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Nombre de la materia Cá lculo diferencial e integral Nombre de la Licenciatura Ing. Sistemas Computacionales Nombre del alumno Alejandro Bautista Ló pez Matrícula 010230164 Nombre de la Tarea XXXX Unidad 2 Derivadas Nombre del Profesor Selina Díaz Leñ ero Fecha 16-02-21

Unidad 2.Derivadas Cálculo diferencial e integral

“No te preocupes por los fracasos, preocúpate por las oportunidades que pierdes cuando ni siquiera lo intentas.” Jack Canfield.

ACTIVIDAD 2 Objetivos: 

Aplicar la definición de la derivada en la solución de ejercicios.

Instrucciones:

Después de revisar los videos y los recursos siguientes debes desarrollar la actividad 2.

Video 

Ejemplos de derivación.

 Lectura 

Derivadas y métodos de derivación (INITE, 2012). Se presenta a la derivada, su representación geométrica, sus propiedades y operaciones (páginas 79-103).



Diversas

aplicaciones

de

la

derivada (INITE,

2012).

Aborda algunas aplicaciones geométricas de la derivada (páginas 129-140).



Derivadas

II (INITE,

2011).

Se explica la derivada y la regla de la cadena de forma detallada (páginas 159-172).

2

Unidad 2.Derivadas Cálculo diferencial e integral

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Forma de evaluación: Criterio

Ponderación

Presentación

10%

Valor de los ejercicios

90%

Ejercicio 1. (Valor 2 puntos)

20%

Ejercicio 2. (Valor 2 puntos)

20%

Ejercicio 3. (Valor 2 puntos)

20%

Ejercicio 4. (Valor 3 puntos)

30%

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Desarrollo de la actividad: Propiedades importantes de las derivadas (para ejercicios 2 y 3): Las principales reglas de derivación son las siguientes, donde x es una variable, n un número natural, c una constante real y e la constante de Euler:

1.

d n d d d x =n x n−1 2. c =0 3. c xn =c x n dx dx dx dx 4.

d x x d 1 e =e 5. ln ( x ) = dx dx x

Si f (x) y g( x ) son funciones diferenciables en el dominio de intersección entonces tenemos 6. 7.

d d d (f ( x ) ± g ( x) )= f ( x ) ± g ( x ) dx dx dx

d d d ( f ( x )∗g ( x ) )= f ( x ) g ( x ) +f ( x ) g( x ) dx dx dx

d d f ( x ) g ( x )− g ( x ) f (x ) d f ( x ) dx dx 8. = siempre que g(x )≠ 0 2 dx g( x) g (x)

( )

Ejemplo 1: Derivar la siguiente expresión donde k es un número natural diferente de cero y a es un número real

f ( x )=5 e x + a x k Solución: Aplicando las reglas básicas enunciadas arriba tenemos que:

d d d d f ( x )= ( 5 e x +a x k )=5 e x + a x k por las propiedades 6. y 3. dx dx dx dx ¿ 5 e x +ak x k−1 por las propiedades 4. y 1.

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Ejercicio 1. (Valor 2 puntos): Derivar la función

f ( x )=5 x 3 +2 ln ⁡( x ) d ( 5 x 3 )+ d ( 2∈( x ) ) dx dx 1 ' 2 f ( x )=5 x 3 x + 2 x x 3 15 x +2 ' f ( x )= x f ' ( x )=

Ejercicio 2. (Valor 2 puntos): Usando las reglas de del ejemplo anterior derivar la función

h ( x )=x 3∗e x =X^3(e^x)+e^3(3x^2) =3xe^x+3x^2e^3 3 Tip: nombra a f ( x )=x

y g ( x )=e x y aplica la regla 7

Regla de la cadena

dy veces más rápido que u, du du dy du mientras que u cambia veces más rápido que x , entonces y cambia veces más dx du dx rápido que x . En esencia, la regla de la cadena establece que si y cambia

Ejemplo 2: Un juego de ruedas dentadas está construido, como muestra la figura de la izquierda, de forma que la segunda y la tercera giran sobre un eje común. Cuando la primera gira, impulsa a la segunda y ésta a su vez a la tercera. Sean y ,u y x los números de revoluciones por minuto del primero, segundo y tercer ejes. Encontrar

,

du dy y , y verificar que: dx dx

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dy du

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dy dy du = dx du dx

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Unidad 2.Derivadas Cálculo diferencial e integral

Respuesta: Puesto que la circunferencia del segundo engranaje es tres veces mayor que la de la primera, el primer eje debe dar tres vueltas para que el segundo complete una. Del mismo modo, el segundo eje ha de dar dos vueltas para que el tercero complete una y, por tanto, se debe escribir

dy du =3 =2 du dx

Combinando ambos resultados, el primer eje debe dar seis vueltas para hacer girar una vez al tercer eje. De tal manera:

dy dy du =3∗2= dx du dx Este ejemplo muestra un caso simple de la regla de la cadena, el enunciado general es el siguiente

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Unidad 2.Derivadas Cálculo diferencial e integral

Ejercicio 3 (Valor 2 puntos): Un juego de ruedas dentadas está construido, como muestra la Figura 1, de forma que la segunda y la tercera giran sobre un eje común. Cuando la primera gira, impulsa a la segunda y ésta a su vez a la tercera. Sean y ,u y x los números de revoluciones por minuto del primero, segundo y tercer ejes. Encontrar

dy du dy dy dy du = , y , y verificar que du dx dx dx du dx

Teorema: Si y=f (u) es una función derivable respecto de u y además u=g ( x) es una función derivable respecto a x , entonces y=f (g(x )) es una función derivable de x y

dy dy du = dx du dx Que es igual o equivalente a

d f ( g ( x ) )=f '( g( x )) g ' (x ) dx

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Unidad 2.Derivadas Cálculo diferencial e integral

Solución Puesto que la circunferencia del segundo engranaje es tres veces mayor que la de la primera, el primer eje debe dar tres vueltas para que el segundo complete una. Del mismo modo, el segundo eje ha de dar dos vueltas para que el tercero complete una y, por tanto, se debe escribir Dy/dx = (dy/du)(du/dx) Dy/du=3 Du/dx=2 Combinando ambos resultados, el primer eje debe dar seis vueltas para hacer girar una vez al tercer eje. De tal manera: Dy/dx= (razon de cambio del primer eje con respecto al segundo) (razon de cambio del segundo eje con respecto del tercero) =(dy/du)(du/dx) = (3) (2) = 6 =Razon de cambio el primer eje con respecto al tercero En otras palabras, la razón de cambio de y respecto a x es igual al producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por el de u con respecto a x. Ejemplo 3. Veremos cómo se aplica la regla de la cadena, lo primero es identificar las funciones

f (u), sea: y=sen ( 2 x )Entonces Si

f ( u )=sen (u) y u=2 x tenemos que y=f ( u )=sen ( u )=sen (2 x )

Y utilizando

dy dy du = dx du dx Tenemos que

dy dy du du = =cos (u ) =2 cos ⁡(2 x) dx du dx dx Ya que

dy d du d = sen ( u )=cos ( u ) = 2 x=2 du du dx dx

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uy

Unidad 2.Derivadas Cálculo diferencial e integral

Ejemplo 4. Otro ejemplo sería calcular la derivada de

w=

1 x+1

Si

f ( u )=

1 1 1 y u=x+1 tenemos que w=f (u )= = u u x +1

Utilizando

dw dw du = dx du dx Tenemos que

dw dw du −1 du −1 = = = dx du dx u2 dx (1+ x)2 Ya que

dw d 1 −1 du d = = = ( x+1)=1 du du u u 2 dx dx

Ejercicio 4 (Valor 3 puntos): Efectúa la derivada de la siguiente función

y=sen3 ( 3 x ) d

d (sin ( 3 x ) )¿ dx y ' =3 g2 x cos ( 3 x ) x 3 y ' =3 sin ( 3 x )2 cos ( 3 x ) x 3 y ' =9 sin ( 3 x )2 cos ⁡(3 x) y '=¿ dg ( g 3 ) x

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