• Author / Uploaded
• Luisa Fernandez Florez

Citation preview

Caso problema: Dos problemas de aplicación de las Transformadas de Laplace en la solución de ecuaciones diferenciales en circuitos eléctricos y sistemas físicos simples Tarea del Eje 4. Ecuaciones Diferenciales

Luisa Mayeny Fernández Flórez (Grupo 011) Nelson Rodríguez Sánchez (Grupo 011) Johan David Ballesteros Cáceres (Grupo 011) Cristian  Camilo Revelo Sanabria (Grupo 012)

Fundación Universitaria del Área Andina Facultad de Ingenierías y Ciencias Básicas Ingeniería de Sistemas 2020

Situación problema 1 Circuito eléctrico De los circuitos usados en los contextos y aplicaciones de la Ingeniería y otras disciplinas, el circuito RLC (figura 1) aparece con frecuencia, ya que cada circuito real tiene una cierta resistencia finita. Un circuito RLC se compone de los elementos pasivos: resistencia, bobina y condensador.

Figura 1

Fuente. https://flahoz.webs.ull.es/EM%20II/RLCenCC.doc

Un circuito RLC en serie tiene una fuente de voltaje dada por V ( t ) =sen 100 t un resistor de 0.02 Ω, un indicador de 0.001 H un capacitor de 2 F Si la corriente y la carga iniciales en el capacitor son iguales a cero, determinar la corriente en el circuito para 𝒕 > 𝟎.

Solución Circuito eléctrico La ecuación para la corriente es:

dl d2 I dv ( dl ( d2 I ) ) R +L 2 + = 0.02 + 0.001 2 + 0.5/¿ 100 cos 100 t dt dt dt C dt dt d 2 I ( 0.02 ) dl 0.5/¿ 100 cos 100 t d 2 I dl + + = ¿ 2 +20 +500 /¿ 100000 cos 100 t 2 ( 0.001 ) dt ( 0.001 ) ( 0.001 ) dt dt dt Y las condiciones iniciales son: I(0) = 0 y I′(0) = 0. Por tanto, la solución es: I ( t )=

3800 −10 t 2100 −10 t 3800 800 e cos 20 t− e sen 20 t− cos 100 t + sen100t 377 377 377 377

Situación problema 2 Esta aplicación de las transformadas de Laplace en la solución de ecuaciones diferenciales de segundo orden se presenta con el propósito de determinar el movimiento de oscilación de dos resortes acoplados de forma horizontal mediante una ecuación lineal de segundo grado y transformadas de Laplace, considerando también conceptos básicos de la Ley de Hooke y las leyes de Newton.

En una superficie horizontal suave, una masa m1=1 kg está unida a una pared fija mediante un resorte con constante de resorte k 1=2

N m

Por su parte, otra masa m 2=2 kg está unida al primer objeto mediante un resorte con constante de resorte k 2=4

N m

Los objetos están alineados en forma horizontal, de modo que los resortes tengan su longitud natural. Si ambos objetos se desplazan 𝟑 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 a la derecha de sus posiciones de equilibrio y luego se liberan, ¿Cuáles son las ecuaciones de movimiento de los dos objetos?

Solución En este caso, las únicas fuerzas que se consideran son las fuerzas inherentes a los propios resortes; pues, como se recordará, la ley de Hooke afirma que la fuerza que actúa sobre un objeto debido a un resorte tiene una magnitud proporcional al desplazamiento del resorte a partir de su longitud natural y tiene dirección opuesta a su desplazamiento. Es decir, si el resorte se estira o se comprime, entonces este trata de regresar a su longitud natural. Como cada masa se puede mover con libertad, aplicamos la segunda ley de Newton a cada objeto. Así, sea x(t) el desplazamiento (hacia la derecha) de la masa de 2 kg, a partir de su posición de equilibrio y, de manera análoga, sea y(t) el desplazamiento correspondiente para la masa de 1 kg. La masa de 2 kg tiene una fuerza F, la cual actúa por su lado izquierdo, debido a un resorte, y una fuerza F2 que actúa por su lado derecho, debido al segundo resorte. Al aplicar la ley de Hooke, vemos que:

F 1=k , x F 2=k ( y−x)

Porque (y - x) es el desplazamiento neto del segundo resorte con respecto de su longitud natural. De esta forma, solo hay una fuerza que actúa sobre la masa de 1 kg: la fuerza debida al segundo resorte, que es:

F 3=−k 2( y−x)

Así, al aplicar la segunda ley de Newton a estos objetos, obtenemos el sistema:

m2

d2 x d2 y ( ) =F + F =−k x +k y−x m =F 3=−k 2 ( y−x ) 1 2 1 2 2 dt 2 dt 2

o d2 x m 1 2 + ( k 1 + k 2 ) x−k 2 y=0 dt m2

d2 y +k 2 y−k 2 x=0 dt 2

En este caso, debemos resolver el sistema: 2

d2 x +6 x−2 y=0 dt 2

d2 y +2 y−2 x =0 dt 2 Con las condiciones iniciales, que son: x (0)=3 , x ' (0)=0 ; y (0)=3 , y ' ( 0)=0. Por tanto, la transformada de Laplace de cada ecuación es: 2 ( s 2 X ( s )−sx ( 0 )−x ' ( 0 ) ) + 6 X ( s )−2 Y ( s ) =0 s2 Y ( s ) −sy ( 0 )− y ' ( 0 )+2 Y ( s )−2 X ( s )=0 Sustituyendo las condiciones iniciales: 2¿ s2 Y ( s ) −3 s+ 2Y ( s )−2 X ( s ) =0 ( 2 s 2 +6 ) X ( s )−2 Y ( s )=6 s−2 X ( s ) + ( s2 +2 ) Y ( s )=3 s

( 2 s 2+ 6 ) −2 ∆= =2 s4 + 10 s 2+8=2 ( s 4 +5 s2 + 4 ) =2 ( s 2+ 4 )( s 2+1 ) 2 −2 ( s +2 )

|

|

6 s−2 3 s ( s2 +2 ) 6 s3 +18 s 3 s 2+ 9 s X ( s )= = 2 = ∆ 2 ( s + 4 ) ( s 2+ 1 ) ( s 2+ 4 ) ( s 2+1 )

|

|

( 2 s 2 +6 ) 6 s

|

|

3 s 3+ 9 s As+ B Cs+ D ( ) X s = = 2 + 2 6 s +30 s 3 s + 15 s 2 2 Y ( s )= = 2 = ( ) ( ) ( ) ( s +1 ) s + 4 s +1 s +4 2 ( s + 4 )( s 2+1 ) ( s2 + 4 ) ( s2 +1 ) ( As+b ) ( s2 +1 ) + ( Cs+ D ) ( s2 +4 ) =3 s 3+ 9 s −23 s ∆

3

2

Entonces: X ( s )=

3 s 2 +9 s (s 2+ 4)( s¿¿ 2+1)+

x ( t )=L−1 ¿

s 2x (s ¿¿ 2+4 )+ 2 ¿ ( s +1)

¿

Y ( s )=

3 s3 +15 s As+ B Cs+ D = 2 + 2 2 ( s + 4)(s +1) ( s + 4) (s 2+ 1)

( As+ B ) ( s 2+1 ) + (Cs+ D ) ( s 2+ 4 )=3 s 3 +15 s

Por tanto: 3 s3 +15 s −s 4s ( ) Y s= 2 = 2 + 2 y ( t ) =L−1 ¿ 2 ( s +4 ) ( s +1 ) ( s + 4 ) ( s +1 )