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• Juan David Castrillon Gomez

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ACTIVIDAD EVALUATIVA EJE 4 Caso problema: Dos problemas de aplicación de las Transformadas de Laplace en la solución de ecuaciones diferenciales en circuitos eléctricos y sistemas físicos simples.

Presentado a: SILVIA REBECA VEGA RIAÑO

Presentado por: EDGAR ADRIAN GUZMAN VARGAS Grupo 012 JOSE GILDARDO GUTIERREZ PICO Grupo 012 JUAN DAVID CASTRILLON GOMEZ Grupo 011 JUAN DAVID PÉREZ LEMUS Grupo 012

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA DEL AREA ANDINA Ingeniería de Sistemas Virtual Ecuaciones Diferenciales Bogotá, Colombia Abril de 2020

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Tabla de contenido

Introducción

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Planteamiento Situación Problema 1

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Desarrollo Problema 1

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Planteamiento Situación Problema 2

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Desarrollo Problema 2

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Conclusiones

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Bibliografía

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2

Introducción

Laplace fue un prominente matemático, astrónomo y físico, cuyo aporte a la ciencia ha sido muy valioso, y entre uno de ellos es la transformada de Laplace, una herramienta matemática que permite abordar de manera más fácil problemas de ecuaciones diferenciales, permitiendo transformar ecuaciones lineales no homogéneas en ecuaciones algebraicas que se puedan resolver por términos algebraicos. Podemos definir en términos coloquiales, que lo que busca la transformada de Laplace es transformar una función en otra (función) con otro dominio y otra variable pero correspondiente a la función original. ∞ −st Una definición matemática nos dice que f (t)=∫ f (t) e dt 0

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Planteamiento Situación Problema 1 Circuito eléctrico De los circuitos usados en los contextos y aplicaciones de la Ingeniería y otras disciplinas, el circuito RLC (figura 1) aparece con frecuencia, ya que cada circuito real tiene una cierta resistencia finita. Un circuito RLC se compone de los elementos pasivos: resistencia, bobina y condensador.

Figura 1 Circuito - Circuit Lab Fuente: propia

Un circuito RLC en serie tiene una fuente de voltaje dada por

𝑽(𝒕) = 𝒔𝒆𝒏 𝟏𝟎𝟎𝒕 , 𝑢𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝟎. 𝟎𝟐 Ω, 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝟎. 𝟎𝟎𝟏 𝑯 𝑢𝑛 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝟐 F

Si la corriente y la carga iniciales en el capacitor son iguales a cero, determinar la corriente en el circuito para t > 0.

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Desarrollo Problema 1 Diagrama del circuito RLC

Figura 2. Circuito - Circuit Lab Fuente. Propia

Utilizando la sumatoria de voltajes sobre cada componente tenemos: V f =V R +V C +V L iR + L

di 1 + q=V f dt C

Planteamos la ecuación diferencial del circuito: Ri+ L

di 1 + i dt =sen (100 t) dt C ∫

Calculamos la transformada de Laplace para resolver la ecuación integro-diferencial

[

L Ri+ L

di 1 + ∫ i dt =L[sen (100t )] dt C

RI + L ( sI−i ( 0 ) ) +

]

I 100 = 2 Cs s +10000

Tomando los valores R=0.02[ Ω], L=0,001[H ], C=2[ F], i ( 0 )=0 [ A ] entonces tenemos: 5

I+

(

L I 100 sI + = 2 R RCs s +10000

I 1+

Ls 1 100 + = 2 R RCs s +10000

)

RCs LC s + RCs+1

100 s +10000

( )( ) s 100 I= ( s +2020s+500 )( s +10000 ) I=

2

2

I=

2

2

2000 s ( s +10000 ) ( s 2+ 20 s+ 500 ) 2

Utilizando fracciones parciales tenemos: I=

76 s 80 76 s 1600 − − + 2 2 377 ( s + 20 s+ 500 ) 377 ( s + 20 s+500 ) 377 ( s +10000 ) 377 ( s 2 +10000 ) 2

Realizamos la transformada inversa de la anterior expresión i ( t )=L−1 ( I )=L−1

i ( t )=L−1

(

(

76 s 2

377 ( s +20 s+ 500 )

−

80 2

377 ( s + 20 s+500 )

−

76 s 2

+

1600

377 ( s +10000 ) 377 ( s 2 +10000 )

)

76 s −80 −76 s 1600 + L−1 + L−1 + L−1 2 2 377 ( s +20 s+500 ) 377 ( s +20 s+500 ) 377 ( s + 10000 ) 377 ( s2 +10000 ) 2

) (

) (

) (

La corriente para t>0. Utilizando la tabla de transformadas inversas tenemos lo siguiente:

(

i ( t )=e−10 t 76

cos ( 20t ) sin ( 20 t ) sin ( 20 t ) cos ( 100 t ) sin (100 t ) −38 −4 · e−10t −76 +16 377 377 377 377 377

)

(

)

6

)

Figura 3. La gráfica de la corriente cuando t >0 Fuente: Geogebra.

Planteamiento Situación Problema 2 Esta aplicación de las transformadas de Laplace en la solución de ecuaciones diferenciales de segundo orden se presenta con el propósito de determinar el movimiento de oscilación de dos resortes acoplados de forma horizontal mediante una ecuación lineal de segundo grado y transformadas de Laplace, considerando también conceptos básicos de la Ley de Hooke y las leyes de Newton. En una superficie horizontal suave, una masa 𝒎𝟏 = 𝟏 𝒌g Está unida a una pared fija mediante un resorte con constante de resorte 𝒌𝟏 = 2

N m

Por su parte, otra masa 𝒎2 = 2 𝒌g Está unida al primer objeto mediante un resorte con constante de resorte 𝒌2 = 4

N m

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Los objetos están alineados en forma horizontal, de modo que los resortes tengan su longitud natural. Si ambos objetos se desplazan 3 metros a la derecha de sus posiciones de equilibrio y luego se liberan, ¿Cuáles son las ecuaciones de movimiento de los dos objetos?

Desarrollo Problema 2

3 metros

Figura 4. Representación gráfica de dos resortes acoplados de forma horizontal. Fuente: propia

Planteamos la ecuación diferencial de cada una de las masas: m1

d 2 x1 =k 2 x 2−( k 1+ k 2 ) x 1 d t2

d2 x2 m 2 2 =−k 2 x 2 +k 2 x1 dt

Reemplazando los valores m 1=1 , k 1=2 , m 2=2 , k 2=4 por lo tanto: d2 x1 =2 x 2−6 x 1 (Ec 1) dt2 d2 x 2 2 =−4 x 2 +4 x 1 (Ec 2) d t2 Entonces: d2 x1 =2 x 2−6 x 1 (Ec 1) dt2 d2 x2 =−2 x 2 +2 x1 ( Ec 2) dt2 8

Teniendo en cuenta que x 1 ( 0 )=x 2 ( 0 )=−3 procedemos a realizar la transformada de Laplace: L

d2 x1 =L−1 ( 2 x 2−6 x 1) 2 dt

( )

s2 X 1−s x 2 ( 0 )−x '2 ( 0 ) =2 X 2−6 X 1 s2 X 1 +3 s=2 X 2−6 X 1

( s2 +6 ) X 1=2 X 2−3 s X1= L

2 X 2−3 s s2 +6

d2 x2

( ) dt

2

=L−1 (−2 x 2+ 2 x 1 )

s2 X 2−s x 2 ( 0 )−x '2 ( 0 )=−2 X 2 +2 X 1 s2 X 2 +3 s=−2 X 2 +2 X 1

( s2 +2 ) X 2 =6 X 1−3 s Reemplazando X 1 tenemos:

( s2 +2 ) X 2 =6

(

2 X 2−3 s s 2 +6

)

−3 s

Despejamos X 2 X2=

−3 ( s 2+12 ) 3s 9 = 2 − 2 2 s s ( s + 8) 2 ( s +8 )

Realizamos la transformada inversa L−1 ( X 2 ) =L−1

x 2 ( t )=

((

3s

−

2

2 s +8 )

9 2s

)

3 cos ( 2 √2 t ) 9 − 2 2

9

Teniendo en cuenta la Ecuación 2 entonces: d2 x2 =−12 cos ⁡(2 √ 2 t) dt2 d2 x2 =−2 x 2 +2 x1 dt2 Reemplazamos −12 cos ( 2 √ 2 t )=−2

(

3 cos ( 2 √ 2t ) 9 − +2 x 1 2 2

)

Despejamos x 1 y tenemos x 1=

−9 9 cos ( 2 √ 2 t ) − 2 2

La solución de las ecuaciones diferenciales es:

{

−9 9 cos ( 2 √ 2t )− 2 2 3 9 x 2= cos ( 2 √ 2t )− 2 2

x1 =

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Conclusiones Finalmente podemos decir que la transformada de Laplace en ecuaciones diferenciales lineales es una herramienta que permiten resolver de manera sencilla algunas ecuaciones diferenciales. Sin embargo, la limitación de esta herramienta es que para dar solución a las ecuaciones se deben tener las condiciones iniciales de la variable dependiente. Además, el grado de la ecuación diferencial dificulta un poco el cálculo de las transformadas directas e inversa de Laplace.

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Bibliografía Cánovas Peña, J., 2008. Transformada De Laplace Y Sus Aplicaciones A Las Ecuaciones Diferenciales. [Ebook] Disponible en: http://www.dmae.upct.es/~jose/varcomp/ctrans.pdf Ruiz, L. M. S., & Fernández, M. P. L. (2002). Ecuaciones diferenciales y transformadas de Laplace con aplicaciones. Editorial de la UPV. García, H. A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Retrieved from https://ebookcentral.proquest.com El Traductor de Ingeniería, 2015. Transformada De Laplace - Parte 1 De 3 | El Traductor. [Video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=McSN9g7DbYA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA. [Ebook] Disponible en: http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/mateII15/Temas_PDF/trans_laplace.pdf

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