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ECUACIONES DIFERENCIALES UNIDAD TRES ECUACIONES DIFERENCIALES MÉTODO POR SERIES DE POTENCIA Y TRANSFORMADA DE LAPLACE

Presentado a: ROBEIRO BELTRÁN TOVAR

Tutor

Entregado por: Hector Besarión Piñeros Arias Código: 86.048.436 Oscar Dustin Hurtado Código: 1.121.885.849 Andrés Felipe Rendon Código: 1.121.938.372 Yurleidy Tatiana Manco Código: 1.121.909.902 Fidelmo Medina Código: xxxxx

Grupo: 100412-256

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES FECHA NOVIEMBRE 2019

INTRODUCCIÓN En este curso no nos enfocaremos en la parte teórica de las ecuaciones diferenciales, donde desarrollaremos una proposición enfocada a la solución de problemas, aprenderemos a utilizar las ecuaciones diferenciales como una herramienta para resolver situaciones físicas y las identificaremos.

La comprensión de las temáticas propuestas en la guia y el desarrollo de la actividad, hacen parte del aprendizaje educativo donde dar solución a las diferentes ecuaciones diferenciales propuestas haciendo uso de los recursos dados por los tutores y desarrollados de manera adecuada nos permitirán evidenciar y ampliar los conocimientos que poseemos.

OBJETIVOS  Utilizar las ecuaciones diferenciales como herramienta que dé solución a problemas dentro del campo de la ingeniería.  Aprender a modelar y dar solución a los diferentes problemas en la ingeniería.  Realizar un análisis a los problemas presentados y hacer uso de las ecuaciones diferenciales.  Aprender los conceptos fundamentales de la transformada de Laplace y su aplicación.  Identificar las situaciones físicas en las que intervienen las ecuaciones diferenciales.  Aprender a resolver ecuaciones diferenciales de coeficientes variables.

PASO 2 ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR PARTE INDIVIDUAL

Tabla de elección de ejercicios:

Nombre del estudiante Hector Besarión Piñeros Arias Andrés Felipe Rendon Rodríguez Yurleidy Tatiana Manco Fidelmo Medina Oscar Dustin Hurtado

Rol a desarrollar REVISOR

Grupo de ejercicios a desarrollar paso 1.

El estudiante desarrolla el ejercicio a en todos los 3Tipo de ejercicios. ALERTAS El estudiante desarrolla el ejercicio b en todos los 3Tipo de ejercicios COMPILADOR El estudiante desarrolla el ejercicio c en todos los 3Tipo de ejercicios EVALUADOR El estudiante desarrolla el ejercicio d en todos los 3Tipo de ejercicios (ENTREGAS) El estudiante desarrolla los ejercicios e en todos los tres tipos propuestos.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA PASO 3 EJERCICIOS INDIVIDUALES TIPO DE EJERCICIOS 1 – MÉTODO DE SERIES DE POTENCIAS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES El método de series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales es simple y natural, se empieza describiendo el procedimiento práctico y se ilustra con ecuaciones simples cuyas soluciones ya se conocen, con el fin de ver lo que está ocurriendo. Para una ecuación dada: 𝑦 ,, + 𝑝(𝑥)𝑦 , + 𝑞(𝑥)𝑦 = 0 Se representa primero 𝑝(𝑥)y 𝑞(𝑥) por series de potencias en potencias de 𝑥 (o de (𝑥 − 𝑥0 ) si se desea obtener soluciones de potencias de 𝑥 − 𝑥0 ). En muchas ocasiones 𝑝(𝑥)y 𝑞(𝑥) son polinomios y entonces no es necesario hacer nada en primer paso. Después se supone una solución en la forma de una serie de potencias con coeficientes desconocidos. ∞

y = ∑ 𝑎𝑚 𝑥 𝑚 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3 + ⋯ 𝑚=0

Y esta serie y la obtenida al derivar terminó a término: ∞

y , = ∑ 𝑚𝑎𝑚 𝑥 𝑚−1 = 𝑎1 + 2𝑎2 𝑥 + 3𝑎3 𝑥 2 + ⋯ 𝑚=1

∞ ,,

y = ∑ 𝑚(𝑚 − 1)𝑎𝑚 𝑥 𝑚−2 = 2𝑎2 + 3 ∗ 2𝑎3 𝑥 + 4 ∗ 3𝑎4 𝑥 2 + ⋯ 𝑚=1

Se introduce en la ecuación. A continuación, se agrupan las potencias semejantes de 𝑥 y la suma de los coeficientes de cada potencia de 𝑥 que se presente se iguala a cero, empezando con los términos constantes, los términos que incluyen a 𝑥, los términos que incluyen a 𝑥 2 etc. Se obtienen así relaciones a partir de las cuales es posible determinar de manera sucesiva los coeficientes desconocidos en 𝑦.

De acuerdo a lo anterior, resuelva por el método de series de potencias: ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

Hector Besarión Piñeros Arias a. 𝒚′′ + 𝟐𝒚′ + 𝒚 = 𝟎 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

∞

𝑦 = ∑ 𝑐𝑛 𝑥 𝑛

Se considera una solución por serie de potencias

𝑛=0 ∞

𝑦 = ∑ c𝑛 𝑥 𝑛 𝑛=0 ∞

Se calculan las respectivas derivadas a la solución propuesta.

𝑦 ′ = ∑ 𝑛 c𝑛 𝑥 𝑛−1 𝑛=1 ∞ ′′

𝑦 = ∑(𝑛 − 1)𝑛 c𝑛 𝑥 𝑛−2 𝑛=2 ∞

∞

∑ 𝑛(𝑛 − 1) c𝑛

𝑥 𝑛−2

∞

+ 2 ∑ 𝑐𝑛

𝑛=2

𝑛𝑥 𝑛−1

𝑛=1

∞

+ ∑ c𝑛 𝑥 𝑛 = 0

∞

Haciendo uso de las propiedades de series infinitas…

∑ 𝑓(𝑛) = ∑ 𝑓(𝑛 + 𝑘) 𝑛=𝑘

𝑛=0

∞

∞

∞

∑(𝑛 + 2)(𝑛 + 1) c𝑛+2 𝑥 𝑛 + 2 ∑ c𝑛+1 (𝑛 + 1)𝑥 𝑛 + ∑ c𝑛 𝑥 𝑛 = 0 𝑛=0

Reemplazamos en la ecuación diferencial.

𝑛=0

𝑛=0

Entonces…

𝑛=0

∞

∑ 𝑥 𝑛 [(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)𝑐𝑛+2 + 2 c𝑛+1 (𝑛 + 1) + 𝑐𝑛 ] = 0

Unimos las series y factorizamos 𝑥 𝑛 …

𝑛=0

Igualamos los coeficientes a cero… (𝑛 + 2)(𝑛 + 1)𝑐𝑛+2 + 2 c𝑛+1 (𝑛 + 1) + 𝑐𝑛 = 0

𝐶𝑛+2 = 𝐶𝑛+2

𝑐𝑛 − 2𝑐𝑛+2 (𝑛 + 1) (𝑛 + 2)8𝑛 + 1)

−𝑐𝑛 2𝑐𝑛+1 = − (𝑛 + 2)(𝑛 + 1) (𝑛 + 2)

Despejamos el mayor, es decir cos +2

𝑛=0

Para

−𝐶0 − 𝐶1 2

𝐶2 =

Empezamos a probar los coeficientes…

𝑛=1

Para −𝐶1

𝐶3 =

6

−

2

𝐶 3 2

−𝐶1 2 𝐶0 𝐶0 𝐶1 − ( − 𝐶1 ) = + 6 3 2 3 2

𝐶3 =

Para

Reemplazamos 𝐶2 y operamos…

𝑛=2

Para

𝑛=2

Para

𝑛=3

−𝐶2 𝐶3 −1 𝐶0 1 𝐶0 𝐶1 𝐶4 = − = [ − 𝐶1 ] − [ + ] 12 2 12 2 2 3 2 −𝐶0 𝐶1 − 8 6

𝐶4 =

Para

𝑛=3

𝐶5 =

−𝐶3 2 1 𝐶0 𝐶1 2 𝐶0 𝐶1 − 𝐶 = [ + ]− [ − ] 20 5 4 20 3 2 5 8 6

𝐶5 =

𝐶0 𝐶1 + 30 24 ∞

Por lo que si desarrollamos la serie propuesta…

𝑦 = ∑ 𝐶𝑛 𝑥 𝑛 𝑛=0

Entonces…

𝑦 = 𝐶0 + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 𝑥 2 + 𝐶3 𝑥 3 + 𝐶4 𝑥 4 + 𝐶5 𝑋 5 ….

𝑦 = 𝐶0 + 𝐶1 𝑥 + [

𝐶0 𝐶0 𝐶1 − 𝐶1 ] 𝑥 2 + [ + ] 𝑐 3 2 3 2

Reemplazando con coeficientes hallados…

−𝐶0 𝐶1 4 𝐶0 𝐶1 +[ − ] 𝑥 + [ + ] 𝑥3 … 8 6 30 24 𝑦 = [𝐶0 −

𝐶0 𝑥 2 𝐶0 3 𝐶0 𝑥 4 𝐶0 𝑥 5 + 𝑥 − + …] 2 3 8 30

Agrupando por 𝐶1 y 𝐶0

𝐶1 𝑥 3 𝐶1 𝑥 4 𝐶1 𝑥 5 + [𝐶1 𝑥 − 𝐶1 𝑥 2 + − + …] 2 6 24 𝑦 = 𝐶0 [1 −

𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 + − + ] 2 3 8 30 + 𝐶1 𝑥 [1 − 𝑥 1 +

𝑦 = 𝐶0 [1 − ∑ 𝑛=0

𝑥2 𝑥3 𝑥4 − + …] 2 6 24

(−1)𝑛+2 𝑥 𝑛+2 ] (𝑛 + 2)𝑛! 𝑛+2 𝑛+1

+ 𝐶1 𝑥 [1 + ∑ 𝑛=0

(−1) 𝑥 (𝑛 + 1)!

]

Factorizamos en los casos donde podamos…

Identificando el patrón, agrupamos en una serie infinita…

∞

𝑦 = 𝐶0 [1 − ∑ 𝑛=0

(−1)𝑛+2 𝑥 𝑛+2 (−1)𝑛 𝑥 𝑛 ] + 𝐶1 𝑥 [∑ ] (𝑛 + 2)(𝑛!) 𝑛! 𝑛=0

Recordemos que la serie de la exponencial es

∞

(−1)𝑛+2 𝑥 𝑛+2 𝑦1 = 𝐶0 [1 − ∑ ] (𝑛 + 2)(𝑛!)

𝑒 𝑥 = ∑∞ 𝑛=0

𝑛=0

𝑛 𝑛

𝑦2 = 𝐶1 𝑥𝑒 −𝑥 = 𝐶1 𝑥 ∑ 𝑛=0

(−1) 𝑥 𝑛!

𝑥𝑛 𝑛!

Entonces las respuestas en series de potencias quedarían de la forma. Recordemos que la solución general se escribe… NOTA: supone que 𝑦1 = 𝐶0 𝑒 −𝑥 Pero por serie de potencias no hay pasos lógicos posibles que lo demuestren.

𝒚 = 𝒚𝟏 + 𝒚𝟐

Por lo tanto, se deja expresado en la forma de serie

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: ANDRES FELIPE RENDON RODRIGUEZ

b. 𝒚′′ − 𝒙𝟐 + 𝒚′ = 𝟎 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA ∞

𝑦 = ∑ 𝒄𝒏 𝒙

𝒏

𝒏=𝟎 ∞

𝑦 ′ = ∑ 𝒏𝒄𝒏 𝒙𝒏−𝟏 𝒏=𝟏 ∞ ′′

𝑦 = ∑ 𝒏(𝒏 − 𝟏)𝒄𝒏 𝒙𝒏−𝟐 𝒏=𝟐

RAZÓN O EXPLICACIÓN

suponemos que existe una solución en serie de potencias de la forma: ∞

𝑦 = ∑ 𝒄𝒏 𝒙𝒏 𝒏=𝟎

Para la resolución del ejercicio debemos hallar hasta la segunda derivada de la expresión que nos proporciona la solución en serie de potencias.

∞

∞

∑ 𝒏(𝒏 − 𝟏)𝒄𝒏 𝒙

𝒏−𝟐

𝟐

− 𝒙 + ∑ 𝒏𝒄𝒏 𝒙𝒏−𝟏 = 𝟎

𝒏=𝟐

Sustituimos en la expresión

𝒏=𝟏 ∞

∞

−𝒙𝟐 + ∑ 𝒏(𝒏 − 𝟏)𝒄𝒏 𝒙𝒏−𝟐 + ∑ 𝒏𝒄𝒏 𝒙𝒏−𝟏 = 𝟎 𝒏=𝟐

Reacomodamos términos.

𝒏=𝟏 ∞

−𝒙𝟐 + ∑(𝒏 + 𝟐)(𝒏 + 𝟏)𝒄𝒏+𝟐 𝒙𝒏 𝒏=𝟎

∞

+ ∑(𝒏 + 𝟏)𝒄𝒏+𝟏 𝒙𝒏 = 𝟎 𝒏=𝟎 ∞

−𝒙𝟐 + ∑[(𝒏 + 𝟐)(𝒏 + 𝟏)𝒄𝒏+𝟐 𝒏=𝟎

Aplicamos la siguiente ley de las sumatorias para que cada una de las sumatorias empiecen desde 𝑛 = 0 ∞

∞

∑ 𝒇(𝒏) = ∑ 𝒇(𝒏 + 𝒌) = 𝒏=𝒌

Juntamos ambas coeficientes de 𝑥 𝑛

𝒏=𝟎

sumatorias,

adjuntando

los

+ (𝒏 + 𝟏)𝒄𝒏+𝟏 ] 𝒙𝒏 = 𝟎

−𝒙𝟐 + 𝟐𝒄𝟐 + 𝒄𝟏 + (𝟔𝒄𝟑 + 𝟐𝒄𝟐 ) · 𝒙 ∞

+ ∑[(𝒏 + 𝟐)(𝒏 + 𝟏)𝒄𝒏+𝟐 𝒏=𝟐

Igualamos los coeficientes del término x, para así emparejarlos a cero e identificamos que la sumatoria continua en n=2, ya que desarrollamos el termino para n=0 & n=1

+ (𝒏 + 𝟏)𝒄𝒏+𝟏 ] 𝒙𝒏 = 𝟎 𝟐𝒄𝟐 + 𝒄𝟏 + (𝟔𝒄𝟑 + 𝟐𝒄𝟐 )𝒙 ∞

Reacomodamos términos y sacamos factor común de la expresión −𝑥 2 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 − 𝑥 · 𝑥

+ ∑[(𝒏 + 𝟐)(𝒏 + 𝟏)𝒄𝒏+𝟐 𝒏=𝟐

+ (𝒏 + 𝟏)𝒄𝒏+𝟏 ] 𝒙𝒏 = 𝟎 𝟐𝒄𝟐 + 𝒄𝟏 = 𝟎

Igualamos coeficientes a cero.

𝟔𝒄𝟑 + 𝟐𝒄𝟐 = 𝟎 (𝒏 + 𝟐)(𝒏 + 𝟏)𝒄𝒏+𝟐 + (𝒏 + 𝟏)𝒄𝒏+𝟏 = 𝟎 𝒄𝟐 = −

𝒄𝟏 𝟏 = − 𝒄𝟏 𝟐 𝟐

Despejamos en cada una de las ecuaciones anteriores el coeficiente c con mayor índice.

−𝟐𝒄𝟐 𝟏 = − 𝒄𝟐 𝟔 𝟑 (𝒏 + 𝟏)𝒄𝒏+𝟏 −(𝒏 + 𝟏)𝒄𝒏+𝟏 = =− (𝒏 + 𝟐)(𝒏 + 𝟏) (𝒏 + 𝟐)(𝒏 + 𝟏) 𝒄𝒏+𝟏 =− (𝒏 + 𝟐) 𝒄𝟑 =

𝒄𝒏+𝟐

𝒄𝒏+𝟐 = −

𝒄𝒏+𝟏 (𝒏 + 𝟐)

𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒏 = 𝟐; 𝒄𝟐+𝟐 = −

Empezamos a sustituir n en la relación de recurrencia tal como lo indica la sumatoria 𝒄𝟐+𝟏 𝒄𝟑 = 𝒄𝟒 = − (𝟐 + 𝟐) 𝟒

𝟏 𝟏 = − · − 𝒄𝟐 𝟒 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 = − · − · − 𝒄𝟏 = − 𝒄𝟏 𝟒 𝟑 𝟐 𝟒! 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒏 = 𝟑; 𝒄𝟑+𝟐 = −

𝒄𝟑+𝟏 𝒄𝟒 = 𝒄𝟓 = − (𝟑 + 𝟐) 𝟓

𝟏 𝟏 𝟏 = − · − 𝒄𝟏 = 𝒄 𝟓 𝟒! 𝟓! 𝟏 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒏 = 𝟒; 𝒄𝟒+𝟐 = −

𝒄𝟒+𝟏 𝒄𝟓 = 𝒄𝟔 = − (𝟒 + 𝟐) 𝟔

𝟏 𝟏 𝟏 = − · 𝒄𝟏 = − 𝒄𝟏 𝟔 𝟓! 𝟔! 𝒄𝟓+𝟏 𝒄𝟔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒏 = 𝟓; 𝒄𝟓+𝟐 = − = 𝒄𝟕 = − (𝟓 + 𝟐) 𝟕 𝟏 𝟏 𝟏 = − · − 𝒄𝟏 = 𝒄 𝟕 𝟔! 𝟕! 𝟏 𝒄𝟔+𝟏 𝒄𝟕 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒏 = 𝟔; 𝒄𝟔+𝟐 = − = 𝒄𝟖 = − (𝟔 + 𝟐) 𝟖 𝟏 𝟏 𝟏 = − · 𝒄𝟏 = − 𝒄𝟏 𝟖 𝟕! 𝟖!

𝒚 = 𝒄𝟎 + 𝒄𝟏 𝒙 + 𝒄𝟐 𝒙𝟐 + 𝒄𝟑 𝒙𝟑 + 𝒄𝟒 𝒙𝟒 + 𝒄𝟓 𝒙𝟓

Remplazamos los términos en y ∞

+ 𝒄𝟔 𝒙𝟔 + 𝒄𝟕 𝒙𝟕 + 𝒄𝟖 𝒙𝟖 + 𝒄𝟗 𝒙𝟗

𝑦 = ∑ 𝒄𝒏 𝒙𝒏

+⋯

𝒏=𝟎

𝟏 𝟏 𝟏 𝒚 = 𝒄𝟎 + 𝒄𝟏 𝒙 − 𝒄𝟏 𝒙𝟐 + 𝒄𝟏 𝒙𝟑 − 𝒄𝟏 𝒙𝟒 𝟐 𝟑! 𝟒! 𝟏 𝟏 𝟏 + 𝒄𝟏 𝒙𝟓 − 𝒄𝟏 𝒙𝟔 + 𝒄𝟏 𝒙𝟕 𝟓! 𝟔! 𝟕! 𝟏 𝟏 − 𝒄𝟏 𝒙𝟖 + 𝒄𝟏 𝒙𝟗 + ⋯ 𝟖! 𝟗!

Sustituimos los coeficientes hallados en la relación de recurrencia. Obtenemos la respuesta.

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Fidelmo Medina

d. 𝑦′ − 9𝑥𝑦 = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA ∞ 𝑛

2

3

y = ∑ 𝑎𝑛 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 + 𝑎3 𝑥 + ⋯

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Se escribe la forma de serie de potencias como la forma de respuesta de la ED:

𝑛=0

∞

𝑦´ = ∑ 𝑛𝐶𝑛 𝑥

𝑛

Se deriva pues la ED tiene un término de y’

𝑛=1 ∞

∞

∑ 𝑛𝐶𝑛 𝑥 𝑛 − 9𝑥 ∑ 𝐶𝑛 𝑥 𝑛 = 0 𝑛=1

𝑛=0

∞

∞ 𝑛

∑ 𝑛𝐶𝑛 𝑥 − 9 ∑ 𝐶𝑛 𝑥 𝑛+1 = 0 𝑛=1

Reemplaza en la ED los dos términos mencionados anteriormente

𝑛=0

Aplicamos propiedades del la sumatoria para poder volver los limites iguales y asi tener una sola sumatoria

∞

∞

∑ 𝑓(𝑛) = ∑ 𝑓(𝑛 + 1) 𝑛=𝑘

𝑛=0

∞

∞

∑(𝑛 + 1) 𝐶(𝑛+1) 𝑥

𝑛+1

− 9 ∑ 𝐶𝑛 𝑥 𝑛+1 = 0

𝑛=0

𝑛=0 ∞

∑ 𝑥 𝑛+1 ((𝑛 + 1)𝐶(𝑛+1) − 9𝐶𝑛 ) = 0 𝑛=0

𝑥 𝑛+1 = 0

Puesto que x^n+1 no puede ser cero decimos que otro termino lo es y podemos resolver asi los coeficientes de la serie de potencia

(𝑛 + 1)𝐶(𝑛+1) − 9𝐶𝑛 = 0 (𝑛 + 1)𝐶(𝑛+1) = 9𝐶𝑛 𝐶(𝑛+1) = 𝐶1 =

9𝐶𝑛 (𝑛 + 1) 9 𝐶 1 0

Empezamos a evaluar los términos de la serie

𝐶2 = 9𝐶0 𝐶3 = 27𝐶0 𝐶4 =

243 𝐶 4 0

TIPO DE EJERCICIOS 2. TRANSFORMADA DE LAPLACE En el modelo matemático de un sistema físico como el de la masa 𝑚 sujeta a un resorte o el de un circuito eléctrico en serie, el lado derecho de la ecuación diferencial. m

𝑑2 𝑥

dx

𝑑𝑡

𝑑𝑡

2 +𝛽

+ 𝑘𝑥 = 𝑓(𝑡)

L

𝑑2 𝑞 𝑑𝑡 2

+𝛽

dq 𝑑𝑡

+ 𝑘𝑞 = 𝐸(𝑡)

Es una función que representa una fuerza externa 𝑓(𝑡) o un voltaje 𝐸(𝑡) en ecuaciones diferenciales se resuelve este problema para funciones 𝑓(𝑡) continuas. Sin embargo, no es raro encontrarse con funciones continuas a trozos por ejemplo en circuitos eléctricos son muy comunes los voltajes dientes de sierra o escalón. Es difícil, pero no imposible resolver la ecuación diferencial que describe el circuito en este caso, pero la transformada de Laplace es una valiosa herramienta para resolver problemas de este tipo La transformada de Laplace es muy útil en la solución de ecuaciones integrales y sistemas de ecuaciones diferenciales así con la obtención de algunas interesantes integrales.

Suponga que la función 𝑦(𝑡) está definida para 𝑡 ≥ 0 y la integral impropia converge para 𝑠 > 𝑠0 . Entonces la transformada de Laplace 𝑦(𝑡) existe 𝑠 > 𝑠0 y está dada por: ∞

ℒ{𝑦(𝑡)} = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑦(𝑡)𝑑𝑡 0

2. Con respecto a lo anterior calcule la transformada de Laplace de: ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

Hector Besarión Piñeros Arias a. ℒ{𝜋 + cos 3𝑡}

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ℒ{𝜋 + cos 3𝑡}

Por la linealidad de la transformada de LAPLACE, podemos separar sumas y sacar constantes…

ℒ{𝜋 + cos 3𝑡} = 𝜋ℒ{1} + ℒ{cos 3𝑡}

Entonces…

𝑎 𝑠

Recordemos constante…

ℒ{𝑎} = 𝑎ℒ{1} = ℒ{cos 𝑎𝑡} =

𝑠2

𝑠 + 𝑎2

ℒ {𝜋 + cos(3𝑡) =

𝜋 𝑠 + 2 } 𝑠 𝑠 +9

∞

ℒ{cos(𝑤𝑡)} = ∫ 𝑒 𝑠𝑡 cos 𝑤𝑡 𝑑𝑡 0

cos 𝑤𝑡 =

la

transformada

∞

0

1 𝑒 −(−𝑖𝜔+𝑠)𝑡 ∞ 𝑒 −(−𝑖𝜔+𝑠)𝑡 ∞ 𝐹(𝑠) = [ ∫ + | ] 2 −(𝑠 − 𝑖𝑤) 0 −(𝑖𝑤 + 𝑠) 0 1 1 1 1 𝑠 + 𝑖𝑤 + 𝑠 − 𝑖𝑤 [ + ]= 2 2 𝑠 − 𝑖𝑤 𝑠 + 𝑤 2 𝑠 + 𝑠𝑖𝑤 − 𝑠𝑖𝑤 − (𝑖𝑤)2

de

una

La transformada del coseno: Donde 𝑎 es una constante cualquiera… Resolvemos… Ahora vamos a resolver la transformada de Laplace de coseno…

𝑒 𝑖𝑤𝑡 + 𝑒 −𝑖𝑤𝑡 2

∞ 1 𝐹(𝑠) = [∫ 𝑒 −(−𝑖𝜔+𝑠)𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 𝑒 −(𝑖𝜔+𝑠)𝑡 𝑑𝑡] 2 0

𝐹(𝑠) =

que

Entonces… Recordemos que 𝑒 −𝑎𝑡 cuando 𝑡 tiende: 𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 = 0 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜 = 1 Entonces…

Se eliminan los términos resaltados en rojo… Recordemos que 𝑖 2 = 1 𝑠 = ℒ{cos(𝑤𝑡)} 𝑠2

Resolvemos….

∞

∞

ℒ{𝑎} = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝑎 𝑑𝑡 = 𝑎 ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 𝑎 [ = 𝑎[

−𝑒 −𝑠𝑡 𝑠

∞ | ] 0

Vamos a hallar la transformada de Laplace de una constante donde…

−𝑒 −∞𝑠 𝑒 0𝑠 𝑎 + ]= 𝑠 𝑠 𝑠

Si la 𝑎, es una constante la podemos retirar de la integral…

1

0

El Euler cuando se dirige al ∞𝑠 = 0 y si es 0𝑠 = 1

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

b. ℒ{2𝑡 + 𝜋𝑒 3𝑡 } PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA ℒ{2𝑡 + 𝜋𝑒 3𝑡 } = 2 · ℒ{𝑡} + 𝜋 · ℒ{𝑒 3𝑡 }

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Aplicamos la propiedad de la linealidad de la transformada de Laplace. ℒ{𝑎 · 𝑓(𝑡) ± 𝑏 · 𝑔(𝑡)} = 𝑎 · ℒ{𝑓(𝑡)} ± 𝑏 · ℒ{𝑔(𝑡)}

ℒ{𝑡} =

1 𝑠2

ℒ{𝑒 3𝑡 } = ℒ{𝑒 𝑎𝑡 } =

2·

1 1 = 𝑠−𝑎 𝑠−3

1 1 2 𝜋 + 𝜋 · = + 𝑠2 𝑠−3 𝑠3 𝑠 − 3

𝓛{𝟐𝒕 + 𝝅𝒆𝟑𝒕 } =

𝟐 𝝅 + 𝟑 𝒔 𝒔−𝟑

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Fidelmo Medina

Resolvemos cada una de las transformadas de Laplace, las cuales son transformadas notables.

remplazamos los simplificamos.

resultados,

operamos

y

d. ℒ{sinh 2𝑡}

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 𝑠𝑛ℎ 𝑥 = 2

Escribiremos la forma del seno hiperbólico en su forma de Euler la cual me facilita la solución de integrales

𝑒 2𝑡 − 𝑒 −2𝑡 ℒ{sinh 2𝑡} = [ ] 2

Escribimos la transformada de la identidad y aplicamos linealidad

1 ℒ{sinh 2𝑡} = ℒ[𝑒 2𝑡 − 𝑒 −2𝑡 ] 2 ℒ{sinh 2𝑡} =

1 𝐿[𝑒 2𝑡 ] − 𝐿[𝑒 −2𝑡 ] 2 ∞

𝐿[𝑒

2𝑡 ]

2𝑡 −𝑠𝑡

=∫ 𝑒 𝑒

𝑑𝑡

Escribimos la forma de la transformada en forma de integral y la resolvemos

0 ∞

∫ 𝑒 (2−𝑠)𝑡 𝑑𝑡 0

1 ∞ 𝑒 (2−𝑠)𝑡 | 2−𝑠 0 𝐿[𝑒 2𝑡 ] =

1 𝑠−2

𝐿[𝑒 −2𝑡 ] = ℒ[sinh 2𝑡] = ℒ[sinh 2𝑡] =

1 𝑠+2

1 ℒ{𝑒 2𝑡 − 𝑒 −2𝑡 } 2

1 1 1 { − } 2 𝑠−2 𝑠+2

ℒ[sinh 2𝑡] =

2 𝑠2 − 4

La otra transformada es idéntica Recordamos la expresión y la sustituimos para dar la respuesta

EJERCICIOS 3. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON TRANSFORMADA DE LAPLACE Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial. {

𝑦 , − 3𝑦 = 𝑒 2𝑡 } 𝑦(0) = 1

Aplicando la Transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial ℒ{𝑦 , − 3𝑦} = ℒ{𝑒 2𝑡 } ℒ{𝑦 , } − 3ℒ{𝑦} =

1 𝑠−2

𝑠𝑌(𝑠) − 𝑦(0) − 3𝑌(𝑠) = 𝑠𝑌(𝑠) − 1 − 3𝑌(𝑠) = 𝑌(𝑠) =

1 𝑠−2

1 𝑠−2

𝑠−1 (𝑠 − 2)(𝑠 − 3)

𝑌(𝑠) = −

1 2 + 𝑠 − 2 (𝑠 − 3)

Ahora se aplica transformada de Laplace para hallar: 𝑦(𝑡) 1 1 ℒ −1 {𝑌(𝑠)} = −ℒ −1 ( ) + 2ℒ −1 ( ) 𝑠−2 𝑠−3 𝑦(𝑡) = −𝑒 2𝑡 + 𝑒 3𝑡

3. A partir de lo anterior, resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

Hector Besarión Piñeros Arias a. 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ = 𝑒 𝑡 sin 𝑡; 𝑦(0) = 0, 𝑦 ′ (0) = 0 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

𝑑2 𝑦

𝑑𝑦

ℒ { 𝑑𝑡 2 } − 2ℒ { 𝑑𝑡 } = ℒ{𝑒 𝑡 sin 𝑡}

Calculamos transformada de Laplace a cada termino…

ℒ{𝑒 𝑡 sin 𝑡} = 𝐹(𝑠)

Resolviendo…

𝑠 →𝑠−1 𝐹(𝑠) = ℒ{sin 𝑡} =

𝑠2

1 +1

Transformado en la frecuencia…

Luego 𝑠 → 𝑠 − 1 𝐹(𝑠 − 1) = ℒ{ …

1 1 = 2 2 𝑠 − 1 + 1 𝑠 − 2𝑠 + 2

𝑑𝑛 𝑦(𝑡) 𝑑𝑦(0) 𝑛 𝑛−1 𝑛−2 } = 𝑠 𝑦(𝑠) − 𝑠 𝑦(0) − 𝑠 𝑑𝑡 𝑛 𝑑𝑡

Recordemos ahora la transformada de una derivada…

𝑑𝑛−1 𝑦(0) 𝑑𝑡 𝑛−1

[𝑠 2 𝑦(𝑠) − 𝑠𝑦(0) − 𝑦′(0)] − 2[𝑠𝑦(𝑠) − 𝑦(0)] =

1 𝑠 2 − 2𝑠 + 2

Reemplazamos…

𝑦(0) = 𝑦 ′ (0) = 0 𝑠 2 𝑦(𝑠) − 2𝑠𝑦(𝑠) = 𝑦(𝑠)[𝑠 2 − 2𝑠] =

𝑦(𝑠) =

𝑠2

1 − 2𝑠 + 2

1 𝑠 2 − 2𝑠 + 2

1 1 = (𝑠 2 − 2𝑠)(𝑠 2 − 2𝑠 + 2) 𝑠(𝑠 − 2)(𝑠 2 − 2𝑠 + 2)

1 𝐴 𝐵 𝐶𝑠 + 0 = + + (𝑠 2 − 2𝑠)(𝑠 2 − 2𝑠 + 2) 𝑠 𝑠 − 2 𝑠 2 − 2𝑠 + 2

1 = 𝐴(𝑠 2 − 2𝑠)(𝑠 2 − 2𝑠 + 2) + 𝐵(𝑠 2 − 2𝑠)(𝑠 2 − 2𝑠 + 2) + (𝑐𝑠 + 𝐷)(𝑠)(𝑠 − 2) Si

𝑆=0

1 = 𝐴(−2)(2) Entonces 𝐴=

−1 4

Si

𝑆=2

Entonces hallamos la transformada de Laplace de la ecuación diferencial…

Factorizamos 𝑦(𝑠)…

Despejamos 𝑦(𝑠)… Debemos realizar fracciones parciales a este cociente para luego aplicar fácilmente la transformada de Laplace inversa… Multiplicamos la ecuación por el denominador de la izquierda… Hallamos usando raíces conocidas…

1 = 𝐵(2)(4 − 4 + 2) Entonces 𝐵=

1 4 −1 1 (𝑆 − 2)(𝑆 2 − 2𝑆 + 2) + (𝑆 2 − 2𝑆 + 2)𝑆 4 4 + (𝑆)((𝑆 + 0)(𝑆 − 2))

1=

1 = 𝐶𝑆 3 − 2𝐶𝑆 2 + 𝐷𝑆 2 − 2𝐷𝑆 +

𝑆2 −𝑆+1 2

Volvemos a la ecuación y reemplazamos A y B

Desarrollamos potencias…

1 1 = 𝐶𝑆 3 + 𝑆 2 (𝐷 + − 𝐶) + 𝑆(−2𝐷 − 1) + 1 2

Asociamos coeficientes de potencias de S

Coeficientes de...

Comparamos ambos lados de la ecuación

𝑆3 ⇒ 𝐶 = 0 1 𝑆2 ⇒ 𝐷 + − 𝐶 = 0 2 𝑆 ⇒ −2𝐷 − 1 = 0 ⇒ 𝐷 =

−1 2

Independientes 1 = 1 𝑌(𝑆) =

𝑌(𝑡) =

1 𝑆(𝑆 − 2)(𝑆 2 − 2𝑆 + 2) −1 1 1 1 1 = ( 2 )− + ( )( ) 2 𝑆 − 2𝑆 + 1 4𝑆 4 𝑆−2

Finalizamos las fracciones parciales

−1 𝑡 1 1 𝑒 sin 𝑡 + 𝑒 2𝑡 − 2 4 4

Hallamos transformada inversa de Laplace a cada termino…

ℒ{𝑒 𝑎𝑡 } = ℒ{𝑎} =

Recordemos que…

1 𝑠−𝑎

𝑎 𝑠

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Fidelmo Medina

d. 𝑦 ′′ − 𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (𝑡); 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ℒ[𝑦 ′′ ]= 𝑆2 ℒ(𝑦) − 𝑦(0)𝑆 − 𝑦′(0)

Escribimos la transformada de las derivadas correspondientes a la ED

ℒ[𝑦 ′ ] = 𝑆ℒ(𝑦) − 𝑦(0) ℒ[𝑦]= ℒ(𝑦) ℒ[𝑐𝑜𝑠 (𝑡)] =

𝑆 𝑆2 + 1

𝑆 2 ℒ(𝑦) − 𝑦(0)𝑆 − 𝑦´(0) − 𝑆ℒ(𝑦) − 𝑦(0) + ℒ(𝑦) 𝑆 = 2 𝑆 +1 𝑆 2 ℒ(𝑦) − 𝑆 − 𝑆ℒ(𝑦) + 1 + ℒ(𝑦) =

(𝑆 2 − 𝑆 + 1)ℒ(𝑦) =

ℒ(𝑦) =

𝑆 2

2

𝑆 +𝑎

+

𝑆 𝑆2 + 1

𝑆 +𝑆−1 𝑆2 + 1 𝑆−1

( 𝑆 − 𝑆 + 1) 2

Para poder expresar la respuesta en función del tiempo aplicamos la transformada inversa a la ecuación

1

𝑦(𝑡) = ℒ

(𝑠 − )

[

2 1 2

3

2

4

(𝑠 − ) + 1

𝑠 ] + ℒ −1 [ 2 ] 3 𝑠 +1

2

4

(𝑠 − ) +

1

ℒ

−1

(𝑠 − ) 2 1 2

[

1 𝑡 2

3

] = 𝑒 ∙ 𝐶𝑜𝑠 (

(𝑠 − 2) + 4

ℒ

−1

[ (𝑠 −

=

1 √3

1 𝑡 2

𝑒 ℒ

1 2 1 2 ) 2

[

√3𝑡 2

1 ] = ℒ −1 [ 3 2

+4

√3 −1

]

1 2

2

−ℒ −1 [

2 √3

𝑠2 + ( )

2]

=

𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 0

Factorizamos en termino ℒ(𝑦) pues me representa la solución de la ED

ℒ −1 𝐿[𝑦] = 𝑦(𝑡) −1

Hacemos la sustitución y evaluamos las dos condiciones

1 √3

Esta transformada es directa solo se tiene en cuenta el desplazamiento que presenta

)

1 (𝑠 −

1 2 ) 2

1

+

∙ 𝑒 2𝑡 ∙ 𝑆𝑒𝑛 (

3 4

]=

Para esta transformada tenemos un desplazamiento y tenemos que volverla de forma directa arreglando la fracción

√3𝑡 ) 2

2

ℒ −1 [

𝑠2

𝑠 ] = 𝑐𝑜𝑠(𝑡) +1

Esta transformada es directa

1

𝑦(𝑡) = [𝑒 2𝑡 ∙ 𝐶𝑜𝑠 (

1 1 √3𝑡 √3𝑡 )− ∙ 𝑒 2𝑡 ∙ 𝑆𝑒𝑛 ( ) 2 2 √3

Sumamos las tres transformadas anteriores y asi tenemos el resultado

+ 𝐶𝑜𝑠(𝑡)] 𝑢(𝑡)

PASO 4 EJERCICIO 4. SITUACIÓN PROBLEMA A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas. ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

Hector Besarión Piñeros Arias PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN Usar el teorema de Taylor para hallar la solución en serie de

𝑥𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ = 𝑥𝑦 𝑦 (1) = 1

𝑥𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ = 𝑥𝑦 con 𝑦 (1) = 1 y en 𝑦 ′(1) = 0.

𝑦 ′(1) = 0.

Donde la serie de Taylor centra en 1 ∞

𝑦 = ∑ 𝐶𝑛 (𝑥 − 1)𝑛

Solución de la forma…

𝑛=0

𝑦 = ∑ 𝐶𝑛 𝑡 𝑛 𝑛=0

𝑦 ′ = ∑ 𝐶𝑛 𝑛𝑡 𝑛−1 𝑛=1

𝑦 ′′ = ∑ 𝐶𝑛 (𝑛 − 1)(𝑛)𝑡 𝑛−2 𝑛=2

𝑡 =𝑥−1 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥

Cambiamos variables

𝑥 =𝑡+1 𝑦(𝑥 = 1) = 𝑦(𝑡 = 0) 𝑦 ′ (𝑥 = 1) = 𝑦′(𝑡 = 0) (𝑡 + 1) ∑ 𝐶𝑛 (𝑛 − 1)(𝑛)𝑡 𝑛−2 + ∑ 𝐶𝑛 𝑛𝑡 𝑛−1 − (𝑡 + 1) ∑ 𝐶𝑛 𝑡 𝑛 = 0 𝑛=2

𝑛=1

Ahora reemplazando en la Ecuación Diferencial…

𝑛=0

∑ 𝐶𝑛 (𝑛 − 1)(𝑛)𝑡 𝑛−1 + ∑ 𝐶𝑛 (𝑛 − 1)(𝑛)𝑡 𝑛−2 + 2 ∑ 𝐶𝑛 𝑛𝑡 𝑛−1 𝑛=2

𝑛=2

− ∑ 𝐶𝑛

𝑛=1

𝑡 𝑛+1

𝑛=0

− ∑ 𝐶𝑛

𝑡𝑛

=0

𝑛=0

∑ 𝑓(𝑛) = ∑ 𝑓(𝑛 + 𝑘) 𝑛=𝑘

Ahora aplicamos la propiedad de series infinitas…

𝑛=0

∑ 𝐶𝑛+1 (𝑛)(𝑛 + 1)𝑡 𝑛 + ∑ 𝐶𝑛+2 (𝑛 + 1)(𝑛 + 2)𝑡 𝑛 + 2 ∑ 𝐶𝑛+1 (𝑛 + 1)𝑡 𝑛 𝑛=1

𝑛=0

𝑛=0

− ∑ 𝐶𝑛−1 𝑡 𝑛 − ∑ 𝐶𝑛 𝑡 𝑛 = 0 𝑛=1

𝑛=0

Igualamos todas las sumas al mismo 𝑛 = 1

∑ 𝐶𝑛+1 (𝑛)(𝑛 + 1)𝑡 𝑛 + 2𝐶2 𝑛=1

+ ∑ 𝐶𝑛+2 (𝑛 + 1)(𝑛 + 2)𝑡 𝑛 + 2 ∑ 𝐶𝑛+1 (𝑛 + 1)𝑡 𝑛 𝑛=1

𝑛=0

− ∑ 𝐶𝑛−1 𝑡 𝑛 − ∑ 𝐶𝑛 𝑡 𝑛 = 0 𝑛=1

𝑛=0

∑[𝐶𝑛+1 (𝑛)(𝑛 + 1) + 𝐶𝑛+2 (𝑛 + 1)(𝑛 + 2)

Agrupamos las sumatorias y factorizamos 𝑡 𝑛

𝑛=1

+ 2(𝑛 + 1𝐶𝑛+1 (𝑛 + 1) − 𝐶𝑛−1 − 𝐶𝑛 ]𝑡 𝑛 + [2𝐶2 + 2𝐶1 − 𝐶0 ] = 0 [2𝐶2 + 2𝐶1 − 𝐶0 ] = 0 𝐶2=

𝐶0 2

− 𝐶1 1

𝐶2 = 2

, ,

Igualamos coeficientes a 0

𝐶0 = 𝑦(𝑡 = 0) = 1

𝐶0 = 1

,

,

𝐶1 = 𝑦′(𝑡 = 0) = 0

𝐶1 = 0

𝐶𝑛+1 (𝑛)(𝑛 + 1) + 𝐶𝑛+2 (𝑛 + 1)(𝑛 + 2)

Donde 𝑛 = 1, 2, 3, 4 …

+ 2𝐶𝑛+1 (𝑛 + 1) − 𝐶𝑛−1 − 𝐶𝑛 = 0 𝐶𝑛+2 = −𝐶𝑛+1 +

𝐶𝑛−1 + 𝐶𝑛 (𝑛 + 1)(𝑛 + 2)

Despejamos 𝐶𝑛+2 por ser el mayor…

𝑛=1 𝐶3 = −𝐶2 +

𝐶3 =

𝐶0 + 𝐶1 −1 1 = + (1 + 1)(2 + 1) (2)(3) 2

1 3

𝑛=2 𝐶4 = −𝐶3 +

𝐶4 =

𝐶1 + 𝐶2 1 1 = + (3)(4) 3 (2)(3)(4)

3 8

𝑛=3 𝐶5 = −𝐶4 +

𝐶4 =

𝐶2 + 𝐶3 −3 (1⁄2) + (−1⁄3) = + (4)(5) (4)(5) 8

−11 30

𝑦 = 𝐶0 + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 𝑥 2 + 𝐶2 𝑥 3 + 𝐶2 𝑥 4 + 𝐶2 𝑥 5

Si escribimos la solución con algunos de los primeros coeficientes entonces…

1 1 3 11 𝑦 = 1 + 𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 − 𝑥5 … 2 3 8 30 1 2 9 44 𝑦 = 1 + 𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 − 𝑥5 … 2 3! 4! 5!

Si factorizamos el factorial correspondiente al exponente… La respuesta que mas se acerca seria la C.

C. 𝟏 +

𝟏 𝟐

𝟐

𝒙𝟐 − 𝟑! 𝒙𝟑 + 𝟗

𝒙𝟒 𝟒!

− 𝟒𝟒

𝒙𝟓

−𝟓 𝟓!

𝒙𝟓 𝟓!

…

Nota: las respuestas deberían depender de 𝑡 o ser (𝑥 − 1)𝑛 , pero no aparecía ninguna de las cuatro opciones. La C del punto coincide en sus coeficientes por eso la elegí como correcta.

PASO 5

EJERCICIO 5. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA SITUACIÓN PLANTEADA. Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada: Situación y solución planteada: EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA GUIA

OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA Teniendo en cuenta la situación planteada

Situación problema: La ecuación diferencial que modela un circuito eléctrico RLC dispuesto en serie es: 𝑑𝑖 1 t 𝐿 + 𝑅𝑖 + ∫ i(τ)dτ = E(t) 𝑑𝑡 𝑐 0 Utilizando la transformada de Laplace encuentre i(t), si L = 0.05H; R = 1 Ω ; c=0.02 F y E(t) = 50[t 3 𝑒 −𝑡 ]V e i(0) = 0 Solución 1. Se reemplazan los valores t 𝑑𝑖 1 0.005 + 𝑖 + ∫ i(τ)dτ 𝑑𝑡 0.02 0 = 50[t 3 + 𝑒 −𝑡 ] 2. Se divide por 0.005 t 𝑑𝑖 + 200𝑖 + 1000 ∫ i(τ)dτ 𝑑𝑡 0 = 10000t 3 − 10000𝑒 −𝑡

3. A cada término se le halla la transformada de Laplace

𝐿

𝑑𝑖 1 t + 𝑅𝑖 + ∫ i(τ)dτ = E(t) 𝑑𝑡 𝑐 0

Empleando la transformada de Laplace 𝐿 = 0,05𝐻 𝑅 = 1Ω 𝐶 = 0,02𝐹 E = 50[t 3 𝑒 −𝑡 ]V i(0) = 0 Reemplazamos… 𝑡 𝑑𝑖 1 0,05 + 𝑖 + ∫ 𝑖(𝜏)𝑑𝜏 = 50𝑡 3 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 0,02 0

Dividimos la ecuación por 0,05 𝑡 𝑑𝑖 + 20𝑖 + 1000 ∫ 𝑖(𝜏)𝑑𝜏 = 1000𝑡 3 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 0

Aplicamos la transformada de Laplace a cada termino.

𝐼(𝑠) 𝑠𝐼(𝑠) + 𝑖(0) + 200𝐼(𝑠) + 1000 𝑠 30000 10000 = − 𝑠2 𝑠−1

ℒ{

𝑡 𝑑𝑖 } + 20ℒ{𝑖} + 1000ℒ {∫ 𝑖(𝜏)𝑑𝜏} 𝑑𝑡 0

= 1000ℒ{𝑡 3 𝑒 −𝑡 }

4. Se agrupan los términos de I(s) 𝑠 2 + 200𝑠 + 1000 𝐼(𝑠) ( ) 𝑠 3 1 = 10000 ( 2 − ) 𝑠 𝑠−1 5. Se factoriza el numerador del lado izquierdo y se despeja I(s). Se reescribe el resultado para aplicar Transformada inversa. 10000𝑠 3 1 ( 2− ) 2 𝑠(𝑠 + 100) 𝑠 𝑠−1 1 3 𝐼(𝑠) = 10000 [ − (𝑠 + 100)2 (𝑠 + 100)2 1 + ] 𝑠−1 𝐼(𝑠) =

6. Se aplica la transformada inversa para hallar i(t) 𝑖(𝑡) = 20000[𝑡𝑒 −100𝑡 − 3(𝑡 − 1)𝑒 −100(𝑡−1) − 𝑒 −𝑡 ] Con esto se obtiene finalmente la corriente en función del tiempo.

Resolviendo… ℒ{𝑡 3 𝑒 −𝑡 } = 𝐹(𝑠) 𝐹(𝑠) = ℒ{𝑡 3 } = 𝐹(𝑠 + 1) =

𝑆 →𝑆+1

3! 6 = 𝑆4 𝑆4

6 (𝑆 + 1)4

Resolvemos la transformada de Laplace para la Ecuación Diferencial. 1000 6000 𝑆 𝐼(𝑠) + 20𝐼(𝑠) + 𝐼(𝑠) = 𝑠 (𝑠 + 1)4 Multiplicando por S y factorizando I(s) 𝐼(𝑠)[𝑠 2 + 20𝑠 + 1000] =

6000 (𝑠 + 1)4

Despejamos 𝐼(𝑠) 𝐼(𝑠) =

6000 𝑠 (𝑠 + 1)4 + (𝑠 2 + 20 𝑠 + 1000)

Fracciones parciales…

(𝑠 +

1)4

6000 𝑠 + (𝑠 2 + 20 𝑠 + 1000) =

𝐴 𝐵 + 4 (𝑠 + 1) (𝑠 + 1)3

+

𝐶 𝐷 + 2 (𝑠 + 1) 𝑠+1

+

𝐸𝑠 + 𝐹 𝑠 2 + 20 𝑠 + 1000

6000 𝑠 = (𝑠 2 + 20 𝑠 + 1000)[𝐴 + 𝐵(𝑠 + 1) + 𝐶(𝑠 + 1)2 + 𝐷(𝑠 + 1)3 ] + (𝐸𝑠 + 𝐹)(𝑠 + 1)4 Desarrollando paréntesis y asociamos coeficientes de potencias de S generamos la matriz 6X6… A

B

C

D

E

F

Ind

1000

1000

1000

1000

0

1

0

𝒔

20

1020

2020

3020

1

4

6000

𝒔𝟐

1

21

1041

3061

4

6

0

𝟑

0

1

22

1063

6

4

0

𝒔𝟒

0

0

1

23

4

1

0

𝒔𝟓

0

0

0

1

1

0

0

𝒔

Ind

La solución del sistema es: 𝐴 = −6,1162 𝐵 = 6,2284 𝐶 = −0,108 𝐷 = −4,3665 ∗ 10−3 𝐸 = 4,3665 ∗ 10−3 𝐹 = 0,191012 Entonces… 𝐼(𝑠) =

−,11 6,23 0,108 4,3665 ∗ 10−3 + − − (𝑠 + 1)4 (𝑠 + 1)3 (𝑠 + 1)2 (𝑠 + 1) 4,3665 ∗ 10−3 𝑠 + 0,191012 + 𝑆 2 + 20 𝑆 + 1000

Ahora hallamos la transformada inversa… Recordemos que…

ℒ{𝑒 𝑎𝑡 𝑡 𝑛 } =

(𝑛 + 1)! (𝑠 + 𝑎)𝑛+1

Resolviendo… ℒ −1 {

4,3665 ∗ 10−3 𝑠 + 0,191012 } 𝑆 2 + 20 𝑆 + 1000 4,3665 ∗ 10−3 𝑆 = ℒ −1 { 2 } 𝑆 + 20 𝑆 + 1000 0,191012 + ℒ −1 { 2 } 𝑆 + 20 𝑆 + 1000

Completamos el cuadrado perfecto… 𝑆 2 + 20 𝑆 + 1000 = 𝑆 2 + 20 𝑆 + 100 − 100 − 1000 = (𝑠 + 10)2 + 900

Recordemos que… 𝑏 (𝑠 − 𝑎)2 + 𝑏 2 (𝑠 − 𝑎) ℒ{𝑒 𝑎𝑡 cos(𝑏𝑡)} = (𝑠 − 𝑎)2 + 𝑏 2 ℒ{𝑒 𝑎𝑡 sin(𝑏𝑡)} =

Continuando con el cuadrado perfecto… Nota: √900 = 30 (𝑠 + 10) − 10 = 4,3665 ∗ 10−3 ℒ −1 { } (𝑠 + 10)2 + 900 + 0,191012 ℒ −1 {

1 } (𝑠 + 10)2 + 900

(𝑠 + 10) = 4,3665 ∗ 10−3 [ℒ −1 { } (𝑠 + 10)2 + 900 −

10 −1 30 ℒ { }] (𝑠 + 10)2 + 900 30

+

0,191012 −1 30 ℒ { } (𝑠 + 10)2 + 900 30

Para finalizar aplicamos transformada inversa…

= [4,3665 ∗ 10−3 cos(30𝑡) + 4,91173 ∗ 10−3 sin(30𝑡)]𝑒 −10𝑡 Resolvemos la transformada inversa de Laplace de toda la ecuación. 𝑦(𝑡) = 𝑒 −𝑡 [−6,11𝑡 3 + 6,2284𝑡 2 − 0,108𝑡 − 4,3665 ∗ 10−3 ]𝑡𝑒 −10𝑡 [4,3665 ∗ 10−3 cos(30𝑡) + 4,91173 ∗ 10−3 sin(30𝑡)]

PASO 8 TABLA LINKS VIDEOS EXPLICATIVOS Nombre Estudiante

Ejercicios sustentados

Enlace video explicativo

Hector Piñeros Arias

Ejercicios a Ejercicio 2d

https://www.loom.com/share/8b13f121005a438aae2063ea0a4b3bbd

Fidelmo Medina

https://www.youtube.com/watch?v=CgNg3B_XOU0

CONCLUSIONES Aprendimos a manejar algunos conceptos dentro del desarrollo de los diferentes problemas plateados los cuales no conocíamos bien, pero fue posible su desarrollo bajo el análisis pertinente de la problemática planteada por el tutor durante el curso.

Se resolvieron todas las ecuaciones con sus diferentes variables de acuerdo a lo planteado en la guia de actividades y retroalimentadas por el tutor que acompaño el proceso de aprendizaje.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Wikipedia® es una marca registrada de la Fundación Wikimedia, se editó por última vez el 20 nov 2019, tomado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 123-130). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467 Montoya, W. (2015). Criterios de Convergencia de Series Infinitas. UNAD. [Videos]. Disponible en http://hdl.handle.net/10596/7220 Transformada de Laplace, García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 157-165). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467 García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 179-185). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467 CK-12, (2015). Convergence and Divergence of Sequences. [OVA]. http://www.ck12.org/calculus/Convergence-and-Divergence-of-Sequences/ CK-12, (2015). Absolute and Conditional Convergence. http://www.ck12.org/calculus/Absolute-and-Conditional-Convergence/ CK-12, (2015). Power Series and Convergence. http://www.ck12.org/calculus/Power-Series-and-Convergence/

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López, M., & Acero, I. (2007). Ecuaciones diferenciales: teoría y problemas (2a. ed.). España: Editorial Tébar. (pp.93-135). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10505343 Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Ediciones. (pp. 193217). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10584022