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ACTIVIDAD EVALUATIVA EJE 2 FORO

Francisco Javier Prado Ballesteros Nataly Diaz Vargas Luis Alberto Yate Claros

Fundación Universitaria del Área Andina Ecuaciones Diferenciales Ingeniería de Sistemas

INTRODUCCIÓN

En el siguiente trabajo vamos a encontrar tres situaciones que nos presentan la aplicación de la segunda ley de Newton; Ecuaciones Diferenciales y Circuitos Eléctricos; esto con el fin de conocer el manejo de estas áreas matemáticas, y cómo aplicarlas en situaciones reales, para ello se hará una investigación con el equipo de trabajo y documentamos cada proceso para la entrega. MARCO TEÓRICO Leyes del movimiento de Newton. Los cuerpos que nos rodean pueden estar en reposo o movimiento. El movimiento se debe a la acción de fuerzas que actúan sobre los cuerpos. Existen principios teóricos que explican la manera en que actúan esas fuerzas y los movimientos que ocasionan. El interés por el estudio de las matemáticas para la ingeniería se ha incrementado en los últimos años, de hecho, la propia ingeniería se ha interesado por estudiar aspectos para su enseñanza en los avances de investigación que estudia los usos de las ecuaciones diferenciales y de la modelación en una comunidad de conocimiento. Se presenta la problemática de investigación donde se logra evidenciar la ausencia de un marco de referencia que articule los usos del conocimiento matemático, su funcionalidad y la comunidad de conocimiento. Los ingenieros utilizan el conocimiento matemático y científico para resolver sus problemas, pero lo hacen de una manera totalmente diferente de las formas en que los matemáticos y los científicos resuelven sus problemas. Los ingenieros utilizan el conocimiento matemático y científico en forma análoga al uso de las matemáticas y la tecnología de los científicos en la resolución de sus problemas científicos, es decir, en sus propios términos. Con respecto al uso de las teorías científicas y técnicas matemáticas por los ingenieros. Estas sirven como herramientas conceptuales y técnicas utilizadas de manera

oportunista por los ingenieros en términos de ingeniería. Además, cuando los ingenieros utilizan materiales de la ciencia y las matemáticas, el carácter universal de estos materiales debe ser adaptado a las particularidades de los problemas de ingeniería. Desde nuestra perspectiva, los usos dados por la ingeniería, al conocimiento matemático, dan cuenta de la existencia de prácticas de referencia que expresan una funcionalidad de la matemática. Es clave hacer notar, que la matemática es usada desde la ingeniería, para resolver problemas propios de su campo y en sus términos. Es decir, en sus prácticas suceden usos del conocimiento matemático, que expresan funcionamientos y formas específicas de éste (Cordero, 2008). Entonces, el discurso matemático escolar que permea la formación de ingenieros deberá rediseñarse con base en los usos que da la ingeniería a la matemática, al igual, que los usos del conocimiento matemático del que dan cuenta los ingenieros en formación.

OBJETIVO GENERAL Presentar aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en Ingeniería y algunas disciplinas del conocimiento. Objetivos Específicos:

● Conocer la segunda ley de Newton y cómo aplicarla con un ejemplo ● Conocer la aplicación de Ecuación Diferencial ● Conocer los Circuitos Eléctricos

Situación 1: SEGUNDA LEY DE NEWTON El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime. La razón del cambio de la cantidad de movimientos de un cuerpo con respecto al tiempo, es proporcional a la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo. Ecuación

La masa es constante, entonces expresamos la ecuación de la siguiente manera:

Obteniendo

Primera ley de Newton: principio de la inercia. «Todo cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme si no existe una fuerza que lo modifique».

Esto indica que ningún cuerpo puede modificar su estado original, ya sea de reposo o de movimiento, a no ser que sobre él actúe una o varias fuerzas.

Segunda ley de Newton: principio fundamental de la dinámica. «Cuando se aplica una fuerza a un objeto, este se acelera. La aceleración del cuerpo es directamente proporcional a la fuerza que actúa sobre él e inversamente proporcional a su masa. La dirección de la aceleración tiene la dirección de la fuerza que se aplica».

La segunda ley se expresa por medio de una fórmula: F= m . a, donde «m» es masa y «a» es aceleración. En esta ley las fuerzas que actúan deben ser cuantificadas para explicar su acción. Cuanto mayor sea la fuerza aplicada sobre un cuerpo, mayor será la aceleración que logre. Cuanto mayor sea la masa del cuerpo en cuestión, más fuerza deberá aplicarse para modificar su velocidad.

Tercera ley de Newton: principio de acción y reacción. «A toda acción le corresponde una reacción igual en magnitud, pero de sentido contrario».

Este principio afirma que si un cuerpo A ejerce una acción sobre un cuerpo B, este último realiza sobre el cuerpo A una acción igual en intensidad, pero de sentido contrario. Ejemplo: cuando queremos saltar hacia arriba, nos impulsamos empujando el suelo. Entonces, es la reacción del suelo la que nos empujará hacia arriba.

Aplicación ecuación diferencial: Problema: Se deja caer un objeto de masa m en una línea recta desde la parte más alta de un edificio de 400 metros de altura con una velocidad inicial de 12 metros/seg. Suponiendo que la fuerza que actúa en el objeto es la gravedad, determine la ubicación del objeto en cualquier tiempo t y también cuando chocará contra el suelo?

Solución:

Tenemos:

Esta sería la ubicación del objeto en cualquier tiempo. Entonces Vini=12metros/segundo en el instante de tiempo t0 o tiempo inicial t=0, así tenemos:

Entonces:

Está en la ubicación y la velocidad en cualquier tiempo, ahora el edificio mide 400 metros de altura, por lo tanto el objeto choca contra el suelo después de haber recorrido 400 metros:

situación 2: APLICACIÓN ECUACIÓN DIFERENCIAL: Un cultivo tiene una cantidad inicial de bacterias. Cuando t = 1 h, la cantidad de bacterias es de . Si la rapidez de crecimiento es proporcional a la cantidad de bacterias P(t) en el momento de t, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de microorganismos. Solución: Tenemos dos condiciones:

Sustituyendo la variable x de la ecuación por la de P que es la que estamos trabajando nos queda que:

Donde: P Es la población existente de bacterias. K es la constante de crecimiento. Se procederá a calcular la Ecuación diferencial: Primero sacamos el factor integrante de la ecuación.

Obteniendo este valor del factor de integración. Seguido procedemos a multiplicar el factor de Integrado por la ecuación

Integramos:

Quedando:

Recordamos las condiciones iniciales de:

hora calculamos K:

Aplicamos algoritmo natural para cancelar el exponencial:

Ahora sustituimos:

Calculamos el tiempo cuando:

Se puede concluir la cantidad real de bacterias presentes en el tiempo t = 0 no influyó para la determinación del tiempo necesario para que el cultivo se triplicará y el tiempo requerido para que una población inicial de 100 de bacterias siempre será aproximadamente 2,71 horas.

situación 3: CIRCUITOS ELECTRICOS Se aplica una fuerza electromotriz de 100 V a un circuito en serie RC en el que la resistencia es de 200 Ω y la capacitancia de 0.1 x 10ˆ(-3) F. Determine la carga q(t) del capacitor, si q(0)=0. Encuentre la corriente i (t). Simulación: La ley de voltajes de Kirchhoff:

Hallamos el F.I

Carga total:

Donde qtr es la CARGA TRANSITORIA del capacitor

Dónde: qs es la carga estacionaria del capacitor

Por lo tanto la carga total buscada es:

Para encontrar el valor de C utilizaremos los valores iniciales q (0)=0, es decir cuando el tiempo t es 0 la carga en el capacitor es 0

Luego de hallar C:

Reemplazamos en nuestra carga total:

Carga total:

ahora para hallar I(t) Recordemos:

Reemplazar valores:

CONCLUSIONES

● Las ecuaciones diferenciales es un lenguaje matemático en el habla la naturaleza en general, están incluidas en todos los procesos donde haya involucrada una magnitud y su variación aparecerá una ecuación diferencial.

●

Las ecuaciones diferenciales no todas se podrán resolver, de hecho muchas no tienen soluciones

exactas

conocidas.

Sin

embargo

siempre

es

posible

estudiar

numéricamente sus soluciones y resolver los problemas de condiciones iniciales.

BIBLIOGRAFÍA ●

“Ecuaciones Diferenciales” recuperado de: https://es.khanacademy.org/math/differential-equations

●

Figueroa G. (S.F) “¿ Qué es una ecuación diferencial ?” Recuperado de: https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursoslinea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap1-geo/node3.html

● https://www.tareasplus.com/Curso-Ecuaciones-Diferenciales/Roberto-Cuartas ●

Cajas, F. (2007). De parvulitos a las ingenierías: alfabetización científico tecnológica. En Argueta, B y España, O. (Eds.) Democracia y educación: ensayos, 239-258, Guatemala: Editorial de la Universidad de San Carlos.

● N.N (SF) Recuperado de: http://funes.uniandes.edu.co/4389/1/MendozaElusoALME2012 ● Silva, H. (2010). Matemática Educativa, Identidad y Latinoamérica: el quehacer y la usanza del conocimiento disciplinar. Tesis de Maestría no publicada, Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN. ● Profesor Particular (2017) Problemas ecuaciones diferenciales | crecimiento y decaimiento Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=nmOX6OrrrKU ● Ortega G.(2018) Leyes de Newton. Recuperado: https://www.abc.com.py/edicionimpresa/suplementos/escolar/leyes-de-newton-1691599.html