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I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS”

II. POLINOMIOS

1. DEFINICIÓN

Son expresiones algebraicas racionales enteras de dos o más términos. Es decir , la variable está afectada de exponentes enteros y positivos.

Ejemplo : x4 – 2x2 + 3 ; x5 – 3x4 +

5 x2 + ½

x 1.1. NOTACIÓN P(x, y) = 3abx5y6 3ab  coeficiente (constantes) x; y  variables 

Las variables se encierran entre paréntesis, así :

Polinomio idénticamente nulo Todos sus coeficientes son iguales a cero.

3. POLINOMIOS ESPECIALES Polinomio Homogéneo: Todos sus términos tienen el mismo grado absoluto, cuyo grado se llama grado de homogeneidad. Ejemplo : P(x; y) = 6x5y3 – 3x4y4 + 6x6y2  El polinomio P(x; y) es homogéneo de grado 8°.

2. GRADO Es una característica de las expresiones algebraicas racionales enteras, relacionadas con los exponentes de sus variables. Hay de dos tipos:

Polinomio Ordenado: Los exponentes de una de sus variables están aumentando o disminuyendo (variable ordenatriz) Ejemplo : P(x; y) = x4y3 + 2x2y5 – 3xy8

VALORES NUMERICOS NOTABLES Si P(x) es un polinomio, se cumple: P(0) = término independiente P(1) = Suma de coeficientes Polinomio constante P(x) = m (m0) Su grado es cero.

Polinomio Completo: Si figuran todos los exponentes de una de sus variables, desde un valor máximo (mayor exponente) hasta cero (término independiente).

ADICIÓN: Se escriben las expresiones algebraicas unas a continuación de otras con sus propios signos y luego se reducen los términos semejantes, si los hay.

2.2. GRADO DE UN POLINOMIO: a) Grado Absoluto: Está dado por el término de mayor grado absoluto. b) Grado Relativo: Es el mayor exponente de una variable.

* El polinomio es completo respecto a la variable “x”. Polinomio Idéntico: Los coeficientes de semejantes son iguales.

sus

SUSTRACCIÓN: Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y luego se reducen los términos semejantes, si los hay.

términos

Ejemplo : ax2 + bx + c  mx2 + nx + p

MULTIPLICACIÓN: Se Multiplican todos los términos multiplicando por cada uno de términos del multiplicador, teniendo cuenta la ley de signos y se reducen términos semejantes.

Identidad Debe cumplirse que : a=m ; b=n

;

c=p

7

2).-Se sabe que el polinomio : P(x) = 4x3 + 3x2 + mx+x - n+5; es tal que : P(1) = 15y P(0) = 2. Halla P(-2) Solución : P(1) = 4(1)3 + 3(1)2 + m+1-n+5 = 15 4+3 + m+1-n+5=15 m-n = 2 P(0) =4(0)3 + 3(0)2 + m(0) + 0 – n+5 = 2 n=3 m-3=2 m= 5 P(x) = 4x3 + 3x2 + 6x + 2 P(-2) = 4(-2)3 + 3(-2)2 + 6(-2) + 2 P(-2) = -32 + 12 – 12 + 2 P(-2) = -30

5. OPERACIONES:

P(x; y) = x3 + 4x2y– 3xy2 + 5

a) Grado Absoluto: Se obtienen sumando los exponentes de sus variables. b) Grado Relativo: Es el exponente de una variable.

c=0

Es el resultado que se obtiene luego de reemplazar el valor asignado a las variables y realizar las operaciones indicadas.

Ejemplo : entera

b=0 ;

4. VALOR NUMÉRICO:

# Términos = Grado + 1

- Grado Relativo. -Grado Absoluto.

Q(x) = 4xm + mxm+2 – 9xm+1 Solución : m+2=6m=4 Ahora : m-2 = 4-2 = 2

ax2 + bx + c = 0 Debe cumplirse que : a=0 ;

PROBLEMAS RESUELTOS 1).- Determina el grado relativo a “x” en “P”, si el grado absoluto de Q es 6. P(x) =xm-4 – mxm-3 – xm-2 + 1

Ejemplo :

a) Es ordenado respecto a la variable “x” en forma descendente. b) Es ordenado respecto a la variable “y” en forma ascendente.

P(x) P(x, y) P(x, y, z)

2.1. GRADO DE UN MONOMIO Es siempre una cantidad positiva y son de dos clases :

ÁLGEBRA

del los en los

3).- Sabiendo que : P(x) = x2 + ax + bx + ab Halla : P(a ).P(b ).P(0 )

Solución : P(a) = 2a(a+b) P(b) = 2b(a+b) P(0) = ab

4a2b2(a+b)2

4a 2 b 2 (a  b) 2  2ab(a  b )

4).- Dado el polinomio completo y ordenado.

P x   2x

2 p p 1

2 m  3n  4m 8m  25  .....  x x

Cuyo número de términos es (n + 1)

3º SECUNDARIA – I PERIODO - 2008

I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” Determina : E 

np . Siendo m

PR. Solución: 8m + 25 = 1 m = -3 (-3)2 – 3n – 4 (-3) = 0 n=7 P2 + P + 1 = n = 7 P = -3 P=2 Luego :

np 72   3 m 3 73 4 E   3 3

E

5).- Que valor debe asignarse a “n” en la expresión: n+2

n+1 n

n+1 n

(x +x y +y )

de modo que su grado absoluto excede en 9 al grado relativo de “y”. Solución: GA = GR(y) + 9 (2n + 1)n = (n+1) n+9 2n2 + n = n2 + n + 9 2n2 – n2 = 9 n2 = 9 n=3

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 02 1).-Determina “m”, si el grado de la expresión: x4ym + x5ym+1 + xym + mxmy5 es igual a 8. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 2).- Determina el grado relativo a “y” si el grado respecto de “x” en : xn-3 y4 + 2xn – 1yn+3 + xyn es 9 a) 4 b) 9 c) 10 d) 13 e) 14 3).- Determina mn, si se sabe que el polinomio: P(x) = xm-3 + mxn-4 + nxm-5 , m es completo y ordenado. a) 16 b) 20 c) 24 d) 36 e) 25

ÁLGEBRA d) 213 4).- Si el siguiente polinomio de 14 términos es completo y ordenado : P(x)=xn+4 + . . .+ xa-1 + xa-2 + xa-3 Calcula : “a + n” a) 3 b) 9 c) –4 5).- Sea el monomio:

d) 16

2 M x; y    a 2  14  x  a 6 

a2 a 3

e) 12

.y

a4 a 5

Donde G.A.(M)=2 . Halla el coeficiente de dicho monomio. a) 1 b) 2 c) 3 d) –1/3 e) 5/4 23).- Dado el monomio:



3  M( x; y )    x 3 y 2  x 2 y 



2

xy

Halla su grado absoluto: a) 48 b) 98 c) 78 d) 58

2

  

e) 214

11).- Si los términos : t1(x; y) = bx3ya+1 t2(x; y) = (a + b)xb+2y4 t3(x; y) = axa yb+3 Son semejantes , calcula su suma: a) 4x3y4 b) 6x3y4 c) 8x3y4 d) 5x3y4 e) 9x3y4

18).- Si : P(x) = Determina : P(P(x)) a) x b) 2x c)–x d)x/2

12).- Dado el polinomio : P(x) = 2x2(1 + x4) – 3x6 – 5 Calcula :

para qué valor de “n”; M(x) es constante. a) 4 b) 0,5 c) 10 d) 1,3 e) 14

E  a)1,3

2

b)1,4

c)1,5

d)1,6

a) 9

Si: G.A. de M=600. Halla : “m+n+p” a) 100 b) 200 c) 300 d) 400 e) 500

e)2

d) 11

x 2n  5

Se cumple que:

a) 4

b) 9

G.A. = 83 y G.R.(y) = 20 Halla: a + b c) 10 d) 8

a b a

M(a, b) 

3

15).-Calcula: P(P(0)) Si: P(x)= x2 – x + 1 a) -2 b) 1 c) 0

a b

2

Es de segundo grado respecto de “a” y de séptimo grado absoluto. a) 4 b) 9 c) 5 d) 13 e) 6 e) 2

Calcula: a) -2

10).- Sea el monomio:

E b) 1

3

d) -1

e) 2

P( 2)  P( 1) P( 4)  P 3  c) 4

17).- Si P(x) = 2x2 +

M x; y; z  16xa1.ya 2.za 3

Si: G.A.=18 Calcula: T  GR x.GR y.GR z a) 210 b) 211 c) 212

22).- Si el monomio:

x x m 2

16).- Si: P(x)= x2 – 3x + 1

Si: GR(x)=6  GR(y)=2 Halla el coeficiente del monomio. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

d) -4

x m2

es de tercer grado, entonces el valor de “m” es : a) 12 b) 15 c) 22 d) 20 e) 25 23).- Halla el valor de “n” en el monomio:

e) 2

3 x3  1 5 3

Calcular P(-1/2) a) 17/120 b) 91/120 d) 97/12 e) 1/120

M( x ) 

3

x n 2 . x n3 6

x n1

Sabiendo que es de primer grado. a) 1/9 b) 2/9 c) 9/2 d) 4/9 e) 9/5 c) 11/120

CLAVES DE RESPUESTAS 1) b

8

a m n b n 6 a 3 b1n

es de 4to grado. Halla “n” : a) 6 b) –4 c) 4 d) 3

9).- Sea el monomio:

e) 14

21).-Determina ( m- n), si el monomio:

e) 1

( x n 2 ) 3 x n 4 ( x 2 )n

Si: GR(x)=3  GA=7 Halla el coeficiente del monomio. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

.y

c) 10

x 2n3 .3 x 2n1

14).- Si :

8).- Sea el monomio:

a b

b) 12

4

M( x, y )  x 3( 2a3b ) .y 4( 5a 2b )

es 19 y el grado relativo de “y” es 7,

a 4

m( x ) 

20).- En el monomio:

x1 m y 2  m x1 2n y 2  3n

M x; y  

e) 68

3p “m” M x; y; z   2x 3m np .y m 3n 2p .z 2m 2ncalcula

 a b  M x; y   x  a 6 

P(1)  P( 1) P(0 )

e)-x/2

19).- Dado el monomio:

13).- Si el grado absoluto de :

7).- Sea el monomio:

 b M x;y   x a 4 .y  a

2x  1 x2

3º SECUNDARIA – I PERIODO - 2008

2) d

3) e

I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” 4) e

5) c

6) c

7) a

8) c

9) c

10)a

11)c

12)d

13)d

14)d

15)b

16)c

17)b

18)a

19)b

20)d

21)a

22)c

23)c

ÁLGEBRA

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3º SECUNDARIA – I PERIODO - 2008