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• luisa mayeny fernandez florez

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Actividad evaluativa Eje 2 ECUACIONES DIFERENCIALES

CRISTIAN ANDRES COLPAS VASQUEZ DANIEL OQUENDO JIMENEZ DANIEL HUMBERTO SALAZAR SURLEY ANDREA OSORIO ARIAS

INGENIERÍA DE SISTEMAS FUNDACIÓN UNIVERSITARIA DEL ÁREA ANDINA 2019

Actividad evaluativa Eje 2 INTRODUCCIÓN

En el siguiente trabajo se podrá evidenciar la aplicación de las ecuaciones diferenciales a 3 situaciones o disciplinas las cuales son las leyes de movimiento de Newton, los problemas combinados de crecimiento y decrecimiento y por último los circuitos eléctricos en ella se analizará la aplicación de cada una de las situaciones planteadas anteriormente y se mostrará un pequeño ejemplo en el cual se explicara paso a paso la solución de esta para que sea de fácil entendimiento a los demás lectores de el trabajo.

ACTIVIDAD

Actividad evaluativa Eje 2

1. Deben conformar grupos de 4 estudiantes. 2. En la etapa inicial del trabajo colaborativo, cada estudiante debe indagar y proponer sus intereses y expectativas frente a los contenidos matemáticos propuestos, dando una respuesta para cada una de las tres situaciones problémicas que se proponen a continuación: Las ecuaciones diferenciales representan una herramienta muy útil para modelar matemáticamente fenómenos variados, que van desde contextos muy propios como la Ingeniería, la Estadística, la Aeronáutica, la Astronomía, la Física y la Geología hasta otros, como la Medicina, la Administración, las Finanzas y la Economía. Y en general, cualquier área del conocimiento que exige relacionar variables a través de alguna función de variable real. En este sentido, por grupo, planteen al menos una aplicación de las ecuaciones diferenciales en las siguientes tres disciplinas del conocimiento: 1. Situación 1. Leyes del movimiento de Newton. 2. Situación 2. Problemas combinados de crecimiento y decrecimiento. 3. Situación 3. Circuitos eléctricos. 3. Para hacerlo sigan el siguiente formato: 1. Introducción. En un párrafo corto, expliquen la importancia de la aplicación seleccionada, especificando el problema que resuelve. 2. Marco teórico. Expliquen brevemente los conceptos tratados, debe presentar fórmulas, gráficos, tablas, etc. En sus respuestas deben presentar por lo menos dos citas referenciadas con normas APA. 3. Ejemplo. Planteen un problema, a manera de un ejemplo resuelto dónde paso a paso expliquen su solución. Deben presentar gráficos, ecuaciones o diagramas que ilustran la explicación. 4. Conclusiones. Expongan brevemente los usos de esa aplicación en el contexto seleccionado. 5. Referencias bibliográficas. Elaboren una lista de las referencias bibliográficas usadas en normas APA.

SOLUCIÓN Primera situación: Leyes de movimiento de newton Para exponer una aplicación a esta situación ante todo se debe de saber cuales son las tres leyes de movimiento de Newton y estas son: 1. Un cuerpo en reposo tiende a permanecer en reposo, mientras que un cuerpo en movimiento tiende a persistir en movimiento en una línea recta con velocidad constante a menos que fuerzas externas actúan sobre él.

Actividad evaluativa Eje 2 2. La tasa de variación del momentum de un cuerpo en función del tiempo es proporcional a la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo teniendo la misma dirección de la fuerza, (entendiéndose por momentum de un objeto al producto de su masa m multiplicado por su velocidad v). 3. A cada acción existe una reacción igual y opuesta. La segunda ley proporciona una relación importante, conociéndose como la ley de Newton. La tasa de cambio o variación en el momentum en el tiempo es así d (mv) /dt. Si por F se entiende a la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo, por la segunda ley se tiene: d ( mv ) a F siendo a el símbolo que indica proporcionalidad, introduciendo la dt constante de probabilidad se obtiene: d ( mv ) kF dt d si m es una constante m dt =kF o ma=kF donde a = dv/dt es la aceleración. ma Asi se observa que F= k =kF donde el valor de k depende de las unidades que se desee usar. Para el sistema CGS (o sistema Centímetro, Gramo, Segundo), k = 1 siendo la ley F = ma. En la simbología del cálculo se puede escribir las leyes de Newton en formas diferentes, al notar que la aceleración a puede expresarse como la primera derivada de la velocidad v (esto es, dv/dt), o como la segunda derivada de v de un desplazamiento s (esto es, d 2 s /dt 2 ). dv d2 s F=m =m 2 dt dt Una vez conocido el problema físico se puede aplicar estos conocimientos para obtener las formulaciones matemáticas de varios problemas que involucran los conceptos anteriores, y la solución e interpretación de tales problemas. Referencia: gon (2019) Las leyes de Newton / leyes de movimiento. Recuperado de: https://espaciociencia.com/las-leyes-de-newton-leyes-del-movimiento/ EJEMPLO: Una masa de m gramos cae verticalmente hacia abajo, bajo la influencia de la gravedad, partiendo del reposo, siendo despreciable la resistencia del aire. se va a establecer la ecuación diferencial y las condiciones asociadas que describen el movimiento y a solventarla.

Actividad evaluativa Eje 2 Diagrama de fuerzas:

FORMULACIÓN MATEMÁTICA: Sea A en la figura la posición de la masa m en el tiempo t = 0, y sea Pi la posición de m en cualquier tiempo posterior t. En cualquier problema de física que involucra cantidades vectoriales tales como fuerza, desplazamiento, velocidad y aceleración, las cuales necesariamente requieren un conocimiento de dirección, es conveniente establecer un sistema de coordenadas, junto con la asignación de direcciones positivas y negativas. En este ejemplo se observa que la variación se realiza respecto del eje x. La velocidad instantánea en P es v = dx/dt. La aceleración instantánea en P es a = dv/dt o a=d 2 s /dt 2 La fuerza que actúa es el peso, siendo su magnitud P= mg. Por la ley de Newton se obtiene: m

dv dv =mg o =g dt dt

Puesto que la masa cae desde el reposo, se ve que v = 0 cuando t = 0, o en otras palabras v❑( 0)=0 . Esta formulación matemática es el problema de valor inicial v❑( t) dv (t ) dt

=g v❑( 0)=0

Aquí se tiene una ecuación de primer orden y su condición requerida. Otra manera de formular el problema es escribir:

Actividad evaluativa Eje 2

m

d2 x d2 x =mg =g o dt 2 dt 2

En tal caso se tiene una ecuación de segundo orden en las variables x y t, y necesitamos dos condiciones para determinar x. Una de ellas es v = 0 o dx/dt = 0 en t = 0. La segunda puede obtenerse al notar que x = 0 en t = 0 (puesto que se escogió el origen de este sistema de coordenadas en A). La formulación matemática es: d2 x =g x=0 dt 2

y

dx =0 en t=0 dt

Cuando se establezca ecuaciones diferenciales para describir algún fenómeno o ley, siempre se acompañarán de suficientes condiciones necesarias para la determinación de las constantes arbitrarias en la solución general.

SOLUCIÓN EJEMPLO: dv =g(separación de variables) se obtiene por integración v = gt + dt dx =¿ c1. Puesto que v=0 cuando t = 0, c1 = 0, ó v = gt, esto es, dt Empezando con

1 2 Otra integración produce de la anterior ecuación x =¿ +c 2Puesto que x= 0 en t = 0, 2 1 2 c2 = 0. Por tanto x =¿ se pudo haber llegado al mismo resultado al empezar con: 2 d2 x d2 x m 2 =mg o 2 =g dt dt El signo más indica que el objeto se está moviendo en la dirección positiva, esto es, hacia abajo. Se debería tener en cuenta que si se hubiera tomado la dirección positiva hacia arriba la ecuación diferencial hubiera sido m(dv/dt) = - mg, esto es, dv d2 x =−g o 2 =−g Esto conduciría a resultados equivalentes a los obtenidos, para dt dt otros problemas similares la forma de actuar es la misma.

Situación: Problemas combinados de crecimiento y decrecimiento.

La ecuación diferencial dt/dy = ay nos dice que la variación con el tiempo de una cantidad y es proporcional ay. Si la constante de proporcionalidad a es positiva

Actividad evaluativa Eje 2 siendo y positivo, entonces dy/dt es positivo ey aumenta. En este caso hablamos de que y crece, y el problema es de crecimiento. Por otro lado, si a es negativo siendo y positivo, entonces dy/dt es negativo ey decrece. Ejemplo aclaratorio: Se calienta agua a la temperatura del punto de ebullición de Te. El agua se agita y se guarda en un cuarto el cual está a una temperatura constante de Tc. Después de ti la temperatura del agua es Tf. (a) Encuentre la temperatura del agua después de tf siendo tf>ti. (b) ¿Cuándo la temperatura del agua será de Ti? Siendo Te>Tf>Ti>Tc Formulación matemática: La diferencia de temperatura entre el agua y el cuarto es Te-Tc=ΔT. La variación en T es dT/dt. Tomando como base en la experiencia, uno espera que la temperatura cambie más rápidamente cuando (ΔT) es grande y más lentamente cuando (ΔT) es pequeño. Desarrollemos un experimento en el cual tomamos temperaturas en varios intervalos de tiempo, siendo ΔT el cambio en temperatura y Δt el tiempo para producir este cambio. Tomando a Δt pequeño esperamos que ΔT / Δt será muy cercano a dT/dt. Si hacemos una gráfica representando ΔT / Δt y ΔT, podríamos producir un gráfico similar al de esta figura.

Los puntos marcados están determinados por el experimento. Puesto que el gráfico es, aproximadamente, una línea recta, asumimos que dT/dt es proporcional a ΔT, esto es: dT/dt = a(TΔ) donde a es una constante de proporcionalidad. Ahora dT/dt es negativo cuando (ΔT) es positivo, y así escribiremos a = -h donde h > 0. La ecuación es dT/dt = -h(TΔ). Esta ecuación se conoce en física como la ley de enfriamiento de Newton y es de importancia en muchos problemas de temperatura. Realmente, es

Actividad evaluativa Eje 2 sólo una aproximación a la situación física. Las condiciones que acompañan esta ecuación se obtienen de las condiciones iniciales dispuestas en el enunciado del ejemplo. Solución: Resolviendo la ecuación por separación de variables tenemos: ∫dT/ΔT=− ∫hdt→ ln(ΔT)= -ht + c1→ ΔT= ce^ -ht de la cual teniendo las condiciones iniciales podemos calcular las constantes h y c, pudiendo dar contestación al problema planteado.

Situación: Circuitos eléctricos problema Calcular la intensidad que circula por el circuito esquematizado en la figura adjunta con la condición I = 0, para t = 0 y suponiendo que la fuerza electromotriz es constante.

Solución Puesto que tenemos un circuito con resistencia y autoinducción, su ecuación diferencial será de la forma:

Tenemos una ecuación diferencial que no es diferencial exacta, por lo que para resolverla hemos de obtener previamente el factor integrante:

A partir de ahí podemos obtener la solución general mediante:

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Si E(t) es constante, la ecuación se integra fácilmente, ya que se tiene:

Y siendo I = 0 para t = 0

CONCLUSIONES Como se pudo observar en el anterior trabajo se mostraros 3 situaciones a las cuales a cada una se le dio una aplicación de las ecuaciones diferenciales viendo lo importante que es esta ecuación matemática y que se utiliza en gran manera en el

Actividad evaluativa Eje 2 campo de la ingeniería de la física y demas, se observó de manera detallada algunos conceptos clave para el desarrollo de ciertos ejemplos todo esto para que el lector se lleve una idea clara y sencilla sobre cada aplicación.

BIBLIOGRAFÍA ● gon (2019) Las leyes de Newton / leyes de movimiento. Recuperado de: https://espaciociencia.com/las-leyes-de-newton-leyes-del-movimiento/ ● Sin autor (S.F.) Las ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones en la ingeniería. Recuperado de: http://campus.usal.es/~modelosmatematicos/ModelosMatematicos/index_files /Trabajo%20Ec%20Diferenciales%20en%20Ingenieria.pdf

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