pero si aB − W entonces . ˆBß W ‰ œ !, por lo tanto

. +ß W Ÿ . +ÞB ß aB − W de donde

. +ß W Ÿ . ˆ+ß W ‰

"

Recíprocamente, de la propiedad triangular de . se recibe; . +ß C Ÿ . +ß B  . Bß C ß

aB − Wß aC − W

entonces inf . +ß C Ÿ . +ß B  inf . Bß C

C−W

C−W

aB − W

como B − W § W Ê . ˆBß W ‰ œ !, por lo tanto

. ˆ+ß W ‰ Ÿ . +ß B ß

de donde

aB − W

. ˆ+ß W ‰ Ÿ . +ß W

#

Luego de " y # se tiene la igualdad

. +ß W œ . ˆ+ß W ‰.

…

18.Sea

K œ Ö Bß C − \ ‚ \à BIC× el gráfico de una relación de equivalencia I . Si

\ÎI es un espacio de Hausdorff, entonces K es un conjunto cerrado en \ ‚ \ . Si K § \ ‚ \ es un conjunto cerrado,

todo punto en \ÎI es cerrado pero no se puede garantizar que \ÎI sea un espacio de Hausdorff, aún cuando \ lo sea, Si K § \ ‚ \ es cerrado y la relación I es abierta entonces \ÎI es un espacio de Hausdorff. SOLUCIÓN. + Si \ÎI es cerrado, entonces K es un conjunto cerrado de \ ‚ \ . Sea : À \ \ÎI la aplicación canónica. Sea < œ :ß : À \ ‚ \ \ÎI ‚ \ÎI y ? § \ÎI ‚ \ /I la diagonal, entonces se tiene que K œ K œ K En efecto, < =+>K œ < / ‰ T +9.9 ˆ %! Š 8! − ‹ b8"  8! tal que . C8! ß C8"   $

% $

entonces ÖC8 ×8− es divergente, por lo tanto ; œ ÖC8 ×8− − \  X ß • ß \  X es abierto. Luego X es cerrado. , Basta que el conjunto de las sucesiones divergentes no sea abierto, para que el conjunto de las sucesiones convergentes no sea cerrado. Tomemos el siguiente ejemplo : /B3=>/ " % ˆ H+.9 ‰ : %! Š ; Ÿ % el mayor número racional menor o igual a %‹Š 8! − Î 8!  #;  # ‹ Tomando

Ú B" œ Ý Ý Ý Ý Ý B# œ

: #; : #; : #;



Ú C" œ Ý Ý Ý C# œ œÛ ã Ý Ý Ý Ü C8 œ

" #8! # $8!

ÖB8 ×8− œ Û B$ œ  ß yß ÖC8 ×8− Ý Ý Ý ã Ý Ý : Ü B8 œ #;   " 8 8" 88! Entonces dado %  ! tenemos que ÖC8 ×8− − F ÖB8 ×8− à %

: #; : #;



" #8!

: #;



8" 88!

pues

. ÖB8 ×8− ß ÖC8 ×8− œ supÖlC8  B8 là 8 − × Ÿ % : y ÖC8 ×8− es convergente, pero ÖB8 ×8− no es convergente pues para !  $  #; ßy para todo 8! − , existe 8" −  tal que . B8! ß B8"  $ , luego el conjunto de las sucesiones de números racionales no forman un conjunto cerrado de µ à  . - Sea E œ ÖÖ3B8 ×8− à 3B8 −  y 3B8 Ä 3B − Q ×. Sea 0 À E Q vemos que 0 es Ö3B8 ×8−È 3B continua en el punto Ö3B8 ×8− , esto es dado %  !, existe $  ! tal que

. Ö4B8 ×8− à Ö3B8 ×8−  $ Ê . 3B ß 4B  % Sabemos que M• . Ö4B8 ×ß Ö3B8 × œ supÖ. 4B8 ß 3B8 à 8 − × MM• Ö3B8 ×8− Ä 3B Í dado %  !ß existe 8" −  tal que a8  8" Ê . 3B8 ß 3B  ‰ /B3=>/ ‚a8  8# Ê . 4B8 ß 4B  $% ‹ MMM• Ö4B7 × Ä 4B Í ˆ .+.9 %! Š 8 #−

Tomando 8! œ maxÞÖ8" ß 8# × tenemos que a8  8! . 3B ß 4B Ÿ . 3B ß 3B8  . 3B8 ß 4B8  . 4B8 ß 4B Ÿ $%  . 3B8 ß 4B8  Tomando $ œ $% tenemos cuando . Ö3B8 ×8− ß Ö4B8 ×8−  $ Ê . 3B ß 4B  $, a8

% $

% $

Darío Sánchez H.

TOPOLOGIA GENERAL

77

por lo tanto

. 3B ß 4B Ÿ $%  $%  /% œ %Þ Luego 0 es continua en cada Ö3B8 ×8− − E Ê 0 es continua en EÞ …

22.Sean, \

un espacio topológico, R un espacio métrico y E § \ un subconjunto tal que E œ \ . Si una sucesión de aplicaciones continuas 08 À \ R es convergente uniformemente en E para una aplicación continua 0 À \ R , entonces 08 Ä 0 uniformemente en \. SOLUCIÓN. Sabemos por hipótesis los siguientes hechos: ". Dado %  !, b$"  !Î. Bß B!  $" Ê . 08 B ß 08 B! Ÿ $% ß a8 #. Dado %  !, b$#  !Î. Bß B!  $# Ê . 0 B ß 0 B!  $% $. Dado %  !, b8!  !Îa8  8! Ê . 08 B ß 0 B  $% , aB − E. Ahora tomando, para %  ! dado, $ œ minÖ$" ß $# × existe 8!  ! tal que . Bß B!  $ ß a8  8! ß aB − E . 08 B ß 0 B Ÿ . 08 B ß 08 +  . 08 + ß 0 +  . 0 + ß 0 B Ÿ $%  $%  $% œ % Luego 08 Ä 0 uniformemente en \Þ

23.Un

subgrupo aditivo K de los números reales es denso en d si y sólo si ! es punto de acumulación de K. Si el subgrupo K § d no es denso en d , existe un número real +   ! tal que K œ ™+ß esto es K œ Ö8+à 8 − ™×. En particular, los subgrupos aditivos cerrados de d son Ö!×ß d y los de la forma ™+ß +  !. Concluir que si ) es un número irracional, los números de la forma 7  )8ß 7ß 8 − ™ constituyen un subconjunto denso de d. + K es un subgrupo aditivo denso de d Í ! es punto de SOLUCIÓN. acumulación de K. Ê ) K œ d o sea aB − K, se tiene B − a Z § F B ß Z ∩ K Á ø. en particular para B œ ! tenemos que a Z − F ! ß Z ∩ K Á ø. Veamos que a Z − F ! ß b B − Z ∩ K tal que B Á !Þ Supongamos que no es verdad o sea que existe 8 −  tal que ˆ  8" ß 8" ‰ ∩ K œ Ö!× o sea que existe 8 −  tal que ˆ  8" ß 8" ‰ ∩ K  Ö!× œ ø. Como K  Ö!× œ K ∩ CÖ!× œ K ∩ Ò  ∞ß ! ∪ !ß  ∞ Ó se tiene que b 8 −  tal que ˆ  8" ß 8" ‰ ∩ Ò  ∞ß ! ∪ !ß  ∞ Ó ∩ K œ ø Í b 8 −  tal que ÖÒˆ  8" ß 8" ‰ ∩  ∞ß ! Ó ∪ Òˆ  8" ß 8" ‰ ∩ !ß  ∞ Ó× ∩ K œ ø Í b 8 −  tal que Öˆ  8" ß !‰ ∪ ˆ!ß 8" ‰× ∩ K œ ø Í b 8 −  tal que Òˆ  8" ß !‰ ∩ KÓ ∪ Òˆ!ß 8" ‰ ∩ KÓ œ ø. Lo cual es equivalente a afirmar que b 8 −  tal que ˆ  8" ß !‰ ∩ K œ ø ß • ß ˆ!ß 8" ‰ ∩ K œ ø entonces ˆ  8" ß !‰ œ ˆ  8" ß !‰ ∩ K § ˆ  8" ß !‰ ∩ K œ ø œ ø ya que E ∩ F § E ∩ F cuando E es abierto.

Darío Sánchez H.

TOPOLOGIA GENERAL

78

Análogamente

ˆ!ß 8" ‰ œ ˆ!ß 8" ‰ ∩ K § ˆ!ß "8 ‰ ∩ K œ ø œ ø lo cual es po contradictorio con el hecho de ser 8 − Þ Luego bB − K ∩ Z con B Á ! o sea ! es un punto de acumulación de K. É ) Sabemos que K § dß veamos que d § K, entonces sea + − d cualquiera Z + vecindad de + es de la forma Z + œ Z !  +, donde Z ! es una vecindad de cero. De la hipótesis se tiene que cualquiera que sea Z ! vecindad de cero b B − Z ! ∩ K con B Á !Þ Como K es un subgrupo de d , Z + ∩ K œ Z !  + ∩ K y b B Á + tal que B − Z + ∩ K ya que si Z + ∩ K œ Ö+× Ê Z ! ∩ K œ Ö!× entonces ! no sería punto de acumulación de KÞ Por lo tanto a Z −F + ß Z + ∩K Á øÊ+ −K , Si K œ Ö!× entonces K œ !™ Sea K Á Ö!× entonces b B Á ! tal que B − K. La relación  K œ K Ð7 −  K Í 7 œ  1ß 1 − K Ê 7 œ  1 •  1 − K entonces 7 − KÞ Si 1 −K Ê 1 −K entonces 7 œ 1•1 − K Ê 1 − KÑ muestra que L œ ÖB − KÎB  !× Á ø; si , − L entonces Ò!ß ,Ó ∩ K es un subconjunto discreto finito ya que K es denso por lo tanto existe + œ infÞÖB − L tal que B − Ò!ß ,Ó×. Ahora + Á !ß pues si + œ ! entonces por definición de inf para todo %  !, ˆ% œ 8" ‰, existe C − L tal que !  C  !  % entonces ! es punto de acumulación de K entonces K es un subgrupo aditivo denso contra la hipótesis. También + − L ya que si +  L , para todo 8 −  existe C8 − L tal que +  C8  8"  + entonces + es punto de acumulación de L § K en esta forma + es punto de acumulación de K y por la definición de las vecindades de + se sigue que ! es punto de acumulación de K lo cual implica que una vez más K es denso lo cual es po contradictorio. Luego + − L . Para todo B − K tomando 7 œ ÒÒ B+ ÓÓ (parte entera de B+ Ñ se tiene que B  7+ − K ya que + − L § Kß K es un subgrupo aditivo y B − K por lo tanto B  7+ − K. Como sabemos de la definición de parte entera: B B B  "  ÒÒ ÓÓ Ÿ + + + se sigue que ÒÒ B+ ÓÓ œ 7 Ÿ B+ o sea que ! Ÿ B  7+, también se tiene que B+  "  7 o sea B  +7  +ß por lo tanto se tiene ! Ÿ B  7+  +à de la construcción de + se sigue que B  7+ œ ! Í B œ 7+ esto prueba que K œ +™. - Si K es un subgrupo aditivo de d entonces: K œ Ö!×, o, K es denso ,o, K no es denso. Si K es cerrado K œ K . Si K œ Ö!× entonces K es cerrado ya que d es un grupo topológico de Hausdorff. Si K es denso entonces K œ K œ d en ese caso K es todo el grupo. Si K no es denso se sigue de la parte , que existe +  ! tal que K œ ™+ y como d es un grupo topológico la translación a derecha $+ À d d es B È B+ un homeomorfismo.

Darío Sánchez H.

79

TOPOLOGIA GENERAL

Como Cd ™ œ

∪

8−™

8ß 8  " es reunión de abiertos entonces ™ es cerrado por lo tanto

$+ ™ œ ™+ es cerrado. . Sea K œ Ö7  )à 7ß 8 − ™×ß como 7  8)  7"  8" ) œ 7  7"  8  8" ) se sigue que K es un subgrupo aditivo de d. Afirmación: K es denso en d . En efecto, si suponemos que K no es denso, se sigue de la parte , que existe +  ! tal que K œ ™+. Como ) œ !  ") se sigue que ) − K por lo tanto existe 8! − ™ 8! Á ! tal que ) œ 8! + * Ahora "  ) œ 7  8) con 7 œ 8 œ " entonces "  ) − K œ ™+ por lo tanto existe 5 − ™ tal que "  ) œ 5+, de * tenemos que "  ) œ 85! ) o sea 8! œ 5  8! ) o sea " ! que ") œ 58 8! − , como ) −   d entonces ) −   d , esto nos lleva a una po contradicción. Luego K tiene que ser denso en d. …

24.

Sea b 8 el conjunto de las matrices ortogonales de dimensión 8 ‚ 8, # b 8 § d8 b 8 œ ÖE − b 8 Î./> E œ "× b 8 œ ÖE − b 8 Î./> E œ  "×

Mostrar que b 8 es conexo por caminos. SOLUCIÓN. Sea E − b  8 entonces existe T − b 8 ! á ! ! Ô" á ! ã ä ã ã Öã ä ã Ö! á " ! á ! ! Ö Ö! á !  " á ! ! Ö Öã ä ã ã ä ã ã Ö Ö! á ! ! á " ! N œÖ Ö -9= α =/8 α" Ö! á ! " ! á ! Ö ”  =/8 α -9= α • " " Ö Ö ã ä ã ã Öã ä ã Ö ! á ! ! Õ! á !

Como

œ N" Š N # Š â Š N 5

Ú ” Ý ÝM ß  M ß  ” N3 œ Û Ý Ý ” -9= α Ü  =/8 α

donde

=/8 α con α − d -9= α •

"

tal que E œ T N T " donde á ! × ä ã Ù Ù á ! Ù Ù á ! Ù Ù ä ã Ù Ù á ! Ù Ù Ù á ! Ù Ù Ù ä ã Ù Ù -9=α5 =/8α5 á ”  =/8α5 -9=α5 • Ø

Darío Sánchez H.

TOPOLOGIA GENERAL

" ! -9=1 =/81 œ” ” ! • "  =/81 -9=1 • Definimos : À Ò!ß "Ó b # =/8>α > È -9=>α ”  =/8>α -9=>α •

80

La aplicación : así definida tiene las siguientes propiedades "Þ : es continua. #Þ : ! œ M# -9= α =/8 α $Þ : " œ ”  =/8 α -9= α • Generalizando esta aplicación tenemos 0 À Ò!ß "Ó b 8 > È0 > œ N > donde N > œ N" > Š N # > Š â Š N 8 > y Ú ” Ý ÝM ß  M ß  ” N3 > œ Û -9= >α =/8 >α Ý Ý” con α − d Ü  =/8 >α -9= >α • Tenemos claramente que 0 ! œ M8 0 " œN 0 es continua. Sea ahora 1 À Ò!ß "Ó b 8 > È T 0 > T " tenemos 3) 1 es continua 33) 1 ! œ T MT " œ M 333) 1 " œ T N T " œ T T " ET T " œ E Luego 1 es un camino entre Mß E. Esto nos permite definir un camino en dos elementos arbitrarios Eß F − b 8 Þ Sean T − b 8 ß U − b 8 tales que E œ T N T " y F œ UN" U" donde, como arriba N œ N " Š N # Š â Š N 5 ß N" œ N"" Š N"# Š â Š N"5 así que los N 3 y N"3 son de la forma " dada al inicio del problema. Definimos 0 À Ò!ß "Ó b 8 , y, 1 À Ò!ß "Ó b 8 > È0 > œ N > > È 1 > œ N" "  > Teniéndose 8 " " œN" ß • ß Š 11 !" œN Š 00 !" œM œN ‹ œN" ! œM8 ‹ Tómese ahora L À Ò!ß "Ó >

b 8

ÈL

> œ

1 #> ß si ! Ÿ > Ÿ "# 0 #>  " ß si #" Ÿ > Ÿ "

L tiene las siguientes propiedades

Darío Sánchez H.

TOPOLOGIA GENERAL

81

"Þ L ! œ 1 ! œ N" #Þ L ˆ "# ‰ œ 1ˆ# "# ‰ œ 1 " œ N" ! œ M8 œ 0 ˆ# "# "‰ œ 0 "  " œ 0 ! œ M8 $Þ L " œ 0 # † "  " œ 0 " œ N %Þ L resulta continua. Tenemos ahora, como se hizo arriba : À Ò!ß "Ó b 8 UL > U" ß ! Ÿ > Ÿ "# > È : > œ T L > T " ß "# Ÿ > Ÿ "

tenemos entonces 3) : es continua por construcción 33) : ! œ UL ! U" œ U1 ! U" œ UN" U" œ U U" FU U" œ F 333) : " œ T L " T " œ T 0 " T " œ T N T " œ T T " ET T " œ E Así se ha construido un camino de E hacia F por lo tanto b 8 es conexa por caminos. …

25. Sea

Q un espacio métrico. En el espacio µ R à Q

de las sucesiones acotadas en Q el conjunto S de las sucesiones de Cauchy es cerrado. Se sigue que si Q es completo, el conjunto de las sucesiones convergentes es cerrado en µ R à Q . Si I es un espacio normado el conjunto S de las sucesiones de Cauchy es un subespacio vectorial de µ R à I . SOLUCIÓN. + S Á ø pues la sucesión constante es de Cauchy. S es cerrado si para toda Ö4 B8 ×8− − S Ä Ö! B8 ×8− Ê Ö! B8 ×8− − S Ö" B" ß " B# ß á ß " B8 ß á ×ß Ö# B" ß # B# ß á ß # B8 ß á ×ß á ß Ö4 B" ß 4 B# ß á ß 4 B8 ß á ×ß á Ä Ö!B"ß !B#ß á × 4 uniformemente implica que B" Ä ! B" ß 4 B# Ä ! B# ß á ß 4 B8 Ä ! B8 ß á ß entonces Ö! B8 ×8− es una sucesión de Cauchyß así si dado %  !, existe 8! tal que a8ß 7  8! ß . ! B7 ß ! B8  %. Pero 4 B8 Ä ! B8 Í dado %  !ß b8" >; a4  8" ß . 4 B8 ß ! B8  $% 4 B7 Ä ! B7 Í dado %  !ß b8# >; a4  8# ß . 4 B7 ß ! B7  $% También Ö4 B8 ×8− es una sucesión de Cauchy esto es, dado %  !ß b8$ >; a7ß 8  8$ ß . 4 B7 ß 4 B8  $% Tomando 8! œ maxÞÖ8" ß 8# ß 8$ × tenemos que a7ß 8  8! ß . ! B7 ß ! B8 Ÿ . ! B7 ß 4 B7  . 4 B7 ß 4 B8  . 4 B8 ß ! B8  $%  $%  $% œ % entonces Ö! B8 ×8− − SÞ Esto muestra que S es cerrado en µ R à Q . Sea S" œ ÖÖB8 ×8− à ÖB8 ×8− es convergente×, así si ÖB8 ×8− es convergente entonces ÖB8 ×8− es una sucesión de Cauchy, así que S" § S. Como Q es completo en µ R à Q entonces S" œ S y como S es cerrado en µ R à Q el cual también es completo, entonces S" es cerrado en µ R à Q Þ , Si Q es un espacio vectorial normado, el conjunto S de las sucesiones de Cauchy es un subespacio vectorial de µ R à Q , en efecto S § µ R à Q

Darío Sánchez H.

82

TOPOLOGIA GENERAL " 8 7 # ‰ /B3=>/8 ÖB8 ×8− ß ÖC8 ×8− − S Í ˆ .+.9 %! Š 8" ß8# Î a8ß78# ß. C8 ßC7  % ‹

a8ß78 ß. B ßB

% #

3Þ ÖB8  C8 ×8− es una sucesión de Cauchy, puesto que IB3=>/ ˆ H+.9 ‰ %! Š 8! œmaxÞÖ8" ß8# × Îa7ß 8>8! ß . B7  C7 ß B8  C8 Ÿ . B7 ß B8  . C7 ß C8  %‹

33Þ Ö-B8 ×8− es una sucesión de Cauchy para todo escalar ˆ H+.9 ‰ IB3=>/ %! Š 8! ! Îa7ß 8  !ß . -B8 ß -B7 œ l-l. B8 ß B7  l-l%‹Þ …

26.Sea

∞ 8œ"

+8 una serie convergente de números reales positivos. Dada una

sucesión ÖB8 ×8− en un espacio métrico Q si . B8 ß B8" Ÿ +8 para todo 8 − , entonces ÖB8 ×8− es una sucesión de Cauchy. SOLUCIÓN.

8

Sea W8 œ

realesß ya que

+3 como ÖW8 ×8− es una sucesión convergente de números

3œ"

∞

+8 8œ"

es una serie convergente se sigue que ÖW8 ×8− es una

sucesión de Cauchy o sea, dado %  !, existe 8!  ! tal que a7ß 8  8! ß lW8  W7 l / %! Š 8! Îa7ß 8  8! ß . B8 ß B7  %‹

Sea %  " tómese 3. À d 8 ß . d 8 ß . w , ÖB8 ×8− es sucesión de Cauchy en d 8 ß . B È B entonces ÖB8 ×8− es sucesión de Cauchy en d 8 ß . w , ya que 3. es uniformemente continua por ser una contracción débil À . w 3. B ß 3. C œ . w Bß C œ infÞÖ"ß . Bß C ×  . Bß C , por lo tanto ÖB8 ×8− es una sucesión de Cauchy en d 8 ß . w . Recíprocamente si ÖB 8 ×8− es una sucesión de Cauchy en d 8 ß . w , esto es, ˆ H+.9 ‰ /B3=>/ %! Š 8! Îa7ß 8  8! ß infÞÖ"ß . B8 ß B7 ×  %‹

Darío Sánchez H.

TOPOLOGIA GENERAL

83

Sea %  " entonces existe 8! tal que a7,8  8! ß infÞÖ"ß . B8 ß B7 ×  %  " entonces . B8 ß B7  infÞÖ"ß . B8 ß B7 ×  %  ", entonces ÖB8 ×8− es una sucesión de Cauchy en d 8 ß . por lo tanto d 8 ß . w es completo. …

28. Probar las siguientes afirmaciones: + 0 < W œ \ Ê W es denso en \ , Wß X densos en

\ Ê W ∪ X es denso en \ pero no implica que W ∩ X sea

denso en \Þ - W denso en \ , X denso en ] Ê W ‚ X denso en \ ‚ ] . W denso en \ , E abierto en \ Ê W ∩ E denso en E / W denso en \ß W § X § \ Ê W denso en X y X denso en \ ‰  0 Si W o W o 0 < W es denso en \ entonces W es denso en \ 1 W denso en \ , W conexo Ê \ es conexo 2 Sea \ un espacio I" . Un subconjunto W § \ es denso en \ si y sólo si todo B − \ es límite de una sucesión de puntos de WÞ 3 \  ÖB× es denso en \ Í B no es aislado en \ . 4 En el espacio \ œ ÖB − ^ÎB Ÿ H× donde ^ es un conjunto no enumerable, bien ordenado con primer elemento. El subespacio \  ÖH× es denso en \ pero H no es límite de una sucesión de puntos de \  ÖH×Þ 5 El conjunto de los números racionales de la forma #78 ß 7ß 8 − ™ números diádicos es denso en la recta. SOLUCIÓN. + W œ W ∪ 0 < W œ W ∪ \ œ \ Ê W es denso en \ . , W ∪ X œ W ∪ X œ \ ∪ \ œ \ Ê W ∪ X es denso en \Þ W ∩ X § W ∩ X œ \ ∩ \ œ \ß pero en general W ∩ X § \ . Como en el siguiente Á Wœ denso en d ejemplo: Š X œd denso en d ‹ • ß W ∩ X œ øß no es denso en d . .

W ‚X œW ‚X œ\‚] "Þ W ∩ E ¨ W ∩ E œ \ ∩ E œ E Å E abierto

#Þ W ∩ E § W ∩ E œ \ ∩ E œ E $Þ E es abierto en \ Ê E ∩ W es abierto en W . E ∩ W es denso en E Í a ZE ß abierto en Eß ZE ∩ W ∩ E Á ø. Ahora ZE œ Z\ ∩ E donde Z\ es un abierto en \ , como E es abierto en \ se sigue que ZE es abierto en \ Ê ZE ∩ W Á ø ˆW œ \ ‰ así ZE § E Ê ZE ∩ E œ ZE . Luego ZE ∩ W ∩ E œ ZE ∩ W ∩ E œ ZE ∩ W Á ø. / W § X § \ Ê W § X § \ Ê \ § X § \ , entonces X œ \ y X es denso en \Þ X

Å Wœ\

W œ W ∩ X œ \ ∩ X œ X Ê W es denso en X Þ

Darío Sánchez H.

84

TOPOLOGIA GENERAL

0 Si W es denso, entonces W œ W œ \ Ê W es denso en \ . ‰ ‰ ‰ Si W es denso entonces W § W § \ , entonces W § W § \ Ê \ § W § \ , entonces Å ‰ W œ\

W œ \ y W es denso en \Þ Si 0 < W œ \ , por lo tanto, 0 < W § W Ê 0 < W § W œ Wß pero 0 < W œ \ entonces \§W Ê W œ \ y W es denso. œ W§\ÊW§\ 1 Si E es un abierto en \ entonces como W œ \ ß E ∩ W Á ø. Supongamos que \ no es conexo, esto significa que existen abiertos Eß F no vacíos en \ tales que E ∪ F œ \ • E ∩ F œ ø. w Sean E œ E ∩ W Á øß F w œ F ∩ W Á ø abiertos no vacíos de W como Ew ∩ F w œ E ∩ W ∩ F ∩ W œ E ∩ F ∩ W œ ø ∩ W œ ø y Ew ∪ F w œ E ∩ W ∪ F ∩ W œ E ∪ F ∩ W œ \ ∩ W œ W se sigue que W no es conexo pí (absurdo). 2 Para cada B − \ß existe µ B un sistema fundamental de vecindades enumerables asociado a B tal que a [ vecindad de B existe Z § µ B tal que B − Z § [Þ É Ñ B œ lim B8 ß para toda vecindad Z ® B en \ existe 8! tal que a8   8! ß B8 − Z ß 8Ä∞

como B8 − Z ß a8 Ê Z ∩ W Á ø, así W es denso en \Þ Ê Ñ Para todo B − \ œ W y para todo Y vecindad de B, existe Z8 ∩ W − µ B tal que B − Z8 ∩ W § Y ∩ W donde Z" ¨ Z# ¨ Z$ ¨ â ¨ Z8 ¨ â y Z3 ∩ W Á ø Tomando B" − Z" ∩ Wß B# − Z# ∩ Wß á ß B8 − Z8 ∩ Wß á , obtenemos una sucesión de puntos B8 en W tal que lim B8 œ B ya que B − Z8 ß a8. 3 Ê Ñ Si B es aislado existe Z una vecindad de B en \ tal que Z ∩ \  ÖB× œ ø en esta forma \  ÖB× no sería denso ya que para toda Y vecindad de B, Y ∩ \  ÖB× Á ø pí, obteniendo una contradicción É ) B no es aislado en \ entonces para toda vecindad de Bß Z ∩ \  ÖB× Á ø implica que à a Z vecindad de B en \ , Z ∩ \  ÖB× Á ø esto implica que \  ÖB× es denso en \Þ 4 Sea ^ un conjunto no enumerable, bien ordenado, dotado de último elemento y sea \ œ ÖB − ^ÎB Ÿ H× donde H es el menor elemento de ^ tal que el conjunto \ no es enumerable. Se considera en \ la topología del orden, por consiguiente H no es punto aislado en \ y para todo subconjunto enumerable I § \ , existe E abierto en \ con H − E y E ∩ I œ ø concluyéndose que \ es un espacio de Hausdorff no métrizable. Si aceptamos esto, en el espacio anterior, el subespacio \  ÖH× es denso en \ pero H no es límite de una sucesión de puntos de \  ÖH×. Entonces por la parte 3 anterior \  ÖH× es denso en \ pues H no es punto aislado. H no es límite de una sucesión de puntos de \  ÖH×, pues para toda ÖB8 ×8− (enumerable) existe E abierto en \ , con H − E y E ∩ ÖB8 ×8− œ ø esto muestra que H no puede ser límite de ninguna sucesión.

Darío Sánchez H.

85

TOPOLOGIA GENERAL

5 Sea H œ Ö #78 Î8ß 7 − ™× vamos a mostrar que H œ dÞ Mostremos que si B−dÊB−H Primero si α, " − d y α  " entonces existe #78 tal que α  #78  " . En efecto como "  α  ! se recibe que por la propiedad arquimediana existe #8 tal que #8 "  α  "ß 3/ß b#8 tal que "  α  #"8 . Consideremos X œ Ö5 − à 5  #8 α×. X es no vacío evidentemente porque  no es acotado superiormente. Entonces sea 7 œ min. X ß 7 existe por el principio de buena ordenación, así que 7  " Ÿ #8 α de donde tenemos que 7 7"" " œ 7" entonces #78  " Þ #8 œ #8 #8  #8  α  "  α œ " , Por elección de 7 tenemos que 7 7 αÊα 8 " " 8 # # Ahora mostremos que \ § H donde \ œ d, si existe B! − d tal que B!  H Í bZ − µ B! ÎZ ∩ H œ ø Ê b$  ! tal que Z − µ B! Í b$  !Î B!  $ ß B!  $ § Z B!  $ ß B!  $ ∩ H œ ø tomando B!  $ œ αß B!  $ œ " ß α  " p o contradictorio con " . ya que tendríamos α  #78  $  " y 7 no sería minÞ X . Luego d œ H. …

29.En

el espacio de Hilbert L de las sucesiones de cuadrado sumable, consideremos la bola unitaria H œ ÖB − LÎlBl  "×Þ La aplicación 0 À H H, definida por 0 B œ 0 B" ß B# ß á œ ˆÈ"  lBl# ß B" ß B# ß á ‰ es continua y no posee puntos fijos. Concluir la existencia de una retracción < À H Wß donde W œ ÖB − LÎlBl œ "×Þ H SOLUCIÓN. 0 À H B È 0 B" ß B# ß á œ ˆÈ"  lBl# ß B" ß B# ß á ‰ 0 es continua: # # ‰ /B3=>/ Sea ÖB8 ×8− Ä B − H Í ˆ .+.9 %! Š 8! ! Îa8  8! ß lB8  Bl  % ‹ ‰ /B3=>/ Ahora ˆ .+.9 %! Š 8! ‹; a8  8! ß tenemos l0 B8  0 B l# œ ¾ŒÉ"  lBl# ß B" ß B# ß á

 ˆÈ"  llB8 ll# ß B"8 ß B#8 ß á ‰¾

#

œ ¾ ŒÈ"  llBll#  É"  lB8 l# ß B"  B"8 ß B#  B#8 ß á ¾ œ

# # ŒÉ"  lBl  É"  lB8 l

#

#

 lB  B8 l Ÿ %  ŒÉ"  lBl#  É"  lB8 l# #

#

#

Ÿ %#  "

0 no tiene punto fijo: Supongamos que existiera un punto fijo para 0 , entonces en ese caso se tendría 0 B" ß B# ß á œ ˆÈ"  |lBl|# ß B" ß B# ß á ‰ œ B" ß B# ß B$ ß á de donde se tiene que B" œ É"  lBl# ß B" œ B# œ B$ œ B% œ â œ B8 œ â

en esta forma B#" œ "  lBl# • B œ B" ß B# ß B$ ß á − L , en particular si B" œ ! entonces " œ ! po obteniéndose una contradicción.

Darío Sánchez H.

TOPOLOGIA GENERAL

Si B" Á ! Ê lBl# œ

B#3 no es convergente por tanto B Â Lpo lo cual también es

3œ" B3 œB" a3

contradictorio …

30.Sea

∞

86

W denso en el espacio topológico \ y ] un espacio de Hausdorff. Una

aplicación 0 À W ] , posee a lo máximo una extensión continua 0 À \ ] Þ La hipótesis sobre ] ¿es indispensable?. SOLUCIÓN. Si 0 posee una tal extensión, es única ya que si existen dos 0 " ß 0 # entonces E œ ÖB − \Î0 " B œ 0 # B × es un conjunto cerrado por ser ] de Hausdorff ahora W § E y W § E Ê \ œ E ,y, 0 " œ 0 # . Si es indispensable la hipótesis sobre ] como se ve en el ejemplo siguiente: Sea ] œ Ö+ß ,× ß 7] œ Ö] ß øß Ö+××. ] no es Hausdorff pues , Á + y todo abierto conteniendo , contiene también a +. Sea W œ !ß " ß \ œ Ò!ß "Ñß 0 À W ] 0 es >È+ continua, pues Ö+× es abierto en ] y 0 " Ö+× œ !ß " en abierto en W . Existen dos extensiones continuas distintas: 0 À\ ] y 1À\ ] 1 ! œ+ 0 ! œ, … 31. Sea L el espacio de Hilbert de las sucesiones de cuadrado sumable ∞

L œ ÖÖB8 ×8− à

B8#  ∞×Þ

8œ"

 B8 × § L es un subespacio + El conjunto L! œ ÖÖB8 ×8− à ÖB" ß B# ß á ß B8 ß !ß !Þá × œ

vectorial. , /3 œ Ö!ß á ß " ß !ß á × forman una base de L! . Å 3

- L! es denso en L

. Toda aplicación lineal continua 0 À L

Iß I espacio vectorial normado completo

(Espacio de Banach) se extiende de un modo único a una aplicación lineal continua 0 À L I. SOLUCIÓN. + En efecto B8 ß C8 − L! Ê B8 œ ÖB" ß á ß B8 ß !ß !á ×, C7 œ ÖC" ß á ß C7 ß !ß á × Si 7  8ß B8  C7 œ ÖB"  C" ß á ß B7  C7 ß B7" ß á B8 ß !ß á × tiene apenas un número finito de coordenadas diferentes de cero y por lo tanto está en el espacio L! . - B8 œ Ö-B" ß -B# ß á ß -B8 ß !ß á × tiene solamente 8 coordenadas diferentes de cero entonces - B8 − L! . Así L! es un subespacio vectorial de LÞ p , En efecto -" /"  -# /#  â  -8 /8  â œ ! p Í Ö-" ß -# ß -$ ß á ß -8 ß á × œ ! Í -" œ -# œ -$ œ â œ -8 œ â œ !. por lo tanto los /3 son linealmente independientes. Ahora sea B8 − L! entonces B8 œ ÖB" ß B# ß á ß B8 ß !ß !ß á × œ œ ÖB" ß !ß !ß á ß !ß á ×  Ö!ß B# ß !ß á ß !á ×  â  Ö!ß á ß B8 ß !ß á × œ

Darío Sánchez H.

TOPOLOGIA GENERAL

87

œ B" /"  B# /#  â  B8 /8  â Ê Los /3 generan a L! Þ ∞ - Sea B − L Ê lBl# œ B#3  ∞, esto esß dado %  !, existe 8!  ! tal que 3œ"

a8  8! ß

88!

B#8  %# Þ

aB − Lß B œ ÖB" ß B# ß á ×ß dado %  !, existe B − L! tal que . Bß B  %Þ Basta tomar B œ ÖB" ß B# ß á ß B8! ß !ß á × − L y se tiene Í ∞ ∞ Í 8! . Bß B œ lB  Bl œ Í B3  B3 #  B#3 œ Ë B3#  % ll 38! 3œ8! " Ì3œ" !

de donde los B3 son las coordenadas de B. . Como L! es denso en L y I es un espacio métrico completo el problema se reduce a mostrar que 0 À L! I es uniformemente continua, pero esto es claro ya que si X À E F es un operador lineal las siguientes afirmaciones son equivalentes +) X es acotada Í , ) X es uniformemente continua Í - ) X es continua en algún punto de E.

32.

Con las notaciones del ejercicio anterior la función 0 À L! d definida por 0 ÖB" ß B# ß á ß B8 ß !ß á × œ B"  #B#  $B$  â  8B8 es lineal discontinua. SOLUCIÓN. 3) Supongamos 7  8 entonces 0 ÖB" ß B# ß á ß B8 ß !ß á ×  ÖC" ß C# ß á ß C7 ß !ß á × œ œ 0 ÖB"  C" ß B#  C# ß á ß B7  C7 ß B7" ß á ß B8ß !ß á × œ œ B"  C"  # B#  C#  â  7 B7  C7  7  " B7"  â  8B8 œ œ B"  #B#  â  7B7  â  8B8  C"  #C#  â  7C7 œ œ 0 ÖB" ß B# ß á ß B8 ß !ß á ×  0 ÖC" ß C# ß á ß C7ß !ß á × Þ Ahora 0 -ÖB" ß B# ß á ß B8 ß !ß á × œ 0 Ö-B" ß -B# ß á ß -B8 ß !ß á × œ -B"  # -B#  â  8 -B8 œ - B"  #B#  â  8B8 œ - 0 ÖB" ß B# ß á ß B8 ß !ß á × Þ Luego 0 es una aplicación lineal. 33) Tomemos B" œ "ß !ß !ß á ß B# œ ˆ!ß "# ß !ß á ‰ß á ß B3 œ ˆ!ß á ß "3 ß !ß á ‰, entonces B8 Ä ! cuando 8 Ä ∞, ahora lim 0 B8 œ lim " Á 0 ! œ ! 8Ä∞

8Ä∞

Luego 0 es discontinua en ! por lo tanto es discontinua. …

33. Para cada 8 −  construya una función

continua :8 À d d tal que :8 > œ " " para algún punto > − d y :8 > œ ! excepto si 8" Ÿ > Ÿ 8" . Defina 0 À Ò!ß "Ó L poniendo 0 > œ :" > ß :# > ß á . Muestre que 0 es discontinua en el punto ! no obstante cada una de sus coordenadas sea continua. SOLUCIÓN. Tomemos la función 0 >8 œ :" >8 ß :# >8 ß á ß :8" >8 ß "ß :8" >8 ß á

Darío Sánchez H.

88

TOPOLOGIA GENERAL

o sea

0 >" œ "ß :# > ß á ß :8 >" ß á 0 ># œ :" ># ß "ß á ß :8 ># ß á 0 >8 œ :" >8 ß á ß "ß :8" >8 ß á tenemos :3 > Ä ! cuando > Ä !. Ahora 0 > œ :" > ,:# > ß á ß :8 > ß á Ú " Ý ! , > Â Ò 8" ß 8" Ó Ý Ý µ µ µ " #8" :8 > œ Û ˆ 8" ß !‰>  ˆ"  > ‰Š #8 8" ß "‹, ! Ÿ > Ÿ " Ý Ý µ µ Ý Š #8" ß "‹µ >  ˆ"  > ‰ˆ 8" ß !‰ , ! Ÿ > Ÿ " Ü #8 8" 0 ! œ :" ! ß :# ! ß á ß :8 ! ß á œ !ß !ß á Sea >8 Ä ! una sucesión de puntos tendientes a !Þ Como Por lo tanto

l0 >8 l œ É :" >8

#

 â  "  :8" >8

#

donde

 â >Ä " Ä! 8

lim0 >8 œ " Á 0 ! œ ! >Ä!

Luego 0 no es continua y las :3 > son continuas. …

34.

Sean Q ß R espacios métricos y 0 À Q R una dilatación, esto es, existe una constante 5   " tal que . 0 B ß 0 C   5. Bß C para cualesquier Bß C − Q . Si 0 es continua y Q completo, entonces 0 es una aplicación cerrada. SOLUCIÓN. 3) 0 es inyectiva: 0 B œ 0 C Ê . 0 B ß 0 C œ ! así 5. Bß C œ ! Í B œ C 33) Sea J un cerrado en Q Ê 0 J es cerrado. Sea ÖB8 ×8− §  0 J una sucesión convergente, entonces ella es de Cauchy o sea dado %  !ß existe 8!  !, tal que 7ß 8  8! ß . B8 ß B7  %, ahora Ö0 B8 ×8− es una sucesión de Cauchy en R ya que para el % dado existe 8! tal que %  . B8 ß B7 œ . 0 0 " B8 ß 0 0 " B7   5. 0 " B8 ß 0 " B7 Luego dado %w œ 5% ß existe 8! tal que 7ß 8  8! . 0 " B8 ß 0 " B7  5% œ %w Como Ö0 " B8 ×8− es una sucesión de Cauchy y J es cerrado en Q que es completo entonces J es completo por lo tanto Ö0 " B8 ×8− Ä + − J Þ Como 0 es continua Ö0 0 " B8 × Ä 0 + por lo tanto 0 J es cerrado. … 35. Sea H8 œ ÖB − dà lBl Ÿ "× y W 8" œ ÖB − dà lBl œ "×Þ Las siguientes afirmaciones son equivalentes: + Toda aplicación continua 0 À H8 H8 posee un punto fijo. , No existe una retracción / "Þ ˆ H+.9  $% ‰ %! R ! Îa8ß 7  R Ê . 08 B! ß 07 B! #Þ I es un conjunto equicontinuo, esto es /B3=>/ ˆ H+.9 ‰  $% ß a08 − I ‹ %! Š Z B! @/-38.+. ./ B! ÎaB − Z ÐB! Ñß . 08 B ß 08 B! $Þ Por tanto tenemos

Darío Sánchez H.

TOPOLOGIA GENERAL

135

ˆ H+.9 ‰ˆ /B3=>/ ‰ %! R ! Îa8ß 7  R y tomando B! − H ∩ Z ÐBÑ se tiene . 08 B ß 07 B Ÿ . 08 B ß 08 B!  . 08 B! ß 07 B!  . 07 B! ß 07 B Ÿ $%  $%  $% œ % %Þ Así Ö08 B ×8− es una sucesión de Cauchy de Q , como Q es un espacio métrico completo entonces existe 0 À \ Q tal que 08 B Ä 0 B , por lo tanto 08 Ä 0 en I= Þ …

123.Sea

¶ es espacio de las funciones reales continuas en el intervalo Ò+ß ,Ó con la

métrica de la convergencia uniforme. Se define una función X À ¶ ¶ mediante B X † 0 B œ '+ 0 > .>. Pruebe que Ö08 ×8− es una sucesión acotada en ¶ entonces ÖX † 08 ×8− posee una subsucesión uniformemente convergente. SOLUCIÓN. Mostremos que el conjunto ÖX † 08 × es equicontinuo o mejor que es relativamente compacto "Þ Por hipótesis existe Q  ! tal que l08 l  Q , a08 B B B + B #Þl X † 08 B  X † 08 B! l œ l'+ 08 > .>  '+ ! 08 > .>l œ l'+ 08 > .>  'B! 08 > .>l œ l'B! 08 > .>l B Ÿ 'B! l08 > l.> Ÿ Q lB  B! l ß a08 $Þ Esto muestra que la sucesión I œ ÖX † 08 × cumple con la condición de Lipschitz por tanto es un conjunto equicontinuo. %Þ I B œ Ö X † 08 B ÎB − Ò+ß ,Óß l08 ÐBÑl Ÿ Q × es relativamente compacto pues B B l X † 0 8 B l œ l'+ 08 > .>l Ÿ '+ l08 > l.> Ÿ Q B  + Ÿ Q ,  + así I B es un conjunto acotado y I B es acotado y cerrado en un espacio euclidiano, se sigue que I B es compacto por lo tanto I B es relativamente compacto. &Þ Por el teorema de Ascoli I es relativamente compacto en ¹? Ò+ß ,Óß d œ ¹- Ò+ß ,Óß d por ser Ò+ß ,Ó compacto. 'ÞSe concluye que Ö X † 08 × es secuencialmente compacto por lo tanto posee una subsucesión convergente. …

Apéndice Los problemas que siguen ya estan demostrados, pero ahora se usa otro modelo de demostración que nos brinda puntos de vista diferentes y permite una fijación sobre los resultados por ellos propuestos. Cualquier comentario por favor hacerlo a [email protected]

124.Sea

Q un espacio métrico. Indiquemos con ¹ Q

partes \ § Q que gozan de la siguiente propiedad: 3Ñ \ es acotado

el conjunto de todas las

Darío Sánchez H.

136

TOPOLOGIA GENERAL

33Ñ Si . Bß \ œ !, entonces B − \ .

Para \ß ] − ¹ Q ß sea 3Ð\ß ] Ñ el mayor de los dos números siguientes: supÞÖ. Bß ] à B − \× ” supÞÖ. Cß \ à C − ] ×. Entonces 3 es una métrica en ¹ Q , llamada una "métrica de Hausdorff". Para \ § Q cualquiera y <  !ß sea Y Ð\à !  #% Šes posible pues /B Ä ! ‹. BÄ ∞

0 B ß si B   B! 1 B œœ . ! ß si B  B! Tenemos entonces que 1 − FÐ0 à %Ñ, pero 1 es continua en todo punto B  B! ß esto es 1  EÞ Como %  ! es arbitrario, concluimos que E no es abierto. B 3 La aplicación : À Q d dada por : 0 œ '+ 0 B .B es continua Ðver resultados básicos en análisis en d 8 Ñ y entonces E œ :" !ß ∞ es abierto en Q pues !ß ∞ es abierto en d . Sea 1 À d

d dada por

Darío Sánchez H.

142

TOPOLOGIA GENERAL

4 Sea C œ "ß "ß "ß !ß ! − E. Para cualquier %  !, tenemos B œ ˆ"ß "ß "ß #% ß !‰  E y sin embargo . Bß C œ #% . Luego B − FÐCà %Ñ. Concluimos que E no es abierto en Q Þ …

130. Sea

E œ Ö Bß C − d # à B Á C ” C œ !×. La intersección de E con cualquier recta

horizontal o vertical es abierto en esa recta, pero E no es un subconjunto abierto del plano. + Sea W la recta C œ - constante, o sea, W œ Ö Bß - − d # à B − d×; SOLUCIÓN. entonces W ∩ E œ Ö Bß - − d # à B  -× ∪ Ö Bß - − d # à B  -× Se define 1 À W d por 1ÐBß -Ñ œ B. Es claro que 1 es continua y entonces 1"  ∞ß - ß 1" -ß ∞ son abiertos en W . Pero 1"  ∞ß - œ Ö Bß - − d # à B  -× y 1" -ß ∞ œ Ö Bß - − d # à B  -×. Luego W ∩ E œ 1"  ∞ß - ∪ 1" -ß ∞ es abierto en W . , E no es abierto en d # pues a%  !, la bola abierta FÐÐ!ß !Ñà %Ñ contiene puntos de la forma ˆ 8" ß 8" ‰ß 8"  %ß que no estan en EÞ … 131.Todo abierto no vacío E § d8 contiene por lo menos un punto B œ B" ß B# ß á ß B8 cuyas coordenadas B" ß B# ß á ß B8 son racionales. Concluír que si ¶ es una colección de abiertos dos a dos disyuntos en d 8 ß entonces ¶ es enumerable. Como consecuencia, mostrar que si M § d es un intervalo y 0 À M d es una función monótona, entonces el conjunto de los B − M en los cuales 0 es discontinua es enumerable. + Sea E § d 8 abierto no vacío y sea + œ +" ß +# ß á ß +8 − EÞ Entonces SOLUCIÓN. b%  ! tal que FÐ+à %Ñ §  E. Pero dado +3 − d y %  !, existen siempre œ 0 w >  1w > y entonces a> − M , tenemos l0 l‡  l1l‡   l0 > l  l0 w > l  l1 > l  l1 w > l   l0 >  1 > l  l0 w >  1 w > l œ œl 0 1 > ll 0 1 w > l Luego l0 l‡  l1l‡   supÞÖl 0  1 > l  l 0  1 w > là > − M× œ l0  1l‡ , H À ¶ " ÐMÑ ¶! ÐÒ+ß ,Óà dÑß H 0 œ 0 w Þ lH 0  H 1 l œ l0 w  1w l œ supÞÖl 0  1 w > là > − M× Ÿ supÞÖl 0  1 > l  l 0  1 w > lß > − M× œ l0  1l‡ . Luego H es una contracción débil y por lo tanto continua. - B! − Mß E œ Ö0 − ¶ " ÐMÑà 0 w B!  !×. Sea F œ Ö1 − ¶! ÐMÑà 1 B!  !× y sea 0 − Fà entonces 0 B!  ! y tomemos !  %  0 B! en la bola F 0 à % . Si 2 − ¶! ÐMÑ y si 2 − FÐ0 à %Ñ, tenemos que . 0 à 2  %; en particular, . 0 B! ß 2 B!  %ß o sea , l2 B!  0 B! l  % y entonces 2 B!  0 B!  % ß o sea, 2 − F y F es abierto en ¶! ÐMÑÞ Ahoraß H À ¶ " ÐMÑ ¶! ÐMÑ es continua y E œ H" F ß por lo tanto E es abierto en ¶ " ÐMÑÞ , , . : À ¶ " ÐMÑ dß : 0 œ '+ 0 w > .>. Sea α À ¶! ÐMÑ d definida por α 1 œ '+ 1 > .> y tomemos la compuesta α ‰ H À ¶ " M dà así , w w α ‰ H > œ α 0 œ '+ 0 > .> œ : > . Luego : œ α ‰ H y como H es continua, basta mostrar que α lo es.

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144

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Sean 1ß 2 − ¶! ÐMÑ tenemos , , , lα 1  α 2 l œ ¹'+ 1 > .>  '+ 2 > .>¹ œ ¹'+ 1 >  2 > .>¹ Ÿ ,  + † supÞl1 >  2 > l

œ ,  + . 1ß 2 Þ y por consiguiente α es Lipschitziana, luego es continua. " / Sea ¶ " ÐMÑ con la norma del supremo, M œ Ò!ß "Ó. Sea ! œ y sea $  !.  0 − ¶ ÐMÑ " B8 Entonces existe 8 − R tal que 8  $ y tomemos la función 08 B œ 8 Þ Tenemos que . 08 ß 0 œ 8"  $ y sin embargo se tiene . H 08 ß H 0 œ . 08w ß 0 w œ "Þ Luego H no es continua en 0 œ  !Þ Sea ahora 0 B œ Bß 0 − ¶ " ÐMÑ donde M œ Ò!ß #1Ó y sea %  !. Entonces existe 8 −  " tal que y sea B! œ 1 − M . Tómese ahora la función #8"  % " " 08 B œ B  #8" =/8 #8  " B ; 08 − ¶ ÐMÑ y

" . 08 ß 0 œ supÞ¹ #8" =/8 #8  " B ¹ œ

" #8"

%

y por consiguiente 08 − FÐ0 à %Ñ.

Tenemos que 0 w B! œ 0 w 1 œ "  ! mientras que 08w B! œ 08w 1 œ "  " œ !Þ Por consiguiente 08  E y E no es abierto. …

133.Sean

\ un espacio topológico y K una colección de homeomorfismos de \

que forman un grupo con relación a la composición (esto es, si 1ß 2 − K entonces 1 ‰ 2 − K y si 1 − K entonces 1" − KÑ. La "órbita" de un punto B − \ relativamente al grupo K es el conjunto K B œ Ö1 B à 1 − K× § \Þ Defina en \ una relación de equivalencia cuyas clases de equivalencia son las orbitas de los puntos de \ según K. Indiquemos con \ÎK el espacio cociente. Muestre que la aplicación cociente : À \ \ÎK es abierta. Supónga que K es un grupo "propiamente discontinuo", esto es, para todo punto B − \ existe un abierto Y conteniendo a B, con Y ∩ 1ÐY Ñ œ ø para todo 1 − K, 1 Á identidad. Esto implica que 1 Y y 2 Y son disyuntos siempre que 1 Á 2ß 1ß 2 − K. En estas condiciones la aplicación cociente : À \ \ÎK es un homeomorfismo local. Los toros X 8 ß el espacio proyectivo T 8 y el cilindro W " ‚ d son casos particulares de esta situación. BIC Í b1ß 2 − K tales que SOLUCIÓN. + Es claro que la relación 1 B œ2 B ÍK B œK C , es una relación de equivalencia cuyas clases son las orbitas de los puntos de \ . Sea \ÎK el conjunto cociente y sea : À \ \ÎK la aplicación cociente. , : es abierta: Sea E un abierto en \ ; basta probar que el saturado :" : E es abierto. En efecto, B − :" :ÐEÑ Í : B − : E Í : B œ : + ß + − E Í B œ 1 + ß 1 − K Í B − 1ÐEÑ Í B − ∪ 1ÐEÑ Luego :" : E œ

∪

1−K

1−K

1ÐEÑ que es abierto por ser reunión de abiertos.

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145

- Suponga K propiamente discontinuo y sea B − \ y Y abierto tal que Y ∩ 1ÐY Ñ œ ø a1 − K, 1 Á 3. . Supóngase 1ß 2 − K, con 1 Á 2 1" Á 2 " . Tenemos entonces que 2 " 2 Y ∩ 1 Y œ Y ∩ 2 " ‰ 1 Y œ øß pues 2 " ‰ 1 Á 3.Þ " Como 2 es un homeomorfismo, tenemos que 2 Y ∩ 1 Y œ øÞ . : À \ \ÎK es un homeomorfismo local. Sea B − \ y sea Y de manera que Y B es el abierto tal que B − Y y Y ∩ 1ÐY Ñ œ ø, a1 − K , 1 Á 3. Como : es una aplicación abierta, tenemos que : Y œ Z es abierto y cualquiera que sea E § Y abierto , tenemos que E es abierto en \ y por consiguiente : E es abierto y entonces :|Y À Y : Y œ Z es una aplicación abierta. Es claro que :|Y es sobre; basta apenas mostrar que :|Y es uno a uno: Sean B" ß B# − Y , B" Á B# y supóngase que :ÐB" Ñ œ :ÐB# Ñ. Entonces b1 − Kß 1 Á 3. tal que 1 B" œ B# , B# − Y y B# œ 1 B" − 1ÐY Ñ Ê Y ∩ 1ÐY Ñ Á ø po contradicción. / 3) Sea K œ Ö15 À d 8 d 8 ß 15 B œ B  5 donde 5 − ™8 × verifiquemos que K es un grupo propiamente discontinuo. Nótese que la relación de equivalencia determinada por K coincide con algo que ya conocemosß esto esß BKC Í B  C − ™8 Þ Luego tenemos que d 8 ÎK œ d 8 Ι8 lo cual es homeomorfo al toro X 8 , el cual es un resultado básico ¿cuál? 33) Sea K œ ÖMß E×, donde M y E son la identidad y la aplicación antípoda restringidas a W 8 . Se verifica que K es un grupo propiamente discontinuo y note que la relación de equivalencia determinada por K en W 8 coincide con la dada en el ejercicio 126, esto es BKC Í B œ „ CÞ Luego W 8 ÎK œ T 8 Þ 333) Sea K œ Ö15 À d # d # ß 15 Bß C œ B  5ß C ß donde 5 − ™× se verifica que K es un grupo propiamente discontinuo y que Bß C K Bw ß Cw Í C œ Cw • B  Bw − ™ . Luego la relación de equivalencia determinada por K en d # es la misma dada por un ejercicio que ya hicimos ¿cuál?. Luego d # ÎK œ d # Ι µ W " ‚ d . …

134.Sean 0 ß 1 À \

] aplicaciones continuas del espacio topológico \ en el espacio

de Hausdorff ] . El conjunto de los puntos B − \ tales que 0 B œ 1 B es cerrado en \ . ¿Es esencial que ] sea de Hausdorff? + Sea J œ ÖB − \ à 0 B œ 1 C × y Ew œ \  J Þ Si + − Ew , entonces SOLUCIÓN. 0 + Á 1 + en ] de Hausdorff . Luego existen abiertos Y y Z en ] tales que 0 + − Y , 1 + − Z y Y ∩ Z œ ø. Por ser 0 y 1 continuas existen abiertos Eß F en \ , tales que 0 E § Y y 1 F § Z . Sea [ œ E ∩ F abierto en \ ; tenemos que + − [ y aA − [ , se sigue que 0 A −0 Ð[ ѧ0 ÐEѧY Š 1ÐAÑ−1Ð[ ѧ1ÐFѧZ ‹, luego 0 A Á 1ÐAÑ y entonces + − [ § Ew y por consiguiente Ew es abierto y J es cerrado. , Es esencial que ] sea espacio de Hausdorff, pues

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"‰ ejemplo: Sea \ œ Ö+ß ,× y 7 œ Öøß \× la topología grosera en \ , luego \ß 7 no es Hausdorff. Sean 0 À \ \ , 1 À \ \ nótese que 0 ß 1 son continuas y que +È + +È+ ,È+ ,È , J œ ÖB − Eà 0 B œ 1 B × œ Ö+× no es cerrado en \ . ‰ ejemplo: Sea W œ E ∩ F ∩ G donde E œ Ö Bß ! à B Ÿ  "×ß F œ Ö Bß ! à B   "× # G œ Ö !ß C à C  !×, sea 0 À W d dada por "  B para Bß ! − E 0 Bß ! œ œ y 0 !ß C œ C para !ß C − GÞ "  B para Bß ! − F Sean 7" y 7# las topologías inducidas en E ∪ G y F ∪ G por las restricciones 0 l E∪G y 0 l F∪G . Sea 7 la topología sobre W generada por 7" y 7# , se muestra que esta topología no es Hausdorff. Definamos ahora 0 ß 1 À d W dadas por "  Bß ! ß B Ÿ ! B  "ß ! ß B Ÿ ! 0 B œœ , 1 B œœ ß !ß B ß B! !ß B ß B  ! Se verifica que 0 y 1 son continuas y que J œ ÖB − dà 0 B œ 1 B × œ !ß ∞ no es cerrado en d . …

135.La adherencia de un conjunto en un espacio topológico \ tiene las siguientes propiedades: " ø œ ø; # W § W; $ %

W œ W;

W ∪X œW ∪X .

Estas propiedades implican sin retornar a la definición que si W § X entonces W § X y que W ∩ X § W ∩ X . Recíprocamente, sea \ un conjunto. Supongamos definida entre las partes de \ una aplicación W W gozando de las cuatro propiedades de arriba. Defina un subconjunto E § \ como abierto si \  E œ \EÞ Muestre que si obtiene así una topología en \ ; relativamente a la cual la adherencia de un subconjunto Wß W coincide con el subconjunto W dado inicialmenteÞ SOLUCIÓN. + Demostremos % À B − W ∪ X Í B es punto adherente de W ∪ X Í B es punto adherente de W o de X Í B − W ” B − X Í B − W ∪ X . Luego W ∪ X œ W ∪ X , Sin retornar a la definición % 3 Si W § X , entonces W ∪ X œ X , luego X œ W ∪ X Ê W § X 33

3 W∩X §WÊW∩X §W W∩X §X ÊW∩X §X 3

ÊW ∩X § W ∩X .

- Sea \ un conjunto y : À P \ P \ tal que : goza de las cuatro propiedades " Î % y por consiguiente de 3 y 33 también. Defínase E abierto Í : \E œ \  E

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" MÑ : \  \ œ :ÐøÑ œ ø œ \  \ß luego \ es abierto MMÑ :Ð\  øÑ œ :Ð\Ñ − PÐ\Ñ por consiguiente :Ð\Ñ § \ . Pero por # , \ § :Ð\Ñ. Luego \ œ :Ð\Ñ y entonces ø es abierto MMMÑ Sea ÖE-×-−P una familia de abiertos, esto es, :Ð\  E- Ñ œ \  E- , a-. tenemos 3 que :Ð\  ∪ E- Ñ œ :Ò ∩ Ð\  E- ÑÓ § :Ð\  E- Ñß a- , entonces -

-

∪ E- Ñ § ∩ Ð\  E- Ñ œ ∩ \  E- œ \ ∪ Ey también \  ∪ E- § :Ð\  ∪ E- Ñ, por # . Luego :Ð\  ∪ E- Ñ œ \  ∪ Epor consiguiente ∪ E- es abierto. :Ð\ 

y

MZ Ñ Sean E" ß E# abiertos en \ ; tenemos que %

:Ð\  E" ∩ E# Ñ œ :ÐÐ\  E" Ñ ∪ Ð\  E# ÑÑ œ :Ð\  E" Ñ ∪ :Ð\  E# Ñ œ \  E" ∪ \  E# œ \E" ∩ E# por consiguiente E" ∩ E# es abierto. Por MÑß MMÑ, MMMÑß MZ Ñß tenemos una topología en \ .Þ . Denotemos por W la adherencia de un conjunto W , en el sentido usual, y mostremos que : W œ W , : \ \: W

œ: : W

$

œ: W œ\ \: W ß

# luego \  : W es abierto y por lo tanto : W es cerrado y como : W ¨ W , tenemos que W § : W ˆpor la definición de W ‰. Pero W es cerrado, de donde \  W es abierto y entonces :ˆW ‰ œ : \  \  W œ \ˆ\  W ‰ œ WÞ Por # , tenemos W § W Ê : W § :ˆW ‰ œ Wß con lo cual termina la demostración. …

136.

Sea 0 À \ ] un homeomorfismo local. La imagen inversa 0 " C de cada punto C − ] , es un conjunto discreto de \Þ Dadas aplicaciones continuas 1ß 2 À ^ \ tales que 0 ‰ 1 œ 0 ‰ 2 , entonces ÖD − ^à 1ÐDÑ œ 2ÐDÑ× es un subconjunto abierto de ^Þ Un levantamiento de una aplicación continua 1 À ^ ] es una aplicación continua µ 1 À ^ \ tal que 0 ‰ µ 1 œ 1 . Concluya que si ^ es conexo, y \ de Hausdorff, dos levantamientos de 1 À ^ ] los cuales coinciden en un punto D! − ^ coinciden en todos los puntos de ^Þ SOLUCIÓN. + Sea B − 0 " ÐCÑ. Entonces existe un abierto Y ® B tal que 0 Y œ Z es abierto en ] y 0 lY À Y Z es un homeomorfismo. Entonces aB" Á B − Y , tenemos 0 B" Á 0 ÐBÑ œ C así que B" − / 0 " ÐCÑ. Luego 0 " ÐCÑ ∩ Y œ ÖB× y por consiguiente 0 " ÐCÑ es discreto. , Sean 1ß 2 À ^ \ continuas; sea E œ ÖD − ^à 1ÐDÑ œ 2ÐDÑ× y tomemos D − E. Tenemos que 1 D œ 2 D œ B − \ . Como 0 es un homeomorfismo local , existe un abierto Y ® B tal que 0 lY À Y Z œ 0 Y es un homeomorfismo. Sean 1" Y œ [" y 2 " Y œ [# abiertos en ^ y sea [ œ [" ∩ [# à [ es abierto en ^ y si A − [ , tenemos que 1 A , 2 A − Y y por hipótesis, 0 ‰ 1ÐAÑ œ 0 ‰ 2ÐAÑ.

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Pero 0 lY es un homeomorfismo. De donde se concluye que 1 A œ 2 A , o sea, que D − [ § E y por consiguiente E es abierto. - Sean ^ conexo, \ de Hausdorff y 1µ" ß 1µ# dos levantamientos de 1. Sea E œ ÖD − ^ൠ1 " D œµ 1 # D ×. Por ser levantamientos de 1ß tenemos que µ µ 0 ‰ 1" œ 1 œ 0 ‰ 1 # y entonces, por la parte , , tenemos que E es abierto en ^ . Por ser \ de Hausdorff y por un ejercicio que ya esta hecho ¿cuál?, tenemos que E es cerrado en ^ y como 1µ" D! œ 1µ# D! , tenemos que E Á ø. Finalmente por ser ^ conexo, tenemos que E œ ^ . …

137.Para

que \ sea un espacio de Hausdorff es necesario y suficiente que la diagonal ? œ Ö Bß C − \ ‚ \à B œ C× sea un conjunto cerrado en \ ‚ \ . Otra condición equivalente es que cada punto B − \ sea la intersección de todas las vecindades cerradas de BÞ SOLUCIÓN. + Si \ es Hausdorff, basta notar que ? es el gráfico de la aplicación continua + À \ \ , + B œ B ; luego ? es cerrado en \ ‚ \ . Supóngase ahora que ? es cerrado y sean Bß C − \ , B Á C. Entonces Bß C  ? y como \? es abierto, existe un abierto E ® Bß C tal que E ∩ ? œ øÞ Por definición de abierto de la topología producto, para el punto Bß C − E, existen abiertos Y ® B en \ y Z ® C tales que Bß C − Y ‚ Z § E § \  ?Þ Como Y ‚ Z § \  ?, tenemos que a ?ß @ − Y ‚ Z Ê ? Á @Þ En otras palabras , Y ∩ Z œ ø. Luego \ es Hausdorff. , Supónga inicialmente que \ es de Hausdorff. Si B − \ , entonces B − ∩ JB , donde JB es una vecindad cerrada de B, tomemos C Á B y por ser \ de Hausdorff, existen abiertos Eß F en \ tales que B − Eß C − F y E ∩ F œ ø. Luego B − \  F œ J ß el cual es una vecindad cerrada de B pues J ¨ E ® B . Además C  J , o sea, C  ∩ JB ; luego ÖB× œ ∩ JB . Supóngase ahora que aB − \ , tenemos que ÖB× œ ∩ JB , entonces dados C Á B en \ tenemos que C  ∩ JB , luego existe una vecindad cerrada JB de B tal que C  JB , o sea C pertenece al abierto E œ \  JB Þ Además, por ser JB una vecindad de B, tenemos que existe un C−Eœ\J abierto F tal que B − F § JB . Entonces Š B−F§J B ‹, luego E ∩ F œ ø y \ es B de Hausdorff. …

138.Sea

el conjunto de las matrices cuadradas reales con 8 filas y 8 columnas. Establezca una correspondencia biunívoca entre Q 8 y el espacio # euclidiano d 8 . Por medio de esa correspondencia, transforme a Q 8 en espacio métrico. Las aplicaciones ./> À Q 8 d y 7 À Q 8 ‚ Q 8 Q 8 , definidas por ./>Þ \ œ determinante de la matriz \ y 7 \ß ] œ \ † ] œ producto matricial de \ por ] , son continuas. El conjunto K 8 de las matrices 8 ‚ 8 las cuales poseen inversa es abierto en Q 8 . La aplicación < À K 8 K 8 definida por < \ œ \ " , es continua. Q 8

Darío Sánchez H.

149

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El conjunto S 8 de las matrices ortogonales (esto es, matrices cuya inversa en igual a la transpuesta) es acotado y cerrado en Q 8 . El conjunto K 8 de las matrices cuyo determinante es  ! es abierto y cerrado en K 8 . ¿Será K 8 cerrado en Q 8 ?. Ô +"" á +38 × ã ä ã basta hacer 0 E œ +"" ß á ß +8" ß á ß +"8 ß á ß +88 SOLUCIÓN. + Si E œ Õ +8" á +88 Ø # para obtener una correspondencia uno a uno, 0 À Q 8 d 8 . # , Sea ." À d 8 d la métrica definida por ." Bß C œ supÞÖlB3  C3 l; 3 œ "ß á ß 8# ×, donde # B œ B" ß á ß B8# ß C œ C" ß á ß C8# − d 8 . # Entonces, si E œ +34 ß F œ ,34 − Q Ð8Ñ, definimos . À Q 8 d 8 por . Eß F œ ." 0 E ß 0 F œ max l+34  ,34 l " Ÿ 3ß 4 Ÿ 8

-

Sea

./> À Q 8

d

dada

por

./> E œ 5

%Ð5Ñ+"5 " â+85 8 ,

donde

E œ +34 − Q Ð8Ñ, 5 es una permutación de 8 elementos y %Ð5Ñ es el signo de la permutación. Luego ./> es una función continua pues se expresa como suma y producto de funciones continuas. Sea 7 À Q Ð8Ñ ‚ Q Ð8Ñ Q Ð8Ñ dada por 7 Eß F œ E † F . Tenemos que 7 es bilineal y Q 8 es un espacio vectorial de dimensión finita. En la parte de análisis en d 8 se mostró que 7 es continua. . Note que \ − Q Ð8Ñ posee inversa si y sólo si ./> \ Á !; luego K 8 œ ./>" d  Ö!× , luego K 8 es abierto en Q 8 pues ./> es continua y d  Ö!× es abierto de d . / < À K 8 K 8 , dada por < \ œ \ " œ ./>"\ † +.4 \ y +.4 \ œ ˆ +.4\ 34 ‰ß donde +.4\ 34 œ  " 34 † ./> \ 4l3 y donde \ 4l3 es la matriz que se obtiene de \ , eliminándose la fila 4 y la columna 3Þ Notemos que 134 À Q 8 Q 8  " dada por 134 \ œ \ 4l3 es continua pues es una contracción débil; . 134 \ ß 134 ] œ . \ 4l3 ß ] 4l3 Ÿ . \ß ] . También es continua la aplicación ./> À Q 8  " dÞ Luego +.4 34 À Q 8 d dada por +.4 34 \ œ +.4\ 34 œ ./> \ 4l3 œ ./> ‰ 134 \ es continua, pues es compuesta de funciones continuas. Entonces la aplicación +.4 À Q 8 Q 8 dada por Ô +.4\ ã +.4 \ œ Õ +.4\

es continua, pues todas sus coordenadas

"" 8"

â ä â +.4\

+.4\ ã +.4\ 34

38 88

× Ø

lo son.

Darío Sánchez H.

150

TOPOLOGIA GENERAL

La función K 8

:

d  Ö!× dada por : \ œ

" ./> \

es continua pues es la compuesta

de la función ./> con la función d  Ö!× d que son ambas continuas. B È B" Luego la función < À K 8 K 8 es continua por ser compuesta de las funciones \ È \ " continuas: K 8 d  Ö!× ‚ KÐ8Ñ " \È ß +.4\ Œ ./>\

È

KÐ8Ñ " † +.4\ ./> \

0 Consideremos la composición Q 8 - Q 8 ‚Q 8 \È ˆ\ß \ > ‰

7 Q 8 ./> d > È \ † \ >È ./>ˆ\\ ‰

./> ‰ 7 ‰ - À Q 8 d es continua pues cada uno de los factores es continua. Como \ − S 8 Í ./>\ œ „ ", tenemos que S 8 œ ./> " Ö  "ß "× que es cerrado en Q 8 pues Ö  "ß "× es cerrado en d . (o aún, \ − S 8 Í \ † \ > œ Mß luego S 8 œ ./> ‰ 7 ‰ - " Ö"× Þ Por

otra

parte,

tenemos

E œ +34 − S 8 Ê EE> œ "ß entonces

a3 œ "ß á ß 8ß entonces l+34 l Ÿ "ß a3ß 4 œ "ß á ß 8 Ê lEl œ . Eß ! œ supÞ

8

# +34

œ "ß

4œ"

Öl+34 l× Ÿ ".

" Ÿ 34 Ÿ 8

Luego S 8 − HÐ!à "Ñ œ bola cerrada de centro en la matriz nula y radio ", entonces S 8 es acotado. 1 K œ Ö\ − Q Ð8Ñà ./>\  !× es abierto en Q 8 pues K  8 œ ./> " !ß ∞ y ./> À Q 8 d es una función continua. De manera análoga, tenemos que K 8 œ Ö\ − Q Ð8Ñà ./> \  !× es abierto en Q 8 . Luego K  Ð 8 Ñ y K  Ð 8 Ñ son abiertos en KÐ8Ñ y K 8 œ K 8 ∪ K 8 , .3=C?8>+

luego K 8 y K 8 son también cerrados en K 8 Þ 2 K 8 no es cerrado en Q 8 . Como Q 8 œ K 8 ∪ K! 8 ∪ K 8 , unión disyunta donde K! 8 œ Ö\ − Q Ð8Ñà ./> \ œ !×, basta mostrar que K! 8 ∪ K 8 œ Q 8  K 8 no es abierto. " Ô8 á !× " Dado %  !, tome 8 −  tal que 8  % y entonces E8 œ Ö ã ä ã Ù − K Ð8Ñ y sin Õ ! á 8" Ø embargo lE8 l œ 8"  %, luego E8 − F !à % Þ Luego la matriz ! no pertenece al interior de K! 8 ∪ K 8 , luego este conjunto no es abierto.

Darío Sánchez H.

TOPOLOGIA GENERAL

151

…

139.Para

todo subconjunto no vacío W en un espacio métrico Q y todo punto + − Q , se tiene que . +ß W œ . ˆ+ß W ‰. Sea E œ Ö. +ß B à B − W× y F œ Ö. +ß C à C − W×, entonces . +ß W œ infÞEß SOLUCIÓN. ˆ ‰ . +ß W œ infÞFÞ Sea 7 œ . ˆ+ß W ‰ œ infÞF y probemos que 7 œ infÞE: 3) Como E §  F , entonces infÞF Ÿ infÞE, o sea a= − E, tenemos 7 Ÿ =. 33) Sea dado %  !. Como 7 œ infÞFß entonces existe > œ . +ß C − F ÐC − WÑ tal que 7 Ÿ >  7  #% Þ Como C − W , entonces existe B − W tal que . Bß C  #% . Luego para = œ . +ß B − Eß tenemos 7 Ÿ = œ . +ß B Ÿ . +ß C  . Cß B  7  #%  #% œ 7  %, o sea existe = − E tal que 7 Ÿ =  7  %Þ 3 y 33 implican que 7 œ infÞE. … 140. Sea K œ Ö Bß C − \ ‚ \à BIC× el gráfico de una relación de equivalencia I . Si \ÎI es un espacio de Hausdorff, entonces K es un subconjunto cerrado de \ ‚ \ . Si K § \ ‚ \ es cerrado entonces todo punto en \ÎI es cerrado pero no se puede garantizar que \ÎI sea un espacio de Hausdorff, aún cuando \ lo sea. Si K § \ ‚ \ es cerrado y la relación I es abierta entonces \ÎI es un espacio de Hausdorff. ! Á C! y como \ÎI es SOLUCIÓN. + Sea B! ß C! − \ ‚ \  KÞ Esto significa que B de Hausdorff, tenemos que existen abiertos Y ß Z en \ÎI tales que B! − Y ß C! − Z y Y ∩ Z œ ø. Como : À \ \ÎI es continua , tenemos que :" Y y :" Z son abiertos en \ , con B! − :" ÐY Ñ y C! − :" ÐZ Ñ. Tomemos el abierto E œ :" ÐY Ñ ‚ :" ÐZ Ñ en \ ‚ \ . Si Bß C − Eß tenemos  B œ :ÐBÑ − :Ð:" ÐY ÑÑ œ Y y  C œ :ÐCÑ − :Ð:" ÐZ ÑÑ œ Z y por consiguiente  B Á C ; luego Bß C  K y entonces E § \ ‚ \  K y \ ‚ \  K es abierto. , En lo que sigue identificaremos cada punto  B − \ÎI con su clase de   equivalencia B œ ÖD − \à DIB× § \ y mostrar que ÖB × es cerrado en \ÎI , esto es Î , o sea, equivalente a mostrar que  B es cerrado en \Þ Sea C   B ; luego CIB Bß C − \ ‚ \  K , que es abierto. Entonces existen abiertos Y ß Z § \ tales que Bß C − Y ‚ Z § \ ‚ \  K . En otras palabras, a? − Y ß a@ − Z , tenemos ?ß @  K , Î . En particular, a@ − Z tenemos que @IBß Î o sea, @   esto es, ?I@ B . Luego Z ∩  B œø   ß yß C − Z . Luego \  B es abierto en \ y por consiguiente B es cerrado. Si K es cerrado y \ es de Hausdorff, no implica que \ÎI sea Hausdorff: Sea \ un espacio de Hausdorff no normal; entonces existen en \ dos cerrados disyuntos J y K tales que no existen abiertos disyuntos Y y Z con J § Y y K § Z . Tome una relación de equivalencia la cual identifique los puntos de J , a los puntos de K, y a los demás puntos con ellos mismos. Entonces las clases de equivalencia son J , K y  B œ ÖB× tal que B  J y B  K. Muestre que el gráfico de esta relación es cerrado, que los puntos son cerrados, pero que \ÎI no es Hausdorff.

Darío Sánchez H.

152

TOPOLOGIA GENERAL

- Si K § \ ‚ \ es cerrado y : À \ \ÎI es abierta, entonces \ÎI es de Hausdorff. Î y por ser K cerrado, tenemos que existen Sean  B Á C en \ÎI ; entonces BIC abiertos Y ß Z § \ tales que Bß C − Y ‚ Z § \ ‚ \  K, o sea a? − Y , y, a@ − Z , se Î tiene ?I@Þ Como : es abierta, tenemos que  B − :ÐY Ñ es abierto y  C − :ÐZ Ñ abierto y si existe   donde Aœ? ß ?−Y  A − :ÐY Ñ ∩ :ÐZ Ñ, entonces Š   ‹, o sea, existe ? − Y ß existe @ − Z tal Aœ@ , donde @−Z

que  ? œ @ , esto es, ?I@ß po contradicción. Luego :ÐY Ñ ∩ :ÐZ Ñ œ ø Hausdorff. …

y \ÎI es de

141. Sea ÖB8 ×8− una sucesión en un espacio métrico Q . Dada una descomposición R œ R" ∪ â ∪ R: donde R" ß á ß R: son infinitos y disyuntos, si las subsucesiones ÖB8 ×8−R" ß ÖB8 ×8−R# ß á ß ÖB8 ×8−R : convergen todas para el mismo límite + − Q entonces

ÖB8 ×8− converge para +. ¿Es éste resultado aún verdadero en el caso de una

descomposición "infinita" R œ R" ∪ â ∪ R: ∪ â?.

SOLUCIÓN. + Dado %  !, para cada 3 œ "ß á ß :ß b83 − R3 tal que Š 88 3 ‹ß entonces 3

. B8 ß +  %. Tomemos 8! œ maxÞÖ8" ß á ß 8: ×. . B8 ß +  %à luego limB8 œ +Þ

Entonces

!‰ ˆ a88 8− ß

8−R

tenemos

que

8−

, Ejemplo: Sea Ö:" ß :# ß :$ ß á × œ Ö#ß $ß &ß (ß á × una enumeración en orden creciente de los números primos y tomemos R" œ Ö"× ∪ # œ Ö"× ∪ :"  R # œ $  R " œ : #   R " ã ã R5 œ : 5  

5

∪ R5 . 3œ"

Tenemos entonces que  œ Tomamos ahora

∞

∪

R5 y que los R3 son infinitos y disyuntos.

BÀ d definida por Š B5 œ!ß si 5ÂÖ: "ß: #ßá× ‹. " # 5 8 È B 8 œ B8 converge para !, aR3 , pues cada R3 sólo tiene un número primo 5œ"

B œ"ß si 5−Ö: ß: ßá×

Entonces ÖB8 ×8−R3 :3 Þ Pero ÖB8 ×8− no converge para ! pues existen números primos arbitrariamente grandes. Luego la respuesta a la pregunta no es verdad. …

142.Sea

ÖB8 ×8− una sucesión convergente en un espacio métrico Q . Dada

cualquier aplicación biunívoca : À   la sucesión C8 œ B: 8 también converge en Q y se tiene lim C8 œ lim B8 . ¿Qué otra hipótesis puede sustituir el hecho de 8Ä∞

que : sea biunívoca?

8Ä∞

Darío Sánchez H.

153

TOPOLOGIA GENERAL

SOLUCIÓN. + Supóngase B8 Ä + y : À 

 biunívoca. Dado %  !, b8! − −  tal que 8  8! implica que . B8 ß +  %. Como : À   es biunívoca, tenemos que :" Ö"ß á ß 8! × es finito y entonces b R −  tal que :" Ö"ß á ß 8! × §  Ö"ß #ß á ß R × ˆ y por lo tanto, a8  R , tenemos que : 8  8! y entonces . B: 8 ß +‰  %Þ Luego lim B: 8 œ +Þ

8Ä∞

, Bastaría que para cada conjunto finito Ö"ß #ß á ß 8! × §  ß tuviésemos que " : Ö"ß á ß 8! × §   posea un conjunto finito. - Basta definir para un determinado : − , la aplicación biunívoca : À   y 8È 8  : entonces B8 Ä +, tenemos que ÖB: 8 œ B8: × Ä +Þ …

143.Sea

d el conjunto de los números reales y  el conjunto de los números

racionales. El conjunto de las sucesiones convergentes de números reales es cerrado en µ à d pero las sucesiones convergentes de números racionales no forman un subconjunto cerrado de µ à  . En cualquier espacio métrico Q , sin embargo, la aplicación que asocia a cada sucesión convergente su límite, es continua [cuando se considera el conjunto de las sucesiones convergentes en Q como subespacio de µ R à Q ]. SOLUCIÓN. + Sea ¶ ; d el conjunto de las sucesiones convergentes de números reales el cual está contenido en µÐ; dÑ . Sea Ö08 ×8− una sucesión en ¶ ; d tal que existe lim 08 œ 0 − µÐß dÑ y probemos que 0 − ¶ ; d . Sea entonces %  ! 8Ä∞

dado arbitrariamente y como 08 Ä 0 tenemos que b8! −  tal que . 08 ß 0  $% ß a8  8! . Fijamos 8" − ß 8"  8! y entonces . 08 ß 0  $% " Como 08 − ¶ Ðà dÑ para todo 8, tenemos en particular que Ö08" 5 ×5− es convergente, luego es una sucesión de Cauchy. Entonces b5! −  tal que 5" ß 5#   5! implica que l08" 5 "  08" 5# l  $% . # Tomando entonces 5" ß 5#   5! , tenemos que " Æ l0 5"  0 5# l Ÿ l0 5"  08" 5" l  l08" 5"  08" 5# l  l08" 5#  0 5# l  $%  $%  $% œ % Å #

Luego Ö0 5 ×5− es una sucesión de Cauchy en d y entonces es convergente, esto es, lim 0 5 œ 0 − ¶ Ðà dÑ. 5Ä∞

, Sea ¶ Ðà dÑ §  µÐà dÑ y probemos que ¶ no es cerrado en µ. Para esto, tomemos α − d   y como  es denso en d , existe una sucesión Ö0 8 ×8− tal que 0 8 Ä α y 0 8 − ß a8 − . Tomemos ahora una sucesión Ö07 ×7− , donde cada 07 − ¶ Ðà Ñ esta definida por: Ö0" 8 ×8− œ Ö0 " ß 0 " ß á ß 0 " ß á × Ö0# 8 ×8− œ Ö0 " ß 0 # ß á ß 0 # ß á ×

Darío Sánchez H.

154

TOPOLOGIA GENERAL

ã ã ã ã ã Ö07 8 ×8− œ Ö0 " ß 0 # ß á ß 0 7  " ß 0 7 ß á × ã Es claro que 07 − ¶ Ðà Ñ pues 07 8 Ä 0 8 y también 07 Ä 0  ¶ Ðà Ñ pues 0 8 Ä y α  . Luego ¶ Ðà Ñ no es cerrado. 8 α - Sea ¶ Ðà Q Ñ §  µÐà Q Ñ y definamos : À ¶ Ðà Q Ñ Q por : ÖB8 ×8− œ Bß donde B œ lim B8 ; es claro que : esta bien definida pues aÖB8 ×8− − ¶ tiene uno y sólo un límite.

Sea

dado

. ÖB8 ×8− ß ÖC8 ×8− 

%! % $

.

y

Como

ÖB8 ×8− − ¶

y

tomemos

ÖC8 ×8− − ¶

B8 ÄBßb8" −Î88" Ê. B8 ßB  % Œ C8 ÄCßb8# −Î88# Ê. C8 ßC  %$ $

tal

que

.

Tomando 8! œ maxÞÖ8" ß 8# × y fijando R − , R  8! tenemos que . Bß C Ÿ . BR ß B  . BR ß CR  . CR ß C  $%  $%  $% œ %. Luego, dado %  !, tome $ œ $% para ver que : es continua. …

144.Sean

\ un espacio topológico R un espacio métrico y E § \ un subconjunto

tal que E œ \ . Si una sucesión de aplicaciones continuas 08 À \ R convergente uniformemente en E para una aplicación continua 0 À \ R , entonces 08 Ä 0 uniformemente en \. SOLUCIÓN. Dado %  !, b8! −  tal que 8  8! implica que . 08 B ß 0 B  $% , aB − E " Tomamos 8" −  fijo, 8"  8! . Sea B! − \ y probemos que . 08" B! ß 0 B!  %Þ Como 08" À \  es continua, bY ® B! abierto tal que B − Y Ê . 08" B ß 08" B!  $% # Como 0 À \  es continua, b un abierto Z ® B! tal que B − Z Ê . 0 B ß 0 B!  $% $ Tomando el abierto [ œ Y ∩ Z ® B! . Entonces aB − [ , se cumplen simultáneamente # y $ . Pero E œ \ , entonces E ∩ [ Á ø; tenemos entonces + − E ∩ [ y para tal + valen " ß # y $ , por lo tanto . 08" B! ß B! Ÿ . 08" B! ß 08" +  . 08" + ß 0 +  . 0 + ß 0 B!  $%  $%  $% œ %. … 145.Se dice que un subconjunto W de un espacio topológico \ es "denso" en \ cuando W œ \Þ Un subgrupo aditivo K de los números reales es denso en d , si y sólo si ! es punto de acumulación de K. Si el subgrupo K § d no es denso en d , existe un número real +   ! tal que K œ ™+ß esto es K œ Ö8+à 8 − ™×. En particular, los subgrupos aditivos cerrados de d son Ö!×ß d y los de la forma ™+ß +  !. Concluir que si ) es un número irracional, los números de la forma 7  )8ß 7ß 8 − ™ constituyen un subconjunto denso de d . SOLUCIÓN. + Suponga que K œ d y sea %  ! dado. Existe entonces 1 − K tal que 1 − Ð!ß %Ñ. Luego ! es punto de acumulación de K.

Darío Sánchez H.

TOPOLOGIA GENERAL

155

Sean ahora B  ! en d y %  ! dados. Como ! es punto de acumulación de K, tenemos que existe 1 − K tal que 1 − Ð  %ß %Ñ  Ö!× y podemos suponer que 1  ! (si 1  !ß  1  ! y  1 − K, pues K es un grupo). Tómese 8 −  tal que 8  " 1 Ÿ B Ÿ 8  " 1 пexiste tal 8?). Entonces tenemos que 81  1 Ÿ B Ÿ 81  1 y como 1  %, de la última desigualdad se ve que 81  %  B  81  % y entonces  %  B  81  %. Luego lB  81l  % y entonces 81 − B  %ß B  % y 81 − K Ðpues 8 − , 1 − K y K es grupoÑ. Luego B  %ß B  % ∩ K Á ø. Como !  % es cualquiera,  tenemos que B − K . Si B − dß B  !, se resuelve de manera análoga. Luego, aB − d ,  tenemos B − K y entonces K œ d . , Si K œ Ö!×, entonces K œ ™ † !. Suponga K Á Ö!× y K no denso en d ; por la parte + ß ! no es punto de acumulación de Kß esto es, b%  !, tal que Ð  %ß %Ñ  Ö!× ∩ K œ ø. Sea E œ Ö1 − Kà 1  !×. Entonces E Á ø pues K Á Ö!× y como E es acotado

inferiormente por %  !, tenemos que Œb+ − d y + œ infÞE. +! " +−KÀ Pues en caso contrario, por la definición de ínfimo, existiría 1 − K tal que +  1  +  % y aún por la definición de ínfimo, existiría 2 − K de manera que +  2  1  +  %. Tenemos entonces que !  1  2  % y 1  2 − K pues 1ß 2 − K . Luego b1  2 − Ð!ß %Ñ ∩ Kß po contradictorio. # aB − Kß B  !, tenemos B œ 8+: Supóngase que B − K y B Á 7+, a7 − . Entonces existe 8 −  tal que 8+  B  8  " +. Luego 8+  B  8+  + lo que implica que !  B  8+  + y como Bß + − K, tenemos que B  8+ − E y !  B  8+  infÞE,po contradicción. - Si K §  d es un subgrupo aditivo cerrado en d y si K Á d , tenemos que  K œ K Á d , luego, por la parte , ß K œ ™ † +. . Si ) − d  , es fácil ver que el conjunto K œ Ö7  8)à 7ß 8 − ™× es un subgrupo aditivo de d. Si K no es denso en d, entonces por la parte , , tenemos que existe 7  8) œ + − K tal que K œ ™ † +Þ Pero ) œ !  " † ) − K, luego existe D − ™ de manera 8D que ) œ D † +, o sea, ) œ DÐ7  8)Ñ Ê )  D7) œ 8D . Luego ) œ ! o )= "D7 − . En cualquiera de los casos, tenemos po contradicción, pues ) − d  . Luego K es denso en dÞ …

D‘’LLƒ

Darío Sánchez H.

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TOPOLOGIA GENERAL

BIBLIOGRAFIA - Bourbaki, N., Théorie des Ensembles, Fascicule de Résultats, Hermann, París, 1958. - Bourbaki, N., Topologie Générale, Hermann, 1961, Hocking, J.G., & Young, G.S., - Chinn, W.G. & Steenrod, N.E., First Concepts of Topology, Random House, Inc., N.Y., 1966. - Halmos, P.R., Teoría Intuitiva de Conjuntos, Cecsa, México D.F., 1965.

- Hall, D.W. & Spencer II, G. L., Elementary Topology, John Wiley & Sons, Inc., N.Y. 1960. - Hocking, J.G. & Young, G.S., Topología, Editorial Reverté S.A., 1966. - Kelley, J.L., General Topology, Editorial Board, N.Y., 1970.

- Lima, E.L., Elementos de Topología General, Editoria U. de S. Paulo, 1970.

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- Moore, T.O., Elementary General Topology, Prentice-Hall Math.Series, 1964. - Muñoz, J.M., Introducción a la Teoría de Conjuntos, 4a. Ed., U.N., 2002.

- Muñoz, J.M., Topología Básica, Academia Col. de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, Bogotá, D.C., 2003. - Muñoz, J.M., Introducción a la Topología, Depto.Mat., U.N., 1983.

- Simons, G.F., Introduction to Topology and Modern Analysis, McGraw-Hill Book Company, Inc., 1963. - Suppes, P., Teoría Axiomática de Conjuntos, Editorial Norma, Cali, Colombia 1968. _______________________________ Espero que el lector haya obtenido algún provecho aprendizaje de los espacios topológicos. Exitos y bienvenidos a la investigación por internet. Cualquier comentario favor hacerlo llegar a:

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