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Nombre de la materia Cá lculo diferencial e integral Nombre de la Licenciatura Ingeniería en Sistemas Computacionales Nombre del alumno Rodrigo Enrique Robles Rincó n Matrícula 010194678 Nombre de la Tarea Actividad 3 Unidad 2 Derivadas Nombre del Profesor Rafael Castillo Martínez Fecha 23/05/2020

Unidad 2.Derivadas Cálculo diferencial e integral

“Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber.” Albert Einstein

ACTIVIDAD 3 Objetivos: 

Definir e Identificar geométrica y algebraicamente el concepto de derivada.



Calcular derivadas explícitas de funciones continuas.



Calcular derivadas de funciones implícitas, así como derivadas de orden superior para su interpretación gráfica.

Instrucciones: Después de revisar los videos y los recursos siguientes debes desarrollar la actividad 3.

Video 

Ejemplos de aplicación de la derivada.

 Lectura 

Derivadas y métodos de derivación (INITE, 2012). Se presenta la derivada de la función inversa y de funciones implícitas (páginas 104-120).



Diversas aplicaciones de la derivada (INITE, 2012). Podrás revisar los polinomios de Taylor y de Maclaurin (páginas 141-143), así como la regla de L'Hopital (páginas 148-149).



Derivadas II (INITE, 2011). Documento en el que se observa la manera de calcular derivadas de orden superior (páginas 173-178).

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Unidad 2.Derivadas Cálculo diferencial e integral

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Forma de evaluación: Criterio

Ponderación

Presentación

10%

Valor de los ejercicios

90%

Ejercicio 1: (Valor 3.5 puntos)

35%

Ejercicio 2: (Valor 3.5 puntos)

35%

Ejercicio 3: (Valor 2 puntos)

20%

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Unidad 2.Derivadas Cálculo diferencial e integral

Desarrollo de la actividad: Polinomio de Taylor El polinomio de Taylor tiene muchas aplicaciones en ciencia y en la industria a la hora de modelar eventos o situaciones reales. Lo que enuncia esta poderosa herramienta es que la curva f (x) alrededor de f (x¿ ¿ 0) ¿ con x 0 un punto del dominio, se puede aproximar por medio de un polinomio de grado n, es decir por medio de una recta en caso de grado 1, para el caso de grado 2 por medio de una parábola, por medio de una cubica para grado 3, etc,…

La imagen de la derecha muestra como la función exponencial se puede aproximar alrededor del punto x 0=0 por medio de una recta, una parábola y una cubica.

La fó rmula que se utiliza para realizar está aproximació n es la siguiente: n

n

f ( x 0 ) ( x−x 0 ) f '( x 0 )( x−x 0) f ' '( x 0 )( x−x 0)2 f ( x )=f ( x 0 ) + + + …+ (1) 1! 2! n!

Ejemplo 1:

Calcular el polinomio de Taylor de orden o grado 2 de la funció n cos ( x ) en el punto x 0=0 En este caso debemos de trucar la expresió n ( 1 ) hasta

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Unidad 2.Derivadas Cálculo diferencial e integral

Donde

n !=n ( n−1 )( n−2 ) ( n−3 ) ⋯ (2)(1) Ahora en la fórmula se requieren la primera y la segunda derivada de la función coseno evaluadas en el punto

x 0=0 , procedemos a su cálculo

d cos ( x )=−sen(x ) dx d2 d d d cos ( x )= cos ( x ) = (−sen ( x ) ) =−cos ⁡(x) 2 dx dx dx dx

(

)

y evaluadas en x 0=0 es d cos ( 0 )=−sen ( 0 )=0 dx d2 cos ( 0 )=−cos ( 0 )=−1 d x2 Finalmente evaluamos la función en

x 0=0 es decir cos ( 0 )=1 y procedemos al cálculo

f '( x 0 )( x−x 0) f ' '( x 0 )( x−x 0)2 f ( x )=f ( x 0 ) + + 1! 2! Sustituyendo

−sen ( 0 )( x−0 ) −cos ( 0 )( x−0 )2 x2 f ( x )=cos ( 0 ) + + =1− 1 2 2 2

Así la aproximación de orden 2 de la función

x cos ( x ) en x 0=0 es f ( x )=1− 2

La figura de la derecha muestra la aproximación de la función

cos ( x ) por f ( x )=1−

x2 en x 0=0 2

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Unidad 2.Derivadas Cálculo diferencial e integral

Ejercicio 1 (Valor 3.5 puntos): Calcula el polinomio de Taylor de orden 2 de la función

e 2 x en el punto x 0=0

Regla de L'Hôpital La regla de L'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que, para obtener el límite de ciertas formas indeterminadas se deriva el numerador y el denominador, por separado; es decir: si

h ( x )=

f (x) f (x) 0 f (x) ± ∞ = o lim = y tenemos que lim entonces g (x) 0 ±∞ x →c g(x ) x →c g(x )

lim f ' ( x) f (x) x → c lim = (2) x →c g(x ) g ' ( x)

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Unidad 2.Derivadas Cálculo diferencial e integral

Entonces lo que dice la regla es que si al evaluar el límite de un cociente de funciones obtengo formas indeterminadas, entonces en lugar de evaluar la función original, lo que se debe de evaluar son las derivadas del numerador y denominador. Ejemplo 2: Calcular el límite de la función

lim

x →0

x2 sen( x )

Notemos que al realizar una evaluación directa tenemos que

lim

x →0

x2 02 0 = = sen(x ) sen(0) 0

Por lo tanto se cumplen las hipótesis para poder usar la regla de L'Hôpital , ahora para resolver este problema identificamos a las funciones como:

f ( x )=x 2 y g ( x )=sen( x ) Enseguida realizamos el cálculo de sus derivadas, esto es:

f ' ( x )=2 x y g ' ( x )=cos ( x) Y finalmente usamos la regla (2), así

lim

x →0

2(0) x2 2x 0 =lim = = =0 sen( x ) x → 0 cos( x ) cos ⁡( 0) 1

Ejercicio 2 (Valor 3.5 puntos):

Calcular el límite de la función

lim

x →0

sen ( 2 x ) sen( x )

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Ejercicio 3 (Valor 2 puntos): Revisa los recursos del aula la página 47-49 y da una interpretación y explicación del teorema del valor medio. (para esta actividad, investigué más acerca del tema, ya que lo que aparece en el libro no es lo suficientemente comprensible para mí.) Explicación del Teorema de valor medio. En nuestros documentos, se explica que el teorema de valor medio fue enunciado por Joseph-Louis Lagrange, en el cual se afirma que, bajo ciertas condiciones, existe un punto donde la tangente es paralela a la cuerda de un punto A, a un punto B.

En esencia, nos está explicando que, dada cualquier función f continua en el intervalo AB y derivable en el intervalo abierto a,b; entonces existe al menos algún punto en este, tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos.

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