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EJE 4 – Ecuaciones Diferenciales

Integrantes: Andres Santiago Rodríguez Romero Grupo 041 Jose Luis Rubiano Mendoza Grupo 041 Cristian Elías Rodríguez Romero Grupo 041

Docente: Silvia Rebeca Vega Riaño

Fundación Universitaria del Área Andina Ingeniería de Sistemas 2020

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2 INTRODUCCION

En el presente documento estaremos viendo unos problemas de aplicación de las transformadas de Laplace en la solución de ecuaciones diferenciales en circuitos eléctricos y sistemas físicos simples.

Estaremos explicando paso a paso sus soluciones para que sea fácil de entender.

OBJETIVOS

Interpretar problemas de aplicación de las transformadas de Laplace en la solución de ecuaciones diferenciales en circuitos eléctricos y sistemas físicos simples.

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ACTIVIDAD

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 SITUACIÓN PROBLEMA 1: De los circuitos usados en los contextos y aplicaciones de la Ingeniería y otras disciplinas, el circuito RLC (figura 1) aparece con frecuencia, ya que cada circuito real tiene una cierta resistencia finita. Un circuito RLC se compone de los elementos pasivos: resistencia, bobina y condensador.

Un circuito RLC en serie tiene una fuente de voltaje dada por: V ( t ) =sen 100 t Unresistor de 0.02 Ω un inductor de 0.001 H Un capacitor de 2 F

Si la corriente y la carga iniciales en el capacitor son iguales a cero, determinar la corriente en el circuito t > 0.

5 SOLUCIÓN Segunda ley de Kirchhoff, donde indica que: V R +V C +V L −V E=0 ( 1 )

Donde V R=R V C=

di → voltaje de resistencia dt

1 i ( t ) → voltaje de capacitor C∫

V L=L

d2 i → voltaje de bobina dt2

V E → voltaje de alimentación , teniendo en cuenta el enucniadoes alterna

Tenemos la ecuación: Ri+ L

di 1 + i dt =V (t) dt C ∫

Se debe tener en cuenta i=q , donde la ecuación anterior se tiene una integral lo que se hace el derivar: R

dq 1 d2 q + q+ L 2 =v(t) dt C dt

Se reemplazan los valores 0.02

dq 1 d2 q + q+0.001 2 =100cos 100t dt 2 dt

Se divide la derivada por 0.001 dq d2q 20 +500 q+ 2 =100000 cos 100 t dt dt

Se realiza la aplicación Laplace 20 sQ ( s ) +500 Q ( s ) +s 2 Q ( s )=

100000 s s2 +10000

Despejamos Q(s) Q ( s ) ( 20 s+500+ s 2 )=

Q ( s )=

100000 s s 2+ 10000

100000 s ( s +10000)¿¿ 2

Finalmente, se aplica la transformada Inversa de Laplace para obtener la corriente t>0

i ( t )=100 ¿ ¿

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 SITUACIÓN PROBLEMA 2:

Esta aplicación de las transformadas de Laplace en la solución de ecuaciones diferenciales de segundo orden se presenta con el propósito de determinar el movimiento de oscilación de dos resortes acoplados de forma horizontal mediante una ecuación lineal de segundo grado y transformadas de Laplace, considerando también conceptos básicos de la ley de Hooke y las leyes de Newton. En una superficie horizontal suave, una masa m1=1 Kg Esta unida a una pared fija mediante un resorte con constante resorte K 1=2

N m

Por su parte, otra masa m 2=2 Kg Esta unida al primer objeto mediante un resorte con constante resorte K 2=4

N m

Los objetos están alineados en forma horizontal, de modo que los resortes tengan su longitud natural.

8 Si ambos objetos se desplazan 3 metros a la derecha de sus posiciones de equilibrio y luego se liberan. ¿Cuáles son las ecuaciones de movimiento de los dos objetos?

SOLUCION Para empezar con la solución del ejercicio planteado, es importante que, como primero paso a seguir, tomemos como referentes las fuerzas inherentes, ya que como sabemos, la ley de Hooke afirma que las fuerzas que actúan sobre un objeto es debido a un resorte.

Entonces, podemos decir que es directamente proporcional al desplazamiento, en este caso, si el resorte se estira o se comprime, siempre regresara a su estado y longitud natural.

Tenemos entonces: F 1=k 1 x , F2 =+k 2 ( y −x) Donde ( y – x ) se entiende como el desplazamiento del resorte con respecto a su longitud

F 3=−k 2( y−x) Lo anterior es debido a que la masa 1 solo efectua fuerza sobre sí misma. Tenemos lo siguiente: m1

d2 x =F 1+ F 2=−k 1 x +k 2( y−x) dt 2

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d2 y m 2 2 =F 3−k 2 ( y−x ) dt

Continuando, realizaremos la sustitución de valores en el sistema, nos queda lo siguiente: 2

d2 x +6 x−2 y=0 dt 2

d2 y +2 y−2 x =0 dt 2 Realizamos el método de eliminación para resolver las ecuaciones anteriores y sobrescribiremos, nos queda lo siguiente:

( 2 D2 +6 ) [ x ] −2 y =0 −2 x+ ( D 2+ 2 ) [ y ] =0 Una vez que hayamos sumado la ecuación para eliminar y,

deberíamos tener el sistema

simplificado, nos queda lo siguiente: 2

d4 x d2 x +10 +8 x=0 dt 4 dt 2

Asumimos que se trata de una ecuación lineal con constantes, por lo

cual, procedemos a

sustituir la ecuación, nos queda lo siguiente: r 4 + 5 r 2+ 4=0 Así sabemos que las raíces auxiliares son números complejos, luego de usar la fórmula de Euler con valores complejos, se consideran las partes reales e imaginarias y de ese modo podemos sacar los valores reales, nos queda lo siguiente: x ( t )=a1 cos t+a 2 sin t−a 3 cos 2 t+ a4 sin 2 t Donde a 1 , a2 , a3 , a4 son variables constantes

Ahora procedemos a utilizar la formula que nos permite que la ecuación pueda ser expresada en términos de x y quedaría así:

y ( t ) =2 a1 cos t+2 a2 sin t−a3 cos 2 t+a 4 sin 2t Con esto, gracias a los determinantes, nos queda lo siguiente: x ( 0 )=3 ,

dx dy ( 0 )=0 , y ( 0 )=3 , ( 0 )=0 dt dt

Si tenemos t = 0, se generan las cuatro ecuaciones teniendo en cuenta las condiciones iniciales, nos queda lo siguiente: x ( 0 )=a 1+ a3=3

dx ( 0 )=a2 +2 a4 =0 dt

y ( 0 )=2 a1 + a3=3

dx ( 0 )=2 a 2+2 a 4=0 dt

Podemos concluir que las ecuaciones de movimiento son: x ( t )=2 cos t +cos 2 t y ( t ) =4 cos t−cos 2 t Gráficos

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CONCLUSIÓN

A lo largo de la historia, las ecuaciones diferenciales nos han servido en la sociedad, para hacer grandes cambios y obras en la comunidad, sin darnos cuenta de que esto se puede ver en el día a día y lo importante que es, ya que sin estas no podríamos analizar de manera acertada un circuito, gracias al desarrollo de estos ejercicios, logramos entender un poco mas como funciona y como se puede llevar a cabo e implementar, además de como puede ser aplicadas las ley de Kirchhoff y Newton.

La transformada de Laplace es denominada así en honor a Pierre-Simon Laplace.

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Wikipedia. (2008). Transformada de Laplace. 2020, septiembre 27, de Wikipedia Recuperado de https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace

Electrónica completa. (2020). Leyes de Kirchhoff. 2020, septiembre 27, de Electrónica completa Recuperado de http://electronicacompleta.com/lecciones/leyes-de-kirchhoff/

Significados. (2020). Leyes de Newton. 2020, septiembre 27, de Significados Recuperado de https://www.significados.com/leyes-de-newton/

Wikipedia. (2012). Ley de elasticidad de Hooke. 2020, septiembre 27, de Wikipedia Recuperado de https://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_elasticidad_de_Hooke

F.M.P. (2014b, octubre). Transformadas de Laplace en circuitos RLC. FVCPahudFernando.pdf. http://lcr.uns.edu.ar/fvc/NotasDeAplicacion/FVC-PahudFernando.pdf

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