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• Alexander Martinez

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Nombre de la materia Cálculo diferencial e integral Nombre de la Licenciatura XXXX Nombre del alumno XXXX Matrícula XXXX Nombre de la Tarea XXXX Unidad 2 Derivadas Nombre del Profesor XXXX Fecha XXXX

Unidad 2.Derivadas Cálculo diferencial e integral

“Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber.” Albert Einstein

ACTIVIDAD 3 Objetivos: 

Definir e Identificar geométrica y algebraicamente el concepto de derivada.



Calcular derivadas explícitas de funciones continuas.



Calcular derivadas de funciones implícitas, así como derivadas de orden superior para su interpretación gráfica.

Instrucciones: Después de revisar los videos y los recursos siguientes debes desarrollar la actividad 3.

Video 

Ejemplos de aplicación de la derivada.

Lectura 

Derivadas y métodos de derivación (INITE, 2012). Se presenta la derivada de la función inversa y de funciones implícitas (páginas 104-120).



Diversas aplicaciones de la derivada (INITE, 2012). Podrás revisar los polinomios de Taylor y de Maclaurin (páginas 141-143), así como la regla de L'Hopital (páginas 148-149).



Derivadas II (INITE, 2011). Documento en el que se observa la manera de calcular derivadas de orden superior (páginas 173-178).

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Unidad 2.Derivadas Cálculo diferencial e integral

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Forma de evaluación: Criterio

Ponderación

Presentación

10%

Valor de los ejercicios

90%

Ejercicio 1: (Valor 3.5 puntos)

35%

Ejercicio 2: (Valor 3.5 puntos)

35%

Ejercicio 3: (Valor 2 puntos)

20%

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Unidad 2.Derivadas Cálculo diferencial e integral

Desarrollo de la actividad: Polinomio de Taylor El polinomio de Taylor tiene muchas aplicaciones en ciencia y en la industria a la hora de modelar eventos o situaciones reales. Lo que enuncia esta poderosa herramienta es que la curva 𝑓(𝑥) alrededor de 𝑓(𝑥0 ) con 𝑥0 un punto del dominio, se puede aproximar por medio de un polinomio de grado n, es decir por medio de una recta en caso de grado 1, para el caso de grado 2 por medio de una parábola, por medio de una cubica para grado 3, etc,…

La imagen de la derecha muestra como la función exponencial se puede aproximar alrededor del punto 𝑥0 = 0 por medio de una recta, una parábola y una cubica.

La fórmula que se utiliza para realizar está aproximación es la siguiente:

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) +

𝑓′(𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 ) 𝑓′′(𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 )2 𝑓(𝑥0 )𝑛 (𝑥−𝑥0 )𝑛 + +⋯+ 1! 2! 𝑛!

(1)

Ejemplo 1:

Calcular el polinomio de Taylor de orden o grado 2 de la función cos(𝑥) en el punto 𝑥0 = 0 En este caso debemos de trucar la expresión ( 1 ) hasta

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Unidad 2.Derivadas Cálculo diferencial e integral

Donde

𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3) ⋯ (2)(1) Ahora en la fórmula se requieren la primera y la segunda derivada de la función coseno evaluadas en el punto 𝑥0

= 0, procedemos a su cálculo 𝑑 cos(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑2 𝑑 𝑑 𝑑 cos(𝑥) = ( cos(𝑥)) = (−𝑠𝑒𝑛(𝑥)) = −cos(𝑥) 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

y evaluadas en 𝑥0 = 0 es

𝑑 cos(0) = −𝑠𝑒𝑛(0) = 0 𝑑𝑥 𝑑2 cos(0) = − cos(0) = −1 𝑑𝑥 2

Finalmente evaluamos la función en

𝑥0 = 0 es decir cos(0) = 1 y procedemos al cálculo

𝑓′(𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 ) 𝑓′′(𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 )2 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) + + 1! 2! Sustituyendo

𝑓(𝑥) = cos(0) +

−𝑠𝑒𝑛(0)(𝑥 − 0) − cos(0) (𝑥 − 0)2 𝑥2 + =1− 1 2 2

Así la aproximación de orden 2 de la función cos(𝑥) en 𝑥0 = 0 es 𝑓(𝑥) = 1 −

𝑥2 2

La figura de la derecha muestra la aproximación de la función cos(𝑥) por 𝑓(𝑥) = 1 −

𝑥2 2

en 𝑥0 = 0

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Unidad 2.Derivadas Cálculo diferencial e integral

Ejercicio 1 (Valor 3.5 puntos): Calcula el polinomio de Taylor de orden 2 de la función 𝑒2𝑥 en el punto

𝑥0 = 0

Regla de L'Hôpital La regla de L'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que, para obtener el límite de ciertas formas indeterminadas se deriva el numerador y el denominador, por separado; es decir: si ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) 0 𝑓(𝑥) ±∞ y tenemos que lim = o lim = entonces 𝑔(𝑥)

𝑥→𝑐 𝑔(𝑥)

0

𝑥→𝑐 𝑔(𝑥)

±∞

𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥) = lim 𝑥→𝑐 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑐 𝑔′(𝑥) lim

(2)

Entonces lo que dice la regla es que si al evaluar el límite de un cociente de funciones obtengo formas indeterminadas, entonces en lugar de evaluar la función original, lo que se debe de evaluar son las derivadas del numerador y denominador. Ejemplo 2: Calcular el límite de la función

lim

𝑥→0

𝑥2 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

Notemos que al realizar una evaluación directa tenemos que

lim

𝑥→0

𝑥2 02 0 = = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(0) 0

Por lo tanto se cumplen las hipótesis para poder usar la regla de L'Hôpital , ahora para resolver este problema identificamos a las funciones como:

𝑓(𝑥) = 𝑥 2

𝑦

𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

Enseguida realizamos el cálculo de sus derivadas, esto es:

𝑓′(𝑥) = 2𝑥

𝑦

𝑔′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)

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Unidad 2.Derivadas Cálculo diferencial e integral

Y finalmente usamos la regla (2), así

lim

𝑥→0

𝑥2 2𝑥 2(0) 0 = lim = = =0 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑥→0 𝑐𝑜𝑠(𝑥) cos(0) 1

Ejercicio 2 (Valor 3.5 puntos):

Calcular el límite de la función

lim

𝑥→0

sen(2𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

Ejercicio 3 (Valor 2 puntos): Revisa los recursos del aula la página 47-49 y da una interpretación y explicación del teorema del valor medio

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